劳斯法分析系统稳定性及不稳定性的改进方法

第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。

控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。

如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。

因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。

常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。

它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。

它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。

3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。

它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。

这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。

4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。

该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。

一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。

考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。

而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。

因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。

线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。

这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。

然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。

因此，离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。

从理论上分析，利用关系式z=eTs，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。

但因为s在指数中，代换运算不方便。

为此，必须引入另一种线性变换。

将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。

这样，就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。

为此，可采用双线性变换方法开展判断。

双线性变换Ⅰ：（1）式中w是复变量，由上式解得（2）或采用双线性变换Ⅱ：（3）或写成（4）此时（5）双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。

令w平面的虚轴为，则w平面的左半平面为稳定区域，为w平面的频率，且由上式可知其中为s平面的频率。

此时，s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有（6）即w平面的频率近似于s平面的频率。

这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。

另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。

通过z-w变换，就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。

胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。

该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。

此时可以采用下面劳斯判据。

劳斯判据的要点是：①对于特征方程，若系数的符号不一样，则系统不稳定。

若系数符号一样，建立劳斯行列表。

②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。

④若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。

且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。

系统稳定的三种判定方法
系统稳定重要不？那可太重要啦！那咋判断系统稳定呢？第一种，看系统响应。

要是系统对输入的反应不过分激烈，不会一下子乱套，那这系统就可能挺稳定。

就好比一个人遇到事儿不慌不忙，那这人就比较靠谱。

要是系统一点小刺激就大起大落，那肯定不稳定呀！注意啥呢？得观察各种情况下的反应，可不能只看一两次。

第二种，分析系统特征方程。

这就像给系统做体检，看看方程的根是啥情况。

要是根都在复平面的左半平面，那系统就稳定。

这就跟医生看体检报告，指标都正常就放心啦！这里可得小心计算，别出错。

第三种，用劳斯判据。

这可是个厉害的工具呢！就像有个超级侦探，能找出系统稳定的线索。

按照规则一步步来，就能判断系统稳不稳定。

但得仔细，一个数算错都不行。

这三种方法在很多场景都有用呢！比如工程领域，设计电路啥的，得保证系统稳定，不然出问题可就麻烦啦！在控制领域，让机器人稳定运行，也得靠这些方法。

优势是啥？能让我们心里有底呀！知道系统稳不稳定，才能放心使用。

举个例子，设计一个自动控制系统，用这三种方法判断稳定性。

先看系统响应，发现对不同输入都比较平稳。

再分析特征方程，根都在合适的位置。

最后用劳斯判据确认，哇，系统稳定！这样就能放心用啦！
系统稳定判断方法很重要，得认真用，才能保证系统安全可靠。

你说是不是？。

一、实验目的1. 理解系统稳定性的基本概念和稳定性判据。

2. 掌握控制系统稳定性分析的方法和步骤。

3. 分析系统开环增益和时间常数对系统稳定性的影响。

4. 通过实验验证稳定性分析方法的有效性。

二、实验原理系统稳定性分析是自动控制理论中的一个重要内容，主要研究系统在受到扰动后能否恢复到原来的稳定状态。

根据系统传递函数的极点分布，可以将系统分为稳定系统和不稳定系统。

稳定系统在受到扰动后，其输出会逐渐恢复到原来的平衡状态；而不稳定系统在受到扰动后，其输出会发散，无法恢复到原来的平衡状态。

三、实验仪器1. 自动控制系统实验箱一台2. 计算机一台3. 数据采集卡一台四、实验内容1. 系统模拟电路搭建根据实验要求，搭建一个典型的控制系统模拟电路，如图1所示。

电路中包含一个比例积分（PI）控制器和一个被控对象。

被控对象可以用一个一阶环节表示，传递函数为G(s) = K / (Ts + 1)，其中K为开环增益，T为时间常数。

图1 系统模拟电路图2. 系统稳定性分析（1）观察系统的不稳定现象在实验箱上设置不同的K和T值，观察系统在受到扰动后的响应情况。

当K值较大或T值较小时，系统容易产生增幅振荡，表现为不稳定现象。

（2）研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响通过改变K和T的值，观察系统稳定性的变化。

分析以下情况：1）当K值增加时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；2）当T值减小时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；3）当K和T同时改变时，系统稳定性受到双重影响。

（3）验证稳定性分析方法的有效性使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统传递函数的极点分布，判断系统是否稳定。

将实验得到的K和T值代入传递函数，计算特征方程的根，判断系统稳定性。

五、实验步骤1. 搭建系统模拟电路，连接实验箱和计算机。

2. 设置实验箱参数，调整K和T的值。

3. 观察系统在受到扰动后的响应情况，记录数据。

4. 使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统稳定性。

劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。

要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。

2）特征方程的各项系数的符号都相同。

此即系统稳定的必要条件。

按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。

二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。

运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。

运用判据的关键在于建立表。

建立表的方法请参阅相关的例题或教材。

运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。

在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。

于是表的计算无法继续。

为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。

若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。

此时，系统为临界稳定系统。

2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。

此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。

这样，表中的其余各元就可以计算下去。

出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。

这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。

三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。