福建省福州市2014届高三上学期期末质量检测数学理科试题(扫描版)

福州市2014-2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷（满分：150分;完卷时间：120分钟）注意事项：1. 木科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线 内填写学校、班级、准考证号、姓名；2. 本试卷分为第I 卷（选择题）和第I 【卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间 120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中有且只 有一个选项是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上・）6.已知函数/（x ） = lg （l-x ）的值域为（则函数/⑴的定义域为（）.A. [-9,+03）B. [0,+«）C. （-9,1）D. [—9,1）7.已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5・现采用随机模拟试验的方法估计 抛掷这枚硕币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表1.如图，复平面上的点Z…Z 2,Z 3?Z 4到原点的距离都相等.若复数Z 所对应的点为厶,则复数z 的共轨复数所对应的点为（A.乙B. Z 2C. z 3D. z 4jr2.已知 tan （” + a ） = 3，贝 ijtano 的值是（ ）.).Z1z 2 O么XZ3C. -1D. -33. 4. 己知A 睾B ,贝【J “xw A ”是“ x w B ”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值.若第一次输入的值为8,则第三次输出的值为（ ）.A. 8B. 15C. 29D. 36如图，若在矩形0ABC 屮随机撒一粒豆子,率为（ ）.,1 “ 2A.—— n n c 3 r 1 C.- D. 一712第1题图/以// ■乩/示正而朝上，用1表示反而朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结來.经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111010101 010100100 011111110000 011010001 111011100 000101101据此估计，抛掷这枚硬币二次恰有两次正而朝上的概率为( ).A. 0.30B. 0.35C. 0.40D. 0.658.'ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为°,吐・若竺仝=2 =血，则角C的人小为cos 5 a( )・A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°9.若双111!线r：卡译 =1 (a>0,b>0 )的右焦点(4,0)到其渐近线的距离为2屈,则双曲线「的离心率为( ).A.血B・、/J C. 2 D・410.定义运算“ * ”为：•若函数/(x) = (x + l)*x,则该函数的图彖2 卫2 011.已知AABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(72,0),(0,-2),。

2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)lg },{(,)}A x y y x B x y x a ====，若A B =∅，则是实数a 的取值范围是（ ）A. 1a <B. 1a ≤C. 0a <D. 0a≤2.“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈”的 （ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件3.执行如图所示的程序框图,输出的M 值是 （ ）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 【答案】B4.命题“x R ∃∈，使得()f x x =”的否定是 （ ） A. x R ∀∈,都有()f x x = B.不存在x R ∈,使()f x x ≠ C. x R ∀∈都有()f x x ≠ D. x R ∃∈使()f x x ≠5.已知等比数列{}n a 的前n 项积记为n ∏，若3488a a a =，则 9∏= ( ) A.512 B.256 C.81 D.166.如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,且1λμ≥≥,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是 ( )BAxxx7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( ) A. ()sin f x x x =+ B. cos ()xf x x=C.()cosf x x x = D. 3()()()22f x x x x ππ=--x考点：1.函数的图像.2.分类讨论.3.列举排除的数学思想.4.归纳化归的数学思想.8.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为 （ ） A.2B.C.D. 29.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ),且当x ∈[0,1]时，其图象是四分之一圆(如图所示)，则函数H (x )= |x e x|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3D.2x【答案】B 【解析】试题分析：因为定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)=f(x)，所以函数()f x 为偶函数，又因为f(2－x)=f(x)，所以函数()f x 关于直线1x =对称.因为函数H(x)= |xe x|－f(x)在区间[－3,1]上的零点即等价求方程()x f x xe =的解的个数.等价于函数x y xe =和函数()y f x =的图像的交点个数，由图象可得共有4个交点.故选B.考点：1.函数的性质.2.数形结合的思想.3.函数图像的正确表示及绘制.10.已知函数32()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是（ ） A.(2B. C. 37(,25)4D. (5,25)第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是______________（用数字作答）.12.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为________.14.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积为____________.俯视图侧视图正视图15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}m a 满足*()()2m ma f m N =∈,且{}m a 的前m 项和为m S ，则20142006S S -=_____________. 【答案】8042 【解析】试题分析：20142006S S -=20072008200920102011201220132014a a a a a a a a +++++++.因为20072007()250122a f ==⨯+，2008(1004)2502a f ==⨯，20092009()250222a f ==+⨯，2010(1005)125022a f ==-+⨯+，2011250222a =-+⨯+，20122503a =⨯，201325032a =+⨯，2014125032a =-+⨯+.所以20142006S S -=8042.考点：1.分段函数的问题.2.数列的思想.3.三角函数的周期性.4.分类列举的数学思想.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：21006542098874286438210乙地甲地规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）； （Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.(II)ξ的取值为1，2，3. 12823101(1),15C C P C ξ⋅===21823107(2),15C C P C ξ⋅===157)3(3100238=⋅==C C C P ξ 所以ξ的分布列为故的数学期望为123.1515155E ξ=⨯+⨯+⨯=（） 考点：1.茎叶图的知识.2.列举对比的数学思想.3.数学期望的计算.4.概率知识.17.（本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.令-222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，18.(本小题满分13分) 如图，直角梯形ABCD 中，090,24ABC AB BC AD ∠====,点,E F 分别是,AB CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF .（Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD CG ⊥;（Ⅱ）当2B ADGE D GBCF V V --=时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.EB【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）6【解析】试题分析：（Ⅰ）因为当AG GC +最小时，及连结AC 与EF 的交点即为G 点，通过三角形的相似可得到EG 的长度.需要证明直线与直线垂直，根据题意建立空间直角坐标系，即可得到相关各点的坐标，从而写出相(Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0),∴(2,1,0),BG =-BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩19.(本小题满分13分) 已知动圆C 过定点（1,0），且与直线1x =-相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程；（Ⅱ）设,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,①当2παβ+=时，求证直线AB 恒过一定点M ；②若αβ+为定值(0)θθπ<<，直线AB 是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分14分)已知函数1()ln()f x x axa=+-,其中a R∈且0a≠（Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围；（Ⅲ）若存在1210,0x x a-<<>,使得12()()0f x f x ==,求证：120x x +>. 【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）2ea >；（Ⅲ）参考解析【解析】()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a -> 即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >21.本小题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则安所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应提好右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵3A c ⎛= ⎝3d ⎫⎪⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎛⎫= ⎪⎭⎝，属于特征值1的一个特征向量232α⎛⎫= ⎪-⎭⎝.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵； （Ⅱ）计算314A ⎛-⎫⎪⎭⎝ 【答案】（Ⅰ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A;（Ⅱ）429434⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）因为已知矩阵3A c ⎛= ⎝ 3d ⎫⎪⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎛⎫= ⎪⎭⎝，属于特征值1的一个特征向量232α⎛⎫= ⎪-⎭⎝.通过特征向量与特征值的关系，可求矩阵A 中的相应参数的值，再通过逆矩阵的含义可求出矩阵A 的逆矩阵.同样可以从通过特征根的方程方面入手，求的结论.（2）(本小题满分7分)选修4-4：坐标与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为:2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相交于,M N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若(2,4)P --求PM PN +的值.（3）(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 设函数()43f x x x =-+-, （Ⅰ）求()f x 的最小值m ；（Ⅱ）当23(,,)a b c m a b c R ++=∈时,求222a b c ++的最小值. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）114【解析】试题分析：（Ⅰ）因为()43f x x x =-+-,所以通过绝对值的基本不等式a b a b +≥-，即可得到最小值.另外也可以通过分类关键是去绝对值，求出不同类的函数式的最小值，再根据这些最小值中的最小值确定所求的结论.亿折网一折网。

2014年福建省普通高中毕业班质量检测理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷21题为选考题，其他题为必考题，本试卷共5页，满分150分，考试时间120 分钟。

参考公式：样品数据x 1, x 2.....x n 的标准差 椎体体积公式s=)].....()()[(n 121----+-+-x x x x x x n V=31Sh其中-x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh S=4πR 2, V=34πR 3其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列函数中，值域为(0,+ ∞)的函数是A. f(x)=2xB. f(x)=xC. f (x )=lg xD. f(x)= x 22. 执行下图所示的程序框图。

若输入的n 的值为3，则输出的K 为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. “a=1”是关于x的方程x2 —2x + a=0的实数根”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n(n≧3, n∈N)边形内的概率为p n , 下列论断正确的是A.随着n的增大，p n增大B. 随着n的增大，p n减小C. 随着n的增大，p n先增大后减小D. 随着n的增大，p n先减小后增大x2 + y2≦ 1 ，5.已知x，y满足x+y≦ 1 ，则z = x－y的取值范围是y≥0，A.[－2，1]B. [－1，1]C. [－2，2]D. [－1，2]6.如图，AB是圆O的直径，V A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B 的任意的一点，M 、N 分别为V A 、VC 的中点，则下列结论正确的是 A. MN//AB B. MN 与BC 所成的角是45o C. OC ⊥平面V AC D. 平面V AC ⊥平面VBC7. 若直线a x +b y -1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sin πx （0 ＜ x ＜ 2）的对称中心，则b 2a 1+ 的最小值为A. 2+1B. 24C. 3+22D. 68. 已知双曲线C 1：1by a 2222=-x （a ＞0，b ＞0）的离心率为2，一条渐近线为l ，抛物线C 2：y 2 = 4x 的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线C 2异于原点的交点，则 |PF|=A. 2B. 3C. 4D. 5e x － 1，x ≦19. 若曲线y= 与直线y=kx －1有两个不同的交点，则实数kx-11，x ＞1取值范围是A. (223-，223+)B. (0，223-)C. (－∞，0)∪(0，223-)D. (－∞，223-)VACBOMN10. 在平面直角坐标系x O y 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意点P ∈Ω，都有点Q ∈Ω，使得OQ =OP +a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期，现有以下四个命题：① 若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a (k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期。

福州市2013—2014学年第一学期高三期末质量检测数学(文科)试卷 参考答案与评分标准第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. D2.D3. B 4．A 5. D 6. D 7. D 8. B 9. C. 10．C 11. C 12. A第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．13．16π14．9 15． 16.．②④ 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)x b x g 2sin 1)(22=-=→- ······················································· 2分 由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即 ()Z k k x ∈=2π······················· 5分 故方程)(x g ＝0的解集为{()}Z k k x x ∈=2π······································· 6分 (Ⅱ)12sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→-→-x x x x b a x f ···· 7分 )62sin(22sin 32cos π+=+=x x x ········································· 9分∴函数)(x f 的最小周期ππ==22T ···················································· 10分 由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ226222得()Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ63故函数)(x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+-ππππ6,3. （ 开区间也可以）···································································································· 12分18. （本小题满分12分）解:(Ⅰ)1111,033n n n n a a a a n ++==∴>Q ks5u 1111==n 13n 13n n a aa +∴+g Q ，又 ······················································ 2分 n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭11为首项为，公比为的等比数列33 ····································· 4分n 1n 11n==n 333n n a a -⎛⎫∴⨯∴ ⎪⎝⎭， ····························································· 6分 (Ⅱ) 1231233333n nnS =++++L ……① ················································· 7分 231112133333n n n n nS +-∴=++++L ……② ········································ 8分 ①-② 得：123121111333333n n n nS +=++++-L ·························· 9分1111331313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-- ······································· 10分3114323n nn n S ⎛⎫∴=-- ⎪⨯⎝⎭ 133243n n nn S +--∴=⨯ ··························································· 12分19. （本小题满分12分）. 解：(Ⅰ)设“从该批电器中任选1件，其为”B ”型”为事件1A ， ············· 1分则15059()5010P A -== ································································· 3分 所以从该批电器中任选1件，求其为”B ”型的概率为910. ·················· 4分 (Ⅱ)设“从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，求其中恰有1件为”A ”型”为事件2A ,记这5件电器分别为a ，b ，c ，d ，e ，其中”A ”型为a ，b .从中任选2件，所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种．······································································································ 8分 其中恰有1件为”A ”型的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6种． ········ 10分 所以263()105P A ==. 所以从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为”A ”型的概率为35. ······································································································· 12分20．（本小题满分12分）解：依题意得g(x)3x =+，设利润函数为f(x)，则f(x)(x)g(x)r =-，所以20.5613.5(0x 7)f(x),10.5(x 7)x x x⎧-+-≤≤=⎨->⎩ ·································· 2分 （I ）要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，因为f (x )＞0⇔20x 770.5613.5010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+->->⎩⎩或， ····························· 4分 ⇒20x 771227010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+<->⎩⎩或⇒0x 7710.539x x ≤≤⎧<<⎨<<⎩或⇒3x 7<≤或7x 10.5<p ， ·················································· 6分 即3x 10.5<p . ··································································· 7分 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． ···· 8分 （II ）当3x 7<≤时， 2f(x)0.5(6) 4.5x =--+故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. ······················································ 10分 而当x ＞7时，f(x)10.57 3.5<-=.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． ·········································· 12分 21. （本小题满分12分）解：（1）32f x =2x x ax +-Q （） '2f x =34x x a ∴+-（） ············ 2分对于x R ∈恒有2'()224f x x x ≥+-，即2240x x a ++-≥对于x R ∈恒成立····································································································· 4分44(4)0a ∴∆=--≤ 3a ⇒≤······················································· 5分 max 3a ∴= ··················································································· 6分（2）a=3F x =()f x k x --Q 当时（）有三个零点3224k x x x ∴=+-有三个不同的实根··············································· 7分 32()24g x x x x =+-令，则2'()=3x 4x 4g x +- ···························· 8分令'()0g x =解得1222,3x x =-= ,'(),()x g x g x 情况如下表：········ 由上表知，当2x =-时()g x 取得极大值(2)8g -=，当23x =时()g x 取得极小值240()327g =- 数形结合可知，实数k 的取值范围为40(,8)27-········································· 12分22. （本小题满分14分）解：（I ）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，， ························ 1分由题设得229a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，······························································· 3分解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，········································································· 5分所以双曲线C 的方程为22145x y -=； ··········································· 6分 （II ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩， ① ②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=， 整理得222(54)84200k x kmx m ----=， ····································· 8分 此方程有两个不等实根，于是2540k -≠， 且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ ························································· 9分 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足：12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-， ······················· 10分 从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，·· 1分 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 由题设可得22199********km m k k =--g ，整理得222(54)k m k -=，0k ≠， ································································································· 12分将上式代入③式得222(54)540k k k-+->，·································· 13分 整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得0k <<或54k >，所以k的取值范围是5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝U U U∞，，，，∞． ·····14分ks5u。

2014届福州市高三综合练习数学(理科)试卷第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数iaiz -=3(i 为虚数单位且0a <)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}1M x x a =<<,{}13N x x =<<,则“3a =”是“M N ⊆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若0cos 2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =( )A.6π B.2πC.56πD.π4.函数xx y 2⋅=的部分图象如下,其中正确的是( )A B C D5. 已知32n a n =+,n ∈N ※,如果执行右边的程序框图,那么输出的s 等于( ) A.18.5 B.37 C.185 D.370 6.已知函数2()ln(1)f x x =+的值域为}{0,1,2,则满足这样条件的函数的个数有( )个.A.8B.9C.26D.277.设F 1、F 2分别为双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点,且满足∠MAN =120o,则该双曲线的离心率为( ) A.337 B.37C.321D.3198.设已知,,a b m 均为整数(0m >),若a 和b 被m 除所得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为(mod )a b m ≡,若4040402240140040222⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=C C C C a ,且(mod10)a b ≡, 则b 的值可以是( )A.2011B.2012C.2013D.20149.如图,己知3||,5||==,∠AOB 为锐角,OM 平分∠AOB ,点N 为线段AB 的中点,OP xOA yOB =+,若点P 在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x 、y 的式子中,①x ≥0,y ≥0;②x －y ≥0;③x －y ≤0;④5x －3y ≥0;⑤3x －5y ≥0.满足题设条件的为( )A.①②④B.①③④C.①③⑤D.②⑤10.在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,,,a b c d ,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用a 口令,那么第5次也使用a 口令的概率是( )A.727 B.61243 C.1108 D.1243第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.在集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+0,0,032|),(y x y x y x y x 所表示的平面区域内任取一点M ,则点M 恰好取自x 轴上方的概率为___ _____.12.在△ABC 中,AB ＝2,D 为BC 的中点,若AD BC ⋅=32-,则AC ＝_____ __．13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为. 14.若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点,则实数k 的取值范围是 ． 15.已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为______ _____．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米): 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133; 乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据 你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种 树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x ,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图), 问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义;(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频 率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X 的分布列. 17. (本小题满分13分)在ABC ∆中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知1a =,平面向量(sin(),cos )m C C π=-,(sin(),sin )2n B B π=+,且sin 2m n A ⋅=.(Ⅰ)求△ABC 外接圆的面积;(Ⅱ)已知O 为△ABC 的外心,由O 向边BC 、CA 、AB 引垂线,垂足分别为D 、E 、F ,求CB A cos ||cos ||cos ||++的值.18. (本小题满分13分)如图长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,E 为1BB 延长线上的一点且满足111BB B E ⋅=.(Ⅰ)求证:1D E ⊥平面1AD C ; (Ⅱ)当11B E BB 为何值时,二面角1E AC D --的大小为4π. 19. (本小题满分13分)已知椭圆C:22221x y a b +=( 0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; ks5u(Ⅱ) 若椭圆C 的两条切线交于点M (4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B ,试利用结论:在椭圆22221x y a b +=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y y a b+=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ;(Ⅲ)试探究2211||||AF BF +的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由. 20.(本题满分14分)已知函数ln ()xx kf x e+=(其中k R ∈),)('x f 为f (x )的导函数. (Ⅰ)求证:曲线y =()f x 在点(1,(1)f )处的切线不过点(2,0);(Ⅱ)若在区间]1,0(中存在0x ,使得'0()0f x =,求k 的取值范围;(Ⅲ)若0)1('=f ,试证明:对任意0x >,2'21()e f x x x-+<+恒成立.21.(本题满分14分)(1)二阶矩阵A ,B 对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A ,B ;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C=BA ,并求出曲线10x y --=在矩阵C 对应的变换作用下的曲线方程. (2)已知曲线1C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ks5u(Ⅰ)求曲线1C 的直角坐标方程;ks5u(Ⅱ)设直线l 与曲线1C 交于A 、B 两点,点M 的直角坐标为(2,1),若3AB MB =,求直线l 的普通方程.(3)已知函数()|1|f x x =-.(Ⅰ)解不等式:()(1)2f x f x +-≤；(Ⅱ)当0a >时, 不等式23()()a f ax af x -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.2014届福州市高三综合练习 数学(理)参考答案1-5 DABCA 6-10 BCABA11.1412.113.27 14.)4,0[ 15.{x |x >1}.16. 解:(1)茎叶图如图所示:(2分)统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;③甲种树苗高度的中位数为127,乙种树苗高度的中位数为128.5;④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散.………………………………………………4分(每写出一个统计结论得1分) (2)依题意,x ＝127,S ＝35. (6分)S 表示10株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度的离散程度的量. S 值越小,表示树苗长得越整齐,S 值越大,表示树苗长得越参差不齐.(3)由题意可知,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为12,则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12, (10分)所以随机变量X 的分布列为13分 17. (1)由题意，sin2sin cos sin cos A C B B C =+得2sin cos sin()sin A A B C A =+= ………………………………………………2分 由于ABC ∆中sin 0A >,2cos 1A ∴=,1cos 2A =………………………………3分 ∴sin 2A = ………………………………………………………4分 2R=3,31,32sin π===S R A a -----------------------------------------6分 (2)因为O 为△ABC 的外心,由O 向边BC 、CA 、AB 引垂线,垂足分别为D 、E 、F , 所以R C OF B OE A OD ===cos ||cos ||cos ||,故COF B OE A OD cos ||cos ||cos ||++=3-----13分 解:(Ⅰ)如图所示建立空间直角坐标系O xyz -,则A (1,0,0),C (0,1,0),设11,DD m B E n ==, 由于111BB B E ⋅=,所以1mn =,并且1(0,0,)D m ,E (1,1,m n +), ……………… 2分∴1(1,1,)D E n =,1(1,0,)AD m =-,1(0,1,)CD m =-,1110D E AD mn ⋅=-+=,11D E AD ∴⊥ 又1110D E CD mn ⋅=-+=,11D E CD ∴⊥111AD CD D ⋂=,∴1D E ⊥平面1AD C ……………… 6分(Ⅱ)(0,1,)AE m n =+，(1,0,)CE m n =+设平面EAC 的法向量为(,,)t x y z =,则0t AE t CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩, 即()0()0y z m n x z m n ++=⎧⎨++=⎩,令1z =,则()x y m n ==-+,(,,1)t m n m n ∴=----. ……………… 9分1D E⊥平面1AD C,∴平面1AD C 的法向量1(1,1,)D E n = ∴11cos||4||||t D E t D E π⋅=⋅,即||2=,解得2m n ==…………… 12分∴当1112B E BB =时,二面角1E AC D --的大小为4π. ……………… 13分 19.解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0a b >>)431222=-=e a b ①点(1,32)在椭圆C 上,221914a b+=②, 由①②得:224,3a b ==∴椭圆C 的方程为22143x y +=， ……………… 4分(Ⅱ)设切点坐标11(,)A x y ,22(,)B x y ,则切线方程分别为11143x x y y +=,22143x x y y +=. 又两条切线交于点M(4,t ),即1113t x y +=,2213tx y += 即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=,显然对任意实数t ,点(1,0)都适合这个方程， 故直线AB 恒过椭圆的右焦点2F . ……………… 7分 (Ⅲ)将直线AB 的方程13tx y =-+，代入椭圆方程,得 223(1)41203t y y -++-=,即22(4)2903t y ty +--=所以122612t y y t +=+,1222712y y t =-+……………… 10分 不妨设120,0y y ><,21||3AF y ===,同理22||BF y = 所以2211||||AF BF +21121211()y y y y y y --==1243= 所以2211||||AF BF +的值恒为常数43.……………… 13分 20.解:(Ⅰ)由ln ()x x k f x e +=得'1ln ()xkx x x f x xe --=,(0,)x ∈+∞,所以曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处的切线斜率为'1(1)k f e-=,(1)k f e =,∴曲线y=()f x 切线方程为1(1)k k y x e e--=-,假设切线过点(2,0),代入上式得:10(21)k ke e--=-,得到0=1产生矛盾,所以假设错误, 故曲线y =()f x 在点(1,(1)f )处的切线不过点(2,0)…………4分(Ⅱ)由'0()0f x =得001ln x x k x -=001x <≤,∴'0210x k x +=-<,所以0()k x 在(0,1]上单调递减,故1k ≥…………7分 (Ⅲ)令2'()()()g x x x f x =+,当0x =1时,1k =,所以1()(1ln ),(0,)x x g x x x x x e+=--∈+∞.. 因此,对任意0x >,2()1g x e -<+等价于21ln (1)1xe x x x e x ---<++.…………9分 由()1ln h x x x x =--,(0,)x ∈+∞.所以'()ln 2,h x x =--(0,)x ∈+∞.因此,当2(0,)x e -∈时,'()0h x >,()h x 单调递增;2(,)x e -∈+∞时,'()0h x <,()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22()1h e e --=+,故21ln 1x x x e ---≤+. …………12分设()(1)xx e x ϕ=-+,'()1x x e ϕ=-,所以(0,)x ∈+∞时'()0x ϕ>,()x ϕ单调递增,()(0)0x ϕϕ>=,故(0,)x ∈+∞时,()(1)0xx e x ϕ=-+>,即11xe x >+. 所以221ln 1(1)1xe x x x e e x ----≤+<++. 因此,对任意0x >,2'21()e f x x x-+<+恒成立 …………14分21.(1)解:(Ⅰ)由题意,二阶矩阵A 对应的变换是横坐标不变,纵坐标变为原来一半的变换,故10102A ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭二阶矩阵B 对应的变换是逆时针旋转090的旋转变换,故0110B -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………4分(Ⅱ) C=BA =0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭10102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,10210C ⎛⎫- ⎪∴= ⎪⎝⎭设曲线10x y --=上任意一点为(,)m n ,变换后的点坐标为(,)x y10210x m y n ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12x n y m⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩，10m n --=210x y ∴+-=故所求的曲线方程为210x y +-= …………7分21.(2)解:(Ⅰ)由4cos ρθ=,得24cos ρρθ=,222x y ρ=+,cos x ρθ=∴曲线1C 的直角坐标方程是224x y x +=,即22(2)4x y -+=. …………3分(Ⅱ)设11(2cos ,1sin )A t t θθ++,22(2cos ,1sin )B t t θθ++,由已知||2||MB MB =,得122t t =- ① …………4分 联立直线的参数方程与曲线1C 的直角坐标方程得:222cos (1sin )4t t θθ++=,整理得:22sin 30t t θ+-=,12122sin ,3t t t t θ∴+=-⋅=-,与①联立得:sin θ=,cos θ= ∴直线的参数方程为241x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)或241x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)50y --=50y +-=…………7分 21.(3)解:(Ⅰ)原不等式等价于: 当1x ≤时,232x -+≤,即112x ≤≤. 当12x <≤时,12≤,即12x <≤ 当2x >时,232x -≤,即522x <≤. 综上所述,原不等式的解集为15{|}22x x ≤≤. …………4分 (Ⅱ)当0a >时,()()|1|||f ax af x ax ax a -=--- =|1|||ax a ax ---≤|1||1|ax a ax a -+-=-所以23|1|a a -≥- 2a ∴≥ ……………7分。

福州市度第一学期高三质量检查理科数学试卷（满分：150分;完卷时间：120分钟）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等．若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z 的共轭复数所对应的点为（ ）． A ．1ZBC ．3ZD ．4Z2．已知πtan()34+=α，则tan α的值是（ ）． A ．2B ．12C ．1-D ．3-3．已知A ⊂≠B，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A ．8 B ．15 C ．29 D ．365．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图第1题图第4题图中阴影部分的概率为（ ）． A ．1πB ．2πC ．3πD ．126．已知函数()lg(1)=-f x x 的值域为(,1]-∞，则函数()f x 的定义域为（ ）． A ．[9,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(9,1)-D ．[9,1)-7．已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.658．ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos A b Ba=C 的大小为（ ）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒9．若双曲线2222:1x y a bΓ-=（0,0a b >>）的右焦点()4,0到其渐近线的距离为，则双曲线Γ的离心率为（ ）． A．BC ．2D ．410．定义运算“*”为：,0,2,0a b ab a a b a +<⎧⎪*=⎨⎪⎩≥.若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是（ ）．AC 11．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O为坐标原点，动点P 满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（ ）．A．4-B1 C1 D12．已知直线:l y ax b =+与曲线:Γ1x y y=+没有公共点．若平行于l的直线与曲线Γ有且只有一个公共点，则符合条件的直线l （ ）． A ．不存在B ．恰有一条C ．恰有两条D ．有无数条第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．若变量,x y 满足约束条件0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤，则z x y =+的最小值为★★★ ． 14．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则016,,,a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数．．的和等于 ★★★ ． 15． 已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为 ★★★ ．16. 若数列{}n a 满足112n n n a a a +-+≥（2n ≥），则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a ，2a 是方程2320x x -+=的两根． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X 的分布列和均值（数学期望）.19.（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x图象与x 轴的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将OPQ ∆绕原点O 转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲k y x=()0x >上（如图所示），求实数k 的值．20.（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （14m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着第19题图时间x （小时）变化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中()10,06,4.4,682x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．21.（本小题满分12分）已知抛物线Γ的顶点为坐标原点，焦点为(0,1)F ． （Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 为抛物线Γ的准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ的切线PA 与PB ，切点分别为,A B ，求证：直线AB 恒过某一定点；(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题．．．，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）． 22.（本小题满分14分）已知函数()()e sin cos ,cos x x f x x x g x x x =-=，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）12ππ0,,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．福州市第一学期高三质量检查 理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分， 13．2- 14．32 15．316．(,2]-∞ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17． 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根分别为1,2， ······ 1分 依题意得11a =，22a =． ················ 2分 所以2q =， ····················· 3分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． ·········· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知22n n n a n ⋅=⋅， ············ 5分 所以212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，······· ① 23121222(1)22n n n S n n +⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⨯， ··· ② 由①－②得23222n S -=+++⋅⋅⋅122n n n ++-⨯， ·············· 8分即 1222212n n n S n +-⋅-=-⨯-， ···············11分所以12(1)2n n S n +=+-⋅． ················ 12分18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等． 解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A 、B 、C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ········· 2分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种． ···················· 3分 根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． ··· 4分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··············· 9分故X10分 所以()1315515310123456364326416643264E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 故所求的期望为3． ················· 12分解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的， 所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． 1分 （Ⅰ）设事件M 为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则2323331111()2222P M C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ············ 4分（Ⅱ）因为X 为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以1~6,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭． ·················· 5分 所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··············· 9分故X10分所以()1632E X =⨯=．故所求的期望为3． ················· 12分19．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解法一：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ·········· 1分 理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4， 所以4OQ =． ···················· 2分又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =， ········· 4分 又因为Q 坐标为(4,0)，所以4PQ ==，所以OPQ ∆为等边三角形． ·············· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,，7分 代入k y x =，得216cos sin 8sin(2π)333k αααππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且16sin cos 8sin2k ααα==， ··············· 9分 所以2sin 2sin(2π)3αα=+，结合22sin (2)cos (2)1αα+=，02απ<<，解得1sin 22α=， ··················· 11分所以4k =，所以所求的实数k 的值为4． ········· 12分 解法二：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ········· 1分 理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =， ·2分因为P 为函数()f x 的图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =，所以OP OQ=． ··· 4分又因为直线OP的斜率k ==，所以60POQ ∠=︒，所以OPQ ∆为等边三角形． ·············· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,(4cos 4sin )αα,， 7分 因为点P ',Q '在函数(0)k y x x=>的图象上，所以16cos sin ,3316sin cos k k ⎧ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=⎩αααα, ············· 8分所以28sin(2π),38sin 2k k ⎧=+⎪⎨⎪=⎩αα,················· 9分消去k 得， 2sin 2sin(2π)3αα=+，所以22sin 2sin 2cos πcos2sin π33ααα=+，所以3sin 222αα=，所以tan 2α=， (10)分 又因为 02απ<<，所以26απ=，所以1sin 22α=， (11)分所以4k =．所以所求的实数k 的值为4． ········· 12分解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，OPQ ∆为等边三角形．因为函数(0)k y x x=>的图象关于直线y x =对称， ······ 8分由图象可知，当12απ=时，点P ',Q '恰在函数(0)k y x x=>的图象上．10分 此时点Q '的坐标为(4cos 4sin )1212ππ,， ··········· 11分所以16sin cos 8sin 412126k πππ===，所以所求的实数k 的值为4． · 12分20． 本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（I ）因为3m =，所以30,06,4312,682x xy x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤． ······ 1分当06x <≤时，由3024x+≥，解得x ≤11，此时06x <≤； ··· 3分当68x ≤≤时，由31222x -≥，解得203x ≤，此时2063x ≤≤． · 5分综上所述，2003x ≤≤．故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时．6分（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2m y x m x x x =⨯-+=-++--， · 8分因为10822m x x -+-≥对6x ≤≤8恒成立，即281210x x m -+≥对6x ≤≤8恒成立，等价于2max 812)10x x m -+≥(，6x ≤≤8．··········· 9分 令2812()10x x g x -+=，则函数2(4)4()10x g x --=在[6,8]是单调递增函数，10分当x =8时，函数2812()10x x g x -+=取得最大值为65， ····· 11分所以65m ≥，所以所求的m 的最小值为65． ········ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一； （Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， · 8分注意到18y x =-及2102m y x =-（14m ≤≤且m ∈R ）均关于x 在[6,8]上单调递减，则1082m y x x =-+-关于x 在[6,8]上单调递减， ········ 10分故10588823m m y -+=-≥，由523m ≥，得65m ≥， (11)分 所以所求的m 的最小值为65． (12)分21． 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意可设抛物线Γ的方程为：22x py =（0p >）． 1分 由焦点为(0,1)F 可知12p =，所以2p =． ·········· 2分所以所求的抛物线方程为24x y =． ··········· 3分 （Ⅱ）方法一：设切点A 、B 坐标分别为221212,,,44x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知，12y x '=．则切线PA PB 、的斜率分别为12112211,22x x x x k y x k y x ==''====，故切线PA PB 、的方程分别为211111()42y x x x x -=-，222211()42y x x x x -=-，4分联立以上两个方程，得1212,214x x x y x x+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故P 的坐标为12121(,)24x x x x +， 5分因为点P 在抛物线Γ的准线上，所以12114x x =-，即124x x =-． · 6分设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =，得2440x kx m --=， 所以124x x m =-，即44m -=-，所以1m =． ········· 7分 故AB 的方程为1y kx =+，故直线AB 恒过定点(0,1)． ···· 8分方法二：设切点A 、B 坐标分别为221212,,,44x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),1P m -，易知直线PA PB 、斜率必存在，可设过点P 的切线方程为()1y k x m +=-．由()21,4,y k x m x y ⎧+=-⎨=⎩，消去y 并整理得()24410x kx km -++=． · ①因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以()2416(1)0k km ∆=-+=，整理得210k mk --=， ···· ② 所以直线PA PB 、斜率12k k ,为方程②的两个根，故121k k ⋅=-， · 4分 另一方面，由0∆=可得方程①的解为2x k =，所以11222,2x k x k ==． ················· 5分假设存在一定点，使得直线AB 恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在y 轴上，设该定点为(0,)C c ， ··············· 6分 则221212(,),(,)44x x CA x c CB x c =-=-． 所以//CA CB ， 所以222112()()044x x x c c x ---=，整理得121221()()4x x c x x x x -=- 所以12x x ≠， 所以12124144x x k k c =-=-= ················ 7分所以直线AB 过定点()0,1． ··············· 8分（Ⅲ）结论一：若点P 为直线:l y t =（0t <）上的任意一点，过点P 作抛物线:Γ22x py =（0p >）的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则直线AB 恒过定点(0,)t -． 12分 结论二：过点()0,Q m （0m >）任作一条直线交抛物线()2:20x py p Γ=>于,A B 两点，分别以点,A B 为切点作该抛物线的切线，两切线交于点P ，则点P 必在定直线y m =-上． ·····················12分 结论三：已知点P 为直线:l y kx b =+上的一点，若过点P 可以作两条直线与抛物线:Γ22x py =（0p >）相切，切点分别为,A B ，则直线AB 恒过定点(),pk b -． 12分 说明：①以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论； ②以上两结论中的抛物线开口方向均可改变；基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．解：（Ⅰ）函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1． ··· 1分 理由如下：因为()e sin cos x f x x x =-，所以()e sin e cos sin x x f x x x x '=++． ··· 2分 因为π02x <<，所以()0f x '>， 所以函数()f x 在π(0,)2上是单调递增函数． ········ 3分 因为(0)10f =-<，π2π()e 02f =>， 根据函数零点存在性定理得函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1． ········ 4分 （Ⅱ）因为不等式12()()f x g x m +≥等价于12()()f x m g x -≥， 所以 12ππ[0,],[0,]22x x ∀∈∃∈，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，等价于 ()1min 2min ()()f x m g x -≥，即1min 2max ()()f x m g x -≥． ······· 6分 当π[0,]2x ∈时，()e sin e cos sin 0x x f x x x x '=++>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最小值1-． ··············· 7分 又()cos sin x g x x x x '=--，由于0cos 1,sin x x x x ≤≤≥ 所以()g x '0<，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减， 因此，0x =时，()g x 取得最大值 ········· 8分 所以(1m --≥，所以1m ≤-． 所以实数m 的取值范围是(,1-∞-． ········· 9分 （Ⅲ）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证()()f x g x >， 只要证e sin cos cos x x x x x x ->， 只要证(()e sin 1cos x x x x >+， 由于sin 0,10x x +>，只要证e1x x >+． ······ 10分下面证明1x >-时，不等式e1x x >+成立． 令()()e 11x h x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x x x x x h x x x +-'==++，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以当且仅当0x =时，()h x 取得极小值也就是最小值为1． 令k =，其可看作点()sin ,cos A x x 与点()B 连线的斜率， 所以直线AB 的方程为：(y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切，当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时， 直线AB 取得斜率k 的最大值为1． ··········· 12分故0x =时，()10k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥． ······ 13分 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ······· 14分。

福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷（满分：150分;完卷时间：120分钟）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1． 如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等．若复数z所对应的点为1Z ，则复数z 的共轭复数所对应的点为（ ）． A ．1Z B ．2Z C ．3ZD ．4Z2． 已知πtan()34+=α，则tan α的值是（ ）．A ．2B ．12C ．1-D ．3-3． 已知A ⊂≠B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值． 若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A ．8 B ．15 C ．29D ．365． 如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）． A ．1π B ．2π C ．3πD ．12第4题图第5题图6． 已知函数()lg(1)=-f x x 的值域为(,1]-∞，则函数()f x 的定义域为（ ）．A ．[9,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(9,1)-D ．[9,1)-7． 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.658． ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos A bB a==C 的大小为（ ）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒9． 若双曲线2222:1x y a bΓ-=（0,0a b >>）的右焦点()4,0到其渐近线的距离为，则双曲线Γ的离心率为（ ）． ABC ．2D ．410．定义运算“*”为：,0,2,0a b ab a a b a +<⎧⎪*=⎨⎪⎩≥.若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是（ ）．AC11．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（ ）．A ．4-B 1C 1D 12．已知直线:l y ax b =+与曲线:Γ1x y y=+没有公共点．若平行于l 的直线与曲线Γ有且只有一个公共点，则符合条件的直线l （ ）． A ．不存在B ．恰有一条C ．恰有两条D ．有无数条第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．若变量,x y 满足约束条件0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤，则z x y =+的最小值为 ★★★ ．14．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则016,,,a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数．．的和等于 ★★★ ．15．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为 ★★★ ． 16. 若数列{}n a 满足112n n n a a a +-+≥（2n ≥），则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数 列{}n b 的公差为d ，12b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a ，2a 是方程2320x x -+=的两根． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X 的分布列和均值（数学期望）.19.（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将O P Q ∆绕原点O 按逆时针方向旋转02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲线k y x =()0x >（如图所示），求实数k 的值．20.（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （14m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中()10,06,4.4,682x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．21.（本小题满分12分）已知抛物线Γ的顶点为坐标原点，焦点为(0,1)F ． （Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 为抛物线Γ的准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ的切线PA 与PB ，切点分别为,A B ，求证：直线AB 恒过某一定点；(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题．．．，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）． 22.（本小题满分14分）已知函数()()e sin cos ,cos x x f x x x g x x x =-=，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）12ππ0,,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．第19题图福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，13．2- 14．32 15．316．(,2]-∞ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17． 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根分别为1,2， ·························································· 1分 依题意得11a =，22a =． ································································································ 2分 所以2q =，······················································································································· 3分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． ·········································································· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知22n n n a n ⋅=⋅， ··················································································· 5分 所以212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， ············································ ①23121222(1)22n n n S n n +⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⨯， ························· ② 由①－②得23222n S -=+++⋅⋅⋅122n n n ++-⨯， ··············································································· 8分 即 1222212nn n S n +-⋅-=-⨯-， ······················································································· 11分 所以12(1)2n n S n +=+-⋅． ····························································································· 12分 18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A 、B 、C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ································································ 2分 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种． ······················································································································ 3分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． ·················································· 4分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． ···································· 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭······················································································· 9分 故X10分所以()1315515310123456364326416643264E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故所求的期望为3． ········································································································ 12分 解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． ···································· 1分 （Ⅰ）设事件M 为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则2323331111()2222P M C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ·········································································· 4分 （Ⅱ）因为X 为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以1~6,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭．··········································································································· 5分 所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭······················································································· 9分故X10分所以()1632E X =⨯=．故所求的期望为3． ······································································································ 12分 19．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想． 解法一：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ············································································ 1分 理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4， 所以4OQ =． ·················································································································· 2分 又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =， ···································································· 4分 又因为Q 坐标为(4,0)，所以4PQ =，所以OPQ ∆为等边三角形． ··························································································· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,， ················ 7分代入k y x =，得216cos sin 8sin(2π)333k αααππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且16sin cos 8sin 2k ααα==， ························································································· 9分所以2sin 2sin(2π)3αα=+，结合22sin (2)cos (2)1αα+=，02απ<<，解得1sin 22α=，············································································································· 11分所以4k =，所以所求的实数k 的值为4． ····································································· 12分 解法二：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ·········································································· 1分 理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =， ··································· 2分 因为P 为函数()f x 的图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =，所以OP OQ =． ······································ 4分 又因为直线OP的斜率k ==60POQ ∠=︒， 所以OPQ ∆为等边三角形． ··························································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,(4cos 4sin )αα,， ·················· 7分 因为点P ',Q '在函数(0)ky x x=>的图象上，所以16cos sin ,3316sin cos k k ⎧ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=⎩αααα, ················································································ 8分 所以28sin(2π),38sin 2k k ⎧=+⎪⎨⎪=⎩αα, ·································································································· 9分 消去k 得， 2sin 2sin(2π)3αα=+，所以22sin 2sin 2cos πcos2sin π33ααα=+，所以3sin 222αα=，所以tan 2α=，····························································· 10分又因为 02απ<<，所以26απ=，所以1sin 22α=， ···················································· 11分所以4k =．所以所求的实数k 的值为4． ····································································· 12分 解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OPQ ∆为等边三角形．因为函数(0)ky x x=>的图象关于直线y x =对称， ························································ 8分由图象可知，当12απ=时，点P ',Q '恰在函数(0)ky x x =>的图象上． ······················ 10分此时点Q '的坐标为(4cos 4sin )1212ππ,， ········································································· 11分 所以16sin cos 8sin 412126k πππ===，所以所求的实数k 的值为4． ···························· 12分20． 本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（I ）因为3m =，所以30,06,4312,682x xy x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤． ······················································ 1分当06x <≤时，由3024x+≥，解得x ≤11，此时06x <≤； ······································· 3分 当68x ≤≤时，由31222x -≥，解得203x ≤，此时2063x ≤≤． ····························· 5分综上所述，2003x ≤≤．故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时． ······························ 6分 （Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， ······················· 8分因为10822mx x -+-≥对6x ≤≤8恒成立，即281210x x m -+≥对6x ≤≤8恒成立，等价于2max 812)10x x m -+≥(，6x ≤≤8．······································································ 9分 令2812()10x x g x -+=，则函数2(4)4()10x g x --=在[6,8]是单调递增函数， ·············· 10分当x =8时，函数2812()10x x g x -+=取得最大值为65， ················································ 11分所以65m ≥，所以所求的m 的最小值为65． ································································ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， ······················· 8分注意到18y x =-及2102my x =-（14m ≤≤且m ∈R ）均关于x 在[6,8]上单调递减，则1082my x x =-+-关于x 在[6,8]上单调递减， ····························································· 10分故10588823m m y -+=-≥，由523m≥，得65m ≥， ······················································· 11分 所以所求的m 的最小值为65． ······················································································· 12分21． 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意可设抛物线Γ的方程为：22x py =（0p >）． ··································· 1分由焦点为(0,1)F 可知12p=，所以2p =．······································································· 2分所以所求的抛物线方程为24x y =． ················································································ 3分 （Ⅱ）方法一：设切点A 、B 坐标分别为221212,,,44x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知，12y x '=．则切线PA PB 、的斜率分别为12112211,22x x x x k y x k y x ==''====， 故切线PA PB 、的方程分别为211111()42y x x x x -=-，222211()42y x x x x -=-， ············· 4分。

2014-2015学年高三上期理科数学期末试卷（完卷100分钟 满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}4,2,1{=A ,},log |{A x x y y B ∈==2，则=B A （ ） A ．{0,1,2} B ．}2,1{ C ．{0,1,2,4} D ．}4,1,0{ 2．已知复数21z i=-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i + 3．下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 4.命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是（ ）A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤D ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤5. 将函数()3sin 2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =（ ）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 6.一个由三个正方体组成的几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（ ） A ．922+ B.11C.738D ．1022+ 7. 已知00210310a b a b a b >⎧⎪>⎪⎨-+≥⎪⎪-+≤⎩, 则()221b a +-的最小值为（ ）A.510B. 52C. 552 D. 54 8. 已知10a b c >>>>，对以下不等式DA(1)①11a bc c >②11abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③1111abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④11log log c c a b>， 其中成立的是（ ）A. ①④B. ①②③C. ①②④D. ②③④9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )ln 1x x x '=+，且101ln e S xdx =⎰，2016S =，则30S 为（ ）A ．31B ．43C ．45D ．4710．已知点(0,0),(O A -若F为双曲线2213x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在 第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值X 围为（ ）A ．(2B ．(2C ．2)D ．(2,)+∞二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上） 11.函数32()f x x x ax =-+在1x =时取得极值，则a =_______．12. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>经过圆22:2440F x y x y +-+-=的圆心，则抛物线E 的准线与圆F 相交所得的弦长为_______． 13．已知||1OA =，||1OB =，23AOB π∠=，1124OC OA OB =+，则OA 与OC 的夹角大小为．14.数列{}n a 共有6项，其中161,4,a a ==且11,1,2,3,4,5,i i a a i +-==则满足条件的不同数列{}n a 的个数为_______.三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分10分）在ABC ∆中，已知,6A π=向量(sin ,1),(1,cos ),m B n C ==且.m n ⊥（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）若点D 为边AC 的中点，且BD =求ABC ∆的面积．16． (本小题满分10分)如图(1)，BD 是边长为2的正方形ABCD 的一条对角线，如图(2)，将BCD ∆沿BD 折成一个直二面角，且EA ⊥平面,.ABD AE a = （Ⅰ）若22=a ，求证：//AB 平面CDE ； A EC D --的（Ⅱ）45．大小17．（本小题满分11分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F 点F 与椭圆E 的短轴的两个端点组成等腰直角三角形. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，点M 和点N 是椭圆E 上关于x 轴对称的两个点，点P 是椭圆E 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点. 试问：OR OS ⋅是否为定值？ 若是，求出此定值；若不是，请说明理由.18. （本小题满分11分）已知函数23()32()27, 1.xf x ex a a =--+<（Ⅰ）若函数()y f x =的图象在0x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的最小值．19．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题6分，请考生任选2题作答，满分12分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时先用2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号凃黑，并将所选题号填入横线中. （1）（本小题满分6分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵3101,.4202M N ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求二阶矩阵X ，使MX N =；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的X ，求圆221xy 在矩阵X 变换下的曲线方程.（2）（本小题满分6分）选修4—4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 过点(1,1),P - 且倾斜角,3πα=以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin .ρθ=（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值.（3）（本小题满分6分）选修4—5 : 不等式选讲 设函数()212f x x x =-++，121()(0).a a g a a a++-=≠（Ⅰ）求函数()g a 的最小值M ；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的,M 解不等式()f x M ≥.参考解答及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：每小题4分，共16分.11.1-; 12.13.6π; 14.5. 三、解答题:本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解：（Ⅰ）由题意知sin cos 0,m n B C ⋅=+=………………………………1分又,,6A ABC ππ=++=所以5sin cos()0,6B B π+-=………………………2分 法一：tan 3B =即.6B π=…………4分法二：1sin sin 0,22B B B -+=即sin()0,6B π-=……………………3分 又50,6B π<<所以2()(,),663B πππ-∈-所以0,6B π-=即.6B π=…………4分（Ⅱ）设,CD x =则2,CB x =由（1）知,6A B π==所以2,3C π=在BCD ∆中，由余弦定理，得2222(2)22cos ,3x x x x π=+-⨯⨯⨯……7分 解得1,x =………………………8分所以2,CA CB == 因此11sin 2222ABC S CA CB C ∆=⋅⋅=⨯⨯=……1016.解：（Ⅰ）法一：如图，取BD 中点,M AD 中点,NED 中点,G 连接,,,,CM MN NG GC若22=a ，则2,GN =又2,CM =所以,GN CM =又,CM GN 都垂直于平面ABD ，故//,CM GN 所以四边形CMNG 为平行四边形， -----------2分所以//,CG MN 又//,AB MN 故//,AB CG而AB ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ；------------4分 法二：如图，以点A 为坐标原点,O 以向量,,AB AD AE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0), C(1,1,2),D(0,2,0),E(0,0,22),()()2,0,0,0,2,22,AB DE ==- ()1,1,2DC =-------2分设平面CDE 的一个法向量为()1,,n x y z =，则2220,20y z x y z -+=-+=， 取2z =时，()10,2,2n = -----------3分则10AB n ⋅=，又AB 不在平面CDE 内，所以//AB 平面CDE ；-----------4分（Ⅱ）如图，E(0,0,a ),()()0,2,,1,1,2DE a DC =-=-，设平面CDE 的一个法向量为()2,,n x y z =， 则有20,20y az x y z -+=-+=， 取2z =时，()222,,2n a a =----6分又平面AEC 的一个法向量为()31,1,0n =-，------------8分 因为二面角A EC D --的大小为45，所以232322n n n n ⋅=， 即22220a a -+=，解得2a =，此为所求.------------10分17.解：（I）4,b c a ====故椭圆22:1;168x yE +=.…4分 （Ⅱ）假设存在满足条件的点P ， 设),(00y x P ，又设11(,)M x y ,11(,)N x y -,则直线MP 的方程为：),(010100x x x x y y y y ---=-………….5分令0=y ，得101001y y y x y x x R --=，…………………………………….6分上式中1y 用1y -代换得101001y y y x y x x S ++=,……………………….7分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅;……………………………………………….8分又点M 与点P 在椭圆上，故222200112(8),2(8)x y x y =-=-,……….9分得222222100101222201012(8)2(8)16()16,R S y y y y y y x x y y y y ----⋅===-- 16R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅=⋅=为定值. ……………………………………….11分18. 解：（Ⅰ）22()6()x f x e x a '⎡⎤=--⎣⎦ ………1分因为()y f x =的图象在0x =处切线与x 轴平行，所以2(0)6(1)0,f a '=-=故1a =-． ………3分（Ⅱ）法一：()6()()xxf x e x a e x a '=+--+，当0x ≥时1,xe x +≥又1,a <所以0,xe x a +->………4分 令(),xg x e x a =-+，则()10xg x e '=-≥，所以()xg x e x a =-+ 在[)0,+∞内单调递增，且()(0)1g x g a ≥=+. ………5分 讨论：（i ）当10a +≥即11a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞内单调递增，故()0f x ≥等价于3(0)2300f a =+≥，解得a ≥， 从而11a -≤<；………6分（ii ）当10a +<即1a <-时，由()xg x e x a =-+在[)0,+∞内单调递增，(0)10g a =+<，当x →+∞时，()g x →+∞，故存在唯一正数0x 使得000()0xg x e x a =-+=，有00x e x a =-，……7分令()0f x '>，等价于()0,g x >得0x x >， 令()0f x '<，等价于()0,g x <得00x x ≤<， 因此()f x 在0x x =处取最小值，………8分02300()32()27,x f x e x a =--+又00x e x a =-，0()f x 000002323227(3)(239)x x x x x e e e e e =-+=--++，由0()0f x ≥知03,xe ≤，即00ln 3x <≤，又由00x ex a =-得00x a x e =-，而()xh x x e =-在(]0,ln3x ∈时为减函数，所以00ln 331xx e -≤-<-，即ln331a -≤<-； ………10分 综合（i ）、（ii ）可知：ln331,a -≤< 因此a 的最小值为ln3 3.-…11分法二：当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，即123327(),2x e a x +≥-………5分 设()g x =123327()(0)2x e x x +-≥，下求max ()g x ： ()1g x '=-2223327()2x xe e -+， …………………6分 由()0g x '≥并记2,xt e =1t ≥，即32491627290t t t ---≤，亦即2(9)(42781)0t t t -++≤， ………8分故9t ≤，因此0ln3x ≤≤时()g x 为增函数， ………9分 同理ln3x ≥时()g x 为减函数， ………………10分 所以max ()(ln3)ln33g x g ==-，即ln33a ≥-，因此a 的最小值为ln3 3.-………………………11分19. 解：（1）解：（Ⅰ）法一：由于312,42=所以1112,322M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故100;01X M N -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦……………3分 法二：设,a b X c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由MX N =得30,31,420,422,a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 即0,0,0,1,a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 故00;01X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………3分 （Ⅱ）设圆上任意一点(),x y 在矩阵1M-对应的变换作用下变为(),x y ''则00,01x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0,x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦则0,x y y '=⎧⎨'=⎩所以作用后的曲线方程为0(11).x y =-≤≤ .…………………6分（2）解：（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=； …………………2分（Ⅱ）直线l的参数方程是112,(1x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），…………………3分 代入圆C的方程整理得21)20t t --=， …………………4分此方程有两个不相等的实数根12,,t t 则1212 2.PA PB t t t t ⋅=⋅==……6分（3）解：（Ⅰ）法一：(1)(21)()3,a a g a a ++-≥=………………2分当且仅当1a ≤-或12a ≥时，()g a 取得最小值3M =； ……………3分法二：依题设得11()123,g a a a=++-≥…………2分 （下同法一）（Ⅱ）由2123x x -++≥知①当2x ≤-时，4(12)(2)3,,3x x x --+≥≤-即2;x ≤-②当122x -<≤时，(12)(2)3,0,x x x -++≥≤即20;x -<≤ ③当12x >时，(21)(2)3,x x -++≥即2;3x ≥综上所述，不等式()f x M ≥的解集是2(,0][,).3-∞+∞………………6分。

2013-2014学年福建省福州某校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合M ={x|y =2x }，P ={x|x ≥1}，则M ∩P =( ) A {x|x ≥0} B {x|x >1} C {y|y >0} D {y|y ≥1}2. 已知复数z 1＝cos23∘+isin23∘和复数z 2＝cos37∘+isin37∘，则z 1⋅z 2为（ ） A 12+√32i B √32+12i C 12−√32i D √32−12i3. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2=16，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|，则|AM →|=( )A 8B 4C 2D 14. 若函数y =f(x)在R 上可导且满足不等式xf′(x)>−f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A af(b)>bf(a)B af(a)>bf(b)C af(a)<bf(b)D af(b)<bf(a) 5. 已知函数f(x)=sinx −cosx 且f′(x)=2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1+sin 2x cos 2x−sin2x=()A −195 B 195 C 113 D −1136. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6+a 8=20，那么S 13的值是（ ） A 65 B 70 C 130 D 2607. 已知向量a →，b →，那么“a →⋅b →=0”是“向量a →，b →互相垂直”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8. 设在函数f(x)=xcosx −sinx 的图象上的点(x 0, y 0)的切线斜率为k ，若k =f′(x 0)，则函数k =f′(x 0)，x 0∈[−π, π]的图象大致为（ ）A B CD9. 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1=a n +ln(1+1n)(n ∈N ∗)，则a n =( ) A 3ln(n +1) B 3+lnn C 3+ln(n +1) D 3+ln(21+32+⋯nn+1)10. 已知f(x)是R 上的偶函数，将f(x)的图象向右平移一个单位，得到一个奇函数的图象，若f(2)=−1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)=( ) A 1 B 0 C −1 D −1005.5二、填空题：5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上. 11. 已知a 为实数，i 为虚数单位，|a+i i|=2，则a =________．12. 已知函数f(x)=x 2(ax +b)(a, b ∈R)在x =2时有极值，其图象在点（1, f(1)）处的切线与直线3x +y =0平行，则函数f(x)的单调减区间为________．13. 在等比数列{a n }，中，a n >0，且a 5⋅a 6•…•a 12=81，则a 4+a 13的最小值为________． 14. 在△OAB 中，O 为坐标原点，A(1, cosθ)，B(sinθ, 1)，θ∈(0,π2]，则当△OAB 的面积达最大值时，则θ=________． 15. 函数f(x)={2|x−1|，x ≤2−12x +3，x >2，实数a ，b ，c 互不相同，若f(a)=f(b)=f(c)=d ，则a +b +c +d 的范围为________．三、解答题：本大题六个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （1）给定数列{c n }，如果存在实常数p ，q ，使得c n+1=pc n +q 对于任意n ∈N ∗都成立，我们称数列{c n }是“R 族数列”．证明：若数列{b n }的前n 项和为是S n =n 2+n ，数列{b n }是“R 族数列”，并指出它对应的实常数p ，q ．（2）若数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=2n (n ∈N ∗)，求数列{a n }前2013项的和． 17. 已知：a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1, 2). (1)若|c →|=2√5，且c → // a →，求c →的坐标； (2)若|b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直，求a →与b →的夹角θ．18. 已知在同一平面内的两个向量a →=(√3sinx +cos(ωx +π3)，−1)，b →=(1,1−cos(ωx −π3))，其中ω>0，x ∈R ．函数f(x)=a →⋅b →，且函数f(x)的最小正周期为π．（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数y =g(x)的图象，求函数y =g(x)在[0,π2]上的单调递增区间．19. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，对于任意a ，b ∈R 且当a +b ≠0时，都满足f(a)+f(b)a+b>0．（1）求证：f(x)在R 上是的增函数；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0恒成立，求实数m 的取值范围．20. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120˚，BC=AC=3，点D在线段AB上．（1）若CD=√3，求BD的长；（2）若点E在线段DA上，且∠DCE=30˚，问：当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小？并求出面积的最小值．21. 已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切x∈(0, +∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．2013-2014学年福建省福州某校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）答案1. D2. A3. C4. B5. A6. C7. B8. C9. B10. B11. ±√312. (0, 2)13. 2√314. π215. (6, 7)16. （1）证明：∵ 数列{b n}的前n项和为是S n=n2+n，∴ 当n=1时，b1=S1=1+1=2，当n≥2时，b n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，∵ b1=2也适合上式，∴ b n=2n，(n∈N∗)，又∵ b n+1=2(n+1)=b n+2，(n∈N∗)，∴ 数列{b n}是“R族数列”，对应的实常数分别为p=1，q=2．（2）∵ a1=2，a n+a n+1=2n(n∈N∗)，∴ a 2+a 3=22，a 4+a 5=24，…，a 2010+a 2011=22010，a 2012+a 2013=22012．∴ S 2013=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2012+a 2013=2+22+24+⋯+22012， ∴ S 2013=2+4(1−41006)1−4=22014+23故数列{a n }前2013项的和S 2013=22014+23．17. 解：(1)设c →=(x,y)， ∵ |c →|=2√5，且c → // a →， ∴ {y −2x =0，x 2+y 2=20，解得{x =2，y =4， 或{x =−2，y =−4，故c →=(2,4) 或c →=(−2,−4)． (2)∵ (a →+2b →)⊥(2a →−b →)， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=0， 即2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0， ∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理得a →⋅b →=−52，∴ cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，又∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．18. 解：（1）由向量a →=(√3sinx +cos(ωx +π3)，−1)，b →=(1,1−cos(ωx −π3))， 得f(x)=a →⋅b →=√3sinωx +cos(ωx +π3)+cos(x −π3)−1=2sin(ωx +π6)−1．由2πω=π，得ω=2． ∴ f(x)=2sin(2x +π6)−1；（2）将函数的图象向右平移π6个单位后，得到函数y =g(x)的解析式为g(x)=2sin[2(x −π6)+π6]−1=2sin(2x −π6)−1， 由题意，得2kπ−π2≤x ≤2kπ+π2，k ∈Z ， 即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，∴ 函数y =g(x)在[0,π2]上的单调递增区间是[0,π6]．19. 解：（1）不妨设x 1<x 2，由f(a)+f(b)a+b>0，得f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)>0，又f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，而x 1−x 2<0 ∴ f(x 1)<f(x 2)∴ f(x)在R 上是增函数． （2）∵ f(x)是奇函数，∴ 不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0⇔f(mt 2+1)>f(mt −1)， ∵ f(x)在R 上是增函数，∴ 对任意的t ∈R ，不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0恒成立 即mt 2+1>mt −1对任意的t ∈R 恒成立 即mt 2−mt +2>0对任意的t ∈R 恒成立．当m =0时，不等式即为2>0恒成立，合题意； 当m ≠0时，有{m >0△=m 2−8m <0，即0<m <8综上：实数m 的取值范围为0≤m <8．20. 解：（1）在△CDB 中，∠CBD =30˚，BC =3，CD =√3， 由余弦定理，得CD 2=BC 2+BD 2−2CB ⋅BD ⋅cos30∘，… 即BD 2−3√3BD +6=0，解得，BD =√3或2√3．… （2）设∠DCB =α，0∘≤α≤90∘， 在△CDB 中，由正弦定理，得CD sin∠CBD=BC sin∠CDB，即CD =BC⋅sin30∘sin(150∘−α)， 同理CE =BC⋅sin30∘sin(120∘−α)，…所以，S △CDE =12CE ⋅CD ⋅sin30∘=916sin(150∘−α)sin(120∘−α)=8√3sin 2(120∘−α)+8sin(120∘−α)cos(120∘−α)=4√3+8sin[(240∘−2α)−60∘]=4√3+8sin2α…∵ 0∘≤α≤90∘，∴ 0∘≤2α≤180∘．∴ 当α=45∘时，S △CDE 的最小值为4(√3+2)=9(2−√3)4．…21. 解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)，f(x)的导数f ′(x)=1+lnx ． 令f ′(x)>0，解得x >1e ； 令f ′(x)<0，解得0<x <1e ．从而f(x)在(0, 1e)单调递减，在(1e, +∞)单调递增．所以，当x =1e 时，f(x)取得最小值−1e ． （2）若2f(x)≥g(x)，则a ≤2lnx +x +3x ，设ℎ(x)=2lnx +x +3x，则ℎ′(x)=2x +1−3x 2=x 2+2x−3x 2=(x+3)(x−1)x 2∵ x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ ℎ(x)min =ℎ(1)=4 故a ≤4即实数a 的取值范围为(−∞, 4] 证明： （3）若lnx >1e x−2ex则lnx ⋅x >xe x −2e ，由（1）得：lnx ⋅x ≥−1e，当且仅当x =1e时，取最小值；设m(x)=x ex −2e，则m′(x)=1−x e x，∵ x ∈(0, 1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增， x ∈(1, +∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减， 故当x =1时，m(x)取最大值−1e 故对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx >1ex −2ex成立．。

福建省福州市2007—2008学年第一学期高三期末质量检查数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），完卷时间120分钟，满分，150分. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2)1(1i i -+对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知等差数列{a n }中，a 6+a 10=20，a 4=2，则a 12的值是（ ）A ．26B ．20C ．18D ．28 3．函数x )x (f 3= (x ≤2)的反函数的定义域是（ ）A ．(－∞，9]B ．[9，+∞）C ．(0，9]D ．(0，+∞) 4．设p ：log 2 x <0，q ：x1<l ，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知sin(α－4π)=31，则cos (α +4π)的值等于 （ ）A ．322B ．一322C ．一31D ．31 6．若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是（ ）A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．若x ，y 满足y x z y x y x 2,0012+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+的最大值为L ，最小值为l ，则L 一l 的值为（ ） A ．21B ．1C ．23D ．28．把四个不同的小球全部随意放人三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为 （ ）A ．3413A AB ．3324A CC ．2234A CD ．223414C C C9．若定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)()2(+=+x f x f ，则)1(f 等于（ ）A ．0B ． 1C ．－12D ．1210．关于函数)x (f =2 sin(3x －34 π)，有下列命题①其最小正周期为23π；②其图像由y=2sin3x 向左平移34 个单位而得到；③在 [125,12ππ]上为单调递增函数，则其中真命题为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11．已知双曲线122=-ny m x (mn ≠0)的离心率为2，且有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为 （ ）A ．316B ．38C ．163D ．8312．若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a )(b f >b )(a fB ．a )(a f >b )(b fC ．a )(a f <b )(b fD ．a )(b f <b )(a f第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共l 6分.13．已知函数1)1()1(11)(2=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--=x x a x x x x x f 在处连续，则实数a 的值为_________.14．若直线l ：Ax +By +C=0与⊙M ：(x 一a )2+(y 一b )2 = l (M 为圆心)相交于P ，Q 两点且| PQ | = 3 ，则MP MQ ⋅=___________.15．若对于任意实数x ，有x 3=a 0+a l (x 一2)+a 2(x 一2)2+a 3(x 一2)3 ，则a 2=_________. 16．用n 个不同的实数a 1，a 2，…，a n 可得到n!个不同的排列，每个排列 为一行写成一个n!行的数阵. 对第i 行a i1，a i2，…，a in ，记 b 1= 一a i1+2a i2 —3a i3+…+(一1)n n a in ，i =l ，2，3，…，n!. 例如1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是l2，所以 b l +b 2+…+b 6=一l2 +2×12—3×12=一24，那么，在用l ，2，3，4，5形成的数阵中，b l +b 2 +…+b 120=______.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分l2分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，4cos 22C 一cos2C =72 ，a+b =5，c=7.（1）求角C 的大小； （2）求ΔABC 的面积.18．（本题满分12分）已知在等比数列{a n }中，a l +a 3=l0，a 2+a 4=20，设c n =11一log 2 a 2n . （I ）求数列{c n }的通项；（Ⅱ）求数列{c n }前n 项和S n 的最大值.19．（本题满分l2分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记ξ=|x 一2| +| y 一x |.（I ）求随机变量ξ 的最小值，并求事件“ξ 取得最小值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ 的分布列和数学期望.20．（本题满分12分）一群猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了23 ，还不过瘾，又吃了两个. 第二天早上又将剩下的桃子吃掉23 ，又吃了两个. 以后每天早上都吃掉前一天剩下的23 后还要吃两个. 到第七天早上想吃时，只剩下一个桃子了，求第一天共摘了多少个桃子?21．（本小题满分12分）如图，F 1，F 2分别是椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左右焦点，M 为椭圆上一点， MF 2垂直于x 轴，且OM 与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行，（I ）求椭圆的离心率；（II ）若G 为椭圆上不同于长轴端点任一点，求∠F 1GF 2的取值范围；（Ⅲ）过F 2且与OM 垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点. 若Q PF S 1∆=20 3 ，求椭圆的方程.22．（本小题满分14分）已知：三次函数)(x f =x 3+ax 2+bx+c ，在(－∞，－1)，(2，+∞)上单调递增，在(－l ，2)上单调递减，不等式)(x f >x 2—4x +5的解集为(4，+∞) （I ）求函数)(x f 的解析式； （II ）若函数)(x h =)2(3)(-'x x f － (m+1)ln(x +m)，求)x (h 的单调区间.1 2 31 3 22 13 2 3 13 1 23 21参考答案一、选择题1.B2.C3.C4.B5.C6.C7.D8.B9.D 10.B 11.A 12.B 二、填空题 13．1 14．21- 15．6 16．－1080 三、解答题17．解：（1）由.27)1cos 2(2cos 14272cos 2cos422=--+⋅=-C C C C ，得 整理，得.01cos 4cos 42=+-C ………………4分 解得3,0,21cos ππ=∴<<=C C C ………………6分 （2）由余弦定理得c 2=a 2+b 2－2a bcocC ，C=3π∴ab b a c 3)(22-+= …………8分 又6,7,5=∴==+ab c b a ………………10分∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC …………12分 18．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2010311211q a q a q a a ………………2分 解得⎩⎨⎧==221q a∴*)(2N n a nn ∈= ………………4分n a c n n 211log 1122-=-= …………6分（Ⅱ）{c n }是以9为首项，以－2为公差的等差数列 ∴2102)2119(n n nn S n -=-+=………………9分 25)5(2+--=n所以当n=5时，数列{c n }前n 项和S n 的最大值为25 …………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵x 、y 可能的取值为1、2、3，∴0||,0|2|>->-x y x ，∴.02,20===≥ξξ时，，当且仅当y x ………………3分 因此，随机变量ξ的最小值为0.∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种， ∴91)0(==ξP 答：随机变量ξ的最小值为0，事件“ξ取得最小值”的概率为91…………6分 （Ⅱ）ξ的所有取值为0，1，2，3∵ξ=0时，只有x =2，y=2这一种情况，ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况， ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况 ∴92)2(,94)1(,91)0(======ξξξP P P……………………………………………………10分 因此，数学期望 914923922941910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………12分 20．（本小题满分12分）解：设从第一天开始顺次每天还没有吃的桃子数组成的数列为{a n }，由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧-==+231117n n a a a ………………4分 设3)31)(3(11-+==-n n x a x a ，求得 …………8分∴13)31)(3(67=-+=x a解得x=2913，即第一天猴子共摘了2913个桃子 …………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知AB OM K K ab c M = ),,(2∴22,,2===∴=a c e c b a b ac b …………2分 （Ⅱ）设GF 1=m ，GF 2=n ，∠F 1GF 2=θ，则m+n=2a01)2(212242)(24cos 22222222=-+≥-=--+=-+=n m b m nb m nc m n n m m n c n m θ当且仅当m=n 时，]2,0(,0)(cos min πθθ∈∴=，即∠F 1GF 2的取值范围为（]2,0π…6分（Ⅲ）由（Ⅰ）得c b c a ==,202225222)2()(22222222222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+--=c cy y c y x y c x ba y a xbc x y c y y y y y y 5344)(||2122121=-+=- …………9分320534221||||2121211=⨯⨯=-=∆c c y y F F S Q PF ∴50,25222===a b c ∴椭圆的方程为1255022=+y x …………12分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵),2(),1,()(+∞--∞在x f 上单调递增，（－1，2）上单调递减∴2,1023)(2-=++='有两根b ax x x f∴c x x x x f b a b a +--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-623)(623321322123 ……4分 令5225)54()()(232-+--=+--=c x x x x x x f x H )2)(13(253)(2-+=--='x x x x x H),2(),31,()(+∞--∞在x H 单调递增，（)2,31-单调递减故 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=0)31(0)4(H H ∴c=－11 ∴11623)(23---=x x x x f …………6分 （Ⅱ）∵)2)(1(3633)(2-+=--=x x x x x f∴)2)(ln()1(1)(≠->++-+=x m x m x m x x h 且 …………8分 ∴mx x m x m x h +-=++-='111)( …………………10分 ①当)(22x h m m 时，，即-≤≥-的定义域为),(+∞-m ，0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单调递增；②当)(1221x h m m 时，，即≤<-<-≤的定义域为),2()2,(+∞⋃-m0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单调递增③当－m<1，即m>－1时，)(x h 的定义域为),2()2,(+∞⋃-m ，由10)(>>'x x h 得， 由.10)(<<'x x h 得故在（1，2），),2(+∞上单调递增；在（－m ，1）上单调递减 …………12分 所以当),()(2+∞--≤m x h m 在时，上单调递增； 当),2(),2,()(12+∞--≤<-m x h m 在时，上单调递增；当)>时，在m上单调递增；在（－m，1）单调递减……14分-2,1(,2(),1+∞。