课时50不等式的基本性质2019年高考数学文单元滚动精准测试卷Word版含解析

2019年高考真题《不等式》1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，．（1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤【解析】（1）不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-．（2）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域．46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[2,)+∞．()442(4)(42)2g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当且仅当4x a -与42x +异号时取等号，所以()g x 的值域为[2,)a ++∞，由题[2,)+∞⊆[2,)a ++∞，所以22a +≤，解得40a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2f x ax =-，不等式()4f x ≤的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；（2）设()()(3)g x f x f x =++，若存在x ∈R ，使()2g x tx -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2t ∈-∞-+∞．【解析】（1）由42ax -≤得－4≤2ax -≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，26x a a -≤≤，所以2266a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1；当a <0时，62x a a ≤≤-，所以6226a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解．所以实数a 的值为1．（2）由已知()()(3)g x f x f x =++＝|x ＋1|＋|x －2|＝()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式g （x ）－tx ≤2转化成g （x ）≤tx ＋2，由题意知函数()g x 的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12BM k =， 所以t ≤－1或12t ≥， 即t ∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|f x x =+． （1）若+2>2f x x （），求实数x 的取值范围；（2）设=+>1g x f x f ax a （）（）（）（），若g x （）的最小值为12，求a 的值． 【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）2a =． 【解析】（1）()22f x x +>，即1>22x x+-⇔101>22x x x +≥⎧⎨+-⎩或10122x x x+<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>， ∴实数x 的取值范围是13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （2）∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，， 易知函数()g x 在1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递减，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． ∴1112a -=，解得2a =． 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21f x x a g x x =+=-（），（）．（1）若2f x g x +（）（）的最小值为1，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式1f x g x +<（）（）的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4．（2）312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）当1b =时，()()1|||1||1||1|2222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4．（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3ax a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对12x x ∀∈∃∈R R ，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|01x x ≤≤；（2）1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11222x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得x φ∈或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式2f x x ≤+（）的解集为{}|01x x ≤≤．（2）由311()212132x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，知，当12x =时，min 13()()22f x f ==， 323121g x x m x m ≥---=-（）（）（），当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()f x x a =-．（1）当2a =-时，解不等式()1621f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0,2]，求证：()(2)2f x f x ++≥． 【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ≥（2）见解析 【解析】（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥， 当2x ≤-时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-， 当122x -<≤时，原等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥； 不等式的解集为17{|3x x ≤-或5}x ≥．（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]02，，所以1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，从而()1f x x =-． 于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证112x x -++≥，因为111x x x -++=-1112x x x ++≥-++= 所以112x x -++≥，证毕．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；（2）当x y ∈R ，时，2()()2()f y f x f y -+≤≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）3{|}2x x >；（2）[]31--，【解析】（1）当a =1时，31()121232x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，，，， 可得()2f x <-的解集为3{|}2x x >； （2）当x y ∈R ，时，[][]ma min 2()()2()()()2()()2x f y f x f y f x f y f x f x -+≤≤+⇔-≤⇔-≤，因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤． 所以21a +≤，所以31a -≤≤-． 所以a 的取值范围是[–3，–1]．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f x x =-（）．（1）求不等式1f x x x <++（）的解集；（2）若函数()2log 32f x f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦（）（）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．（2）要使函数()()2log 32y f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦的定义域为R ， 只需()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可．又()12212232g x x x a x x a a =++--≥+-+-=-，当且仅当[]12x ∈-，时取等号． 所以只需320a ->，即32a <． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数()211f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）{}11x x x ≤-≥或；（2）914．【解析】（1）由题意，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩．解得1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （2）由（1）可知，当12x =时，()f x 取得最小值32， 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时，即369,,141414a b c ===时等号成立． 所以222a b c ++的最小值为914．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型．14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知000a b c >>>，，设函数f x x b x c a x =-+++∈R （），．（1）若1a b c ===，求不等式5f x <（）的解集； （2）若函数f x （）的最小值为1，证明：14918a b c a b b c c a++≥+++++（）． 【答案】（1）(2,2)-；（2）详见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<， 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-， 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<， 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<，∴解集为(2,2)-；（2）()f x x b x c a =-+++x c x b a ≥+--+（）（）b c a =++，∵000a b c >>>，，，∴min ()1f x a b c =++=， ∴149a b b c c a ++=+++149a b b c c a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭a b c ++（） 11492a b b c c a ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭a b b c a c +++++（）22212⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222⎡⎤++⎣⎦212≥1818a b c ==++（）． 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()21f x x x =-+，且a b c ∈R ，，． （1）若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=， 即()()()f a f b f c ==的最小值为73； （2）因为1x a -<，所以()()()()22•11f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，故结论成立．【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >．（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，由此可得1x ≤或2x ≥，故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-， 此不等式化等价于2250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或()2250a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩， 解得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3ax x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，即为不等式组5225x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩，解得37a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a x x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集，所以1x =-是方程()0f x =的根，把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，因为0a >，所以3a =．【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小．17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x ，y 满足x +y =1．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211(1)(19x y --≥）． 【答案】（1）1[16，）．（2）见解析． 【解析】（1）∵1x y +=，且0x >，0y >， ∴0152522212x x y x y x x <<⎧⎪++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩， 01011112121222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩（）， 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1[16，）． （2）解法1：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y+-+---=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x y y x =++59≥=． 当且仅当12x y ==时，等号成立． 解法2：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222221111(1)(1)x y x y x y----=⋅ 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy xy+++=21xy =+2219()2x y ≥+=+，当且仅当12x y ==时，等号成立． 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．。

2019年高中数学单元测试试题 不等式专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（ ） A ．34π B ．35π C ．47π D ．2π（2012重庆理）2．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，503．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为（ ）A ．-1B ．1C ．32D ．2 （2012福建文）4．不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集是（ ） A ．{x|－1＜x ＜1}B ．{x|0＜x ＜3}C ．{x|0＜x ＜1}D ．{x|－1＜x ＜3}（2002北京1）5．下列不等式一定成立的是 A.B.C. D.6．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为A ．(1，2)B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞)7．给出下列三个命题：①若1->≥b a ,则bb a a +≥+11；②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-；③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切其中假命题的个数为（ ）(A) 0(B) 1 (C) 2 (D)3(2005天津理)8．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）（陕西卷10）A ．7B ．5C ．4D ．3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．不等式(1||)(1)0x x -+>的解集是__________________10．关于x 的不等式04)2(2)2(2>+---x a x a 对一切实数x 都成立，则a 的范围是 ；关键字：解一元二次不等式；最高次项系数含参；恒成立问题；求参数的取值范围11．设全集U =R ，2={|<0}+1-x A x x ，B ={x | sin x}，则=B A ▲ ．π[,2)3 12．如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是13．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,06x y x y x 表示的平面区域的面积为 。

第七章 不 等 式(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b a ，b ∈R ，a －b ＝0⇔a ＝b a ，b ∈R ，a －b ＜0⇔a ＜b a ，b ∈R .(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b a ∈R ，b ＞0 ，ab ＝1⇔a ＝b a ∈R ，b ＞0 ，a b ＜1⇔a ＜b a ∈R ，b ＞0 .2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.④0＜a ＜x ＜b 或a＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.(2)有关分数的性质若a ＞b ＞0，m ＞0，则：①b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)．②a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m ＞0).[例1] (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是________． (2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“＞”或“＜”)．[解析] (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1＜0，a 2－1＜0.∴(a 1－1)(a 2－1)＞0，即M －N ＞0.∴M ＞N .(2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .[答案] (1)M ＞N (2)＜[方法技巧] 比较两个数(式)大小的两种方法[例2] ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．(2)下列命题：①若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ②若ac ＞bc ，则a ＞b ； ③若a c 2＜b c2，则a ＜b ；④若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d . 其中正确命题的序号是________．(3)(2018²兴化八校联考)“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的________条件．[解析] (1)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10]．(2)取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知①错误；当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴②错误；∵ac 2＜b c2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，③正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知④错误．(3)x 1＞3，x 2＞3⇒x 1＋x 2＞6，x 1x 2＞9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20，x 1＋x 2＝412＞6，x 1x 2＝10＞9，但x 1＜3.故“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的充分不必要条件．[答案] (1)[5,10] (2)③ (3)充分不必要 [方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是________． 解析：由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 答案：A ≥B2.[考点二]若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的序号是________． ①－n ＜m ＜n ＜－m ；②－n ＜m ＜－m ＜n ；③m ＜－n ＜－m ＜n ；④m ＜－n ＜n ＜－m . 解析：法一：(特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各不等式中检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 答案：④3.[考点二]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是________．解析：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴ad ＋b c ＝ac ＋bd cd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.答案：34.[考点二]设a ，b 是实数，则“a ＞b ＞1”是“a ＋1a ＞b ＋1b”的________条件．解析：因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab，若a ＞b ＞1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ab －1 ab ＞0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a ＞b ＋1b成立，但a ＞b ＞1不成立，所以必要性不成立．答案：充分不必要突破点(二) 一元二次不等式)1．三个“二次”之间的关系(1)不等式ax2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)不等式ax2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.[例1] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2 x ＋1 ＞0，x －3 x ＋2 ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.所以当a ＞1，即1a ＜1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a ＞1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1.[方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考法(一) 在实数集R 上恒成立[例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m 1－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．考法(二) 在某区间上恒成立[例3] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67.考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 则原问题转化为关于m 的一次函数问题． 由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ＝ x －2 ³ －1 ＋x 2－4x ＋4＞0，g 1 ＝ x －2 ＋x 2－4x ＋4＞0，解得x ＜1或x ＞3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．1.[考点一](2018²常州月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是________．解析：当x ≤32时，原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；当x ＞32时，原不等式化为x 2＞(3－2x )2，解得32＜x ＜3. 综上，x ＜－3或1＜x ＜3.答案：(－∞，－3)∪(1,3)2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于________．解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－33.[考点二²考法 一 ](2018²无锡期初测试)定义在R 上的运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：∵(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )(1－x －y )＝x －x 2－y ＋y 2＜1.∴ －y ＋y 2＜x 2－x ＋1，要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有－y ＋y 2＜(x 2－x ＋1)min ＝34，解得－12＜y ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，324.[考点二²考法 二 ]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．解析：原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4,3]5.[考点二²考法 三 ]要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0，当|a |≤1时恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9＞0.令f (a )＝(x－3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )＞0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＞0，f 1 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12＞0，x 2－5x ＋6＞0，解得x ＜2或x ＞4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)1．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的序号有________． ①1a ＜1b；②|a |＞|b |；③a ＋b ＜2ab ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.解析：∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ，且|a |＞|b |，a ＋b ＞2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b. 答案：①②④2．(2018²启东中学月考)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2－4³2k ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．答案：(－3,0]3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，2x 2－7x ＋6＞0的解集是________．解析：∵x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3.又∵2x 2－7x ＋6＞0，∴(x －2)(2x －3)＞0，∴x ＜32或x ＞2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3) 4．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a ＞0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13³12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a ＞0，即为－2x 2＋2x ＋12＞0，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B ＝________.解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1＞0得x ＞1，即B ＝{x |x ＞1}，所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．答案：{x |1＜x ≤2}2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的序号是________． ①ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；②a c ＞bc⇒a ＞b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1b ；④⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1b . 解析：当ac 2＞bc 2时，c 2＞0，所以a ＞b ，故①正确；当c ＜0时，a c ＞bc⇒a ＜b ，故②错误；因为1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞0，a ＜b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＜0，a ＞b ，故④错误，③正确．答案：①③3．已知a ＞0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝aa ＋1，则m ，n 的大小关系是________．解析：由题易知m ＞0，n ＞0，两式作商，得mn＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝aa (a －1)，当a ＞1时，a (a －1)＞0，所以a a (a －1)＞a 0＝1，即m ＞n ；当0＜a ＜1时，a (a －1)＜0，所以a a (a －1)＞a 0＝1，即m ＞n .综上，对任意的a ＞0，a ≠1，都有m ＞n .答案：m ＞n4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － 1＋a ≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － a ＋1 ≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x ＜－1或x ＞3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a ＞0，即a ＜－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － 1＋a ≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.答案：[－4，＋∞)5．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 解析：由Δ＝a 2＋8＞0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 6．(2018²无锡中学模拟)在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：327．(2018²姜堰中学月考)若关于x 的不等式(2x －1)2＜kx 2的解集中整数恰好有2个，则实数k 的取值范围是________．解析：因为原不等式等价于(－k ＋4)x 2－4x ＋1＜0，从而方程(－k ＋4)x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ＝4k ＞0，且有4－k ＞0，故0＜k ＜4.又原不等式的解集为12＋k ＜x ＜12－k ，且14＜12＋k ＜12，则1,2一定为所求的整数解，所以2＜12－k ≤3，得k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤94，259.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤94，2598．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＜x ＜1a 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x ＞0，则－x ＜0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2018²盐城中学月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－ x －1 2－3 x －1 ，x －1≤0，x －1 2－3 x －1 ，x －1＞0，即f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1，所以不等式f (x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1，解得x ＞4.答案：(4，＋∞) 二、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0， 即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}． (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1³3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3. 12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x ＞0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x ＞0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0 ≤0，g 2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.以上简称为“直线定界，特殊点定域”.1. 2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点B 到直线AC 的距离即△ABC 的腰长|AB |.由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出．[例1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为________．[解析]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12³(2－1)³2＝1.[答案] 1 [方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．[例2] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.[答案] (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ [易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB 长度的最大值为4，则以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π³⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.答案：4π2.[考点二]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m 3，2＋2m3，D (－2m,0)．S△ABC＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |²|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m＝1或m ＝－3(舍去)．答案：13.[考点一]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12³2³(2＋2)＝4.答案：44.[考点二]若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a ＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a ＝－1.答案：－1突破点(二) 简单的线性规划问题在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即[例1] (1)(2017²山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y的最大值是________．(2)(2017²全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y ＝－x 2＋z2进行平移，显然当该直线过点A 时z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，即A (－3,4)，所以z max ＝－3＋8＝5.(2)法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2³(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.[答案] (1)5 (2)－15 [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值[例2] (1)(2018²无锡期初测试)已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤－x ＋3，y ≥2x则yx －2的取值范围是________．(2)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．[解析] (1)画出可行域如图所示，y x －2等价于点(x ，y )到点(2,0)连线的斜率，又k AB ＝－2，k BO ＝0，从而y x －2∈[－2,0]．(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.[答案] (1)[－2,0] (2)10 [方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z ＝ac²y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 连线的斜率的a c 倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2²|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值.线性规划中的参数问题[例3] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2.[答案] 2 [方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2017²全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－52.[考点二]已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为________．解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝yx ＋1＝y －0x － －1表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－ －1＝1.答案：13.[考点一](2018²银川模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析：作出实数x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3.答案：－34.[考点三](2018²苏州月考)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，3x －y －6≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为2，则2a ＋3b的最小值为________．解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值2，即2a ＋3b ＝1，而2a ＋3b(2a ＋3b )＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥25.答案：255.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. 答案：80突破点(三) 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤[典例] A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．[解析] 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0并上下平移，易知当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60,100)．则z max ＝2 100³60＋900³100＝216 000(元)． [答案] 216 000 [方法技巧]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b ＋a ＝0，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取最大值，故x ＝6＋7＝13.答案：132．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300³3＋400³2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 7003．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3³2＋4³3＝18.答案：184．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x 万元，y 万元，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y ，作出可行域如图所示，作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得x＝4，y ＝6，此时z ＝1³4＋0.5³6＝7(万元) ∵ 7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值． ∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12³83³1＝43. 答案：432．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2³1＝2.答案：23．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫322＝92. 答案：924．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3³2－2＝4.答案：45．(2018²常州月考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的最大值为________．解析：令z ＝y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，平移函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，可知当函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋z 的图象经过点A 时z取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＝1，得A (1,1)，所以x ＝y ＝1时，y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x取最大值12. 答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018²东台中学月考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝________.解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，且a ＞－1， ∵ S △ABC ＝2，∴ 12(1＋a )³1＝2，解得a ＝3.答案：32．(2018²江苏八市高三质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是________．解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即C (2，－1)，将其代入直线方程－2x ＋y ＋c＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即D (3,1)，将点D的坐标代入目标函数z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6³3＋2＝20.答案：203．(2017²浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)4．(2018²安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x的取值范围为________．解析：作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，25．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)．所以|AB |＝|CD |＝ 2＋1 2＋ －2－1 2＝3 2.答案：3 26．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2＞k AC ＝－1，a ＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴ a ＞－4.综上可得－4＜a ＜2.答案：(－4,2)7．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．解析：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1.答案：18．(2018²如东中学月考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1所表示的区域如图所示，由1≤ax ＋y ≤4得，a ≥0，且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)取得最大值，故a ≥1,2a ＋1≤4，故a 取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋y －6x －4的取值范围是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0表示的平面区域如图所示，因为x ＋y －6x －4＝x －4＋y －2x －4＝1＋y －2x －4，而y －2x －4表示平面区域内的点与点A (4,2)连线的斜率，由图知斜率的最小值为0，最大值为k AB ＝－4－2－3－4＝67，所以1＋y －2x －4的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137，即x ＋y －6x －4的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137 10．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5²5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21 二、解答题11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，可知z ＝12x －y ＋12过A (3,4)时取最小值－2，过C (1,0)时取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．12．(2017²天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：。

高中数学 不等式的基本性质 习题1．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，则必有( )．A ．a ≤0 B．a ＞0 C ．b ＝0 D ．c ＞02．若a ＜1，b ＞1，那么下列命题中正确的是( )．A ．11a b >B ．1b a> C ．a 2＜b 2 D ．ab ＜a ＋b －13．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )．A ．11a b <B ．11a b> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 4．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，则3a －2b 的取值范围是( )．A ．B ．C ．D ．5．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( )．A ．2a a a b b >> B ．2a a a b b >> C ． 2a a a b b >> D ．2a a a b b>> 6．已知－3＜b ＜a ＜－1，－2＜c ＜－1，则(a －b )c 2的取值范围是__________． 7．若a ，b ∈R ，且a 2b 2＋a 2＋5＞2ab ＋4a ，则a ，b 应满足的条件是__________．8．设a ＞b ＞c ＞0，x =y =，z =x ，y ，z 之间的大小关系是__________．9．某次数学测验，共有16道题，答对一题得6分，答错一题倒扣2分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？列出其中的不等关系．10．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较33S a 与55S a 的大小．参考答案1. 答案：B 解析：由a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0知3a ＞0，故a ＞0.2. 答案：D 解析：由a ＜1，b ＞1得a －1＜0，b －1＞0，所以(a －1)(b －1)＜0，展开整理即得ab ＜a ＋b －1.3. 答案：C 解析：取a ＝2，b ＝12-，满足a ＞1＞b ＞－1，但11a b>，故A 错；取a ＝2，13b =，满足a ＞1＞b ＞－1，但11a b <，故B 错；取54a =，56b =，满足a ＞1＞b ＞－1，但a 2＜2b ，故D 错，只有C 正确.4. 答案：D 解析：令3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，则32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，，所以125.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3， 所以115()222a b ≤+≤，5515()222a b -≤-≤， 故－2≤3a －2b ≤10. 5. 答案：C 解析：∵a ＜0，b ＜－1，则0a b >，b ＜－1，则b 2＞1，∴211b <. 又∵a ＜0，∴0＞2a b＞a .∴2a a a b b >>.故选C. 6. 答案：(0,8) 解析：依题意0＜a －b ＜2,1＜c 2＜4，所以0＜(a －b )c 2＜8. 7. 答案：a ≠2或b ≠12 解析：原不等式可化为(ab －1)2＋(a －2)2＞0.故a ≠2或b ≠12. 8. 答案：x ＜y ＜z 解析：x 2－y 2＝a 2＋(b ＋c )2－b 2－(c ＋a )2＝2c (b －a )＜0，所以x ＜y ，同理可得y ＜z ，故x ，y ，z 之间的大小关系是x ＜y ＜z .9. 答案：解：设至少答对x 题，则6x －2(15－x )≥60.10. 答案：解：当q ＝1时，333S a =，555S a =，所以3535S S a a <； 当q ＞0且q ≠1时，353511243511(1)(1)(1)(1)S S a q a q a a a q q a q q ---=---＝23544(1)(1)10(1)q q q q q q q -----=<-， 所以有3535S S a a <.综上可知有3535S S a a <.。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测七 不等式第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·深圳第二次调研)设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3 B.1a <1b C ．a b >1D ．lg(b －a )<02．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－35，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 3．(2015·江西百所重点中学诊断)已知m >0，n >0，且2m ＋3n ＝5，则2m ＋3n 的最小值是( ) A ．25 B.52 C ．4D ．54．(2015·合肥第二次质检)已知f (x )是偶函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝x sin x ，若a ＝f (cos 1)，b＝f (cos 2)，c ＝f (cos 3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．b <c <a5．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60D ．806．(2015·北京)若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．27．(2016·湖北七市联考)若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( ) A ．－5 B ．3 C ．5D ．79．若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43 D ．(－1,3)10．(2015·渭南模拟)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积的最小值为( ) A ．π B ．2π C ．4πD.π211．(2015·浙江杭州二中第一次月考)若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)12．(2015·郑州第一次质量预测)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.若P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111，Q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( )A ．R >Q >PB ．R >P >QC ．P >R >QD ．Q >P >R第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.14．(2015·四川资阳第一次诊断)已知点A 是不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥1所表示的平面区域内的一个动点，点B (－1，1)，O 为坐标原点，则OA →·OB→的取值范围是____________．15．(2015·辽宁辽西地区质量检测)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2y xy 的最小值为________． 16．(2015·湖南师大附中第三次月考)设正实数a ，b 满足等式2a ＋b ＝1，且有2ab －4a 2－b 2≤t －12恒成立，则实数t 的取值范围是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2015·河北高阳中学第二次模拟考试)已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2a x －(a 2＋1)<0. (1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．18．(12分)已知a ，b 是正常数，x ，y ∈R ＋，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．19.(12分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R)．20．(12分)如图所示，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21.(12分)(2015·江西宜春四校联考)变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．22．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)．单元滚动检测 不等式答案解析1．D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.D 7.C8．D [直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.]9．B [根据题意，得不等式|x －m |<1的解集是m －1<x <m ＋1，设此命题为p ，命题13<x <12为q ，则p 的充分不必要条件是q ，即q 表示的集合是p 表示的集合的真子集， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12，(等号不同时成立)．解得－12≤m ≤43.]10．A [因为直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，所以2ab ＝1， 因为|OA |＝a 2＋b 2，所以以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积为π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选A.]11．A [x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解可转化为a >2x －x 在[1,5]上有解．而⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.]12．B [令x ＝y ＝0，得f (0)－f (0)＝f (0)＝0，再令x ＝0，可得f (0)－f (y )＝f (－y )⇒－f (y )＝f (－y )，即函数为奇函数．若－1<x <y <1，则x －y1－xy <0，故由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy >0，即f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy >0，故函数在区间(－1,1)上为减函数．又P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋1111＋15×111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，而0<27<12，由单调性可得R ＝f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27＝P >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝Q ，故选B.] 13.32解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1.(2)当a <1时，∵x >0， ∴(a －1)x －1<0，不等式可化为 x >0时均有x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立， ∴a <1不成立．(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增， 且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎪⎫1a －1，0， 即当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a －1时，f (x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0. 又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)． 综上可知a ＝32. 14．[－1,1]解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设A (x ，y )，z ＝OA →·OB →＝－x ＋y ，则y ＝x ＋z 表示斜率为1，纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y ＝x ＋z ，知当直线过点D (2,1)时，直线y ＝x ＋z 的截距最小，z min ＝－2＋1＝－1；当直线y ＝x ＋z 过点E (1,2)时，直线y ＝x ＋z 的截距最大，z max ＝－1＋2＝1，所以OA →·OB→的取值范围是[－1,1]．15．3解析 由2x ＋y －3＝0，得2x 3＋y3＝1， ∴x ＋2y xy ＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23×2＋53＝3，当且仅当x ＝y ＝1时取得最小值． 16.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 ∵2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab .而2a ＋b ＝1≥22ab ，∴ab ≤24，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时等号成立．∴2ab －4a 2－b 2＝2ab ＋4ab －1，令ab ＝u ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24，f (u )＝4u 2＋2u －1，∴f (u )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫24＝2－12，故只需t －12≥2－12，即t ≥22.17．解 (1)当a ＝2时，A ＝(2,7)，B ＝(4,5)， ∴A ∩B ＝(4,5)．(2)B ＝(2a ，a 2＋1)，当a <13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时a ＝－1；当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在； 当a >13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ， 必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1,3]∪{－1}． 18．解 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ，当且仅当bx 2＝ay 2时等号成立． ∴x ＋y 的最小值为a ＋b ＋2ab ＝18. 又a ＋b ＝10.∴2ab ＝8，∴ab ＝16.由a ＋b ＝10，ab ＝16可得a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 19．解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)(x －1a )<0.因为方程(x －2)(x －1a )＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是{x |2<x <1a }；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是{x |1a <x <2}．(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}．(3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·(x －1a )>0，由于1a <2，故原不等式的解集是{x |x <1a 或x >2}．综上所述，当a <0时，不等式的解集为{x |x <1a 或x >2}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式的解集为{x |2<x <1a }；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为{x |1a <x <2}．20．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0. 由实际意义和题设条件知x >0，k >0，由x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6.所以当a 不超过6 km 时，可击中目标．21.解 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A (1，225)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8.故z 的取值范围是[16,64]．22．解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎨⎧ 60 (0≤x <20)，13(200－x ) (20≤x ≤200).(2)依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎨⎧ 60x (0≤x <20)，13x (200－x ) (20≤x ≤200)，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x ·(200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。

第6讲 基本不等式1.不等式x -1x ≥3的解集为 .2.已知单位向量a,b 的夹角为120°,那么|2a-xb|(x ∈R)的最小值是 .3.已知函数f(x)=x+4x ,x ∈[1,5],则函数f(x)的值域为 .4.已知x,y 为正实数,满足2x+y+6=xy,则2xy 的最小值为 .5.设变量x,y 满足{2x +y -4≥0,x -y -2≤0,y -2≤0,则z=3x+y 的最小值为 . 6.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时, f(x)=x 2-4x,则不等式组{x <0,f(x)>x的解集用区间表示为 .7.设三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知tanA tanB =3c -b b ,则cos A= . 8.将函数y=2cos (2x +π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后,所得函数为奇函数,则φ= .9.设菱形ABCD 的对角线AC 的长为4,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ = . 10.已知向量a=(cos α,sin 2α),b=(sin α,t),α∈(0,π).(1)若a-b=(15,0),求t 的值;(2)若t=1,a ·b=1,求tan (2α+π4)的值.答案精解精析1.答案 {x|-12≤x <0}解析 x -1x ≥3⇔2x+1x ≤0⇔-12≤x<0. 2.答案 √3解析 a ·b=-12,|2a-xb|=√(2a -xb)2=√x 2+2x +4,当x=-1时,取得最小值√3.3.答案 [4,295]解析 因为f(x)=x+4x ≥2√x ·4x =4,x ∈[1,5],当且仅当x=2时取等号,且f(1)=5, f(5)=5+45=295,所以函数f(x)的值域为[4,295].4.答案 36解析 根据题意,由条件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2√2xy +6,即xy ≥2√2xy +6.令t=√2xy ,则xy=t 22,则t 22-2t-6≥0,t 2-4t-12≥0,解得t ≥6或t ≤-2.又t ≥0,则t ≥6,即√2xy ≥6,即2xy ≥36,即2xy 的最小值为36.5.答案 5解析 画出{2x +y -4≥0,x -y -2≤0,y -2≤0表示的可行域如图,。

第一讲不等式的性质与解法题组1不等式的性质1.[2014山东,5,5分][理]已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sin x>sin yD.x3>y32.[2013北京,2,5分]设a,b,c∈R,且a>b,则()A.ac>bcB.<C.a2>b2D.a3>b3题组2不等式的解法3.[2016全国卷Ⅲ,1,5分][理]设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)4.[2013天津,8,5分][理]已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若[-,]⊆A,则实数a的取值范围是()A.(-,0)B.(-,0)C.(-,0)∪(0,)D.(-∞,-)5.[2017天津,8,5分][理]已知函数f(x)=-,,,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是()A[-,2] B.[-,] C.[-2 ,2] D.[-2 ,]6.[2017全国卷Ⅲ,15,5分][理]设函数f(x)=,,,,则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是.7.[2015广东,11,5分]不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)8.[2014江苏,10,5分][理]已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.A组基础题1.[2018贵阳市摸底考试,1]设集合A={x|(x-1)(x+2)<0},B={x|-<0},则A∪B=()A.(-2,1)B.(-2,3)C.(-1,3)D.(-1,1)2.[2018豫南九校第二次联考,8]若0<b<a<1,则下列结论不成立的是()A.<B.>C.a b>b aD.log b a>log a b3.[2018武汉市部分学校调研测试,7]已知x,y∈R,且x>y>0,若a>b>1,则一定有()A.>B.sin ax>sin byC.log a x>log b yD.a x>b y4.[2018惠州市二调,4]“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A.m>B.0<m<1C.m>0D.m>15.[2018全国名校第二次联考,15]已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x+2,那么不等式f(x)+1<0的解集是.6.[2018长春市高三第一次质量监测,13]已知角α,β满足-<α-β<,0<α+β<π,则3α-β的取值范围是.B组提升题7.[2017惠州市三调,12]已知函数f(x)=x sin x+cos x+x2,则不等式f(ln x)+f(ln )<2f(1)的解集为()A.(e,+∞)B.(0,e)C.(0,)∪(1,e)D.(,e)8.[2018南宁市摸底联考,15]已知函数f(x)=(e x-e-x)x(e为自然对数的底数),f(log3x)+f(x)≤2f(1),则x的取值范围是.9.[2018南昌市摸底调研,16]已知函数f(x)=),,-,,若不等式|f(x)|-mx+2≥0恒成立,则实数m的取值范围为.10.[2017云南省高三统一检测,16]已知函数f(x)=),, -),,若f(x-1)<f(2x+1),则x的取值范围为.答案1.D根据指数函数的性质得x>y,但x2,y2的大小不确定,故选项A,B中的不等式不恒成立;根据三角函数的性质知,选项C中的不等式也不恒成立;根据不等式的性质知,选项D中的不等式恒成立.2.D对于A项,若c<0,则结论显然不正确;对于B项,若a>0,b<0,则<显然不正确;对于C项,若a=1,b=-3,则a2>b2显然不正确.选D.3.D集合S=(-∞,2]∪[3,+∞),结合数轴,可得S∩T=(0,2]∪[3,+∞).故选D.4.A由题意可得0∈A,即f(a)<f(0)=0,所以a(1+a|a|)<0,当a>0时无解,所以a<0,此时1-a2>0,所以-1<a<0.函数f(x)的图象(图略)中x=,x=-之间的距离大于1,而[x+a,x]的区间长度小于1,所以不等式f(x+a)<f(x)的解集是(-,--),所以[-,]⊆(-,--),所以--, --,即--,,解得-<a<,又-1<a<0,所以实数a的取值范围是(-,0).故选A.5.A根据题意,作出函数f(x)的大致图象,如图D 7-1-2所示.图D 7-1-2当x≤1时,若要f(x)≥|+a|恒成立,结合图象,只需x2-x+3≥-(+a),即x2-+3+a≥0,故对于方程x2-+3+a=0,Δ=(-)2-4(3+a)≤0,解得a≥-;当x>1时,若要f(x)≥|+a|恒成立,结合图象,只需x+≥+a,即+≥a.又+≥2,当且仅当=,即x=2时等号成立,所以a≤2.综上,a的取值范围是[-,2].6.(-,+∞)当x>0时,f(x)=2x>1恒成立,当x->0,即x>时,f(x-)=->1,当x-≤0,即0<x≤时,f(x-)=x+>,则不等式f(x)+f(x-)>1恒成立.当x≤0时,f(x)+f(x-)=x+1+x+=2x+>1,所以-<x≤0.综上所述,x的取值范围是(-,+∞).7.(-4,1)-x2-3x+4>0⇒(x+4)(x-1)<0⇒-4<x<1.8.(-,0)由题可得f(x)<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,即)-,),解得-<m<0.A组基础题1.B A={x|-2<x<1},B={x|-1<x<3},所以A∪B={x|-2<x<3},故选B.2.D对于A, 函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以当0<b<a<1时,<恒成立;对于B, 函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以当0<b<a<1时,>恒成立;对于C, 函数y=a x(0<a<1)单调递减,函数y=x a(0<a<1)单调递增,所以当0<b<a<1时,a b>a a>b a恒成立;当a=,b=时,log a b=2,log b a=,log a b>log b a,D选项不成立,故选D.3.D对于A选项,不妨令x=8,y=3,a=5,b=4,显然=<=,A选项错误;对于B选项,不妨令x=π,y=,a=2,b=,此时sin ax=sin 2π=0,sin by=sin =,显然sin ax<sin by,B选项错误;对于C选项,不妨令x=5,y=4,a=3,b=2,此时log a x=log35,log b y=log24=2,显然log a x<log b y,C选项错误;对于D选项,∵a>b>1,x>y>0,∴a x>b x,b x>b y,∴a x>b y,D选项正确.综上,选D.4.C不等式x2-x+m>0在R上恒成立⇔Δ<0,即1-4m<0,∴m>,同时要满足“必要不充分”,在选项中只有“m>0”符合.故选C.5.{x|x>0}由题意知,函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=-x+2,则当x>0时,-x>0,所以f(-x)=x+2,又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x-2,即f(x)=-,, ,,--,,因此不等式f(x)+1<0等价于,-或,或,--,解得x>0.故不等式f(x)+1<0的解集为{x|x>0}.6.(-π,2π)设3α-β=m(α-β)+n(α+β)=(m+n)α+(n-m)β,则,--,解得,因为-<α-β<,0<α+β<π,所以-π<2(α-β)<π,故-π<3α-β<2π.B组提升题7.D由f(x)=x sin x+cos x+x2,可知f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,所以f(ln)=f(-ln x)=f(ln x),所以f(ln x)+f(ln)<2f(1)可变形为f(ln x)<f(1).f'(x)=x cos x+2x=x(2+cos x),因为2+cos x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以f(ln x)<f(1)等价于-1<ln x<1,所以<x<e.故选D.8.≤x≤3∵f(x)=(e x-e-x)x,∴f(-x)=(e-x-e x)(-x)=(e x-e-x)x=f(x),即函数f(x)是偶函数.∵f'(x)=(e x-e-x)+x(e x+e-x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.由f(log3x)+f(x) ≤2f(1),得2f(log3x)≤2f(1),即f(log3x)≤f(1),∴|log3x|≤1,解得≤x≤3.9.[-3-2,0]由f(x)=),,-,知|f(x)|=),,-,,不等式|f(x)|-mx+2≥0恒成立,即|f(x)|≥mx-2恒成立.令g(x)=|f(x)|,h(x)=mx-2,则原不等式恒成立等价于y=h(x)的图象不在y=g(x)图象的上方.h(x)=mx-2是过定点(0,-2)的直线系.如图D 7-1-3,图D 7-1-3l1与x轴平行,l2与曲线y=x2-3x(x≤0)相切,易知直线l1的斜率k1=0,设直线l2的斜率为k2,联立方程,得-,-⇒x2-3x-k2x+2=0,即x2-(3+k2)x+2=0,则Δ=(3+k2)2-4×2=0,故k2=-2-3(2-3舍去),结合图象易知m的取值范围为[-3-2,0].10.(-∞,-2)∪(0,+∞)若x>0,则-x<0,f(-x)=3(-x)2+ln(-)+x)=3x2+ln()=f(x),同理可得,当x<0时,f(-x)=f(x),且x=0时,f(0)=f(0),所以f(x)是偶函数.因为当x>0时,函数f(x)单调递增,所以不等式f(x-1)<f(2x+1)等价于|x-1|<|2x+1|,整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.。

2019年高中数学单元测试试题 不等式专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．（2013年高考北京卷（理））设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是 （ ）A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2．1 ．（2013年高考四川卷（文））若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x=-的最大值为a ,最小值为b ,则a b -的值是 （ ）A ．48B ．30C ．24D ．163．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a(2006江西理)4．不等式0212<---x x 的解集为 . (2009山东理)【解析】:原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥⎧⎨---<⎩或②12221(2)0x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩ 或③12(21)(2)0x x x ⎧≤⎪⎨⎪--+-<⎩不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<.5．设2()f x x ax b =++，且1(1)2,2(1)4f f ≤-≤≤≤，则点(,)a b 在aOb 平面上的区域的面积是--------------------------------------------------------------------------（ ） （A ）12 （B ）1 （C ）2 （D ）926．若|x －2|<a 不等式1|4|2<-x 成立，则函数a 的取值范围为（ ） A.25->a B.250-≤<a C.25-≥a D.以上答案都不对7．不等式(1)(1)0x x +->的解集是----------------------------------（ ） A.{11}x x -<< B.{1}x x < C.{11}x x x <->或 D.{11}x x x <≠-且第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题8．已知实数x y 、满足约束条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则24z x y =+的最大值为 ▲ ．8(江苏省泰州中学2011年3月高三调研）9． 已知1()sin xf x e x =，1()(),2n n f x f x n -'=≥，则()201220090ii f ==∑ .10．已知实数,x y 满足21x y +≥，则2242u x y x y =++-的最小值为 。

2019年高考数学（理）一轮复习精品课时练习课时达标检测（三十一） 不等式的性质及一元二次不等式[小题对点练——点点落实]对点练(一) 不等式的性质1．(2018·安徽合肥质检)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b (a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b ，所以c a <c b 成立，所以②恒成立；a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m >0且a <b 知a ＋m b ＋m －ab>0恒成立，故③恒成立，所以选B. 2．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．ac >bd B ．ac <bd C ．ad <bcD ．ad >bc解析：选B 根据c <d <0，有－c >－d >0，由于a >b >0，故－ac >－bd ，ac <bd ，故选B. 3．已知实数a ，b 满足关系a 2＝b 2－b ＋1，则下列结论正确的是( ) A ．若a <1，b <12，则a >bB ．若a <1，b <12，则a <bC ．若a >1，b >12，则a >bD ．若a >1，b >12，则a <b解析：选D 由题意知，a 2＝b 2－b ＋1＝⎝⎛⎭⎫b －122＋34，对于A ，取a ＝－1，b ＝0，a >b 不成立；对于B ，取a ＝578，b ＝18，a <b 不成立；对于C ，取a ＝3，b ＝2，a >b 不成立；对于D ，若a >1，则b 2－b >0，又b >12，得b >1,1－b <0，所以a 2＝b 2－b ＋1<b 2，则a <b ，故选D.4．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则a ，12，2ab ，a 2＋b 2中最大的数为( )A ．aB ．12C ．2abD ．a 2＋b 2解析：选D 因为0<a <b ，且a ＋b ＝1，所以a <12，a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，2ab ＝2a (1－a )＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，所以a ，12，2ab ，a 2＋b 2中最大的数为a 2＋b 2. 5．(2018·山西康杰中学月考)设a >b >1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ln b >b ln a B ．a ln b <b ln a C ．a e b <b e aD ．a e b >b e a解析：选C 观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln x x ，x >1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln xx 在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．函数y ＝ln xx 在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x ＝a 和x ＝b 处的函数值无法比较大小．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，x >1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2>0，所以函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上单调递增，又因为a >b >1，所以f (a )>f (b )，即e a a >e bb ，所以a e b <b e a ，故选C.6．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是________．解析：设2a －b ＝mf (1)＋nf (－1)＝(m －n )·a ＋(m ＋n )b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2，m ＋n ＝－1，解得m ＝12，n ＝－32，∴2a －b ＝12f (1)－32f (－1)，∵0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，∴0<12f (1)<1，－32<－32f (－1)<32，则－32<2a －b <52.答案：⎝⎛⎭⎫－32，52 7．若a >b >0，给出以下几个不等式： ①b a <b ＋5a ＋5；②lg a ＋b 2<lg a ＋lg b 2； ③a ＋1b >b ＋1a ；④a －b >a －b .其中正确的是________．(请填写所有正确的序号)解析：因为a >b >0，所以b ＋5a ＋5－b a ＝5(a －b )a (a ＋5)>0，①正确；lg a ＋lg b 2＝lg ab <lg a ＋b2，②不正确；因为a＋1b －⎝⎛⎭⎫b＋1a＝a－b＋a－bab>0，所以③正确；(b＋a－b)2＝a＋2b(a－b)>a，所以④不正确．答案：①③对点练(二)一元二次不等式1．(2018·信阳一模)已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝52，则a＝()A．－ 5 B．－3 2C．－ 2 D．－5 2解析：选C关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化简为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a.又x2－x1＝52，所以－5a＝52，所以a＝－ 2.2．设实数a∈(1,2)，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为()A．(3a，a2＋2) B．(a2＋2,3a)C．(3,4) D．(3,6)解析：选B由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵a∈(1,2)，∴3a>a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为(a2＋2,3a)．故选B.3．(2018·河北石家庄二中月考)在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)解析：选B根据定义得x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1，所以实数x的取值范围为(－2,1)，故选B.4．(2018·河南洛阳诊断)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故选A.5．(2018·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是________．解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为k ⎝⎛⎭⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0，等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有3≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.答案：[1,4]6．(2018·辽宁沈阳模拟)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m ＝2时，上式为－4<0，对任意的x ，不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，∴－2<m <2. 综合①②，得m ∈(－2,2]． 答案：(－2,2][大题综合练——迁移贯通]1．(2018·黑龙江虎林一中期中)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， ∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞，－10]．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32. 3．(2018·江西八校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时， 即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。

课时50 不等式的基本性质模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．(2018·吴川一中一模)对于实数a b 、，“()0b b a -≤”是“1ab ≥”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】由;反之不成立.选 C2．(2018•湖北部分重点中学第二次联考，5分)三个数的大小顺序是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，所以3. (2018•湖南衡阳联考，5分)若b<a <0则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D.【答案】C 【解析】由指数函数的单调性知x y )21(=单调递减，又b<a ，所以ab )21()21(>4．(2018•浙江宁波“十校联考” ，5分)已知,的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序正确的是（ ）A ．a b c >>B ．.b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】C5．(2018•四川成都外国语学校考试，5分)把下列各题中的“=”全部改成“<”，结论仍然成立的是（ ）A ．如果,a b c d ==，那么a c b d -=-B ．如果,a b c d ==，那么ac bd =C ．如果,a b c d ==，且0cd ≠，那么a b c d = D ．如果a b =，那么33a b = 【答案】D【解析】不等式没有同向可减性,故A 错;若a=1,b=2,c= -1,d=-2,bd ac >, 故B 错;同理C也错.6．(2018•上海十三校第二次联考，5分)若011<<ba ，有下面四个不等式：① ||||b a >；②b a <；③ab b a <+，④33b a >，不正确的不等式的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】特殊值法令，则①②错误，③④正确.7．(2018•浙江台州调考，5分)已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，那么a －b 的取值范围是__________，a b的取值范围是__________．【答案】－24＜a －b ＜45 13＜a b ＜48. （2018•山东淄博月考，5分）已知1≤a+b ≤4,-1≤a-b ≤2,则4a-2b 的取值范围是_________.【答案】 [-2,10]【解析】 方法一 设u=a+b,v=a-b,∴4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v.∵1≤u ≤4,-1≤v ≤2,∴-3≤3v ≤6.则-2≤u+3v ≤10,即-2≤4a-2b ≤10.方法二 令4a-2b=x(a+b)+y(a-b),∴4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.∴-2≤4a-2b ≤10.9．（2018•浙江嘉兴调研，5分）若实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝5a 2－8a ＋11，b －c ＝a 2－6a ＋9，试比较a 、b 、c 的大小．【规律总结】（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的.10．（2018•辽宁实验中学月考，5分）设f (x )＝1＋lo g x 3，g (x )＝2log x 2，其中x >0，且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．【解析】f (x )－g (x )＝(1＋log x 3)－2log x 2＝log x 3x 4， (1)当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )；[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）11．（5分）已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d b >0(其中a 、b 、c 、d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________个．【答案】3【解析】由ab >0，bc －ad >0.两端同除以ab ，得c a －d b >0.同样由c a －d b>0，ab >0可得bc －ad >0. ⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad >0c a －d b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ bc －ad >0bc －ad ab >0⇒ab >0. 12．（5分）已知实数a 、b 满足等式．给出四个关系式：①01a b <<<；②1b a >>；③a b =；④01a b <<<．其中不可能成立的关系式的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B。