河北省保定市2021届高三上学期摸底考试数学(理)试题

2021年高三上学期摸底考试数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将试卷和答题卷一并交回．参考公式：圆锥的侧面积公式，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）.A. B. C. D.2.已知，则（）.A. B. C. D.3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（ ）. A. B. C. D.5.在△ABC 中，，，则△ABC 的面积为（ ）.A.3B.4C.6D.6.函数的零点所在的一个区间是（ ）. A. B. C. D.7.若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C.2 D. 8.若过点的直线与曲线和都相切，则的值为（ ）. A.2或 B.3或 C.2 D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．若复数满足，则复数的实部是 .10.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）11.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 . 12.已知实数满足，则的最大值 是 .13.在区间上随机取一个数，在区间上随机取一个数，则关于的方程有实根的概率是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若，，则的值为 . 15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程是（为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，的最大值是1，最小正周期是，其图像经过点． （1）求的解析式；（2）设、、为△ABC的三个内角，且，，求的值．17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物一次购物量（件）1≤n≤3 4≤n≤6 7≤n≤9 10≤n≤12 n≥13 顾客数（人）20 10 5结算时间（分钟/人）0.5 1 1.5 2 2.5（1）确定与的值；（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2分钟的概率.18.（本小题满分14分）如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小，并予以证明.20．（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上任意一点，且的最小值为.（1）求椭圆的方程； （2）动圆与椭圆相交于A 、B 、C 、D 四点，当为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积.21.(本小题满分14分)已知函数.（1）是否存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（2）定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中，求； （3）在（2）的条件下，令，若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.xx 届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9.1 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16.（1）依题意得.由，解得.所以.因为函数的图像经过点，所以，即. 因为，所以.所以. （2）由（1）得，所以，.因为，所以，.因为为△ABC 的三个内角，所以()cos cos[()]cos()f C C A B A B π==-+=-+ .17.（1）依题意得，，，解得，. （2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得， ，，， ，.所以的分布列为的数学期望为.（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A ，该顾客前面第位顾客的结算时间为，由于各顾客的结算相互独立，且的分布列都与的分布列相同，所以121212()(0.5(0.5)(0.5(1)(0.5( 1.5)P A P X P X P X P X P X P X ==⋅=+=⋅=+=⋅=)))121212(1(0.5)(1(1)( 1.5(0.5)P X P X P X P X P X P X +=⋅=+=⋅=+=⋅=)))0.20.20.20.40.20.20.40.20.40.40.20.20.44=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 为所求.18.（1）因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为平面ABD ，平面ABD ，所以平面.（2）因为在菱形ABCD 中，，所以在三棱锥中，.在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，，所以BD ＝4.因为O 为BD 的中点， 所以.因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为，所以，即.因为平面ABC ，平面ABC ，，所以平面ABC . 因为平面DOM ，所以平面平面.（3）作于，连结DE .由（2）知，平面ABC ，所以AB .因为，所以平面ODE .因为平面ODE ，所以. 所以是二面角的平面角. 在Rt △DOE 中，，，，所以.所以二面角的余弦值为.19.（1）当时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+- .又也适合上式，所以. （2）由（1）得，所以.因为①，所以②. 由①－②得，，所以121111112212122222212n n n n n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. 因为33222(2)(221)221212212(21)2n n n n nn n n n n n n T n n n n ++++--⎛⎫-=--=-= ⎪++++⎝⎭， 所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，； 当时，；当时，；……， 可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，. 20.（1）因为P 是椭圆上一点，所以.在△中，，由余弦定理得()22121212122444122PF PF PF PF a PF PF PF PF +-⋅--==-⋅⋅. 因为，当且仅当时等号成立. 因为，所以.因为的最小值为，所以，解得. 又，所以.所以椭圆C 的方程为. （2）设，则矩形ABCD 的面积.因为，所以.所以2222222000003231632124332x S x y x x ⎛⎫⎛⎫==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为且，所以当时，取得最大值24.此时，.所以当时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为.21.（1）假设存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为. 由，得，即对恒成立，所以解得所以存在点，使得函数的图像上任意一点关于点M 对称的点也在函数的图像上. （2）由（1）得.令，则.因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n nn=++⋅⋅⋅+-+-①， 所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得，所以.所以.（3）由（2）得，所以.因为当且时，2()121ln ln 2n amnmn n ma n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当且时，不等式恒成立.设，则. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 因为，所以， 所以当且时，. 由，得，解得.所以实数的取值范围是.]28210 6E32 渲30080 7580 疀|22043 561B 嘛33037 810D 脍u39819 9B8B 鮋20257 4F21 伡32313 7E39 縹26508 678C 枌.O &。

2021年河北省保定市洛平中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（A）（B）（C）（D）参考答案：A因为在极坐标系中，，代入方程得，即，选A.2. 在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，则（）A．B．C．－1 D．1参考答案：D如图所示，以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，据此可得：，由数量积的坐标运算法则可得：.本题选择D选项.3. 定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为A． B． C．D．参考答案：B略4. 函数处分别取得最大值和最小值，且对于任意则A．函数一定是周期为4的偶函数B．函数一定是周期为2的奇函数C．函数一定是周期为4的奇函数D．函数一定是周期为2的偶函数参考答案：A5. 已知，且，则（）A． B. C.D.参考答案：B6. 设函数，且其图像相邻的两条对称轴为，则A．的最小正周期为，且在上为增函数B．的最小正周期为，且在上为减函数C. 的最小正周期为,且在上为增函数D . 的最小正周期为，且在上为减函数参考答案：D7. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（?U A）∪B为( )A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，确定出所求的集合．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，∴C U A={0，4}，又B={2，4}，则（C U A）∪B={0，2，4}．故选C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．8. 极坐标方程表示的曲线为A、一条射线和一个圆B、两条直线C、一条直线和一个圆 D、一个圆参考答案：C略9.若，则实数a的值为（）A．—1 B．1 C．0 D．参考答案：答案:A10. 设全集则右图中阴影部分表示的集合为（）A、 B、C、 D、参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点（0,1）处的切线方程为。

河北省保定市高三摸底考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟分数150分 10月31日一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.设{}1A x y x ==-，{}ln(1)Bx y x==+，则A B=U（）A.{}1x x≠-B.{}1x x<C.{}11x x-<≤D.R2.若(2)a i ib i-=+（,a b R∈），则ab=（）A.2B.12 C.1 D.1-3.已知:0p a<，2:q a a>，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件4.已知等比数列{}na中，有31174a a a=，数列{}n b是等比数列，且77b a=，则59b b+=（）A.4B.5C.8D.155.若命题“0x R∃∈，200230x mx m++-<”为假命题，则实数m的取值范围是（）A.[2,6]B.[6,2]-- C. [2,6] D.(6,2)--6.设x、y满足约束条件2021001x yx yx-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，设向量(2,)a y x m=-r，(1,1)b=-r，若//a br r，则m 的最大值为（）A.6-B.6C.1D.1-7.已知函数1()f x xx=-，则函数()y f x=的大致图像为（）A. B. C. D.8.一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(,)S l 的序号是（ ）①(1,4) ②(6,8) ③(7,12) ④1(3,)2A.①③B.①③④C.②④D.②③④9.若函数()f x 在0x =处没有定义，且对于所有非零实数x ，都有1()2()2f x f xx +=，则函数()()()g x f x f x =--的零点个数为（ ）A.1B.2C.3D.010.数列{}n a的通向公式1sin()12n n a n π+=+，前n 项和为n S ，则2017S =（ ）A.1232B.3019C.3025D.4321 11.下列说发：①命题“0x R∃∈，020x ≤”的否定是“x R ∀∈，20x>”；②函数1sin()24y x π=-+在闭区间[,]22ππ-上是增函数； ③函数223y x =+的最小值为2；④已知函数()1x f x x=+，则(1,)k ∃∈+∞，使得()()g x f x kx =-在R 上有三个零点.其中正确的个数是（ ）A.3B.2C.1D.012.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4米，沿AC 折叠使B 到'B 位置，'AB 交DC 于P ，研究发现，当ADP ∆的面积最大时最节能，则最节能时ABCD 的面积为（ ）A.322-B.23C.2(21)-D.2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.若点(3,27)在函数xy a =的图像上，则log 81a =____________14.设0.11.1a =，ln 2b =，12log 3c =，则,,a b c 的大小关系式____________15.ABC ∆中，若AC ，CB ，BA 成等比数列，BA BC ⋅u u u r u u u r ，AB AC ⋅u u u r u u u r ，CA CB ⋅u u u r u u u r成等差数列，则角A =____________16.已知定义域为R 的函数()f x ，满足如下条件：①对任意实数,x y 都有()()2()cos f x y f x y f x y ++-=；②(0)0f =，()12f π=； 则(2)(2)()4f x f x f πππ++--=____________ 三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17.（本小题10分）已知函数()sin()f x A x ωφ=+（0A >，0ω>，πφπ-<<，x R ∈）在一个周期内的部分对应值如下：x2π-4π-4π 2π ()f x2- 0 22-（1）求()f x 的解析式；（2）求函数1()()2sin 2g x f x x =-的最大值及其对应的x 的值18.（本小题12分）已知公比为q 的等比数列{}n a ，满足13123a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项 （1）求q ； （2）若2log n n nb a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S19.（本小题12分）在ABC ∆中，设,,a b c ，分别为内角,,A B C 的对边，若222sin cos sin sin sin cos 2C B A A B B --=- （1）求C（2）若D 为AB 中点，c =，3CD =，求ABC ∆的面积S20.（本小题12分）已知函数2()(2)ln f x bx a x a x =+--的一个极值点为1x =（1）求1x =的值（2）若()f x 在区间(1,)e 上存在最小值，求a 的取值范围21.（本小题12分）已知点(1,0)A ，(0,1)B 和互不相同的点1P ，2P ，3P ，L ，nP ，L ，满足n n OP a OA b OB=+u u u r u u u r u u u r（n N *∈），其中{}n a 、{}n b 分别为等差数列和等比数列，O 为坐标原点，若112APPB =u u u r u u u r（1）求1P的坐标；（2）试判断点1P ，2P ，3P ，L ，n P，L 能否共线？并证明你的结论22.（本小题12分）已知函数()ln(1)ln(1)f x a x b x a b =+--+-，在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x = （1）求()f x 的解析式；（2）求证：当(1,0)x ∈-时，3()3x f x x <+； （3）设实数k 使得3()()x f x k x x <+对(1,0)x ∈-恒成立，求k 的最大值2018年保定市高三摸底考试理科数学试题答案一、选择题：DBDCA BDABC CC二、填空题：13. 4 14． a b c << 15. 3π 16.-216. 解析：取x=0，则得f(y)+f(-y)=0,即函数f （x ）为奇函数；取y=2π，则得f(x+2π)+f(x-2π)=0,所以函数f （x ）的周期为2π；再取x=y=4π得()+(0)=2()cos ,(2444f f f f ππππ∴，又由于函数f （x ）为奇函数，所以(+2)+(2)()=4f x f x f πππ---2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）解：（1）由表格可知，A=2，………………………1分()f x 的周期()22T ππ=--=π，所以22ωπ==π. ………………………3分又由()2sin 202ϕ⨯+=，所以2ϕπ=.所以()2sin(2)2cos 22f x x xπ=+=. ………………………5分（2）21()()2sin cos 22sin 12sin 2sin 2g x f x x x x x x =-=-=--2132(sin )22x =-++.………………………7分 由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =-时，()g x 有最大值32；因为1sin 2x =-所以72266x k x k ππππ=-=+或……………10分18（12分）解:（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,32342231a a a a a a 即2113211(2)3,()2 4.a q a q a q q a q ⎧+=⎨+=+⎩①②…………3分由①得 0232=+-q q ，解得2=q 或1=q 代入②知1=q 不适合，故舍去. …………6分（2）当2=q 时，代入②得21=a ，所以，n n n a 2221=⋅=-…………7分22log 2log 22n n nn n n b a a n ===g23234+1222322222232(-1)22..................................10nn n n n S n S n n ∴=+⋅+⋅++⋅∴=+⋅+⋅++⋅+⋅L L 分2+12222n n n S n -=++-⋅L 两式相减得所以22)1(1+-=+n n n S ……………………………………………12分19. （ 12分）解：（1）由题意得B B A C A 222sin sin sin sin sin +=+-由正弦定理得222b ab c a +=+- --------------------------------------3分即 ab cb a -=-+222 由余弦定理得21cos -=C所以=C ︒120-----------------------------------------------------------------------6分（2）法1：由题意48cos 2222=-+=C ab b a c-----------------7分6==即36cos 222=++b C ab a所以12cos 4-=C ab 故ab=6--------------------------------------11分所以233sin 21==C ab S --------------------------------------12分法2：在△ABC 中，48cos 2222=-+=C ab b a c -----------------7分在△ADC 和△BDC 中，由余弦定理得：22222121)2142b ADCa ADC ADC ab π=-∠=--∠=+∠∴+=2248a b ab ∴++= 故ab=6 --------------------------------------11分所以 233sin 21==C ab S --------------------------------------12分20. （12分）解：（1）'()2(2)af x bx a x =+--(0)x >………………2分因为1x =函数()f x 的一个极值点，所以'(1)220f b =-=.所以 1.b = …………………………………………4分（2）函数2()(2)ln f x x a x a x =+--的定义域是），（∞+0.22(2)'()2(2)a x a x af x x a x x +--=+--=， (0)x >令0)('=x f ，即(1)(2)'()0x x a f x x -+==，12ax =-或. ……………7分当12a-≤，即2a ≥-时，)(x f 在（1，e ）上单调递增，没有最小值……………9分 当1,-222ae e a <-<<<-即时，)(x f 在（1，e ）上存在最小值()2af -；………………………………………11分 当2a e -≥，即2a e ≤-时，)(x f 在（1，e ）上单调递减，没有最小值 所以，-22e a <<- …………………………………………………………12分21（12分）解：（1）设P 1（x ，y ），则11(1,),(,1)AP x y PB x y =-=--u u u r u u u r…………2分 由112AP PB =u u u r u u u r 得12,22x x y y -=-=-，所以可得112P (,)33=…………………4分 (2)设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为q若0=d 且1≠q ⇒1P ，2P ，3P ，…，nP ，…都在直线13x =上；………6分 若1=q 且0≠d ，⇒1P ，2P ，3P ，…，nP ，…都在直线23y =上；………8分若0≠d 且1≠q ，1P ，2P ，3P ，…，n P，…共线⇔1n n P P -=u u u u u r 11(,)n n n n a a b b ----与111(,)n n n n n n P P a a b b +++=--u u u u u u r共线（*,1N n n ∈>）1()n n b b +⇔-=1()n n b b --1q ⇔=与1≠q 矛盾，∴当0≠d 且1≠q 时，1P ，2P ，3P ，…，n P ，…不共线. ……………………12分22．（ 12分） 解：（1）()ln(1)ln(1)f x a x b x a b=+--+-所以()',11a b f x x x =++-………………2分由 ()'0,k f = 得2,a b +=由()00,f = 得0,a b -= 解得 1.a b ==所以()ln(1)ln(1).f x x x =+--………………3分（2）原命题⇔()1,0,x ∀∈- ()30.3x f x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭设()()()3ln 1ln 13x F x x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭()422111'1,111x F x x x x x +=+--=+--………………5分当()1,0x ∈-时，()'F x 0>， 函数()F x 在()1,0x ∈-上单调递增.()()00F x F <= ， 因此()1,0,x ∀∈- ()33x f x x <+………6分（3）31ln ,13x x k x x ⎛⎫+<+ ⎪-⎝⎭ 对()1,0x ∈-恒成立⇔ ()()31ln 0,1,013x x t x k x x x ⎛⎫+=-+<∈- ⎪-⎝⎭…………7分()()()422222'1,1,0,11kx k t x k x x x x -+=-+=∈--- ………………8分11 / 11 所以当(](),0,'0k t x ∈-∞≥ ， 且[]()0,2,'0k t x ∈≥恒成立即2k ≤时，函数()t x 在()-1,0上单调递增， ()()00.t x t <=………9分当2k >时，令()'0,t x = 解得()4020,1k x k-=∈ ()0,1,0x ∈-取 x ()01,x - 0x()0,0x ()'t x + 0- ()t x 增 极大值减 ()()000,t x t >= 显然不成立.综上可知：满足条件的k 的最大值为2.………………12分。

浅析语文教学中美感教育的培养 随着基础教育改革的不断深入发展，为了全面提高学生的整体素质，曾经一度被忽视的美育日益受到重视。

在全国教育会议中，美育的“不可替代的作用”多次得到强调。

“语文课程丰富的人文内涵对学生精神领域的影响是深广的,学生对语文材料的反应又往往是多元的,因此,应该重视语文的熏陶感染作用,注意教学内容的价值取向,同时也应尊重学生在学习过程中的独特体验。

”蔡元培也曾经说过:“凡是学校所有的课程,都没有与美育无关的。

”因此,我们就需充分利用这一美育资源,培养学生的审美情趣。

近年来，本人在语文教学中，注重发现语文教材中美的因素，对学生进行美的教育，做了一些有益的探索，并收到了较好的效果。

一、就美的存在形式而言,初中语文教材中涉及到自然美、社会美、艺术美和科学美。

自然美是指自然界中一切使人赏心悦目的事物具有的审美特征和审美价值。

自然美是非常广泛的,教材中写景状物的文章往往表现出多姿多彩的自然美。

如:朱自清的《春》写了春草、春花、春风、春雨等自然景物,从而表现出春到江南的艳丽、柔和、温馨、生机勃发的美。

《苏州园林》则使读者感知到园林的图画美。

社会美是指社会生活中各种事物、现象的美和人的美,它包括人物美、社会斗争美、劳动美等。

其中人物美在社会美中占据中心地位,而高尚的道德情操、进步的人生观又是人物美的核心。

艺术美是指艺术作品的内容与形式相统一,从艺术形象的整体表现出来的审美特征。

在初中语文教学中接触最多的艺术美的形式即是文学美。

“文学是语言的艺术。

”,因而文学美又主要表现为语言美。

科学美是一种客观存在的美,在科技性说明文中显得尤为突出。

如:《中国石拱桥》科学而准确地介绍了石拱桥结构特点、兴建历史及价值。

二、立足文本，激发情感，鼓励学生欣赏美 （一）以美得的画面感染学生 朱自清的《春》，所描绘的景物充盈着跃动的活力与生命的灵气，绘画春草图、春花图、春风图、春雨图、迎春图，一幅幅美妙的春景图，把我们带到了春天，感受到了春天的气息，我们会为那美丽的春光所陶醉，会为那洋溢的热情所感染，会为那盎然的生机所激励。

2021年高三上学期摸底考试数学（理）试题 含答案本卷共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：1．已知集合 M= ，集合为自然对数的底数），则=（ ） A ． B ． C ． D ．2．命题“x ∈R ，x 2－x+l<0”的否定是 A ． x ∈R,x 2一x+1≥0B ．x ∈R,x 2 －x+1>0C ． x ∈R,x 2－x+l ≥0 D ． x ∈R,x 2－x+l>0 3．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C)20 (D)24 4．若的值为 A ． -1 B ． C ．l D ．2 5.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为（ ）.A. 4B. 4C. 3D. 2 6．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为 （ ） A ． B ． C ． D ．7、若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．9、在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集DABC主视图左视图{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 10、已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝，SA ＝SC ＝2，AC 的中点为M ，∠SMB 的余弦值是，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. B. C. D.12、设定义在上的函数，若关于的方程 有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题。

高三第一次模拟考试 理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B I 的子集个数为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（ ）A ． -1B ． -2C ． -3D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =L L ，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=u u u r u u u r u u u u r L L ，（O 为原点），则a = （ ） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-r r ，则0x <或4x >是向量a r 与b r夹角为锐角的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A BC 、、三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ． 8 B ．7 C. 6D ．56.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A 433+B 433- C. 433-+ D 433--7.如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A．99223-B．100223-C.101223-D．102223-8. 已知函数()f x既是二次函数又是幂函数，函数()g x是R上的奇函数，函数()()()11g xh xf x=++，则()()()()()()()()() 201820172016101201620172018h h h h h h h h h++++++-+-+-+-=L L（）A．0 B．2018 C. 4036 D．40379. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．36π C. 40πD．400π10. 已知向量44sin,cos22x xa⎛⎫= ⎪⎝⎭r，向量()1,1b=r，函数()f x a b=r rg，则下列说法正确的是（）A．()f x是奇函数B．()f x的一条对称轴为直线4xπ=C.()f x的最小正周期为2πD．()f x在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数11.已知双曲线()222109x ybb-=>的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且Fe与双曲线的渐近线相切，若过点A作Fe的两条切线，切点分别为,M N，则MN=（）A．8 B．42 C. 23D．4312. 令11t x dx -=⎰，函数()()122413321log 2x x f x x t x ⎧⎛⎫+≤- ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+>- ⎪⎪⎝⎭⎩，()()()2142212xx ax a x g x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩满足以下两个条件：①当0x ≤时，()0f x <或()0g x <；②(){}|0A f x x =>，(){}|0B g x x =>，A B R =U ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.()()511ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，6b =，且22cosB a 4ac b =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足00,30OA OB OC BAO ++=∠=u u u r u u u r u u u r r ，则OA =u u u r ．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈g g ，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A B C 、、三位顾客各买了一件衣服. （1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）A B 、两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设X 为打折后两位顾客的消费总额，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,3,23,2ABCD A B A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求二面角111B CC D --的正弦值.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，A B 、是椭圆的左、右顶点，点P '满足()4,0PP x '=-u u u r.①证明：PP PF'u u u r u u u r 为定值；②设Q 是直线4x =上的任一点，直线AQ BQ 、分别另交椭圆C 于M N 、两点，求MF NF +的最小值. 21. 已知函数()()ln 1axf x x a R x =-∈+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明:()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-e 相交于A B 、两点，且090AOB ∠=. （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N g （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB 二、填空题13. -1 14. 甲 15. 9 16. 3 三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =； （2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+g ，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n n b -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++L ，23111231222222n n nn n T --=+++++L ， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--L ，所以1242n n n T -+=-. 18.解：打5，6，7，8折的概率分别为112111,,,32632336==⨯⨯， （1）事件A 为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，所以()223122339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭g ；（2）X 的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，()11120006636P X ==⨯=，()11122002639P X ==⨯⨯=，()111122400263339P X ==⨯⨯+⨯=，()111110526002233663618P X ==⨯⨯+⨯⨯==，()111122800233369P X ==⨯+⨯⨯= ，()11130002639P X ==⨯⨯=，()11132006636P X ==⨯=，所以X 的分布列为()200022002400260028003000320026003699189936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D :四边形ABCD ， ∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =， 又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥； （2）解：在ABC ∆中，03,2,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，()()()(1330,0,0,23,0,0,0,2,0,3,0,,22A B C C M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由于AM ⊥平面11C CDD ，所以平面11C CDD 的法向量为330,,22AM ⎛= ⎝⎭u u u u r ，设平面11B BCC 的法向量为(),,m x y z =u r ，()23,2,0BC =-u u u r ，(10,3CC =-u u u u r，102320030BC m x y CC m y z ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩u u u r u r g u u uu r u r g 设3y =()3,1m =u r ， 3332522cos ,553m AM m AM m AM===⨯u r u u u u r u r u u u u r g u r u u u u r g ， ∴5sin ,m AM =即二面角111B CC D --520.解：（1）由12c a =得2234a b =， 把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）由（1）知221,143x y c +==，142PF x====-u u u r，而4PP x'=-u u u r，∴2PPPF'=u u u ru u u r为定值；②设()4,Q m若0m=，则4MF NF+=，若0m≠，因为()()2,0,2,0A B-，直线():26mQA y x=+，直线():y22mQB x=-，由()2226143my xx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()222227441080m x m x m+++-=，∴()224108227Mmxm--=+，得2225427mxm-+=+，由()2222143my xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222344120m x m x m+-+-=，∴2241223Nmxm-=+g，得22263Nmxm-=+，由①知()()114,422M NMF x NF x=-=-，∴2222242221254264848 44448122273308130 M Nx x m m mMF NFm m m m mm⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+-+-+=-=-+=-=- ⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ⎪++⎝⎭，∵228118mm+≥=（当且仅当29m=即3m=±时取等号）∴224818130mm≤++，即MF NF+的最小值为3.21.解：（1）()()()()()()222121111a x ax x a xf x xx x x x+-+-+'=-=>++，令()()221p x x a x=+-+，①20a -≥即2a ≤时，()1p x >，故()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当()2240a ∆=--≤即04a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；③当4a >时，由于()0f x '=的两根为202a x -±=>， 所以()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在2222a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，综上：4a ≤时，函数()f x 在()0,+∞为增函数；4a >时，函数()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在2222a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭为减函数；（2）由（1）知4a >，且12122,1x x a x x +=-=， ∴()()()()()()122112121212121211ln ln ln 1111ax x ax x ax ax f x f x x x x x a x x x x ++++=-+-=-=-++++， 而()1222222ln ln 22222212a a x x a a a f f a a -+---⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+g， ∴()()121222ln 2ln 2222222f x f x x x a a a a f a ++--⎛⎫-=-++=-+⎪⎝⎭， 设()()2ln2422a ah a a -=-+>，则()()2114022222a h a a a -'=-=<--g ， 所以()h a 在()4,+∞上为减函数，又()40h =，所以()0h a <， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得214022t t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立， 设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==g， 所以22128C M C N t t ==g g 为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-， ①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩， 所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+， 当且仅当()()10x x m -++≥g 时取等号，∴110m ++=， 得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。

2020高三摸底数学试题参考答案一、单选题1-4 CBAC 5--8 CBBA二、选择题9.AD 10.BCD 11.AD 12.BCD 三、填空题13. 43-； 14. 3； 15. 1 16. -12 四、解答题17.解：（1）1tan ,0cos sin =∴=-=⋅∴⊥x x x n m nm ， ……………（3分）由⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，所以4π=x…………（4分） （2）=⨯-==12cos sin cos xx α)4sin(π-x ………………………（6分）)22,22(cos ,44420-∈∴<-<-∴<<αππππx x ………………………（8分） ()πα,0∈ ，由于余弦函数图象得⎪⎭⎫⎝⎛∈43,4ππα………………………（10分）18.（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q选①；0)1)(2(,6)1(223213=-+∴=++=++=q q q q a a a S ，()122,2,1--=∴-=∴≠n n a q q()n n n a 211⋅-=∴-…………………（5分）选②；711)1)(1(1111,133333636-=+=--+=----=∴≠q qq q qq q q S S q ， ()122,2--=∴-=∴n n a q ,()n n n a 211⋅-=∴-……………………（5分）选③；042,42,42341121523=+-∴+=∴+=q q q a q a q a a a a ，0)22)(2(2=+-+∴q q q ，()122,2--=∴-=∴n n a q()n n n a 211⋅-=∴-………（5分）（2）()n n n n n na b 211⋅=-=-……………………………………（6分）13232122)1(222122232221+⋅+⋅-++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅+⋅=∴n nn n n n n T n T ………………………（9分）两式相减得，22)1(22222222111132+⋅-=∴⋅--=⋅-++++=-++++n n n n n n n n T n n T ………（12分）19. 解：（1） 0sin sin sin cos cos 222=++-C B C B A ， 0sin sin sin )sin 1()sin 1(222=++---∴C B C B A0sin sin sin sin sin 222=++-∴C B C A B ，……………（2分） 0222=++-∴bc c a b ，……………（4分）212cos 222-=-+=∴bc a c b A32π=∴A ……………………………………（6分） （2）,3432sin 22,2,32==∴==ππR a A分）9（………………)3sin(34)cos 23sin 21(34)sin 21cos 23(sin 34))3sin((sin 34)sin (sin 2ππ+=+=-+=-+=+=+∴B B B B B B B B C B R c b1)3sin(23,3233,30≤+<∴<+<∴<<πππππB B B ，3342≤+<∴c b 33424+≤++<∴c b a ，即ABC ∆周长的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛+33424，。

2024届保定市高三数学上学期开学摸底考试卷2023.9（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足()1i i z -=，则z 的虚部为（）A ．12-B ．12C ．1i 2-D ．1i22．已知集合{}2Z |20A x x x =∈+-<，{}2N |0log (1)2B x x =∈≤+<，则A B ⋃的真子集的个数为（）A ．16B ．15C ．14D ．83．已知单位向量a ，b 满足()2a b b +⊥ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π4．已知直线1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，则“2a =”是“12//l l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为()12013%34.711+≈，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为()12013%0.026-≈，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：lg103 2.013≈，lg97 1.987≈）（）A ．28B ．38C ．60D ．1006．如图，在三棱锥-P ABC 中，异面直线AC 与PB 所成的角为60°，E ，F 分别为棱PA ，BC 的中点，若2AC =，4PB =，则EF =（）A ．3B ．2C ．3或7D ．2或77．已知抛物线Γ：()220y px p =->的焦点为F ，准线m 与坐标轴交于点1F ，过点F 的直线l 与Γ及准线m 依次相交于A ，B ，C 三点（点B 在点A ，C 之间），若13BF FC =，6AF =，则1F AB 的面积等于（）A ．23B ．33C ．43D ．638．已知()ln 1e a =+，e b =，2e3c =，则（）A ．b a c>>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c b a>>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在某区高三年级第一学期初举行的一次质量检测中，某学科共有2000人参加考试.为了解本次考试学生的该学科成绩情况，从中抽取了n 名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计，成绩均在[]50,100内，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图（如图所示）.已知成绩落在[)50,60内的人数为16，则下列结论正确的是（）A ．1000n =B ．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分C ．若成绩低于60分定为不及格，估计全体学生中不及格的人数约为300人D ．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A 等，则成绩为79分的学生该学科成绩有可能是A 等10．将函数()22cos 3f x x =的图象向右平移π2个单位长度得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 的图象关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．x ∀∈R ，()2π3⎛⎫≤ ⎪⎝⎭g x gC ．()g x 在区间()0,5π上恰好有三个零点D ．若锐角α满足()3g α=，则π1cos 262α⎛⎫-=⎪⎝⎭11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，若21:||:1:4:5F Q PQ F Q =，则（）A ．12PF PF ⊥B ．12QF F 的面积等于26a C ．直线l 的斜率为22D ．C 的离心率等于2212．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且满足对任意实数x ，()()33f x g x +-=，()()11g x f x --=，若()f x 是偶函数，()02f =，则（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()11f x +-为奇函数C ．()g x 是周期为4的周期函数D ．()202314046n g n ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()2sin x f x a x x x =++-（0a >，且1a ≠），曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线2290x y -+=平行，则=a .14．在()5321x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含x 项的系数是.15．已知动点P 与两个定点()0,0O ，()3,0A 满足2PA PO=，设点P 的轨迹为曲线Γ，则Γ的方程为；过A 的直线l 与Γ相切，切点为M ，B ，C 为Γ上两点，且23BC =，N 为BC 的中点，则AMN 面积的最大值为.16．鳖臑（biēnào ）出自《九章算术·商功》，指的是四个面均为直角三角形的三棱锥，如图所示的鳖臑S ABC -中，SC BC ⊥，SC AC ⊥，AB BC ⊥，且10AB BC ⋅=，5SC =，则其外接球体积的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin sin a b B Cc A B++=-.(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 上一点，BAD CAD ∠=∠，3AD =，求4b c +的最小值.18．2015年5月，国务院印发《中国制造2025》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业.我国的造船业、光伏产业、5G 等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布()64,100N ，且质量指标值在[]54,84内的零件称为优等品.(1)求该企业生产的零件为优等品的概率（结果精确到0.01）；(2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量X 表示抽取的5件中优等品的个数，求X 的分布列、数学期望和方差.附：()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且321n n a S -=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知31log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形BCEF 是矩形，四边形ADEF 是直角梯形，//AD EF ，AD AF ⊥，122AF BF AD EF ====，BE 与CF 交于点O ，连接AO .(1)证明：//AO 平面CDE ；(2)若23AB =，求平面ABF 与平面OAB 的夹角的余弦值.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为C 的渐近线上一点，2AF 的最小值为3.(1)求C 的方程；(2)过C 的左顶点B 且斜率为()0k k ≠的直线l 交C 的右支于点P ，与直线12x =交于点Q ，过1F 且平行于2QF 的直线交直线2PF 于点M ，证明：点M 在定圆上.22．已知函数()sin 1e ex x af x π+=-，a ∈R .(1)当1a =-时，证明：()1f x >在[],0π-上恒成立；(2)当1a =时，求()f x 在[],2ππ内的零点个数..1．A【分析】由已知，利用复数的除法，求出z ，得到z ，可知z 的虚部.【详解】复数z 满足()1i i z -=，则()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z +===-+--+，所以11i 22z =--，z 的虚部为12-.故选：A 2．B【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法确定集合,A B ，即可求解.【详解】由220x x +-<，解得2<<1x -，所以{}1,0A =-，又由20log (1)2x ≤+<可得114x ≤+<，解得03x ≤<，所以{}0,1,2B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，有42115-=个真子集，故选：B.3．C【分析】由向量垂直可得()20a b b +⋅=，结合已知条件和向量的数量积的定义可求出夹角的余弦值，从而可求出向量的夹角.【详解】解：因为a ，b 是单位向量，所以1==a b rr ，因为()2a b b +⊥ ，所以()20a b b +⋅= ，即2222cos ,2cos ,10a b b a b a b b a b ⋅+=+=+=，则1cos ,2a b =- ，因为a 与b 的夹角范围为[]0,π，所以a 与b 的夹角为23π.故选:C.4．C【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】依题意，1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，若两直线平行，则()()()211a a ⨯-=-⨯-，解得1a =-或2a =.当1a =-时，1l ：210x y ++=，2l ：210,210x y x y ---=++=，此时两直线重合，不符合.当2a =时，1l ：2210x y -+=，2l ：20x y -+=，符合题意.所以“2a =”是“12//l l ”的充要条件.故选：C5．B【分析】根据题意建立指数方程，指数式化对数式求解方程，再利用换底公式，转化为常用对数运算即可.【详解】设要经过n 天，“进步"的值是“迟步”的值的10倍，则(13%)10(13%)n n +=-，即1031097n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则10397110log 10lg103lg 97g n ==-11382.013 1.9870.026≈=≈-.故选：B.6．C【分析】利用线线角以及余弦定理求得EF .【详解】设G 是AB 的中点，连接,FG EG ，由于E ，F 分别为棱PA ，BC 的中点，所以11//,1,//,222FG AC FG AC EG PB EG PB ====,所以EGF ∠是异面直线AC 与PB 所成的角或其补角，当60EGF ∠=︒时，在三角形EFG 中，由余弦定理得14212cos 603EF =+-⨯⨯⨯︒=.当120EGF ∠=︒时，在三角形EFG 中，由余弦定理得14212cos1207EF =+-⨯⨯⨯︒=.所以EF 为3或7.故选：C7．D【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，以及三角形的性质，即可求解．【详解】如图，过A 作AM m ⊥于M ，过B 作BN m ⊥于N ，连接FM抛物线Γ：()220y px p =->的焦点为,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为2p x=，则1,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭由抛物线定义可得13BF BN FC ==，所以12BN BC =，则30BCN ∠=︒，故60CBN ∠=︒，又有60FAM CBN ∠=∠=︒，由抛物线定义得AF AM =，所以AFM △为正三角形，则6FM AF ==，所以60AFM ∠=︒，则160MFF ∠=︒，所以1226MF FF p ==⋅=，故3p =故13FF =，所以126FC FF ==，则13232B BF BN FC x ====-+，所以12B x =-，则263B B y x =-=，不妨由图取3B y =-，又362A AF AM x ==-+=，所以92A x =-，则2627AA y x =-=，不妨由图取33A y =，所以11113436322F AB A B S FF y y =⋅-=⨯⨯= .故选：D.8．D【分析】构造函数()ln(1),0f x x x x =+->，利用导函数讨论其单调性和最值，可得ln(1)x x +<，从而可得1ln(1e)1e +<+，11e 211e e e +<<，即可比较,a b 的大小关系，再利用作差法比较,b c 大小关系.【详解】令()ln(1),0f x x x x =+->，则1()1011xf x x x-'=-=<++，所以函数()f x 在()0,∞+单调递减，且(0)0f =，所以()0f x <，即ln(1)x x +<，令1e x =，则有11ln(1)e e+<，所以11ln(1)ln e 1e e ++<+，即1ln(1e)1e+<+，又由11ln(1)e e +<，可得11e 211e e e+<<，所以()ln 1e e +<，即a b <，又因为2224e 4ee=e(1)099c b -=-->，所以b c <，综上可得c b a >>，故选：D.9．BD【分析】由频率分布直方图区间[)50,60的概率确定样本总容量，由频率和为1求x ，根据频率分布直方图估计均值，确定79分前所占比例从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图可得：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率依次为10,0.3,0.4,0.1,0.04m .对于A ：因为100.30.40.10.041m ++++=，所以0.016m =，因为成绩落在[)50,60内的人数为16，所以161000.01610n ==⨯，故A 错误；对B ：估计全体学生该学科成绩的平均分0.16550.3650.4750.1850.049570.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分，故B 正确；对C ：由选项A 可得：成绩落在[)50,60的频率为0.16，所以估计全体学生中不及格的人数约为20000.16320⨯=，故C 错误；对D ：设该学科成绩为A 等的最低分数为m ，因为[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率依次为0.4,0.1,0.04，则0.10.040.140.150.540.40.10.04+=<<=++，可知[)70,80m ∈，则()800.040.10.040.15m -⨯++=，解得79.75m =，虽然79.7579>，但79.75是估计值，同时学生成绩均为正整数，所以成绩为79分的学生该学科成绩有可能是A 等，D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】利用三角函数的图象变换求得()g x 的解析式，再根据余弦函数的图象性质求解.【详解】将函数()22cos 3f x x =的图象向右平移π2个单位长度，得到函数()2π2π2cos 2cos()3233g x x x ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对A ，ππ2cos()043π6g ⎛⎫=--= ⎪-⎝⎭，所以()g x 的图象关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；对B ，π2cos()2π923g ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，B 错误；对C ，2ππ(0,5π),,3π333x x ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，所以当2ππ3π5π,,33222x -=时，()0g x =，所以()g x 在区间()0,5π上恰好有三个零点，C 正确；对D ，()2π2cos()333g αα=-=，所以2π3cos()332α-=，因为π2ππ0,,,02333αα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ336α-=-，解得π4α=，所以ππ1cos 2cos 632α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，D 正确；故选:ACD.11．ABD【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知12PF PF =，且满足22211PF PQ F Q +=，即可得A 正确；易知1211226QF F QF P PF F S S a S =-= 可得B 正确；在等腰直角三角形12PF F △中，可知直线l 的斜率为1-，计算可得C 的离心率等于22.【详解】由21::1:4:5F Q PQ F Q =可知，不妨设21,4,5F Q m PQ m F Q m ===，又224PQ QF PF m =+=，可得23PF m =；利用椭圆定义可知12126QF QF PF PF m +=+=，所以可得13PF m =；即123PF PF m ==，所以点P 即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：由13PF m =，14,5PQ m F Q m ==可知满足22211PF PQ F Q +=，所以12PF PF ⊥；即A 正确；所以12PF F △为等腰直角三角形，且13PF m a ==，因此12QF F 的面积为12112222212111931622226QF F QF P PF F S S S PQ PF PF PF m m m a =-=-=-== ，即B 正确；此时可得直线l 的斜率21PQ PF k k ==-，所以C 错误；在等腰直角三角形12PF F △中，易知()2222a a c +=，即可得离心率22c e a ==，即D 正确；故选：ABD 12．BCD【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，()()33f x g x +-=①，()()11g x f x --=②，以3x -替换②中的x 得()()321g x f x ---=③，由①③得()()22f x f x +-=④，令0x =得()()()()022,200f f f f +==≠，A 选项错误.由④得()()1210f x f x -+--=⑤，以1x +替换⑤中的x 得()()11110f x f x +-+-+-=，所以()11f x +-为奇函数，B 选项正确，且()()()011110,11f f f +-=-==，以1x -替换②中的x 得()()()()111g x f x g x f x ---=--=⑥，由①⑥得()()314g x g x -+-=⑦，以x 替换⑦中的1x -得()()()()24,24g x g x g x g x ++=+=-+，所以()()()()()4222444g x g x g x g x gx +=++=-++=--++=⎡⎤⎣⎦，所以()g x 是周期为4的周期函数，所以C 选项正确.由()()33f x g x +-=，令0x =，得()()()033,31f g g +==，令2x =，得()()()2113f g g +==，由()()11g x f x --=，令0x =，得()()()()()()0101011,02g f g f g g --=-=-==，()()402g g ==令2x =，得()()()()21211,22g f g g -=-==，所以()()()()123432128g g g g +++=+++=，所以()202312020832140464n g n ==⨯+++=∑，所以D 选项正确.故选：BCD【点睛】求解抽象函数奇偶性、周期性等题目，关键点就是牢牢把握函数的性质进行分析，记住一些常见的结论是最好的办法，如()()11f x f x +=-这是对称性，并且是轴对称；()()11f x f x +=--这也是对称性，且是中心对称.13．e【分析】由题意有()01f '=，可解出a 的值.【详解】函数()2sin x f x a x x x =++-，()ln cos 21xf x a a x x '=++-，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线2290x y -+=平行，则有()0ln 111f a '=+-=，得e a =.故答案为：e .14．90-【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】二项式52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()515312255C 22Crr rrr rx xx---⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令5322r -=-，解得3r =；令5312r-=，解得1r =.所以()5321x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项为()()3133211552C 12C 90x x x x -⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅=-，所以展开式中含x 项的系数是90-.故答案为：90-15．22230x y x ++-=33【分析】设(),P x y ，由2PA PO=得到方程，变形后得到答案，先得到N 点的轨迹为以()1,0G -为圆心，半径为1的圆，并得到MN 的最大值为1213MG +=+=，且此时MN ⊥AM ，故此时AMN 的面积最大，求出各边长度，求出面积的最大值.【详解】设(),P x y ，则()222232x y x y -+=+，变形得到22230x y x ++-=，故Γ的方程为22230x y x ++-=；设22230x y x ++-=的圆心为()1,0G -，半径为2，又23BC =，因为N 为BC 的中点，所以GN ⊥BC ，3BN =，由勾股定理得222431GN BG BN =-=-=，故GN =1，故N 点的轨迹为以()1,0G -为圆心，半径为1的圆，由于AM 为圆G 的切线，故MN 的最大值为1213MG +=+=，且此时MN ⊥AM ，故此时AMN 的面积最大，由于22224223AM AG GM =-=-=，最大值为12333322AM MN ⋅=⨯⨯=.故答案为：22230x y x ++-=，3316．125π6【分析】证明出SC ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥得到外接球球心O 在平面ABC 的投影在AC 的中点H 上，且点O 为AC 的中点，由基本不等式求出25AC ≥，从而得到外接球半径52OA ≥，从而得到外接球体积的最小值.【详解】因为SC BC ⊥，SC AC ⊥，BC AC C ⋂=，,BC AC ⊂平面ABC ，所以SC ⊥平面ABC ，因为AB BC ⊥，故外接球球心O 在平面ABC 的投影在AC 的中点H 上，因为SC ⊥平面ABC ，所以点O 为AC 的中点，且5212S H C O ==，由勾股定理得222220AC AB BC AB BC =+≥⋅=，当且仅当AB BC =时，等号成立，故25AC ≥，则5AH ≥，222525544OA OH AH =+≥+=，故52OA ≥，故其外接球体积的最小值为344125125πππ3386OA ⋅≥⋅=故答案为：125π617．(1)2π3A =(2)27【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得4b c +的最小值.【详解】（1）依题意，sin sin sin sin a b B Cc A B++=-，由正弦定理得222,a b b c a b bc c c a b++=-=+-，222c b a bc +-=-，所以2221cos 022b c a A bc +-==-<，所以A 是钝角，所以2π3A =.（2）1π23BAD CAD A ∠=∠==，ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π1π1πsin 3sin 3sin 232323bc c b =⋅⋅+⋅⋅，即()333,1b c bc c b bc c b+=+=+=，所以()33123123441515227b c b c b c b c c b c b c b ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当()123,293b cc b cb bc c b ⎧=⎪==⎨⎪=+⎩时等号成立.18．(1)0.82(2)分布列见解析，() 4.1E X =，()0.738D X =.【分析】（1）产品质量指标值服从正态分布()64,100N ，结合3σ原则，求优等品的概率；（2）随机变量X 的取值，计算相应的概率，列出分布列，利用二项分布求数学期望和方差.【详解】（1）()64,100X N ~，则64μ=，10σ=，54μσ=-，842μσ=+，由()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得()()()115484546464840.68270.95450.8222P X P X P X ≤≤=≤≤+≤≤=⨯+⨯≈.故该企业生产的零件为优等品的概率为0.82.（2）X 可能的取值为0，1，2，3，4，5，()()5010.82P X ==-，()()4151C 0.8210.82P X ==⨯⨯-，()()32252C 0.8210.82P X ==⨯⨯-，()()23353C 0.8210.82P X ==⨯⨯-，()()4454C 0.8210.82P X ==⨯⨯-，()550.82P X ==，则X 的分布列为：X 012345P()510.82-()415C 0.8210.82⨯⨯-()3225C 0.8210.82⨯⨯-()2335C 0.8210.82⨯⨯-()445C 0.8210.82⨯⨯-50.82由()6,0.82X B ~，则有()50.82 4.1E X =⨯=，()()50.8210.820.738D X =⨯⨯-=.19．(1)13n n a -=(2)()21314n nn T -⋅+=【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得正确答案.（2）利用错位相减求和法求得n T .【详解】（1）依题意，321n n a S -=①，当1n =时，111321a a a -==，当2n ≥时，11321n n a S ---=②，①-②得()113320,32n n n n n a a a a a n ----==≥，所以数列{}n a 是首项为11a =，公比为3的等比数列，所以13n n a -=（1a 也符合）.（2）31113lo 3g log 33n n n n n n b a n a +--=⋅=⋅=⋅，01113233n n T n -=⋅+⋅++⋅ ，12313233n n T n =⋅+⋅++⋅ ，两式相减得21132********n n nnn T n n ---=++++-⋅=-⋅- ，()()112321312,24n n n n n n T T -+-⋅-⋅+-==.20．(1)证明见解析(2)1717【分析】（1）作辅助线：取CE 的中点为M ，连接,DM OM ，根据中位线定理可证明四边形ADMO 是平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得出证明；（2）根据几何体性质可知EF ⊥平面ABF ，过点F 作FN AB ⊥，连接NE ，易知角ENF ∠即为平面ABF 与平面OAB 的夹角的平面角，即可求出其余弦值.【详解】（1）取CE 的中点为M ，连接,DM OM ，如下图所示：因为四边形BCEF 是矩形，所以O 是CF 的中点，所以//OM EF ，1=2OM EF ，又//AD EF ，12AD EF =，所以//OM AD ，=OM AD ；即四边形ADMO 是平行四边形，所以//AO DM ，又AO ⊄平面CDE ，DM ⊂平面CDE ，所以//AO 平面CDE ；（2）因为四边形ADEF 是直角梯形，//AD EF ，AD AF ⊥，所以EF AF ⊥；又因为四边形BCEF 是矩形，所以EF BF ⊥，又BF AF F = ，,BF AF ⊂平面ABF ，所以EF ⊥平面ABF ；又AB ⊂平面ABF ，所以EF AB ⊥，过点F 作FN AB ⊥，连接NE ，如下图所示：又FN EF F ⋂=，,FN EF ⊂平面EFN ，所以AB ⊥平面EFN ；又NE ⊂平面EFN ，所以AB NE ⊥；平面ABF 与平面OAB 的夹角即为平面ABF 与平面EAB 的夹角，其平面角为ENF ∠；在Rt ENF △中，cos NFENF NE∠=，又122AF BF AD EF ====，所以4EF =，N 为AB 的中点，23AB =，所以2212AB NF AF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又因为EF NF ⊥，所以2217NE EF NF =+=；所以117cos 1717NF ENF NE ∠===；即平面ABF 与平面OAB 的夹角的余弦值为1717.21．(1)2213y x -=(2)证明见解析【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点到直线距离公式求解；（2）根据题意做出几何图形，求出点P 的坐标，利用斜率公式求出2221PF kk k =-，进而可得22QF B QF P ∠=∠，从而有212221F F M QF B QF P F MF ∠=∠=∠=∠，即可证明求解.【详解】（1）设双曲线的右焦点2(,0)F c ，一条渐近线的方程为0bx ay -=，因为2AF 的最小值为3，所以右焦点2(,0)F c 到渐近线0bx ay -=的距离为3，所以223bc b b a==+，又因为离心率2212c b e a a==+=，所以1a =，所以C 的方程为：2213y x -=.（2）由题得，C 的左顶点(1,0)B -，右焦点2(2,0)F ，所以直线12x =为线段2AF 的垂直平分线，所以2,QB QF 的斜率分别为,k k -，所以直线QB 的直线方程为(1),y k x =+与C 联立有，2222(3)230k x k x k ----=，设11(,)P x y ，则有212213k x k -+=-，即21233k x k +=-所以22236,33k k P k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，当2PF x ⊥轴时，(2,3)P ，则有223PF BF ==2PBF 为等腰直角三角形，所以22π4PF B BF P ∠=∠=,当2PF 不垂直于x 轴时，2222260233123PF kk k k k k k --==+---，所以222tan 1kPF B k ∠=--，2tan QF B k ∠=，所以2222tan 2tan 1kQF B PF B k ∠==∠-，所以22QF B QF P ∠=∠，因为21//QF F M ，所以212221F F M QF B QF P F MF ∠=∠=∠=∠所以2124MF F F ==为定值，所以点M 在定圆22(2)16x y -+=上.22．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）当1a =-时，通过导数求()f x 在[]π,0-上的最小值，证明()1f x >；（2）当1a =时，求()f x 在[]π,2π内的零点个数，转化为()()πe sin 11x g x x -=+-在[]π,2π内的零点个数，利用导数求()g x 在[]π,2π内的单调性，由零点的存在定理判断零点的个数.【详解】（1）当1a =-时，函数()πsin 11e e x x f x +=+，()πcos 1e ex x f x '=-，函数πcos e xy =在[]π,0-上单调递增，1exy =-在[]π,0-上单调递增，所以()f x '在[]π,0-上单调递增，()π1010e f '=-<，则()0f x '<在[]π,0-上恒成立，()f x 在[]π,0-上单调递减，在[]π,0-上，()()π1011e f x f ≥=+>，即()1f x >在[]π,0-上恒成立；（2）当1a =时，函数()πsin 11e ex x f x +=-，πsin 110e ex x +-=，等价于()πe sin 110x x -+-=，令()()πesin 11x g x x -=+-，()()πe sin cos 1x g x x x -'=++，在3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内πsin cos 2sin 2,14x x x ⎛⎫⎡⎤+=+∈-- ⎪⎣⎦⎝⎭，()0g x '≤，()g x 在3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，cos 0x ≥，sin cos 10x x ++≥，()0g x '≥，()g x 在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，()()ππe sin 110x g x -=+-=，π是()g x 的零点，π23π3πe sin 11122g ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()ππ2πe sin 2π11e 10g =+-=->，()g x 在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有一个零点，所以()f x 在[]π,2π内的有两个零点.。