建模作业商品价格问题

商品价格和包装大小的关系摘要我们知道现在很多商品都不止一种包装，为了满足不同消费者需求，厂家生产时将相同商品分成不同质量的包装，定价也各不相同。

显然由于节省包装成本的缘故，大包装商品单位重量价格明显比小包装商品便宜，那么商品价格及单位重量价格与包装大小的具体关系是怎样的，需要我们建立模型来说明。

本文建模的主要目的即是说明商品包装大小和价格的关系，用比例方法构造模型，通过定性分析，观察商品包装成本规律。

可得基本结论:包装增大时单位重量商品的成本减小；单位重量商品价格的减小值不会随着包装增大而无限增大。

我们知道成本包括生产成本、包装成本和其他成本。

由生活常识易知生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积与重量有关，假设出三个参数建立成本与重量的函数关系，进而求导观察函数的增减。

可得价格和单位重量价格与商品包装大小的关系。

关键词：商品包装；比例模型；单位质量价格；成正比一、问题的重述在超市购物时我们注意到大包装商品比小包装商品便宜。

比如题目中提到的洁银牙膏，50g装每只1.50元，即单价为0.03元/g,120g装3.00元，即单价为0.025元/g,单价比1.2:1,。

第一小题要求我们分析商品价格C与商品质量w的关系，价格由生产成本、包装成本和其他成本决定，其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比等。

第二小题要求我们给出单位质量价格c与w的关系并画出简图说明w越大c越小但是随着c减小的程度变小，解释其实际意义。

整个建模过程要求运用比例方法构造模型。

二、问题分析题目中要求分析商品价格和重量的关系，即分析成本和重量的关系，成本由生产成本、包装成本和其他成本组成，生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积又与质量有关，其他成本由于其不确定性为建模带来巨大困难，设为常数即忽略包装损耗及工作效率的差异。

建立几个量之间的函数关系，即可求解。

三、模型假设1.总成本=生产成本+包装成本+其他成本，其中其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比，其他成本记为与w,s无关。

列车售餐价格问题洪佳李莉1 摘要：列车上的服务方处于垄断地位，有着得天独厚的优势，让食品以高出市场价售出很容易。

价格越高利润自然越大，但乘客有一个承受的上限，超过这一上限，随着价格的继续提高，就会有越来越多的乘客放弃购买，相应地服务方所获得的总的利润就会随之发生变化。

在本模型中，我们选供需双方为一个系统，站在供者的角度研究怎样使得售价乘需求量减成本，即,使销售效益最大化的问题2 问题重述：长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。

提供一天三餐是主要的服务。

由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。

以K452次成都开往乌鲁木齐的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。

由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。

列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。

如一般售价3元的方便面卖5元。

当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。

但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。

假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。

请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

3 问题分析：价格增长利润增加同时导致要求购买的人数下降；价格降低利润减小同时导致要求购买的人数上升；存在最优的价格使得列车上的东西全都售出同时获得最大效益；这是一个优化问题，关键在找到最优的价格。

4 问题假设：1）盒饭价格每增加1元，就会有20个人选择放弃购买 ,即b1 = 20;2）方便面价格每增加1元，就会有36个人选择放弃购买 ,即b2 = 36;3）因为500人有在车上买饭的要求，假设早餐能提供500份；4）早餐的价格每增加1元，就会有30个人选择放弃购买, 即b3 = 30;5）各餐饮市场上的价格作为这里的成本价,即q1 = 10元（盒饭），q2 = 3元（方便面），q3 =5元（早餐）；6）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数进一步设: x ( p ) = a – bp, a, b > 0；5 符号说明：q：以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价；p：食物所卖的价格；a：绝对需求( p很小时的需求)，即价格最低时的购买人数；b ：价格上升1元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度）；I ：收入；U ：利润；C ：支出；x ：需要购买某食物的人数；相应的下标1，2，3分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：x1, x2, x3分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数；6 模型建立与求解：采用先统一再分开的算法；收入I ( p ) = px; 支出 C ( p ) = qx; 利润 U ( p ) = I ( p ) – C ( p ); 求p 使U ( p ) 最大； 使利润 U (p )最大的最优价格 p *满足U ( p ) = I ( p ) – C ( p )= (p –q )( a – bp) = -bpp + ( a + bq)p - aq因为 q / 2 ~ 成本的一半；b ~ 价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）b ↑ → p*↓a ~ 绝对需求( p 很小时的需求) a ↑ → p* ↑7 对于盒饭：由假设可知：q1 = 10, b1 = 20；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；所以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 – 20p1;由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q1 / 2 + a1 / 2 * b1 = 10 / 2 + 500 / 2 * 20 = 17.5;由 500 – 20 * 17.5 = 150 < 200; 此时不能直接用公式；由500 – 20p1 >= 200 得到 p1 <= 15;所以取得最大利润时p1 = 15;8 同理可得方便面：q2 = 3, b2 = 36；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人，此时还剩下300人需求方便面；所以，a2 = 300, 购买人数x = 300 –36p2 ;由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q2 / 2 + a2 / 2 * b2 = 3 / 2 + 300 / 2 * 36 = 6.3;由 300 – 36 * 6.3 = 73 < 100; 此时也不能直接用公式由 300 – 36 * p2 >= 100;得到p2 <= 5.5 由U （p ）= -bpp + (a + bq)p – aq 可知： 当U （p)取最大值时，p2 = 5.5;0*==p p dp dU p x p I =)(q x p C =)(b p a p x -=)((p x9 同理可得早餐：q3 = 5, b3 = 30；因为500人有在车上买饭的要求，以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 –30p3;因为供应量不受约束，所以可以直接用公式：由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q3 / 2 + a3 / 2 * b3 = 5 / 2 + 500 / 2 *30 = 11.5;所以取得最大利润时p1 = 11.5;10 结果分析与检验:1）盒饭、方便面、早餐的价格分别为15元、5.5元、11.5元；1)通过计算各价格都没有超出市场价格的3倍，并且能使所提供（早餐除外）的卖完.并从中获取最大的效益；2)算出的这些结果，消费者应当能够接受的；3)该模型算出的价格跟列车的实际价格相差不多，说明它是合理的；4)该模型中的建模与求解的过程已对它检验过了，深入地检验有待实践去完成；11 模型的评价：优点：由一个二次函数来解决了这个价格优化问题，从而获得了最大效益；使一个复杂多变的问题简单化了；缺点：需求对价格的敏感度仅靠自我的经验而得出的并没有精确化，敏感度问题仅用了一次函数，这太过简单化，可能不能很好的表现出它真实的模；改进方向：将敏感度问题精确化，进一步的接近于现实；函数可以尝试用更高层次富于变化的；推广新思想：建立数学模型必须从多方面去思考，它的最终目的是使复杂问题简单化、实际问题数学化；数学问题又生活化；但这些都有一个前提：必须要有严密的数学法则，数学理论为基础；12 参考文献：[1] 熊伟.运筹学[M]，武汉.武汉理工大学[2] 姜启源等.数学模型[M]，北京.高等教育出版社。

食品价格变动分析摘要本文在研究分析挖掘食品平均价格数据的基础上，分析了食品价格变动的特点、未来一段时间食品价格的预测以及食品价格与CPI的关系。

针对问题一，首先要对附录中27种食品进行分类，本文选择根据2014年1-4月各种食品平均价格涨跌幅的原始数据，应用SPSS进行组间系统聚类分析，将总体27种食品分为了6大类，分别作出这6大类食品价格随时间变化的折线图，分析出食品价格波动的特点。

针对问题二，结合1中的结论，应用SPSS软件对六类食品的均价走势进行线性，二次项，三次，对数等拟合，并依据2R、F检验显著度选择拟合方式，最后，通过拟合函数预测2014年5月份食品价格走势。

针对问题三，我们通过所给数据及查找的数据，进行食品价格走势与CPI变化相关度分析,选择相关性P>7.0分析得出27种食品种类中价格走势与CPI指数变动相似的依次为第1、7、15种食品，故可以通过检测较少食品种类，就能相对精确地预测CPI数值。

经过对地域经济特点的研究，选取河北和上海两地，通过查找相关CPI和食品价格数据，计算得出对CPI影响大的几类食品权重，分析得出不同地区应选取不同的食品种类进行检测。

关键词：组间系统系统聚类分析拟合相关性分析权重分析一、问题重述1.1 问题背景食品价格是居民消费价格指数（CPI）的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，影响人们的生活质量，是关系国计民生的重要战略问题。

1.2 问题提出根据已知的信息，建立数学模型解决以下问题：（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。

（2）对2014年5月份食品价格走势进行预测。

（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类（这里，食品种类是指附件1表格中的商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。

台
台
分析：
01
塘下 有6台
07
50元
02
莘塍 有12台
08
80元
03
飞云镇中 要10台
04
上望二中 要8台
05
40元
06
30元
09
10
11
12
X台
(6-x)台
(10-x)
(2+x)
台
台
建模法解应用题的一般步骤：
实际问题
数学化
数学模型
回 答 问 题 实际结果
现实化
数 学 解 答 数学结论
(25天时,获得最 大利润,且最大 利润是6250元.)
100
100
0
200 t（天）
0
150 t（天）
（1）写出图甲中表示市场售价p与上市时间t的关系式 P=－t+300
（2）写出图乙中表示种植成本Q与上市时间t的关系 式Q= 1 ( t1502)100
150
（3）如果市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时
上市的草莓纯收益最大？ Y = p – Q = 1-510t2+t+50
50
80
莘塍
30
40
（1）求总运费最低的调运方案及最低运费？
（2）最不合理的调运方案是哪一种？它使公司造 成的不该有的损失是多少？
分析：
01
塘下 有6台
07
50元
02
莘塍 有12台
08
80元
03
飞云镇中 要10台
04
上望二中 要8台
05
40元
06
30元
09
10
11

2、如果连续复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3倍？1、在每半年复利一次的情况下，以8%的利率，需要经过多长时间才能使现值增到2.5倍？3、连续收益流量每年按80万元持续5年，若以年利率5%贴现，其现值应是多少？T=11.68年r=13.73%55%00S 80353.92t e dt -==⎰8003S S re =4、某汽车使用寿命为10年，若购买此车需35000元，若租用此车每年租金为7200元，若资金的年利率为14%，按连续复利计算，问买车与租车哪一种方式合算。

计算租车资金流量总值的现值，然后与购买费相比。

租车租金流量总值的现值为所以买车比租车合算。

002.5S S +=2T0.08（1）2101014141172003875635000i i i i i S e e -%-%==≈>=∑∑5、一商家销售某种商品的价格满足关系x p 2.07-=(万元/吨)，x 为销售量(单位：吨)；商品的成本函数是C =3x +1(万元)。

(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t (万元)，求该商家获最大利润时商品的销售量；(2) t 为何值时，政府税收总额最大。

6、已知某企业生产的商品的需求弹性为1.2，如果该企业准备明年将价格降低15%，问这种商品的销量预期会增长多少？总收益会增长多少？2'5(2) 10 0 22T tx t t T t ==-=⇒=R18%,3%R Q Q∆∆==令2(70.2)31(4)0.21Px C Tx x x tx t x x --=----=---'''5()0,()0102L x L x x t=<⇒=-（1）利润L(x)=7、某消费者打算购买两种商品q 1和q 2，他的预算约束是240元，两种商品的单价分别是10元和2元,其效用函数为U=q 1q 2,消费者的最优商品组合是什么？一元钱的边际效用是多少？8、效用函数U (q 1,q 2) 应满足的条件是以下的A,B 之一：A. U (q 1,q 2) =c 所确定的函数q 2=q 2(q 1)单调减、下凸；0,0,0,0,0.B 21222221221>∂∂∂<∂∂<∂∂>∂∂>∂∂q q Uq U q U q U q U AB ⇒证明：对U (q ,q 2) =c 两端求q 1的一阶导和二阶导12102240q q +=1212MU MU P P =1212,60q q ==解建立方程组得解出一元钱边际效用为610、在确定性存贮模型中，在费用中增加购买货物本身的费用，确定不允许缺货的最优订货周期和订货批量。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学院（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期： 2010 年 5 月 29 日评阅编号(教师评阅时填写)：生猪价格问题摘要本文主要就生猪价格下跌原因以及如何制定合理的生猪价格定价策略问题采用线性回归和对数线性模型以及统计学知识对其进行分析。

问题一，采用线性回归法，对猪肉价格的发展趋势进行短期预测。

首先通过对2009年12月到2010年5月我国猪肉价格分析得出，猪肉价格在短期内呈线性下降趋势，得到线性方程^t S a bt =+，然后用根据这个线性方程拟合该时间序列上的猪肉变化趋势，再与实际的变化曲线进行比较，说明此方法的可行性，并对2010年6月的猪肉价格进行预测。

问题二，首先根据猪的不同重量，将猪分为三个成长阶段：5Kg ～25Kg 为幼年期；25Kg ～90Kg 为成长期；90Kg ～110Kg 为成年期。

由于猪的体重从5到110公斤呈正态分布，可以算出这三个阶段的猪的数量比为6：988：6。

然后根据猪场收入与成本建立猪场盈亏平衡点等式模型362%100n X G m ⨯⨯⨯=⨯生。

可以得到猪粮比约为6：1，即该养猪场的盈亏平衡点，从而得问题四出定价策略的数学模型中的猪粮比参数s 。

接着对2009年12月到2010年5月的猪肉价格和猪料价格进行统计，分别求出他们之间的猪料比值。

第1号题水质评价按照《中华人民共和国地下水质量标准》，地下水水质共分六个等级（如表一）。

现经过抽样得到三个地区的水质状况（如表二），对照标准，试评价他们各属哪一级。

第2号题工资比较为研究工资水平与工作年限和性别之间的关系，在某行业中随机抽取10名职工，所得数据如表一所示，试通过回归方程分析月工资收入与性别和工作年限有何关系。

表一 10名职工工资水平、工作年限和性别数据第3号题农产品定价某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。

所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。

原奶首先要分离成脂肪和奶粉两中组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。

各种产品的百分比组成见下表：产品\成分脂肪奶粉水牛奶4987奶油80218奶酪1353035奶酪2254035往年的国内消费和价格如下表：产品牛奶奶油奶酪1奶酪2消费量（千吨）482032021070价格（元/吨）2977201050815价格的变化会影响消费需求。

为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：E=需求降低百分数/价格提高百分数各种产品的E值，可以据往年的价格而后需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。

另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。

表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21值,同样可以凭数据用统计方法求出已经求出牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4以及E12=0.1, E21=0.4.试求出4种产品的价格，试所导致的需求使销售总收入为最大。

然而，政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。

因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。

2023数学建模国赛c题思路--蔬菜类商品的自动定价与补货决策一、问题概述蔬菜类商品定价与补货是一个复杂的决策过程，涉及多方面因素，包括市场需求、成本、竞争状况等。

在本次数学建模比赛中，我们将重点关注2023年的蔬菜市场，运用数学模型和方法对蔬菜类商品进行自动定价和补货决策。

二、思路与方法1.数据收集与处理数据是制定有效决策的关键。

首先，我们需要收集关于蔬菜类商品的各种数据，包括但不限于：市场价格、需求量、成本、竞争对手价格等。

这些数据可以通过市场调查、政府报告、行业协会等途径获取。

在收集到数据后，我们需要进行清洗和整理，确保数据的准确性和完整性。

2.需求预测需求预测是定价和补货决策的基础。

通过分析历史销售数据，我们可以预测未来的市场需求。

常用的需求预测方法包括时间序列分析、回归分析等。

通过预测未来一段时间内的需求量，我们可以更好地制定定价和补货策略。

3.成本分析成本是定价的重要因素之一。

我们需要分析蔬菜类商品的成本结构，包括种植、采摘、运输、储存等环节的成本。

通过成本分析，我们可以了解商品的盈亏平衡点，为定价提供依据。

4.定价策略在综合考虑需求和成本后，我们可以制定定价策略。

常见的定价策略包括成本加成定价、竞争导向定价等。

在制定定价策略时，我们需要考虑市场需求、竞争对手价格、商品特点等因素。

5.补货计划补货计划是根据需求预测和库存情况制定的采购计划。

我们需要根据市场需求和库存情况确定最佳补货时间点和补货量。

常用的补货计划方法包括实时库存监控和定期补货计划等。

通过制定合理的补货计划，我们可以确保库存充足，满足市场需求。

克 8 元，原料占用资金不得超过 30000 元，已知生产单位产品所需工时，原料消
耗，产品单价，A，B 两道工序有效工时如表 1-19 所示，要求安排最优的生产计
划，使该厂利润最大？
表 1-19
Ⅰ
Ⅱ
工序有效工时
A 工序（工时）
2000
B 工序（工时）
1500
原料（千克）
1
2
单价（元/件）
20
28
解：该问题的目标是使得利润最大，设产品Ⅰ和产品Ⅱ的生产数量分别为
乙的售价为元/千克，加工费甲为元/千克，乙为元/千克。已知天然饲料 A，B，
C 中蛋白质、矿物质、维生素的含量，A，B，C 的单价及每周的限用量如表 1-22
所示。问该厂应如何安排生产，才能使利润收入为最大？
表 1-22
天然饲料 蛋白质(%) 矿物质(%) 维生素(%) 单价 每周限制用量
(元/千克)
其运行结果如下：
7.在同一平面的两个窗口中分别画出心形线和马鞍面，要求： (1)在图形上加格栅、图例和标注； (2)定制坐标； (3)以不同的角度观察马鞍面。 解：编写以下程序：
subplot(2,2,1); ezplot('2*(2*cos(t)-cos(2*t))','2*(2*sin(t)-sin(2*t))'); title('心形线'); view(-45,45); subplot(2,2,2); [X,Y]=meshgrid(-2::2); Z=X.^2-Y.^2; surf(X,Y,Z); colormap('default'); grid on;view(40,0); title('以(40,0)视角观看马鞍面'); subplot(2,2,3);surf(X,Y,Z); colormap('default'); grid on;view(-60,10);

利润既取决于销量和单件价格，也依赖于产量和单件成本。按照市场规律，甲种品牌的价格 固然会随其销量 的增长而降低；同时乙品牌销量 的增长也会使甲的价格有稍微下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，
即：
乙的价格 遵循同样的规律，有
2、成本与产量成负指数关系
甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低，按该厂的实际情况进行大量调查，呈现为负指数关系，即有
q1=38*exp(-0.023*x(1))+116;
p2=480-0.14*x(1)-2.98*x(2);
q2=94*exp(-0.Biblioteka 18*x(2))+145;
y=-(p1-q1)*x(1)-(p2-q2)*x(2)
再建立chengxu.m文件：
x0=[63.83;80.54];
[x,fval]=fminunc('fun',x0)
甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低，按该厂的实际情况进行大量调查，呈现为负指数关系，即有
、 、 >0
乙品牌的成本 遵循同样的规律，有
、 、 >0
符号说明：
表示总利润；
、 、 分别表示甲的价格、成本、销量；
、 、 分别表示乙的价格、成本、销量。
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
（一）优化模型-----最优价格
科学技术学院
上 机报 告
课程名称数学建模
上机项目优化模型-最优价格和产量的最正确安排
专业班级 姓 名 学 号8
一、问题提出
问题1： 某厂根据产品成本和销售情况，在产销平衡条件下（产品的产量等于市场的销售量），如何确定商品的最优价格，使获得利润最大。
问题2：某厂生产一种产品有甲、乙两个品牌，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大。

用数学建模进行产品定价决策的实证研究摘要：价格策略的制定直接决定了企业总体利润水平，其制定直接与数学建模相关。

在市场经济中每个企业都试图追求“利润最大化”，用数学建模的方法来论证企业决策是否合理，是企业决策精准化科学化的必由之路。

关键词：数学建模定价决策实证研究企业营销策略组合包括产品策略、价格策略、分销策略和促销策略，简称4p’s。

价格策略的制定与数学建模相关联。

现通过两则典型案例剖析如下。

案例：国酒茅台频频涨价背后隐含的玄机国酒茅台公司市值已超人民币2000亿元，茅台公司成为中国a 股市场最赚钱公司之一，公司对股东股民的分红回报亦名列上市公司榜首。

已知：茅台每年产能不到20000吨，但年需求量达到100000吨，供不应求。

市场调查发现：茅台酒年消费量中60%以上用于公务接待。

30%属于私人购买用于公关送礼，只有不到10%用于自买自用。

问题设计：茅台公司为何频频涨价？茅台公司决策层之所以对“涨价策略”“情有独钟”，不断用涨价策略榨取市场利润背后的逻辑基础是什么？茅台公司在可以预见的往后几年会否继续动用“涨价”这一屡试不败的策略吗？数学建模分析如下：假设2011年茅台酒年消费量q吨，价格为p元/吨（为方便建模我们将不同品种茅台酒简化成一个品种，价格采用平均价格），如下一年2012年涨价10%导致市场销售量下降x%。

公司价格决策问题可替换成“涨价10%时公司对市场销量下降的承受度是多少”？由于茅台酒年消费构成是：60%公务招待+30%私买送礼+10%自用，前两块60%+30%=90%共90%消费不受涨价影响，只有自用部分的10%受涨价影响。

因此可干脆假设可变量10%部分市场份额受涨价影响而导致销量下降幅度为x%。

问题第二次替换成“x%可下降的最大限度是多少”？本案例原型问题是：“涨价导致销量减少从而使企业利润减少的条件是什么”？本案例决策支持原则即数学建模原则可描述成：支持涨价的唯一理由为“企业利润不减少”2012年利润——2011年利润 > 0（对原型问题进行首次置换）再假设茅台公司总生产成本2011年和2012年持平不变。

西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定摘要食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。

在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是蔬菜价格的变化关系到千家万户的日常生活，菜价的上涨将严重影响城市低收入群体的生活质量。

本文应用时间序列法来研究蔬菜价格的变动以及蔬菜价格指数的编制问题，并运用所构建的模型来进行蔬菜价格的短期预测。

针对问题一，要求根据所选的5种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这5种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测2015年这5种蔬菜每月的价格。

通过绘制5种蔬菜价格随月份变化的折线图，发现蔬菜价格具有较明显的季节性变动。

显然，5种蔬菜价格分别是5个时间序列，利用EViews软件对5个时间序列进行稳定性检验，结果显示全部5个时间序列都是平稳时间序列。

因此，本文分别对5个时间序列建立了ARMA模型，利用EViews和MATLAB软件进行参数求解和模型检验得出具体的时间序列模型，并通过所建立的模型对未来一年内的蔬菜价格进行了预测。

针对问题二，本文首先利用SPSS软件对17种蔬菜进行了系统聚类，将17种蔬菜分为三类，通过分别计算三类蔬菜价格的平均值来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。

然后考虑人们的消费习惯对价格指数的影响，本文查找网上资料，按销量将17种蔬菜分为五类，用各类蔬菜的销量在一定程度上反映人们的消费习惯。

通过各类蔬菜的销量来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。

最后对于上述两种因素，本文凭借生活经验，人为的对两种因素赋予不同的权重值，进而计算每月蔬菜价格的加权平均价格，求出每月的定基价格指数。

通过检验发现价格指数仍是一平稳的时间序列，因此同第一问一样建立ARMA模型进行研究。

针对问题三，本文对问题二所得到的蔬菜价格指数进行回归分析，利用SPSS 软件绘制散点图，发现在95%的置信区间内可以进行线性回归分析。

Pi g
含义 第 i种食品在第 j阶段的平均价格 预测的第i种食品在第j阶段的平均价格 第 i类食品价格归一化值 第i类食品与第j类食品价格间的欧氏距离 表示空间中的一个聚类 学习速率 表示聚类中的所有元素的均值 灰导数
D(i, j) Ci
Lr
m i
x(0) (k)
四、基于 k -medoids 聚类算法的食品价格变动特点分析
二、模型的假设
（1）假设在食品预测的时间段类不存在重大自然灾害等不可预测性因素对 食品价格产生影响。 （2）假设题目中给的数据位绝对正确的数据。 （3）假设国家政策与食品价格相关的指定方案在食品预测的时间段内不发 生较大改变。
（4）假设食品价格影响因素的复杂程度在可预测范围内。
三、符号说明
符号 p(i, j) P(i, j)
一、问题重述
1.1 问题背景 食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分， 食品价格波动直接影响居民 生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。2000 年以来，我国城 镇居民家庭食品消费支出占总支出的比重一直维持在 36%以上。 在收入增长缓慢 的情况下， 食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是食品价格 上涨将降低低收入群体的生活质量。 居民消费者价格指数（CPI），是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统 计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。城市食品价格 的监控，一方面作为 CPI 组成部分反映 CPI 变化，同时它更能反映与居民生活 息息相关的市场信息。 CPI 是一个滞后性的数据， 而食品零售价格是实时观测的， 目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动 情况。 1.2 目标任务 在以上所述背景下， 以及已知近期食品价格和 CPI 数据的基础上， 建立数学 模型解决以下三个问题： （1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。 （2）对 2014 年 5 月份食品价格走势进行预测。 （3） 目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指 数变动情况， 如何仅通过监测尽量少的食品种类价格即能相对准确地计算、预测 居民消费者价格指数？至少选择两个有特点的城市进行说明：在同样精度要求 下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致。

D( p) c dp
S ( p) a bp
试确定该商品的价格模型（函数）； 为了使销售商品的利润最大，试确定该商品的最优 价格.
相关知识点
1.微分方程的几何应用和简单物理应用
2.一阶线性微分方程知识点
3.函数的极值
解题方法
建立价格变化的微分方程模型，得一个一阶线 性微分方程，用通解公式法求解.
设某商品在时刻的销售价格为工厂生产和存放单位该商品的成本分别为市场对该商品的需求量和它对市场的供给量分别为其中均为正常数
价格模型
设某商品在时刻的销售价格为 p(t ) ，工厂生产和存 放单位该商品的成本分别为 q 和 r ，市场对该商品 的需求量和它对市场的供给量分别为
、 ，其中 a, b, c, d 均为正常数.
.
ca p bd
*
解题过程
第二步： 通常当某种商品供不应求时，即 S ( p) D( p) 时， 商品的价格要上涨； 而当供过于求时，即 S ( p) D( p) 时，商品的价格 要下跌.因此可以认为 t 时刻价格 p(t ) 的变化率与 超额需求量 D( p) S ( p) 成正比，即
（2）
解题过程
将（2）式化为
dp p p * , dt
这是一个一阶线性微分方程，由通解公式得
p(t ) e
p*e dt dt C p* Cet . （3）
dt
解题过程
第四步： 若假设初始价格为 p(0) p0 ，代入（3）式 C p0 p* ，因此有 得
解题过程
第八步： 函数 U ( p ) 的图像如下图：
U（利润）
O
p0 p *
p（价格）

数学建模_价格和包装的关系
商品的包装规格和价格的关系
1、问题：我们都知道许多商品都是以包装的形式出售的，同一种包装有着不同的规格，价格高低也不同。

我们在新街口的物美超市调查了几种商品不同包装规格及其价格，旨在探究商品包装规格和价格的关系。

2、假设:
2.1. 商品价格只受成本影响，不考虑其他因素对价格的影响。

2.2.成本只计工时、产品成本和包装材料。

2.3.不同规格的商品装包时工作效率相同。

2.4.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。

3、组建模型：
3.1.参量与变量：
A: 每件商品中产品的成本,
W:每件商品中产品的含量,
B: 每件商品的包装成本,
B1: 装包工时投入,
B2: 包装材料成本
S: 包装表面积, V：包装体积，
C(W): 总成本,
3.2模型：
由于产品的成本和工时都与产品量w成正比，故A+B1=k1*w。

包装的材料消耗B2将正
比于S，S=k3?V 2
，而体积正比于产品量w。

即 B2=k2?w
2
则，产品总成本为：
C(w)=A+B1+B2=k1?w+k2?w2/3 4、代入数据：
利用上述公式，带每种商品的前两种价格计算k1，k2.
结果发现差异非常明显，说明商品价格的不能简单用包装成本和产品成本来计算。

调查数据来自：新街口物美超市2011年10月中旬。

调查成员：张博文，王启明。

商品包装与成本模型摘要本模型是讨论商品规格对商品价格的影响。

主要分析包装成本对商品价格造成的影响。

首先进行假设，来简化问题。

然后设出各个变量，建立模型并求解，并与实际调查结果对比。

最后对模型进行讨论并分析模型误差。

关键词：包装：商品价格：预测：问题描述调査包装类似但多少不同的三种同一商品齐两组，组建模型描述包装与价格的关系。

基本假设1.不考虑利润及其他因素对商品价格的影响C2.包装只计装包工时和包装材料。

3.不同规格的商品装包时工作效率相同。

4.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。

A：每件商品中产品的成本；W：每件商品中产品的含帚::B：每件商品的包装成本：Bp装包工时投入；F2：包装材料成本；S：包装材料用最；C(W)：总成本；c(W)：单位商品平均成本；模型推导由常识C(W) = A+B = A+B1 + B2 (1.1)由假设1 A =©"(1.2)由假设3 = a2W (1.3)由假设4以及面积S = kW2/3得仍=Q3S = a4W2/3 (1.4)所以由(1.1)式得C(W)=幻"+*2“2/3 (1.5)这就是商品总成本和所设参量的关系所以C (W) = C(W)/W = ki + k 2W~^3 (1.6)模型的求解由理论推导可知，若产品价格为5、C2分别为同一产品不同规格的两种商品价格, W ］、W2为商品的规格，则kj * 4- k 2 * wf = c 12人 * w 2 + k 2 * w 2 0 = c 2 其中灯、*2为所求系数。

模型检验调査时间：2011年4月7日调查地点：知春路沃尔玛 商品价格调查 商品 规格价格恰恰瓜子 150g 3.5 228g 5.3 250g 6.5 奇强洗衣粉 400g 4 1180g11 1480g 13恰恰瓜子由调查数值旳=150 w 2 = 228 5 = 3.5 c 2 = 5.3,将其带入式(1.8) 得灯=0.0227 k 2 = 0.0036所以0.0227 * w + 0.0036 * w% = c (1.9)将W3 = 250带入式(1.9)得，C3 = 5.8179实际值为6.5 奇强洗衣粉由调査数值wi = 400 w 2 = 1180 c x = 4 c 2 = 11，将其带入式(1.8)得幻=0.0078 k 2 = 0.0165所以0.0078 * w + 0.0165 * w% = c (1.10)将W3 = 1480带入式（1.10）得，c 3 = 13.6868实际值为13误差分析与进一步讨论(1.7)(1.8)“A从上面的讨论看出，奇强洗衣粉的预测价格与实际价格很好符合，相对误差（I实际值一预测值丨/实际值）仅为5.3%。

商品价格问题的线性回归模型庄思发韶关学院数学系 00级数学与应用数学本科班,广东韶关512005[摘要]：价格问题是企业及消费者普遍关注的问题,价格的高低会影响消费者的需求.价格上涨,需求下降,反之则上升.如何定价才能使销售额最大呢？本文针对此问题建立相应数学模型,如简单优化模型,线性回归模型,“价格弹性”模型等,使用最小二乘法及极值法求解出最优价格.模型从易到难、由简到繁,分别给出了单商品及双商品的数学模型,解决了单一商品及双商品最优价格问题.最后还给出了模型的推广,将二种商品推广到n种商品,有很强的实用性与创新性.关键词：价格；销售额；需求函数；价格弹性；线性回归1 问题的提出商品的定价是企业的重要决策之一,这种看法已经成为人们的共识.价格的高低对商品需求具有重要影响.商品的定价直接关系到企业是否盈利及盈利的高低.商品的价格太高会导致销量下降,价格降低虽会提高销量,但也许因为价格太低而影响企业盈利.当只有一种商品时,显然销量是该商品价格的降函数，但当两种商品互相影响时,情况就不同了.另一商品的价格也会导致其中一种商品的销售量,即使该商品本身的价格不变.因此,如何为商品定价才能使企业获得最大销售额显得至关重要.因此,本文就此问题而寻求解决办法.分别给出单一商品和双商品的定价方案.2 模型准备2.1 模型假设①以下所讨论的价格均不会低于成本②商品总能满足顾客需求,即总能保持供需平衡③商品质量等方面均能满足顾客要求之标准,不会影响顾客购买心理④不考企业间竞争及社会因素对价格的影响⑤价格在一个时间单位（如年、月、周）内不会变动2.2符号约定p：第i种商品第j个时间单位（如年、月、周）的价格ijp则表示某商品第j个时间单位的价格若只简单记为jij q ：第i 种商品第j 个时间单位的销量若只简单记为j q 则表示某商品第j 个时间单位的销量ij E ：商品i 相对商品j 的交叉价格弹性,当j i =时则称为自价格弹性Q ：销售额,即销售总收入2.3 概念解释一、销售额：销售总收入,用各商品价格与相对应销售量的积的 和表示需求曲线：又称需求函数,是反映价格与需求关系的函数,一般为价格的降函数二、需求自价格弹性[1]：反映商品自身价格对消费需求的影响关系,用E ＝需求相对变化率/价格相对变化率 表示,或是：E ＝需求提高百分数/价格提高百分数三、需求交叉价格弹性[1]：反映某一商品价格变动对另一商品消费需求的影响关系, 用ij E ＝商品i 的需求相对变化率/商品j 价格相对变化率表示,或ij E ＝商品i 的需求变动百分数/商品j 价格变动百分数，当0>ijE 时,称商品i 与商品j 互为替代品,如青菜与卷心菜,当青菜价格上升时,顾客对卷心菜的需求量则会上升;若0<ijE ,称商品i 与商品j 为互补品,即在购买过程中,两种商品须同时按一定比例配给顾客,如汽车与汽油,当汽车价格上涨时,不仅汽车的需求会降低,同时汽油的需求量也会降低（尽管汽油价格不变）;若0=ij E ,则称两种商品互为独立品,即两种商品互不影响.3 单一商品的价格模型3.1 简单优化模型理想情况下已知道需求曲线：1=+ap b q 以价格p 为横坐标,销量q 为纵坐标作平面图.（如图1记),(q p M 为该直线上一点,即点M 即：1=+a p b q 得：p ab b q ⋅-=欲求销售额即q p Q ⋅=的最大值,亦即求点M 在曲线上运动时对应的矩形（阴影部分）面积最大.p b p ab q p Q ⋅+-=⋅=∴2问题化为求二次曲线p b p ab q p Q ⋅+-=⋅=2的最值问题 令：02=+⋅-=∂∂b p abp Q 得稳定点：,2~a p =相应2~b q= 即销售额最大为：4~~maxb a qp Q ⋅=⋅= 但现实中往往不能事先知道需求曲线,或曲线并是一条完美的直线.因此模型3.1并不总是可行.幸好通常企业都会有往年销售记录,利用这此数据可使用相关方法求出需求曲线,有了需求曲线,要求最优 价格便不是难事了.故关键是如何将商品的需求曲线找出来.因此我们对模型3.1进行改进.3.2 线性回归模型通常企业都会记录自己商品的销售情况,包括价格,销售量等信息,这些数据, 若在坐标平面上描点作图可得一些零星的点,从长远来看,所有这些点组合起来接近于一条直线(通常情况下),这就是我们要找的需求曲线.因此我们就可以使用线性回归方法拟合出需求曲线.可以选取线性函数用最小二乘法[2]拟合数据. 假设现有某商品销售记录如下：(表1)方法一：选取线性函数：p a a p q ⋅+=10)( (1)其中10,a a 为待定参数.根据表格数据建立最小二乘法的法方程组[3]：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(101011100100ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f a a ………………………（2） 其中：∑∑∑∑====⋅======ni ii n i i n i i ni iq p f q f p p n 111102111011000),(,),(,),(),(),(,),(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ解方程组（2）可得：10,a a 的值.代回（1）式即可得出该商品的需求曲线表达式. 方法二：记∑∑==⋅+-=-=ni i i n i i i p a a q p q q T121012)]([)]([再令：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⋅+--=∂∂=⋅+--=∂∂∑∑==0)]([20)]([211011100ni ii i ni i i p p a a q a T p a a q a T (3)解方程组（3）即可求得10,a a 的值.代回（1）式即可得需求曲线表达式. 因此销售额表达式为：210p a p a q p Q ⋅+⋅=⋅=用模型3.1的极值法即可求出最大销售额.max Q3.3 “自价格弹性”需求曲线仍使用表1的数据,用数理统计的方法求出该商品的需求自价格弹性.记：1,2,1,1,2,1,1!-=-=-=-=++n i q q q n i p p p iii i ii i i ξε求其数学期望[4]：∑∑-=-=-=-=111111,11n i i n i i n n ξξεε 则该商品的需求自价格弹性：εξ=E或先令：1,2,1,-==n i ii i εξσ再用数学期望：∑-=-=1111n i i n E σ 通常E 是一负数，为了求出需求曲线，我们要使用原始数据，为此，先求出价格与销售量的数学期望：∑∑====ni i n i i q n q p n p 111,1则需求曲线可表示为：])(1[)(pp p E q p q -⋅+⋅= 得销售额表达式：)1(])(1[)(2p E p p E p p p p p E q p p q p Q ⋅-⋅⋅+⋅⋅=-⋅+⋅⋅=⋅=最后使用模型3.1的极值法即可得最大销售额：max Q . 3.4 实际问题求解以市场上奶酪为例,现有奶酪销售记录如下：（表2）方法一：线性回归 选取线性函数：p a a p q ⋅+=10)(,根据数据写出方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1542807520146340077807847380 7380710a a 解得220,44100010-==a a故需求曲线为：p p q 220441000)(-= 则销售额表达式为：2220441000)(p p p q p Q -=⋅=令：0440441000=-=∂∂p pQ,得27.1002~=p 此时销售量：60.220500)(=p q ,8max10210011363.2)~(~⨯=⋅=p q p Q方法二：自价格弹性根据模型3.3及表2可求出奶酪的自价格弹性为：209057,1054,11.1==-=q p E则：p pp p E q p q 16.22027.441110])(1[)(-=-⋅+⋅= 则销售额表达式为：222027.441110)(p p p q p Q -=⋅=用极值法求解可得：8max1020947012.2,220506~,1002~⨯===Q q p4 双商品的价格模型在现实生活中,往往销售情况不会就那么简单,销售量不只会受自身价格的影响,同时也会受其它商品的影响.通常情况下,某一商品价格的变动会影响另一商品的销售量.因此,对两种商品甚至多种商品的价格问题进行探讨是十分必要的.设有两种商品21,A A ,它们在销售中能互相影响,企业记录的销售情况如表3：(表3)4.1线性回归模型当某一商品价格固定不动时,该商品的需求情况可看成是另一商品的线性函数,因此我们仍可选取线性函数：2221212021221211110211),(),(p a p a a p p q p a p a a p p q ⋅+⋅+=⋅+⋅+=其中222120121110,,,,,a a a a a a 为待定参数. 仿照3.2做法：记：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅+-=-=⋅+⋅+-=-=∑∑∑∑====ni i i i n i i i i ni i i i n i i i i p a p a a q p p q q T p a p a a q p p q q T 122222212021221222122121111011221111)]([)],([)]([)],([令：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅⋅+⋅+--=∂∂=⋅⋅+⋅+--=∂∂=⋅+⋅+--=∂∂∑∑∑===n i i i i i n i i i i i ni i i i p p a p a a q a T p p a p a a q a T p a p a a q a T 122121111011211121211110111112121111011010)]([20)]([20)]([2………………（4） 解方程组（4）即可将参数121110,,a a a 求出.同理可求出参数222120,,a a a .即商品1A 与2A 的需求曲线为：2221212021221211110211),(),(p a p a a p p q p a p a a p p q ⋅+⋅+=⋅+⋅+=则销售额为：2211q p q p Q ⋅+⋅=22222111************)(p a p a p p a a p a p a ⋅+⋅+⋅⋅++⋅+⋅= 因此销售额最大的问题也就转化为求二元二次函数极值问题了,同样,令：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+⋅++=∂∂=⋅+⋅++=∂∂02)(02)(2221211220211122112101p a p a a a p Q p a p a a a p Q…………………（5） 解方程组（5）即可得最优价格21~,~p p .4.2 “交叉价格弹性”需求曲线根据交叉价格弹性定义及表3数据,先求出商品21,A A 的交叉价 格弹性12E 及21E ,为此,记：1,2,1,,1,2,1,,22122111112212211111-=-=-=-=-=-=++++n i q q q q q q n i p p p p p p iii i i i i i i ii i i i i i ξξεε令：12,1,,222111-===n i ii i i i iεξσεξσ得：∑∑-=-=-=-=112211111211,11n i i n i i n E n E σσ 由于商品21,A A 的需求情况不仅互相影响,且会自我影响,因此,21,A A 的需求函数应表示为：])()(1[),(])()(1[),(1112122222221222212111111211p p p E p p p E q p p q p p p E p p p E q p p q -⋅+-⋅+⋅=-⋅+-⋅+⋅= (6)因此销售额:])()(1[])()(1[),(),(11121222222222212111111121222111p p p E p p p E q p p p p E p p p E q p p p q p p p q p Q -⋅+-⋅+⋅⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅=⋅+⋅=欲求最大销售额max Q ,则又转化为求二元二次函数最值问题了.因此,通过解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021p Q p Q即可解得最优价格21~,~p p . 4.3 实际问题求解以市场上互为替代品的两种奶酪为例,有以下销售记录：方法一：（使用最小二乘法拟合数据） 选取线性函数：2221212021221211110211),(),(p a p a a p p q p a p a a p p q ⋅+⋅+=⋅+⋅+=则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅+-=-=⋅+⋅+-=-=∑∑∑∑====8122222212028122122281221211110181221111)]([)],([)]([)],([i i i i i i i i i i i i i i i i p a p a a q p p q q T p a p a a q p p q q T根据表格解方程组（4）（可用数学软件求解）.求得：31,24,66407,26,220,42003222120121110-====-==a a a a a a将参数代回（5）式,根据多元函数最值问题求法求得使销售额2211q p q p Q ⋅+⋅=最大的两种商品价格为：1957~,1190~21==p p方法二（使用交叉价格弹性） 根据表格数据可得：)7.1,3.1,7.5,0.2,5.2,6.1,8.1()82.0,78.0,68.0,2.2,36.0,6.2,49.0(21---=----=σσ76.071,42.0717122171112====∴∑∑==i i i i E E σσ这两种商品的自价格弹性亦可通过以往记录求得,这里给出已求得的3.2,1.12211-=-=E E则：按（6）式可得21,A A 的需求曲线：])(42.0)(1.11[),(])(42.0)(1.11[),(11122222122221111211p p p p p p q p p q p p p p p p q p p q -⋅+-⋅-=-⋅+-⋅-=其中：37661,214035,1831,11512121====q q p p使用多元函数最值求法即可求出使销售额最大的最优价格：1977~,1236~21==p p5 模型推广价格问题往往复杂多变,各种商品互相影响在所难免.如原材料市场的商品,某一商品价格变动,将会使下游商品发生连带的价格变动及销量变化.设有n 种商品n A A A A ...,,321,它们的需求情况因价格变动而互相影响,不妨设第j 个时间单位商品i A 的价格为ij p ,销量为n i q ij ,2,1,=m j ,2,1=5.1 多商品的线性回归模型为获得商品i 的需求函数,选取线性函数：n i p a a p a p a p a a q ni k ik i n in i i i i ,2,1,1022110=⋅+=⋅+⋅+⋅+=∑=注意到),,(21n i i p p p q q =,即i q 是n p p p ,,21的函数.记：ni p a p a p a a q p p p q q T nj nj in j i j i i ij ni nj j j i ij i ,2,1,)]([)],,([12221101221=⋅++⋅+⋅+-=-=∑∑==令：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂00010inii ii ia T a T a T (8)解方程组（8）则可得出参数in i i a a a ,,10.需要注意的是,使用最小二乘法求解时必须要有至少1+n 个时间单位的数据,否则无法求解.综上所得：n n ni i iq p q p q p q pQ ⋅+⋅+⋅=⋅=∑= 22111令：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂00021np Q p Qp Q (9)解方程组（9）即可得多商品最优价格n p p p ~,~,~21 . 5.2 多商品的“交叉价格弹性”需求曲线54 与双商品情况类似,根据往年销售记录即可使用数理统计方法求出商品i 相对于商品j 的交叉价格弹性（当j i =时为自价格弹性）：ij E 及价格、销量的数学期望：i p 与i q . 则可得需求曲线为：n i p p p E q p p p q n j i i i ij i n i ,2,1],)(1[),,(121=-⋅+⋅=∑=至此,最大销售额max Q ,通过解方程组（9）即可.6 模型的评价与应用文中使用了不同模型为求解最优价格问题提供了多种途径.但简单优化法是理想情况下的做法,可行性较低.而线性回归方法往往需要大量数据资料才能得到较精确结果,尤其是多商品时,n 种商品至少要有1+n 组数据才可求解.“价格弹性”法虽不要求大量数据资料,但为了达到更精确结果,则相应要求更多数据了,而且在求“自价格弹性”时,往往要求其它商品价格相对固定,这就对数据资料收集添加了困难.无论哪种模型都是对真实情况的一种模拟和近似,误差不可避免.由于计算方法自身的缺陷,多商品的线性回归模型与交叉价格弹性法的误差可能较大,这一点在4.3中可以看出.使用两种方法求解出的结果有一定的差距,但这些误差可以在数据充足或是减少变量的情况下逐渐得到减少.文中所提到的方法,应用性极强,应用范围极广.凡与商品定价有关的各行各业都可使用以上模型,如农产品、工业产品、食品等的定价.众多商品的销售与价格都是紧密相连的,使用文中的模型即可方便快捷的解决定价的问题.参考文献:[1] 谢为安著.《微观经济理论与计量方法》.同济大学出版社,1996.8[2] 邓东皋,尹小玲.《数学分析简明教程》.下.北京.高等教育出版社,1999[3] 施吉林,刘淑珍,陈桂芝.《计算机数值方法》.北京.高等教育出版社,1999[4] 魏宗舒.《概率论与数理统计》.北京.高等教育出版社,1983.10[5]袁震东主编.《数学建模方法》.上海.华东师范大学,2003.1[6] 姜启源,谢金星,叶俊.《数学模型》.第三版.北京.高等教育出版社[7]朱思铭,李尚廉.《数学模型》.广州.中山大学出版社,1995.8[8] 内格尔(Nagle,T.T),霍尔登(Holden,R.K)著.赵平等译.《定价策略与技巧》.北京.清华大学出版社[9] (美)古亚拉提(Gujarati,D.N)著.张涛等译.《经济计量学精要》.北京.机械工业出版社,2000.5。