二次根式的概念和性质

前提知识之阳早格格创做
1、二次根式的定义：
咱们已经知讲：每一个正真数有且惟有二个仄圆根，一个记做，称为的算术仄圆根；另一个是.
咱们把形如的式子喊做二次根式，根号下的数喊做被启圆数.
由于正在真数范畴内，背真数不仄圆根，果此惟有当被启圆数利害背真数时，二次根式才正在真数范畴内蓄意思．
2、二次根式的本量
3、二次根式的积的算数仄圆根的本量
4、末尾的估计截止，具备以下特性：
（1）被启圆数中不含启得尽圆的果数（或者果式）；（2）被启圆数不含分母.
咱们把谦脚上述二个条件的二次根式，喊做最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，末尾截止央供被启圆数中不含启得尽圆的果数.
②化简二次根式时，末尾截止央供被启圆数不含分母.
③以后正在化简二次根式时，不妨曲交把根号下的每一个仄圆果子来掉仄圆号以来移到根号中（注意：从根号下曲交移到根号中的数必须利害背数）.
题型一、二次根式的观念战条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的本量
【例7】估计
【例8】
【例??】
【练一练】
??、
??、
??、
7、
题型三积的算数仄圆根的本量【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简
【例题粗析】
【例15】
【例16】
【例17】
【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。

二次根式总结一、引言二次根式是数学中一个重要的概念，涉及到对平方根的运算和性质。

掌握好二次根式的基本知识对于理解和解决数学问题至关重要。

本文将对二次根式进行总结，从定义、性质到应用方面进行探讨。

二、定义与基本性质二次根式可以表示为√a（其中a≥0），这里√a称为二次根，a称为被开方数。

在二次根式中，一些基本性质需要予以关注。

首先，二次根式满足乘法分配律。

对于任意的非负实数a和b，有√(ab)=√a × √b。

这个性质与平方根的性质一致，可以利用它对二次根式进行简化。

其次，二次根式可以进行合并化简。

如果a和b都是非负实数，则√a + √b可以合并成一个根式。

例如，√2 + √3 = √(2+3) = √5。

这一点在化简二次根式的过程中常常应用到。

另外，二次根式的乘法也有一定的规律。

对于任意非负实数a 和b，有(√a × √b) = √(ab)。

同样地，在乘法的过程中可以利用这一性质对二次根式进行化简。

三、进一步探讨与应用1. 二次根式的化简化简二次根式是使用二次根式的基本性质，将复杂的根式表示简化为更简洁的形式。

例如，√8可以化简为2√2，√5 × √3可以化简为√15。

化简二次根式有助于简化运算和解决数学问题。

在化简二次根式时，可以利用约束性质，并通过提取公因数的方式进行。

例如，对于√8，可以提取公因数2，即√(2 × 4) = 2√2。

2. 二次根式的加减运算二次根式的加减运算可以通过化简和合并根式进行。

对于√a + √b，如果a和b无法合并，则不能再继续进行简化。

例如，对于√2 + √3，不能再进行进一步的运算。

但是可以计算其近似值，如√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，因此√2 + √3 ≈ 1.414 + 1.732 ≈ 3.146。

3. 二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算可以利用乘法分配律和二次根式的乘法规律进行。

利用这两个性质，可以轻松地计算复杂的二次根式。

二次根式知识点总结王亚平1.二次根式的概念二次根式的定义：形如"（a-0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，a才有意义.2. 二次根式的性质1. 非负性：心心-。

）是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2 （掐）2 =a（a H0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a乂a）2（a - 0）—:a(a^0)v a = a = *I—a(a<0)3.注意：（1）字母不一定是正数. （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式:(1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号.2、同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算分母有理化1. 分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用y「a=a来确定，如：a与' a,a b与，a b, a-b与心-b 等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a.b 与 a - - b , a • b 与• a —, a x b.、y与a_x-b、y分别互为有理化因式。

3. 分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

、ab = . a .. b(a _0, b _ 0)2 .二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a-C ．32a-D ．23a -例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B．1C ．7D ．±1练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．B ．1C ．2D ．5例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C．x ＞2D ．x ≠2练习1．（2022·全国·九年级专题练习）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．x ≥2B ．x ＞﹣2C ．x ≤2D ．x ＜2练习2．（2022·全国·九年级专题练习）函数y 中自变量x 的取值范围是（）◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。

其中a叫被开方数。

其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。

算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零，即 ;3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

如负数a的平方根是。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。

6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。

7. [任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。

8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ， (a<0)，﹙a≥0﹚， (a<0)。

9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。

10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。

二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。

学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。

以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。

2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。

3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。

二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。

2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。

3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。

4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。

三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。

2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。

3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。

四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。

2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。

3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。

五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。

2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。

数学八年级下册二次根式
一、二次根式的定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的式子，其中a叫做二次根式的被开方数。

二、二次根式的性质
1. 偶次根式的被开方数可取一切正数，因此二次根式是双钩性质的体现。

2. 当二次根式中的被开方数小于0时无意义，说明开偶次方时，要求底数非负。

三、二次根式的运算
1. 乘法运算：二次根式相乘（除），把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行相加或相乘。

2. 加法运算：几个二次根式合并成一项时，需要把被开方数相同的二次根式进行合并。

四、二次根式的应用
1. 求实际问题的解：在解决实际问题时，需要把实际问题转化为数学问题，再利用二次根式进行求解。

2. 判断近似值是否合理：在进行近似计算时，需要利用二次根式对结果进行判断，看是否符合实际要求。

总之，二次根式是数学中的一个重要概念，它具有广泛的应用，需要我们熟练掌握其定义、性质和运算。

二次根式的定义及性质1、二次根式的定义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式（1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性 二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。

2、二次根式的主要性质 （1）())0(2≥=a a a （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a aa a a3、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a =来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a ba -=-+来确定．如: aa4、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式叫最简二次根式 最简二次根式的条件①号内不含有开的尽方的因数或因式，②根号内不含有分母，③分母不含有根号。

5、 同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式6、 乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab7、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a 8、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式例1、下列式子中二次根式的个数有（ ）（1）31（2）3-（3）12+-x （4）38（5）2)31(-（6）)1(1>-x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式练习】1、下列各式中，一定是二次根式的有______________________________① a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x2、222++a a 是不是二次根式？___________（填“是”或“否”）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性例2、（2012.德阳）使代数式12-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.210≠≥x x 且 D.一切实数 例3、 函数1213-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________【变式练习】1、 使12--x x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______________ 2、（2012.杭州）已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________3、若2)(11y x x x +=---，则______=-y x())0(2≥=a a a例4、计算： (1) (2) (3) (4)(b ≥0) (5)【变式练习】计算： (1)； (2)； (3)； (4). ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a例5、化简: (1)； (2)； (3)； (4).例6、2x =，则x 的取值范围是 。