第三章 空间向量与立体几何
一、坐标运算
111222,,,,,axyzbxyz
121212121212111121212,,,,,,,,abxxyyzzabxxyyzzaxyzabxxyyzz则
二、共线向量定理
,0,=.abbabab充要对于使
三、共面向量定理
,,.abpabxypxayb充要若与不共线，则与共面使
,,,1.OOPxOAyOBPABxy充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线
,1.PABCOOPxOAyOBzOCPABCxyz充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点
11,1.PABCAPxAByACOPOAxOBOAyOCOAOPxOByOCxyOAxyzxyz证明：①必要性、、、四点共面，，，，令
1,1,xyzOPyzOAyOBzOCOPOAyOBOAzOCOAAPyABzACABCP②充分性，，、、、四点共面.
六、空间向量基本定理
,,abcpxyzpxaybzcabcabc若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.
七、立体几何中的向量方法
121212,,.nnllvv设平面和的法向量为和直线和的方向向量为
11121111121212121212nvlllnvlllvvllvvnnnn①或②若③④⑤⑥
八、角、距离
1异面直线的夹角，
coscos,ABCDABCDABCD则
2,线与面的夹角
sincosanan则
专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离
一、考纲要求
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
二、考点梳理
考点一 异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β l1与l2所成的角θ
范围 (0，π) 0，π2
求法 cos β＝a·b|a||b| cos θ＝|cos β|＝|a·b||a||b|
考点二 求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.
考点三 求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB→，CD→〉.
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
【特别提醒】
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
三、题型分析
例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为( )
A.3－225 B.2－26
C.12 D.32
【答案】A
【解析】因为BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→
1 §8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角距离
最新考纲 考情考向分析
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解.题型以解答题为主，要求有较强的数学运算素养，广泛应用函数与方程思想、转化与化归思想.
2 1.两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 0，π2
[0，π]
求法 cosθ＝|a·b||a||b| cosβ＝a·b|a||b|
2.斜线和平面所成的角
(1)斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).
(2)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
3.二面角
(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角.
4.空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.
(3)求二面角的大小
1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉.
3 2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.
概念方法微思考
1.利用空间向量如何求线段长度？
第 五讲 空间向量与立体几何（2012-2-4）
利用空间向量证明空间中线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法．它以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法．另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型．
一、 空间向量的基本概念：
1、空间向量的数量积：
2、两个重要的向量：
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有
个．
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量．
3．利用空间向量求空间角
(1)求两条异面直线所成的角 (2)求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ.
则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝ .
（3）求二面角的大小：
二、 点题热身：
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则
( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为
( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
3、正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角
的余弦值为________．
