相似矩阵与二次型习题课

习 题 六A 组1．填空题（1）已知向量[]TT(1,2,3),(4,,6),,7t =-=-=a b a b ，则t = ． 解72． （2）设04=x ，A 为正交矩阵，则0=Ax ． 解 4．（3）设P 为n 阶可逆矩阵，12130000,00n a a a -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A B =P A P，则B 的特征值为 ．解 33312,,,na a a ． （4）已知3阶方阵A 的特征值分别为1,1,2-，则矩阵322=-B A A 的特征值是 ，=B ．解 1,3,0;0--．（5）如果n 阶矩阵A 的元素全为1，那么A 的n 个特征值是 ． 解 ,0,0,,0n ．（6）矩阵022222222--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是 ． 解 4．（7）设010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，1-=B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵, 则200422-=B A ． 解 300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭．（8） 设()33ija ⨯=A 是实正交矩阵，且111=a ，T (1,0,0)=b ，则线性方程组Ax =b 的解是 ．解 T (1,0,0)．（9）二次型22121212(,)24f x x x x x x =+-的矩阵是 ．解 1222-⎛⎫ ⎪-⎝⎭．（10）二次型222123112213233(,,)2222f x x x x x x x x x x x x =-+-++的秩是 ． 解 2．（11）二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 ． 解 2．（12）二次型T f =x Ax 是正定的充分必要条件是实对称矩阵A 的特征值都是 ． 解 正数． 2．选择题（1）已知[]1,2,,1===a b a b ，则向量a 与b 的夹角为 ． （A ）0； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π． 解 （C ）．（2）n 阶方阵A 的两个不同的特征值所对应的特征向量 ． （A ）线性相关； （B ）线性无关； （C ）正交； （D ）内积为1． 解 （B ）．（3）设P 为三阶可逆矩阵，123894765⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，123,,λλλ是1-=B P AP 的三个特征值，则123λλλ++的值为 ．（A ）1； （B ）10； （C ）15； （D ）19． 解 （C ）．（4）设P 为可逆矩阵，λ=≠Ax x 0，11--=B P A P ，则矩阵B 的特征值和特征向量分别是 ．（A ）λ和x ； （B ）1λ-和x ； （C ）1λ-和1-P x ； （D ）λ和Px ．解 （C ）．（5）设A 是n 阶实对陈矩阵，P 是n 阶可逆矩阵．已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()T1-P AP属于特征值λ的特征向量是 ．（A ）1-P α； （B ）TP α； （C ）P α； （D ）()T1-Pα．解 （B ）．（6）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是 ．（A ）01≠λ； （B ）02≠λ； （C ）01=λ； （D ）02=λ． 解 （B ）．（7）设A ，B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则下列命题正确的是 ． （A ）λλ-=-E A E B ； （B ）A 与B 有相同的特征值与特征向量； （C ）A 与B 都相似于一个对角矩阵； （D ）对任意常数t ，t -E A 与t -E B 相似．解 （D ）．（8）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的 ． （A ）充分必要条件； （B ）充分非必要条件；（C ）必要非充分条件； （D ）既非充分也非必要条件． 解 （B ）．（9）设矩阵001010100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，已知矩阵A 相似于B ，则(2)R -A E 与()R -A E 之和等于 ．（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5． 解 （C ）．（10）设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭A =，400000000000000⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭B =，则A 与B ． （A ）合同且相似； （B ）合同但不相似； （Ｃ）不合同但相似； （Ｄ）不合同且不相似． 解 （A ）．（11）二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可以化成标准形216f y =，则a 的值是 ．（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）无法确定． 解 （B ）．3．利用Schimidt 正交化方法将下列向量组规范正交化． （1） TTT123(1,2,1),(1,3,1),(4,1,0)=-=-=-a a a ； 解 先正交化T 11(1,2,1)==-b a ，[][]12T 22111,5(1,1,1),3=-=-b a b a b b b ，[][][][]1323T 33121122,,(2,0,2),,=--=b a b a b a b b b b b b ， 再单位化得T T 1212122,1),1,1,1),==-==-b b e e bb T 3330,1)==b e b ． （2） 矩阵111011101110-⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的列向量组． 解 先正交化，111011⎛⎫⎪ ⎪==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭b a ， [][]1222111111103,21012,33111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b b b ，[][][][]13233312112211111033,,2211123,,31550114--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b a b b b b b b ．再单位化得1212121103,1211⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪====⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭b b e e b b ，3331334-⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭b e b ． 4．设向量T 1(1,1,1)=a ，求非零向量2a ，3a ，使得1a ，2a ，3a 是正交向量组．解 根据题意，2a ，3a 应满足方程T10=x a ，即0x y z ++=．解得基础解系为T1(1,1,0)=-ξ和T 2(1,0,1)=-ξ．正交化得到T21(1,1,0),==-a ξ [][]22T 32122,1(1,1,2),2=-=--ξa a ξξa a ． 5．求下列矩阵的特征值和特征向量．（1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）110430102-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （3）123213336⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．解 （1）特征多项式为11(3)(2)24λλλλ--=---，得到特征值为122,3λλ==．对于12λ=，解齐次线性方程组11110220x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系11⎛⎫⎪-⎝⎭，对应的特征向量可取1111,01k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭p ．对于23λ=，解齐次线性方程组11210210x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系12-⎛⎫⎪⎝⎭，对应的特征向量可取2221,02k k -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭p ．（2）特征多项式为2110430(2)(1)12λλλλλλ---=--=---A E ， 得到特征值为值1231,2λλλ===．对于121λλ==，解齐次线性方程组123210042001010x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 得基础解系121⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，对应的特征向量可取11112,01k k ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于32λ=，解齐次线性方程组123310*********x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，对应的特征向量可取2220001k k ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭p ．（3）特征多项式为(1)(9)λλλλ-=+-A E ，得到特征值为1230,1,9λλλ==-=．对于10λ=，解齐次线性方程组(0)-=A E x 0，得基础解系1111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为1111,01k k -⎛⎫ ⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭．对于21λ=-，解齐次线性方程组()+=A E x 0，得基础解系2110-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为2211,00k k -⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭． 对于39λ=，解齐次线性方程组(9)-=A E x 0，得基础解系3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为3311,02k k ⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭．6．设3111-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，234()16842ϕ=++++A E A A A A ，求()ϕA 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为231(2)11λλλλ---==--A E ，得到A 的特征值为122λλ==．对于122λλ==，解齐次线性方程组110110x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得特征向量11⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ．因为2是A 的特征值，所以(2)80ϕ=是()ϕA 的特征值，11k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ为()ϕA 的全部特征向量()0k ≠．7．证明（1）若n 阶方阵A 满足2=A A ，则A 的特征值为0或1；（2）若n 阶方阵A 满足k=A E ，则A 的特征值λ满足1kλ=．证明 （1）设≠x 0满足λ=Ax x ，λ是A 的特征值，则22λ=A x x ， 故22λλ===x Ax A x x ，得(1)λλ-=x 0，因为≠x 0，所以0λ=或1λ=．（2）设≠x 0满足λ=Ax x ，则k k λ===x A x Ex x ．因此(1)kλ-=x 0，而≠x 0，故1k λ=．8．设11111a a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与000010002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ相似，求a ，b ．解 由于A 的特征值与Λ的特征值相同，也是0，1，2，因此()20120,20,b a ab ⎧=--=⨯⨯=⎪⎨-==⎪⎩A A E 得0a b ==．9．设方阵12422421x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A 与54y ⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭Λ相似，求,x y ．解 由A 与Λ相似可知，A 的特征值为1235,,4y λλλ===-，于是1154,52442429360,425x y x x ++=+-⎧⎪--⎪⎨+=-+-=-=⎪⎪--⎩A E 得4x =，5y =．10．设A 与B 均为n 阶方阵，0≠A ，证明AB 与BA 相似．证明 由0≠A 知1-A 存在，于是11()()--==A AB A A A BA BA ，因此AB 与BA 相似．11．若A 与B 相似，C 与D 相似，则分块矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭A 00C 与⎛⎫⎪⎝⎭B00D 相似． 证明 由条件可知，存在可逆矩阵1P ，2P ，使得111122,--==P AP B P CP D ，于是111111111111222222------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P 0P 0B 0A 0P AP 0P A 0P 00P 0P 0D 0C 0P CP 0P C 0P 11122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P0P 0A 00P 0P 0C ， 所以⎛⎫ ⎪⎝⎭A 00C 与⎛⎫⎪⎝⎭B 00D 相似．12．已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得向量组x ，Ax ，2A x 线性无关，且满足3232=-A x Ax A x ．（1）记()2,,P =x Ax A x ，求三阶矩阵B ，使1-=A PBP ； （2）计算行列式+A E ．解 （1）设123123123a a a b b b c c c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =，则由=AP PB 得 ()()123232123123a a a ,,,,b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Ax A x A x x Ax A x ． 上式可写为2111a b c Ax =x +Ax +A x ， 22222a b c A x =x +Ax +A x ， 32333a b c A x =x +Ax +A x ．将3232=-A x Ax A x 代入得2233332a b c -Ax A x =x +Ax +A x ．由于x ，Ax ，2A x 线性无关，故1110,1a c b ===； 2220,1a b c ===； 3330,3,2a b c ===-，从而000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭B =．（2）由（1）知A 与B 相似，故+A E 与+B E 相似，从而1001134011+=+==--A E B E ．13．求下列矩阵多项式．（1）设3223-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，求109()5ϕ=-A A A ；（2）212122221⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求1098()65ϕ=-+A A A A ．解 （1）由(1)(5)0λλλ-=--=A E 得特征值为121,5λλ==．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量111⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ，取111⎛⎫= ⎪⎝⎭p ．对于25λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量211-⎛⎫=⎪⎝⎭ξ，取211-⎛⎫= ⎪⎝⎭p ． 令1211(,)11-⎛⎫==⎪⎝⎭P p p ，则115-⎛⎫== ⎪⎝⎭P AP Λ，于是9999199911111151511,11511221515--⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P P Λ 10101010110101515121515-⎛⎫+-== ⎪-+⎝⎭A P P Λ，10911()5211ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A A A ．（2）由(1)(5)(1)0λλλλ-=-+--=A E 求得特征值1231,1,5λλλ=-==．对于11λ=-，解方程组()+=A E x 0，得1112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于21λ=，解方程组()-=A E x 0，得2110⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于15λ=，解方程组(5)-=A E x 0，得3111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．因此，123111(,,)111201⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭P p p p ，且1115--⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭P AP Λ， 888888188888888111(1)112251515111111330152515632015222151525-⎛⎫⎛⎫--+-+-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==--=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P P Λ， 10988888888888888888888()65()(5)2515151123121152515112132315152522022425151522411525152243151525448ϕ=-+=--⎛⎫+-+-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-++-+- ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪-+-++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-+-+-⎛⎫⎪ =-++-+- ⎪ ⎪-+-++--⎝⎝⎭A A A A A A E A E 1122112.224⎪⎪⎪⎭-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭14．求一个正交相似变换矩阵，把下列对称矩阵化为对角矩阵．（1）220212020-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ； （2）222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A =． 解 （1）由(1)(4)(2)0λλλλ-=--+=A E ，得到A 的特征值为1232,1,4λλλ=-==，对于12λ=-，解齐次线性方程组(2)+=A E x 0得特征向量1122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得111232⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于21λ=，解齐次线性方程组()-=A E x 0得特征向量2212⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得221231⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于34λ=，解齐次线性方程组(4)-=A E x 0得特征向量3221⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得121231⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．写出正交矩阵12212123221⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则1214--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ． （2）由2(1)(10)0λλλ-=--=A E ，得到A 的特征值为12310,1λλλ===．对于110λ=，解齐次线性方程组(10)-=A E x 0得特征向量1122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得111232⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于221λλ==时，解齐次线性方程组()-=A E x 0得特征向量23221,221-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ．123,,ξξξ是正交向量组，将23,ξξ单位化得2322111,23321-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．取正交矩阵12212123221-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则有11011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．15．设三阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3，与特征值6对应的特征向量为T 1(1,1,1)=p ，求矩阵A ． 解 设123,,p p p 分别是对应于特征值6,3,3的特征向量，则23,p p 应与1p 正交，即满足方程1230++=x x x ，解得23111,001--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ，于是123111(,,)110101--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，1633-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，因此，1641131413114-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P P ．16．设A ，B 为同阶方阵，（1）如果A ，B 相似，试证A ，B 的特征多项式相等；（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立； （3）当A ，B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立． 解 （1）若A ，B 相似，则存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故()()11111.λλλλλλ------=-=-=-=-=-E B P EP P AP P E A PP E A P P E A P E A（2）令0100⎛⎫⎪⎝⎭A =，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭B =，则2λλλ-=-=E A E B ，但A 与B 不相似．否则由1-=P AP B =0得A =0，矛盾．（3）A ，B 均为实对称矩阵时, A ，B 均相似于对角阵. 若A ，B 的特征多项式相等，则特征值相等，记为12,,,n λλλ ，有A 相似于1n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，B 也相似于1n λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ ，存在可逆矩阵P ，Q 使得111n λλ--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P AP =Q BQ ，于是()()111---=PQ A PQ B ，由1-PQ 可逆知A ，B 相似． 17．设三阶实对称矩阵A 的秩为2，126λλ==是A 的二重特征值．若T 1(1,1,0)=α,T 2(2,1,1)=α,T 3(1,2,3)=--α, 都是A 的属于特征值6的特征向量．（1）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A ．解 （１）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知T 1(1,1,0)=α，T 2(2,1,1)=α为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=．设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T 10=αα，T 20=αα，即121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩解得基础解系为T (1,1,1)=-α，故A 的属于特征值30λ=全部特征向量为T (1,1,1)k k =-α，其中k 为任意不为零的常数．(２) 令矩阵12(,,)=P ααα，则1660-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1011612164221126111624233300110224111333-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭A P P ．18．用矩阵表示下列二次型．（1）222(,,)2846f x y z x y z xy yz =+--+；（2）22221234123412131424(,,,)532468f x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++-++．解 （1）120(,,)(,,)223038x f x y z x y z y z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． （2）1212343451231304(,,,)20103401x x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 19．用正交变换法将下列二次型化为标准型．（1）22212312313(,,)2628f x x x x x x x x =+++； （2）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++；（3）2222123412341214(,,,)22f x x x x x x x x x x x x =++++-233422x x x x -+．解 （1）二次型的矩阵为204060402⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由0λ-=A E 求得A 的特征值为1232,6λλλ=-==．对于12λ=-，解(2)+=A E x 0得特征向量1101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于236λλ==，解(6)-=A E x 0得特征向量23011,001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．123,,p p p 是正交的，单位化后并写成正交矩阵10100101⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭P ． 令=x Py ，这一正交变换把原二次型化为标准形222123266f y y y =-++．（2）二次型的矩阵为200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由(2)(1)(5)0λλλλ-=---=A E 求得A 的特征值为1231,2,5λλλ===．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1011⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭p ． 对于22λ=，解方程组(2)-=A E x 0得特征向量2100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得2100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于35λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3011⎛⎫⎪=⎪⎪⎭p ．于是正交矩阵123010(,,)00⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎝P p p p ，在正交变换=x Py 下，22212325f y y y =++． （3）二次型的矩阵为1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ． 由2(1)(1)(3)0λλλλ-=+--=A E 得A 的特征值12341,1,3λλλλ=-===．对于11λ=-，解方程组()+=A E x 0得特征向量11111⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1111121⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于231λλ==，解方程组()-=A E x 0得A 的特征向量231001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，23,ξξ是正交的，只需单位化得231001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p ． 对于43λ=，解方程组(3)-=A E x 0得特征向量41111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得4111121-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭p ．写出正交矩阵11022110221102211022⎛⎫-⎪ ⎪ --= ⎪- ⎪ ⎪ ⎝P ， 在正交变换=x Py 下，222212343f y y y y =-+++． 20．用配方法化下列二次型为标准形，并写出变换矩阵．222123123121323(,,)2224f x x x x x x x x x x x x =+++++．解222222123123233123(,,)()(),f x x x x x x x x x y y y =++++-=+-其中，112322333,,,y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即 11222333,,,x y y x y y x y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 故所用的变换矩阵为110011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭． 21．判定下列二次型的正定性．（1）2221231231223(,,)56444f x x x x x x x x x x =++--；（2）222123123121323(,,)10282428f x x x x x x x x x x x x =++++-．解 （1） 二次型的矩阵为520262024-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 因为 525250,260,26284026024-->=>--=>--，所以f 正定．（2） 二次型的矩阵为10412421412141⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，因为 10412104100,0,421404212141>>-<-，所以f 非正定，也非负定．22．确定t 的取值范围，使得下列的二次型为正定．（1）222123123121323(,,)5422f x x x x x tx x x x x x x =+++--； （2）222123123121323(,,)5224f x x x tx x x tx x x x x x =++--+．解 （1）二次型的矩阵为52121111t -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ．要使f 正定，就要求A 的顺序主子式都大于零，即 50>，521021=>，5212112011t t--=->--， 得2t >．即当2t >时，f 是正定的．（2）二次型的矩阵为112125t t t--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ．要使f 正定，就要求A 的顺序主子式都大于零，即 0t >，(1)01t tt t t -=->-，21125510125t t tt t ---=-+->-，t <<t <<时，f 是正定的． 23．设A 是可逆实矩阵，证明T A A 是正定矩阵.证明 由T T T ()=A A A A 知，T A A 是对称矩阵．对任意的≠x 0，有≠Ax 0，所以()()()2TT T 0==>x A A x Ax Ax Ax ，从而T A A 是正定矩阵．24．设A 是三阶实对称矩阵，已知A 的秩()2R =A ，且满足条件22+A A =0, （1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵k A+E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵．解 （1）设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则()λ=≠A 0ααα，22λ=A αα，于是()()2222λλ+=+AA αα．由条件22+A A =0得()22λλ+=0α．又≠0α，所以220λλ+=，即2λ=-或0λ=．因为实对称矩阵A 必可对角化，又()2R =A ，所以A 与对角矩阵220-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似．因此，矩阵A 的全部特征值为1232,0.λλλ==-=（2）矩阵k A+E 仍为实对称矩阵，由（1）知k A +E 的全部特征值为2,2,.k k k -+-+于是，当2k >时，k A+E 的全部特征值大于零，从而矩阵k A+E 为正定矩阵．B 组1．已知向量T (1,,1)k =a 是矩阵211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值．解 设1-A 的特征向量T (1,,1)k =a 对应的特征值为λ，则有1λ-=A a a ，λ=a Aa ，即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2k =-或1．2．若矩阵22082006a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使1.-=P AP Λ解 矩阵A 的特征多项式为2222082(6)(2)16(6)(2)06a λλλλλλλλ--⎡⎤-=---=---=-+⎣⎦-E A ， 故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即3(6)2R --=E A ，于是有(6)1R -=E A ．由42021068400000000a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E A知0a =．因此，对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为1001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ， 2120⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ．当23-=λ时，4202102840001008000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，解方程组12320,0,x x x +=⎧⎨=⎩得对应于23-=λ的特征向量3120⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ．令011022100⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，则P 可逆，并有1-=P AP Λ．3．设矩阵1322010232,101,223001-*⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PB P A P ，求2+B E 的特征值和特征向量．解 计算出1011100001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ， 522252225*--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A1700254223-*⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭B P A P ， 9002274225⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B E ．由22(3)(9)0λλλ+-=--=B E E 得2+B E 的特征值为1239,3λλλ===．对于129λλ==，由()λ-=A E x 0求得对应的线性无关特征向量为12121,001--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．因此，对应于129λλ==的全部特征向量为1122k k +p p ，12,k k 不同时为零．对于33λ=，由()λ-=A E x 0求得特征向量为3011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．因此，对应于33λ=的全部特征向量为33k p ，3k 不为零．4．设,A B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ， （1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1-=P AP B ．解 （1）由于,A B 相似，所以,A B 有相同的特征值，即1232,b λλλ===．由于2是A 的二重特征值，所以2是2(2)(3)3(1)0a a λλλλ⎡⎤-=--++-=⎣⎦A E 的二重根，解得5a =．由22(2)(812)(2)(6)λλλλλλ-=--+=--A E 得到36b λ==．（2）对于122λλ==，解方程组(2)-=A E x 0得基础解系12111,001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于36λ=，解方程组(6)-=A E x 0得基础解系3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．令123111(,,)102013⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，有1-=P AP B ．5．已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p 是矩阵2125312a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量， （1）求,a b 的值和特征向量p 对应的特征值； （2）问A 是否可对角化？说明理由．解 （1）由2121()531121a bλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭A E p 0得2120,530,120.a b λλλ---=⎧⎪+--=⎨⎪-+++=⎩解得3,0,1a b λ=-==-．（2）因为212533102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，所以3(1)λλ-=-+A E ，1λ=-是三重根．但()2R +=A E ，从而1λ=-对应的线性无关的特征向量只有一个，故A 不能对角化．6．设矩阵21112111a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可逆，向量11b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵．试求a ,b 和λ的值．解 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且*λ=A αα．两边同时左乘矩阵A ，得*λ=AA A αα，λ=AA αα，即211111211111b b a λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． 由此，得方程组3,22,1.b b b a b λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎪⎩AA A 由第一、二个方程解得1=b ，或2-=b ．由第一、三个方程解得2a =．由于 21112132411a a==-=A ，故特征向量α所对应的特征值433b bλ==++A ．所以，当1=b 时1=λ； 当2-=b 时4λ=．7．设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化．解 A 的特征多项式为21232(2)01431431515110(2)143(2)(8183).15a a a a λλλλλλλλλλλλλλ------=-=--------=--=--++---E A当2=λ是特征方程的二重根时，则有,03181622=++-a 解得2a =-．当2a =-时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2-E A 123123123-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化．若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得23a =-．当32-=a 时，A 的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭E A =的秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化．8．设n 阶矩阵111b b b b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭A ，（1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵． 解 （1）① 当0≠b 时，[][]111||1(1)(1)1n b b b b n b b b b λλλλλλ--------==-------- E A ．得A 的特征值为11(1)n b λ=+-，21n b λλ===- ． 对于11(1)n b λ=+-，1(1)(1)11(1)1(1)1(1)11(1)11111111111111111111111100000000n bb b n b n b b n b b n b n n n n n n n λ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭-----⎛⎫⎛ ⎪ -------- ⎪ ⎪ →→ ⎪ -------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝E A 11111001000101.00001100000000n n n n n ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可解得T1(1,1,1,,1)= ξ，所以A 的属于1λ的全部特征向量为T1(1,1,1,,1)k k = ξ，其中k 为任意不为零的常数．对于21b λ=-，有2111000000b b b b b b b b b λ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A ．可解得T 2(1,1,0,,0)=- ξ，T 3(1,0,1,,0)=- ξ， ，T (1,0,0,,1)n =- ξ．故A 的属于2λ的全部特征向量为2233n n k k k +++ ξξξ，其中n k k k ,,,32 是不全为零的常数．②当0=b 时，100010||(1)001n λλλλλ---==-- E A ．因此特征值为11n λλ=== ，任意非零列向量均为特征向量．（2）①当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n = P ξξξ，则11(1)11n b b b -+-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP ． ②当0=b 时，=A E ，对任意可逆矩阵P , 均有1-=P AP E ．9．设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα．（1）求矩阵B , 使得()()123123,,,,=A B αααααα；（2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵．解 （1）由123123100(,,)(,,)122113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A αααααα可知，100122113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ．（2）因为123,,ααα是线性无关的三维列向量，可知矩阵()123,,=C ααα可逆，所以1-=C AC B ，即矩阵A 与B 相似，由此可得矩阵A 与B 有相同的特征值．由2100122(1)(4)0113λλλλλλ--=---=--=---E B ， 得矩阵B 的特征值，也即矩阵A 的特征值1231,4λλλ===．（3）对应于121==λλ，解齐次线性方程组()-E B x =0，得基础解系T 1(1,1,0)=-ξ，T 2(2,0,1)=-ξ．对应于43=λ，解齐次线性方程组()4-E B x =0，得基础解系()T30,1,1=ξ．令矩阵()123120,,101011--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q ξξξ，则 1100010004-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q BQ ．因 ()()1111----==Q BQ Q C ACQ CQ A CQ ，记矩阵()()123121323120,,101,2,011--⎛⎫⎪===-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭P CQ ααααααααα，P 即为所求的可逆矩阵．10．设实对称矩阵111111aa a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵，并计算-A E ．解 由2(1)(2)0a a λλλ-=----+=A E ，得到A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-．对于121a λλ==+，由()λ-=A E x 0，求得两个线性无关的特征向量12111,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于32a λ=-，由()λ-=A E x 0，求得对应的特征向量3111-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．令123111(,,)101011-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，则1112a a a -+⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ．并且，1112(3)a a ----=-=-=-=-A E P P PP P E P E ΛΛΛ．11．设11111,1112a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，线性方程组=Ax β有解但不惟一，（1）求a 的值；（2）求正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵．解 （1）因为线性方程组=Ax β有解但不惟一，所以21111(1)(2)011aa a a a ==--+=A ．当1a =时，()()R R ≠A A β，方程组无解．当2a =-时，()()R R =A A β，方程组有解但不惟一．因此，2a =-．（2）可计算出112121211-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，于是由(3)(3)0λλλλ-=-+=A E ，得到13λ=，23λ=-，30λ=．由()λ-=A E x 0求得对应的特征向量分别为1231110,2,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭p p p ．单位化后（已是正交的）得到正交矩阵0⎛ =⎝Q ． 于是，T330⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ ． 12．已知二次型222123232332(0)f x x x ax x a =+++>可以通过正交变换化成标准形22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换． 解 二次型的矩阵为2000303a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．由题意知A 的特征值为1231,2,5λλλ===．将11λ=代入22(2)(69)0a λλλλ-=--+-=A E ，0a >，得2a =．于是200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量1011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得1011⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭p ． 对于22λ=，解方程组(2)-=A E x 0得特征向量2100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，取2100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于35λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3011⎛⎫⎪=⎪⎪⎭p ．故所用的正交变换矩阵为01000⎛⎫⎪ ⎪ =⎝P ． 13．判断二次型12111n n i i i i i f x x x-+===+∑∑是否正定．解 二次型的矩阵为110000211102210100021000102110001221000012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ． 计算得到A 的任意k 阶顺序主子式1(1)02kk k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭A ，因此，二次型是正定的． 14．设二次型22212313222(0)f ax x x bx x b =+-+>，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-．（1）求,a b 的值；（2）利用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．解 （1）二次型对应的矩阵为002002a b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ．设A 的特征值为123,,λλλ，则 123221a λλλ++=+-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=--． 解得1,2a b ==．（2）由102020202⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，得2(2)(3)λλλ-=--+A E ，于是A 的特征值为1232,3λλλ===-． 对于122λλ==，由(2)-=A E x 0，求得两个线性无关的特征向量12200,110⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于33λ=-，由(3)+=A E x 0，求得特征向量3102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．由于123,,p p p 已是正交，单位化后得到正交矩阵0100⎫⎪⎪=⎪ ⎪Q ．于是有T223⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭Q AQ ．在正交变换=x Qy 下，有 222123223f y y y =+-． 15．证明二次型T f =x Ax 在1=x 时的最大（小）值为矩阵A 的最大（小）特征值． 证明 设存在正交变换=x Py ，将T f =x Ax 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++ ．不妨设1λ是A 的特征值中的最大值，则2222221122112()n n n f y y y y y y λλλλ=+++≤+++ ．由于正交变换不改变向量的长度，而1=x ，所以1=y ，故22222211221121()n n n f y y y y y y λλλλλ=+++≤+++= ．并且，f 可以达到上限1λ，只要取121,0n y y y ==== 即可．故二次型T f =x Ax 在1=x 时的最大值为矩阵A 的最大特征值．最小值的情形同理可证．16．设U 为可逆矩阵，T=A U U ，证明Tf =x Ax 是正定二次型．证明 设≠x 0，由U 为可逆矩阵知≠Ux 0，于是2T T T T ()0f ====>x Ax x U Ux Ux Ux Ux，故Tf =x Ax 是正定二次型．17．设对称矩阵A 为正定矩阵，证明存在可逆矩阵U ，使得T=A U U ．证明 若A 为正定阵，则存在正交矩阵P ，使得121n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ P AP Λ， 其中，每个0i λ>．而T⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪⎝QQ Λ， 1T T T ()()-===A P P PQQ P PQ PQ Λ．令()T=U PQ ，则T =A U U ．而,P Q 均可逆，所以U 可逆．18．设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明+A B 也是n 阶正定矩阵． 证明 由于T T ,==A A B B ，所以T T T ()+=+=+A B A B A B ，即+A B 是对称矩阵．又,A B 都是n 阶正定矩阵，即对任意的非零向量x ，有T T 0,0>>x Ax x Bx ，因此T T T ()0+=+>x A B x x Ax x Bx ，故+A B 是n 阶正定矩阵．19．设12,p p 分别是矩阵A 的属于特征值12,λλ的特征向量，且12λλ≠，试证12+p p 不可能是A 的特征向量．证明 由条件有111222,λλ==Ap p Ap p ．设12+p p 是A 的某个特征值0λ的特征向量，则12012()()λ+=+A p p p p ．另一方面，12121122()λλ+=+=+A p p Ap Ap p p ．因此，101202()()λλλλ-+-=p p 0．由于12,p p 线性无关，故102λλλ==，矛盾．故12+p p 不可能是A 的特征向量．20． 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2． （1）求a 的值；（2）求正交变换=x Qy ，把),,(321x x x f 化成标准形； （3）求方程123(,,)0f x x x =的解. 解 （1）二次型对应矩阵为110110002a a a a -+⎛⎫ ⎪=+- ⎪ ⎪⎝⎭A ．由二次型的秩为2知，1101100002a a a a-+=+-=A ，得0a =． （2）这里110110002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ．由(2)-=E A x 0，求得特征向量12101,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα．由(0)-=E A x 0，求得特征向量3110⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α．由于12,αα已经正交，直接将12,αα，3α单位化，得1231011,0,1010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===-⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ηηη． 令()123,,=Q ηηη，即为所求的正交变换矩阵．由=x Qy ，可化原二次型为标准形2212312(,,)22f x x x y y =+． （3）由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得1230,0,y y y k ===（k 为任意常数）．从而所求解为 ()12330,,00c k c k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x Qy ηηηη，其中c 为任意常数．21．设A 是n 阶实对称矩阵，且2=A A ，证明存在正交矩阵P 使得1r-⎛⎫=⎪⎝⎭E P AP 0．证明 根据定理，对于n 阶实对称矩阵，存在正交矩阵1P 使得12111n λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，其中12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值．由于2=A A ，故A 的特征值满足2λλ=，即0,1λ=．设()R r =A ，则12,,,n λλλ 这n 个数中有r 个1，n r -个0．调整12,,,n λλλ 的顺序使得前r 个数为1，后n r -个为0，相应地调整1P 的列，得到P ，P 仍为正交矩阵，且1r-⎛⎫= ⎪⎝⎭E P AP 0． 22．设A 是n 阶实对称矩阵，且2=A E ，证明存在正交矩阵P 使得1rn r --⎛⎫= ⎪-⎝⎭E P AP E ． 证明 根据定理，对于n 阶实对称矩阵，存在正交矩阵1P 使得12111n λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，其中12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值．由于2=A E ，故A 的特征值满足21λ=，即1,1λ=-．设()R r =A ，则12,,,n λλλ 这n 个数中有r 个1，n r -个1-．调整12,,,n λλλ 的顺序使得前r 个数为1，后n r -个为1-，相应地，调整1P 的列得到P ，P 仍为正交矩阵，且1rn r --⎛⎫= ⎪-⎝⎭E P AP E ． 23．设A 是一个n 阶实对称矩阵，若对于任一n 维列向量都有T 0=x Ax ，则=A 0．证明 设T f =x Ax ，取T(0,,0,1,0,,0)i = x （i x 的第i 个坐标为1，其余都是0），则有 T 0i i ii f a ===x Ax ， 1,2,,i n = ．再取(,)T (0,,0,1,0,,0,1,0,,0)i j = x （(,)i j x 的第,i j 个坐标为1，其余都是0，i j ≠），则有 (,)T (,)0()2i j i j ii jj ij f a a a ===++x Ax ，所以0ij a =．综合可得=A 0．24． 设T ⎛⎫= ⎪⎝⎭AC D C B 为正定矩阵，其中A ,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵． （1）计算T P DP ，其中1m n -⎛⎫-= ⎪⎝⎭E A C P O E ； （2）利用（1）的结果判断矩阵T 1--B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论．解 （1）由T 1m T n -⎛⎫= ⎪-⎝⎭E O P C A E ，有 1T1T T 1m m T n n ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E O A C A O E A C P DP =C A E C B O B C A C O E ． （2）矩阵T 1--B C A C 是正定矩阵．由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵T 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭A O M =OBC A C ． 由D 为正定矩阵可知，矩阵M 为正定矩阵．因矩阵M 为对称矩阵，故T 1--B C A C 为对称矩阵．对T (0,0,,0)= x 及任意的T 12(,,,)n y y y =≠ y 0，有()T TT T 1T 1,()0--⎛⎫⎛⎫=-> ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭A 0x x y y B C A C y 0B C A C y ，故T 1--B C A C 为正定矩阵．。

第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。

相似矩阵、二次型部分例题参考答案（一）特征值，特征向量的求法例1 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=144241422217A 的特征值与特征向量。

解1818041422217144241421217----=---=-λλλλλλλλA E ()172218214411λλλ-=---()174218210401λλλ-=-- ()()()()918162271822--=+--=λλλλλ得到特征值是1821==λλ，93=λ当18=λ时，由()018=-x A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000221442442221得基础解系()T0,1,21-=α，()T 1,0,22-=α因此属于特征值18=λ的特征向量是2211ααk k +（1k ，2k 不全为零）当9=λ时，由()09=-x A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000110102000110452542452228得基础解系()T2,2,13=α，因此属于特征值9=λ的特征向量是33αk （03≠k ）例2 设矩阵322232223A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭010101001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1*P A P β-=，求2B E +的特征值与特征向量，*A 为A 的伴随矩阵，E 为三阶单位阵。

解：计算*522252225A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，1011100001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1*700254223B P A p -⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭从而 9002274225B E ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭[]2(2)(9)(3)E B E λλλ-+=-- 129λλ==时，1(1 1 0)T η=-，2(2 0 1)T η-；33λ=时，3(0 1 1)T η=例3 设n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆阵P ，使AP P 1-为对角阵。

第五章 相似矩阵与二次型5.1内积及性质112~111P 5.2正交向量组114~112P 5.3正交矩阵及性质116~115P 5.4特征值与特征向量120~117P 5.5相似矩阵121P5.6实对称矩阵125~124P5.7二次型及标准型129~127P 5.8两矩阵合同129P5.9线性变换30P ；逆变换42P ；用正交变换化二次型为标准型129P 5.10正定二次型；负定二次型134~132P 5.11矩阵的等价、相似、合同（1）A 与B 等价⇔A 经过初等变换化为B B PAQ =⇔，其中Q P ,可逆()()B r A r =⇔，且B A ,同型矩阵（2）A 与B 相似B AP P =⇔-1（3）A 与B 合同B AC C T =⇔，C 可逆Ax x T ⇔,Bx x T有相同的正、负惯性指数 题型5.1 矩阵的特征值和特征向量及其逆问题例5.1.1（98，3）设向量Tn a a a ),,,(21 =α，Tn b b b ),,,(21 =β都是非零向量，且满足条件0=βαT，记n 阶矩阵TA αβ=，求：(1)2A ；(2)矩阵A 的特征值和特征向量.分析：注意利用矩阵运算的特殊性：βαT为数，Tαβ为矩阵 详解：（1）由TA αβ=和0=βαT,有0)()()())((2======TTTTTTTTTAA A αββααβαββαβααβαβ 即2A 为n 阶零矩阵。

（2）设x Ax λ=,)0(≠x ,因为02=A ,于是x Ax x A 220λλ===，又知0≠x ， 故0=λ，即A 的特征值全为零。

不妨设向量βα,中的分量0,011≠≠b a ， 对齐次线性方程组0)0(=-x A E 的系数矩阵施以初等行变换：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-00000021212221212111 n n n n n n n b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==---=nn nn x x x x x b b x b b x 2212121 由此可得该方程组的基础解系为 T n n T T b bb b b b )1,,0,0,(,,)0,,1,0,(,)0,,0,1,(11132121 -=-=-=-ααα 于是，A 的属于特征值0=λ的全部特征向量为）是不全为零的任意常数121112211,,,(---+++n n n c c c c c c ααα评注：题中假定011≠b a ，消元最简单。