第二章可靠性的数学基础
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可靠性数学基础
的概率 ， 为各个事件概率的总和。
公式 ２乘法定理）若事件 Ａ的出现并不影响事件Ｂ的出现， （ ： 则称事件 Ａ与 Ｂ 是相互独立的， 此时有Ｐ‘ ＾哪 ， （丑 即各个独
北京工 商 大学 陈 锴
立事件同时出 现的事件的概率， 等于各个独立事件的概率之积。 公式３条件概率） （ ： 如果对于 事件 Ａ和事件Ｂ当事件Ａ ， 发生的 概率Ｐ ） ， （＞ 则当Ａ发生的条件 Ｂ ＾０ 下，发生的｛事被表示为 ｜ 【 ， 称
ｌ 概率是用来刻划某一随机事件发生可能性的量， ＰＡ 事件 Ａ的发生概率加以惨正后的条件概率，故称为后验概率。 常用 （）
、
例如， 同一批的４ 个元件中有２个不合格品， ０ 若从中任取 １ ， 为随机变量。 个
当试验条件可重复． 且试验次数充分大时， 如果事件 Ａ发生 规定时间内产品出现故障的次数等． 则称之为离散型随机变量。 ． ２概率密度函数和概率分布列 的频率 ｍ ｎ ／ 稳定地在某数值Ｐ附近摆动， Ｐ 则称 为事件 Ａ的概 ２ 率， 记作ＰＡ ｐ ‘ 。其中ｍ是事件Ａ发生的次数，是试验总数。 ／ １ ｌ． ＿２概率的基本性质及常用运算公式 ２ 概率的基本性质 性质 １０ （】 ， Ａ的概率不能取负值或大于 ｌ ：≤ＰＡ≤１事件 ； 在研究产品寿命 Ｔ在各时间间隔Ａ 内出现的溉率等问题 ｔ 时． 若样本量无限增大， 则可将频率直方图上表示时间间隔的各 矩形宽度△ｔ 无限缩小，பைடு நூலகம்而当△ ｏ时， 卜＋ 直方图上的梯形曲线变为 平滑曲 与此曲线相应的函数， 线． 被称为概率密度函数， 妁。 记为 对离散型随机变量ｘ的 各种取值 ｘ ｔ 的溉率可甩分布列表示， 即
维普资讯
ｈ ｐ／￣ ．ｈａ ｏ ｔ： ／ ｓ ｅ ｒｃ ｔ ｃｎ ｎ
公式 ２乘法定理）若事件 Ａ的出现并不影响事件Ｂ的出现， （ ： 则称事件 Ａ与 Ｂ 是相互独立的， 此时有Ｐ‘ ＾哪 ， （丑 即各个独
北京工 商 大学 陈 锴
立事件同时出 现的事件的概率， 等于各个独立事件的概率之积。 公式３条件概率） （ ： 如果对于 事件 Ａ和事件Ｂ当事件Ａ ， 发生的 概率Ｐ ） ， （＞ 则当Ａ发生的条件 Ｂ ＾０ 下，发生的｛事被表示为 ｜ 【 ， 称
ｌ 概率是用来刻划某一随机事件发生可能性的量， ＰＡ 事件 Ａ的发生概率加以惨正后的条件概率，故称为后验概率。 常用 （）
、
例如， 同一批的４ 个元件中有２个不合格品， ０ 若从中任取 １ ， 为随机变量。 个
当试验条件可重复． 且试验次数充分大时， 如果事件 Ａ发生 规定时间内产品出现故障的次数等． 则称之为离散型随机变量。 ． ２概率密度函数和概率分布列 的频率 ｍ ｎ ／ 稳定地在某数值Ｐ附近摆动， Ｐ 则称 为事件 Ａ的概 ２ 率， 记作ＰＡ ｐ ‘ 。其中ｍ是事件Ａ发生的次数，是试验总数。 ／ １ ｌ． ＿２概率的基本性质及常用运算公式 ２ 概率的基本性质 性质 １０ （】 ， Ａ的概率不能取负值或大于 ｌ ：≤ＰＡ≤１事件 ； 在研究产品寿命 Ｔ在各时间间隔Ａ 内出现的溉率等问题 ｔ 时． 若样本量无限增大， 则可将频率直方图上表示时间间隔的各 矩形宽度△ｔ 无限缩小，பைடு நூலகம்而当△ ｏ时， 卜＋ 直方图上的梯形曲线变为 平滑曲 与此曲线相应的函数， 线． 被称为概率密度函数， 妁。 记为 对离散型随机变量ｘ的 各种取值 ｘ ｔ 的溉率可甩分布列表示， 即
维普资讯
ｈ ｐ／￣ ．ｈａ ｏ ｔ： ／ ｓ ｅ ｒｃ ｔ ｃｎ ｎ
05第二章系统可靠性模型03
第 二 章 系统可靠性模型
1
内容提要
§ 2—3 串联系统的可靠性模型 一、定义和特点 二、可靠性框图 三、数学模型 四、提高串联系统可靠性的措施
§2—4 并联系统的可靠性模型 一. 定义和特点 二、可靠性框图 三、数学模型 四、提高并联系统可靠性的措施
§2-5 混联系统的可靠性模型 一、 串并联系统(附加单元系统) 二、并串联系统(附加通路系统) 三、较复杂的混联系统
一、 串并联系统(附加单元系统)，图2—20。 27
20
上图串联了n个组成单元，而每个组 成单元由m个基本单元并联。
28
设每个组成单元的可靠度为Ri(t)，则 RS1(t)：
n
Rs1(t) 1 (1 Ri (t))m (2-18) i1
（括号里为每个并联系统的可靠性）
二、并串联系统(附加通路系统),图2-21
17
求： (1) 滤网堵塞时的可靠度、失效率、
21
平均寿命；
(2) 滤网破损时的可靠度、失效率、 平均寿命。
解 ：(1 ) 滤网堵塞时系统的可靠性框图2-18， 为串联系统。
18
由于 λ = 常数，所以其为指数分布。
22
故有：
2
s i 5105 1105 i1
6 10 5 h-1
RS (1000) est e61051000 e0.06 0.94176
1 2 1 2
1 5 105
1 1105
1 (5 1) 105
10333.3h
25
S
(t)
e1t 1
e2t 2
e1t e2t
(1 2 )e(12 )t
e(12 )t
5105
e51051000 1105 e11051000 (5 1) 105 e e e 51051000 11051000 61051000
1
内容提要
§ 2—3 串联系统的可靠性模型 一、定义和特点 二、可靠性框图 三、数学模型 四、提高串联系统可靠性的措施
§2—4 并联系统的可靠性模型 一. 定义和特点 二、可靠性框图 三、数学模型 四、提高并联系统可靠性的措施
§2-5 混联系统的可靠性模型 一、 串并联系统(附加单元系统) 二、并串联系统(附加通路系统) 三、较复杂的混联系统
一、 串并联系统(附加单元系统)，图2—20。 27
20
上图串联了n个组成单元，而每个组 成单元由m个基本单元并联。
28
设每个组成单元的可靠度为Ri(t)，则 RS1(t)：
n
Rs1(t) 1 (1 Ri (t))m (2-18) i1
（括号里为每个并联系统的可靠性）
二、并串联系统(附加通路系统),图2-21
17
求： (1) 滤网堵塞时的可靠度、失效率、
21
平均寿命；
(2) 滤网破损时的可靠度、失效率、 平均寿命。
解 ：(1 ) 滤网堵塞时系统的可靠性框图2-18， 为串联系统。
18
由于 λ = 常数，所以其为指数分布。
22
故有：
2
s i 5105 1105 i1
6 10 5 h-1
RS (1000) est e61051000 e0.06 0.94176
1 2 1 2
1 5 105
1 1105
1 (5 1) 105
10333.3h
25
S
(t)
e1t 1
e2t 2
e1t e2t
(1 2 )e(12 )t
e(12 )t
5105
e51051000 1105 e11051000 (5 1) 105 e e e 51051000 11051000 61051000
《机电产品可靠性设计》教案
《机电产品可靠性设计》教案第一章：概述1.1 教学目标让学生了解机电产品可靠性设计的基本概念。
让学生掌握机电产品可靠性设计的重要性和应用领域。
1.2 教学内容机电产品的定义和特点可靠性基本概念可靠性数学基础可靠性设计的重要性可靠性设计在工程中的应用领域1.3 教学方法讲授案例分析1.4 教学评估课堂讨论课后作业第二章：可靠性数学基础2.1 教学目标让学生掌握可靠性数学基础，包括失效概率、可靠度、寿命分布等概念。
2.2 教学内容失效概率的定义和计算方法可靠度的定义和计算方法寿命分布的定义和特点可靠性指标的计算和分析2.3 教学方法讲授示例讲解2.4 教学评估课堂练习课后作业第三章：机电产品可靠性模型3.1 教学目标让学生了解机电产品可靠性模型的建立方法和应用。
3.2 教学内容可靠性模型的分类和特点建立可靠性模型的方法机电产品可靠性模型的应用可靠性模型的评价和优化3.3 教学方法讲授案例分析3.4 教学评估课堂讨论第四章：机电产品可靠性设计方法4.1 教学目标让学生掌握机电产品可靠性设计的方法和步骤。
4.2 教学内容可靠性设计的基本原则和方法可靠性设计的关键步骤和技巧可靠性设计在机电产品中的应用实例可靠性设计的评价和优化4.3 教学方法讲授案例分析4.4 教学评估课堂练习课后作业第五章：案例分析与实践5.1 教学目标让学生通过案例分析和实践，提高机电产品可靠性设计的实际应用能力。
5.2 教学内容实践项目：学生分组进行机电产品可靠性设计实践，提高实际应用能力。
5.3 教学方法案例分析5.4 教学评估案例分析报告实践项目报告第六章：环境因素对可靠性的影响6.1 教学目标让学生了解环境因素对机电产品可靠性的影响。
掌握环境适应性设计的方法和原则。
6.2 教学内容环境因素分类及其对可靠性的影响环境适应性设计原则环境试验方法环境适应性改进设计6.3 教学方法讲授实例分析6.4 教学评估课堂讨论课后作业第七章：可靠性增长与维护7.1 教学目标让学生掌握可靠性增长的概念和途径。
数学建模-系统可靠性分析
2021/3/18
6
1.3 可靠性内涵
(1)可靠性按学科分类： 一般可分为：可靠性数学；可靠性工程；可靠性管理；可 靠性物理等。
(2)可靠性的技术基础： 概率论和数理统计；材料、结构、物理学；故障物理学； 基础试验技术；环境技术等。
(3)可靠性学科特点： 可靠性学科特点是：管理与技术高度结合；众多学科的综 合；反馈和循环(通过反馈与循环不断提高产品的可靠性)。
f(t)d F (t)F '(t)； 或 F (t)tf(x)d x
d t
0
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14
假设n(t)表示t时刻失效的产品数，△n(t)表示在(t, t+△t)时间内失效的产品数。
累 积 失 效 概 率 为 ： F ˆ(t)= 到 t时 试 刻 验 失 产 效 品 的 总 产 数 品 数 = n N (t)
R (t) 1 F (t) R (t) R (t)
t 0
t
lim P (t T t t) t 0 P (T t) t
lim F (t t) F (t)
t 0
R (t) t
F '(t) R (t)
f (t) R (t)
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17
系列关系式：
R(t)1F(t)
失 效 率 : (t)F '(t)F '(t)f(t)R '(t)
100
99.90％ 漏导致爆炸，直到2000
1000
99.01％ 年12月完全关闭，14年
1万
90.48%
里乌克兰共有336万人遭
10万
36.79%
到核辐射侵害。
201210/30/1万8
<0.1%
第二章__可靠性的基本概念
2.3 可靠性尺度
表示产品总体可靠性水平高低的各种可靠性指
标称为可靠性尺度。
2.3.1 可靠性概率指标及其函数 1. 可靠度与失效概率
可靠度可定义：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规 定功能的概率，通常以“R”表示。考虑到它是时间的函数，又 可表示为R（t） ，称为可靠度函数。 如果用随机变量T表示产品从开始工作到发生失效或故障的 时间，则该产品在某一指定时刻t的可靠度为：
tr
r
失效率是产品可靠性常用的数量特征之一，失效率愈高，则 可靠性愈低。失效率的单位用单位时间的百分数表示。例如：
1 -1。比如，某型号滚动轴承的失 效率为 % 10 3 h 1 , km，次 λ(t)=5*10-5/h，表示105个轴承中每小时有5个失 效，它反映 了轴承失效的速度。
f (t ) F (t ) R(t ) f (t ) d ln Rt (t ) R(t ) R(t ) R(t ) 1 F (t ) dt
0 R(t ) e
( t ) dt
t
——可靠度函数R(t)的一般方程
说明：
(1)R(t)，F(t)，f (t)，λ(t)可由1个推算出其余3个。 (2)R(t)，F(t)是无量纲量，以小数或百分数表示。 f(t)， λ(t)是 有量纲量。 当λ(t)为恒 定值时：
① 早期失效
一般为产品试车跑合
λ(t )
早期失效期
偶然失效期
阶段。由于材料缺陷、制造工艺缺 陷、检验差错等引起。出厂前应进 行 严格的测试，查找失效原因，并 采取 各种措施，发现隐患，纠正缺 ② 正常运行期
损耗失效期
机械产品
λ=常数
电子产品
tm t
第二章 可靠性基本概念
n(t) (Nn(t))t
式中 (t) ——故障率； n(t)——t 时刻后，t 时间内故障的产品数；
Nn(t)—残存产品数，即到t时刻尚未故障的产品数。
失Hale Waihona Puke 率问题• 失效率是概率值么？ • 失效率有量纲么？ • 失效率和失效密度之间有什么关系？
失效率的单位
对于低故障率的元部件常以 109 /h 为故障率的单位，称之为菲 特（Fit）。
命。
• 解：由题意知：N＝100，n(1000)=5,
t 2 h , 0 n ( 1 0 ) 0 1 , T 0 1 6 h 0 0
根据前面公式： R(100)0950.95 F(100)0 5 0.05
100
100
f(10) 001 515 0/h (10 )01 0 5.2 6 1 50 /h
– 为了保持产品的可靠性而采取的措施 – 实际的维修工作，包括检查、修理、调整和更
换零部件等
可靠性与经济性的关系
• 经济性
– 主要指研制产品的投资费用 – 可靠性越高，投资费用越高 – 可靠性越高，维修费用和停工损
失越少 – 考虑成本的极小值
可靠性指标
可靠性指标：衡量可靠性的定量化尺度，也是描绘产品可 靠性特性的参数
能的事件或状态，称之为故障。
故障的表现形式，叫做故障模式。 引起故障的物理化学变化等内在原因，叫做故障机理。
• 不可修产品（如电子元器件）：失效
• 产品的故障按其故障的规律可以分为两大类：
–偶然故障 –渐变故障
可靠度及可靠度函数
• 可靠度R(t)及可靠度函数
产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规 定功能的概率称为可靠度。依定义可知，可靠度 函数R(t)为：R(t)到t时试 刻验 仍的 在产 正品 品 常总 工 数 N数 作 Nn(的 t)
式中 (t) ——故障率； n(t)——t 时刻后，t 时间内故障的产品数；
Nn(t)—残存产品数，即到t时刻尚未故障的产品数。
失Hale Waihona Puke 率问题• 失效率是概率值么？ • 失效率有量纲么？ • 失效率和失效密度之间有什么关系？
失效率的单位
对于低故障率的元部件常以 109 /h 为故障率的单位，称之为菲 特（Fit）。
命。
• 解：由题意知：N＝100，n(1000)=5,
t 2 h , 0 n ( 1 0 ) 0 1 , T 0 1 6 h 0 0
根据前面公式： R(100)0950.95 F(100)0 5 0.05
100
100
f(10) 001 515 0/h (10 )01 0 5.2 6 1 50 /h
– 为了保持产品的可靠性而采取的措施 – 实际的维修工作，包括检查、修理、调整和更
换零部件等
可靠性与经济性的关系
• 经济性
– 主要指研制产品的投资费用 – 可靠性越高，投资费用越高 – 可靠性越高，维修费用和停工损
失越少 – 考虑成本的极小值
可靠性指标
可靠性指标：衡量可靠性的定量化尺度，也是描绘产品可 靠性特性的参数
能的事件或状态，称之为故障。
故障的表现形式，叫做故障模式。 引起故障的物理化学变化等内在原因，叫做故障机理。
• 不可修产品（如电子元器件）：失效
• 产品的故障按其故障的规律可以分为两大类：
–偶然故障 –渐变故障
可靠度及可靠度函数
• 可靠度R(t)及可靠度函数
产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规 定功能的概率称为可靠度。依定义可知，可靠度 函数R(t)为：R(t)到t时试 刻验 仍的 在产 正品 品 常总 工 数 N数 作 Nn(的 t)
第二章 可靠性基本概念
到t时刻仍在正常工作的产品数 N n(t ) 函数R(t)为： R(t ) 试验的产品总数 N 式中 N — t = 0时，在规定条件下进行工作的产品数；
n(t) — 在0到t时刻的工作时间内，产品的累计故障数。
例：有50个在恒定载荷条件下运行的零件，运行记 录如表所示，求这批零件在100小时，400小时时 的可靠度。
寿命方差和寿命标准差
• 平均寿命只能够说明一批产品寿命的平均水平， 而寿命方差和标准差反映产品寿命的离散程度
n 1 2 ( t ) i n 1 i 1
可靠寿命、中位寿命和特征寿命
• 由可靠度反求相应的工作寿命(时间) – 可靠寿命
• 指可靠度等于给定值r时产品的寿命
– 中位寿命
– 取决于设计技术、制造技术、零部件材料和结构等
– 产品的开发者可以控制
• 使用可靠性
– 产品在实际使用过程中表现出的可靠性
– 包括使用维修方法、操作人员的技术水平等 – 除固有可靠性的影响因素外，还要考虑安装、操作使用、维修保 障等方面因素的影响
可靠性基本概念—维修性
• 维修性
– 在规定条件下使用的产品，在规定时间内，按 规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复到 完成功能的能力
• r=50%时产品的可靠度寿命
– 特征寿命 1 r e 0.368时的可靠寿命 •
可靠性指标间的关系
例子2
• 已知某产品的失效率为常数， (t ) 0.25 10 4 / h 可靠度函数 R(t ) e t ，求可靠度为99%的可 靠寿命，以及中位寿命和特征寿命 • 解：对可靠度函数两边去对数，即
• 有时也用与其相当的“动作次数”、“转数”、 “距离”等的倒数
n(t) — 在0到t时刻的工作时间内，产品的累计故障数。
例：有50个在恒定载荷条件下运行的零件，运行记 录如表所示，求这批零件在100小时，400小时时 的可靠度。
寿命方差和寿命标准差
• 平均寿命只能够说明一批产品寿命的平均水平， 而寿命方差和标准差反映产品寿命的离散程度
n 1 2 ( t ) i n 1 i 1
可靠寿命、中位寿命和特征寿命
• 由可靠度反求相应的工作寿命(时间) – 可靠寿命
• 指可靠度等于给定值r时产品的寿命
– 中位寿命
– 取决于设计技术、制造技术、零部件材料和结构等
– 产品的开发者可以控制
• 使用可靠性
– 产品在实际使用过程中表现出的可靠性
– 包括使用维修方法、操作人员的技术水平等 – 除固有可靠性的影响因素外，还要考虑安装、操作使用、维修保 障等方面因素的影响
可靠性基本概念—维修性
• 维修性
– 在规定条件下使用的产品，在规定时间内，按 规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复到 完成功能的能力
• r=50%时产品的可靠度寿命
– 特征寿命 1 r e 0.368时的可靠寿命 •
可靠性指标间的关系
例子2
• 已知某产品的失效率为常数， (t ) 0.25 10 4 / h 可靠度函数 R(t ) e t ，求可靠度为99%的可 靠寿命，以及中位寿命和特征寿命 • 解：对可靠度函数两边去对数，即
• 有时也用与其相当的“动作次数”、“转数”、 “距离”等的倒数
可靠性理论基础复习资料
可靠性理论基础复习资料目录第一章绪论第二章可靠性特征量第三章简单不可修系统可靠性分析第四章复杂不可修系统可靠性分析第五章故障树分析法第六章三态系统可靠性分析第七章可靠性预计与分配第八章寿命试验及其数据分析第九章马尔可夫型可修系统的可靠性第一章：可靠性特征量2.1可靠度2.2失效特征量2.3可靠性寿命特征2.4失效率曲线2.5常用概率分布2.1可靠度一、系统的分类：可修系统与不可修系统；可修系统是指系统的组成单元发生故障后，经过维修能够使系统恢复到正常工作状态。
不可修系统是指系统或其组成单元一旦发生失效，不在修复，系统处于报废状态。
二、可靠性定义产品在规定条件下，规定时间内，完成规定功能的能力。
1. 产品：可以是一个小零件，也可以指一个大系统。
2. 规定条件：主要是指使用条件和环境条件。
3. 规定时间：包括产品的运行时间、飞机起落架的起飞着陆次数、循环次数或旋转次数等。
产品可靠性是非确定性的，并且具有概率性质和随机性质。
广义可靠性与狭义可靠性指可修复产品在使用中或者不发生故障(通过预防性维修)，或者发生故障也易于维修，因而经常处于可用状态的能力。
广义可靠性=狭义可靠性+可维修性广义可靠性典型事例：赛车可靠性的分类：固有可靠性和使用可靠性固有可靠性：通过设计、制造、管理等所形成的可靠性(通常体现在产品的固有寿命上)使用可靠性：产品在使用条件影响下，保证固有可靠性的发挥与实现的功能。
(通常体现在产品的实际使用寿命上)使用条件：包括运输、保管、维修、操作和环境条件等。
例1:判断下面说法的正确性：所谓产品的失效，即产品丧失规定的功能。
对于可修复系统，失效也称为故障。
(V)例2：可靠度R(t)具备以下那些性质？ ( BCD) A. R(t)为时间的递增函数B. o w R(t) < 1C. R(0)=1D. R()=0若受试验的样品数是N o个，到t时刻未失效的有Ns(t)个；失效的有N f(t)个。
可靠性工程师培训关键技能与知识的全面掌握
可靠性工程师培训关键技能与知识的全面掌握一、教学内容本节课的主题是可靠性工程师培训关键技能与知识的全面掌握。
我们将使用《可靠性工程》教材，重点讲解第二章至第四章的内容。
这包括可靠性基本概念、可靠性数学基础、可靠性模型和可靠性分析方法。
二、教学目标1. 学生能够理解可靠性基本概念，掌握可靠性数学基础。
2. 学生能够建立可靠性模型，进行可靠性分析。
3. 学生能够运用所学知识解决实际问题，提高产品的可靠性。
三、教学难点与重点重点：可靠性基本概念、可靠性数学基础、可靠性模型和可靠性分析方法。
难点：可靠性数学基础中的概率论知识，可靠性模型的建立和分析方法的运用。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔。
学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 引入：通过讲解一个实际产品的故障案例，引出可靠性工程师的重要性和本节课的主题。
2. 讲解可靠性基本概念：介绍可靠性的定义、度量指标和提高产品可靠性的方法。
3. 讲解可靠性数学基础：包括概率论的基本概念和常用概率分布，以及如何应用这些知识进行可靠性分析。
4. 讲解可靠性模型：介绍常用的可靠性模型，如指数模型、威布尔模型等，并讲解如何建立和应用这些模型。
5. 讲解可靠性分析方法：包括故障树分析、马尔可夫分析等，并讲解如何运用这些方法解决实际问题。
6. 练习：让学生通过例题和随堂练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六、板书设计板书内容主要包括可靠性基本概念、可靠性数学基础、可靠性模型和可靠性分析方法的结构图和关键步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的产品故障数据，计算可靠性指标。
（2）根据产品故障案例，建立可靠性模型，并分析其可靠性。
（3）运用故障树分析方法，分析一个复杂系统的可靠性。
2. 答案：（1）可靠性指标的计算结果。
（2）建立的可靠性模型和分析结果。
（3）故障树分析的结果。
八、课后反思及拓展延伸重点和难点解析一、教学内容本节课的主题是可靠性工程师培训关键技能与知识的全面掌握。
第二章 可靠性概率统计知识
概率的互补定理
某一事件发生和不发生的概率之和必然是1，即：
P A P A 1
例8：若某产品或设备出现故障的概率为F(t)，则 其无故障地发挥规定功能即正常工作的概率（可 靠度）为： R(t)=1-F(t)
条件概率
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称 为事件B发生的条件概率。记为：P（B∣A）。
3）乘法定理，A、B相关
50 P( B A) 99 10 50 5 P( AB) P( A) P( B A) 100 99 99
全概率公式
如果事件组A1,A2,…,An满足 A A i j (1) ，i≠j，且P(A )>0，i=1，2，…，n， 即互不相容； n Ai S，即全部事件为必然事件； (2)
的性质的推断（点推断）。 例：随机测试，正品率82%
区间估计：以数值区间（范围）和母体的真正数值可
能存在于该区间的概率来表现的，由子样的性质对母 体性质的推断（区间推断）。
例：正品率在 80% ～ 85% 之间的概率为 95% （置信度或置信水平） 置信度：1-α α —显著性水平（人为给定） 置信区间 例：子样均值对于母体均值μ 的置信度，在 x C , x C 内为1-α 。
若样本容量为n，其观测值为x1,x2,…,xn，则：
1. 样本均值
1 n x xi n i 1 1 n 2 s ( x x ) i n 1 i 1
2
2. 样本方差
3. 样本标准差
s
1 n ( xi x ) 2 n 1 i 1
4. 样本变异系数
Cx
s x
i 1
如果“事件A1,A2,…,An同时发生”这一事件为D，则称 D为事件A1,A2,…,An的积，记为：
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式中 X= s= T= 1n ∑X = 4.408 n i=1 i 1 n 2 ∑ Xi - X） = （ n - 1 i=1 X - 0 = 1 (0.014684) = 0.05419 6 -1
= 2.17 s/ n 0.05419/ 6 按 = 0.05查t分布值附表，当自由度 n - 1 = 5时，t /2 (n - 1) = 2.571 为 T = 2.17 < 2.571 因此假设成立，说明当 = 0.05时，新旧工艺对零件的 , 对数疲劳寿命的均值无 显著影响。
2 2 服从参数(也称自由度)为n的 2分布，记作 (n) 2 分布的概率密度函数曲线如图所示
2 分布具有以下性质
a)若2 ~ 2 (n)，则E(2 ) = n,D(2 ) = 2n
2 b)设1 ~ 2 (n1 ), 2 2
2 (n2 ),且它们相互独立，
X 0 K时，拒绝原假设，如果 X 0 K时，接受原假设
例2－7今有一批汽车零件，已知其强度服从正态分布，标准差σ＝60N/mm2,且规定 其均值不低于840N/mm2，今随机抽取零件26个，测得它们的强度均值为 830N/mm2，试问当显著性水平α＝0.05时，这批零件是否合格？
第二章 可靠性的数学基础
§2-4数理统计
一、数理统计的基本概念
参数估计：在可靠性的研究中，经常遇到一些分布参数和 可靠性指标是未知的，需要作出估计，根据子样去寻找 母体的某一或某些参数值的过程，称为参数估计。
统计推断一般包括两个方面： 1）母体参数的估计：通过对实际样本的统计计算，估计 研究母体参数的可能取值和取值的可能范围。 2）统计假设的检验：要以样本的观测值来提供母体的概 率分布，需要对母体分布作出假设，再通过样本数据算 出统计量，对原假设是否合理进行检验。
2 则1＋ 2 ~ 2 (n1 + n2 ) 2
2）X 的分布
设X服从正态分布 X N ( , 2 ) (X1,X2….Xn)是来自总体 X容量为n的样本，由正态分布的性质可知，样本均值 2 1 n 且 X xi 也服从正态分布， E ( X ) , D( X ) n n i 1
i 1 n
它是的函数，并记为 L( ) L( x1，x 2 ，x n ; ) f ( x i ; )
i 1
n
L( )称为参数 的似然函数。
ˆ 因为L( )和 ln L( )都在＝点为极大，常常为了计 算方便而去似然函数的 对数 ln L( ) ln f ( xi； ), 并通过对数似然方程
i 1 n
d ln L( ) 0来求得极大 d
ˆ ˆ 似然估计值 ＝（x1 , x2 , xn）。
第二章 可靠性的数学基础
二、分布参数估计
§2-4数理统计
（三）点估计的准则 无偏估计： 是样本数据的函数，是一个随机变量，当样本ˆ (x1， x2，…，xn)一定时， 就是一个确定的数或点。而不同的样本， 由于x1，x2，…，xn是随机变量，就有不同的值。如何判断两个 ˆ ˆ 中哪一个较接近母体参数的真值(它确实存在，但又无法求出)， 这就涉及到了点估计的准则，其中较重要的一条是无偏估计，即： ˆ ˆ是母体参数 的无偏估计值
1n 1 ∑x i = （14.6 + 15.1+ 14.9 + 14.8 + 15.2 + 15.1 = 14.95 ） n i=1 6 ∂ (2)已知（ - ∂ = 0.95，故 = 0.025，由式 1 ） 2 P{- Z 0.025 < Z < Z 0.025 } = 0.95 解：（ ）先求X， = 1 X ∂ Z ∂2 = Z 0.025 = -1(1 - ) = -1(0.975) = 1.96 / 2 (3)则置信度为0.95的置信区间为（ 14.95 - 1.96 为（ 14.90,15.00） 0.06 6 ,14.95 + 1.96 0.06 6 ）
∂ Z ∂2 = Z 0.025 = -1 1 - ） -1 0.975） 1.96 （ = （ = / 2 60 K= Z ∂2 = ×1.96 = 23.063 / n 26 X - 0 = 830 - 840 = 10 Z ∂2 / n 由此假设H0 成立，即这批汽车零件复合要求 则 X - 0 <
强度计算
应力统计和概 率分布 机械强度可靠性 设计
强度统计和 概率分布
机械强度可靠性设计过程框图
3-1-4 可靠度一般表达式的推导
由应力分布和强度分布的干涉理论 可知，可靠度是“强度大于应力的 整个概率”，表示为:
R(t ) P( S ) P( S 0) P( S
1)
图2－1 应力－强度分布与时间t之间的关系
3-1-3 机械可靠性设计的实质与过程
机械可靠性设计，就是要搞清楚零件的应力与强度的分布规 律，严格控制发生故障的概率，以满足设计要求，机械强度 可靠性设计的过程如下：
载荷统计和 概率分布 几何尺寸分布和 其它随机因素 材料机械性能统 计和概率分布
应力计算
切模量G,热胀系数λ等
T －时间 m －其它参数
3-2-2 确定应力分布的步骤：
（1）确定零件的失效模式及其判据 （2）应力单元体分析 （3）计算应力分量 （4）确定每一分量的最大值 （5）计算主应力 （6）将上述的应力分量综合为复合应力 （7）确定每个名义应力、应力修正系数和有关设计参数的 分布 （8）确定应力分布即：X－N（， ）来自n23）T分布
若X－N(0,1)分布，Y－ 2 (n)分布，且X与Y相互独立，则统计量T = n的T分布，记为T ~ T(n) X Y /N 服从自由度为
T分布概率密度函数图形
4）F分布
设X－ 2 (n1 ),Y 2 (n2 ), 且X与Y相互独立， X / n1 则统计量F 服从自由度（参数）1 , n2 ) (n Y / n2 的F分布，记为F F ( x, n1 , n2 )，其中，n1称为 第一自由度， 2 称为第二自由度 n
F分布概率密度函数图形
第二章 可靠性的数学基础
五、常见的区间估计
正态分布母体位置参数的区间估计
1．已知母体的方差，求母体均值μ的置信区间
置信度为 －α 的置信区间为： 1 （L , U） ( X - zα / 2 = , X + zα / 2 ) n n
步骤：
例2－5：某厂生产轴承滚珠，其直径X—N(μ，0.06)．从某天生产的产品中随机 抽取6个，测得直径依次为(单位：mm)14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1,求平 均直径μ的(1－α)置信区间（α＝0.05）
解：已知零件的对数疲 劳寿命X ~ N（， 2）， 2未知，在原工艺下的均 = 0 = 4.36， 值 今取容量n = 6的样本，要求检验在新 工艺下零件的对数疲劳 寿命的均值有无显著差 异， 这是一个双侧假设检验 问题。 H0 : = 0 = 4.36 由于 2未知，故用S 2 代替，在H0的条件下取统计量为： T= X - 0 s/ n ~ t（n - 1 ）
零件初期，在正常的工作条件下，强度总是大于应力， 是不会发生故障的，但该零件在动载荷、腐蚀、磨损、 疲劳载荷的长期作用下，强度也会逐渐衰减而使强度 应力分布曲线发生干涉
2
即使在安全系数大于1的情况下，仍然会存在一定的 不可靠度；
3
机械零件的可靠度主要取决于应力－强度分布曲 线干涉的程度，如果应力与强度的概率分布曲线 已知，就可以根据干涉模型计算零件的可靠度。
第二章 可靠性的数学基础
五、常见的区间估计
2．母体的方差未知，求母体均值μ的置信区间
置信度为－α 的置信区间为： 1 s s （ L , U） ( X tα / 2 , X tα / 2 ) n n 例2－6在材料的拉伸试验中，测得25根钢试件的屈服 点均值 X 667MPa ，无偏估计的标准差s＝27.5MPa， 试求置信度为95％的材料屈服点均值μ的置信区间。
即：L( x1 , x 2 ,, x n ; ) L( ) max, 则称 ˆ 是的一个极大似然估计值 。
第二章 可靠性的数学基础
如果x连续的随机变量，其分 布类型已知，即概率密 度函数 f ( x i ; ) 已知，其中 是未知参数，则母体 x的子样 x1，x 2 ，x n的联合概率 密度为 f ( x i ; ), 显然，当子样的观测值 （x1，x 2 ，x n）已定时，
ˆ ˆ 式中（ L ,U ）称为置信区间，（1－α）称为置信度， α为风险系数，又称显著性水平
四、抽样分布
1、定义：样本或是样本函数的分布称为抽样分布。
2、常见的抽样分布 1） 2 分布 定义：设(x1，x2，…，xn)是来自正态总体N〔0，1)的 2 2 2 2 样本，则统计量 x1 x2 ... xn
第二章 可靠性的数学基础
六、假设检验 分布函数的假设检验就是根据已获得的随机样本 的数据，来对预先作出的母体分布函数的类型或 特征的假设进行检验，它是依据小概率事件在一 次试验中几乎是不可能出现的这一小概率原理进 行反证推断。
第二章 可靠性的数学基础
六、假设检验 1）已知母体方差值的均值检验（U检验） 方差已知，检验原假设 H0 : 0 当
注意： 应当注意，两个分布的重叠面积 不能用来作为失效概率的定量表示。
§3-2应力分布的确定
3-2-1应力分布的一般表达式：
f (L, T , Ge , p, t, m)
式中： L －载荷，有轴向、弯曲、扭矩载荷之分
T －温度
Ge－几何参数，包括尺寸的大小及特征等 p －物理参数，如泊松比ν，弹性模量E，剪
第二章 可靠性的数学基础
六、假设检验 2）未知母体方差值的均值检验（T检验） 方差未知，检验原假设 H0 : 0