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向1 量. 非 的长度具负 有x 下 述0 时 性质x 性 ： 0 ;当 ， x ： 0 时 ,x 当 0 .
2.齐次 x 性 ： x
3 . 三 角 不 等 式 ： x y x y 1,2显然.证3: 2
证 3:3 、三角不 x y 等 x 式 y ：
xy
x1 y12 x2 y22 xn yn2
1 2 , e2 1
1
1 1 ,
3 1
a3
e3
1
1 0
2 1
b1 a1
b3
b2
a 10 2
例 3、已a 知 11 1，求一0向 组a 量 非 2,a3.使 a1,a2,a3两两
1
解:由题意得 a1Ta2 0 a1Ta3 0 a2Ta3 0
a2,a3满足同一方程 a1T x 0
1 e10
1
1
e21 0是 R2的一个正.e1交 '1规 2 2 范 e1'基 2 2 1
也R 是 2的一个正交规范基
正交规 :建 范 立 化 一个正交规范基
设 规 a 1,a 范 2, 称 ,基 a r是 为 。 a 1向 ,把 a 2, 量 V ,a 的 r这 空 一 个 间 个 基V的 正 基交 一 ，规 个 求 与 也 e 1,e 2,就 ,e r等 是价 找 的 。 一 单 组 e 1,位 e 2, 两 ,e 向 r， 两 a 1 量 ,使 a 2,正 6,a r
把a1,a2,,ar正交规范化的方法：
取
b1 a1
b2
a2
b1 b1
, ,
a b
2 1
b
1
b3
a3
b1 b1
, ,
a b
3 1
b
1
b b
2 2
, ,
a b
3 2
b
2
j1
b j a j
1
b , a j b ,b
b
br
ar
b1 b1
, ,
a b
r 1
b
1
b b
2 2
, ,
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
x1 y1
定义 1
设有 n维向x量xxn2
,
yyyn2
令 x,yx1y2x2y2 xnyn
x,y称为 x与 向 y的量 内积。
当 x与 y都是列向量 x,y时 xTy ，有
内积满足下列运算规律：
(i)x, yy,x
(ii)x, yx, y
bi , b
bi , a j1
j
1
b , a j1 b , b
bi , bi i
bi , a j1
bi , a j1 bi , bi
bi , bi
0
由归纳法:有上述正交法成立
8
单位化，取：
e1
1 b1
b1,e2
1 b2
b2, ,er
1 br
br
e1,e2er 规范正交
仿几何 :a 方 rc 法 x x c ,y y o 定 s称 义 x 和 为 y 的 3 .夹
定义： x当 0, y0时
crccosx,y
x y
称n 为 维向 x与 量 y的夹
当 x,y0 时，x与 称 y正 向 。 交 量
采用正交向量组作向量空间的基，称为向量空间的正交基。
定理 1 若n向量 a1,a2,ar是一组两两正向 交量 的， 非
a b
r 2
b
2
b r 1 , a r b r 1 , b r 1
b r1
b 1 , b 2 b r 两两正交
7
证 :
bi , b j b j , bi 只证 bi , b j 0 i j
即可
b1 , b2
a1
,
a2
a1 , a 2 a1 , a1
a1
a
T 1
x
0
a
T 2
x
0
即
1
1
1 2
1
1
x1 x2 x3
0
解:
1
1
1 2
1
1
r
1
0
1 3
1 0
ห้องสมุดไป่ตู้
r
1
0
0 1
1
0
x1 x 3
1
x2
0
c
0
x 3 x 3
1
1
a3
c
0
1
5
定义 向 的 3 量 一 设n， 个 维 ,如 则 基 向 e1,果 eee2称 量 11,,, ee22,,, er是 ,,eeV rr是 两 的向 两 一量 正 正 个空 交 交 V（间 规 ， V。 范 且 Rn） 基 都
则a1,a2,ar线性无关。
证:
设1a1
2a2
rar
0
即
r
iai 0
i1
用ajT左乘得 : r
i
aj ,ai
0
i1
r
用正交关系 : 得i
aj
2 ji
0
a1,a2ar线性 i1 无关
j
aj
2
0
j 0
4
例 1、a11 1，a212正.交 求 a3使 a1,a2,a3两两.正交
1
1
解 : 令 a3 x显 然 有
1
1
4
例2、
将a1
2
，a2
3
，a3
1正交规范化
1
1
0
解:
j 1
b j a j
1
b , a j b , b
b
9
j 1
b j a j
1
b , a j b , b
b
代入得 b1
1 2
，b
1
2
3 5
11，b
1
3
2 0 2
单位化 : e1
1 6
a1 , a 2
a1 a1
, ,
a2 a1
a1
,
a1
0
现证 : 当 bi , b j 0 i j 成立时 bi , b j1 0也成立 .
bi , b j1
bi
,
a
j 1
j 1
b , a j1 b , b
b
bi , a j1
j
1
b , a j1 b , b
1
1
1
x1 x2
0
x3
x1 x2 x3 0
1
1
两个基 1础 1,解20
0
1
11
可用其组合成a2, a3 :
1
a2 1 1 ,
0
1
a3
2
11,,121
1 0 1
1 2
1 1 0
2
1 2
x12 x22 xn2 y12 y22 yn2 2 x1y1 x2y2 xnyn
x,xy,y2x,y
由 施瓦茨不等:x式 , y2 x,xy, y
x, y
x,xy,
y
x
y
得:
xy
x, xy, y2x, y
x
2
y
2
2
x
y
xy
性质得证
由施瓦 : 茨 x ,y 2不 x ,x 等 y ,y 有 式 xx, yy 1
(iii)xy,zx,zy,z
1
ivx0时x,x0, x0时x,x0.x,x0
施瓦茨不等式: x,y2x,xy,y 不证明
解析几何中x,yx1y1x2y2x3y3 xyxycos
x,y2 xycos2x2y2
定义2 x
令x x,x x12 x22 xn2
称为n维向量 x的长度（或范数）
x
1则称x为单位向量
