新人教A版必修5高中数学等差数列前n项和(2)学案

§2.3 等差数列的前n 项和材拓展1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列， ∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案 －12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析 由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n ＝－1， 易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d 2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析 设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1.∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 答案 －(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则am b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3. 答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018法突破一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下： 因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0， 所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列． 二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5.解方程组得a 1＝－5，d ＝3，∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4a (a 2－d 2)＝48，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解 由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1. 四、等差数列前n 项和的最值 方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知：当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝⎛⎭⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1. 六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．例6 下表给出一个“等差数阵”： 4 7 ( ) ( ) ( ) … a 1j … 7 12 ( ) ( ) ( ) … a 2j … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a 3j … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a 4j …… … … … … … … …a i 1 a i 2 a i 3 a i 4 a i 5 … a ij… … … … … … … … … 其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .区突破1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评等差数列的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S n T n ＝5n ＋32n ＋7矛盾)．3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ， ∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数， 而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180，解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9.题多解例 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 分析 本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100 ＝－110.故此数列的前110项之和为－110. 方法二 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )． 又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90， ∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.题赏析1．(2009·全国Ⅱ)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．(2009·江苏)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数， 所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2. 经检验，符合题意的正整数只有m ＝2. 赏析 试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。

2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质，掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法，提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究，进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效，激励学生自主探究，发现规律，感受等差数列的内在奥妙. 【重点】：等差数列的性质. 【难点】：等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有什么关系？2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题？3. 若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的________，即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？ Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念，你能写出等差数列的通项公式吗？公差对数列的增减性有何影响？2.已知等差数列的公差为d ，第m 项为m a ，第n 项为n a （n>m ）则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ，公差为d ，（1）将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（2）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（3）取出数列中所有项数是7的倍数的项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（4）数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？【预习自测】1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B 等于（ ） A ．30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列，则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D ．一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中，741a a a ++=39，33852=++a a a ，则963a a a ++等于（ ） A ．30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究 探究一：等差数列的性质问题1：如果数列{a n}是等差数列，首项为a1,公差为d，则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n，a n，则点(n,a n)在直线____________上；点(n,a n)的横坐标每增加1，函数值增加_____.问题2：等差数列的性质：已知一个等差数列{a n}，其中首项是a1，公差为d，（1）下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…（k,m∈N*）组成公差为_____的等差数列.（2）a1+a2，a3+a4,a5+a6，…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.（3）若{b n}是公差为d0的等差数列，则数列{pa n+qb n}（p，q为常数）是公差为________的等差数列.（4）若{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都_______，且等于_______________.（5）若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗？说明理由.（6）若m+n=2p，则a m+a n_____2a p，a m+a n_____a2p（填“=”或“≠”）.【归纳总结】等差数列的性质有哪些？数列{a n}为等差数列，首项是a1，公差为d.（1）d＞0,{a n}是递增数列；d＜0，{a n}是递减数列；d=0,｛a n｝是常数列.（2）a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).（3）a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.（4）a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.（5）若数列{b n}是公差为b的等差数列，p，q为常数，则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.（6）若m,n,p,q∈N*，且满足m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.探究二：等差数列性质的应用（重难点）【例1】若{a n}是等差数列，a15=8,a60=20，求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质：（1）a1+a n=a2+a n-1=….（2）m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.（3）若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列，则a m,a n,a p成等差数列.（4）a n=a m+(n-m)d.（5）若数列{a n}是等差数列，则a n=an+b（a,b为常数,n∈N*）.（6）若{a n}与{b n}均为等差数列，则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16，a4+a6=0，求{a n}的通项公式.探究三：综合应用（重难点）【例2】数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】（1）求通项公式常用的方法：①不完全归纳法；②公式法；③叠加法；④累积法.（2）判断一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法；②等差中项法；③函数法：若a n=an+b（a,b为常数）,则数列{a n}是等差数列.（3）求数列的最大（小）项常用的方法：①不等式组法；②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15 B．30 C．31 D．642.已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )A．20 B．48 C．60 D．723. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．A.a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 Ca3＋a100≤0 D．a51＝04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于( ) A．4 B．6 C．8 D．125. 在等差数列{a n}中，a18＝95，a32＝123，a n＝199，则n=________.6. 已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。

等差数列及其前n 项和 2013.10 命制人：刘晓琳1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 二、知识梳理 1．等差数列的定义如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示． 2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 3．等差中项如果A ＝ ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且*2(,,,,)k l m n t k l m n t N +=+=∈，则_________________k l a a +==。

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝ a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝ ；S 奇/S 偶= 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝ ．S 奇/S 偶= 5．等差数列的前n 项和公式S n ＝ ＝ 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最 值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最 值．1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．72．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )． A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．(2011·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( )． A ．1 B ．9 C ．10 D ．554．(2012·杭州质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )． A ．13 B ．35 C ．49 D ．635．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 6．①61451515333a a a ，求，==； ②d a 和，求＝，1128168S 48S =； ③8856510S a S a 和，求，==； ④3116S 3，求=a .四、例题精选考向一 等差数列通项公式和基本量的计算 【例1】►(2011·福建)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．一、复习要求 三、基础训练【训练1】（1)在等差数列{}n a 中，（1）已知120,54,999,n n a a s ===求d 和n ；（2）已知2,15,10,n d n a ===-求1a 和n s 。

高中数学 2.3等差数列的前n 项和(2)学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.学习重难点1.重点：数列前n 项和公式的研究应用2.难点：前 n 项和的公式n S 的最值.一、课前预习习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课探究 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 试一试例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为: n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值； 当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 模仿练习练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n ，则: S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则: 1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝. 当堂检测1. 下列数列是等差数列的是（ ）.A. 2n a n =B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 170 D. 2104. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？课后反思。

高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。

2.3 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+= 2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。

4.2.2等差数列的前n项和公式（2）
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。

数列是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。

发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。

课程目标学科素养
A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质
及应用.
B.会求等差数列前n项和的最值.
1.数学抽象：等差数列前n项和公式
2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数
3.数学运算：等差数列前n项的应用
4.数学建模：等差数列前n项的具体应用
重点：求等差数列前n项和的最值
难点：等差数列前n项和的性质及应用
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。

所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。

这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。

多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。

课题：等差数列的前n 项和教材：人教版数学必修5一、 教学目标知识目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。

能力目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题的能力。

情感目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，培养学生敢于探索、创新的学习品质。

二、教学重点、难点重点：等差数列的前n 项和公式难点：获得等差数列的前n 项和公式推导的思路三、教学方法与手段启发引导、合作学习、多媒体辅助等多种手段相结合四、教学过程1、问题呈现泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？2、探索发现1+2+3 +…+99+100=(1+100) +(2+99)+ …+(50+51)=101 ×50 = 5050问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？问题2：求1到n 的正整数之和。

123(1)n s n n =++++-+即 问题3：{}n n a n 如何求等差数列的前项和S3、公式应用例1、选用公式例2、变用公式等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？变式练习： {}120,54,999,.n n n a a a s n ===在等差数列中，求例3、知三求二{}120,37,629,.n n n a n s a a ===在等差数列中，已知d 求及4、课堂小结1()12n n n a a S +=公式 1(1)22n n n S na d -=+公式 5、作业布置必做题：课本52页，练习１、２、３；选做题：在等差数列中，512156136,;220,a a a a a +++==21611、已知求s 、已知求s教 案 说 明一、教材分析：等差数列的前n 项和是人教版数学必修5第二章的内容，是在学生学习了等差数列的概念和性质的基础上学习和研究的。

习题课 数列求和[学习目标] 1.能由简洁的递推公式求出数列的通项公式.2.把握数列求和的几种基本方法．[预习导引] 1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q1－q.2．数列{a n }的a n 与S n 的关系：数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．裂项相消求和经常用到下列拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一 分组分解求和例1 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 解 当x ≠±1时，S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ， x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n(x 2－1)＋2n ，x ≠±1.规律方法 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)． 解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a (1－a n )．∴S n ＝11－a[n －(a ＋a 2＋…＋a n )]＝11－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －a (1－a n)1－a ＝n1－a －a (1－a n )(1－a )2. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (a ＝1)，n1－a －a (1－a n )(1－a )2(a ≠1).要点二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)(－1)＝4－n . (2)由(1)，可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋(n －1)·q n －2＋n ·q n －1. ①若q ≠1，将上式两边同乘以q ，得： qS n＝1·q 1＋2·q 2＋3·q 3＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .将上面两式相减得：(q －1)S n ＝nq n－(1＋q ＋q 2＋…＋qn －1)＝nq n－q n －1q －1，于是S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.②若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2， q ＝1.nqn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.规律方法 用错位相减法求和时，应留意(1)要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”以便下一步精确 写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以争辩，一般状况下分等于1和不等于1两种状况分别求和．跟踪演练2 已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n . (2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 要点三 裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1， ∴原式＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1 ＝34－2n ＋12n (n ＋1). 规律方法 假如数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常接受裂项求和法． 跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n . 解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2nn ＋1. 要点四 奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)． 解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋ [(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1)＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n n (n ∈N *)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 当n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N *)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n (3n －2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1 (k ∈N *)． S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12 (n 为奇数)，3n 2 (n 为偶数).1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56C.16D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫15－16 ＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12nB.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2⎝⎛⎭⎫1－12n 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1， 整理可得13a n ＝－23a n －1，即a n a n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 4．奇偶并项：当数列通项中消灭(－1)n 或(－1)n ＋1时，经常需要对n 取值的奇偶性进行分类争辩． 5．倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、基础达标1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n6n ＋4 D.n ＋1n ＋2 答案 B解析 由数列通项公式，得1(3n －1)·(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， 得前n 项和S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 6n ＋4. 2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76 答案 B解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.故选B.4．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析 由已知得a 1a 2＝16 ①，a 2a 3＝162 ②，②÷①得a 3a 1＝16＝q 2，∴q ＝4.5．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n－1 D ．n ＋2＋2n答案 C 解析 S n＝(1＋1)＋(1＋2)＋(1＋22)＋(1＋23)＋…＋(1＋2n －1)＝n ＋(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝n ＋(1－2n )1－2＝n ＋2n －1，故选C.6．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________.答案2n n ＋1解析 由于数列的通项a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n .(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝(2a n ＋1)＋1a n ＋1＝2a n ＋2a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2，∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为a 1＋1＝2. (2)解 由(1)知{a n ＋1}为等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n，∴a n ＝2n －1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1) ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.二、力量提升9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n 答案 A解析 由题意设等差数列的公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________.答案 2n －12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝12(1－2n )1－2＝2n －12.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1， 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．三、探究与创新13．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，证明S n <1.(1)解 由题设11－a n ＋1－11－a n ＝1知，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11－a n 是公差为1的等差数列， 又11－a 1＝1，故11－a n＝n ， ∴a n ＝1－1n.(2)证明 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n－1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.。

明目标、知重点 1.能依据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是一固定常数；当d ≠0时，a n 的相应函数是一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中，已知a 1，d, a m, a n (m ≠n )，则d ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m ，从而有a n＝a m ＋(n －m )d .(2)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和． 即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)(3){a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列；d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．[情境导学]在等差数列{a n }中，若已知首项a 1和公差d 的值，由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可求出任意一项的值，假如已知a m 和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？本节我们连续探讨．探究点一 等差数列通项公式的推广思考1 等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 是由等差数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，那么，如何证明公式对全部正整数n 都成立？答 (1)叠加法：由等差数列的定义知： a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N *)，⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝da 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n－a n －1＝d (n －1)个 将以上(n －1)个等式两边分别相加，可得a n －a 1＝(n －1)d ，即a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)迭代法：{a n }是等差数列，则：a n ＝a n －1＋d ＝a n －2＋2d ＝a n －3＋3d ＝…＝a 1＋(n －1)d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d .思考2 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1)d ，假如已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n?答 设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1)d ， 变形得a 1＝a m －(m －1)d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .思考3 对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间有怎样的关系？为什么？答 a m ＋a n ＝a p ＋a q .由于a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1＋(n ＋m －2)d ，而a p ＋a q ＝a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d ＝2a 1＋(p ＋q －2)d ，又因m ＋n ＝p ＋q ，所以a m ＋a n ＝a p ＋a q .小结 (1)等差数列的其次通项公式：a n ＝a m ＋(n －m )d ；(2)对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q . 例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式．解 由于a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.反思与感悟 利用等差数列的其次通项公式及等差数列的性质，不难得出等差数列另外一些性质：(1){a n }为有穷等差数列，则与首末两项“等距离”的两项之和都相等，且等于首末两项之和． (2)下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)组成公差为md 的等差数列． (3)若数列{a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }，{pa n ＋qb n }(p 、q 为常数)也为等差数列．跟踪训练1 已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝______.答案 12解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.探究点二 等差数列与一次函数的关系思考 等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 整理成a n 关于n 的函数后，其相应的一次函数图象的斜率及在y 轴上的截距各是什么？答 等差数列{a n }的通项公式变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其图象为一条直线上孤立的一系列点，d 为直线的斜率，在y 轴上的截距为a 1－d .例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 为常数，那么这个数列确定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解 取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)，求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p . 它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列． 首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p .反思与感悟 推断数列{a n }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，即a n －a n －1(n >1)是不是一个与n 无关的常数；也可以利用等差中项，即若a n ＋1＝a n ＋a n ＋22成立，则说明{a n }是等差数列．跟踪训练2 已知a ，b ，c 成等差数列，证明a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )也能构成等差数列． 证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . ∴a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b ) ＝a 2b ＋a 2c ＋c 2a ＋c 2b ＝(a 2b ＋c 2b )＋(a 2c ＋c 2a ) ＝b (a 2＋c 2)＋ac (a ＋c ) ＝b (a 2＋c 2)＋2abc ＝b (a 2＋c 2＋2ac )＝b (a ＋c )2＝b ·(a ＋c )·(a ＋c ) ＝2·b 2(a ＋c )．∴a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )能构成等差数列． 探究点三 等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式． 解 由于a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， 所以a 4＝5.又由于a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9， 解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3； 若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .反思与感悟 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值． 解 方法一 ∵a 1＋a 4＋a 7＝(a 1＋a 7)＋a 4＝3a 4＝39， ∴a 4＝13，∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 2＋a 8)＋a 5＝3a 5＝33.∴a 5＝11，∴d ＝a 5－a 4＝－2. ∵a 3＋a 6＋a 9＝(a 3＋a 9)＋a 6 ＝2a 6＋a 6＝3a 6＝3(a 5＋d )＝3(11－2)＝27.方法二 ∵a 1＋a 4＋a 7＝a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d ) ＝3a 1＋9d ＝39， ∴a 1＋3d ＝13，①∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d ) ＝3a 1＋12d ＝33. ∴a 1＋4d ＝11，②由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝13，a 1＋4d ＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，a 1＝19.∴a 3＋a 6＋a 9＝(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋8d ) ＝3a 1＋15d ＝3×19＋15×(－2)＝27.例4 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解 方法一 设等差数列的中间一项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 依题意得，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24， 所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24， 化简得d 2＝16，于是d ＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二 设首项为a ，公差为d ，这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ， 依题意得，3a ＋3d ＝6且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24， 所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24， 得2(2－d )(2＋d )＝－24,4－d 2＝－12，即d 2＝16，于是d ＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.反思与感悟 当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…，a－2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可削减计算量．跟踪训练4 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数． 解 方法一 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )． 依题意得，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二 设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意得，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得(1－32d )(1＋32d )＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2. 又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， 所以d ＝2，a ＝－2. 故所求的四个数为－2,0,2,4.1．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A ．3 B ．－6 C ．4 D ．－3 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A ．32 B ．－32 C ．35 D ．－35 答案 C解析 由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35.3．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3 B ．－3 C.32 D ．－32答案 A解析 由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7，所以a 2＝15－12＝3.4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 解 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18 ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116 ②由①得a ＝6，代入②得d ＝±2. ∵该数列是递增数列， ∴d ＞0，即d ＝2. ∴这三个数依次为4,6,8. [呈重点、现规律]1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n 为公差公式，利用这个公式很简洁求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项依据原来的挨次排列，构成的新数列照旧是等差数列． 3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，特殊地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .4．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，假如条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要留意公式的变形及整体计算，以削减计算量．一、基础过关1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案 B解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.2．设公差为－2的等差数列{a n }，假如a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148 D ．－82 答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33＝－82.3．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确． na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值状况有关． 故数列{na n }不愿定递增，命题p 2不正确． 对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)， 当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a nn}递增，但d ＞a 1不愿定成立，则p 3不正确． 对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ， 则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确． 综上，正确的命题为p 1，p 4.4．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.5．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 6．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， ∴3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20.7．在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，求a m ＋n 的值． 解 方法一 设公差为d ， 则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n .所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 二、力气提升8．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．300答案 C解 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5 ＝5a 5＝450，∴a 5＝90. ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.9．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－33D ．－3 答案 D解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 10．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 答案 105解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝5(25－d 2)＝80， 又d 为正数，∴d ＝3.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3(5＋30)＝105.11．成等差数列的四个数之和为26，其次个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12．正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n .(1)数列{a n }是否为等差数列？说明理由． (2)求a n . 解 (1)∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ，∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝1，∴{a n }是等差数列，公差为1. (2)由(1)知{a n }是等差数列，且d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝n 2. 三、探究与拓展13．已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2.(1)数列{1a n }是否为等差数列？说明理由．(2)求a n .解 (1)数列{1a n }是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n＝12＋1a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12，即{1a n }是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，∴a n ＝2n .。

2.3 等差数列的前n 项和(二)自主学习知识梳理1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)， (n ≥2).2．等差数列前n 项和公式S n ＝____________＝____________.3．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组____________确定；当a 1<0，d >0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组____________确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有____________值；当d <0时，S n 有________值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．4．一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．自主探究在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最值．对点讲练知识点一 已知前n 项和S n ，求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－3n ，求通项公式a n .总结 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．变式训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求a n .知识点二等差数列前n项和最值问题例2在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．总结在等差数列中，求S n的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．变式训练2等差数列{a n}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？知识点三已知{a n}为等差数列，求{|a n|}的前n项和例3已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n.总结等差数列{a n}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．变式训练3数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0 (n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n.1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.课时作业一、选择题1．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－8，a 15＝5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 9<S 10B ．S 9＝S 10C ．S 11<S 10D ．S 11＝S 102．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．63．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) A.310 B.13 C.18 D.194．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N *)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是( )A ．S n >na 1>na nB ．S n >na n >na 1C ．na 1>S n >na nD ．na n >S n >na 15．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______．8．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.三、解答题9．已知f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(1)设f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；(2)设f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成{b n }，求{b n }的前n 项和．10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．§2.3 等差数列的前n 项和(二)知识梳理1．S 1 S n －S n －12.n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d 3．(1)最大 ⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0 最小 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0 (2)最小 最大 自主探究解 方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2. ∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值．易求S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694. ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42. 对点讲练例1 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5.又∵a 1＝－1，适合a n ＝4n －5，∴a n ＝4n －5 (n ∈N *)．变式训练1 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.因此，当b ＝－1时，a 1＝2适合a n ＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1.当b ≠－1时，a 1＝3＋b 不适合a n ＝2·3n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2). 综上可知，当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2). 例2 解 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ， 解得d ＝－2，所以S n ＝25n ＋n 2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169.方法二 先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0， 得⎩⎨⎧ n ≤1312，n ≥1212.所以当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.方法三 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14，故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0，又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0，故当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.变式训练2 解 方法一 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0， 得⎩⎨⎧ 1－110(n －1)≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1， 由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，得S n ＝⎝⎛⎭⎫－120a 1·n 2＋⎝⎛⎭⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝⎛⎭⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)， 由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小． 但n ∈N *，故n ＝10或11时S n 取得最小值．所以该数列前10项或者前11项的和最小．例3 解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧ 2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6). 变式训练3 解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n .(2)T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (8＋10－2n )2＝9n －n 2. ∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2， (n ≤5)n 2－9n ＋40， (n >5) n ∈N *. 课时作业1．B [由已知得d ＝a 15－a 215－2＝1，∴a 1＝－9， ∴a 10＝a 1＋9d ＝0，∴S 10＝S 9＋a 10＝S 9.]2．B [由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10. 由5<2k －10<8，得：7.5<k <9，∴k ＝8.]3．A [方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二 由S 3S 6＝13， 得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列， 公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3， S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.] 4．C [由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)， 解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ，∴na n ＝5n －4n 2， ∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0. S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0.∴na 1>S n >na n .]5．C [由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0.]6．2n －27．5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>….∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．8．10解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得 (a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝31n 2＝155，得n ＝10. 9．(1)证明 f (x )＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列．(2)解 b n ＝|3n －8|.当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，b 1＝5.S n ＝n (5＋8－3n )2＝13n －3n 22. 当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n －8)＝7＋(n －2)(1＋3n －8)2＝3n 2－13n ＋282. ∴S n ＝⎩⎨⎧13n －3n 22 (1≤n ≤2)，3n 2－13n ＋282 (n ≥3).10．解 (1)根据题意，有：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3. (2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。

2.2.2 等差数列的前n 项和(二)明目标、知重点 1.掌握等差数列与其前n 项和S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题.2.掌握可以转化为等差数列的数列求和问题.3.会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…(k ∈N ＋)是等差数列，其公差等于k 2d .(2)若在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若在等差数列{a n }中，a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．(3)若等差数列的项数为2n (n ∈N ＋)时，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，且S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1 .(4)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N ＋)时，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，且S 奇－S 偶＝a n ，S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)·a n,S 奇S 偶＝n n －1.在学等差数列时，我们探究了等差数列的一些性质，现在我们学习了等差数列的前n 项和，它又有哪些性质？这就是本节我们探究的主要问题． 探究点一 等差数列前n 项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？答 由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1＋md ＋a 2＋md ＋…＋a m ＋md ＝S m ＋m 2d .同理S 3m －S 2m ＝a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m ＝S 2m －S m ＋m 2d . 所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，并且公差为m 2d .思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答a nb n ＝S 2n －1T 2n －1. 证明：∵S 2n －1＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)＝2n －12·2a n ＝(2n －1)a n ； 同理T 2n －1＝(2n －1)b n ； ∴S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a nb n. 即a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 例1 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 反思与感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n (－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .探究点二 求数列{|a n |}的前n 项和例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，2n 2－15n ＋56，n ≥5.反思与感悟 等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和．跟踪训练2 已知数列{a n }中，S n ＝－n 2＋10n ，数列{b n }的每一项都有b n ＝|a n |，求数列b n 的前n 项之和T n 的表达式．解 由S n ＝－n 2＋10n 得a n ＝S n －S n －1＝11－2n (n ≥2，n ∈N ＋)． 验证a 1＝9也符合上式．∴a n ＝11－2n ，n ∈N ＋. ∴当n ≤5时，a n >0，此时T n ＝S n ＝－n 2＋10n ； 当n >5时，a n <0，此时T n ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.即T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50(n >5).探究点三 等差数列的前n 项和公式在实际中的应用例3 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”，从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年：(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？(“教育储蓄”不需缴利息税)(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(“零存整取”需缴20%的利息税) 解 (1)100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰＝0.27(元)．第1个100元存36个月，得利息0.27×36(元)； 第2个100元存35个月，得利息0.27×35(元)； ……第36个100元存1个月，得利息0.27×1(元)． 因此，到期时李先生获得利息0．27×(36＋35＋…＋1)＝179.82(元)． 本息和为3 600＋179.82＝3 779.82(元)． (2)100元“零存整取”的月利息是 100×1.725‰＝0.172 5(元)， 存三年的利息是0．172 5×(36＋35＋…＋1)＝114.885(元)， 因此，李先生多收益179．82－114.885×(1－20%)＝87.912(元)． 答 (1)李先生一次可支取本息共3 779.82元．(2)李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元．反思与感悟 解决有关等差数列的实际应用题时，首先要搞清楚哪些量能成等差数列，建立等差数列的模型，然后根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，最后转化为等差数列问题来解决．跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20， 则a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2 ×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．1．等差数列前n 项和的性质(1)对于前n 项和形如S n ＝An 2＋Bn 的数列一定为等差数列，且公差为2A ，记住这个结论，如果已知数列的前n 项和可以直接写出公差．(2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S 偶的关系是不相同的．(3)数列{S n n }是等差数列，首项为a 1，公差为d2.2．等差数列{a n }与数列{|a n |}的前n 项和等差数列各项取绝对值后组成的数列{|a n |}的前n 项和，可分为以下情形：(1)等差数列{|a n |}的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n |}就等于数列{a n }，可以直接求解． (2)等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，这种数列只有前面有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{a n }分成两段来处理．(3)等差数列{a n }中，a 1<0，d >0，这种数列只有前面有限项为负数，其余都为非负数，同样可以分成两段处理．一、基础过关1．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．10 000B ．8 000C ．9 000D ．11 000 答案 A解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.2．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D 解析a nb n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1. ∴n ＝1,2,3,5,11.3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.4．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.5．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .6．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是252，则它的首项与公差分别是a 1＝__________，d ＝________. 答案 12 12解析 S 偶－S 奇＝5d ＝15－252＝52，∴d ＝12. 由10a 1＋10×92×12＝15＋252＝552，得a 1＝12.7．已知数列{a n }中，a 1＝－7，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋2，求S 100. 解 由a 1＝－7，a n ＋2＝a n ＋2，可得a n ＋2－a n ＝2，∴a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 99是以－7为首项，公差为2的等差数列，共50项．∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50×(－7)＋50×(50－1)2×2＝2 100.同理，a 2，a 4，a 6，…，a 100是以3为首项，公差为2的等差数列，共50项． ∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50×3＋50×(50－1)2×2＝2 600.∴S 100＝2 100＋2 600＝4 700. 二、能力提升8．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 即m ＝5.10．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －1n ＋7，则a 7b 7＝________.答案1910解析 方法一 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13－113＋7＝1910. 方法二 因为S n T n ＝3n －1n ＋7，所以设S n ＝(3n －1)kn ，T n ＝(n ＋7)·kn (k ≠0)． 所以a 7＝S 7－S 6＝38k ，b 7＝T 7－T 6＝20k . 所以a 7b 7＝38k 20k ＝1910.11．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二 设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧ a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 12．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n .(2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2 (n ≤5)n 2－9n ＋40 (n >5). 三、探究与拓展13．有两个加工资的方案：一是每年年末加1 000元；二是每半年结束时加300元．如果在该公司干10年，问：(1)选择哪一种方案好？选准了较好的方案，与另一方案相比，10年中多加薪多少元？(2)如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，问a 取何值时，总是选择第二方案比第一方案加薪多？解 按第一种方案，每年加薪数形成等差数列{a n }且a 1＝1 000，d ＝1 000，n ＝10，按第二种方案，每半年加薪数形成等差数列{b n }且b 1＝300，d ＝300，n ＝20.(1)第10年的年末，依第一方案可得共加薪S n ＝(1 000＋2 000＋3 000＋…＋10 000)＝55 000(元)．依第二方案可得共加薪T n ＝(300＋300×2＋300×3＋300×4＋…＋300×20)＝63 000(元)，因此在公司干10年，选择第二方案好，多加薪63 000－55 000＝8 000(元)．(2)到第n 年年末，依第一方案可得共加薪1 000(1＋2＋…＋n )＝500n (n ＋1)(元)．依第二方案可得共加薪a (1＋2＋3＋4＋…＋2n )＝an (2n ＋1)(元)．由题意an (2n ＋1)>500n (n ＋1)对一切n ∈N ＋都成立，即a >500(n ＋1)2n ＋1＝250＋2502n ＋1， 又因为250＋2502n ＋1≤250＋2503， 所以a >250＋2503＝1 0003. 所以当a >1 0003元时， 总是选择第二方案比第一方案加薪多．。

§2.3.2等差数列的前n 项和（第二课时）（人教A 版·必修5）【教学目标】 1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究n S 的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.2.过程与方法：通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观：①提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；②通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感. 【教学重点】等差数列前n 项和公式的掌握与应用. 【教学难点】灵活应用求和公式解决问题. 【教辅手段】多媒体投影仪、黑板 【教学过程】I.情景设置—温故知新首先，回顾上一节所学的内容： （1）等差数列的前n 项和公式1：()12n n n a a s +=（2）等差数列的前n 项和公式2：()112n n n d s na -+=Ⅱ.新知探究1.等差数列的等价条件例1：已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 212+=，求 （1）).2(1≥--n S S n n（2）求这个数列的通项公式.（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略.[设计意图]本例题实际上给出了数列前n 项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前n 项是一个常数项为0的关于n 的二次型函数.接下来，我们来完成一探究题.如果一个数列{}n a 的前 n 项和为2n S pn qn r =++.其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠ ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：由2n S pn qn r=++ 得11S a p q r==++⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a ).2()1(≥=n n 又2n S pn qn r=++ 2n ≥ 时221()[(1)(1)]2()n n n a S S pn qn r p n q n r pn p q -=-=++--+-+=-+⎩⎨⎧+-++=∴)(2q p pn rq p a n ).2()1(≥=n n 1[2()][2(1)()]2n n d a a pn p q p n p q p -=-=-+---+= ∴此类数列从第二项开始为等差数列.归纳要使数列{}n a 为等差数列，则,)(12r q p q p p ++=+-⨯即.0=r[设计意图]本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n 项公式是一个常数项为0的关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列. 2.等差数列的最值问题例2：已知等差数列24,3,775,4的前n 项和为n s ，求使得n s 最大的序号n的值分析：等差数列的前n 项和公式可以写成211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+- ，所以 可以看成函数2122d d x a x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，()*x N ∈，当x n =时的函数值.另一方面，容易知道n s 关于n 的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n 的值.解：由题意知，等差数列24,3,775,4 的公差为57- 所以()2252512775514515112514256n n n n n n s ⎡⎤⎛⎫=⨯+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-=⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当 n 取与152最接近的整数即为7或8时n s 取最大值.[设计意图]通过学习等差数列前n 项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。

2.2 等差数列自主学习知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示．2．等差中项如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的____________． 3．等差数列的单调性等差数列的公差________时，数列为递增数列；________时，数列为递减数列；________时，数列为常数列．4．等差数列的通项公式a n ＝________________，当d ＝0时，a n ＝________，a n 是关于n 的________函数；当d ≠0时，a n ＝____________，a n 是关于n 的________函数，点(n ，a n )分布在一条以______为斜率的直线上，是这条直线上的一列________的点．5．等差数列的性质(1)若{a n }是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k 、l 、m 、n ∈N *)，则____________．(2)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n }也是________，公差为________．(3)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n －1＋a 2n }也是____________，公差为________．自主探究如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗？对点讲练知识点一 等差数列的通项公式例1 若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式a n＝a m ＋(n－m)d求解．变式训练1在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，求a m＋n的值．知识点二等差数列的性质例2已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．变式训练2成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．知识点三等差数列的判断例3 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)，令b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．总结 判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．变式训练3 若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．1．证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列．(3)通项法：a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列，只要说明a n 为n 的一次函数，就可下结论说{a n }是等差数列．2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .课时作业一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )A ．24B ．22C ．20D ．－82．已知等差数列{a n }中，a 2＝－9，a 3a 2＝－23，则a n 为( ) A ．14n ＋3 B ．16n －4 C ．15n －39 D ．15n ＋83．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *)4．等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( )A ．45B ．75C ．180D ．3005．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52题 号 1 2 3 4 5 答 案 二、填空题 6．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为______． 7．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______. 8．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝______.三、解答题9．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．10．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？请说明理由．(2)若a m 、a t (m 、t ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a m ＋3a t 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由．§2.2 等差数列知识梳理1．2 同一个 公差 d2．等差中项3．d>0 d<0 d ＝04．a 1＋(n －1)d a 1 常数 dn ＋(a 1－d) 一次 d 孤立5．(1)a k ＋a l ＝a m ＋a n (2)等差数列 2d(3)等差数列 4d自主探究解 第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，….所以a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 2＋d ＝(a 1＋d)＋d ＝a 1＋2d ，a 4＝a 3＋d ＝(a 1＋2d)＋d ＝a 1＋3d ，…由此得出：a n ＝a 1＋(n －1)d.第二种方法：由等差数列的定义知，a n －a n －1＝d(n ≥2)，所以 ⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝d a 3－a 2＝d a 4－a 3＝d ⋮a n －a n －1＝d (n －1)个 将以上(n －1)个等式两边分别相加，可得a n －a 1＝(n －1)d ，即a n ＝a 1＋(n －1)d.对点讲练例1 解 设{a n }的公差为d.方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20， 解得⎩⎨⎧ a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 方法二 因为a 60＝a 15＋(60－15)d ，所以d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415， 所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24. 变式训练1 解 方法一 设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1， 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m)d ＝n ＋n·(－1)＝0.方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b(a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝am ＋b ＝n ，a n＝an ＋b ＝m ， 得a ＝－1，b ＝m ＋n.所以a m ＋n ＝a(m ＋n)＋b ＝0.例2 解 因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5.又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，即(a 4－2d)(a 4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n.变式训练2 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.例3 (1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝4－4a n (n ∈N *)． ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2 ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12. ∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N *. ∴{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． (2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12. ∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n 2. ∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 变式训练3 证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列， ∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列．课时作业1．A [设等差数列{a n }公差为d .∵a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴5a 8＝120，∴a 8＝24，∴2a 9－a 10＝2(a 8＋d )－(a 8＋2d )＝a 8＝24.]2．C [∵a 2＝－9，a 3a 2＝－23， ∴a 3＝－23×(－9)＝6，∴d ＝a 3－a 2＝15， ∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)×15＝15n －39.]3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)(－2)，得a n ＝－2n ＋10.]4．C [方法一 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d ， 即5a 1＋20d ＝450，a 1＋4d ＝90，∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180.方法二 ∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8，∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450， ∴a 2＋a 8＝180.]5．D [∵2a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝12. 故数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列． ∴a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.] 6.43解析 ∵n －m ＝3d 1，∴d 1＝13(n －m )． 又∵n －m ＝4d 2，∴d 2＝14(n －m )． ∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 7.125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124. 所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125. 8.12解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d . 则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716， ∴|m －n |＝12. 9．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.10．解 (1)依题意有a 1＝3，d ＝7－3＝4，∴a n ＝3＋4(n －1)＝4n －1.设a n ＝4n －1＝135，得n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项．由于4m ＋19＝4(m ＋5)－1，且m ∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项．(2)∵a m 、a t 是数列{a n }中的项，∴a m ＝4m －1，a t ＝4t －1.∴2a m ＋3a t ＝2(4m －1)＋3(4t －1)＝4(2m ＋3t －1)－1.∵2m ＋3t －1∈N *，∴2a m ＋3a t 是数列{a n }中的第2m ＋3t －1项．。

2019-2020年人教A版高中数学必修五第二章第3节《等差数列前n项数和》（第2课时）教案一、教学目标：1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究。

2、通过等差数列前n项和的公式应用，体会数学的逻辑性3、通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生要善于观察生活二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的性质.教学难点：等差数列前n项和公式的性质及函数与方程的思路.三. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）前，那么这个数列一探究点1. 已知数列{a n }的前n 项 和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为 S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它 的首项与公差分别是什么？解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)， 可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n－[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，公差为2的等差数列． 探究点二 等差数列前n 项和的最值 思考1 将等差数列前n 项和 S n ＝na 1＋n n －2d 变形为S n 关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答 由于S n ＝na 1＋nn －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0. 思考2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？答 由二次函数的性质可以得出：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．另外，数列作为特殊的函数，则有(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值；特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．解 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以S n ＝5n ＋n n －2(－57)＝－514(n －152)2＋1 12556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．另解：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57＝－57n ＋407.a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，即a 8＝0，a 9<0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大．反思与感悟：在－1)2＋12(n －1)+1]＝2n －12.当n ＝1时代入a n ＝2n －12得a 1＝23≠25. ∴a n ＝{)2(212)1(25≥-=n n n .2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．解 方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时， S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12. ∴S n ＝na 1＋a n 2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694.∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.列，该数列的。

2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。

二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。

设计流程如下:
四、教学过程：。

2.2等差数列（二）一、教学目标1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．二、教学重点、难点重点：等差数列的通项公式、性质及应用．难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．三、教学过程（一）、复习1．等差数列的定义．2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d:① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=m n a a m n -- 4. {a n }是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若a n =2005,则n =( )A. 667B. 668C. 669D. 6705. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( )A. 18B. 9C. 12D. 15二、新课1．性质：在等差数列{a n }中,若m + n=p + q, 则a m + a n = a p + a q特别地,若m+n=2p, 则a m +a n =2a p例1. 在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a, a 10=b, 求a 15;(2) 若a 3+a 8=m, 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14;(4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.解: (1) 2a 10=a 5+a 15,即2b=a+a 15 , ∴a 15=2b ﹣a;(2) ∵5+6=3+8=11,∴a 5+a 6=a 3+a=m(3) a8=a 5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a 14=a 5+(14-5)d=6+9×3=33.13030802)( )(2 )(2)()(2 ,22,1277 ,11166)4(5211076151211107652115121112271116=-⨯=+++-+++=+++∴+++=++++++++=+=∴+=++=+a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 从而2．判断数列是否为等差数列的常用方法：（1） 定义法: 证明a n -a n-1=d (常数)例2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n 2-2n, 求证数列{a n }成等差数列,并求其首项、公差、通项公式. 解: 当n=1时,a 1=S 1=3﹣2=1;当n ≥2时,a n =Sn ﹣S n ﹣1=3n 2﹣2n ﹣ [3(n ﹣1)2﹣2(n ﹣1)]=6n ﹣5;∵n=1时a 1满足a n =6n ﹣5,∴a n =6n ﹣5首项a 1=1,a n ﹣a n ﹣1=6(常数)∴数列{a n }成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c 成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数.例3. 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定}{n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--n n a a （n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。