等差数列前n项和1-导学案(公开课)

公 开 课：2.2 等差数列的前n 项和（1）授课班级：高一（1）班 教师ZNB教学目的：1．掌握等差数列前n 项和公式的推导过程．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题.教学重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：无教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +，d 为公差）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=3．等差中项：a,A,b 成等差数列,则A 叫a 与b 的等差中项（b a A +=2）5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )二、讲解新课：[创设情景]等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。

在 200 多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演 了迅速求出等差数列这么一出好戏。

那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+…… +100=？当时，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确 答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，…，n ，…前100 项的和的问题。

今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和！[探索研究]我们先来看看人们由高斯求前 100个正整数的方法得到了哪些启发。

人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算 1，2，3，…，n ，…的前 n 项的和：由 1 + 2 + …+ n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知2)1(321n n n +=++++上面这种加法叫“倒序相加法”1、数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .2．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += 证明：n n n a a a a a S +++++=-1321 ①1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②① +②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=下面我们来做几道练习题在已知等差数列{}n a 中，求数列的前n 项和n S （1）,8,18,481=-=-=n a a (2) 10,3,51===n d a .分析：（1）直接用公式即可，（2）需要通过利用等差数列的性质来求出n a 然后再用公式，从而引出等差数列前n 项和的另一公式。

§2.3等差数列的前n 项和导学案（第一课时）教学目标知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.重点：等差数列前n 项和公式及其应用.难点：等差数列前n 项和公式的推导思路的获得.复习回顾1.等差数列}{n a 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q 为常数)则有： ； 一般地，1n a a += = ......问题一：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。

这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？问题二：?n 321S n =+⋯+++=（小组讨论，总结方法）高斯算法：倒序相加法：探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，如何计算前n 项和n S ？新知：等差数列前n 项和公式：公式一：公式二：1. 应用公式(知三求二)例1.已知等差数列}{n a 中，（1）751=a ，1057=a , 求7S ；（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；（3）255=S ，10010=S ，求1a 及d 。

解：（1） （2）（3）例2. 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。

据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。

为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。

那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？。

《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式及其推导方法。

2、能够熟练运用等差数列前 n 项和公式解决相关问题。

3、体会等差数列前 n 项和公式的应用价值，提高数学思维能力。

二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。

（2）利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题。

2、难点（1）等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想方法的理解。

（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式进行变形和求解。

三、知识回顾1、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

2、等差数列的通项公式：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）（＼（a_1\）为首项，＼（n\）为项数，＼（d\）为公差）四、引入新课在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：一个等差数列的各项之和是多少？例如，一堆按等差数列排列的钢管，如何快速计算它们的总数？这就涉及到等差数列的前 n 项和。

五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\），则\（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋a_n\）①我们将上式倒过来写可得：＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2}＋＼cdots ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋（a_3 ＋ a_{n 2}）＋＼cdots ＋（a_n ＋ a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝＼frac{n2a_1 ＋（n 1)d}｛2}＼）方法二：通项公式法由等差数列的通项公式\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）可得：＼＼begin{align}S_n&＝a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d\＼＆＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼六、等差数列前 n 项和公式的应用1、已知\（a_1\），＼（d\），＼（n\），求\（S_n\）例 1：在等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 2\），＼（d ＝3\），＼（n ＝ 10\），求\（S_{10}＼）。

《等差数列的前n项和》导学案（一）1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；2、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。

重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

（1）阅读教材42---44页，回答预习案中的问题，并完成预习自测.（2）将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.我的疑惑：复习旧知1、等差数列的定义：2、数学表达形式：3、等差数列的通项公式：（1）（2）4、等差数列的性质：二、感受新知1、上下求索路思考：如何计算1+2+3…+100的值？小组合作交流问题（1）：如何计算1+2+3+…+n的值？问题（2）：如何推导等差数列的前n项和公式？2、知识直通车（1）数列的前n项和定义：（2）等差数列的前n项和公式：公式1：公式2：3、实践训练营例1 求等差数列22,24,26,…前30项的和。

例2、已知一等差数列有12项，小试牛刀.,412112Saa求=+（1）已知一等差数列 ，（ ）A.45B.60C.90D.120（2）已知一等差数列 ， ( )A.-11B.-22C.0D.224、温馨回眸情（1）本节课学到了哪些知识？（2）你觉得本节课的难点是什么？5、课后作业必做题：教材 46页 习题2.3 A 组1题和2题 选做题：教材 46页 习题2.3 B 组1题6、拓展应用探究：等差数列前n 项和 与二次函数的关系==95,10s a 则=-=++11963s ,6则a a a n s一般地，如果一个数列 的前n 项 其中p,q,r 为常数，其中 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？7、课后反思 {}n ar qn n n ++=2p s 0p ≠。

§2.2.2等差数列的前n项和导学案（第一课时）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.重点：等差数列前n项和公式及其应用.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得.问题一：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？23S？=1001+=+++n问题二：?101321S n =+⋯+++=（还可以用高斯的方法吗？）问题三：?321S n =+⋯+++=n问题四：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，计算前n 项和n S ？ n n a a a a S ++++= 321新知：等差数列前n 项和公式：公式一：公式二：问题四 ：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题二，你能给出它们的几何解释吗？公式1 公式21. 应用公式(知三求一)例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an ｝的Sn ：（1）10,95,51===n a a n（2）50,2,1001=-==n d a解：（1） （2）（课后练习）已知等差数列}{n a 中，（1）751=a ，1057=a , 求7S ；（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；解：（1） （2）例2. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .求n S2.变用公式例3.在等差数列{}n a 中，若,74=a 求7S .归纳：______7=S ______9=S ______13=S结论：__________)(=为奇数n S n1、在等差数列{}n a 中，若,255=S 求_____3=a .2、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n ＋13n ＋1，则a 4b 4＝________.思考：______4=S ______6=S ______10=S归纳：__________)(=为偶数n S n1.课后作业：☆【必做】教材P41 A 组T1、T2 【选作】B 组 T4☆到网上查找有关数学家高斯的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？☆到网上查找等差数列前n 项和公式的应用，“发现”生活中的数学。

等差数列的前n项和公开课教案等差数列的前n项和一．教学目标：（1）把握等差数列前n项和公式的推导和应用；（2）体味方程、函数和数形结合的数学思想；（3）进展同学数学抽象、规律推理和数学建模等学科核心素质；（4）感触数学文化，品尝数学魅力.二．教学重点：等差数列前n项和公式的推导及应用教学难点：等差数列前n项和公式的推导三．教学过程：（一）公式探索公元前4世纪，古希腊毕达哥拉斯学派数学家常用小石子在沙滩上摆成各种外形来讨论各种有形数。

比如：三角形数：1，3，6，10，......1 3 6 10 ......问题1：三角形数的第100个数是？【同学活动】分组研究，展示成绩问题2：三角形数的第n个数是？【同学活动】分组研究，展示不同办法，在比较争辩中感悟倒序相加的优势追问1：为什么要对和式配对？追问2：为什么要倒序相加？追问3：能再举出一个可以用倒序相加法求和的数列吗？追问4：全部等差数列都可以用倒序相加法求和吗？【同学活动】回答问题，互相补充小结：我们借助“倒序相加”这一手段，将和式转化为n个相同数求和的问题，实现了化多为少的目的，而终于这一目的可以达到的根本缘由是：等差数列自身的性质。

（二）公式应用问题3：在等差数列{}n a 中，（1）1503,101a a ==，求50S ；（2）113,2a d ==，求10.S 由（2）推导公式：1(1)2n n n d S na -=+.问题4：在等差数列{}n a 中，已知1315,,222n n d a S ===-，求1a 及n .（三）感悟提升问题5：回顾刚刚的探索过程，我们有什么收获？【同学活动】绽开研究，总结收获1. 数学学问：（1）1()2n n a a S +=（2）1(1)2n n n d S na -=+2. 数学办法：倒序相加（除了可以对等差数列求和还可以对哪些数列求和？）3. 数学思想：数形结合，方程思想，函数思想4. 数学文化：北宋时期的沈括提出了隙积术，南宋时期的杨辉发明白垛积术；《九章算术》、《张丘建算经》等我国经典数学著作中都讨论过等差数列的求和问题。

等差数列前n项和教案（共5篇）第一篇：等差数列前n项和教案等差数列前n项和(第一课时）教案【课题】等差数列前n项和第一课时【教学内容】等差数列前n项和的公式推导和练习【教学目的】（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；（2）掌握等差数列的前项和公式；（3）能运用公式解决一些简单问题【教学方法】启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】等差数列前项和公式及其应用。

【难点】等差数列前项和公式的推导思路的获得【教具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sna1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27+…+624=？3..合作互学（小组讨论，总结方法）问题二：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?倒序相加法探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？n(a1 + a n)=2Sn公式记忆——类比梯形面积公式记忆n（a1 + a n)=2S 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？展示激学应用公式例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。

第1课时 等差数列的前n 项和1.数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地，我们称□01a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用□02S n 表示，即S n ＝□03a 1＋a 2＋…＋a n . 2．等差数列{a n }的前n 项和设等差数列{a n }的公差是d ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝□04na 1＋n (n －1)2d . 3．前n 项和S n 与通项a n 的关系a n 与S n 的关系式为□05a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)知道等差数列的首项、公差与前n 项和可求项数n .( ) (2)对于数列{a n }，一定有关系式a n ＝S n －S n －1.( )(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }是等差数列．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× 2．做一做(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 3＋a 4＋a 5＝________. (2)等差数列{a n }中，a 1＝6，a 12＝－16，则S 12＝______. (3)等差数列{a n }中，a 1＝2，公差d ＝2，则S 10＝______.(4)(教材改编P 45T 2)已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________.答案 (1)21 (2)－60 (3)110 (4)－5n 2＋n2探究1 等差数列前n 项和公式的运用例1 (1)已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，求公差d ； (2)已知{a n }为等差数列，公差d ＝2，前n 项和为S n ，a n ＝11，S n ＝35，求a 1，n ；(3)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10. 解 (1)由等差数列的前n 项和公式可得 S 10＝(a 1＋a 10)×102＝5(a 1＋10)＝70，解得a 1＝4，∴d ＝a 10－a 19＝23.(2)由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a 1＋2(n －1)，35＝n (a 1＋11)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，n ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，n ＝5.(3)由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋5(5－1)2d ＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝19，a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3， 故a 10＝2＋3×(10－1)＝29.[条件探究] 本例(2)中，将“d ＝2”改为“a 1＝3”，其他条件不变，求n 和公差d .解解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝3＋(n －1)d ，35＝3n ＋n (n －1)2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，d ＝2.解法二：∵a 1＝3，a n ＝11，S n ＝35，∴35＝n (3＋11)2＝7n ，即n ＝5.又∵11＝3＋(5－1)d ，∴d ＝2. 拓展提升等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题，解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用．【跟踪训练1】 等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242.求n .解 (1)设数列{a n }的首项a 1，公差d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. ∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，a 1＝12，d ＝2， S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2.即n 2＋11n －242＝0，得n ＝11或n ＝－22(舍)． 探究2 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系例2 已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式． (1)lg (S n ＋1)＝n ＋1； (2)S n ＝2n 2－3n .解 (1)因为lg (S n ＋1)＝n ＋1. 所以S n ＋1＝10n ＋1，即S n ＝10n ＋1－1 当n ＝1时，a 1＝S 1＝102－1＝99；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n ＋1－1)－(10n －1)＝9×10n . 从而数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧99(n ＝1)，9×10n (n ≥2).(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5(n ∈N *)． 拓展提升数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错．(2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)表示．【跟踪训练2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋1，求通项公式． 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－4×1＋1＝－2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－4n ＋1)－[(n －1)2－4(n －1)＋1]＝2n －5. 又a 1≠2×1－5，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －5，n ≥2，n ∈N *.探究3 求数列{|a n |}的前n 项和例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32(n －1)2＋2052(n －1) ＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式， ∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104. 由a n ＝－3n ＋104≥0得n ≤3423， 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0. 解法一：①当n ≤34时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n . ②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×342＋2052×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3502.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34，32n 2－2052n ＋3502，n ≥35.解法二：①同解法一． ②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×342＋2052×34－ (－3n ＋104－3×35＋104)×(n －34)2＝32n 2－2052n ＋3502，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34，32n 2－2052n ＋3502，n ≥35.拓展提升对等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的技巧常先由S n 的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出a n ，解a n ≥0的n 的取值范围判断出哪些项为正，哪些项为负．(1)等差数列{a n }的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n |}就等于数列{a n }，可以直接求解．(2)若前k 项为负，从k ＋1项开始以后的项非负，则{|a n |}的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－S n ，n ≤k ，S n －2S k ，n >k .(3)若前k 项为正，以后各项非正，则 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ，n ≤k ，2S k －S n ，n >k .(4)也可以分别求出a n ≥0与a n <0的和再相减求出|a n |的和．【跟踪训练3】 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解 ∵a n ＝4n －25，∴a n ＋1＝4(n ＋1)－25，a n ＋1－a n ＝4， a 1＝4×1－25＝－21，∴数列{a n }是以－21为首项，公差为4的等差数列． 由a n ≥0，得4n －25≥0，即n ≥614，∴数列{a n }中前6项均小于零，从第7项起均大于零，∴当n ≤6时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－21n ＋n (n －1)2×4＝－2n 2＋23n . 当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 6) ＝S n －2S 6＝－21n ＋n (n －1)2×4－2×6(a 1＋a 6)2＝2n 2－23n ＋132. 故数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132(n ≥7).探究4 等差数列前n 项和公式在实际中的应用例4 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)． 即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)． 拓展提升建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．【跟踪训练4】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案 2000解析 假设开始时将树苗集中放置在第n 棵树坑旁边(其中1≤n ≤20且n ∈N *)，则20名同学往返所走的路程总和为：S ＝20＋40＋…＋[20＋20(n －2)]＋20＋40＋…＋[20＋20(20－n －1)] ＝20(n 2－21n ＋210) ＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋210－2124 因为n ∈N *且1≤n ≤20，所以当n ＝10或11时，S 取最小值，且最小值为2000米．[规律小结]1.等差数列前n 项和公式的推导：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，倒序得S n ＝a n ＋a n－1＋…＋a 2＋a 1.相加得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)．由等差数列性质，得2S n ＝n (a 1＋a n )， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2.我们不妨将上面的推导方法称为倒序求和法．今后，某些数列求和常常会用到这种方法．2.由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余的两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．3.在运用等差数列的前n 项和公式来求和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n 用公式S n ＝n (a 1＋a n )2较简便；若已知首项a 1及公差d 用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 较好．4.在运用公式S n ＝n (a 1＋a n )2求和时，要注意性质“m ，n ，p ，q ∈N*且m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ”的运用．[走出误区]易错点⊳忽视等差数列前n 项和公式的基本特征而致错[典例] 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值．[错解档案] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ， 所以a 9b 9＝52.[误区警示] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[规范解答] 解法一：因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ， b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ， 所以a 9b 9＝8841.解法二：从等差数列前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2出发求解．∵S n ＝n (a 1＋a n )2，T n ＝n (b 1＋b n )2，∴S n T n ＝a 1＋a nb 1＋b n. 令n ＝17，由等差数列的性质知， a 1＋a 17b 1＋b 17＝2a 92b 9＝a 9b 9.∴a 9b 9＝S 17T 17＝8841. [名师点津] 等差数列的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，可以看成关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S n T n ＝5n ＋32n ＋7矛盾.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 答案 C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析 由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为()A.12尺 B.815尺 C.1629尺 D.1631尺答案C解析由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝5，S30＝9×40＋30＝390，设公差为d，则30×5＋30×292d＝390，解得d＝16 29.故选C.4．若数列{a n}是等差数列，且a2＝5，a6＝37，则该数列的前10项和为________．答案330解析解法一：∵a2＝5，a6＝37，∴d＝a6－a26－2＝8.又a2＝a1＋d，∴a1＝－3，∴S10＝10×(－3)＋10×(10－1)2×8＝－30＋360＝330.解法二：∵a2＝5，a6＝37，∴d＝a6－a26－2＝8.又a 2＝a 1＋d ，∴a 1＝－3，∴a 10＝a 1＋9d ＝69，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝330. 5．在等差数列{a n }中，(1)已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d ；(2)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)∵S 8＝8a 1＋28d ＝48，S 12＝12a 1＋66d ＝168，解得a 1＝－8，d ＝4.(2)∵a 6＝10＝a 1＋5d ，S 5＝5a 1＋10d ＝5，解得d ＝3，a 1＝－5.∴a 8＝16，S 8＝44.(3)∵a 1＋a 17＝a 3＋a 15＝40，∴S 17＝17(a 1＋a 17)2＝340.A 级：基础巩固练一、选择题1．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( ) A.12 B ．2 C.14 D ．4答案 A解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋12×5×4d ，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.2．等差数列{a n }的通项公式a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66答案 D解析 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2＝(1－2)＋(1－2n )2＝－n .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项的和为－(1＋2＋3＋…＋11)＝－66. 3．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10000答案 C解析 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100(c 1＋c 100)2＝100×(40＋139)2＝8950. 4．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项答案 A解析 a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390，知n (a 1＋a n )2＝390， 所以n ×602＝390，解得n ＝13.二、填空题5．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________．答案 18解析 设第一个人分到的橘子个数为a 1，由题意得：S 5＝5a 1＋5×42×3＝60，解得a 1＝6.则a 5＝a 1＋(5－1)×3＝6＋12＝18.∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18.故为18.6．数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 3n解析 a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，当n ≥2时，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得(2n －1)·a n ＝(n －1)3n ＋1－(n －2)3n ，即(2n －1)·a n ＝(2n －1)3n ，当n ＝1时，a 1＝3，符合上式，∴a n ＝3n .7．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________. 答案 66解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋2＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5，所以前两项是负数，且a 2＝－1.故|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝S 10＋2(|a 1|＋|a 2|)＝102－4×10＋2＋2×(1＋1)＝66.三、解答题8．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .即a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14×1n (n ＋1)＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).9．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017，求S 的值． 解 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x 41－x ＋2＝22＋4x. ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1. S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017，② ①＋②，得2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＝2016. ∴S ＝20162＝1008.10．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1){a n }为等差数列，∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，∵{b n}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，∴c＝－12(c＝0舍去)．经验证，b n＝2n符合题意．B级：能力提升练1．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9 B．10 C．19 D．29答案B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.当n＝19时，S19＝190；当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．2．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{a n}，求证：数列{a n}是等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{b n}，求数列{b n}的前n项和S n.解(1)证明：由题意，得a n＝8－2n.∵a n＋1－a n＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，∴数列{a n}为等差数列．(2)由题意，得b n＝|8－2n|.∵b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，∴此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起是以2为首项，2为公差的等差数列．∴当n≤4时，S n ＝6n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋7n . 当n ≥5时，S n ＝S 4＋(n －4)×2＋(n －5)(n －4)2×2 ＝12＋n 2－7n ＋12＝n 2－7n ＋24.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2＋7n (n ≤4，n ∈N *)，n 2－7n ＋24(n ≥5，n ∈N *).。

等差数列的前n 项和班级： 姓名： 小组：【教学目标】1、了解等差数列的前n 项和公式的推导过程2、掌握等差数列的前n 项和公式，并能够熟练的运用3、通过公式的推导，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的综合推理能力【研学流程】一【学】1、等差数列的前n 项和公式的推导2、等差数列前n 项和公式：()21n n a a n S += ()211d n n na S n -+= 21+=n n na S ()*∈N n 及运用 二【交】交流以下问题：1、可以用哪些方式来推导等差数列的前n 项和公式2、结合等差数列的通项公式和等差数列的前n 项和公式解决相关的问题三【展】1、等差数列的前n 项和公式课通过两种方式进行推导2、结合等差数列的通项公式和等差数列的前n 项和公式解决问题四【导】1、创设情境，引入课题200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：？=++++100321当其他同学忙于把100个数逐个相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：()()()()50505010151509839921001=⨯=++++++++2、等差数列的前n 项和公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S .n n a a a a S ++++= 321 ①121a a a a S n n n n ++++=-- ②①+②得：()()()()()n n n n n n a a n a a a a a a a a S +=++++++++=--11231212()21n n a a n S += 又因()d n a a n 11-+=，所以()[]2111d n a a n S n -++=则()211d n n na S n -+= 注：当n 为奇数时，21+=n n na S例1、已知等差数列{}n a ，首项为11=a ，公差为2=d ，求{}n a 的通项公式及前n 项和为n S .解： 在等差数列{}n a ，11=a ，2=d∴()1211-=-+=n d n a a n()()[]22121212n n n a a n S n =-+=+= 或()()2122121n n n n d n n na S n =⋅-+=-+= 例2、已知等差数列{}n a 的前10项和31010=S ，前20项和122020=S ，求{}n a 的前n 项和n S .解： 31010=S ，122020=S∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+641220190203104510111d a d a d a ∴()()n n n n n d n n na S n +=⋅-+=-+=213261421 例3、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 212+=，求{}n a 的通项公式. 解： n n S n 212+= ∴当1=n 时，2311==S a 当2≥n 时，()()21231211221+-=-+-=-n n n n S n 2121-=-=-n S S a n n n当1=n 时，231=a 满足212-=n a n ∴{}n a 的通项公式为212-=n a n 五、【用】1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S ：（1）8,18,481=-=-=n a a ；（2）32,7.0,5.141===n a d a ；2、已知数列{}n a 的前n 项和332412++=n n S n ，求这个数列的通项公式. 3、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的的有关未知数：（1）999,54,201===n n S a a ，求d 及n ；（2）629,37,31===n S n d ，求1a 及n a ； （3）5,61,651-=-==n S d a ，求n 及n a ； （4）10,15,2-===n a n d ，求1a 及n S4、已知数列{}n a 是等差数列，n S 是前n 项的和，求证：12186126,,S S S S S --也成等差数列.5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，63=a ，123=S ，求数列{}n a 的通项公式。