历年高考数学圆锥曲线的中点弦问题的复习知识分享

圆锥曲线中点弦问题题型识别：弦中点，斜率积用点差若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a by a x 上不重合的两点，点）（00,y x M 为AB 的中点，OM AB k k .的值为定值么？ 答题模版第一步：若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a by a x 上不重合的两点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ， 第二步：两式相减得0))(((2212122121=-++-+by y y y a x x x x ））（， 第三步：2121x x y y --是直线AB 的斜率k ，）（2,22121y y x x ++是线段AB 的中点）（00,y x ，化简可得2221212121a b x x y y x x y y -=--⋅++2200ab k x y -=⋅⇒类型1 求中点弦直线斜率或方程典例1：已知椭圆E ：22142x y +=，O 为坐标原点，作斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与AB 的夹角为θ，且tan 22θ=则k =（ ） A ．22±B ．2±C ．22D 2 【答案】A【解析】由题意知0k ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则0122x x x =+，0122y y y =+，将A ，B 两点坐标代入椭圆方程22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22012121222121212012y y y y y y y k x x x x x x x -+-=-=-⨯=--+-，则0012OM y k x k ==-，设直线OM 的倾斜角为α，则1tan α2k=-，设直线AB 的倾斜角为β，则tan k β=，则()()()1tan αtan π2tan tan απ221tan αtan π12k k k kβθββ--+-=+-===---22k =±.对点训练1.已知(2,1)-是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．20x y -=B ．240x y -+=C ．230x y ++=D ．2310x y --=2.已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-3.已知双曲线2213y x -=上存在两点M,N 关于直线y x m =+对称，且MN 的中点在抛物线29y x =上，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．0或4D ．0或-4类型2 求曲线的标准方程典例2：已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B 两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14-，则b 的值是（ ）A ．2B 3C ．32D 2 【答案】D【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2211214x y b +=，222224x y b+=1，两式相减可得14（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0，∵P 为线段AB 的中点，∴2x p ＝x 1+x 2，2y p ＝y 1+y 2，∴1212y y x x --•212124y y b x x +=-+，又1212y y x x -=-k AB ＝2，121214y y x x +=-+∴2124b -=-，即22b =，∴2b =对点训练1.椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜2，则ab的值为（ ） A 2 B 3 C ．22 D ．32.若双曲线的中心为原点，(0,2)F -是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于M ，N两点，且MN 的中点为(3,1)P 则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．2213y x -=3.已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )B ．y 2=4x B ．y 2=−4xC ．x 2=4yD ．y 2=8x类型三 点差法求离心率典例3：已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为（ ）A ．23 B ．33 C ．23 D ．53【答案】D【解析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+-则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，①又2200221x y a b +=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，②联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得5e =．对点训练1.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使012120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ). A ．3] B ．3(0,]4 C ．3D ．3[,1)42.经过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．（2，+∞）3.已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ） A 5 B 51+ C ．2 D 2 综合训练1.已知 m,n,s,t ∈R ∗，m +n =3，m s+nt=1，其中m ，n 是常数且m <n ，若s +t 的最小值是3+2√2，满足条件的点(m,n )是椭圆 x 24+y 216=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A. x −2y +3=0B. 4x −2y −3=0C. x +y −3=0D. 2x +y −4=02.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12- D ．123.已知双曲线22184x y -=上有不共线的三点、、A B C ，且AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，若OD OE OF 、、的斜率之和为-2，则111AB BC ACk k k ++= （ ） A ．-4 B ．23- C ．4 D ．64.若双曲线的中心为原点，()2,0F -是双曲线的焦点，过F 直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MN 的中点为()1,3P ，则双曲线的方程为( )A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．2213y x -=5.椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜2，则m n 的值是( )A ．22B 23C 92D 236.中心为原点，一个焦点为F （2）的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为（ ）A ．222217525x y +=B ．2217525x y +=C ．2212575x y +=D ．222212575x y +=7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14 B ．12 C ．3 D ．1548.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是(2,1)M -，则椭圆的离心率是（ ） A 5B 3C 2D ．12圆锥曲线中点弦问题解析题型识别：弦中点，斜率积用点差若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a by a x 上不重合的两点，点）（00,y x M 为AB 的中点，OM AB k k .的值为定值么？ 答题模版第一步：若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a by a x 上不重合的两点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ， 第二步：两式相减得0))(((2212122121=-++-+by y y y a x x x x ））（， 第三步：2121x x y y --是直线AB 的斜率k ，）（2,22121y y x x ++是线段AB 的中点）（00,y x ，化简可得2221212121a b x x y y x x y y -=--⋅++2200ab k x y -=⋅⇒类型1 求中点弦直线斜率或方程典例1：已知椭圆E ：22142x y +=，O 为坐标原点，作斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与AB 的夹角为θ，且tan 22θ=则k =（ ） A ．22±B ．2±C ．22D 2 【答案】A【解析】由题意知0k ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则0122x x x =+，0122y y y =+，将A ，B 两点坐标代入椭圆方程22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22012121222121212012y y y y y y y k x x x x x x x -+-=-=-⨯=--+-，则0012OM y k x k ==-，设直线OM 的倾斜角为α，则1tan α2k=-，设直线AB 的倾斜角为β，则tan k β=，则()()()1tan αtan π2tan tan απ221tan αtan π12k k k kβθββ--+-=+-===---22k =±.对点训练1.已知(2,1)-是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．20x y -=B ．240x y -+=C ．230x y ++=D ．2310x y --= 【答案】B【解析】设直线和圆锥曲线交点为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，其中点坐标为(2,1)-，当斜率不存在时，显然不成立，设y kx m =+，分别代入圆锥曲线的解析式22111369x y +=，22221369x y +=并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解，得12121212936y y y y x x x x -+=--+，得19236k =--，12k =，所以1(2)12y x =++，即：240x y -+=．2.已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】设直线l 的方程为1y k x b =+，代入双曲线方程2212x y -=，得到2221112102k x bk x b ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，得到11221212k bx x k +=-，设()()111212,,,M x k x b N x k x b ++，则()11212,22k x x x x N b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则21121212b k k x x k =+=+，故1212k k ⋅=，故选A ．3.已知双曲线2213y x -=上存在两点M,N 关于直线y x m =+对称，且MN 的中点在抛物线29y x =上，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．0或4D ．0或-4 【答案】D【解析】∵MN 关于y=x+m 对称∴MN 垂直直线y=x+m ，MN 的斜率﹣1，MN 中点P （x 0，x 0+m ）在y=x+m 上，且在MN 上设直线MN ：y=﹣x+b ，∵P 在MN 上，∴x 0+m=﹣x 0+b ，∴b=2x 0+m由2213y x b y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩﹣消元可得：2x 2+2bx ﹣b 2﹣3=0△=4b 2﹣4×2（﹣b 2﹣3）=12b 2+12＞0恒成立，∴M x +N x =﹣b ，∴x 0=﹣2b ，∴b=2m∴MN 中点P （﹣4m ，34m ）∵MN 的中点在抛物线y 2=9x 上， ∴299164mm =-∴m=0或m=﹣4类型2 求曲线的标准方程典例2：已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B 两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14-，则b 的值是（ ）A ．2B 3C ．32D 2 【答案】D【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2211214x y b +=，222224x y b+=1，两式相减可得14（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0，∵P 为线段AB 的中点，∴2x p ＝x 1+x 2，2y p ＝y 1+y 2，∴1212y y x x --•212124y y b x x +=-+，又1212y y x x -=-k AB ＝2，121214y y x x +=-+∴2124b -=-，即22b =，∴2b =对点训练1.椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜2，则ab的值为（ ） A ．24 B ．36C ．22D ．3【答案】C【解析】设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立22112ax by y x⎧+=⎨=-⎩，得：()24410a b x bx b +-+-=，()()()244414164b a b b a b ab ∆=--+-=+- ．12124414b x x a b b x x a b ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩⇒12224x x b a b +=+，∴()121212*********x x y y x x -++-+-==＝()1241144b a x x a b a b -+=-=++．设M 是线段AB 的中点，∴M （2,44b a a b a b++）．∴直线OM 的斜率为42224aa ab b b a b+==+则22ab=代入①满足△＞0（a ＞0，b ＞0）．2.若双曲线的中心为原点，(0,2)F -是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于M ，N两点，且MN 的中点为(3,1)P 则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．2213y x -=【答案】B【解析】由题意设该双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，1122(,),(,)M x y N x y ，则2211221y x a b -=且2222221y x a b-=，则1212121222()()()()y y y y x x x x a b +-+-=，即1212222()6()y y x x a b --=，则21221261(2)1230y y a x x b ---===--，即223b a =，则2244c a ==，所以221,3a b ==，即该双曲线的方程为2213x y -=.3.已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )B ．y 2=4x B ．y 2=−4xC ．x 2=4yD ．y 2=8x 【答案】A【解析】设抛物线方程为y 2=2px ，直线与抛物线方程联立求得x 2−2px =0，∴x A +x B =2p ，∵x A +x B =2×2=4，∴p=2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x .类型三 点差法求离心率典例3：已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为（ ）A 2B 3C ．23D 5【答案】D【解析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+-则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，①又2200221x y a b +=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，②联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得5e =．对点训练1.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使012120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ). A ．3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．32D ．3[,1)4【答案】C【解析】当P 是椭圆的上下顶点时,12F PF ∠最大，121120180,6090,F PF F PO ∴︒≤∠<︒∴︒≤∠<︒12sin 60sin sin 90,F PF ∴︒≤∠<︒113,,1c F P a F O c a ==≤<则椭圆的离心率e 的取值范围为32⎫⎪⎪⎣⎭.2.经过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．（2，+∞） 【答案】A【解析】已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴3b a ≥e 2222224c a b a a+==≥，∴e ≥2，故选：A3.已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ） A 5 B 51+ C ．2 D 2 【答案】B【解析】设直线1l 的方程为b y x a =，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1212AM bx x ak x x +=-，()12121212MBb b b x x x x a a a k x x x x -+-==--+，22AM BM b k k e a ∴⋅==，即21e e -=，即210e e --=，1e >，解得512e =，故选：B.综合训练1.已知 m,n,s,t ∈R ∗，m +n =3，ms +nt =1，其中m ，n 是常数且m <n ，若s +t 的最小值是3+2√2，满足条件的点(m,n )是椭圆 x 24+y 216=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A. x −2y +3=0B. 4x −2y −3=0C. x +y −3=0D. 2x +y −4=0 【答案】D【解析】因为 m ，n ，s ，t 为正数，m +n =3，ms +nt =1，s +t 的最小值是 3+2√2，所以 (s +t )(ms +nt ) 的最小值是 3+2√2，所以 (s +t )(ms +nt )=m +n +mt s+ns t≥m +n +2√mn ，满足mt s =ns t时取最小值，此时最小值为 m +n +2√mn =3+2√2，得：mn =2，又：m +n =3，所以，m =1，n =2．设以 (1,2) 为中点的弦交椭圆 x 24+y 216=1 于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由中点坐标公式知 x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，把 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)分别代入 4x 2+y 2=16，得 {4x 12+y 12=16,4x 22+y 22=16,两式相减得 2(x 1−x 2)+(y 1−y 2)=0，所以 k =y 2−y 1x 2−x 2=−2．所以此弦所在的直线方程为 y −2=−2(x −1)，即 2x +y −4=0．2.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12- D ．12【答案】C 【解析】由题得2222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.3.已知双曲线22184x y -=上有不共线的三点、、A B C ，且AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，若OD OE OF 、、的斜率之和为-2，则111AB BC ACk k k ++= （ ） A ．-4 B ．23- C ．4 D ．6 【答案】A【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y D x y ，则1201202,2x x x y y y +=+=，2211184x y -=，2222184x y -=，两式相减，得12121212()()()()84x x x x y y y y +-+-=，即0121202y y y x x x -=-，即12OD AB k k =，同理，得112,2OE OF BC AC k k k k ==，所以1112()4OD OE OF AMBC ACk k k k k k ++=++=-. 4.若双曲线的中心为原点，()2,0F -是双曲线的焦点，过F 直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MN 的中点为()1,3P ，则双曲线的方程为( )A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】根据题意，()2,0F -是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为22221x y a b-=，且()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 过焦点F ，则()30112MNK -==--，则有12121y y x x -=-，变形可得1212y y x x -=-，2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，-①②，2222121222x x y y a b--=，又由1212y y x x -=-，且122x x +=，126y y +=，变形可得：223b a =，又由2c =，则224a b +=，解可得：21a =，23b =，则要求双曲线的方程为：2213y x -=.5.椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( )A ．22B 23C ．922D 23【答案】A【解析】设()()1122,,,M x y N x y ，设MN 中点为1212,22x x y y A ++⎛⎫⎪⎝⎭，直线MN 的斜率为1-，直线OA 的斜率为12121212222y y x x x x y y ++==++.由于,M N 在椭圆上，故2211222211mx ny mx ny ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()()222212120m x x n y y -+-=，化简为12121212x x y y m n y y x x +--⋅=+-，即221,2m m n n -=-=. 6.中心为原点，一个焦点为F （2）的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为（ ）A ．222217525x y +=B ．2217525x y +=C ．2212575x y +=D ．222212575x y +=【答案】C【解析】由已知得c ＝2，设椭圆的方程为2222150x ya a +=-，联立得222215032x y a a y x ⎧+=⎪-⎨⎪=-⎩，消去y 得（10a 2－450）x 2－12（a 2－50）x ＋4（a 2－50）－a 2（a 2－50）＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由根与系数关系得x 1＋x 2＝()22125010450a a --，由题意知x 1＋x 2＝1，即()22125010450a a --＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为2212575x y +=.7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14 B ．12 C ．3 D 15 【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以3e =8.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是(2,1)M -，则椭圆的离心率是（ ） A 5B 3C ．22D ．12 【答案】C【解析】显然(2,1)M - 在椭圆内，设直线30x y -+=与椭圆的交点为112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠，由M 是,A B 的中点有：12124,2x x y y +=-+=,将,A B 两点的坐标代入椭圆方程得:2211221x y a b +=, 2222221x y a b+=。

圆锥曲线中点弦 垂直平分线知识讲解一、弦的垂直平分线问题1.垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y 是直线与曲线的两个交点，O 为坐标原点，1）则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，2） 若()00,P x y ,则AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=2.弦中点问题：除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.1）设椭圆或双曲线方程：221x y m n+= 上两点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则0022AB y nk x m∙=-3）掌握抛物线2(0)x my m =≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 连线的斜率公式12AB x x k m+=3.设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 中点为()00,M x y ，将点A B 、坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法 具体有：1）22221(0)x y a b a b +=>>与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有00220x y k a b +=．2）22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有00220x y k a b -=3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.二、中点弦常考题型1.||||PB PA =设1122(,),(,)A x y B x y ,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的,其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+,不要设为y kx b =+,因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222()1x kx m a b ++=,即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.21222221Q km x x b x k a b+==-+22222222222222222111Q Q k m k m m k m mb b a b a y kx m m k k k a b a b a b-++=+=-+==+++ (由Q x 求Q y 分子是可消去的)故中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b -++定点P 设为(,)s t ，则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km x s km k s b b a b s k a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b k km k s b a b-+=---+，2222222211()()km k km k kt s a a b b a b-+=++，22222111())()k km a b -=2.以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y y x y ++== 易知P 点坐标212222221P Q km b x x x x k a b==+=-+ 2212121222222()221P Q k mb y y y y kx m kx m k x x m m k a b ==+=+++=++=-++222222222222222211k m m k m mb a b a k k a b a b -++==++ 注意:①不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ,因为点P 不在直线上. ②由P x 求P y 分子是可消去的. 故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上.则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b-+++= 两边同时乘以22221()k a b+得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+3.弦AB中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m kma b y x k k k a b a b -=-+++ 令0x =,得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b-+ 令0y =,得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+经典例题一．选择题（共3小题）1．（2016秋•菏泽期末）若椭圆mx2+ny2=1与y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点连线的斜率为，则的值等于（）A．B．C．D．2．（2015•黄冈模拟）阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小单元来进行比较．如图，已知抛物线y=x2，直线l：x﹣2y+4=0与抛物线交于A、C两点，弦AC的中点为D，过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy，交抛物线于点B，则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．3．（2015秋•牡丹江校级期中）抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，过线段AB的中点M作直线l的垂线，垂足为N，则的最大值，是（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）4．（2017秋•松山区校级期末）已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：．5．（2016•美兰区校级模拟）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为．6．（2015秋•越城区校级期末）椭圆E：+=1内有一点P（2，1），则经过P 并且以P为中点的弦所在直线方程为．三．解答题（共7小题）7．（2015秋•来宾期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l方程；（Ⅱ）若点B（1，2），直线l过点B且与抛物线C交于P、Q两点，若点B为PQ中点，求直线l的方程．8．（2018•泉州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a ＞b＞0）经过点（2，），离心率为．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过E的左焦点F且斜率不为0的直线l与E相交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC与直线x=﹣4相交于点D，若△ADF为等腰直角三角形，求l 的方程．9．（2015秋•扶余县校级期末）过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．10．（2016•太原三模）已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点．（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|．11．（2015•浦东新区一模）已知直线y=x与抛物线y2=2px（p＞0）交于O，A 两点（F为抛物线的焦点，O为坐标原点），若|AF|=17，求OA的垂直平分线的方程．12．（2015秋•香坊区校级期末）已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，求抛物线的方程．13．（2012•陆丰市校级模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB 垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．。

解析几何专题二：圆锥曲线弦长问题一、知识储备弦长公式||AB =12||AB x ==-= （最常用公式，使用频率最高）= 二、例题讲解1．（2022·辽宁高三开学考试）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长． 【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=1234x x ⋅=，∴||MN ==2．（2022·全国高三专题练习）过双曲线142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求AB 的长. 【答案】（1）e =，渐近线方程为y =；（2）207.【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A xy ，()22,B x y，由韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长． 【详解】解：（1）因为双曲线方程为22142x y -=， 所以2a =，b =则c =所以62cea，渐近线方程为2y x =±. （2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x = 代入双曲线22142x y -=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B x y 所以12x x +=12527x x ⋅=，所以2120|||7AB x x -==. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．3．（2022·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ． 【答案】（1）28y x =；（2【分析】（1）设(),P x y ，求得,,MP OF PF 的坐标，结合12OF MP PF ⋅=，化简、整理，即可求得抛物线的方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，由2AFD BFD S S =△△，求得122y y =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得128y y m +=，128y y =-，进而求得12,,y y m ，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为()2,0F ，()2,3M -，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF x y =--． 由12OF MP PF ⋅=，可得2x +=28y x =，即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△， 易知120y y <，不妨设120,0y y ><，因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，所以122y y =-． ① 设直线AB 的方程为1x my =+，联立281y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，可得128y y m +=，128y y =- ② 由①②联立，解得1214,2,4y y m ==-=，所以124(2)AB y =-=--=． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、实战练习1．（2022·江门市培英高级中学高三模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎭，离心率为12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与1A 不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k +=-，求MN ．【答案】（1）22143x y +=；（2）247 【分析】（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求解,a b 的值，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）根据题意设()()1122,,,M x y N x y ，直线l ：()1,0x my m =+≠，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合11A M A N MN k k k +=-，求出m 的值，再根据弦长公式即可求得MN . 【详解】（1）由题意可得：22222123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：224,3a b ==，∴ 椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； （2）()()211,0,2,0F A -，由题意可设：直线l ：()1,0x my m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2234690m y my ++-=， 则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 1112121,,22A M A N MN y y k k k x x m===++， 11121222A M A N y yx k x k ∴+=+++ ()()()()1221122222y x y x x x +++=++()()()()1221213333y my y my my my +++=++()()2122112122339y y y m y y y my m y ++=+++222229623343496393434mm m m m m m m m --⨯+⨯++=--⨯+⨯+++ m =-，又11A M A N MN k k k +=-， 1m m∴-=-， 解得：21,1m m ==±， 故1212226699,347347m y y y y m m --+==±==-++，247MN =.2．（2022·广东执信中学高三月考）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k=+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N，F 三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN === 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =或y x =-+所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.3．（2022·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线24y x =有公共的焦点F ，1A ，2A 分别为椭圆C 长轴的左、右端点，P 为C 上一动点，且12PAA ∆的最大面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点F ，且与C 交于A ，B 两点，若10||3AB =，求直线l 的方程． 【答案】（1）22143x y +=；（20=． 【分析】（1）利用已知条件可以直接得出焦点F 的坐标，当三角形面积最大时P 为短轴端点，从而解出a ，b 的值即可； （2）利用（1）中求出的点F 的坐标，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求出直线的方程． 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点F 坐标为()1,0∴椭圆C 中的半焦距为1．由椭圆的几何性质可知，当12PA A ∆面积最大时，P 为椭圆短轴端点，不妨令()0,P b ，则221a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）直线l 经过椭圆C 的右焦点，且10||3AB =∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-， 与椭圆C 的方程联立可得()22223484120k xk x k +-+-=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+12||AB x ∴-=()2212110343k k +==+解得k =∴直线l 0=0．【点睛】本题考查椭圆的标准方程、抛物线的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，要求较高的运算求解能力，属于中档题.本题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁是解决解析几何问题的重要方法； （2）计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力.4．（2022·陕西（文））已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）直线:2l y x m =+与E 交于点M ，N ，且MN =m 的值. 【答案】（1）22143x y +=，（2）1m =±.（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=，然后由椭圆的定义可求出答案；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出1212,x x x x +，然后利用MN =出m 的值即可. 【详解】（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=所以动点P 的轨迹E 是以,F C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>所以24,22a c ==，所以2,1,a c b ===所以方程为22143x y += （2）设()()1122,,,M x y N x y联立221432x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得221916+4120x mx m +-= 所以由()22256764120m m ∆=-->得(m ∈2121216412,1919m m x x x x -+=-=因为MN =所以可解得1m =±5．（2022·全国高三专题练习）已知点(A 和B ，动点C到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，记点C 的（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线2y x =-交于两点M ，N ，求线段MN 的长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2）【分析】（1）设(,)C x y ，由于||||2CA CB -=，||AB =，利用双曲线的定义求解即可； （2）直线和双曲线方程联立消y ，利用韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】 （1）设(,)C x y ， 则||||2CA CB -=，所以点C 的轨迹E 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，2||c AB == 则1a =，2222b c a =-=， 所以轨迹E 的方程为2212y x -=；（2）由22122y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩， 得2460x x +-=， 因为0∆>，所以直线与双曲线有两个交点， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则124x x +=-，126x x =-，故MN =所以线段MN 的长度为6．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ． 【答案】（1）22136x y -=；（2【分析】（1)求出,a b ，即可得出双曲线方程；（2）可先求出直线方程为3)y x =-，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出. 【详解】（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b ，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB ==【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.7．（2022·重庆高三模拟预测）已知直线l ：4y kx =+与抛物线C ：2y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足||||AN AM =，求BM 的最小值．【答案】（1）214y x =；（2）【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用0OA OB ⋅=，求得参数即可；（2）设直线BM 的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m ，最后利用弦长公式计算BM ，利用二次函数判断最小值即可. 【详解】解：（1）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得240ax kx --=，2121604k a x x a ⎧∆=+>⎪∴⎨=-⎪⎩， OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即2212120x x ax ax +⋅=，即22212120x x a x x +=，所以22440a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14a =，∴抛物线C 的标准方程为214y x =； （2）由题意知，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，()33,M x y ，由214y xy tx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x m x x t ⎧∆=+>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，由（1）知，1216x x =-，故1123321644x x x x x x m m-===-， 由题意知,,A M N 三点共线，且|AN |＝|AM |，即A 为线段MN 的中点，设()0,N n ， 则3102x x +=，即13142x x m ==，即8m =，22323161680324t x x x x t⎧∆=+⨯>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥， 故20t =时，BM最小为=【点睛】 思路点睛：直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B xy ，所以12AB x =-或12AB y =-，解决相关问题.8．（2022·全国高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =(O 为坐标原点).（1）求C 的方程；（2）若A ，B 是C 上的两个动点，且A ，B 两点的横坐标之和为8，求当AB 取最大值时，直线AB 的方程. 【答案】（1）24yx =；（2）220x ±-=. 【分析】（1）根据题意，列出方程组22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，求得p 的值，即可求得C 的标准方程； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x =时，得到AB 的方程4x =；当12x x ≠时，得到2AB k n =，得到()42nx y n =-+，联立方程组，结合根与系数的关系，得到1212,y y y y +，根据弦长公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，点(),2P t -在()2:20C y px p =>上，且2PF OF =，可得22242pp t pt ⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩，所以C 的标准方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且128x x +=，设AB 中点为(),D m n ，则122x x m +=，122y y n +=， 当12x x =时，:4AB l x =，8AB =； 当12x x ≠时，()212122212121442AB y y y y k x x y y y y n--====--+， 则()2:4AB l y n x n-=-，即()42n x y n =-+，与C 联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=， 由22(2)4(216)0n n ∆=--->，解得216n <，且122y y n +=，212216y y n =-，所以2212416102n n AB y ++-=-==， 当26n =时取“=”，所以AB 的最大值为10，此时AB 的方程为220x -=. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．9．（2022·浙江高三模拟预测）已知直线:4l y kx =+与抛物线2:C y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足AN AM =，求BM 的最小值. 【答案】（1）24x y=；（2）最小值为【分析】（1）联立直线l 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，由已知条件可得出0OA OB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出a 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；（2）设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ，将直线BM 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得1312x x =，代入韦达定理求出m 的值，再利用弦长公式可求得BM 的最小值.【详解】（1）依题意设()11,A x y 、()22,B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得240ax kx --=，所以，212160,4.k a x x a ⎧+>⎪⎨=-⎪⎩OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即22212120x x a x x +=，4160a∴-+=，解得14a =，所以，抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）由题意知，若直线BM 的斜率不存在，则该直线与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意.所以，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ， 由24x y y tx m ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x t x x m⎧+>⎪∴+=⎨⎪=-⎩， 由（1）知1216x x =-，1123231644x x x x x x m m-∴===-①. 由题意知A 、M 、N 三点共线，且A 为线段MN 的中点，设()0,N n ，则3102x x +=，即1312x x =②，由①②得8m =，22323161680432t x x t x x ⎧+⨯>⎪∴+=⎨⎪=-⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥，当且仅当0t =时，等号成立，故BM 的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．10．（2022·全国高三专题练习）如图所示，A ，B 是焦点为F 的抛物线24y x =上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线34x =上.（1）求FA FB +的值； （2）求AB 的最大值. 【答案】（1）72；（2）【分析】（1）由抛物线定义有12FA FB x x p +=++，结合已知条件即可求FA FB +；（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求AB 的最大值. 【详解】（1）由题意知：2p =，抛物线对称轴方程1x =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，12324x x +=，则1272FA FB x x p +=++=； （2）点A 和B 在抛物线24y x =上，有2114y x =，2224y x =，两式相减得：()()()1212124y y y y x x -+=-，令3(,)4M m ，∴12122y y x x m -=-，即2AB k m=， ∴设直线AB 的方程为234y m x m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即23224m m x y =-+，代入抛物线方程得222230y my m -+-=，∴22248121240m m m ∆=-+=->，得203m ≤<，122y y m +=，21223y y m =-∴12AB y =-=∴当20m=时，max AB = 【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.11．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值； （3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M 的坐标，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A ，B 的坐标，由（2）可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数1k ，2k 表示的坐标，代入弦长公式中求||AB的表达式，由参数的范围求出||AB 的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) ∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =． （2）抛物线C 的准线方程为1x =-． 设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=． 其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=． 由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-， 故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k-=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭，所以2y k=，代入抛物线方程得21x k =，所以211(A k ，12)k ，221(B k ，22)k ，||AB=因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k -244t =+，当且仅当0t =时取等号． 当且仅时取等号． 故||AB 的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x -；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.12．（2022·广西河池·高三期末（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且PF =l 的方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF 的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果；（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF 的周长. 【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为1x =-， 设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=，又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==， 解得0m =或4m =（舍去）， 故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ， 点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =，()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++ ()22111123044b b b b b =--++=+=，得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ===()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF 的周长为15+ 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。

第2讲圆锥曲线论之中点问题及应用一、知识点1.中点弦所在直线方程2.有心圆锥垂径定理3.有心圆锥曲线第三定义4.对称问题二、典型例题【题型1 中点弦所在的直线的方程】例1.（1）已知直线l与圆x2+y2=9交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程（2）已知直线l与椭圆x 24+y23=1交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程（3）已知直线l与双曲线x2−y22=1交于A,B两点，且AB的中点为P(2,1),求直线l的方程（4）已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程【题型2有心圆锥曲线垂径定理】例2、（1）已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,√2)在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

（2）已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0), 直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

（3）已知A,B,C是椭圆W:x 24+y2=1上的三个点，O是坐标原点，当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。

（4）已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且过点(√72,34),点P在第一象限，A为左顶点，B为下顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D，若CD∥AB,求点P的坐标。

(5)双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，直线y=kx+m交双曲线C于A,B两点，交双曲线C的渐近线于C,D，求证：|AC|=|BD|(6)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x 24+y23=1交于A,B两点，且AB的中点为M(1,m)(m>0)，证明：k<−12（7）已知双曲线x2−y22=1,过点P(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1,Q2两点，且点P是弦Q1Q2的中点？直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

圆锥曲线专题04 中点弦问题一、用点差法求斜率及常用公式在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常用点差法求斜率，关于点差法求斜率的方法，证明过程如下：直线y km b =+与椭圆2222:1x y C a b+=交于A,B 两点，00(x ,y )M 是弦AB 的中点，求直线AB 的斜率。

【解析】设1122A(x ,y ),B(x ,y )，点A,B 在椭圆上，所以221122x y 1a b +=…………………………………….①222222x y 1a b+=…………………………………….②①-②得：2222121222x x y y 0a b --+= 2121221212(x x )(x x )(y y )(y y )a b -+=--+220220y ..x AB AB OM b b k k k a a=-⇒=-这是一个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，因为方法过程简单但是繁琐，在小题里面可以直接利用结论来求出相关的斜率，常用结论如下：1、斜率为k 的直线l 交椭圆22221x y a b +=于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 的中点为00(x ,y )M ，则22.OMb k k a =-，焦点在y 轴上时有22.OM a k k b=-2、斜率为k 的直线l 交双曲线22221x y a b -=于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 中点为00(x ,y )M ，则22.OMb k k a =，焦点在y 轴上时有22.OM a k k b= 3、斜率为k 的直线l 交抛物线22y px =于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 中点为00(x ,y )M ，则0.OM p k k x =例1：已知双曲线2213x y -=的右焦点是抛物线22(p 0)y px =>的焦点，直线y km b =+与抛物线相交于A,B 两个不同的点，点(2,2)M 是AB 的中点，则AOB ∆的面积是（ ）A B C D例2：如图，椭圆22214x y a +=的焦点为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于点M,N ，交y 轴于点H ，若1F ，H 是线段的三等分点，则2F MN ∆的周长为_______.【解析】2F MN ∆的周长等于4a ，直线MN 斜率必定存在，设其为k ，则:y k(x c)MN =+可得H(0,ck)，1F H 中点坐标为(,)22c ckP -所以2K 2op ckk c ==--根据中点弦结论可知22K .K MN op b a=-则,(0,)b bc k H a a =，因为H 是1F N 的中点，可得2N(c,)bc a将N 点代入椭圆方程中整理可得225a c =，结合b=2解得25a = 故2F MN ∆的周长为二、利用导数法求解中点弦问题探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中又有两个量，能不能减少未知量的个数，利用中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：例：过点(2,1)A 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点12,P P ，若点A 恰好是弦12P P 的中点，求直线l 的方程。

高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？
答：
一·中点弦问题
1.中点弦问题是圆锥曲线中一类典型的问题，是高考命题的热点。

2.中点弦问题即可以考查小题，也可以作为大题出现，常常涉及求直线方程、求直线斜率、求曲线方程、求曲线离心率等知识点。

3.下面以椭圆为例，处理中点弦问题常常有以下三种方法：韦达定理、点差法和椭圆的垂径定理。

二·典例剖析
三·失误提醒
1.值得说明的是，以上各种方法皆体现了“设而不求”的数学思想。

另外，法3其实是法2的结论的变形。

2.在选择、填空题中，三种方法皆可，不过采用椭圆的垂径定理更为快捷。

但是在解答题中，最好使用韦达定理或者点差法，避免因过程不严密而失分。

以上。

圆锥曲线中点弦 垂直平分线知识讲解一、弦的垂直平分线问题1.垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y 是直线与曲线的两个交点，O 为坐标原点，1）则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，2） 若()00,P x y ,则AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=2.弦中点问题：除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.1）设椭圆或双曲线方程：221x y m n+= 上两点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则0022AB y nk x m∙=-3）掌握抛物线2(0)x my m =≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 连线的斜率公式12AB x x k m+=3.设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 中点为()00,M x y ，将点A B 、坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法 具体有：1）22221(0)x y a b a b +=>>与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有00220x y k a b +=．2）22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有00220x y k a b -=3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.二、中点弦常考题型1.||||PB PA =设1122(,),(,)A x y B x y ,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的,其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+,不要设为y kx b =+,因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222()1x kx m a b ++=,即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.21222221Q km x x b x k a b+==-+22222222222222222111Q Q k m k m m k m mb b a b a y kx m m k k k a b a b a b-++=+=-+==+++ (由Q x 求Q y 分子是可消去的)故中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b -++定点P 设为(,)s t ，则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km x s km k s b b a b s k a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b k km k s b a b-+=---+，2222222211()()km k km k kt s a a b b a b-+=++，22222111())()k km a b -=2.以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y y x y ++== 易知P 点坐标212222221P Q km b x x x x k a b==+=-+ 2212121222222()221P Q k mb y y y y kx m kx m k x x m m k a b ==+=+++=++=-++222222222222222211k m m k m mb a b a k k a b a b -++==++ 注意:①不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ,因为点P 不在直线上. ②由P x 求P y 分子是可消去的. 故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上.则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b-+++= 两边同时乘以22221()k a b+得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+3.弦AB中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m kma b y x k k k a b a b -=-+++ 令0x =,得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b-+ 令0y =,得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+经典例题一．选择题（共9小题）1．（2016秋•山西校级月考）过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由椭圆方程，a=，b=1，c=1，则点F为（﹣1，0）．直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x0==﹣，y0=k（x0+1）=，由点M在直线x+2y=0上，知﹣2k2+2k=0，∵k≠0，∴k=1．故选：A．2．（2012秋•海曙区校级期末）已知椭圆x2+2y2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（）A．B．C．D．【解答】解：设弦的两端的端点为（a，b）和（2﹣a，2﹣b）列方程组解得a=1+，b=1﹣或a=1﹣，b=1+两端点的坐标为（1﹣，1+）和（1+，1﹣）弦长为=．故选：C．3．（2013秋•鹿城区校级期中）直线l与双曲线的同一支相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y=2x上，则直线AB的斜率为（）A．4 B．2C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点在直线y=2x上，∴，即y1+y2=2（x1+x2），把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入双曲线，得，∴（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴k===．故选：D．4．（2017秋•东湖区校级期末）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是（）A．x+2y+8=0 B．x+2y﹣8=0C．x﹣2y﹣8=0 D．x﹣2y+8=0【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，将P1、P2两点坐标代入椭圆方程+=1，+=1相减得直线l斜率：k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．故选：B．5．（2018春•屯溪区校级期中）椭圆的一条弦被A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣10=0C．x+2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣2=0【解答】解：设弦的端点坐标为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，代入椭圆方程可得，1①，，①﹣②得，，整理可得=﹣，即，由点斜式可得直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0，经检验符合题意，故选：C．6．（2016秋•福建期末）若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A．2 B．﹣2C．D．【解答】解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则，，两式相减得=0．∵，，．代入上式可得，解得k AB=．故选：D．7．（2016秋•西陵区校级期末）已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．1C．2 D．3【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A，B在双曲线上，∴，，两式作差可得：，即（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），∴，∵线段AB的中点为C（2，1），∴x1+x2=4，y1+y2=2，∴．即直线l的斜率为2．故选：C．8．（2016秋•潮州期末）若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为（）A．2 B．4C．6 D．8【解答】解：因为抛物线为y2=4x，所以p=2设A、B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则，即x1+x2=4，故|AB|=x1+x2+p=4+2=6．故选：C．9．（2016秋•南关区校级期末）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，将A、B坐标代入椭圆方程，得①，②，①﹣②得，，即=﹣，所以此弦所在直线的斜率为﹣．故选：A．二．填空题（共3小题）10．（2014秋•砀山县校级月考）在椭圆+=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为x﹣2y+4=0．【解答】解：设以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A （x1，y1），B（x2，y2），∵点P（﹣2，1）是线段AB的中点，∴，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，得，①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，k==，∴以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为，整理，得x﹣2y+4=0．故答案为：x﹣2y+4=0．11．（2011•天山区校级模拟）设抛物线y2=4x的一条弦AB以，为中点，则该弦所在直线的斜率为2．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）则，两式相减可得，即（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）由P为AB的中点可得y1+y2=2∴==2故答案为：212．（2017秋•历城区校级期中）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为．【解答】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，①，+=1，②．①﹣②得：=﹣．∵点（1，2）是弦的中点∴x1+x2=8，y1+y2=4，∴k==﹣．故答案是﹣．三．解答题（共3小题）13．（2014秋•黄石港区校级期中）求以点（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦所在的直线方程．【解答】解：此弦不垂直于X轴，故设点（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦的两端点为A（x1，y1）B（x2，y2）得到y i2=8x1，y22=8x2两式相减得到（y1+y2）（y1﹣y2）=8（x1﹣x2）∴k==﹣4∴直线方程为y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣3=0．14．（2016秋•麦积区校级期末）已知椭圆+=1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．（1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．【解答】解：（1）直线l的方程为y﹣2=（x﹣4），即为y=x，代入椭圆方程x2+4y2=36，可得x=±3，y=±．即有|AB|==3；（2）由P的坐标，可得+＜1，可得P在椭圆内，设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，①+=1，②由中点坐标公式可得x1+x2=8，y1+y2=4，③由①﹣②可得，+=0，④将③代入④，可得k AB==﹣，则所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣4），即为x+2y﹣8=0．15．（2016•太原三模）已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点．（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|．【解答】解：（I）由题意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，…（2分）∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，…（4分）其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，椭圆方程为：…（5分）（Ⅱ）当直线l 与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1．不满足条件．…（6分）当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x﹣1）由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（﹣1，0）所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，…（8分）由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k≠0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4==2+，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2++2=．…（12分）。

1专题46圆锥曲线中与中点相关的问题知识必备直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，一般有以下三中类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题. 常见结论如下： （1）椭圆x 2a 2y 2b 2=1，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有k OM ⋅k AB =b 2a 2（注意此处a ，b 只和位置相关，与大小无关）.（2）双曲线x 2a 2y 2b 2=1，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有k OM ⋅k AB =b 2a 2（注意此处a ，b 只和位置相关，与前后无关）.（3）抛物线y 2=2px ，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有y M ⋅k AB =p.典型例题考点一弦中点的应用【例题1】直线y =x 1被椭圆x 24y 22=1所截得弦的中点坐标为（ ）A (23，53) B (43，73) C (23，13) D (43，13)【例题2】若椭圆x 236y 29=1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________【例题3】椭圆4x 29y 2=144内有一点P (3，2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为________ 【例题4】已知椭圆x 2a 2y 2b 2=1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x y 5=0，弦的中点坐标是M (4，1)，则椭圆的离心率是________【例题5】椭圆ax 2by 2=1(a >0，b >0，a ≠b )与直线y =12x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为√32，则ab 的值为________【例题6】若直线y =kx 2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |=__________【例题7】已知椭圆E：x 2a2y2b 2=1(a>b >0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆于A ，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为（）A x248y216=1B x236y212=1C x224y28=1D x212y24=1【例题8】双曲线x2y 23=1上两点A，B关于直线y=x1对称，则直线AB方程为（）A y=x B y=x1C y=x1D y=x12【例题9】已知椭圆x 22y2=1上上在在相两两点关于直线y=x t上对称，则实数t上的值值围是是________【例题10】如图，已知椭圆x 22y2=1的左焦点为F，O坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B上两点，线段AB上的垂直平分线与x上轴交于点G上，则点G上横坐标的值值围是为________【例题11】已知双曲线C：x 2a2y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为13上的直线交双曲线于A，B上两点，线段AB上的垂直平分线恰过点F2上，则该双曲线的离心率为（）A√6B√5C√62D√52【例题12】已知椭圆G：x 2a2y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，右焦点为(2√2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交与A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2).（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积.【例题13】已知椭圆E：x 2a2y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c（1）求椭圆E的离心率；（2）如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2=52的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.23【例题14】已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在x 铀上，过点(2，0)的直线交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的最大值为（ ） A√66 B12C√22D 14。

专题03 圆锥曲线中的中点弦问题一、单选题1．已知椭圆22134x y +=的弦被点(1,1)平分，那么这条弦所在的直线方程为（ ）A ．4370x y +-=B ．4370x y --=C ．3410x y +-=D ．3410x y --=【答案】A 【分析】设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解. 【详解】设这条弦与椭圆22134x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y ，由(1,1)在椭圆内，由中点坐标公式知122x x +=，122y y +=，把()11,P x y ，()22,Q x y 代入22134x y +=，可得221122221,341,34x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ， ①-①可得()()1212860x x y y -+-=，121243y y k x x -∴==--，∴这条弦所在的直线方程为()4113y x -=--， 即为4370x y +-=.则所求直线方程为4370x y +-=. 故选：A2．已知椭圆22:143x y C +=，过点()11P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（ ） A ．3- B ．13-C ．34-D ．43-【答案】C 【分析】设出,A B 的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，则2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得2222121243x x y y =---， 所以1212121233234424y y x x x x y y -+=-⨯=-⨯=--+，即直线l 斜率是34-. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.3．直线1y kx =+与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为1，则k =（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．1【答案】C 【分析】代入消元得关于x 一元二次方程，再用韦达定理即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y把1y kx =+代入2214x y +=得()221480k x kx ++=，122814kx x k +=-+，因为AB 中点的横坐标为1， 所以24114k k -=+，解得12k =-. 故选:C 【点睛】用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有交点，可用∆判断.4．已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y ++=【答案】A 【分析】设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，可得出121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，利用点差法可求得直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程. 【详解】设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意. 所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()22121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，所以，直线AB 的斜率为12121242AB y y k x x y y -===-+，因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=.【点睛】本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.5．已知椭圆G ：22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点.若AB的中点坐标为()1,1-，则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【分析】先设()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程，两式作差整理，得到2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到222a b =，根据222a b c =+且3c =，即可求出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，又过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点坐标为()1,1-，所以121222x x y y +=⎧⎨+=-⎩，()12120131AB y y k x x ---==--，即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-，由于222a b c =+且3c =，由此可解得218a =，29b =，故椭圆E 的方程为221189x y +=.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.6．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线26y x =的焦点，A 、B 是抛物线上两个不同的点．若AF BF +5=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【分析】本题先设11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，并判断线段AB 的中点到y 轴的距离为122x x +，再求12x x +，最后求解. 【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为：122x x +， 根据抛物线的定义：12AF BF x x p +=++， 整理得：12532x x AF BF p +=+-=-=， 故线段AB 的中点到y 轴的距离为：1212x x +=， 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义，是基础题.7．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M的坐标为95,77⎛⎫-⎪⎝⎭，则C 的方程为（ ） A ．22195x y +=B ．2215x y +=C ．22162x y +=D ．221106x y +=【答案】A 【分析】设,A B 以及AB 中点M 坐标，利用“点差法”得到,AB MO k k 之间的关系，从而得到22,a b 之间的关系，结合()2,0F 即可求解出椭圆的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-， 又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+， 而12121AB y y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯， 所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==， 椭圆方程为：22195x y +=.故选：A. 【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.8．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为（1，-1），则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设出,A B 两点的坐标，利用点差法求得,a b 的关系式，结合222a b c =+求得22,a b ，进而求得椭圆E 的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-， 即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-,由于222a b c =+且3c =，由此可解得2218,9a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.9．直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A 【分析】利用点差法，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-，即()()()1212124y y y y x x +-=-， 当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k = 故选：A 【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为FF 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．12【答案】C 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.11．已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>，过M 的右焦点(3,0)F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点坐标为(2,1)，则椭圆M 的方程为（ ）A ．22196x y +=B ．2214x y +=C ．221123x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【分析】设,A B 以及AB 中点P 坐标，利用“点差法”得到,AB PO k k 之间的关系，从而得到22,a b 之间的关系，结合()3,0F 即可求解出椭圆的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()2,1P，所以01132ABPF kk -===--， 又2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+， 而12121AB y y k x x -==--，1212211222y y x x +⨯==+⨯，所以2212b a =，又3c =， ①22189a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆方程为：221189x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.12．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（ ）A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=-即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，①22123648(75)02b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ①:32AB y x =-，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =-， 故选：C 【点睛】本题考查了求椭圆的弦中点坐标，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BC ．13D【答案】B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-， 所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =， 即2a b =，所以c e a ===， 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．32C ．12D ．1【答案】C【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-①得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．二、多选题15．已知椭圆C ：22148x y +=内一点M (1，2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）B ．椭圆C的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D．3AB = 【答案】CD【分析】 由椭圆方程22148x y +=可得焦点在y轴上，且2,2a b c ===，即可判断AB ；利用点差法可求出直线斜率，即可得出方程，判断C ；联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长即可判断D.【详解】由椭圆方程22148x y +=可得焦点在y轴上，且2,2a b c ===， ∴椭圆的焦点坐标为()()0,2,0,2--，故A 错误；椭圆C的长轴长为2a =，故B 错误；可知直线l 的斜率存在，设斜率为k ，()()1122,,,A x y B x y ， 则22112222148148x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212048x x x x y y y y -+-++=， ()()121224048x x y y --∴+=，解得12121y y k x x -==--， 则直线l 的方程为()21y x -=--，即30x y +-=，故C 正确； 联立直线与椭圆2230148x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得23610x x -+=， 121212,3x x x x ∴+==，3AB ∴==,故D 正确. 故选：CD.【点睛】易错点睛：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在y 轴上，在做题时容易忽略焦点位置，判断错误.三、填空题16．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩从而12012012412x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨+⎪==-⎪⎩，即1(,1)4M --， 又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212120022112BC y y k x x y y y y -=====--+ 故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x -+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝0【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与弦有关的问题常用点差法：先设出弦的端点坐标，再代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点坐标和弦的斜率的关系. 17．设A ､B 是椭圆22336x y +=上的两点，点(1,3)N 是线段AB 的中点，直线AB 的的方程为__________.【答案】40x y +-=【分析】设出A ，B 点坐标，根据两点在椭圆上，代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，即可化简，求出直线AB 的斜率，再根据斜率和直线上的定点坐标，写出点斜式方程．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22111212121222223363()()()()0336x y x x x x y y y y x y ⎧+=⎪∴-++-+=⎨+=⎪⎩，依题意，1212123(),AB x x x x k y y +≠∴=-+． (1,3)N 是AB 的中点， 122x x ∴+=，126y y +=，从而1AB k =-.所以直线AB 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-=．故答案为：40x y +-=【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与中心弦有关的问题，常用点差法：首先设弦的端点坐标1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，再把点的坐标代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点和直线的斜率的关系式.18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点（4，0）的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 中点坐标为（2，﹣1），则椭圆E 的离心率为_______【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 则2211221x y a b+=，① 2222221x y a b+=，① ①-①可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=， 因为AB 中点坐标为（2，﹣1），则124x x +=，122y y +=-，所以()2122120121422y y b x x a ---===--， 所以224a b =，因为222b a c =-，所以2234a c =，所以2c e a ==.19．已知双曲线方程是2212y x -=，过定点(2,1)P 作直线交双曲线于12,P P 两点，并使P 为12PP 的中点，则此直线方程是__________________．【答案】47y x =-【分析】设111222(,),(,),P x y P x y 得221122222222x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相减化简得直线的斜率，即得直线的方程. 【详解】由题得2222x y -=，设111222(,),(,),P x y P x y所以221122222222x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，由题得12124,2x x y y +=+=，所以12128()2()0x x y y ---=，因为12x x ≠，所以12124y y k x x -==-， 所以直线的方程为14(2),y x -=-即47y x =-.故答案为：47y x =-【点睛】方法点睛：点差法：圆锥曲线里遇到与弦的中点有关的问题，常用点差法.先设弦的端点111222(,),(,),P x y P x y 再代点的坐标到圆锥曲线的方程，再两式相减得到直线的斜率和弦的中点的关系式. 再化简解题.20．已知椭圆E ：221189x y +=过椭圆内部点()1,1C -的直线交椭圆于M ，N 两点，且MC CN =则直线MN 的方程为_____________.【答案】230x y --=【分析】由已知条件得到C 为MN 的中点，利用中点坐标公式得到122x x +=，设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理得到21224412k k x x k++=+即可得出结果. 【详解】由MC CN =，可知C 为MN 的中点，又()1,1C -,不妨设直线MN 的方程为：()11y k x +=-，设点()()1122,,,M x y N x y ，则122x x +=，①将直线MN 的方程代入椭圆的方程消y 得：()22211180x k x +---=⎡⎤⎣⎦， 化简整理得：()()2222124424160k x k k x k k +-+++-=， 由韦达定理得：21224412k k x x k++=+，① 由①①得：12k =， 所以直线MN 的方程为：()1112y x +=-， 即直线MN 的方程为：230x y --=. 故答案为：230x y --=.【点睛】关键点睛：确定C 为MN 的中点以及直线与椭圆的方程联立利用韦达定理求解是解决本题的关键.21．已知双曲线2214x y -=和点()3,1P -，直线l 经过点P 且与双曲线相交于A 、B 两点，当P 恰好为线段AB 的中点时，l 的方程为______．【答案】3450x y +-=【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线l 的方程，进而可得出直线l 的方程.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线l x ⊥轴，则A 、B 两点关于x 轴对称，则点P 在x 轴上，不合乎题意.由于()3,1P -为线段AB 的中点，则12123212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，可得121262x x y y +=⎧⎨+=-⎩， 将点A 、B 的坐标代入双曲线的方程可得221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 上述两式相减得222212124x x y y -=-，可得2212221214y y x x -=-，即1212121214y y y y x x x x -+⋅=-+， 所以，12121134y y x x -⎛⎫⋅-= ⎪-⎝⎭，所以，直线l 的斜率为121234y y x x -=--， 因此，直线l 的方程为()3134y x +=--，即3450x y +-=. 故答案为：3450x y +-=.【点睛】 利用弦的中点求直线的方程，一般利用以下两种方法求解：（1）点差法：设弦的两个端点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，代点作差求得直线的斜率，进而利用点斜式可求得直线的方程；（2）设直线的点斜式方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理求得直线的斜率，进而可求得直线的方程.22．已知抛物线2:4,C x y =AB 为过焦点F 的弦，过,A B 分别作抛物线的切线，两切线交于点P ，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则下列结论正确的有________．①若直线AB 的斜率为-1，则弦8AB =；①若直线AB 的斜率为-1，则02x =；①点P 恒在平行于x 轴的直线1y =-上；①若点(,)M M M x y 是弦AB 的中点，则0M x x =．【答案】①①①【分析】设P A ①方程()1124x x y k x -=-与抛物线方程24x y =联立，利用判别式求出12x k =，可得P A ①方程，同理可得PB ①方程,联立PA 与PB 的方程求出点P 的坐标，可知①正确；①直线AB 的方程为1y tx =+，与抛物线方程24x y =联立，当1t =-时，利用韦达定理求出0x 与0y 可知①错误，①正确；当1t =-时，利用抛物线的定义和韦达定理可得弦长||8AB =，可知①正确．【详解】 设P A 方程()1124x x y k x -=-与抛物线方程24x y =联立得2211440x kx kx x -+-=① 由2211Δ161640k kx x =-+=得12x k =， PA ∴方程为2111()42x x y x x -=-，同理得PB 方程2222()42x x y x x -=-， 联立21112222()42()42x x y x x x x y x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以交点P 1212,24x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1202M x x x x +==，所以①正确； 根据题意直线AB 的斜率必存在①①直线AB 的方程为1y tx =+，联立21040y tx x y --=⎧⎨-=⎩，消去y 并整理得2440x tx --=，由韦达定理得121244x x t x x +=⎧⎨⋅=-⎩①12014x x y ∴==-，所以①正确； 当t =-1时，12022x x x +==-，所以①错误， 当t =-1时，根据抛物线的定义可得1212||(2()2)p AB y y y y p p =+---=-++ ()12121124448x x x x =-+-++=-++=+=，所以①正确．故答案为：①①①【点睛】关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于0，求出切线方程，联立切线方程求出交点P 的坐标是解题关键.23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c，且=c ，若椭圆E 经过,A B 两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为_________.【答案】240x y -+=【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB 的中点M ，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y , 代入椭圆方程可得：2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=①， ①-①得：2212122121()()y y b x x x x a y y -+=--+，由=c 可得22223a b c b -==，即2214b a =， 又AB 的中点M (2,1)-，所以2212122121()11(2)()42ABy y b x x k x x a y y -+==-=-⨯-=-+ 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+， 即240x y -+=. 故答案为：240x y -+= 【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.24．椭圆221164x y +=的弦AB 中点为(1,1)M ，则直线AB 的方程___________【答案】450x y +-= 【分析】设出,A B 的坐标，利用点差法求解出直线AB 的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线AB 的方程，最后转化为一般式方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222416416x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以1212121214x x y y y y x x +--⋅=+-， 又因为1212122122x x y y +=⨯=⎧⎨+=⨯=⎩，所以12121242AB y y k x x --⋅==-，所以1=4AB k -， 所以()1:114AB l y x -=--，即450x y +-=， 故答案为：450x y +-=. 【点睛】思路点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程的思路：（1）可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差； （2）得到中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.25．已知点P (1，2)是直线l 被椭圆22148x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是_____.【答案】30x y +-=【分析】设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线l 的方程可求. 【详解】设直线l 与椭圆交于,A B 两点，()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222148148x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以222212124488x x y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以121212122x x y y y y x x +--⋅=+-，且121222,24P P x x x y y y +==+==，所以12122214l y y k x x -==-⋅=--，所以():21l y x -=--即30x y +-=，故答案为：30x y +-=. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中点弦所在直线方程的求法，难度一般.已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.四、解答题26．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．（1）点P 的坐标为1(1,)3，若MP PN =，求直线l 的方程；（2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围． 【答案】（1）931412y x =-+；（2）[3,0).4-【分析】（1）利用点差法，求直线的斜率，再求直线方程；（2）直线的斜率不存在时，求点,M N 的坐标，得到NBMAk k 的值，以及当斜率存在时，直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系求NBMAk k 的值，并将23MA NB k k -表示为MA k 的二次函数，并求取值范围. 【详解】解：（1）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由题意可得P 为线段MN 的中点，由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，而1(1,)3P ，即有122x x +=，1223y y +=， 则12122()2()049x x y y --+=，可得121294y y x x -=--， 故直线l 的方程为19(1)34y x -=--， 即931412y x =-+； （2）由题意可得(2,0)A -，(2,0)B ，(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2M ，3(1,)2N -，12MA k =，332M NB A k k ==．当直线l 的斜率存在时，则l 的斜率不为0，设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，与椭圆方程223412x y +=联立， 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-=+，所以2121121212112121212(1)(2)2()23·2(1)(2)()2NB MA k y x k x x x x x x x k x y k x x x x x x x +-+++--===----++- 22211222222112224128121822333434343412846()2343434k k k x x k k k k k k x x k k k---+⋅---+++===----+--+++， 所以3NB MA k k =，因为M在第一象限，所以MA k ∈， 所以2221333333()[244MA NB MA MA MA k k k k k -=-=--∈-，0)． 【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题. 27．已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． （①）求圆心M 的轨迹E 的方程；（①）斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．【答案】（①）28y x =；（①）100x y +-=.【分析】（①）由题意得圆心M 到点(2,0)F 等于圆心到直线2x =-的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.（①）求得直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的值，即可求得AB 中点00(,)P x y 的坐标，根据直线l 与直线AB 垂直平分线垂直，可求得直线AB 垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程. 【详解】（①）设动点(,)M x y|2|x =+， 化简得轨迹E 的方程：28y x =；（①）由题意得：直线l 的方程为：2y x =-，由28y x⎨=⎩，得21240x x -+=，2124140∆=-⨯⨯>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y 则121212,4x x x x +==， 所以12062x x x +==，0024y x =-=， 又AB 垂直平分线的斜率为-1，所以AB 垂直平分线方程为100x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,x x x x +的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.28．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求m 的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）5±. 【分析】（1）根据条件解关于,a c 的方程组即可得结果；（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理，可求得中点坐标，代入圆方程解得m 的值. 【详解】（1）由题意，得2221c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，线段EF 的中点为()00,M x y ．联立2212x y ⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，2234220x mx m ++-= 120223x x m x +==-，003m y x m =+=，即2,33m m M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()22443220m m m ∆=-⨯⨯->⇒<又因为点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5m =±，满足题意． 【点睛】关键点睛：本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程，解题的关键是熟悉中点坐标公式，本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，求出中点坐标，再将其代入圆中求解，考查了学生的基本分析转化求解能力，属中档题.30．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点． （1）若l 的方程为21y x =-，求AB ； （2）若弦AB 的中点为()6,1-，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +-=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 【详解】设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x ⎧=⎨=-⎩得24910,0x x -+=∆>，因此121291,44x x x x +==，故||4AB ===． （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，得()2221215y y x x -=-，因为12122y y +=-⨯=-，所以212112552AB y y k x x y y -===--+，因此l 的方程为5(1)(6)2y x --=--，即52280x y +-=． 【点睛】方法点睛：解决中点弦问题常用点差法求解，即将两交点设点代入曲线方程，两式相减利用平方差公式化简，将中点坐标代入即可得出弦所在直线斜率.31．坐标平面内的动圆M 与圆1C 22:(4)1x y ++=外切，与圆222:(4)81C x y -+=内切，设动圆M 的圆心M 的轨迹是曲线E ，直线0l :45400x y -+=. （1）求曲线E 的方程；（2）当点M 在曲线E 上运动时，它到直线0l 的距离最小？最小值距离是多少？（3）一组平行于直线0l 的直线，当它们与曲线E 相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？【答案】（1）221259x y +=；（2）点9(4,)5M -到直线0l的距离最小，；（3）在同一直线，直线为：9200x y +=. 【分析】（1）利用两个圆外切与内切的性质可得12||||10MC MC +=，再利用椭圆的定义即可求得曲线的方程；（2）设与0l 平行的直线l 的方程为450x y m -+=，代入221259x y +=，整理可得222582250x mx m ++-=，当222500360m ∆=-=，直线l 与曲线E 相切，此时点9(4,)5M -到直线0l 的距离最小，利用点到线距离公式求得最小值.（3）设两个交点为1122(,),(,)A x y B x y ，利用点差法化简得12121212925y y x x x x y y -+=-⋅-+，即49525xy=-⋅，整理得9200x y +=. 【详解】解：（1）设动圆M 的半径为r ，由题意可知12||1,||9MC r MC r =+=-，则1212||||10||8MC MC C C +=>=，根据椭圆的定义可知曲线E 是以12,C C 为焦点，长轴长为10的椭圆，其中210,28a c ==，即5,4,3a c b ====所以曲线E 的方程为：221259x y +=.（2）设与0l 平行的直线l 的方程为450x y m -+=，即455m y x =+，代入221259x y +=，可得224925()22555m x x ++=，整理得222582250x mx m ++-=， 22264100(225)2250036m m m ∆=--=-，当0∆=时，此时25m =±直线l 与曲线E 相切，根据图形可知当25m =时，点9(4,)5M -到直线0l的距离最小，min9|4(4)540|41d⨯--⨯+==. （3）这些直线被椭圆所截得的线段的中点在同一条直线上设与0l 平行的直线与曲线E 的两交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，中点(,)N x y ，2211222212591259x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得222212120259x x y y --+=，整理可得：12121212925y y x x x x y y -+=-⋅-+，即49525x y =-⋅，整理得9200x y +=，即所有弦的中点均在直线9200x y +=上.【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，椭圆上点到直线的最近距离，点差法的应用，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．32．已知椭圆22122:1(0x y C a b a b +=>>）的长轴长为8，一条准线方程为x =与椭圆1C 共焦点的双曲线2,C 其离心率是椭圆1C 的离心率的2倍. （1）分别求椭圆1C 和双曲线2C 的标准方程；（2）过点M (4，1)的直线l 与双曲线2,C 交于P ，Q 两点，且M 为线段PQ 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）221169x y +=；22143x y -=；（2）3110x y --= 【分析】（1）根据椭圆的长轴长以及准线方程求出4a =，c =进而求出3b ==，即求椭圆的方程，求出椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，结合与椭圆共焦点即可求出双曲线的标准方程. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用点差法求出直线的斜率即可求解. 【详解】（1）椭圆22122:1(0x y C a b a b+=>>）的长轴长为28a =，则4a =，一条准线方程为x =，则27a c =，解得c =所以3b ==，所以椭圆1C 的标准方程为221169x y +=，离心率14c e a ==设双曲线的标准方程为()2211221110,0x y a b a b -=>>，则222117c a b ==+，1=，解得12a =，所以1b ===所以双曲线2C 的标准方程为22143x y -=. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，22112222143143x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式作差可得()()()()1212121211043x x x x y y y y +--+-=， ()()12121182043x x y y ⨯⨯--⨯⨯-=， 即12123y y x x -=-， 所以直线l 的斜率为3，所以直线l 的方程为()134y x -=-， 即3110x y --=. 【点睛】关键点点睛：根据中点弦求直线方程，关键是利用“点差法”求出直线的斜率，考查了计算求解能力.33．椭圆C：(222212x y m m m+=>，直线l 过点()1,1P ，交椭圆于A ､B 两点，且P 为AB 的中点. （1）求直线l 的方程；（2）若AB OP =，求m 的值. 【答案】（1）230x y +-=；（2）m 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式AB =m 的值.【详解】（1）222113122m m m +=<，(m >，∴点P 在椭圆里面， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则2211222222221212x y m m x y m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得222212122202x x y y m m --+=， 变形为()()()()121212122202x x x x y y y y m m +-+-+=，① 点()1,1P 是线段AB 的中点，12122,2x x y y ∴+=+=，并且有椭圆对称性可知120x x -≠，由①式两边同时除以12x x -，可得，1222122202y y m m x x -+⋅=-， 设直线AB 的斜率为k ，120k ∴+=， 解得：12k =-， 所以直线l 的方程()1112302y x x y -=--⇒+-=； （2）OP ==222212230x y m m x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，22612920y y m -+-=， 可得122y y +=，212926m y y -=，AB ===，且m >解得：m【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.34．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x -=；（2【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为则a =c =而222321b c a =-=-=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x -=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+， ∴12122y y x x --=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN ===【点睛】本题考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.35．已知双曲线2212y x -=. （1）倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M ，N 两点，求MN .（2）过点(2,1)A 的直线l 与此双曲线交于1P ，2P 两点，求线段12PP 中点P 的轨迹方程；（3）过点(1,1)B 能否作直线m ，使m 与此双曲线交于1Q ，2Q 两点，且点B 是线段12Q Q 的中点?这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.【答案】（1）8（2）22240x y x y --+=（3）不存在，理由见解析【分析】（1）直线斜率为1，写出直线方程与双曲线联立，由韦达定理即弦长公式求解；（2）设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，(,)P x y ，则221122x y -=，222222x y -=，两式相减，利用P 是中点及斜率相等可求P 得轨迹方程，从而得到其轨迹；（3）假设直线l 存在．由已知条件利用点差法求出直线l 的方程为210x y --=，联立方程组2222210x y x y ⎧-=⎨--=⎩，得22430x x -+=，由80∆=-<，推导出直线m 不存在． 【详解】（1）由双曲线2212y x -=知，右焦点为，由直线倾斜角45°可知直线斜率为1，所以直线方程为：y x =联立2212y x y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可得250x +-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则0∆>且12x x +=-125x x ⋅=-，所以12||||8MN x x =-==（2）设11(P x ，1)y ，22(Px ，2)y ，(,)P x y ， 则122x x x +=，122y y y +=，221122x y -=，222222x y -=， 12124()2()0x x x y y y ∴---=，∴直线12PP 的斜率12122y y x k x x y-==-， 12AP y k x -=-，A ，P ，1P ，2P 共线， ∴122y x x y -=-， 22240x y x y ∴--+=，即线段12PP 的中点P 的轨迹方程是22240x y x y --+=． （3）假设直线m 存在．设(1,1)B 是弦12Q Q 的中点，且11(Q x ，1)y ，22(Q x ，2)y ，则122x x +=，122y y +=．1Q ，2Q 在双曲线上，∴221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩， 121212122()()()()0x x x x y y y y ∴+---+=，12124()2()x x y y ∴-=-，12122y x y k x -∴==-， ∴直线m 的方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，联立方程组2222210x y x y ⎧-=⎨--=⎩，得22430x x -+= ①1643280∆=-⨯⨯=-<，∴直线m 与双曲线无交点，直线m不存在．【点睛】关键点点睛：在直线与双曲线相交问题中，涉及弦及弦中点的问题，可以采用“点差法”，可以简化运算，降低运算难度.。