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再如，“|A|=0 ”⑵求法 数字矩阵计算特征多项式f a ) =|A -注I ［行列式］；求特征方程I A —几E | = 0的根几就是A 的特征值［代数方程］;第五讲相似矩阵与二次型矩阵特征值与特征向量问题是线性代数的主要研究对象之一,它综合了矩阵、方程组和向量组的众 多知识点，也是数学一必考大题出处。
本章分三部分：①特征值与特征向量；②相似矩阵与方阵对角化；③二次型正交相似化为标准形。
一、主要内容：［教材：P.139-161］ 1、特征值与特征向量及其求法 (1)概铝，为A 的特征值 /x(x H 0)U ［x 对应于特征值甘勺特征向量(i) 特征向量是非零列向量； (ii) n 阶方阵必有n 个特征值［计重数］; (iii) 对应于某一个特征值扎的特征向量有无穷多个， 但线性无关的特征向量只有 n — r(A —AE)个，且 1 <n — r(A —A E)<k ，其中 k 为特征值Z 的重数; (iv)灵活变换定义式：例如, Ax =)x(x H 0) T A(kx)=几(kx)(x H 0, k H 0), T A 2X = Fx(X H 0) T A -^1X (^0)［当 A 可逆时］， A 1 丄— 1 — —T (P’AP )(P x) = A (P x)(xH0) ［相似矩阵有相同特征值，但未必有相同的特征向量 ］。
又如，“方阵 A 的各行元素之和为常数 k ”可以转换为彳、1=k h■■ 丿 1丿A即“A 有特征值k , 相应的特征向量为□1 1 j ”。
表明“ 0是A 的特征值”。
等等。
对每个特征值入，求线性齐次方程组(A - A E)X = 0的基础解系就是对应与特征值A的线性无关特征向量，其非零线性组合就是对应与特征值A的全部特征向量［线性齐次方程组］。
抽象矩阵利用特征值、特征向量的定义和性质及相似矩阵性质。
2、相似矩阵与方阵对角化(1)概念方阵A与B相似［记为A三B ］ U 存在可逆阵P，使有B = P」AP，其中P称为化A为B的相似变换阵。
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
相似矩阵及二次型应用案例相似矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多实际问题中有着广泛的应用。
而二次型又是相似矩阵的一个重要应用之一。
下面将分别介绍相似矩阵和二次型，并举例说明它们的应用。
相似矩阵是指矩阵A和矩阵B满足存在一个可逆矩阵P，使得B=P^{-1}AP。
相似矩阵是一个等价关系，它保持了矩阵的某些重要性质，如特征值和秩。
相似矩阵的应用非常广泛，下面将介绍其中的两个应用案例。
一、图像压缩与相似矩阵在计算机图形学中，图像压缩是一个重要的问题。
通过相似矩阵的应用，可以实现对图像的压缩。
在图像压缩中，可以将图像看作是一个由像素组成的矩阵。
通过找到一个相似矩阵P，可以将原始图像矩阵A变换为一个更简洁的矩阵B，从而实现图像的压缩。
具体来说，可以使用奇异值分解（SVD）来找到相似矩阵P。
奇异值分解将矩阵A分解为A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
通过保留较大的奇异值，可以将矩阵A近似地表示为A_k=U_kΣ_kV_k^T，其中k是一个较小的正整数。
矩阵Ak是对矩阵A的近似，它的秩较低，因此可以更加紧凑地表示原始图像。
通过相似矩阵的应用，可以实现图像的压缩，减少存储空间的占用，并且在一定程度上保持图像的质量。
二、二次型与优化问题二次型是指形如Q(x)=x^TAx的二次函数，其中A是一个实对称矩阵。
二次型在优化问题中有着广泛的应用。
通过相似矩阵的应用，可以将二次型进行标准化，从而更方便地进行优化计算。
具体来说，假设A是一个n阶实对称矩阵，通过相似矩阵的应用，可以将A对角化为一个对角矩阵D=diag(λ1,λ2,...,λn)，其中λi是A的特征值。
假设P是一个可逆矩阵，满足A=PDP^{-1}，则对于任意的非零向量x，有Q(x)=x^TPDP^{-1}x=(Px)^TD(Px)=y^TDy=λ1y_1^2+λ2y_2^2+...+λny_n^2。
其中y=Px。
通过将二次型进行标准化，即通过相似矩阵的变换使得二次型的系数矩阵变为对角矩阵D，可以更方便地进行优化计算。
线性代数教学教案第四章 相似矩阵及二次型授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第四章 第一节 向量的内积、长度及正交性 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 向量的内积和长度、向量的正交、正交向量组、施密特正交化过程、正交矩阵教学难点 向量组的施密特正交化、正交矩阵参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 了解向量的内积、长度、正交、标准正交基、正交矩阵等概念；掌握施密特正交化方法。
教 学 基 本 内 容一、 向量的内积、长度：向量的内积：设有维向量，令，称为向量与的内积.内积的性质（其中与都是维列向量，为实数）： (i) ； (ii)；(iii) ；(iv) ，当且仅当时，.柯西-施瓦茨（-Schwarz ）不等式：.n 1122,n n x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y []T 1122,n n x y x y x y ==+++ x y x y [],x y x y ,x y z n λ[][],,=x y y x [][][],,,λλλ==x y x y x y [][][],,,+=+x y z x z y z [],0≥x x =0x [],0=x x [][][]2,,,≤x y x x y y第二步，将单位化，得到.于是，就是的一个规范正交基.四、正交矩阵：正交矩阵：如果阶矩阵满足(即)，那么称为正交矩阵，简称正交阵.定理 设矩阵是阶方阵，则下列结论等价： （1）是阶正交阵；（2）的列向量组是的一个规范正交基；（3）的行向量组是的一个规范正交基.正交变换：若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换. 五、主要例题：例1 已知3维空间中的两个向量正交，试求一个非零向量，使两两正交.例2 设是的一个基，求一个与等价的规范正交基.例3 已知，求一组非零向量，使两两正交. 例4 验证矩阵是正交阵. 12,,,r βββ112212111,,,r r r===ξβξβξββββ12,,,r ξξξV n A T=E AA 1T -=A A A A n A n A nA nP =y Px 312111,211⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭αα3α123,,ααα1231021,4,1111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα3123,,ααα1111⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α23,αα123,,ααα11112222111122221111222211112222⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第四章 第二节 方阵的特征值与特征向量 课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合 教学重点 方阵特征值、特征向量的求法和性质 教学难点 方阵特征值、特征向量的求法和性质参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解方阵特征值、特征向量的概念和性质；掌握方阵特征值、特征向量的求法。
