中点弦问题(基础知识)

中点弦公式点差法
中点弦公式是指通过连接曲线上两点中点的弦来近似曲线的斜率。

点差法是指对于曲线上的两个点，通过用极限的思想来逼近它们之间的点差（即横坐标之差），从而计算斜率。

中点弦公式的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。

2. 计算这两个点的中点坐标
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。

3. 计算连接这两个点的弦的斜率，即$\frac{y_2-y_1}{x_2-
x_1}$。

点差法的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。

2. 计算这两个点之间的点差（即横坐标之差），即$\Delta
x=x_2-x_1$。

3. 通过极限思想，将点差逐渐缩小为0，即$\Delta x\rightarrow 0$。

4. 计算这两个点之间的斜率的极限值，即$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y_2-y_1}{\Delta x}$。

这个极限值即为这两点之间的切线斜率。

需要注意的是，中点弦公式是一种近似计算方法，只有在两点之间的曲线变化不太剧烈时才适用；而点差法则是一种精确计算方法，可以得到任何两点之间的切线斜率。

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−． 由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−， 故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=， 整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ， 两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=， 即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=． 故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−， 即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−， 又2211222,2y x y x ==， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−， 因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。

每日精选072：圆的中点弦问题
题目：直线与圆相交于两个不同点、,当取不同实数值时，求中点的轨迹方程.
分析
解决与中点弦的有关问题时，有下列三种常见方法：(1)利用根与系数的关系求出中点坐标；
(2)设出弦的两个端点坐标，代入圆的方程得两式，将两式相减，此即为点差法；
(3)利用圆本身的几何性质，即圆心与弦中点的连线与弦垂直.
解法一：消去y，
得 ,
设此方程的两实数根为 , 的中点为 ,
由根与系数的关系和中点坐标公式得
,①
∵点在直线上，∴ ,即.②
将②代入①得 ,
整理得 ,
∴轨迹是圆位于圆内的部分弧.
解法二：∵直线过原点，圆的圆心为 ,如图所示.
设的中点为 ,则 ,
∴点在以为直径的圆周上，
此圆的圆心为 ,半径为，
其方程为 ,
即 .
又∵点在圆的内部，
∴轨迹是圆位于圆内的部分弧.
总结
解法一是一种通法，解法二充分运用圆的几何性质，即圆心与弦中点的连线和弦垂直.圆的几何性质是简化运算的有力工具.
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中点弦介绍中点弦是导入数学中用于数值计算的一种方法。

该方法可以用来计算函数在给定区间上的数值近似解。

中点弦方法基于割线法的思想，通过在函数上选择两个点，构造出一条经过这两个点的割线，并求取该割线与横轴的交点的纵坐标，作为函数在该区间上的近似解。

算法步骤中点弦方法的算法步骤如下：1.选择一个初始区间[a, b]，确保函数在该区间上有一个单根（一个连续且单调递增/递减的区间）。

2.选择初始点x0和x1作为割线的两个点，计算相应的函数值f(x0)和f(x1)。

3.通过线性插值的方法，在割线上选择一个新的点x2，使得x2满足以下条件：–x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))4.通过计算函数在点x2处的函数值f(x2)，判断是否符合终止准则。

如果满足终止准则，将x2作为函数在该区间上的近似解。

否则，继续进行下一步。

5.根据新的割线位置，更新x0和x1的值，并重复步骤3-5，直至满足终止准则为止。

终止准则中点弦方法的终止准则通常有以下两种选择：1.当函数在割线上的两个点之间的距离小于给定的阈值时，认为已找到了函数的近似解。

2.当函数在割线上的某一点的函数值小于给定的阈值时，认为该点即为函数的近似解。

算法特点中点弦方法具有以下特点：•相比于二分法，中点弦方法对函数的导数变化不敏感，因此适用于计算非线性函数的数值解。

•中点弦方法具有较快的收敛速度，尤其适用于具有分段线性特点的函数。

•由于中点弦方法采用割线插值的方式，每次迭代都可以接近函数的近似解，因此可以在较少的迭代次数下达到较高的精度。

示例下面通过一个具体的示例来说明中点弦方法的使用。

假设我们要求解函数f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0在区间[1, 3]上的一个近似解。

首先，选择初始点x0 = 1和x1 = 3。

计算函数在这两个点上的函数值：f(x0) = (1)^3 - 2(1) - 5 = -6f(x1) = (3)^3 - 2(3) - 5 = 14根据割线公式，我们可以计算出新的割线点x2：x2 = x1 - (f(x1)(x1-x0))/(f(x1)-f(x0)) = 3 - (14(3-1))/(14-(-6)) = 3 - (28/20) = 2.6 接着，我们计算函数在x2处的函数值：f(x2) = (2.6)^3 - 2(2.6) - 5 = -0.664由于终止准则并没有满足，我们继续迭代。

[椭圆中点弦]中点弦问题中点弦问题(一)：定义对于给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。

其中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不同两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。

中点弦问题(二)：圆锥曲线中点弦公式抛物线中点弦公式抛物线C：x^2(这里x^2表示x的平方，下同)=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。

中点弦存在的条件：2pβα^2(点P在抛物线开口内)。

椭圆中点弦公式椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。

中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^21(点P在椭圆内)。

双曲线中点弦公式双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。

中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)0(点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内)。

中点弦问题(三)：二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性.不少中数专著或杂志至今还频繁讨论.本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式.引理：设两条不同的二次曲线S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D 四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：(证明略)定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线;又直线L0被S、S1、S2各截得一弦.若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合.证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3).因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH 的中点.注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O.故本定理包括了蝴蝶定理众多情形.定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线.若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等.证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证.注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等.它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭.如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如.定理1还可推广得到更一般的结论.定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数.证不妨取坐标系使确定方向为x轴.于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)：L：a11x+a12y+a13=0L1：b11x+b12y+b13=0L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知：a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13 )=0故a11(x2__0)=λb11(x2__1) (4)即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5)其中α=-λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定.当a11=0时，L∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列).(5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化.推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧.当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合.“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质.。

关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题例1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ，又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ，故所求直线方程为042=-+y x 。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ，两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。

解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。

圆的中点弦问题洋葱数学圆的中点弦问题一直是数学领域中的热门话题，尤其是在洋葱数学这一在线教育平台上，吸引了众多学生和教师的关注。

本文将从五个方面对圆的中点弦问题进行深入剖析，以期帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

首先，我们来了解一下圆的中点弦概念。

在平面几何中，如果两个弦的中点都在圆上，那么这两个弦就被称为圆的中点弦。

这个概念看似简单，但在实际问题中却有着广泛的应用。

接下来，我们分析一下圆的中点弦的性质。

首先，任意一条直径都是两条中点弦；其次，任意一条非直径的中点弦都可以平分另一条直径；最后，圆内任意两点都可以确定一条中点弦。

这些性质为我们解决圆的中点弦问题提供了重要的理论依据。

在了解了圆的中点弦的概念和性质之后，我们来看看如何求解圆的中点弦问题。

一般来说，我们可以通过以下步骤解决：第一步，找到圆的直径；第二步，根据已知条件寻找与直径相交的弦；第三步，利用中点弦性质求解弦的长度或其他相关问题。

在洋葱数学中，圆的中点弦问题常常以例题或习题的形式出现，帮助学生在实践中巩固这一知识点。

例如，题目给出一个圆的半径为5，圆心坐标为（2，3），求与直径相交的弦的长度。

通过运用圆的中点弦知识，我们可以轻松求得弦的长度为10。

最后，我们来谈谈圆的中点弦问题在实际生活中的应用。

事实上，许多建筑、装修和制图等领域的问题都涉及到圆的中点弦知识。

例如，在制作圆形桌面时，我们需要知道圆的直径，以便确定木板的长度和宽度；在设计建筑物的圆形窗户时，我们需要了解窗户的半径，以便计算窗户框的长度和宽度。

总之，圆的中点弦问题不仅是一个有趣的数学话题，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？
答：
一·中点弦问题
1.中点弦问题是圆锥曲线中一类典型的问题，是高考命题的热点。

2.中点弦问题即可以考查小题，也可以作为大题出现，常常涉及求直线方程、求直线斜率、求曲线方程、求曲线离心率等知识点。

3.下面以椭圆为例，处理中点弦问题常常有以下三种方法：韦达定理、点差法和椭圆的垂径定理。

二·典例剖析
三·失误提醒
1.值得说明的是，以上各种方法皆体现了“设而不求”的数学思想。

另外，法3其实是法2的结论的变形。

2.在选择、填空题中，三种方法皆可，不过采用椭圆的垂径定理更为快捷。

但是在解答题中，最好使用韦达定理或者点差法，避免因过程不严密而失分。

以上。

点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。

中点弦问题：例题:已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得： ()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．练习:椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,52212221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,从而b 2=a 2－c 2=4,所以椭圆C 的方程为4922y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.因为A ，B 关于点M 对称.所以.29491822221-=++-=+k k k x x 解得98=k ，所以直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且,1492121=+yx①,1492222=+yx②①-②得.04))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98，所以直线l 的方程为y －1＝98（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.最值例题E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值．解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩ （2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩， 则 5.AF BF +=（3）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((1663t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠=练习：已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP j ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+uu u r uu r uuu r uu u r r .（I）设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角uu v u u v 的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由34sin cos ,sin 34||||,sin ||||2132θθθθt FP OF FP OF ==⋅⋅⋅=由得，得.34tan t=θ…………………………………………………………………3分],0[3tan 1344πθθ∈<<∴<< t ∴夹角θ的取值范围是（3,4ππ）………………………………………………………………6分（2）0000(,),=(,),(,0).P x y FP x c y OF c -=设则2000000(,)(,0)()1)1||||2OFP OF FP x c y c x c c t c x S OF y y c∆∴⋅=-⋅=-==∴==⋅==±…………………………………………………………………………………………8分||OP ∴= 10分∴当且仅当)32,32(,,62||,2,343±===c cc 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33=+=∴ 或)1,2()1,0()32,32(33-=+-=OM …………12分 椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a或2171,2171171)01()22()01()22(222222+=+=∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为1121622=+y x .或12171217922=+++y x …………14分练习：已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；（Ⅲ）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由． 解（Ⅰ）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ，所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为1222=+y x ．（Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2m ax )1()1()(+=-=a f x f ；当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2m ax +==a a f x f ；当1>-a ，即1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2m ax )1()1()(-==a f x f ．所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ．（Ⅲ）当10<<a 时,)22,(2a a P -±,于是)1(22121a a S -=,2222+=a S ,（12分）若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)1(4)1(222+-≥a a a m ， 22222)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 于是641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t t t t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641)]([m ax =a f ，即6412≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值81．定值、定点、例题：已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为D 是AB的中点．（1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ，① 当|PQ |＝3时，求直线l 的方程；② 设点E (m ，0)是x 轴上一点，求当PE uu u v ·QE uu uv 恒为定值时E 点的坐标及定值．解：(1)设D (x ，y )，A (a ，a )，B (b ，－b ),∵ D 是AB 的中点， ∴x ＝2a b+，y ＝2a b -，∵ |AB |＝∴(a －b )2＋(a ＋b )2＝12，∴(2y )2＋(2x )2＝12∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝3.(2) ①当直线l 与x 轴垂直时，P (1，Q (1，此时|PQ |＝当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由于|PQ |＝3，所以圆心C 到直线l，解得k ＝.故直线l 的方程为y ＝(x －1). ②当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)， 由消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－3＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则由韦达定理得x 1＋x 2＝2221k k +，x 1x 2＝2231k k -+，则PE＝(m －x 1，－y 1)，QE ＝(m －x 2，－y 2)，∴PE ·QE ＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－2221mk k +＋2231k k -+＋k 2 (2231k k -+－2221k k +＋1)＝2222(21)31m m k m k --+-+要使上式为定值须22213m m m ---＝1，解得m ＝1，∴PE ·QE 为定值－2，当直线l 的斜率不存在时P (1，Q (1，由E (1，0)可得PE ＝(0，QE ＝(0，∴PE ·QE＝－2，综上所述当E (1，0)时，PE ·QE为定值－2.例题：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上存在一点P 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距 离相等．（I ）求椭圆的离心率e 的取值范围；（II ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）若直线:l y kx m =+与（II ）中所述椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点2A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标．解:（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)P x y ，则|PF |=a ex +，∴a ex +=2a x c-， 整理得：2()()a a c x c a c -=+，而x a ≤，∴2()()a a c a c a c -≤+11e ≤<（II ）3,1a c a c +=-=，3,1,22===∴b c a ，∴椭圆的方程为22143x y +=．（Ⅲ）设2222(,),(,)A x y B x y ，联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=．则22222212221226416(34)(3)0,3408,344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪=-+->+-⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩即 又22221222121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++-+-+=-， ∵椭圆的右顶点为222(2,0),,A AA BA ⊥，2212(2)(2)0,x x y y ∴--+=1212122()40,y y x x x x ∴+-++=2222223(4)4(3)1640,343434m k m mk k k k--∴+++=-++2271640,m mk k ∴++=解得：1222,7k m k m =-=-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾． 当227k m =-时，l 的方程为2()7y k x =-， 直线过定点2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

2014年二轮复习椭圆之中点弦问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455椭圆之中点弦问题高考大纲自检自查必考点圆锥曲线总结：直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

中点弦常考题型（1）1||||PQ ABPB PA PQ AB k k =⇔⊥⇔=-设1122(,),(,)A x y B x y ，注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的，其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+，不要设为y kx b =+，因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222()1x kx m a b ++=，即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.自检自查必考点P QBAOyx21222212Q kmx x b x k a b+==-+ 22222222222222222111Q Q k m k m m k m m b b a b a y kx m m k k k a b a b a b -++=+=-+==+++ （由Q x 求Q y 分子是可消去的）故中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 定点P 设为(,)s t则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km km k x ss b b a b s k a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b km k k s b a b-+=---+ 2222222211()()km k km k kt s a a b b a b -+=++ 22222111()()()k km kt s a b a b -=++（2）以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y yx y ++== 易知P 点坐标212222221P Q km b x x x x k a b ==+=-+1212122()P Q y y y y kx m kx m k x x ==+=+++=++ 222222222222222211k m m k m m b a b a k k a b a b -++==++注意：1.不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ，因为点P 不在直线上. 2.由P x 求P y 分子是可消去的.故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上. 则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b-+++= 两边同时乘以22221()k a b +得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+ 注意：分母不要通分和化简，均采用整体法进行处理. （3）弦AB 的垂直平分线交,x y 轴分别为点,N M中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m km a b y x k k k a b a b-=-+++ 令0x =，得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b -+ 令0y =，得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+【例1】 已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.【例2】 证明在椭圆222210x y a ba b +=（＞＞）中，若直线l 与椭圆相交于M N 、两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.例题精讲【例3】 在直角坐标平面内，已知点(2,0),(2,0)A B -， P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为34-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点1(,0)2作直线l 与轨迹C 交于E F 、两点，线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.【例4】 设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上一动点()00,P x y 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.【例5】 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A B O 、，为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.。

第97课中点弦问题基本方法：直线与圆锥曲线的位置关系常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识，中点弦问题主要涉及点差法和中点坐标公式.常用到的公式：中点坐标公式1202x x x +=.涉及到中点和斜率问题，也可以考虑设而不求法，利用点差法求解.一、典型例题1.已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ，,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值.答案：3m =解析：根据题意，,A B 所在直线的斜率存在，设:AB l y kx n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y kx nx y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx n --=，所以122x x k +=，得()2,M k k n +.又121y y m ++=即1221kx kx n m +++=，得2221k n m ++=（*）.又1MC k k =-，即221k n +-=-，整理得21k n =-，代入（*）式，得3m =.2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为()0,1B ，半焦距为c ，离心率2e =，又直线():0l y kx m k =+≠交椭圆于()11,M x y ，()22,N x y 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1,1k m ==-，求弦MN 的长；（3）若点11,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭恰好平分弦MN ，求实数,k m .答案：（1）2214x y +=；（2）825；（3）12k =-，1m =解析：（1）根据题意222132b c ab c a =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）联立直线方程和椭圆方程:22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2580x x -=，解得0x =或85x =，所以()0,1M -，83,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN =.（3）11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭恰好平分弦MN ，所以121212122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.,M N 在椭圆上，则22112222114x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上下相减得()()()()12121212+++04x x x x y y y y --=，即()()1212+02x x y y --=，则121212y y x x -=--，即12k =-，点Q 在直线上，所以直线()11:122l y x -=--，整理得112y x =-+，所以1m =.综上所述，12k =-，1m =.二、课堂练习1.已知()(2,0),2,0A B -，斜率为k 的直l 上存在不同的两点,M N满足MA MB -=，NA NB -=，且线段MN 的中点为()6,1，求直线的斜率k .答案：2解析：∵04MA MB <-=<，04NA NB <-=<，∴,M N 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，双曲线的方程为2213x y -=.设()()1122,,,M x y N x y ，则221113x y -=，222213x y -=，两式相减得()()()()121212123x x x x y y y y -+=-+，又∵线段MN 的中点为()6,1，∴1212122x x y y +=⎧⎨+=⎩，故有12122y y x x -=-，即2k =.2.已知椭圆C ：22143x y +=，若一组斜率为2的平行线，当它们与椭圆C 相交时，证明：这组平行线被椭圆C 截得的线段的中点在同一条直线上.答案：见解析解析：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，它们的中点坐标为()00,x y .由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得()()()()21212121043x x x x y y y y -+-++=，()()()()21212121043x x y y y y x x +-++=⨯-，由已知21212y y -=-，所以00380x y +=，故直线被椭圆C 截得的线段的中点都在直线380x y +=上.三、课后作业1.已知椭圆22:1164x y C +=，过点()2,1P 作直线l 与该椭圆相交于,A B 两点，若线段AB 恰被点P 所平分，求直线l 的方程．答案：240x y +-=解析：设()()1122,,,A x y B x y ，∴2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()121212120164x x x x y y y y +-+-+=.∵AB 的中点为()2,1P ，∴124x x +=，122y y +=，代入上式得()()1212420164x x y y --+=，则12AB k =-，∴l 的方程为11(2)2y x -=--即为240x y +-=．2.已知抛物线26y x =，过点()2,1P 引一条弦12P P 使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及12PP .答案：350x y --=；21103解析：设直线上任意一点坐标为(),x y ，弦两端点111222(,),(,)P x y P x y ．∵()2,1P 12,P P 在抛物线上，∴2211226,6y x y x ==，两式相减，得121212()((6))y y y y x x +-=-．∵()2,1P 平分12P P ，∴122y y +=，∴12121263y y k x x y y -===-+，∴直线的方程为(12)3y x -=-，即350x y --=.联立26350y x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，得22100y y --=，∴12122,10y y y y +=⋅=-，∴12P P =＝21103.3.已知椭圆22:12x E y +=，设直线:(0)l y x m m =+<与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当点T 到直线l 距离为26时，求直线l 方程和线段AB 长.答案：102x y --=；2113解析：设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得2234220x mx m ++-=.由()()22412220m m ∆=-->，又0m <，得0m <<.又21212422,33m m x x x x -+=-=，设,A B 中点为C ，C 点横坐标122,233C C C x x m m x y x m +==-=+=，即2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭.∴T 点坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，T 到AB的距离6d ==，又0m <，12m ∴=-，即直线l 方程为102x y --=.∴2113AB =.。

高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）设而不求与点差法：⎧x 12y 12⎪2+2=1x 2y 2⎪a b 1a >b >0）第一步：若A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是椭圆2+2=（上不重合的两点，则⎨，22a b ⎪x 2+y 2=1⎪⎩a 2b 2第二步：两式相减得（x 1+x 2）(x 1-x 2）(y 1+y 2)(y 1-y 2)+=0，22a b 第三步：y 1-y 2x +x y +y2（x 0,y 0）是直线AB 的斜率k ，是线段AB 的中点，化简可得（12,1）x 1-x 222y 0y 1+y 2y 1-y 2b 2b 2⋅=-2⇒⋅k =-2，此种方法为点差法。

x 1+x 2x 1-x 2a x 0a x 2y 21a >b >0）若AB 是椭圆2+2=（上不垂直于x 轴的两点，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心，则直线a b b 2AB 与OP 的斜率之积为定值-2a 典型例题：x 2y 2例1.已知双曲线2-2=1(a >0,b >0),F (5,0)为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于A ,B 两a b 点，且AB 的中点M (-2例2.已知抛物线y =4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是（）4580,-)，则该双曲线的方程为 .77A .y =x -1B .y =2x -1C .y =-x +2D .y =-2x +3x 2⎛11⎫+y 2=1，例3.已知椭圆（1）求过点P ，⎪且被P 平分的弦所在直线的方程；2⎝22⎭（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（3）过A (2，（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足kOP⋅kOQ=-求线段PQ 中点M 的轨迹方程．例4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,1，2l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点 ⎛m ⎫,m ⎪,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的⎝3⎭斜率,若不能,说明理由.巩固提升：x 2y 21.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆G :2+2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭a b ，-1),则E 的方程为 ( )圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=14536362727181892.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,F (3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15),则E 的方程为 ( )x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1364563544.已知抛物线y =2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )A.x =1B.x =-1C.x =2D.x =-25.设F 为抛物线C :y =4x 的焦点,过点P (-1,0)的直线l 交抛物线C 于A ,B 22两点,点Q 为线段AB 的中点,若FQ =2,则直线l 的斜率等于．6.已知倾斜角为45︒的直线l 过点A (1,-2)和点B ,B 在第一象限,|AB |=32.（1）求点B 的坐标;x 2F 两点,且线段EF 的中点坐标为(4,1),求a 的值.（2）若直线l 与双曲线C :2-y 2=1(a >0)相交于E 、ax2y2+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)．7．已知斜率为k的直线l与椭圆C：43(1)证明：k<-1；2(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0．证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）参考答案典型例题：x 2y 2例1.【答案】：9-16=1.⎧x 12y 12-=1⎪⎪a 2b 2【解析】解法一：中点弦问题一般采用点差法.c =5，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴⎨两式作差得22⎪x 2-y 2=1⎪⎩a 2b 2y 1+y 2-0(x -x 1)(x -x 2)(y -y 1)(y -y 2)y 1-y 2y 1+y 2b y 1-y 2b 22=,⇒⋅=⇒⋅=a 2b 2x 1-x 2x 1+x 2a 2x 1-x 2x 1+x 2-0a 228080--0-2a 1616b 277即k AB ⋅kOM =2, k AB =k FM ==1,k OM ==,⇒k AB ⋅k OM ==245459b 9a --5-772x 2y 2=1∴a =3,b =4，所以双曲线方程为-916.解法二： kAB=kFM80⎧y =x -5-0⎪消去y ，可得=7=1,设直线AB :y =x -5，⎨x 2y 245⎪2-2=1--5b ⎩a 7-⎧10a 2x 1+x 2=-2⎪10b 2⎪b-a 22222222(b -a )x +10a x -25a -a b =0⇒∆>0,⎨,y 1+y 2=x 1+x 2-10=-22222b -a -25a -a b ⎪x x =12⎪b 2-a 2⎩⎧5a 245-2=-222⎪25a 5b a 459⎪b -a 7所以M (,)⇒⇒==⇒a =3,b =4，⎨222222b -a b -a b 8016⎪-5b =-80⎪7⎩b 2-a 2x 2y 2-=1所以双曲线方程为916例2【答案】B⎧y 12=4x 1,【解析】由题意得：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，都在抛物线上⎨2y =4x 2⎩2y1-y 12=4(x1-x2)⇒2y 1-y 24=2，直线还经过P (1,1)，=x 1-x 2y 1+y2所以直线方程为y =2x -1例3.【解析】：设弦两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点R (x ，y )，则⎧x 12+2y 12=2，⎪22⎪x 2+2y 2=2，⎨⎪x 1+x 2=2x ，⎪y +y =2y ，⎩12①②③④①－②得(x 1+x2)(x1-x 2)+2(y 1+y2)(y1-y 2)=0．由题意知x 1≠x 2，则上式两端同除以x 1-x2，有(x1+x2)2(y1+y2)y 1+y 2=0，x 1-x2将③④代入得x +2y （1）将x =y 1-y2=0．⑤x 1-x2y -y 2111=-，故所求直线方程为：2x +4y -3=0．⑥，y =代入⑤，得1x 1-x 222222将⑥代入椭圆方程x +2y =2得6y 2-6y -所求．（2）将11=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，2x +4y -3=0为44y 1-y2=2代入⑤得所求轨迹方程为：x +4y =0．（椭圆内部分）x 1-x2（3）将y 1-y 2y -122=代入⑤得所求轨迹方程为：x +2y -2x -2y =0．（椭圆内部分）x 1-x 2x -22x 12+x 22+y 12+y 2=2，⑦，将③④平方并整理得（4）由①＋②得：2()22x 12+x 2=4x 2-2x 1x 2，⑧，y 12+y 2=4y 2-2y 1y 2，⑨4x 2-2x 1x2+4y 2-2y 1y 2=2，⑩将⑧⑨代入⑦得：4()y 21⎛1⎫222=1．再将y 1y 2=-x 1x 2代入⑩式得：2x -x 1x 2+4y -2 -x 1x 2⎪=2，即x +12⎝2⎭2此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4.【解析】:（1）点差法：step1：设直线与曲线：设直线l :y =kx +t 与曲线C :9x 2+y 2=m 2(m >0)交于两点A 、B ，AB 中点为P (x 中,y 中)，则有A ,B 既在直线上又在曲线上，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)；222⎧y 1=kx 1+t ⎧⎪9x 1+y 1=m ⋅⋅⋅(1)Step2：代入点坐标：即⎨；⎨222y =kx +t ⎪⎩22⎩9x 2+y 2=m ⋅⋅⋅(2)；Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：kOM⋅k l=-9；⎛-3mk +k 2m 9m -3km ⎫y M m ⎫⎛（2）设l 的斜率为k ，由联立得M .k =-9①，y M -m =k x M -⎪②， 3(k 2+9),k 2+9⎪⎪，x M3⎝⎭⎝⎭⎛-6mk +2k 2m 18m -6km ⎫得P 3(k 2+9),k 2+9⎪⎪，代入椭圆中得：⎝⎭k 4-8k 3+18k 2-72k +81=0，k 2+9k 2-8k +9=0，k =4±7，即存在。

中点弦公式斜率结论
中点弦公式是数学中的基础公式之一，一般应用于解析几何中的
直线问题，其基本思想是通过一条直线的两点，求解出中点对应的直
线的斜率。

中点弦公式的数学表达式为：
斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别表示直线上的两个点，k 表示
直线的斜率。

中点弦公式的原理是基于物理学中的斜率定义，即“斜
率（或坡度）表示垂直方向的变化量与水平方向的变化量之比”。

在应用中点弦公式时，需要遵循一些基本原则：
1. 两点必须在同一直线上，否则计算得出的斜率将无意义。

2. 中点必须在两点之间，不能在两点外部或超过两点的限定范围。

3. 中点弦公式仅计算直线的斜率，不能用于求解直线的方程式或
直线的长度。

中点弦公式具有广泛的应用价值，它可以帮助我们理解直线的性质、斜率的概念以及直线与坐标系之间的关系。

例如，在几何学中，
中点弦公式可以用于证明两条平行线之间距离等于任意一点到两直线
间的距离。

而在物理学中，中点弦公式可以用于计算物体的速度或加
速度，并且可以推导出物理学中的牛顿第二定律公式。

总之，中点弦公式是一种基础的数学工具，对于理解数学、几何和物理的基本概念以及解决实际问题具有重要的意义。

我们要时刻学习和运用这一公式，提高我们的数学素养和解决问题的能力。