高考数学复习点拨 数学a版选修(2-2)1.3~1.4教材解读

高中新课标选修（2-2）1.3~1.4教材解读一、函数的单调性与导数（1）设函()y f x =在某个区间()a b ，内可导，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数()y f x =的定义域；②求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；③把各实根按由小到大顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；④确定()f x '在各个小区间内的符号，根据()f x '的符号判定函数()f x 在第个相应小开区间内的增减性．注意事项：（1）导数与函数的单调性的关系（以下以增函数为例）．①()0f x '>能推出()f x 为增函数，但反之不一定．如函数3()f x x =在()-+，∞∞上单调递增，但()0f x '≥．所以()0f x '>是()f x 为增函数的充分条件，但不是必要条件．②()f x 为增函数，一定可以推出()0f x '≥，但反之不一定，因为()0f x '≥，即为()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间内恒有()0f x '=，则()f x 为常数，函数不具有单调性．所以()0f x '≥是()f x 为增函数的必要条件，但不是充分条件．③()f x 为增函数的充要条件是对任意的()x a b ∈，都有()0f x '≥且在()a b ，内的任一非空子区间上()0f x '≠．（2）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．不能把一个单调区间分成两个单调区间，例如：函数(0)2(0)x x y x x ⎧=⎨>⎩，， ≤ 其单调区间为()-+，∞∞不应写成(0)-，∞和(0)+，∞．也不能把本来不是一个单调区间的，合写成一个单调区间，例如函数1y x=，其单调区间只能是(0)-，∞及(0)+，∞，而不能写成()-+，∞∞．因为0不在其定义域内，也不能滥用并集符号，如写成(0)(0)-+U ，，∞∞也是错误的．二、函数的极值与导数（1）极值的概念已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有的点x ，都有00()()(()())f x f x f x f x <>，则称0()f x 为函数的一个极大（小）值，称0x 为极大（小）值点．（2）求可导函数()y f x =的极值的方法：解方程()0f x '=，当()0f x '=时：①如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值． 注意事项：（1）概念的说明：①极值点总是()f x 定义域中内部的点，不会是端点．②函数()f x 在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有．函数的极大值与极小值，没有必然的大小关系，极小值不一定比极大值小．（2）极值点与导数为0的点的关系．可导函数()f x 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不同，很明显，()0f x '=是0x 为极值点的必要条件，但不是充分条件．（3）函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数()f x x =，在0x =处，左侧(0)()10x f x '<=-<，右侧(0)()10x f x '>=>，当0x =时，()0f x =是()f x 的极小值，但(0)f '不存在．三、函数的最大（小）值与导数设()y f x =是定义在区间[]a b ，上的可导函数，求函数()y f x =在[]a b ，上的最大值与最小值，可分两步进行．第一步：求()y f x =在()a b ，内的极值．第二步：将()y f x =的各极值与()()f a f b ，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：若函数()f x 在[]a b ，上单调增加，则()f a 为函数的最小值，()f b 为函数的最大值；若函数()f x 在[]a b ，上单调减小，则()f a 为函数的最大值，()f b 为函数的最小值．四、运用导数解决生活中优化问题的三个步骤（1）理解题意，将实际问题抽象成数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；（2）求函数的导数()f x '，解方程()0f x '=；（3）比较函数在区间端点和使()0f x '=的点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值．。

3.1~3.2教材解读一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身开展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数12的虚部是．3．复数相等的充要条件a bi c di a c +=+⇔=且()b d a bcd =∈R ，，，考前须知：〔1〕复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 〔2〕复数集C ⎧⎨⌝⎩R R 实数集虚数集 〔3〕两个实数可以比拟大小，但两个复数如果不全是实数，那么不能比拟大小.二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为z ．三、复数代数形式的四那么运算1．复数的加法、减法①运算法那么()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±．其运算法那么类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有：交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++．③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形〔三角形〕法那么，那么有12OZ OZ OZ +=〔如图1〕．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法那么进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应〔如图2〕，根据向量加法的三角形法那么有：2211OZ Z Z OZ +=．于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法那么为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法那么：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚局部别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····．分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法那么：2222(0)a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d ++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化〞，即分子以及分母同乘以分母的“实数化〞因式．类似于以前所学的把分母“有理化〞．。

1.2 摆列与组合教材解读高中新课标选修（2-3 ）一、摆列1．摆列：从n个不一样元素中拿出m（m≤n）个元素，依照必定的次序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出个元素的一个摆列．此定义包括两个基本内容：一是“拿出元素” ；m二是“有必定次序” ．当元素完整同样，而且元素摆列的次序也完整同样时，才是同一个排列．元素完整不一样或元素部分同样或元素同样而次序不一样的摆列，都不是同一个摆列．此外，定义规定给出的n 个元素各不同样，而且只研究被拿出的元素也各不同样的状况．也就是说，假如某个元素已被拿出，则这个元素就不可以再取了．2．摆列数即为不一样摆列的个数，就是全部摆列的总数，用符号 A n m表示．公式的两种表示形式为：① A n m n( n 1)(n2) (n m 1) ；② A n m(n n!．m)!说明：（ 1） m nN ，且m≤n；，（ 2）公式①的右侧第一个因数为n，后边每个因数都比前方一个因数少 1，最后一个因数是 n m 1 ，共 m个因数相乘．（ 3）关于 A m n!主要有两个作用：①当m，n 较大时，可使用计算器快捷地算出n(n m)!结果；②对含有字母的摆列数的式子进行变形经常使用此公式．3．解有限制条件的摆列问题时，重点是解决好特别元素（或地点）的摆列，只需特别元素（或地点）摆列好了，其余元素（或地点）的摆列可采纳摆列数公式直接求解．往常从以下三种门路考虑：（1）元素剖析法：先考虑特别元素，再考虑其余元素；（2）地点剖析法：先考虑特别地点，再考虑其余地点；（3）整体清除法：先算出不带限制条件的摆列数，再减去不知足限制条件的摆列数．二、组合1．组合：从n个不一样元素中拿出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个组合．组合与摆列的差别在于：固然都是从n 个不一样的元素中拿出m个不一样元素，可是摆列是要考虑“必定次序排成一列”，而组合是“合成一组”即元素之间无前后次序可言．所以两个组合只需它们的元素同样就是同一个组合，而不用考虑元素之间的次序．2．组合数即是切合条件的全部组合的个数，用符号C n m表示．组合数公式有两种表示形式：m A n m n(n1)(n 2) (n m 1)① C n m；A m m!② C n m n!．m!( n m)!专心爱心专心说明：（ 1）组合数公式的推导是依照分步计数原理，把求从n 个不一样元素中拿出个元m素的摆列数的过程分为两步达成：求组合数，求全摆列数．进而利用这类对应关系和已知排列数公式获得组合数公式．这类分步解决问题的思想方法对解决摆列、组合应用题意义重要．m m 1) ，它表现了组合数（ 2）关于组合数的第一个公式C n m A n n( n 1)(n 2)( nA m m m!与相应摆列数的关系，当 n 确立而 m变化时，组合数与m是一种函数关系，一般在计算详细的组合数时，常用此公式；第二个公式C n m n!的主要作用有：①当 m，n 较大时，m!(n m)!利用此公式计算组合数较为简易；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此式．（ 3）组合数的性质：① C n m C n n m；② C n m1 C n m C n m 1；③ kC n k nC n k11；④ C n0 1 ．3．解“含有”或“不含有”某些元素的组合问题时，要先将“含有”的这些元素拿出，再由此外元素补足；先将“不含有” 的这些元素剔除，再从留下的元素中去选用．解“起码”或“至多”的组合题时，要提防重复与漏解，用直接法和间接法都能够求解，往常直接法中分类错乱时，可考虑逆向思想，用间接法办理．三、特别提示1．解摆列、组合应用题，第一以“有序是摆列、无序是组合”分清摆列、组合两类不同的应用题．详细做法是：先写出一个详细的选择结果，再互换这个结果中随意两个元素的地点，视其结果能否发生变化：若结果变化了（不知足互换律），说明与次序相关，是摆列问题，不然是组合题．用互换律来鉴别属于摆列问题仍是组合问题是一种常用方法．2．解组合应用题时，要注意正确理解题设中的“有且仅有” 、“至多”、“起码”、“全部是”、“都不是”等词语确实切含义．在解题经常用的方法有“直接法”或“间接法”．专心爱心专心。

教材习题点拨1．探究：你能仿照上述过程，自己推导出(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式吗？解：(a ＋b )3的展开式略，只推导(a ＋b )4的展开式．由于(a ＋b )4＝(a ＋b )(a ＋b )(a ＋b )(a ＋b )，右式展开的每一项是从每个括号里任取一个字母的乘积，因此(a ＋b )4展开后各项都是4次式，分别为a 4，a 3b ，a 2b 2，ab 3，b 4.从组合的观点来看，组成(a ＋b )4的展开式中的每一项，都需要分两个步骤完成，即第一步取b ，第二步取a .a 4项：从四个因式中都不取b ，而全部取a ，共有0444C C 个a 4，所以(a ＋b )4的展开式的第1项为044C a ；a 3b 项：从四个因式中取出一个因式中的b ，再从其余三个因式中全部取a ，共有1343C C 个a 3b ，所以(a ＋b )4的展开式的第2项为134C a b ；a 2b 2项：从四个因式中取出两个因式中的b ，再从其余两个因式中全部取a ，共有2242C C 个a 2b 2，所以(a ＋b )4的展开式的第3项为2224C a b ；ab 3项：从四个因式中取出三个因式中的b ，再从其余一个因式中取a ，共有3141C C 个ab 3，所以(a ＋b )4的展开式的第4项为334C ab ；b 4项：从四个因式中全部取b ，而不取a ，共有444C C 个b 4，所以(a ＋b )4的展开式的第5项为444C b .因此，40413222334444444()C +C C +C +C a b a a b a b ab b =++.2．？你能用组合意义解释一下这个“组合等式”吗？解：展开式左边是n 个(1＋x )相乘，按照取x 的个数，可以将乘积中的项分为n ＋1类： 第1类，n 个(1＋x )都取1，即取0个x ，共有0C n 种取法； 第2类，n 个(1＋x )中，1个取x ，其余取1，共有1C n 种取法； 第3类，n 个(1＋x )中，2个取x ，其余取1，共有2C n 种取法； ……一般地，第k 类，n 个(1＋x )中，k 个取x ，其余(n －k )个取1，共有C kn 种取法； ……第n 类，n 个(1＋x )中全部取x ，共有C nn 种取法． 练习11．解：p 7＋7p 6q ＋21p 5q 2＋35p 4q 3＋35p 3q 4＋21p 2q 5＋7pq 6＋q 7. 点拨：利用二项式定理直接展开． 2．解：T 3＝26C (2a )4·(3b )2＝2 160a 4b 2. 点拨：利用二项展开式的通项公式求解．3．解：T k ＋1＝231C C 2kn k k k n k k n n k x --(-)⎛⋅= ⎝. 点拨：利用二项展开式的通项公式求解． 4．D 点拨：51055555+11010=C (1)=C T x x ---.练习21．(1)n 为偶数时，最大值是2C n n；当n 为奇数时，最大值是12C n n -与12Cn n+(2)1 024 (3)12点拨：(2) 1311111111111C +C C 2=1 0242+=⋅.2．证明：∵012C +C +C C C =2k nn n n n n n ++++，02C +C C n n n n ++ ＝131C +C C n n n n -++， 012C +C +C C C k nn n n n n ++++＝02031(C +C C )(C +C C )n n n n n n n n -++++＝022(C +C C )n n n n ++＝2n ， ∴0212C +C C ==22n n n nnn-++.3．解：1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 16 15 20 15 6 1 17 21 35 35 21 7 1 18 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 256 210 120 45 10 1点拨：从上行到下行按规律：除端点的1外，每个数都是肩上的两个数之和． 习题1.3A 组1．解：(1)011222C +C (1)+C (1)C (1)C (1)n n n k n kk n nn n n n n p p p pp pp p -----++-++-；(2)012C C C C 2222nn n nn n n n n ++++. 点拨：根据二项式定理直接展开．2．解：(1)(a ＋)9＝a 9＋9a 8＋36a 7＋84a 6b ＋126a 5＋126a 4b ＋84a 3b 2＋36a 3b ＋9ab b 3；(2)7273113575222222217213570168+22412821283282x x x x x x x x ----⎛⎫=-+-+-- ⎝. 点拨：利用二项展开式的通项公式展开． 3．解：(1)2＋20x ＋10x 2； (2)192x ＋432x －1.点拨：利用二项展开式的通项公式展开．4．解：(1)前4项分别是1，－30x,420x 2，－3 640x 3； (2)T 8＝－2 099 520a 9b 14； (3)T 7＝924；(4)展开式的中间两项分别为T 8，T 9，其中T 8＝2378711215C (( 6 435x y -=-，T 9＝2387811215C =((=6 435x y -.点拨：利用二项式定理求展开式中的特定项．5．解：(1)令51x 的项是第6项，它的系数是5510163C 28⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； (2)常数项是第6项，T 6＝55105101C 2=2522-⎛⎫⋅-- ⎪⎝⎭. 6．证明：(1)T k ＋1＝222221C =C (1)kk n k k k n kn n x xx --⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由2n －2k ＝0，得k ＝n ，即21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是T n ＋1＝(－1)n 2C nn ＝(－1)n 2!12345212=(1)!!!!nn n nn n n n ()⋅⋅⋅⋅⋅⋅(-)⋅- ＝(－1)n[13521][2462]!!n n n n ⋅⋅⋅⋅(-)⋅⋅⋅⋅＝(－1)n[13521]2!!!n n n n n ⋅⋅⋅⋅(-)⋅⋅＝(－2)n13521!n n ⋅⋅⋅⋅(-).(2)(1＋x )2n 的展开式共有2n ＋1项，所以中间一项是T n ＋1＝213521C !nnn n x n ⋅⋅⋅⋅(-)=(2x )n .点拨：(1)求常数项就是令通项中的x 指数等于0；(2)求中间项要先看总的项数是多少，然后确定是求第几项． 7．解：点拨：按列表描点的思路，图象是8个点．有对称性．8．解：展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是3C n 与7C n ，由3C n ＝7C n n-，得3＝n －7，即n ＝10，所以这两个二项式系数分别是310C 与710C ，即120.点拨：根据二项式系数及组合数的性质求出n 的值，进而解决问题．B 组1．解：(1)∵(n ＋1)n －1＝1122+C +C n n n n n n n n --＋…＋221C +C 11n n n n n n --+-＝1122+C +C n n n n n n n n--＋…＋2C n n -n 2＋n 2＝n 2(n n －2＋13C n n n -＋24C n n n -＋…＋2C +1n n -)， ∴(n ＋1)n －1能被n 2整除．(2)9910－1＝(100－1)10－1＝10010－110C ·1009＋210C ·1008＋…＋810C ·1002－910C ·100＋1－1＝10010－110C ·1009＋210C ·1008＋…＋810C ·1002－10×100＝1 000(1017－110C ·1015＋210C ·1013＋…＋810C ·10－1)．∴9910－1能被1 000整除．点拨：要想整除需要找除数或除数的倍数作因式，利用二项式展开式可得证．2．证明：由(2－1)n ＝01122C 2C 2+C 2n n n n n n --⋅-⋅⋅＋…＋(－1)n －1·1C n n -·2＋(－1)n C nn ，得2n －1C n ·2n －1＋2C n ·2n －2＋…＋(－1)n－11C n n -·2＋(－1)n ＝1. 点拨：构造二项式情景证明．。