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高中数学竞赛讲座11数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。
条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。
谁放入了最后一枚硬币谁获胜。
问：先放的人有没有必定取胜的策略？2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。
这时，图中共有1997条互不重叠的线段。
问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。
现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。
问：这个学生的编号是几号？4．在6×6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。
然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。
那么，总共至少要涂红多少小方格？二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。
极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。
5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？6．有n名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。
吉林大学研究生公共数学课程教学大纲课程编号：课程名称：现代数值计算方法课程英文名称：Modern numerical method学时/学分：64/3（硕士）/32/2（博士）课程类别：研究生公共课程课程性质：必修课适用专业：理、工、经、管等专业开课学期：第Ⅰ或第Ⅱ学期考核方式：考试（闭卷）执笔人：李永海制定日期：2019年5月吉林大学研究生公共数学课程教学大纲课程编号：课程名称：现代数值计算方法课程英文名称：Modern numerical method学时/学分：64/3（硕士）/32/2（博士）课程类别：研究生教育课程课程性质：必修课适用专业：理、工、经、管等专业开课学期：第Ⅰ或第Ⅱ学期考核方式：考试（闭卷）一、本课程的性质、目的和任务本课程属于非数学类研究生数学公共基础课程之一，数值计算方法作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如力学、电磁学、化学、生物、系统工程等学科都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为数值计算方法的应用开辟了更广阔的前景。
因此，学习和掌握现代数值计算方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解现代数值计算方法的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握现代数值计算方法在物理、电子、化学、生物、工程等领域的许多应用。
二、本课程教学基本要求1. 线性代数方程组直接法理解线性代数方程组直接法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组直接法的求解步骤。
2. 线性代数方程组迭代法理解线性代数方程组迭代法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组迭代法的求解步骤。
3. 矩阵特征值与特征向量计算理解乘幂法和反幂法算法原理，了解实对称矩阵的Jacobi方法；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般矩阵特征值与特征向量计算。
分析数据的方法数据分析是现代社会中非常重要的一项工作，它可以帮助我们更好地理解和利用各种数据，从而做出更明智的决策。
在进行数据分析时，我们需要掌握一些有效的方法和技巧，下面将介绍几种常用的数据分析方法。
首先，我们可以使用描述性统计分析方法来对数据进行描述和总结。
描述性统计分析可以帮助我们了解数据的分布情况、中心趋势和离散程度，常用的描述性统计指标包括均值、中位数、标准差、最大最小值等。
通过描述性统计分析，我们可以对数据的基本特征有一个直观的认识，为进一步分析奠定基础。
其次，我们可以使用相关性分析方法来研究不同变量之间的关系。
相关性分析可以帮助我们了解变量之间的相关程度和相关方向，常用的相关性分析方法包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数等。
通过相关性分析，我们可以发现变量之间的潜在关联，为后续的建模和预测提供依据。
另外，回归分析是一种常用的数据分析方法，它可以帮助我们探究自变量和因变量之间的函数关系。
回归分析可以帮助我们预测因变量的取值，并研究自变量对因变量的影响程度，常用的回归分析方法包括线性回归、逻辑回归等。
通过回归分析，我们可以建立模型来解释和预测数据，为决策提供支持。
此外，聚类分析是一种用于发现数据内在结构的方法，它可以帮助我们将数据划分为不同的类别或簇。
聚类分析可以帮助我们发现数据中的隐藏模式和规律，常用的聚类分析方法包括K均值聚类、层次聚类等。
通过聚类分析，我们可以将数据进行分类，为个性化推荐、市场细分等提供支持。
最后，我们还可以使用时间序列分析方法来研究时间序列数据的规律和趋势。
时间序列分析可以帮助我们预测未来的趋势和变化，常用的时间序列分析方法包括移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型等。
通过时间序列分析，我们可以发现数据中的周期性、趋势性等规律，为未来的规划和决策提供支持。
综上所述，数据分析是一项复杂而又重要的工作，我们需要掌握多种数据分析方法来应对不同的情况。
希望以上介绍的几种数据分析方法能够为大家在实际工作中提供一些帮助，也希望大家在数据分析过程中能够灵活运用这些方法，发现数据中的价值和规律。
数学的“梯子”--数学方法选讲同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
第一讲从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
【例题】1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。
条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。
谁放入了最后一枚硬币谁获胜。
问：先放的人有没有必定取胜的策略？2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。
这时，图中共有1997条互不重叠的线段。
问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。
现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。
问：这个学生的编号是几号？4．在6×6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。
然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。
那么，总共至少要涂红多少小方格？【练习】1.方程x1+x2+x3+…+x n-1+x n=x1x2x3…x n-1x n一定有一个自然数解吗？为什么？2.连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。
从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？3.给出一个自然数n，n的约数的个数用一个记号A（n）来表示。
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、课程介绍1.课程描述：本课程介绍数值求解偏微分方程的基本方法及相关的理论基础。
本课程针对数学类专业高年级（三年级）本科生开设。
课程基本内容包括：有限差分方法、差分格式的稳定性、收敛性分析；变分原理，Galerkin有限元方法等。
通过对模型问题的基本数值方法进行分析，阐明构造数值方法的基本思想和技巧。
通过本课程学习，使学生了解并掌握数值求解偏微分方程的基本思想、基本概念和基本理论（数值格式的相容性、稳定性、收敛性及误差估计等），能够运用算法语言对所学数值方法编制程序在计算机上运行实施并对数值结果进行分析。
培养学生理论联系实际，解决实际问题的能力和兴趣。
2.设计思路：偏微分方程是应用数学的核心内容，在其他科学、技术领域具有广泛深入的应用。
掌握偏微分方程的基础理论及求解方法是数学类专业本科生培养的基本要求。
本课程是在数学物理方程课程基础上开设的延展应用型课程，是一门数值分析理论与实践应用高度融合的专业课。
课程引导学生通过数值方法探讨和理解应用数学工具解决实际- 6 -问题的途径及理论分析框架。
学习本课程需要学生掌握了“数学分析”、“数学物理方程”、“数值分析”及“泛函分析”的核心基本内容。
课程内容安排分为有限差分方法和有限元方法两个单元模块，这是目前应用最广泛、理论发展最完善的两类数值方法，两者既有关联又有本质区别，能够体现偏微分方程数值解法的基本特征。
首先介绍有限差分方法。
有限差分方法是近似求解偏微分方程的应用最广泛的数值方法，以对连续的“导数（微分）”进行离散的“差分”近似为基本出发点，利用Fourier 分析及数值分析的基本理论，讨论椭圆、抛物、双曲等三类典型偏微分方程近似求解方法及近似方法的数学理论分析。
有限元方法是20世纪中期发展起来的基于变分原理的数值方法，具有更直接的物理背景含义，因而受到力学、工程等应用领域广泛的关注和应用。
中国海洋大学本科生课程大纲
课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修
一、课程介绍
1.课程描述：
双曲守恒律方程（组）是最经典和应用最广泛的数学模型，数值方法是计算数学理论和方法课程体系的重要组成部分，现代数值方法选讲主要介绍近年来新发展的求解双曲守恒律方程（组）的数值解法，本课程针对高年级数学专业本科生学生开设，课程基本内容包括：波动方程、Burgers方程、浅水波方程组、Euler方程组、双曲守恒律系统的性质、迎风型差分格式、Godunov方法、TVD格式、本质无震荡（ENO）格式、加权本质无震荡（WENO）格式、间断有限元（DG）方法、Runge-Kutta时间积分格式等。
通过课程学习，要求学生掌握若干现代数值方法的基本理论和算法，能够借助Matlab、Fortran或C等编程语言对Euler方程等常见双曲守恒律方程（组）进行数值求解。
微分方程数值解法的研究近年来发展迅速，新方法、新思想和新理论不断出现，实际讲授时可根据具体情况适当增补前沿进展。
2.设计思路：
本课程引导高年级数学专业学生通过数值方法探讨和理解由实际问题所驱动的计算数学在理论和数值两方面的发展途径。
课程内容的选取基于学生掌握了数值分析、偏微分方程数值解法和数学实验的基本内容。
课程内容包括三个模块：双曲守恒律方
程（组）的基本概念、双曲守恒律方程（组）的性质及其相关的数值方法；这三方面相互关联，能够体现现代数值方法的基本特征。
双曲守恒律方程（组）的概念是现代数值方法选讲的基础部分，主要介绍守恒律方程（组）的推导过程及其积微分形式、激波的形成和波速、标量守恒律方程及其弱解、熵条件和熵函数、线性和非线性双曲守恒系统。
双曲守恒律方程（组）的性质是现代数值方法选讲的重要内容，为设计相关的数值方法奠定理论基础，主要介绍双曲守恒系统的特征映射、Riemann问题及其精确解和近似解（稀疏波、接触间断、激波等）、CFL稳定性条件。
双曲守恒律方程（组）的数值方法是现代数值方法选讲的核心内容，课程将以实际问题为引导，强调构建数值方法的基本思想和推导过程，探讨数值方法的原理（减少数值震荡的原理）；同时给出求解双曲守恒律方程（组）经典问题的数值方法的应用案例。
主要介绍非线性问题的守恒型方法、Godunov方法、Riemann求解器、TVD格式、高精度高分辨率方法（ENO格式、WENO格式和DG方法）。
3. 课程与其他课程的关系：
先修课程：数值分析、偏微分方程数值解法、数值代数、数学实验基础；
并行课程：数学实验、海洋环境中的数学模型等；
后置课程：计算流体力学。
二、课程目标
本课程目标是为高年级数学专业本科学生提供一个计算数学的应用窗口，引导学生结合双曲守恒律方程的特征性质和差分方法的基本思想去构造守恒型差分格式,进而导出典型差分格式和DG方法。
通过数值方法编程实践训练、开展对实际问题的小组研讨（包括问题提出、模型建立、空间和时间离散、结果分析等）并提交研究报告，培养学生利用数值方法解决实际问题的能力、创新能力和团队合作意识。
课程结束时，学生具备如下知识和技能：
（1）掌握双曲守恒律方程的推导过程及熵条件，理解激波形成的原因和衍化过程。
（2）掌握双曲守恒系统的特征映射、Riemann问题的精确解和近似解（稀疏波、接触间断、激波等）及构建双曲守恒系统守恒型差分格式和DG方法的基本思路，了解数值格式稳定性、收敛性及其理论分析过程。
对小规模标量方程差分格式能给出书面推导过程。
（3）掌握至少一种科学计算语言（Matlab、Fortran或C等），利用现代数值方法对双曲守恒律方程的经典实际问题进行数值模拟，具备基本的算法语言编程能力。
（4）理解数值方法在处理实际问题时所遵循的基本理念，初步具备通过口头或书面形式提供研究报告的能力。
三、学习要求
完成课程任务，要求学生做到：
（1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试。
本课程包含较多的随堂练习、讨论、小组作业展示等课堂活动，课堂表现和出勤率是成绩考核的组成部分。
（2）按时完成常规练习作业。
这些作业要求学生书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程的内容。
延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。
（3）完成教师布置的一定量的阅读文献和背景资料、理论探讨和编程算法等作业。
这些作业能加深对课程内容的理解、促进同学间相互学习、引导对某些问题和理论的更深入探讨。
四、进度安排
五、参考教材与主要参考书
1、选用教材：
《守恒律数值方法》， Lectures in Mathematics，世界图书出版公司，2010年9
月出版。
2、主要参考书：
[1]《计算流体力学入门》英文书名：Computational Fluid Dynamics-The basics With Applications, (John D. Anderson, JR 著)，姚朝晖周强编译，清华大学出版社，2010年12月出版。
[2]《偏微分方程的数值方法》(英文版),英文书名: Numerical Partial Differential Equations Finite Difference Methods, (J.W. Thomas)著, 世界图书出版公司，1997年9月出版。
六、成绩评定
（一）考核方式C：A.闭卷考试 B.开卷考试 C.论文 D.考查 E.其他
（二）成绩综合评分体系：
附：作业、平时表现、论文评分标准
1）作业的评分标准
2）课堂讨论、小组作业、附加作业评分标准
3）论文评分标准：
七、学术诚信
学习成果不能造假，如考试作弊、盗取他人学习成果、一份报告用于不同的课程等，均属造假行为。
他人的想法、说法和意见如不注明出处按盗用论处。
本课程如有发现上述不良行为，将按学校有关规定取消本课程的学习成绩。
八、大纲审核
教学院长：院学术委员会签章：。
