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第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。
本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。
6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。
在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。
式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。
显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。
下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。
多种方法计算水中薄板的固有振动频率水中薄板的固有振动频率是指薄板在水中自然振动的频率，它是一个极为重要的参数，在工程设计和科学研究中有着广泛的应用。
下面，将介绍多种方法计算水中薄板的固有振动频率。
方法一：理论计算法理论计算法是一种基于物理原理、数学公式和动力学方程的计算方法。
该方法通常需要建立薄板的数学模型，包括弹性模量、材料密度和板厚等参数，然后根据振动方程推导出薄板在水中的固有振动频率。
这种方法通常适用于理论研究和数值模拟，计算精度较高，但需要大量的计算工作。
方法二：实验测量法实验测量法是通过实验手段直接测量水中薄板的振动频率，包括自由振动法和迫振法两种。
自由振动法是指将薄板挂在两个支点上，将薄板振动后测量振动频率；迫振法是指向薄板施加外力，使其振动，并测量振动频率。
这种方法的优点是测量精度高、适用范围广，但需要专业的实验设备和技术。
方法三：有限元法有限元法是一种基于数值计算的方法，它将薄板分解成许多小单元，然后计算每一个小单元的振动状态和响应，最终得到整个薄板的振动频率。
这种方法通常需要借助计算机完成大量的计算工作，计算结果与实验结果比较相近，但需要大量的计算工作。
方法四：解析法解析法是一种基于数学理论的计算方法，它通过对薄板的动力学方程进行解析，得到薄板振动的解析表达式，从而计算出薄板的固有振动频率。
这种方法通常对薄板的几何形状和材料参数有一定的限制，但是具有计算精度高、计算速度快等优点。
总之，计算水中薄板的固有振动频率的方法有很多种，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际应用中，可以根据需要和情况选择不同的方法，以获得最好的计算结果。
数据分析是数据科学和统计学领域中的重要组成部分，可以为我们提供有关各种情况或事件的信息和见解。
在进行数据分析时，需要将数据收集、整理和归纳总结，然后进行分析并得出结论。
本文将选取某一组数据进行分析。
首先，需要明确分析的对象是什么，比如是一组公司的销售数据、学生的考试成绩等等。
实验题目悬臂梁一阶固有频率及阻尼系数测试说明：在下面的数据处理中，如11A ，11d T ，1δ，1ξ，1n T ，1n ω：表示第一次实验中第一、幅值、对应幅值时间、变化率、阻尼比、无阻尼固有频率。
第二次和和三次就是把对应的1改成2或3.由于在编缉公式时不注意２，３与平方，三次方会引起误会，请老师见谅！！Ap0308104 陈建帆 2006-7-1实验题目：悬臂梁一阶固有频率及阻尼系数测试一、 实验要求以下：1. 用振动测试的方法，识别一阻尼结构的（悬臂梁）一阶固有频率和阻尼系数；2. 了解小阻尼结构的衰减自由振动形态；3. 选择传感器，设计测试方案和数据处理方案，测出悬臂梁的一阶固有频率和阻尼根据测试曲线，读取数据，识别悬臂梁的一阶固有频率和阻尼系数。
二、实验内容识别悬臂梁的二阶固有频率和阻尼系数。
三 、测试原理概述：1，瞬态信号可以用三种方式产生，有脉冲激振，阶跃激振，快速正弦扫描激振。
2，脉冲激励 用脉冲锤敲击试件，产生近似于半正弦的脉冲信号。
信号的有效频率取决于脉冲持续时间 τ，τ越小则频率范围越大。
3. 幅值：幅值是振动强度的标志，它可以用峰值、有效值、平均值等方法来表示。
频率：不同的频率成分反映系统内不同的振源。
通过频谱分析可以确定主要频率成分及其幅值大小，可以看到共振时的频率，也就可以得到悬臂梁的固有频率 4、阻尼比的测定自由衰减法 : 在结构被激起自由振动时，由于存在阻尼，其振幅呈指数衰减波形，可算出阻尼比。
一阶固有频率和阻尼比的理论计算如下：113344423.515(1)2=210;70;4;285;7800;,1212,, Ix= 11.43 cm Iy= 0.04 cm 0.004 2.810,,1x y y f kg E pa b mm h mm L mm mab a bI I I m m E L πρρ-----------⨯======⨯=⨯固x y ＝式惯性矩：把数据代入I 后求得载面积：S ＝bh=0.07m 把S 和I 及等数据代入（）式，求得本41.65()HZ 固理悬臂梁理论固有频率f ＝阻尼比计算如下：2221111220,2,........ln ,,22;n d n n nd n d n T ii i j ji i i i j i i i j i n d i jn d n d d d d x dx c kx dt dtc e A A A A A T A T T ξωξωωξωωωξωωηηδξωωωωωπδπξ++-++++++++=++===≈==⨯⨯⨯==≈2二阶系统的特征方程为S 微分方程：m 很少时，可以把。
固体固有频率计算公式固体的固有频率是指固体在没有受到外界激励时自然振动的频率。
固有频率是固体的固有特性，与固体的物理参数有关，可以通过计算公式进行估算。
固体的固有频率计算公式为：f = (1/2π) * √(k/m)其中，f表示固体的固有频率，k表示固体的弹性系数，m表示固体的质量。
固体的固有频率与固体的弹性系数和质量有关。
弹性系数是描述固体弹性性质的参数，质量则是固体的质量。
固体的弹性系数和质量越大，固体的固有频率也就越高。
固体的固有频率与固体的物理形状和结构也有关。
不同形状和结构的固体具有不同的固有频率。
例如，长条形固体的固有频率比块状固体的固有频率要高。
固体的固有频率对于固体的振动特性具有重要意义。
固体在受到外力激励时，会以其固有频率进行振动。
固体的固有频率决定了其振动的频率范围，也决定了固体的共振现象。
固体的固有频率在工程领域中有广泛的应用。
例如，在建筑结构设计中，需要考虑固体的固有频率，以避免共振现象对结构的破坏。
在机械工程中，固体的固有频率也是设计振动系统的重要参数。
固体的固有频率还与固体的温度相关。
温度的变化会导致固体的弹性系数和质量发生变化，从而影响固体的固有频率。
在高温环境下，固体的固有频率会发生变化，对于一些特殊的应用，如高温工艺中的振动控制，需要考虑固体的固有频率的变化。
固体的固有频率是固体的固有特性，可以通过计算公式进行估算。
固体的固有频率与固体的弹性系数、质量、形状和结构相关。
固体的固有频率在工程领域中有广泛的应用，对于振动系统的设计和振动控制具有重要意义。
同时，固体的固有频率还受到温度的影响，需要在特殊应用中进行考虑。
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、 问题矩形薄板的参数如下33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======⨯求矩形薄板在（1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。
薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。
为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。
设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。
图 1 薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。
为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。
根据假定（4），剪切应变分量为零。
由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为()a a a w u zx wv zy w w ∂=-∂∂=-∂=+高阶小量 (1.1)根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为222222a x a y a a xyu w z x x v w z y yu v w z y x x yεεγ∂∂==-∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂ (1.2)胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：2222222222222()()11()()111x x y y y x xy xyE Ez w wx yE Ez w w y xEz wG x yσεμεμμμσεμεμμμτγμ∂∂=+=-+--∂∂∂∂=+=-+--∂∂∂==-+∂∂ (1.3)现画薄板微元的受力图如图 2所示。
图 2所示中x xy x y yx y M M Q M M Q 、和、、和分别为OB 面、OC 面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。
弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。
M x 、M y 是由正应力σx 、 σx 引起的合力矩。
扭矩是由剪切力τxy 引起的合力矩。
图 2 薄板应力示意图p (x ,y ,t )=P (x ,y )f (t )为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z 轴方向。
应用动静法计算时，沿z 轴负方向有一虚加惯性力22wh dxdy tρ∂∂，根据0z F =∑，0y M =∑，0y M =∑则有220(,)()0zy xx x y y FQ Q Q dy dydx Q dy Q dx dydx Q dx xywP x y f t dydx h dydx tρ=∂∂+-++-∂∂∂+-=∂∑ (1.4)整理后，可得22(,)()y x Q Q wP x t f t h x y tρ∂∂∂++=∂∂∂(1.5)1()()2()00()()11()022xyy y y y y xyxy xy y yx x x yx yx x x x MM Q M dx M dx dydx Q dx dy Q dx dydx y y M M dy M dy dydx x M M MxM dy dxdy M dy M dx dxdy M dx x y Q Q dy dxdy dx Q dy dx x =∂∂-++⋅+∂∂∂-+=∂=∂∂+-++-∂∂∂-+⋅-⋅=∂∑∑ (1.6)整理得到xyxyy yxx M M Q x y M M Q x y∂∂+=∂∂∂∂+=∂∂ (1.7)由弯矩的计算公式222222hh x x h h y y h h xy yx xy M zdzM zdz M M zdzσστ---====⎰⎰⎰ (1.8)将式(1.2)代入式(1.8)，积分后得222222222()()(1)x y xy w wM D x yw wM D y x wM D x yμμμ∂∂=-+∂∂∂∂=-+∂∂∂=--∂∂(1.9)再将式(1.9)代入式(1.5)，即可得到薄板微元的运动微分方程为4442422422(,)()w w w wD h P x y f t xx y y t ρ⎡⎤∂∂∂∂+++=⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦(1.10)这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。
其中3212(1)Et D v =- 为薄板的抗弯刚度。
3、 矩形板横向振动微分方程的解矩形板的横向自由振动的微分方程为44424224220w w w wD h xx y y t ρ⎡⎤∂∂∂∂+++=⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦(1.11)或写成2420wD w m t∂∇+=∂(1.12)其中m h ρ=设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式： (,,)(,)cos w x y t W x y t ω=(1.13)将式(1.13)代入式(1.12)）可得 440W k W ∇-=(1.14)42h k Dρω=(1.15)再根据板的边界条件来求解固有频率，式(1.14)可用分离变量法来求解。
假定解具有如下形式：(,)()()W x y X x Y y =将上式代入式(1.14)中，可得422444224()()()()()2()()()0X x X x Y y Y y Y y X x k X x Y y x x y y∂∂∂∂++-=∂∂∂∂ (1.16)上式可改写为422444224()()20X x X Y Y k X Y X x x y y ∂∂∂∂-++=∂∂∂∂ (1.17)422444224()()20Y x X Y X k Y X Y y x y x∂∂∂∂-++=∂∂∂∂ (1.18)现讨论式(1.17)中，首先要满足边界条件，设444222()()X x X x X x X xαβ∂=∂∂=-∂ (1.19)根据上两式，有4244()X x X X xββ∂''=-=∂ (1.20)则44αβ=，故有444222()()X x X xX x X xββ∂=∂∂=-∂ (1.21)将上两式(1.21)代入式(1.19)第一式中，可写为 2444224()20Y Yk XY X X x yββ∂∂--⋅+=∂∂(1.22)即有42244422()0Y Y k Y y xββ∂∂-⋅+-=∂∂ (1.23)于是变量得到了分离，要满足式(1.14)的三角函数为sin ()cos xX x x ββ⎧=⎨⎩ (1.24)类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为 sin ()cos yY y y αα⎧=⎨⎩(1.25)现设x 方向板的长度为a ，y 方向板的长度为b ，且当x =0和x=a 边为简支，则满足此边界的条件/m a βπ=，故式(1.24)可写为()sin,0<<,m=1,2m xX x x a aπ= (1.26)令 (,)(y)sinm m m xW x y Y aπ=(1.27)代入式(1.14)有424()sin -2()sin +sin -k sin 0m m m m m m x m m x m x m xY Y Y Y a a a a a aππππππ'''''= (1.28)即为242 -2() -k -()0mm m m m Y Y Y a a ππ⎡⎤'''''=⎢⎥⎣⎦(1.29)上式的解为 11213242(y)=C ch(y)+C sh(y)+C cos(y)+C sin(y)m m m m m m m m m Y λλλλ(1.30)式中22212222(),()m mm k a m k a πλπλ=+=-再由y =0及y =b 的边界条件，由式(1.30)可求得im C (i =1,2,34)的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程式，从而求出固有频率。
四边简支矩形薄板的自由振动边界条件为2200222200220,()()00,()()0x x a x x a x x a x x a W WW W x xW WW W x x========∂∂====∂∂∂∂====∂∂ (1.31) 设()11,sin sin mn m n m x n yW x y A a b ππ∞∞===∑∑则满足边界条件。
将上式代入方程(1.14)，得 222411sin sin 0mn m n m n m x n x A k a b a b ππππ∞∞==⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+-=⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑∑将上式两边乘以 sin sin i x j ydxdy a bππ并对整个面积进行积分得到： 2224m n k a b ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦则得固有频率为222mn m n a b ππω⎤⎛⎫⎛⎫==+⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎦(1.32)因此可得，四边简支矩形薄板在自由振动时的挠度函数为11(,,)sinsin cos mn mn m n m x n x w x y t A t a bππω∞∞===∑∑ (1.33)将上述结果用MATLAB 求出：表格 1 简支的固有频率计算结果图 3 简支的模态Abaqus 的计算结果：表格 2 简支薄板各阶振型abaqus实体单元有限元仿真结果实体有限元模态频率D11 1395123135. D12D21 33610.D1339451D2245169.D1459868.4、固支边界条件振动微分方程的解 四边固支矩形薄板的自由振动边界条件为00000,()()00,()()0x x a x x a y y a y y a W WW W x xW W W W y y========∂∂====∂∂∂∂====∂∂(1.34)4.1 正弦函数平方的逼近根据简支的启发，正弦函数的平方满足边界条件。
所以设其(,)W x y 是如下形式：()2211,sin sin mn m n m x n yW x y A a bππ∞∞===∑∑ (1.35)将上式带入方程(1.14)，整理可得()4244442222444221142222cos cos cos cos sin sin 0mn m n n y m x n y m x a n b m b m a n a b b a b a n y m x k b A a πππππππ∞∞==⎡⎛⎫-+-++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦=∑∑(1.36)根据伽辽金法 两边乘以 sinsin i x j ydxdy a bππ并在整个区域内积分可得到 ()4422224444441632309b m a b m n a n k a bπ++-=2ω=(1.37)频率计算结果如表格 3，振型计算结果如图 4表格 3频率计算结果图 4 用sin 2x 作为试函数求解的模态用abaqus 有限元模拟上述结果对比，采用四边固支，固支单条边，网格为5层。
