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四川省渠县崇德实验学校北师大版七年级数学下册第四章三角形暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：三角形的初步认识）知识梳理1、三角形中的基本概念1．三角形的边2．三角形的角3、三角形中三条重要的线段例题讲解1、三角形中的基本概念（1）木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB 和CD ），这样做的根据是（ ） A ．矩形的对称性 B ．矩形的四个角都是直角 C ．三角形的稳定性D ．两点之间线段最短（2）试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ） A ．一个直角三角形一定不是等腰三角形B ．一个等腰三角形一定不是锐角三角形C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形（1）C；（2）D．2、三角形的边和角（1）两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是a cm，则a的取值范围是___________．（2）下列不能构成三角形三边长的数组是（）A．|2|-、|3|-、|4|-B．12、13、14C．21a+、221a+、231a+D．25、212、213（3）（七中育才半期）有3cm、6cm、8cm、9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（1）317a<<；（2）D；（3）C．（1）已知三角形中两边长为2和7，若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_____．（2）a、b、c为三角形的三边长，化简||||||a b c b c a c a b-+-----+=．（1）第三边长x的取值范围是59x<<，由周长9x+为奇数，可知x为偶数，所以第三边的长为6或8．（2）a b c--．（1）若三角形的周长为60，求最大边的范围．（2）设m 、n 、p 均为自然数，足m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形有多少个?（1）设最大边为a ，另外两边为b 和c ，则b c a b c -<<+，b a ≤，c a ≤， ∴23a a b c a <++≤．∴2603a a <≤．2030a ≤<．（2）∵三角形三边关系定理，知p m n <+，即15p p m n p +<++=，∴152p < ∵m n p ≤≤，315p m n p ≥++=，∴153p ≥，∴151532p ≤< ∵p 为自然数，∴p 可取5、6、7当7p =时，7n =，1m =；6n =，2m =；5n =，3m =；4n =，4m =； 当6p =时，6n =，3m =；5n =，4m =； 当5p =时，5n =，5m =．综上所述，以m 、n 、p 为三边长的三角形共有7个．（1）如图5-1，一个60︒角的三角形纸片，剪去这个60︒角后，得到一个四边形，则12∠+∠的度数为（ ）A ．240︒B ．180︒C ．160︒D ．120︒（2）如图5-2，ABC △中，D 为BC 上点，12∠=∠，34∠=∠，120BAC ∠=︒，则DAC ∠的度数 ．BAC D1243图5-1 图5-2（3）若一个三角形的三个外角的度数之比为3:4:2，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定（1）A ；（2）100°；（3）C ．已知：如图，ABC △中，70A ∠=︒，48ABC ∠=︒，BD AC ⊥于D ，CE 是ACB ∠的平分线，BD 与CE 交于点F ，求CBD ∠、EFD ∠的度数．∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理）， ∴18062ACB A ABC ∠=︒-∠-∠=︒． ∵BD AC ⊥，∴90BDC ∠=︒．∴90CBD ACB ∠+∠=︒（直角三角形的两个锐角互余）． ∴9028CBD ACB ∠=︒-∠=︒． ∵CE 是ACB ∠的平分线，∴1312ACE ACB ∠=∠=︒,∴121EFD ACE BDC ∠=∠+∠=︒（三角形外角性质）．如图，由图7-1的ABC △沿DE 折叠得到图7-2，图7-3，图7-4. （1）如图7-2，猜想BDA CEA ∠+∠与A ∠的关系，并说明理由； （2）如图7-3，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由； （3）如图7-4，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，无需说明理由．ADBEC 12ADB EC 12ADBEC 12ADBEC 12图7-1 图7-2 图7-3图7-4（1）2BDA CEA A ∠+∠=∠；证明：∵12180A ∠+∠+∠=︒（三角形内角和），21180BDA ∠+∠=︒，22180CEA ∠+∠=︒（平角度数）；∴212222122A BDA CEA ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠（等量代换）； ∴2BDA CEA A ∠+∠=∠．（2）2BDA CEA A ∠-∠=∠，证明略． （3）2CEA BDA A ∠-∠=∠． 3、三角形中三条重要线段（1）如图，在ABC △中，12∠=∠，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上的一点，CF AD ⊥于H ．下列判断正确的有（ ） A ．AD 是ABE △的角平分线 B ．BE 是ABD △边AD 上的中线C ．CH 为ACD △边AD 上的高 D ．AH 为ABC △的角平分线A DF E12GH（2）下列说法正确的是（ ）A ．三角形的角平分线、中线和高都是线段B ．直角三角形只有一条高线C ．三角形的中线可能在三角形的外部D ．三角形的高的交点在三角形内部（1）C ；（2）A ．（1）如图，CH 、AD 分别为ABC △的高与中线，若ABD △的面积为2，3AB =，则CH =_________．（2）已知ABC △的高为AD ，70BAD ∠=︒，20CAD ∠=︒，则BAC ∠的度数为______．（3）在ABC △中，AB AC =，AC 边上的中线BD 把ABC △的周长分成12cm 和15cm 两部分，则三角形的各边的长为_____________．（1）83；（2）90︒或50︒；（3）8cm ，8cm ，11cm 或10cm ，10cm ，7cm ．（1）如图10-1，BO 、CO 分别是ABC △中ABC ∠和ACB ∠的平分线，则BOC ∠与A ∠的关系是____________________（直接写出结论）；（2）如图10-2，BO 、CO 分别是ABC △两个外角CBD ∠和BCE ∠的平分线，则BOC ∠与A ∠的关系是____________________，请证明你的结论．（3）如图10-3，BO 、CO 分别是ABC △一个内角和一个外角的平分线，则BOC ∠与A ∠的关系是____________________，请证明你的结论．HD CB AD BOACE BAC图OD图10-1 图10-2 图10-3图2（1）1902BOC A ∠=︒+∠；（2）1902BOC A ∠=︒-∠；证明：∵BD 平分DBC ∠ ∴12OBC DBC ∠=∠同理可证：12OCB BCE ∠=∠∴1()2OBC OCB DBC BCE ∠+∠=∠+∠∵DBC A ACB ∠=∠+∠，BCE A ABC ∠=∠+∠∴11()9022OBC OCB A ACB ABC A A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+∠∴1180()902BOC OBC OCB A ∠=︒-∠+∠=︒-∠（3）12BOC A ∠=∠证明：∵CO 平分ACD ∠，BO 平分ABC ∠∴12OCD ACD ∠=∠，12OBC ABC ∠=∠∵OCD ∠是OBC △的外角，∴1()2BOC OCD OBC ACD ABC ∠=∠-∠=∠-∠∵ACD ∠是ABC △的外角，∴ACD ABC A ∠-∠=∠，∴12BOC A ∠=∠．不等边三角形ABC 的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．设第三边c 边上高为h ，三角形面积为S ，高为4，12的两边为a ，b ，则有111412222a b c h S ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=，24S a =，212S b =，2S c h=．据三角形三边关系定理及推论， 得22222412412S S S S S h -<<+，11163h <<．h 为整数，所以4h =或5．又三角形为不等边三角形，5h =．∴∴∴作业设计1、（1）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A ．三角形的稳定性 B ．两点之间线段最短 C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短（2）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）． A ．1cm ，2cm ，5cm B ．4cm ，5cm ，9cm C ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm（3）下列线不能组成三角形的是（ ） A ．2，2，3， B ．2，3，4 C ．32，42，52D ．222123(0)a a a a +++≠，，（1）A ；（2）D ；（3）C ．2、（1）若三角形的三边长为3，4，x ，则偶数x 的值有 ．（2）已知三角形的两边为8、10，则周长l 的范围为 ．（3）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是3和2011，则三角形的第三边是 ．（4）已知a 、b 、c 为三角形的三边长，化简||||||a b c a b c a b c ++-----+= ．（1）2，4，6；（2）2036l <<；（3）设第三边边长为a ，且20082014a <<，又周长为偶数，故2010a =或2012. （4）∵三角形任意两边之和大于第三边C BA∴0a b c ++>，0a b c --<，0a b c -+>∴原式()()()a b c a b c a b c a b c =+++----+=+-．3、周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？设三角形的三边长为a 、b 、c ，且a b c <<， 则有30a b c a b c b a ++=⎧⎨+>>-⎩故230c a b c <++=，15c <；又330c a b c >++=，10c >，即1015c << 当14c =时，有5组解：13b =，3a =；12b =，4a =；11b =，5a =；10b =，6a =；9b =，7a =；当13c =时，有4组解：12b =，5a =；11b =，6a =；10b =，7a =；9b =，8a =； 当12c =时，有2组解：11b =，7a =；10b =，8a =； 当11c =时，有1组解：10b =，9a =；故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个． 4、（1）ABC △中，4B C A ∠=∠=∠，则A ∠=________．（2）在ABC △中，若15B A ∠-∠=°，60C B ∠-∠=°，则C ∠= ．（3）如图，ABC △的高CD 、BE 相交于O ，如果55A ∠=︒，那么BOC ∠的度数为（ ） A ．35︒ B ．105︒ C ．125︒D ．135︒（1）20︒；（2）105°；（3）C ． 5、（1）下列命题错误的是（ ）A ．三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形第12题O E DCBAB ．三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角C ．三角形的中线、高线和角平分线都在三角形内部D ．三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性（2）如图，BD 和CE 是ABC △的高，BD 和CE 交于H ，已知25DBC ∠=°，40ECB ∠=°，则A ∠= ．（1）C ；（2）65°.6、（1）如图6-1，ABC △中，80ABC ∠=︒，50ACB ∠=︒，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠．则BPC ∠的度数______________．（2）如图6-2，点M 是ABC △两个内角平分线的交点，点N 是ABC △两个外角平分线的交点，如果:3:2CMB CNB ∠∠=，则CAB ∠的度数为（ ） A ．36︒B ．42︒C ．54︒D ．60︒（3）如图6-3所示，ABC ∠，ACB ∠的内角平分线交于点O ，ABC ∠的内角平分线与ACB ∠的外角平分线交于点D ，ABC ∠与ACB ∠的相邻外角平分线交于点E ，且60A ∠=︒，则BOC ∠=______，D ∠=_______，=E ∠_______．（1）115︒；（2）A ；（3）120︒，30︒，60︒．HED CBA。
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）。
注：以下内容只在教师讲义上有，学生讲义上没有，便于教师上课使用。
画图分析，寻找规律．如下：规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
画法：1、画一个'''C B A Rt ∆，使BC C B =''，AB AB =；2、画︒=∠90'N MC ；3、在射线M C '上取BC C B =''；4、以'B 为圆心，AB 为半径画弧，交射线N C '于点'A ；5、连接''B A 。
直角三角形的判定4例1.已知BC AC ⊥，AD BD ⊥，BD AC =，求证：AD BC =。
证明：∵BC AC ⊥，AD BD ⊥（已知）∴︒=∠=∠90D C （垂直的定义）∵在ABC Rt ∆和BAD Rt ∆中，⎩⎨⎧==（已知）（公共边）BD AC BA AB ∴ABC Rt ∆≌BAD Rt ∆（HL ）∴AD BC =（全等三角形对应边相等）例2.如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于点D ，点E 在AC 上，BC CE =，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F 。
求证：FC AB =。
证明:∵︒=∠90ACB （已知）∴︒=∠+∠90ACD BCD ∵AB CD ⊥（已知）∴︒=∠90BDC （垂直的定义）∴︒=∠+∠90BCD B （直角三角形的定义）∴B ACD ∠=∠（同角的余角相等）∵AC FE ⊥（已知）∴︒=∠=∠90ACB FEC （垂直的定义）∵在ABC ∆和FCE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠（已知）（已证）（已证）CB EC ACB FEC B ACD 90∴ABC ∆≌FCE ∆（ASA ）例3.如图，ABC ∆中，BC AB ⊥，点D 在边BC 上，AC DF ⊥于点F ，且DF BD =，CD ED =。
