河北省保定市2011届高三第一学期期末调研考试(理综)

河北省保定市2010—2011学年度高三第一学期期末调研考试文科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分300分，考试时间150 分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目潦写在答题卡上。

2．I卷每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题且的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再进潦其他答案标号，不能答在试卷上。

3．Ⅱ卷试题一律在答题卡上相应位置作答，只能用黑笔，其它笔无效。

第Ⅰ卷（选择题，共140分）本卷共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。

图1为我国某省级行政区1978年和2008年三次产业就业结构图。

读图完成1—2题。

1．该省级行政区可能是（）A．黑龙江省B．广东省C．山西省D．西藏自治区2．该省级行政区（）A．是我国最大的商品粮基地B．交通运输的改善，促进了旅游业等第三产业的发展C．是我国最大的煤炭能源基地D．改革开放的政策是促进就业结构转变的主要动力读表l，完成3-4题。

表1：农村劳动力的年龄分布和不同年龄段的迁移率（%）1990年2000年2005年年龄分布迁移率年龄分布迁移率年龄分布迁移率15~19岁14．47 2．86 8．34 13．17 6．93 17．7920~29岁33．79 3．95 25．29 14．53 20．33 18．0130~39岁24．13 2．04 30．33 7．65 29．44 11．0340~49岁15．84 1．26 21．61 3．38 23．87 5．1050~59岁11．78 0．85 14．43 2．07 19．42 2．42 3．表中数据显示（）A．农村劳动力的迁移日益低龄化B．农村劳动力以20-29岁年龄段为主C．随年龄段增大，人口迁移率增长速度减慢D．农村劳动力各年龄段人口迁移率均呈上升趋势4．据表分析，农村劳动力年龄分布变化的主要原因是（）A．农村人口出生率迅速下降B．农村人口老龄化严重C．39岁以下青年劳动力迁移率上升较快D．农村产业结构的调整我国大陆可大致分为七个基本的生态地理动物群，其中四种动物习性如下：甲——耐寒、冬藏；乙——小型动物能直接自植物体中取得水分；丙——耐寒、善走陡坡险路；丁——树栖为主，无长距离奔跑和迁徒习性。

河北省保定市2010—2011学年度高三第一学期期末调研考试数 学 试 题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（理）i 是虚数单位，则(1)(2)i i i +-的虚部为 （ ） A ．—1 B ．1 C ．—3 D ．3（文）设全集U=R ，1{|0,},2R x P x x R C P x -=≥∈=-则（ ） A ．[1，2] B ．(1,2] C ．[1,2) D ．（1，2）2．函数()sin()4f x x π=-的一个单调递增区间为 （ ） A ．(,)22ππ- B ．3(,)44ππ- C ．3(,)44ππ- D ．37(,)44ππ 3．若实数x ，y 满足1|1|lg 0,x y--=则y 关于x 的函数的图象形状大致是 （ ）4．设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中不正确的是 （ ）A ．//c c αβαβ⊥⎫⇒⊥⎬⎭B ．//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．////b c b c c ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭D ．a b b b c c a ββ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⎭是在内的射影 5．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共的充要条件是 （ ）A．(k ∈ B．(,(2,)k ∈-∞+∞C．(k ∈D ．(,(3,)k ∈-∞+∞6．某公司有普通职员150人，中级管理人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在己抽取的40人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为 （ ）A ．14B ．15C ．120D ．11007．设数列*12{}23,,{(,)}n n n a a a n N P n a +=∈满足且对任意的点列恒满足1(1,2)n n P P +=，则数列{}n n a n S 的前项和为（ ） A ．4()3n n -B ．3()4n n -C ．2()3n n -D ．1()2n n - 8．已知二项式(32)n x +的展开式中所有项的系数和为3125，则此展开式中含4x 项的系数是（ ）A ．240B ．720C ．810D ．1080 9．设实数x ，y 满足2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，且3z x y =+的最小值为5，则z 的最大值为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．1510．（理）用5，6，7，8，9，组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为 （ ）A ．36B ．48C ．72D ．120（文）用5，6，7，8，9，组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为 （ ）A ．36B ．48C ．72D ．12011．（理）已知球的半径为5，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为6，则两圆的圆心距为 （ ）A ．4 BC ．D ．1（文）位于北纬x 的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为3πR （R 为地球半径），则x 等于（ ）A ．30B ．45C ．60D ．7512．有一矩形纸片ABCD ，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B 都落在边AD 上，将B 的落点记为B '，其中EF为折痕，点F 也可落在边CD 上，过B '作B H '//CD 交EF于点H ，则点H 的轨迹为 （ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的横线上）13．曲线24y x x =-在点（—1，—3）处的切线方程是 。

第十二章 概率与统计综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2011·成都市高中毕业班第一次诊断性检测题)某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人．现从中随机抽取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰有8名教师的概率为( )A.A 802A 208A 10010B.A 808A 202A 10010C.C 808C 202C 10010 D.C 802C 208C 10010解析：依题意得从100名教职工中随机抽取10人的选法种数是C 10010种，其中所选的10人中恰有8名教师的选法种数是C 808C 202种，因此所求的概率等于C 808C 202C 10010，选C.答案：C2．(2011·甘肃省天水一中第三次月考)新华中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有420人，用分层抽样的方法，抽取容量为70的样本，则高一、高二、高三三个年级应分别抽取( )A ．28人，24人，18人B ．27人，22人，21人C ．26人，24人，20人D ．25人，24人，21人解析：高一、高二、高三三个年级人数比为27 22 21，按分层抽样的要求，抽取的样本中三个年级人数比应保持不变，又知样本容量为70，故三个年级分别应抽取27人、22人、21人．答案：B3．(2011·广东省惠中中学第四次测试)已知样本： 10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 那么频率为0.25的范围是( ) A ．5.5～7.5 B ．7.5～9.5 C ．9.5～11.5D ．11.5～13.5解析：统计结果为：5.5～7.5,2个数据；7.5～9.5,6个数据；9.5～11.5,7个数据；11.5～13.5,5个数据．因此频率为0.25的范围是D.答案：D4．(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )，记“在这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )A.12B.512C.13D.14解析：由log b a ≥1，知a ≥b >1，(a ，b )构成的所有基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，其中(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)共5个基本事件满足log b a ≥1，所以事件E 发生的概率为512，故选B.答案：B5．(湖北省黄冈市高三年级2011年3月份质量检测(理))随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝n )＝a (23)n (n ＝1、2、3、4、…)，其中a 是常数，则P (12<ξ<52)的值为( )A.29 B.59 C.13D.23解析：依题意得a ·231－23＝1，∴a ＝12，P (ξ＝n )＝12×(23)n ，P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝12×23＋12×(23)2＝59.故选B. 答案：B6．(2011年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习)某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有()A ．75辆B ．120辆C ．180辆D ．270辆解析：根据图可知组距为10，则车速在[40,50)、[50,60)的频率分布是0.25、0.35，因此车速低于限速的汽车共有(0.25＋0.35)×300＝180(辆)．答案：C7．(广西百所重点中学2011届高三阶段性检测)某校有初中学生900人，高中学生1200人，教师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本进行调查，如果应从高中生中抽取80人，那么n的值是()A．120 B．148C．140 D．136解析：n＝(900＋1200＋120)×801200148.答案：B8．(2011·邯郸市高三月考试题)统计某校1000名学生的数学测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是()A．20% B．25%C．6% D．80%解析：根据频率分布直方图，得出不合适的频率为：(0.015＋0.005)×10＝0.2，故及格率为(1－0.2)×100%＝80%，选D.答案：D点评：样本数据的频率分布和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．利用直方图一定要注意其纵轴的意义．在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于相应各组的频率．根据率计算中，一一列举计数，将统计与概率有机地结合考查，这一直是高考试题中一道亮丽的风景线．9．(武汉市武昌区2011届高三年级元月调研测试)如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6926，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974.已知随机变量x～N(3,1)，则P(4<x<5)＝()A．0.0430 B．0.2819C．0.0215 D．0.1359解析：x～N(3,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P(2<x<4)＝0.6826，P(1<x<5)＝0.9544，曲边梯形ABCD 的面积为0.9544，曲边梯形EFGH 的面积为0.6826，其中A 、E 、F 、B 的横坐标分别为1、2、4、5，由曲线关于x ＝3对称，知曲边梯形FBCG 的面积为0.9544－0.68262＝0.1359.答案：D10．(2011·上海市吴淞中学期中测试)设随机变量ξ～N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实根的概率为12，则μ的值是( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：由题意得，Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4， 则P (ξ>4)＝12，故P (ξ>4)＝1－p (ξ≤4)＝1－φ(4－μσ)，∴φ(4－μσ＝12.又φ(0)＝12，∴μ＝4.故选C. 答案：C11．(2011·福建省三明中学月考试题)某年级200名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分的学生人数是( )A ．140B ．14C ．36D ．68解析：成绩不低于70分的学生人数是10×(0.036＋0.024＋0.010)×200＝140，故选A. 答案：A12．(2011·辽宁沈阳四校协作联合测试)已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：依题意，得y 1＝bx 1＋a ，y 2＝bx 2＋a ，…，y 10＝bx 10＋a .当x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010时，y 0＝(bx 1＋a )＋(bx 2＋a )＋…＋(bx 10＋a )10＝b ·x 1＋x 2＋…＋x 1010＋a ＝bx 0＋a ；反过来，当(x 0，y 0)满足线性回归方程y ＝bx ＋a 时，即y 0＝bx 0＋a ，不能得出x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010且y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010.综上所述，“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的必要不充分条件，选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上．) 13．(长沙市一中2011届高三月考试卷(六))若x 1，x 2，x 3，…，x 2009，x 2010的方差是2，则3(x 1－1)，3(x 2－1)，…，3(x 2009－1)，3(x 2010－1)的方差是____________．解析：由Dξ＝2，得D (3(ξ－1))＝32Dξ＝18. 答案：1814．(2011·湖北荆州质检Ⅱ)某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据：据相关性，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组数据的回归直线方程是________________________．解析：∵y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5.由y ＝0.7·x ＋b ，解得b ＝0.35.答案：y ＝0.7x ＋0.3515．(河北省保定市2011届高三年级第一次调研考试)根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 ml(不含80)之间，属于酒后驾车，暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 ml(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月22日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28000人，下图是对这28000人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为____________人．解析：由直方图知，血液酒精浓度在80～90 mg/100 ml 内的频率是0.1，血液酒精浓度在90～100 mg/100 ml 内的频率是0.05，所以属于醉酒驾车的人数是(0.1＋0.05)×28000＝4200.答案：420016．(2011·湖北八校第二次联考)某校在2010年的“八校第一次联考”中有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有____________人．解析：由正态分布图象可知：由P (70≤ξ≤110)＝35，则有P (90≤ξ≤110)＝310.由P (ξ≥90)＝12，故P (ξ≥110)＝12－310＝15. 故学生人数为1000×15＝200人．答案：200三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．) 17．(本小题满分10分)(广西百所重点中学2011届高三阶段性检测)袋中有同样的球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数．(1)求随机变量ξ的概率分列布； (2)求随机变量ξ的数学期望与方差．解析：(1)随机变量ξ的可能取值为2,3,4.P (ξ＝2)＝C 21C 31C 21C 51C 41＝35，P (ξ＝3)＝A 22C 31＋A 32C 21C 51C 41C 31＝310，P (ξ＝4)＝A 33C 21C 51C 41C 31C 21＝110. 则随机变量ξ的概率分布列为：(2)随机变量ξ的数学期望Eξ＝2×35＋3×310＋4×110＝52.随机变量ξ的方差Dξ＝(2－52)2×35＋(3－52)2×310＋(4－52)2×110＝920. 18．(本小题满分12分)(四川省成都市2011届高三四校第一次联考)家电下乡活动中，某商店的促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，该商店返还顾客现金200元，某顾客购买了一价格为3400元的家电，得到3张奖券．(1)求商店恰好返还顾客现金200元的概率；(2)设该顾客有ξ张奖券中奖，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)商店恰好返还顾客现金200元，即该顾客的3张奖券中有且只有一张中奖，记该事件为A ，则P (A )＝C 31×(15)×(1－15)2＝48125.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且 P (ξ＝0)＝(1－15)3＝64125，P (ξ＝1)＝C 31×(15)×(1－15)2＝48125，P (ξ＝2)＝C 32×(15)2×(1－15)＝12125，P (ξ＝3)＝C 33×(15)3＝1125.所以ξ的分布列为数学期望Eξ＝0×125＋1×125＋2×125＋3×125＝5.19．(本小题满分12分)(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)第十一届西博会于2010年10月22日至26日在成都举行，本届西博会以“绿色改变生活，技术引领发展”为主题．如此重要的国际盛会，自然少不了志愿者这支重要力量，“志愿者，西博会最亮丽的风景线”，通过他们的努力和付出，已把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中. 某大学对参加了本次西博会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45、23、23，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.解析：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“志愿者甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E ，事件A 、B 、C 相互独立，事件A ·B ·C 与事件E 是对立事件．P (E )＝1－P (A ·B ·C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－15×13×13＝4445(2)由题意知，ξ的可能取值为32、2、52、3，∴P (ξ＝32＝P (A ·B ·C )＝145，P (ξ＝2)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝845，P (ξ＝52)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝2045，P (ξ＝3)＝P (A ·B ·C )＝1645，∴ξ的分布列为∴Eξ＝32×145＋2×845＋2×45＋3×45＝30.20．(本小题满分12分)(河南省卫辉市高级中学2011届第四次月考试题)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿(假设每辆车每年最多只赔偿一次)，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19、110、111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额ξ的分布列与期望．解析：设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k ＝1,2,3.由题意知A 1、A 2、A 3相互独立，且P (A 1)＝19P (A 2)＝110，P (A 3)＝111.(1)该单位一年内获赔的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－89×910×1011＝311.(2)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝89×910×1011＝811，P (ξ＝9000)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111＝1145， P (ξ＝18000)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (ξ＝27000)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝19×110×111＝1990.综上知，ξ的分布列为由ξ的分布列得Eξ＝0×811＋9000×1145＋18000×3110＋27000×1990＝2990011≈2718.18(元)．21．(本小题满分12分)(2011·云南省昆明市月考试题)某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； (2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：表2：程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解析：(1)甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为P ＝110×110＝1100.(2)①由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名． 故4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5， 6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小． ②x A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123， x B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8， x ＝25100×123＋75100×133.8＝131.1. A 类工人生产能力的平均数、B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123、133.8和131.1.22．(本小题满分12分)(2011·山东省霍州一中期中测试)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N (70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名．(1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x 0)＝P (x ＜x 0)因为ξ～N (70,100)， 由条件知，P (ξ≥90)＝1－P (ξ＜90)＝1－F (90)＝1－Φ(90－7010)＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.0228.这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%. 因此，参赛总人数约为120.0228≈526(人)．(2)假定设奖的分数线为x 分， 则P (ξ≥x )＝1－P (ξ＜x )＝1－F (x )＝1－Φ(x －7010)＝50526＝0.0951.即Φ(x －7010)＝0.9049，查表得x －7010＝1.31，解得x ＝83.1.故设奖的分数线约为83分．。

第十三章 极限综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2011·福建省四地六校联考试题)下列各图所表示的函数在x ＝x 0处连续的是( )解析：根据函数在x ＝x 0处连续的定义，可知C 图所表示的函数在点x ＝x 0处连续，故选C .答案：C2．(2011·湖南省雅充中学月考试题)li m n →∞ n 2－1n (3n ＋2)等于( )A ．3 B.13 C.16D ．6解析：li m n →∞ n 2－1n (3n ＋2)＝li m n →∞ n 2－13n 2＋2n ＝li m n →∞ 1－(1n )23＋(1n )2×2＝13，故选B.答案：B3．(2011·黄石调研)lim x →∞ (x －x 2－2x ＋7x ＋1)的值为( ) A ．0 B.43 C ．3D ．不存在解析：lim x →∞ (x －x 2－2x ＋7x ＋1)＝lim x →∞ 3x －7x ＋1＝lim x →∞ 3－7x1＋1x3.答案：C4．(2011·东北三省四市第一次联合考试)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ≤1，2x －1－4x 2－1x >1，在x ＝1处连续，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：lim x →1＋ (2x －1－4x 2－1)＝lim x →1＋ 2(x －1)x 2－1＝lim x →1＋ 2x ＋1＝1. ∵函数f (x )在x ＝1处连续， ∴lim x →1－f (x )＝lim x →1＋f (x )＝a ＝1. 答案：B5．(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)“函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x <0)x 2＋a 2(x ≥0)在点x ＝0处连续”是“a ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：lim x →0－f (x )＝lim x →0－ (x ＋1)＝1，lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋(x 2＋a 2)＝a 2，若函数f (x )在点x ＝0处连续，则f (0)＝lim x →0＋f (x )＝lim x →0－f (x )，故a ＝±1；若a ＝1，则有f (0)＝lim x →0＋f (x )＝lim x →0－f (x )，即函数f (x )在点x ＝0处连续，故选B.答案：B6．(2011年上海市普通高等学校春季招生考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1(x ≥0)(a －2)e x(x <0)为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,3]B ．(2，＋∞)C ．(－∞，3]D ．(2,3)解析：若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －2>0，a －2≤1解得2<a ≤3；若f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0a －2<0，a －2≥1无解，综上所述，实数a 的取值范围是(2,3]．答案：A点评：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点．解决此类问题时要特别注意：分段函数在R 上单调递增(减)，不仅要求函数在每一段上都要单调递增(减)，还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于(不少于)分段点右侧的函数值．7．(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)已知R 上的连续函数g (x )满足：①当x >0时，g ′(x )>0恒成立(g ′(x )为函数g (x )的导函数)；②对任意的x ∈R 都有g (x )＝g (－x )．又函数f (x )满足：对任意的x ∈R 都有f (3＋x )＝－f (x )成立，当x ∈[－3，3]时，f (x )＝x 3－3x .若关于x 的不等式g [f (x )]≤g (a 2－a ＋2)对x ∈[－32－23，32－23]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1或a ≤0B ．0≤a ≤1C ．－12－334≤a ≤－12＋334D ．a ∈R解析：函数g (x )为偶函数，且当x >0时，g (x )为增函数；f (x )是以T ＝23为周期的周期函数，且当x ∈[－3，3]时，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，f (±3)＝0，f (1)＝－2，f (－1)＝2，所以－2≤f (x )≤2.∵a 2－a ＋2＝(a －122＋74>0，又x ∈[－32－23，32－23]时，f (x )＝f (x ＋23)．∴当x ∈[－32－23，32－23]时，g [f (x )]≤g (a 2－a ＋2)⇔x ∈[－32，32]时，|f (x )|≤a 2－a ＋2恒成立，所以－(a 2－a ＋2)≤f (x )≤a 2－a ＋2对x ∈[－32，32]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2－a ＋2－(a 2－a ＋2)≤－2恒成立，所以a ≥1或a ≤0，故选A. 答案：A8．(2011·湖北省部分重点中学高三第二次联考)等比数列{a n }的公比为q (0＜|q |＜1)，S n为其前n 项和，若S ＝li m n →∞S n ，且S ＝S n ＋2a n ，则q ＝( ) A ．－23B.23C.13D ．－13解析：∵{a n }是等比数列，∴其前n 项和为 S n ＝a 1(1－q n )1－q，(q ≠1)又∵0＜|q |＜1，∴S ＝li m n →∞S n＝li m n →∞ a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q ， 而S ＝S n ＋2a n ＝a 1(1－q n )1－q ＋2a 1q n －1＝a11－q (1＋2q n －1－3q n )，∴a 11－q (1＋2q n －1－3q n)＝a 11－q， 即1＋2qn －1－3q n＝1，解得：q ＝23；故选B.答案：B9．(武汉市2011届高三年级2月调研考试)已知数列{x n }满足x 2＝x 12，x n ＝12(x n －1＋x n －2)，n ＝3,4，….若lim n →∞x n ＝2，则x 1＝( )A.32 B ．3 C ．4D ．5解析：依题意得x n ＝12x n －1＝x n －1＋12x n －2(n ≥3)，因此数列{x n ＋12x n －1}是一个常数数列，x n ＋12x n －1＝x 2＋12x 1＝x 1，则x n －23x 1＝－12(x n －1－23x 1)，故x n －23x 1＝(－12)n －1(x 1－23x 1)＝x 13(－12)n－1，即x n ＝23x 1＋x 13(－12n －1，又lim n →∞x n ＝lim n →∞[23x 1＋x 13(－12)n －1]＝23x 1＝2，所以x 1＝3，选B. 答案：B10．(2011·浙江省杭州宏开高复学校月考试题)已知f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →32x －3f (x )x －3的值为( ) A ．－4 B ．8 C ．0 D ．不存在解析：li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 f (3)x －3f (3)－3f (x )＋3f (3)x －3＝li m x →3f (3)(x －3)－3(f (x )－f (3))x －3＝li m x →3[f (3)－3·f (x )－f (3)x －3]＝f (3)－3li m x →3f (x )－f (3)x －3＝f (3)－3f ′(3)＝2－3×(－2)＝8. 答案：B11．(2011·山东滨州模拟)下列四个命题中，不正确．．．的是( ) A ．若函数f (x )在x ＝x 0处连续，则lim x →x 0＋f (x )＝lim x →x 0－f (x ) B ．函数f (x )＝x ＋2x 2－4的不连续点是x ＝2和x ＝－2C ．若函数f (x )、g (x )满足lim x →∞[f (x )－g (x )]＝0，则lim x →∞f (x )＝lim x →∞g (x ) D.lim x →1x －1x －1＝12解析：令f (x )＝x 2＋1x g (x )＝x 2，虽lim x →∞[f (x )－g (x )]＝lim x →∞ 1x ＝0. 但lim x →∞f (x )、 lim x →∞g (x )都不存在． 答案：C12．(2011·湖北联考)设(22＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则lim n →∞[(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2]＝( )A ．－1B ．0C ．1D.22解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(22＋1)2n .① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ＝(22－1)2n .② ①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝ (2＋2)2n ＋(2－2)2n22n ＋1，①－②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝ (2＋2)2n －(2－2)2n22n ＋1∴lim n →∞[(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n－1)2] ＝lim n →∞{[(2＋2)2n ＋(2－2)2n 22n ＋1]2－[(2＋2)2n －(2－2)2n 22n ＋1]2} ＝lim n →∞ 4×(2＋2)2n(2－2)2n42n ＋1＝lim n →∞ 4×(－2)2n42n ＋1＝lim n →∞ (14)n ＝0，故选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上．) 13．(2011·广西梧州高三第二次测试)已知lim x →mx (x －1)(x －2)x －m＝2，则实数m 的值为____________．解析：由题意可知：x －m 是x (x －1)(x －2)中的一个因式．故此m ＝0,1,2，逐一检验可知：m ＝1不符合题意，故此实数m 的值为0或2.答案：0或214．(湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1lim x →∞ a nb n 等于____________．解析：在等差数列{a n }中，有a n ＝S 2n －12n －1，在等差数列{b n }中，有b n ＝T 2n －12n －1，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1，故lim x →∞ a n b n ＝23. 答案：2315．(河北省衡水市2011届高三上学期教学质量检测)若q 为二项式(x 2－13x )8的展开式中的常数项，则lim n →∞ q n ＋1q n －1＋1＝____________.解析：注意到(x 2－13x )8的展开式的通项是T r ＋1＝C 8r ·(x 2)8－r ·(－13x )r ＝C 8r ·2r －8·(－1)rx 8－4r 3.令8－4r 3＝0得r ＝6，即(x 2－13x )8的展开式中的常数项q ＝C 86·26－8·(－1)6＝7，lim n →∞ q n ＋1q n －1＋1＝lim n →∞ 7n＋17n －1＋1＝lim n →∞ 1＋(17)n17＋(17)n7. 答案：716．(2011年湖北省鄂南高中、黄冈中学、黄石二中、华师一附中、荆州中学、孝感高中、襄攀四中、襄樊五中八校高三第一次联考)对于连续函数f (x )和g (x )，函数|f (x )－g (x )|在闭区间[a ，b ]上的最大值称为f (x )与g (x )在闭区间[a ，b ]上的“绝对差”，记为Δa ≤x ≤b (f (x )，g (x ))．则Δ1≤x ≤4 (1x ＋1，29x 2－x )＝____________.解析：设F (x )＝1x ＋1－(29x 2－x )，其中x ∈[1,4]．则F ′(x )＝－1(x ＋1)2－49x ＋1＝－x (4x ＋7)(x －2)9(x ＋1)2，当1<x <2时，F ′(x )>0；当2<x <4时，F ′(x )<0.因此函数F (x )在[1,2)上是增函数，在(2,4]上是减函数．又F (1)＝2318，F (2)＝139，F (4)＝2945，因此函数F (x )的值域是[2945，139]，所以|F (x )|的最大值是139，即Δ1≤x ≤4 (1x ＋1，29x 2－x )＝139.答案：139三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．) 17．(本小题满分10分)(河北省保定市2011届高三年级第一次调研考试)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求c 的值；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n .求lim n →∞T n .解析：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋c ，c 为常数， ∴a n ＝1＋(n －1)c .∴a 2＝1＋c ，a 5＝1＋4c . 又a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(1＋c )2＝1＋4c ，解得c ＝0或c ＝2. (2)由(1)知，当c ＝0时，a n ＝1(n ∈N *)， 此时b n ＝1a n a n ＋1＝1(n ∈N *)，T n ＝n ，lim n →∞T n 不存在． 当c ＝2时，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∴lim n →∞T n ＝lim n →∞n 2n ＋1＝1218．(本小题满分12分)(2011·湖北省南樟县月考试题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －13x －1(x ＜1)b (x ＝1)ax 2＋2 (x ＞1)，(1)求li m x →0f (x )；(2)若li m x →1f (x )存在，求a ，b 的值；(3)若函数f (x )在x ＝1处连续，求a ，b 所满足的条件． 解析：(1)∵x →0时，x －13x －1的分子、分母都有极限－1，∴li m x →0f (x )＝1.(2)若li m x →1f (x )存在，则li m x →1－f (x )＝li m x →1＋f (x )， 而li m x →1＋f (x )＝li m x →1＋(ax 2＋2)＝a ＋2. li m x →1－f (x )＝li m x →1－x －1(3x －1)(x ＋1)＝li m x →1－3x 2＋3x ＋1x ＋1＝32. ∴a ＋2＝32，∴a ＝－12b 可为任意实数．(3)若f (x )在x ＝1处连续， 则li m x →1＋f (x )＝li m x →1－f (x )＝f (1)， 则a ＝－12，b ＝32.19．(本小题满分12分)(2011·江西省会昌中学月考)对于任意的自然数n ，求使等式121×3＋223×5＋……＋n2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋a )2(2n ＋b )恒成立的正数a ，b 的值． 解析：当n ＝1，n ＝2时可得 ⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋12(2＋b )13＋415＝a ＋24＋b，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝15a －3b ＝2，解得a ＝1，b ＝1，∴121×3＋223×5＋……＋n2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝13，右边＝22×3＝13，∴等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立．即：121×3＋223×5＋……＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)成立．当n ＝k ＋1时，左式＝121×3＋223×5＋……＋k2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1(k 2＋k ＋12k ＋3) ＝(k ＋1)(2k ＋1)(k ＋2)(2k ＋1)·2·(2k ＋3)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2[2(k ＋1)＋1]，∴当n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②可知121×3＋223×5＋……＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)对任意n ∈N 均成立，即a＝1，b ＝1.20．(本小题满分12分)(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且na n －S n ＝2n (n －1)，n ∈N *.(1)求a 2的值及数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足：4b n ＝S n ＋n －1＋(－1)n，当n ≥2时，记E n ＝22b 2＋32b 3＋42b 4＋…＋n 2b n.①计算E 9的值； ②求lim n→∞(2n －E n )的值． 解析：(1)∵na n －S n ＝2n (n －1)，a 1＝1，∴n ＝2时，a 2＝5. 当n ≥2时，(n －1)a n －1－S n －1＝2(n －1)(n －2)，∴na n －(n －1)a n －1－S n ＋S n －1＝2n (n －1)－2(n －1)(n －2)， 即(n －1)(a n －a n －1)＝4(n －1)(n ≥2)． ∴a n －a n －1＝4(n ≥2)．∴数列{a n }是公差为4的等差数列， 故a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)①∵4b n ＝S n ＋n －1＋(－1)n (n ∈N *)， ∴4b n ＝2n 2－1＋(－1)n (n ∈N *)， ∴b n ＝2n 2－1＋(－1)n4，故b 1＝0，n 2b n ＝4n 22n 2－1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)．当n 为大于0的偶数时，n 2b n ＝4n 22n 2＝2.当n 为大于1的奇数时，n 2b n ＝4n 22n 2－2＝2n 2n 2－1＝2＋2n 2－1＝2＋1n －1－1n ＋1. ∴E 9＝(32b 3＋52b 5＋72b 7＋92b 9)＋(22b 2＋42b 4＋62b 6＋82b 8)＝8＋8＋13－1－19＋1＝825.②当n >1，且n ∈N *时，若n 为偶数，则2n －E n ＝2n －[2×n 2＋2(n 2－1)＋12－1n ]＝32＋1n，若n 为奇数，则2n －E n ＝2n －[2×(n －12)＋2(n －12)＋12－1n ＋1]＝32＋1n ＋1，∴2n －E n ＝32＋22n ＋1－(－1)n，∴lim n →∞ (2n －E n )＝lim n →∞[32＋22n ＋1－(－1)n]＝32. 21．(本小题满分12分)(2011·河南安阳中学月考试题)已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )·e x ，其中e 为自然对数的底，a ，b ，c 为常数，若函数f (x )在x ＝－2处取得极值，且li m x →0 f (x )－c x＝4.(1)求实数b ，c 的值；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵f ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝[ax 2＋(b ＋2a )x ＋b ＋c ]e x .由f ′(－2)＝0⇒f ′(－2)＝[4a －2(b ＋2a )＋b ＋c ]e －2＝0⇒4a －2(b ＋2a )＋b ＋c ＝0⇒b ＝c .由li m x →0f (x )－cx＝4得到：f ′(0)＝4，所以b ＋c ＝4，即b ＝2，c ＝2. (2)由题意知ax 2＋2(a ＋1)x ＋4≥0在x ∈[1,2]时恒成立，即a ≥－2x ＋4x 2＋2x 在x ∈[1,2]时恒成立，设g (x )＝－2x ＋4x 2＋2x ，x ∈[1,2]，则g (x )＝－2x 在区间[1,2]上单调递增，所以g (x )的最大值为f (2)＝－1，所以a ≥－1.22．(本小题满分12分)(2011年湖北省鄂南高中、黄冈中学、黄石二中、华师一附中、荆州中学、孝感高中、襄攀四中、襄樊五中八校高三第一次联考)已知数列{a n }满足a 1＝7，a n ＋1＝3a n ＋2n －1－8n (n ∈N *)．(1)李四同学欲求{a n }的通项公式，他想，如能找到一个函数f (n )＝A ·2n －1＋B ·n ＋C (A 、B 、C 是常数)，把递推关系变成a n ＋1－f (n ＋1)＝3[a n －f (n )]后，就容易求出{a n }的通项了．请问：他设想的f (n )存在吗？{a n }的通项公式是什么？(2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，若不等式S n －2n 2>p ·3n 对任意n ∈N *都成立，求实数p 的取值范围．解析：(1)∵a n ＋1－f (n ＋1)＝3[a n －f (n )]，∴a n ＋1＝3a n ＋f (n ＋1)－3f (n )，∴只需f (n ＋1)－3f (n )＝2n －1－8n . ∵f (n ＋1)－3f (n )＝－A ·2n －1－2B n ＋B －2C ，∴－A ＝1，－2B ＝－8，B －2C ＝0，∴A ＝－1，B ＝4，C ＝2.故李四设想的f (n )存在，即f (n )＝－2n －1＋4n ＋2. ∴a n －f (n )＝3n －1[a 1－f (1)]＝3n －1(7－5)＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1＋f (n )＝2×3n －1－2n －1＋2(2n ＋1)．(2)S n ＝2(1＋3＋32＋…＋3n －1)－(1＋2＋…＋2n －1)＋2[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝3n －2n ＋2n 2＋4n .∴S n －2n 2＝3n －2n＋4n ，由S n －2n 2>p ·3n ，得p <3n －2n ＋4n 3n ＝1－2n －4n 3n . 设b ＝1－2n －4n 3n ，则b n ＋1－b n ＝1－2n ＋1－4(n ＋1)3n ＋1－1＋2n －4n 3n ＝2n－8n ＋43n ＋1＝2n －4(2n －1)3n ＋1， 当n ≥6时，2n －2＝(1＋1)n －2＝1＋C n －21＋C n －22＋…＋C n －2n －3＋C n －2n －2≥2(1＋n －2)＋(n －2)(n －3)2≥2n －2＋2(n －3)＝4n －8>2n －1， ∴当n ≥6时，b n ＋1>b n .容易验证，当1≤n ≤5时，b n ＋1<b n ，∴p <(b n )min ＝b 6＝689729p 的取值范围为(－∞，689729．。