等差数列前n项和1导学案(公开课)

探究点二公式应用
2.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
3.等差数列 中，已知 ， ， ，求n.
4.等差数列{ }中， ＝－15，公差d＝3，求 .
5.已知 等差数列 中， ， ，求 和 。
6.已知等差数列 中， ， ，求公差 。
7.已知等差数列 中， ， ，求公差 和 。
8.已知等差 数列 中， ，求 。
归纳总结
知识
网络
巩固
训练
1.在等差数列 中， ，那么 （）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2.在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.
A．5880B．5684C．4877D．4566
3.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4.在等差数列 中， ， ，则 .
5.在等差数列 中， ， ，则 .
6.下列数列是等差数列的是（）.
A. B. C. D.
7.等差数列{ }中，已知 ，那么 （）.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
8.等差数列{ }的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）.
一般地，称为数列 的前n项的和，用 表示，即
=
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 的前n项和 .
⑴
⑵ .
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

等差数列及其前n项和考纲要求1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.了解等差数列与一次函数的关系.考情分析1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点．2.归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点．3.题型以选择题、填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.教学过程基础梳理一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为(n∈N*，d为常数)．2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是，其中A 叫做a，b的．二、等差数列的有关公式1．通项公式：an＝.2．前n项和公式：Sn＝＝ . 三、等差数列的性质1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则.2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差列，公差为.3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，¡仍为等差数列，公差为.4．等差数列的增减性：d>0时为数列，且a1<0时前n项和Sn有最值．d<0时为数列，且当a1>0时前n项和Sn有最值．5．等差数列{a n}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成S n＝An2＋Bn，则A＝，B＝，当d≠0时它表示函数，数列{a n}的前n项和S n＝An2＋Bn是{a n}成等差数列的 条件．双基自测1．(2011·重庆高考)在等差数列{an }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( )A ．12B ．14C ．16D ．182．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝( )A.32B.12C ．－32D ．－123．(教材习题改编)已知数列{an }，其通项公式为an ＝3n －17，则其前n 项和Sn 取得最小值时n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．74．(2011·湖南高考)设Sn 是等差数列{an }(n ∈N*)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝______.5．(2011·辽宁高考)Sn 为等差数列{an }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.典例分析考点一、等差数列的判断与证明[例1] (2011·北京宣武一模)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1)在直线y＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上．(1)求证：数列{Sn n }是等差数列；(2)求S n .变式1本例条件不变，若数列{bn }满足bn ＝an ·an2，{bn }的通项公式．变式2．(2012·银川模拟)数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，2a n ＝1a n ＋1＋1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则其通项公式为a n ＝________.1.证明{a n }为等差数列的方法①用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； ②用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； ③通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列；2.用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a 1+n -a n ＝d 和aa n n 1--＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义. 考点二、等差数列的基本运算[例2] (2011·福建高考)已知等差数列{an }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{an }的通项公式；(2)若数列{an }的前k 项和Sk ＝－35，求k 的值．变式2．(2012·北京西城区期末)设{an }是等差数列，若a 2＝ 4，a 5＝7，则数列{an }的前10项和为( )A ．12B ．60C ．75D ．1201．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ， 知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 考点三、等差数列的性质 [例3] (2011·重庆高考)在等差数列{an }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.[例4](2010·全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于()A．14 B．21C．28 D．35变式3．(2012·无锡联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.变式4．(2012·遵义模拟)已知数列{an}是等差数列．前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，则n＝________.1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，①S n＝a n＋a n－1＋…＋a1，②①＋②得：S n＝n a1＋a n2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．本节检测1．(2011·江西高考){a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝() A．18B．20C．22 D．242．已知数列{a n}中，a3＝2，a7＝1，若{1a n＋1}为等差数列，则a11＝()A．0 B.1 2C.23D．23．若{a n}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为()A．－2 B．－3C．－4 D．－65．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且S10>0，S11<0，若S n≤S k对n∈N*恒成立，则正整数k的取值为()A．5 B．6 C．4 D．76．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝________.7．设等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，若对任意自然数n都有S nT n＝2n－34n－3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为__________．自我反思。

《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式及其推导方法。

2、能够熟练运用等差数列前 n 项和公式解决相关问题。

3、体会等差数列前 n 项和公式的应用价值，提高数学思维能力。

二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。

（2）利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题。

2、难点（1）等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想方法的理解。

（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式进行变形和求解。

三、知识回顾1、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

2、等差数列的通项公式：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）（＼（a_1\）为首项，＼（n\）为项数，＼（d\）为公差）四、引入新课在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：一个等差数列的各项之和是多少？例如，一堆按等差数列排列的钢管，如何快速计算它们的总数？这就涉及到等差数列的前 n 项和。

五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\），则\（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋a_n\）①我们将上式倒过来写可得：＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2}＋＼cdots ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋（a_3 ＋ a_{n 2}）＋＼cdots ＋（a_n ＋ a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝＼frac{n2a_1 ＋（n 1)d}｛2}＼）方法二：通项公式法由等差数列的通项公式\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）可得：＼＼begin{align}S_n&＝a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d\＼＆＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼六、等差数列前 n 项和公式的应用1、已知\（a_1\），＼（d\），＼（n\），求\（S_n\）例 1：在等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 2\），＼（d ＝3\），＼（n ＝ 10\），求\（S_{10}＼）。

几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。