黑龙江省大庆实验中学2017届高三仿真模拟数学(文)试题(附答案)$786442

2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（5）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣|x|）}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（﹣1，1）D．（1，2]2．已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2＜3x”，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q3．已知i是虚数单位，若复数，则z2+z+1的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i4．设向量=（2，1），=（0，﹣2）．则与+2垂直的向量可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）5．已知双曲线上有一点M到左焦点F1的距离为18，则点M到右焦点F2的距离是（）A．8 B．28 C．12 D．8或286．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（）A．B．C．20 D．407．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①② C．②③ D．①②③8．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B． C．8 D．169．如图所示是一个算法程序框图，在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值作为x输入，则输出的y的值落在区间[﹣5，3]内的概率为（）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.410．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称且f（﹣）=0，如果存在实数x0，使得对任意的x都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+），则ω的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．811．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆+=1上的一个动点，点A（1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．212．已知函数f（x）=x﹣e x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]∪[e，+∞﹚B．[﹣e，e]C．﹙﹣∞，﹣2﹣]∪[﹣2+，+∞﹚D．[﹣2﹣，﹣2+]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，则m的取值范围是．14．已知实数x，y满足，则的取值范围是．15．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长为．16．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，b2017= ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得．18．已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x 1 2 3 4利润y（单位：百万元） 4 4 6 6相关公式： ==， =﹣x．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD．（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'： =1的一个焦点重合，点A（x0，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．（1）求抛物线C的方程以及|AF|的值；（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若，|BM|2+|BN|2=40，求实数λ的值．21．已知函数f（x）=axe x﹣（a﹣1）（x+1）2（a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7181281…）．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=．（1）求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于不同两点A，B，求tanα的取值范围．[选修4-5]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（5）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣|x|）}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（﹣1，1）D．（1，2]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可．【解答】解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函数y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴C R B=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），则A∩（C R B）=[1，2）．故选B2．已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2＜3x”，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，再判断出复合命题真假即可．【解答】解：命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；是假命题；比如：a=1，b=﹣2，“∃x∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2≤3x”，故命题q：“∃x∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2＜3x”是假命题，故￢p∧￢q是真命题，故选：D．3．已知i是虚数单位，若复数，则z2+z+1的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出z2的值，然后代入z2+z+1计算．【解答】解：∵，∴=，则z2+z+1=．故选：C．4．设向量=（2，1），=（0，﹣2）．则与+2垂直的向量可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】求出+2=（2，﹣3），由此利用向量垂直的性质能求出与+2垂直的向量的可能结果．【解答】解：∵向量=（2，1），=（0，﹣2）．∴+2=（2，﹣3），∵（2，﹣3）•（3，2）=6﹣6=0，∴与+2垂直的向量可以是（3，2）．故选：A．5．已知双曲线上有一点M到左焦点F1的距离为18，则点M到右焦点F2的距离是（）A．8 B．28 C．12 D．8或28【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，可得||MF1|﹣|MF2||=2a=10，解方程可得所求值，检验M在两支的情况即可．【解答】解：双曲线的a=5，b=3，c==，由双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=10，即为|18﹣|MF2||=10，解得|MF2|=8或28．检验若M在左支上，可得|MF1|≥c﹣a=﹣5，成立；若M在右支上，可得|MF1|≥c+a=+5，成立．故选：D．6．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（）A．B．C．20 D．40【考点】8G：等比数列的性质．【分析】根据通项公式列方程组解出首项和公比，再计算a5．【解答】解：设公比为q，则q＞0，由题意得：，解得，∴a5=2×=，故选A．7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①② C．②③ D．①②③【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．8．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B．C．8 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】先求出ab=1，从而求出的最小值即可．【解答】解：由，有ab=1，则，故选：B．9．如图所示是一个算法程序框图，在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值作为x输入，则输出的y的值落在区间[﹣5，3]内的概率为（）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【考点】EF：程序框图．【分析】可得x的取值共21中可能，由程序框图可得x共17个，由概率公式可得．【解答】解：集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机地取一个数值共有21种可能，再由程序框图可知y=，要使y值落在区间[﹣5，3]内，需x=0或或，解得x=0，或x=﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，x=1，2，3，4，5，6，7，8，共17个，∴所求概率P=≈0.8．故选：A．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称且f（﹣）=0，如果存在实数x0，使得对任意的x都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+），则ω的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】HW：三角函数的最值；H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意直线x=是对称轴，对称中心为（﹣，0），根据三角函数的性质可求ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于x=对称且f（﹣）=0，∴ω+φ=kπ+…①，﹣ω+φ=kπ…②，ωx0+φ≤+2kπ且（ωx0+φ）≥﹣+2kπ…③由①②解得ω=4，φ=kπ+，（k∈Z）当k=0时，ω=4，φ=，③成立，满足题意．故得ω的最小值为4．故选B．11．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆+=1上的一个动点，点A（1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（0，﹣1）和B'（0，1）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=4+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=4+|AB'|=5达到最大值，从而得到本题答案．【解答】解：∵椭圆+=1，∴焦点坐标为B（0，﹣1）和B'（0，1），连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=4，可得|PB|=4﹣|PB'|，因此|PA|+|PB|=|PA|+（4﹣|PB'|）=4+（|PA|﹣|PB'|）∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤2a+|AB'|=4+1=5．当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立．综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为5．故选：A．12．已知函数f（x）=x﹣e x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]∪[e，+∞﹚B．[﹣e，e]C．﹙﹣∞，﹣2﹣]∪[﹣2+，+∞﹚D．[﹣2﹣，﹣2+]【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】利用导数求出函数f（x）在[﹣1，1]上的值域，再分类求出g（x）在[﹣1，1]上的值域，把对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立转化为两集合值域间的关系求解．【解答】解：由f（x）=x﹣e x，得f′（x）=1﹣e x，当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，∴f（x）在[﹣1，0）上为增函数，在（0，1]上为减函数，∵f（﹣1）=﹣1﹣，f（0）=﹣1，f（2）=1﹣e．∴f（x）在[﹣1，1]上的值域为[1﹣e，﹣1]；当m＞0时，g（x）=mx+1在[﹣1，1]上为增函数，值域为[1﹣m，1+m]，要使对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则[1﹣e，﹣1]⊆[1﹣m，1+m]，∴，解得m≥e；当m=0时，g（x）的值域为{1}，不合题意；当m＜0时，g（x）=mx+1在[﹣1，1]上为减函数，值域为[1+m，1﹣m]，对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则[1﹣e，﹣1]⊆[1+m，1﹣m]，∴，解得m≤﹣e．综上，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣e]∪[e，+∞﹚．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，则m的取值范围是（2，+∞）．【考点】J7：圆的切线方程．【分析】过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，即为A在圆外，把已知圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r，列出关于m的不等式，同时考虑﹣1大于0，两不等式求出公共解集即可得到m的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+）2+y2=﹣1，所以圆心坐标为（﹣，0），半径r=，由题意可知A在圆外时，过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，所以d＞r即1+m+1＞0，且﹣1＞0，解得：m＞2，则m的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．14．已知实数x，y满足，则的取值范围是[，] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率，联立方程组求得A（3，﹣1），B（3，2），又，．∴的取值范围是[，]．故答案为：[，]．15．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长为 2 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴+h2=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故答案为：2．16．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，b2017= 1 ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由题意可得数列从第三项开始，后一项为前两项的和，再分别除以3得到一个新的数列，该数列的周期为8，即可求出答案．【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…，此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，则{b n}，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，…，其周期为8，故b2017=b227×8+1=b1=1，故答案为：1三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；（2）求得==﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，再解不等式，即可得到所求n的最小值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依a2+a3=8，a5=3a2，有，解得a1=1，d=2，从而{a n}的通项公式为；（2）因为==﹣，所以=．令，解得n＞1008，故n的最小值为1009．18．已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x 1 2 3 4利润y（单位：百万元） 4 4 6 6相关公式：==， =﹣x．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）结合图象读出结论即可；（2）根据图象累加判断结论即可；（3）分别求出对应的系数，的值，代入回归方程即可．【解答】解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．…（2）第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28（百万元），…第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31（百万元），…第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41百万元），…所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．…（3）∵，，1×4+2×4+3×6+4×6=54，∴，…∴，…∴，…当x=8时，（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．…19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD．（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC1两两互相垂直，分别CA、CB、CC1所在直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，结合DC1⊥BD，利用向量垂直的坐标运算求得D的竖坐标，可得D 为AA1的中点；（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直线BC1与平面BDC所成角正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC1两两互相垂直，分别以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，∴D（1，0，h），C1（0，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），∴=（﹣1，0，2﹣h），=（1，﹣1，h），∵DC1⊥BD，∴，得﹣1+h（2﹣h）=0，解得h=1，∴D为AA1的中点；解：（Ⅱ） =（0，﹣1，2），设面BDC的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，﹣1），设直线BC1与平面BDC所成角为θ，则sinθ===．∴直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小为．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'： =1的一个焦点重合，点A（x0，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．（1）求抛物线C的方程以及|AF|的值；（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若，|BM|2+|BN|2=40，求实数λ的值．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）依题意F（1，0），故，则2p=4，可得抛物线C的方程．将A（x0，2）代入抛物线方程，解得x0，即可得|AF|的值（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0，则=（m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16=40，解得λ．【解答】解：（1）依题意，椭圆中，a2=6，b2=5，故c2=a2﹣b2=1，故，则2p=4，可得抛物线C的方程为y2=4x．将A（x0，2）代入y2=4x，解得x0=1，故．（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．所以，①且，又，则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，代入①得，消去y2得，易得B（﹣1，0），则，则===（m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16，当16m4+40m2+16=40，解得，故．21．已知函数f（x）=axe x﹣（a﹣1）（x+1）2（a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7181281…）．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）先求导，再令f'（x）=0得到x=﹣1或ae x﹣2a+2=0（*），根据ae x﹣2a+2=0（*）无解即可求出a的范围．【解答】解：（1）由题知，f（x）=﹣xe x+2（x+1）2，f'（x）=﹣e x﹣xe x+4（x+1）=（x+1）（4﹣e x），由f'（x）=0得到x=﹣1或x=ln4，而当x＜ln4时，（4﹣e x）＞0，x＞ln4时，（4﹣e x）＜0，列表得：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，ln4）ln4 （ln4，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极大值↗极小值↘所以，此时f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），（ln4，+∞），增区间为（﹣1，ln4）；（2）f'（x）=ae x+axe x﹣2（a﹣1）（x+1）=（x+1）（ae x﹣2a+2），由f'（x）=0得到x=﹣1或ae x﹣2a+2=0（*）由于f（x）仅有一个极值点，关于x的方程（*）必无解，①当a=0时，（*）无解，符合题意，②当a≠0时，由（*）得e x=，故由≤0得0＜a≤1，由于这两种情况都有，当x＜﹣1时，f'（x）＜0，于是f（x）为减函数，当x＞﹣1时，f'（x）＞0，于是f（x）为增函数，∴仅x=﹣1为f（x）的极值点，综上可得a的取值范围是[0，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=．（1）求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于不同两点A，B，求tanα的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的普通方程．（2）直线l的参数方程消去参数t，能化为普通方程，代入C的普通方程，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，由此利用根的判别式能求出tanα的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=．∴24=ρ2（7﹣cos2θ+sin2θ），∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的普通方程为24=7（x2+y2）﹣x2+y2，即=1．（2）∵直线l的参数方程是（t为参数），将直线l的参数方程消去参数t，化为普通方程得y=kx+2（其中k=tanα），代入C的普通方程并整理得（4k2+3）x2+16kx+4=0，故△=162k2﹣16（4k2+3）＞0，解得k＜﹣或k＞，∴tanα的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．[选修4-5]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式等价于①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为2，可得 m2﹣m＜2，由此解得实数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．解①求得，解②求得，解③求得，因此不等式的解集为．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，∴m2﹣m＜2，解得﹣1＜m＜2，即实数m的取值范围为（﹣1，2）．。

图2侧视图俯视图正视图4x33x4大庆实验中学最后仿真模拟考试数学试题（文科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知三个集合B A U ,,及元素间的关系如图所示，则B A C U ⋂)(= ( )A.{}6,5B. {}6,5,3C.{}3D.{}8,7,6,5,4,0 2.复数)2)(1(i ai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于( )A.-1B.31 C.21D.1 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为46,9,11n S a a ==若，则9S 等于 （ ）A ．180B ．90C ．72D ．10z4.下列命题中，真命题是( )A.5.1cos sin ,=+∈∃x x R xB.1),,0(+>+∞∈∀x e x xC.1,2-=+∈∃x x R xD.x x x cos sin ),,0(>∈∀π5．已知直线βα平面直线平面⊂⊥m ，l ，有下面四个命题： （1）m l ⊥⇒βα//； （2）m l //⇒⊥βα； （3）βα⊥⇒m l //； （4）βα//⇒⊥m l . 其中正确的命题是（ ）A ．（1）与（2）B ．(1) 与 (3)C ．(2) 与 (4)D ．(3) 与 (4)6．一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为85123π+，则正视图中x 的值为 A. 5 B. 4 C. 3 D. 27.若,15sin 4,15cos 2==b a b a ,的夹角为30，则=⋅b a ( ) A. 32 B.3 C.23D.21 8．某服装加工厂某月生产A 、B 、C 三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别 A B C 产品数量（件） 2300 样本容量（件）230员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是（ ）A ． 80B ． 800C ．90D ．900U 0 4 7 81 5BA9.计算机执行右边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是55,则判断框内应填（ ） A ．n ＜7 B ．n≤7 C ．n≤8 D．n≤910. 已知a 是函数x x f x 21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足（ ）A ．0)(0=x fB ．0)(0>x fC ．0)(0<x fD ．)(0x f 的符号不确定11.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b]上是“亲密函数”，区间[a ，b]称为“亲密区间”．若2)(2++=x x x f 与12)(+=x x g 在[a ，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是A 、[0，2]B 、[0，1]C 、[1，2]D 、[-1，0]12. 函数1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.16356<<-aB. 16358-<<-aC. 16158-<<-aD. 16356-<<-a第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.函数)||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象如图所示， 则ϕ= ．13．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为n m ,，设),(n m a =，则满足5||<a 的概率为____15.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤-2230302||y x y x 所表示的平面区域为S ，若A 、B 为S 内的任意两个点，则|AB |的最大值为16.对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，4，3，1）中的逆序数等于4，若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -中的逆序数为 .三、解答题：（共6题，满分70，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知C B A ,,三点的坐标分别是),0,3(A )3,0(B ，)sin ,(cos θθC ，其中232πθπ<<，且||||BC AC =. （Ⅰ）求角θ的值；（Ⅱ）当20π≤≤x 时，求函数)2sin(2)(θ+=x x f 的最大值和最小值．18. 某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由. 19. （本小题共12分） 如图所示，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，1AC AD AB ===，2BC =，2CE =，F 为BC 的中点． （Ⅰ）求证：//AF 平面；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCE ．ABCED 20. 已知椭圆C 的对称轴为坐标轴，一个焦点为()0,2F -，点()1,2M 在椭圆C 上（Ⅰ）求椭圆C 的谢方程（Ⅱ）已知直线l ：220x y --=与椭圆C 交于,A B 两点，求MAB ∆的面积 （Ⅲ）设P 为椭圆C 上一点，若90PMF ︒∠=，求P 点的坐标21.已知函数()2ln ,f x x a x a R x=++∈ （Ⅰ）若4a =-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围（Ⅲ）记函数()()2'g x x f x =，若()g x 的最小值是6-，求函数()f x 的解析式选做题（本小题满分10分，请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．选修4－1：几何证明选讲如图：四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于点F ，连接CF 并延长CF 交于AB 点E （1）求证：E 是AB 的中点 （2）求线段BF 的长23.选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，第19题直线l 的极坐标方程为cos()04πρθ+=，曲线1C 的参数方程为24cos (1sin 2x y θθθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩是参数） （1）若把曲线1C 上的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，得到曲线2C ， 求曲线2C 在直角坐标系下的方程（2）在第（1）问的条件下，判断曲线2C 与直线l 的位置关系，并说明理由； 24.选修4－5：不等式选讲若关于x 的方程 243x x a a -++-=0有实根 （1）求实数a 的取值集合A（2）若存在a A ∈，使得不等式22120t a t -+<成立，求实数t 的取值范围。

2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（4）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁U M=（）A．[1，2）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（0，1]3．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知sin（）=，则cos（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（）A．B．C．D．6．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．7．等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则下列结论中正确的是（）A． =2 B． =C． =D． =8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．3 B．4 C．5 D．69．用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3，当x=2时，V3的值为（）A．9 B．24 C．71 D．13410．已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax﹣2与平面区域D有公共点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣，]11．给出下列三个结论：①设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位；②若命题p：∃x0∈[1，+∞），，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13．已知，若，则等于．14．在区间（0，1）上随机取两个实数m，n，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为．15．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，则AB的中点P到y轴的距离等于．16．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P在直线l：y=x+3上，若圆C上存在两点A、B使得=3，则点P的横坐标的取值范围是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c．（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值．18．（12分）骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）有骨质疏松症状无骨质疏松症状总计常喝碳酸饮料的同学22 8 30不常喝碳酸饮料的同学8 12 20总计30 20 50（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）记常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学为A，B…G，H，从8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，求A，B至少有一个被抽到的概率．附表及公式．P（k2≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．（1）求证：DE∥平面A1MC；（2）求点B到面MA1C的距离．20．（12分）已知椭圆E ：中，a=b，且椭圆E 上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值；（Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．（10分）已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P为圆O上任意一点．（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为θ=，求|PQ|得长；（2）已知D（2，π），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．若a＞0，b＞0且2ab=a+2b+3．（1）求a+2b的最小值；（2）是否存在a，b使得a2+4b2=17？并说明理由．2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（文科）（4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵z（1+i）=i，∴z（1+i）（1﹣i）=i（1﹣i），∴z=，则复数z所对应的点在第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁U M=（）A．[1，2）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（0，1]【考点】1F：补集及其运算．【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可．【解答】解：U={x|y=}={x|x≥1}，M={y|y=2x，x≥1}={y|y≥2}，则∁U M=[1，2），故选：A．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．3．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于“∃x＞0，使a+x＜b”与“a＜b”成立等价，即可判断出关系．【解答】解：“∃x＞0，使a+x＜b”⇔“a＜b”，∴“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知sin（）=，则cos（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由二倍角公式可得cos（﹣2α），整体利用诱导公式可得cos（2）=﹣cos（﹣2α），代值可得．【解答】解：∵sin（）=，∴cos（﹣2α）=1﹣2sin2（）=，∴cos（2）=cos[π﹣（﹣2α）]=﹣cos（﹣2α）=﹣故选：A【点评】本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和诱导公式，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可计算求值得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值．而S=++…+=（1﹣）+（）+…+（）1﹣=．故选：B．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．7．等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则下列结论中正确的是（）A． =2 B． =C． =D． =【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3•=2，解方程可得．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且=，∴==2，由等差数列的求和公式和性质可得：===3•=2，∴ =故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图，得到几何体为四棱锥，依据图中数据计算体积．【解答】解：由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为 2 的直角梯形，棱锥的高为2，所以体积为=4；故选B．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．9．用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3，当x=2时，V3的值为（）A．9 B．24 C．71 D．134【考点】EL：秦九韶算法．【分析】用秦九韶算法求多项式f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3=（（（（（2x+5）x+6）x+23）x﹣8）x+10）x﹣3，即可得出．【解答】解：用秦九韶算法求多项式f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3=（（（（（2x+5）x+6）x+23）x﹣8）x+10）x﹣3，当x=2时，v0=2，v1=2×2+5=9，v2=9×2+6=24，v3=2×24+23=71．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax﹣2与平面区域D有公共点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣，]【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：画出可行域（如图阴影部分所示），直线y=ax﹣2恒过点A（0，﹣2），则直线与区域D有公共点时满足a≥k AB或a≤k AC．而，，则a≥2或a≤﹣2，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键．11．给出下列三个结论：①设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位；②若命题p：∃x0∈[1，+∞），，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用回归直线方程判断①的正误；命题的否定判断②的正误；直线垂直的充要条件判断③的正误；【解答】解：①设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加1个单位时，y平均减少2.5个单位；所以①不正确；②若命题p：∃x0∈[1，+∞），，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；不满足命题的否定形式；所以②不正确；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；因为a=0，b=0两条直线也垂直，所以③不正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．12．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用．二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13．已知，若，则等于 5 ．【考点】93：向量的模．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出m，再根据向量模的定义即可求出．【解答】解：∵ =（2，1），=（3，m），∴﹣=（﹣1，1﹣m），∵⊥（﹣），∴•（﹣）=﹣2+1﹣m=0，解得，m=﹣1，∴+=（5，0），∴|+|=5，故答案为：5．【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式，向量的模，属于基础题．14．在区间（0，1）上随机取两个实数m，n，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程方程有实数根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解【解答】解：要使方程有实数根，只需满足△=4m﹣8n≥0，即m≥2n，又m，n是从区间（0，1）上随机取两个数，则满足条件的m，n，如图所示，∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为P=；故答案为：【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关15．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，则AB的中点P到y轴的距离等于 4 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】过 A、P、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，如图所示：由PF为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出PF，则PH=PF﹣1 为所求．【解答】解：抛物线y2=4x焦点E（1，0），准线为l：x=﹣1，由于AB的中点为P，过 A、P、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，PF交纵轴于点H，如图所示：则由PF为直角梯形的中位线知，PF====5，∴PH=PF﹣FH=5﹣1=4，故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．16．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P在直线l：y=x+3上，若圆C上存在两点A、B使得=3，则点P的横坐标的取值范围是．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得圆心C（2，0），推导出点P到圆上的点的最小距离应小于或等于半径r=2．设点P的坐标为（m，m+3），则﹣2≤2，由此能求出点P的横坐标的取值范围．【解答】解：由题意可得圆心C（2，0），∵点P在直线l：y=x+3上，圆C上存在两点A、B使得=3，如图，|AB|=2|PB|，|CD|=|CE|=r=2，∴点P到圆上的点的最小距离|PD|应小于或等于半径r=2．设点P的坐标为（m，m+3），则﹣2≤2，化简可得2m2+2m﹣3≤0，解得≤m≤，∴点P的横坐标的取值范围是：故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，判断点P到圆上的点的最小距离应小于或等于半径，是解题的关键，体现了转化的数学思想，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•江西二模）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c．（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）由余弦定理可以得到，而由a+b≥2c即可得出﹣c2的范围，从而得出a2+b2﹣c2的范围，进一步便可得到，从而有，这便说明角C的最大值为；（2）时便可得出△ABC为等边三角形，从而可求得外接圆半径为1，并可求得，从而对两边平方便可得到x2+y2=xy+1≥2xy，这样便可得出xy 的最大值．【解答】解：（1）在△ABC中由余弦定理得，；∵a+b≥2c；∴；∴；∴；∵，当且仅当a=b时取“=”；∴；即；∴；∴角C的最大值为；（2）当角C取最大值时，∵；∴△ABC为等边三角形；∴O为△ABC的中心，如图所示，D为边AB的中点，连接OD，则：OD⊥AB，且；∴OA=1，即外接圆半径为1，且∠AOB=120°；∴；∴对两边平方得，；∴1=x2+y2﹣xy；∴x2+y2=xy+1≥2xy，当且仅当x=y时取“=”；∴xy≤1；∴x•y的最大值为1．【点评】考查余弦定理，不等式的性质，基本不等式及不等式a2+b2≥2ab的运用，以及向量数量积的运算及计算公式，清楚三角形外接圆的概念．18．（12分）（2017•龙凤区校级模拟）骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）有骨质疏松症状无骨质疏松症状总计常喝碳酸饮料的同学22 8 30不常喝碳酸饮料的同学8 12 20总计30 20 50（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）记常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学为A，B…G，H，从8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，求A，B至少有一个被抽到的概率．附表及公式．0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（k2≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BL：独立性检验．【分析】（1）能否据此判断求出观测值K2，判断是否有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关．（2）从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有28种，找出含有病症的数目，然后求解概率．【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值K2=≈5.556＞5.024．所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关．（2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有28种，AB，AC，AD，AE，AF，AG，AHBC，BD，BE，BF，BG，BHCD，CE，CF，CG，CHDE，DF，DG，DHFG，FH，GH其中A，B两人至少有一个被抽到的事件有AB，AC，AD，AE，AF，AG，AHBC，BD，BE，BF，BG，BH 13种，．【点评】本题考查独立检验的应用，古典概型的概率公式的应用，考查计算能力．19．（12分）（2017•龙凤区校级模拟）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．（1）求证：DE∥平面A1MC；（2）求点B到面MA1C的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，连接OM，OE，MD，推出四边形MDEO为平行四边形，得到DE∥MO，即可证明DE∥平面A1MC．（2）说明三角形A1MC是直角三角形，利用，求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，由题意可知O为AC1的中点，连接OM，OE，MD，∵MD，OE分别为△ABC，△ACC1中的AC边上的中位线，∴=， =，∴，∴四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO．又∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，∴DE∥平面A1MC．（2）解：∵M是线段AB的中点，∴点B到面MA1C的距离，就是点A到面MA1C的距离，设为：h；正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AB=4，可得AM=1，MA1==，CM=，A1C==2，可得三角形A1MC是直角三角形，，可得=，解得h=．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•龙凤区校级模拟）已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，椭圆E的方程可化为，通过求解椭圆E上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．（2）直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A （x1，y1），C（x2，y2）．直线l2：y=﹣k（x﹣1）+1．联立消去y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【解答】（1）解：设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，则椭圆E的方程可化为，从而．由于a＞b＞1，则当x=﹣1时，，故椭圆E的标准方程为．（2）证明：由于直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）．易知直线l2：y=﹣k（x﹣1）+1.，由得（1+2k2）x2+4k（1﹣k）x+2（1﹣k）2﹣4=0，由韦达定理有：，，则；同理可得，从而有|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2017•龙凤区校级模拟）已知函数f（x）=e x﹣1﹣．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值；（Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）将x=2代入原函数和导函数，求出切点坐标和切线斜率，得到切线的点斜式方程，将（0，﹣1）代入，可求a的值；（Ⅱ）若证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞），利用导数法求其最值后，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）解由x﹣1≠0得：函数f（x）=e x﹣1﹣的定义域为x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞），f（2）=e2﹣1﹣2a，，∴f'（2）=e2+a，∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线y﹣（e2﹣1﹣2a）=（e2+a）（x﹣2）将（0，﹣1）代入，得﹣1﹣（e2﹣1﹣2a）=﹣2e2﹣2a，解得：证明：（Ⅱ）若证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需证：在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，∵x∈（0，1）∪（1，+∞）时，恒成立，∴只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞）∵g（0）=0恒成立∴只需证：g（x）≥0在[0，+∞）恒成立∵g'（x）=x•e x﹣1﹣a，g''（x）=（x+1）•e x＞0恒成立，∴g'（x）单调递增，∴g'（x）≥g'（0）=﹣1﹣a≥0∴g（x）单调递增，∴g（x）≥g（0）=0∴g（x）≥0在[0，+∞）恒成立即在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上过某点的切线方程，难度中档．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．（10分）（2017•龙凤区校级模拟）已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P为圆O上任意一点．（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为θ=，求|PQ|得长；（2）已知D（2，π），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，即可求出|PQ|；（2）求出A，B，D的直角坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】（1）解：θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，∴|PQ|=2﹣2；（2）证明：由题意，A（﹣，1），B（，1），D（0，﹣2），设P（x，y），则|PA|2+|PB|2+|PD|2=（x+）2+（y﹣1）2+（x﹣）2+（y﹣1）2+x2+（y+2）2=3（x2+y2）+12=24，为定值．【点评】本题考查极坐标方程，考查两点间的距离公式，比较基础．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•龙凤区校级模拟）若a＞0，b＞0且2ab=a+2b+3．（1）求a+2b的最小值；（2）是否存在a，b使得a2+4b2=17？并说明理由．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）利用已知条件用b表示的a，化简所求表达式，利用基本不等式求解最值即可．（2）利用基本不等式求出表达式的最小值，判断是否存在a，b即可．【解答】解：（1）由条件知a（2b﹣1）=2b+3＞0，．所以．≥2当且仅当2b﹣1=2，即，a=3时取等，所以a+2b的最小值为6．（2）因为，当且仅当，a=3时取等，所以a2+4b2≥18，故不存在a，b使得a2+4b2=17．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想，以及计算能力．。

2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≥0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（0，1） B．[0，1） C．（0，2） D．（1，2）2．（5分）下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=lg|x|B．y=|x|+1 C．y=x3 D．y=2﹣|x|3．（5分）已知＜α＜π，2sin2α=cosα，则sin（α+）=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．（5分）若复数z满足z（2+3i）=1+i（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）下列说法错误的是（）A．“m=﹣2”是“直线mx+（m﹣1）y﹣1=0与直线3x+my+2=0垂直”的充分不必要条件B．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a”恒成立的必要不充分条件C．设p，q是两个命题，若￢（p∧q）是假命题，则p，q均为真命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”6．（5分）设函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则z=+的最小值是（）A． B．2 C．2D．27．（5分）已知a＞0，实数x，y满足，若z=3x+y的最小值是2，则a=（）A．B．C．D．18．（5分）等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式x2+（a1﹣）x+c≥0的解集是[0，12]，则使得数列{a n}的前n项和大于零的最大的正整数n的值是（）A．6 B．11或12 C．12 D．12或139．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，，c2成等差数列，则sinB的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）为偶函数，且满足f（x）=f（x+2），f （﹣1）=1，若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n+1，a1=，则f（a5）+f（a6）=（）A．4 B．2 C．1 D．012．（5分）对于函数f（x）若存在常数s，使得对定义域内的每一个x的值，都有f（x）=﹣f（2s﹣x），则称f（x）为“和谐函数”，给出下列函数①f（x）=②f（x）=（x﹣1）2③f（x）=x3+x2+1 ④f（x）=xcosx，其中所有“和谐函数”的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13．（5分）直线cos150°x﹣sin30°y﹣1=0的倾斜角是．14．（5分）已知四面体P﹣ABC，PA⊥面ABC，PA=4，△ABC是边长为3的正三角形，则四面体P﹣ABC外接球的表面积是．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足xf′（x）＞f（x），则不等式（x﹣1）f（x+1）＞f（x2﹣1）的解集是．16．（5分）在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，O为△ABC的内心，若=x+y，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的Q区域面积为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}满足a n+2﹣2a n+1+a n=0（a∈N*），a3=5，其前7项和为42，设数列{b n}是等比数列，b1=a1﹣1，b2=a4（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=1+log3，d n=，求数列{d n}的前n项和T n．18．（12分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2，AD=BG=1．（1）证明：AG∥平面BDE；（2）求AB与平面BDE所成角的正弦值．19．（12分）已知向量=（2cosx，t）（t∈R），=（sinx﹣cosx，1），函数y=f（x）=•，将y=f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象且y=g （x）在区间[0，]内的最大值为．（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，π]，求y=f（x）的单调递增区间．20．（12分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+ax（a为常数），g（x）=x3﹣bx+m （b为常数），若函数f（x）在x=1处的切线斜率为3，x=是g（x）的一个极值点（1）求a，b的值；（2）若存在x∈[﹣4，4]使得f（x）≥g（x）成立，求实数m的取值范围．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且面积为S，满足S=bccosA（1）求cosA的值；（2）若a+c=10，C=2A，求b的值．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣x2+x，g（x）=（m﹣1）x2+2mx﹣1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞0时关于x的不等式f（x）≤g（x）恒成立，求整数m的最小值．2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≥0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（0，1） B．[0，1） C．（0，2） D．（1，2）【解答】解：集合A={x|≥0}={x|0＜x≤2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：A．2．（5分）下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=lg|x|B．y=|x|+1 C．y=x3 D．y=2﹣|x|【解答】解：对于A 是偶函数，但是在（0，+∞）上是增函数；对于B是非奇非偶的函数；对于C，是奇函数；对于D是偶函数，并且在（0，+∞）上单调递减的函数；故选：D．3．（5分）已知＜α＜π，2sin2α=cosα，则sin（α+）=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵＜α＜π，可得：cosα＜0，∴2sin2α=4sinαcosα=cosα，可得：sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴sin（α+）=cosα=﹣．故选：D．4．（5分）若复数z满足z（2+3i）=1+i（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：设z=a+bi，∵复数z满足z（2+3i）=1+i，∴（a+bi）（2+3i）=（2a﹣3b）+（3a+2b）i=1+i，∴，解得a=，b=﹣，∴复数z=在复平面内对应的点（）在第四象限．故选：D．5．（5分）下列说法错误的是（）A．“m=﹣2”是“直线mx+（m﹣1）y﹣1=0与直线3x+my+2=0垂直”的充分不必要条件B．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a”恒成立的必要不充分条件C．设p，q是两个命题，若￢（p∧q）是假命题，则p，q均为真命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”【解答】解：“直线mx+（m﹣1）y﹣1=0与直线3x+my+2=0垂直”⇔“3m+m（m ﹣1）=0”⇔“m=﹣2，或m=0”，故“m=﹣2”是“直线mx+（m﹣1）y﹣1=0与直线3x+my+2=0垂直”的充分不必要条件，故A正确；“|x﹣2|+|x|＞a”⇔“a＜2”，故“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a”恒成立的充分不必要条件，故B错误；设p，q是两个命题，若￢（p∧q）是假命题，则p∧q为真命题，则p，q均为真命题，故C正确；命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D正确；故选：B．6．（5分）设函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则z=+的最小值是（）A． B．2 C．2D．2【解答】解；∵f（x）=|lgx|，0＜a＜b，f（a）=f（b），∴|lgb|=|lga|，而|lgb|=lgb，|lga|=﹣lga，∴lgb=﹣lga，即lgb+lga=0，∴ab=1，∴+=（+）ab=5a+2b，b=，又0＜a＜b，∴5a+2b=5a+≥2=2，当且仅当5a=时“=”成立，故选：C．7．（5分）已知a＞0，实数x，y满足，若z=3x+y的最小值是2，则a=（）A．B．C．D．1【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．即3x+y=2，由，解得C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．8．（5分）等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式x2+（a1﹣）x+c≥0的解集是[0，12]，则使得数列{a n}的前n项和大于零的最大的正整数n的值是（）A．6 B．11或12 C．12 D．12或13【解答】解：∵关于x的不等式x2+（a1﹣）x+c≥0的解集为[0，12]，∴12=，且＜0，即a1=﹣d＞0，则a6=a1+5d=＞0，a7=a1+6d=＜0，故使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是6．故选：A．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的三棱锥，其体积V=×（×4×4）×4=，故选：A．10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，，c2成等差数列，则sinB的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，∵a2，，c2成等差数列，∴=a2+c2，∴cosB==≥，故cosB的最小值为，当且仅当a=c时，等号成立．又0＜B＜π，∴0＜B≤，∵sinB在（0，]单调递增，故sinB的最大值为sin=，故选：D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）为偶函数，且满足f（x）=f（x+2），f （﹣1）=1，若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n+1，a1=，则f（a5）+f（a6）=（）A．4 B．2 C．1 D．0【解答】解：由2S n=a n+1，得2S n﹣1=a n（n≥2），∴2a n=a n+1﹣a n，得a n+1=3a n（n≥2），又由2S n=a n+1，a1=，得a2=1．∴，．由偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），可得函数f（x）的周期为2，∴f（a5）=f（27）=f（﹣1）=1；f（a6）=f（81）=f（1）=f（﹣1）=1，∴f（a5）+f（a6）=1+1=2．故选：B．12．（5分）对于函数f（x）若存在常数s，使得对定义域内的每一个x的值，都有f（x）=﹣f（2s﹣x），则称f（x）为“和谐函数”，给出下列函数①f（x）=②f（x）=（x﹣1）2③f（x）=x3+x2+1 ④f（x）=xcosx，其中所有“和谐函数”的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④【解答】解：对于函数f（x），若存在常数s，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2s﹣x）知，函数f（x）的图象关于（s，0）对称，对于①，f（x）=，函数f（x）的图象关于（﹣1，0）对称，函数为“和谐函数”；对于②，f（x）=（x﹣1）2，函无对称数中心，函数不是“和谐函数”；对于③，f（x）=x3+x2+1，函数f（x）不关于（s，0）中心对称图形，函数不是“和谐函数”；对于④，f（x）=cosx，函数f（x）的图象关于（kπ+，0）对称，函数为“和谐函数”．∴为“和谐函数”的是①④．故选：C．二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13．（5分）直线cos150°x﹣sin30°y﹣1=0的倾斜角是120°．【解答】解：∵直线的斜率是：k=﹣，∴倾斜角是120°，故答案为120°．14．（5分）已知四面体P﹣ABC，PA⊥面ABC，PA=4，△ABC是边长为3的正三角形，则四面体P﹣ABC外接球的表面积是28π．【解答】解：∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴2r=，∴r=，∵PA⊥平面ABC，PA=4，∴四面体P﹣ABC外接球的半径为=∴四面体P﹣ABC外接球的表面积为4π•7=28π．故答案为：28π．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足xf′（x）＞f（x），则不等式（x﹣1）f（x+1）＞f（x2﹣1）的解集是（1，2）．【解答】解：∵由xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，令F（x）=，（x＞0），则F′（x）=，∴F′（x）＞0，∴F（x）为定义域上的增函数，（x﹣1）f（x+1）＞f（x2﹣1），由，解得：x＞1，∴=，即＞，∴F（x+1）＞F（x2﹣1），∴x+1＞x2﹣1，整理得：x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，综上可知：1＜x＜2，故答案为：（1，2）．16．（5分）在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，O为△ABC的内心，若=x+y，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的Q区域面积为12．【解答】解：如图所示，由题意，点P的轨迹所覆盖的区域如图所示，恰好为△ABC面积的2倍，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴△ABC为直角三角形，面积为6，因此点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为12．故答案为：12．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}满足a n+2﹣2a n+1+a n=0（a∈N*），a3=5，其前7项和为42，设数列{b n}是等比数列，b1=a1﹣1，b2=a4（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=1+log3，d n=，求数列{d n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}满足a n+2﹣2a n+1+a n=0（a∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d．∵a3=5，其前7项和为42，∴a1+2d=5，7a1+d=42，解得a1=3，d=1．∴a n=3+（n﹣1）=n+2．设等比数列{b n}的公比为q，∵b1=a1﹣1=2，b2=a4=6，∴q=3．∴b n=2×3n﹣1．（2）c n=1+log3=n，d n===，∴数列{d n}的前n项和T n=+…+=1﹣=．18．（12分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2，AD=BG=1．（1）证明：AG∥平面BDE；（2）求AB与平面BDE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：过G作GF⊥CE交BE于H，连结DH，则四边形BCFG是矩形，∴CF=BG，则F是CE的中点，H是FG的中点，∴HG=BC，HG∥BC，∵AD∥BC，AD=BC，∴AD=HG，AD∥HG，则四边形ADHG是平行四边形，∴AG∥DH，∵DH⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE；（2）解：由题意建立如图所示空间直角坐标系，∵BC=CD=CE=2，AD=BG=1，∴D（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），A（2，1，0），则，，设平面BDE的一个法向量为，由，取z=1，得，∴AB与平面BDE所成角的正弦值sinθ=||=||=．19．（12分）已知向量=（2cosx，t）（t∈R），=（sinx﹣cosx，1），函数y=f（x）=•，将y=f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象且y=g （x）在区间[0，]内的最大值为．（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，π]，求y=f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）=sin2x﹣cos2x+t﹣1=；∴=；时，g（x）取最大值；∴t=1；且f（x）的最小正周期为；（2）；x∈[0，π]时，；∴，或时，即，或时，f（x）单调递增；∴y=f（x）的单调递增区间为，．20．（12分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+ax（a为常数），g（x）=x3﹣bx+m （b为常数），若函数f（x）在x=1处的切线斜率为3，x=是g（x）的一个极值点（1）求a，b的值；（2）若存在x∈[﹣4，4]使得f（x）≥g（x）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+ax，f′（x）=2x+a，若函数f（x）在x=1处的切线斜率为3，则f′（1）=2+a=3，解得：a=1，g（x）=x3﹣bx+m，g′（x）=x2﹣b，若x=是g（x）的一个极值点，则g′（）=2﹣b=0，解得：b=2；（2）由（1）得：f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m，令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=m+，h（4）=m﹣，∵m+＞m﹣，∴m+≤0，即m≤﹣．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且面积为S，满足S=bccosA（1）求cosA的值；（2）若a+c=10，C=2A，求b的值．【解答】解：（1）∵S=bccosA=bcsinA，∴tanA=，∴0＜A＜，∴cosA==，（2）由正弦定理可知，=2cosA=，可得：c=a，∵a+c=10，∴a=4，c=6，∵cosA=，可得：sinA=，∴sinC=sin2A=，cosC=cos2A=，∴sinB=sin（A+C）=，由正弦定理b==5．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣x2+x，g（x）=（m﹣1）x2+2mx﹣1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞0时关于x的不等式f（x）≤g（x）恒成立，求整数m的最小值．【解答】解：（1）f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，所以函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，x＞0，则h′（x）=﹣2mx+1﹣2m=﹣，当m≤0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∵h（1）=ln1﹣m×12+（1﹣2m）+1=﹣3m+2＞0，∴关于x的不等式f（x）≤g（x）恒成立，当m ＞0时，由h′（x ）＞0，得0＜x ＜，由f′（x ）＜0，得x ＞，∴h （x ）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）； ∴h （x ）max =h （）=ln﹣m•（）2+（1﹣2m ）×+1=﹣ln （2m ），令φ（m ）=﹣ln （2m ），∵φ（）=，φ（1）=﹣ln2＜0， 又φ（x ）在（0，+∞）是减函数， ∴当m ≥1时，φ（m ）＜0， 故整数m 的最小值为1．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

黑龙江大庆实验中学2017高三下学期考前得分训练（四）数学(文)试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)i z +=，则复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知{U x y ==，{2,x 1}xM y y ==≥，则∁U M =（ ）A ．(0,1]B ．(0,)+∞C ．[2,)+∞D ． [1,2)3．“0x ∃>，使a x b +<”是“a b <”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知1sin()53πα-=，则3cos(2)5πα+=（ ） A ．79-B ．19- C ．19 D ． 795．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（ ）A ．12016 B ．20152016C ．12015D ．201420156．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．310 B ．710 C ．35 D ．457．等差数列{a }n 的前n 项和为n S ，若12n n S n a +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．232a a = B ．2332a a = C ．2323a a = D ．2313a a =8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．用秦九韶算法计算多项式,当2=x 时，3V 的值为( )A ．9B ．24C ．71D ．13410．已知不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域为D ，若直线2y ax =-与平面区域D有公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．11[,]22- 11．给出下列三个结论：①设回归直线方程为=2 2.5x -，当变量x 增加1个单位时，y 平均增加2个单位；②若命题0:[1,)p x ∃∈+∞，20010x x --<，则￢2:(,1),x 10p x x ∀∈-∞--≥；③已知直线12:310,:10l ax y l x by +-=++=，则12l l ⊥的充要条件是3ab=-； 其中正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数()ln 1f x x =-，2()23g x x x =-++，用mi n {m ,n }表示,m n 中的最小值，设函数(x)min{f(x),g(x)}h =，则函数(x)h 的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题.每小题5分,共20分.13．已知(2,1),(3,m)a b == ，若()a a b ⊥-，则a b + 等于________14．在区间（0，1）上随机取两个实数m ，n ，则关于x的一元二次方程220x n -+=有实数根的概率为________15．过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若10AB =，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于 ．16．已知圆C ：4)2(22=+-y x ，点P 在直线l ：3+=x y 上，若圆C 上存在两点A 、B使得PB PA 3=，则点P 的横坐标的取值范围是三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC 的三个内角,,C A B 所对的边分别为,,a b c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，若满足2a b c +≥．（1）求角C 的最大值；（2）当角C 取最大值时，己知a b ==P 为△ABC 外接圆圆弧上一点，若OP xOA yOB =+，求xy 的最大值．18．骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学 （常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）记常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学为A,B......G,H,从8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，求A ，B 至少有一个被抽到的概率． 附表及公式．22(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)n k -=++++．19．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，,,D E M 分别是线段1,,BC CC AB 的中点，124AA AB ==． （1）求证：DE ∥平面1A MC ； （2）求点B 到面1MAC 的距离20．已知椭圆2222:1(a b 1)x y E a b+=>>中，a =，且椭圆E 上任一点到点1(,0)2P -（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点(1,1)Q 作两条倾斜角互补的直线12,l l （12,l l 不重合）分别交椭圆E 于点,,,A C B D ，求证：QA QC QB QD ⋅=⋅．21．（Ⅰ）若曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线过()0,1-，求a 的值； （Ⅱ）求证：当1a ≤-时，不等式()ln 0f x x ⋅≥在()()0,11,⋃+∞上恒成立．修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆O 和圆C 的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P 为圆O 上任意一点．（1）若射线OP 交圆C 于点Q ，且其方程为θ=，求|PQ |得长；（2）已知D （2，π），若圆O 和圆C 的交点为A ，B ，求证：|PA |2+|PB |2+|PD |2为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．若a ＞0，b ＞0且2ab=a +2b +3． （1）求a +2b 的最小值；（2）是否存在a ，b 使得a 2+4b 2=17？并说明理由．参考答案：ADCAB DCBCC BC13．5 14． 41 15．4 16.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---271271，17.【解答】解：（1）在△ABC中由余弦定理得，；∵a +b ≥2c ；∴；∴；∴；∵，当且仅当a=b 时取“=”；∴；即；∴；∴角C的最大值为； （2）当角C取最大值时，∵； ∴△ABC 为等边三角形；∴O 为△ABC 的中心，如图所示，D 为边AB 的中点，连接OD ，则： OD ⊥AB，且；∴OA=1，即外接圆半径为1，且∠AOB=120°；∴；∴对两边平方得，；∴1=x 2+y 2﹣xy ；∴x 2+y 2=xy +1≥2xy ，当且仅当x=y 时取“=”；∴xy ≤1；∴x •y 的最大值为1．18.【解答】解：（1）由表中数据得K 2的观测值所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关．）（2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有28种，AB,AC,AD,AE,AF,AG ,AH BC,BD,BE,BF,BG,BH CD,CE,CF,CG,CH DE,DF,DG,DH FG,FH, GH其中A,B 两人至少有一个被抽到的事件有AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH BC,BD,BE,BF,BG,BH 13种，2813p19.【解答】证明：（1）如图，连接AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点， 由题意可知O 为AC 1的中点，连接OM ，OE ，MD ， ∵MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1中的AC 边上的中位线，∴，，∴，∴四边形MDEO 为平行四边形，∴DE ∥MO ． 又∵DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， ∴DE ∥平面A 1MC ．17174)2(=d20.【解答】（1）解：设M （x ，y ）为椭圆E 上任一点，由，则椭圆E 的方程可化为，从而．由于a ＞b ＞1，则当x=﹣1时，，故椭圆E 的标准方程为．（2）证明：由于直线l 1，l 2不重合，则直线l 1，l 2的斜率均存在， 设直线l 1：y=k （x ﹣1）+1，点A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）． 易知直线l 2：y=﹣k（x﹣1）+1.， 由得（1+2k 2）x 2+4k （1﹣k ）x +2（1﹣k ）2﹣4=0，由韦达定理有：，，则；同理可得，从而有|QA |•|QC |=|QB |•|QD |． 21．（Ⅰ）定义域为()(),11,x ∈-∞⋃+∞()2212f e a =--,()22f e a '=+∴切线()()()22122y e a e a x ---=+-,将()0,1-代入，得()()0,11,⋃+∞上恒成立,()()0,11,x ∈⋃+∞ 时，()()110x x e ax ---≥在()0,+∞恒成立,设()()()11x g x x e ax =---，[)0,x ∈+∞()00g = 恒成立,只需证：()0g x ≥在[)0,+∞恒成立()1x g x x e a '=⋅--,()()10x g x x e =+⋅'>'恒成立()g x ∴'单调递增，()()010g x g a ≥=--'≥'()g x ∴单调递增，()()00g x g ≥=()0g x ∴≥在[)0,+∞恒成立,在()()0,11,⋃+∞上恒成立．22．【解答】（1）解：θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，∴|PQ |=2﹣2；（2）证明：由题意，A （﹣，1），B （，1），D （0，﹣2），设P （x ，y ），则|PA |2+|PB |2+|PD |2=（x +）2+（y ﹣1）2+（x ﹣）2+（y ﹣1）2+x 2+（y +2）2=3（x 2+y 2）+12=24，为定值．23．【解答】解：（1）由条件知a （2b ﹣1）=2b +3＞0，．所以．≥2当且仅当2b ﹣1=2，即，a=3时取等，所以a +2b 的最小值为6．（2）因为，当且仅当，a=3时取等，所以a 2+4b 2≥18，故不存在a ，b 使得a 2+4b 2=17．。

大庆实验中学实验一部数学(文)得分训练四一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)i z +=，则复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知2{log }U x y x ==，{2,x 1}x M y y ==≥，则∁U M =（ ）A ．(0,1]B ．(0,)+∞C ．[2,)+∞D ． [1,2)3．“0x ∃>，使a x b +<”是“a b <”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1sin()53πα-=，则3cos(2)5πα+=（ ） A ．79- B ．19- C ．19 D ． 795．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（ ） A ．12016 B ．20152016C ．12015D ．201420156．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率 为（ ） A ．310 B ．710 C ．35 D ．457．等差数列{a }n 的前n 项和为n S ，若12n n S n a +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．232a a = B ．2332a a = C ．2323a a = D ．2313a a = 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．69．用秦九韶算法计算多项式,当2=x 时，3V 的值为( )A ．9B ．24C ．71D ．13410．已知不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域为D ，若直线2y ax =-与平面区域D有公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．11[,]22- 11．给出下列三个结论：①设回归直线方程为=2 2.5x -，当变量x 增加1个单位时，y 平均增加2个单位；②若命题0:[1,)p x ∃∈+∞，20010x x --<，则￢2:(,1),x 10p x x ∀∈-∞--≥；③已知直线12:310,:10l ax y l x by +-=++=，则12l l ⊥的充要条件是3ab=-； 其中正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数()ln 1f x x =-，2()23g x x x =-++，用min{m,n}表示,m n 中的最小值，设函数(x)min{f(x),g(x)}h =，则函数(x)h 的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题.每小题5分,共20分.13．已知(2,1),(3,m)a b ==，若()a a b ⊥-，则a b +等于________14．在区间（0，1）上随机取两个实数m ，n ，则关于x 的一元二次方程2220x mx n -+=有实数根的概率为________15．过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若10AB =，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于 ．16．已知圆C ：4)2(22=+-y x ，点P 在直线l ：3+=x y 上，若圆C 上存在两点A 、B使得PB PA 3=，则点P 的横坐标的取值范围是三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC 的三个内角,,C A B 所对的边分别为,,a b c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，若满足2a b c +≥．（1）求角C 的最大值；（2）当角C 取最大值时，己知a b ==P 为△ABC 外接圆圆弧上一点，若OP xOA yOB =+，求xy 的最大值．18．骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学 （常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）记常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学为A,B......G,H,从8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，求A ，B 至少有一个被抽到的概率． 附表及公式．22(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)n k -=++++．19．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，,,D E M 分别是线段1,,BC CC AB 的中点，124AA AB ==．（1）求证：DE ∥平面1A MC ； （2）求点B 到面1MA C 的距离20．已知椭圆2222:1(a b 1)x y E a b+=>>中，2a b =，且椭圆E 上任一点到点1(,0)2P -的最小距离为7． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点(1,1)Q 作两条倾斜角互补的直线12,l l （12,l l 不重合）分别交椭圆E 于点,,,A C B D ，求证：QA QC QB QD ⋅=⋅． 21．已知函数()11x axf x e x =--- （Ⅰ）若曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线过()0,1-，求a 的值； （Ⅱ）求证：当1a ≤-时，不等式()ln 0f x x ⋅≥在()()0,11,⋃+∞上恒成立．修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆O 和圆C 的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P 为圆O 上任意一点． （1）若射线OP 交圆C 于点Q ，且其方程为θ=，求|PQ |得长；（2）已知D （2，π），若圆O 和圆C 的交点为A ，B ，求证：|PA |2+|PB |2+|PD |2为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．若a ＞0，b ＞0且2ab=a +2b +3． （1）求a +2b 的最小值；（2）是否存在a ，b 使得a 2+4b 2=17？并说明理由．参考答案： ADCAB DCBCC BC13．5 14． 41 15．4 16.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---271271，17.【解答】解：（1）在△ABC 中由余弦定理得，；∵a +b ≥2c ； ∴；∴； ∴；∵，当且仅当a=b 时取“=”；∴；即； ∴；∴角C 的最大值为； （2）当角C 取最大值时，∵； ∴△ABC 为等边三角形；∴O为△ABC的中心，如图所示，D为边AB的中点，连接OD，则：OD⊥AB，且；∴OA=1，即外接圆半径为1，且∠AOB=120°；∴；∴对两边平方得，；∴1=x2+y2﹣xy；∴x2+y2=xy+1≥2xy，当且仅当x=y时取“=”；∴xy≤1；∴x•y的最大值为1．18.【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关．）（2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有28种，AB,AC,AD,AE,AF,AG,AHBC,BD,BE,BF,BG,BHCD,CE,CF,CG,CHDE,DF,DG,DHFG,FH,GH其中A,B两人至少有一个被抽到的事件有AB,AC,AD,AE,AF,AG,AHBC,BD,BE,BF,BG,BH 13种，2813=p19.【解答】证明：（1）如图，连接AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点， 由题意可知O 为AC 1的中点，连接OM ，OE ，MD ， ∵MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1中的AC 边上的中位线， ∴，，∴，∴四边形MDEO 为平行四边形，∴DE ∥MO ． 又∵DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， ∴DE ∥平面A 1MC ．17174)2(=d 20.【解答】（1）解：设M （x ，y ）为椭圆E 上任一点，由，则椭圆E 的方程可化为，从而．由于a ＞b ＞1，则当x=﹣1时，，故椭圆E 的标准方程为．（2）证明：由于直线l 1，l 2不重合，则直线l 1，l 2的斜率均存在， 设直线l 1：y=k （x ﹣1）+1，点A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）． 易知直线l 2：y=﹣k（x﹣1）+1.， 由得（1+2k 2）x 2+4k （1﹣k ）x +2（1﹣k ）2﹣4=0，由韦达定理有：，，则；同理可得，从而有|QA |•|QC |=|QB |•|QD |． 21．（Ⅰ）定义域为()(),11,x ∈-∞⋃+∞()2212f e a =--,()()()()22111x x a x axaf x e e x x --=-=+-'-，()22f e a '=+∴切线()()()22122y e a e a x ---=+-,将()0,1-代入，得()2211222e a e a ----=--24e a ⇒=-.（Ⅱ）()ln 1ln 1x ax f x x e x x ⎛⎫⋅=--⋅ ⎪-⎝⎭,只需证：()()1ln 1101xx x e ax x ⎡⎤⋅⋅---≥⎣⎦-在()()0,11,⋃+∞上恒成立,()()0,11,x ∈⋃+∞时，1ln 01x x ⋅>-恒成立，只需证：()()110x x e ax ---≥在()0,+∞恒成立,设()()()11x g x x e ax =---，[)0,x ∈+∞()00g =恒成立,只需证：()0g x ≥在[)0,+∞恒成立()1x g x x e a '=⋅--,()()10x g x x e =+⋅'>'恒成立()g x ∴'单调递增，()()010g x g a ≥=--'≥'()g x ∴单调递增，()()00g x g ≥=()0g x ∴≥在[)0,+∞恒成立,即()()1ln ln 01f x x xg x x ⋅=⋅⋅≥-在()()0,11,⋃+∞上恒成立．22．【解答】（1）解：θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，∴|PQ |=2﹣2；（2）证明：由题意，A （﹣，1），B （，1），D （0，﹣2）， 设P （x ，y ），则|PA |2+|PB |2+|PD |2=（x +）2+（y ﹣1）2+（x ﹣）2+（y ﹣1）2+x 2+（y +2）2=3（x 2+y 2）+12=24，为定值．23．【解答】解：（1）由条件知a （2b ﹣1）=2b +3＞0，．所以．≥2当且仅当2b﹣1=2，即，a=3时取等，所以a+2b的最小值为6．（2）因为，当且仅当，a=3时取等，所以a2+4b2≥18，故不存在a，b使得a2+4b2=17．。

2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学三模试卷（文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．1．已知集合A={﹣1，1，4},B=｛y｜y=log2｜x|+1，x∈A}，则A ∩B=( ）A．{﹣1，1,3，4} B．{﹣1，1，3} C．{1,3｝D．｛1｝2．已知i为虚数单位，复数z满足(1+i)z=（1﹣i）2,则|z|为（）A．B．1 C． D．3．若等比数列｛a n｝的前n项和为S n，=( )A．3 B．7 C．10 D．154．下列四个结论中不正确的是（）A．若x＞0，则x＞sinx恒成立B．命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0”C．“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件D．命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0”5．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（)A．39 B．21 C．81 D．1026．焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（)A．B． C． D．7．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯,问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（)盏灯．A．2 B．3 C．5 D．68．已知函数f（x）=,则f（2+log32）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣549．若a＞0,b＞0，a+b=+，则3a+81b的最小值为（）A．6 B．9 C．18 D．2410．已知α为第二象限角,sin（α+）=，则tanα的值为（）A．B． C．D．﹣311．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB"发生的概率为，则=（)A．B． C． D．12．已知函数f(x)=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（)A．（﹣,﹣) B．[，）C．（﹣，﹣］D．(﹣1，﹣］二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．实数x，y满足不等式组:，若z=x2+y2,则z的最大值是．14．已知个面向量,满足｜|=1，｜﹣2|=，且与夹角为120°,则｜|= ．15．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为．16．数列{a n｝中，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+n，a1=1，则a20= ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且3bcos A=ccos A+acosC．（1）求tanA的值；(2)若a=4,求△ABC的面积的最大值．18．某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该城市共享单车进行监管，随机选取了20位市民对共享单车的情况进行问卷调查，并根据其满意度评分值(满分100分）制作的茎叶图如图所示：（1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数；（2）从打分在70分以下(不含70分）的市民中抽取3人,求有女性被抽中的概率．19．如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD,且△PAD是边长为2的等边三角形，，点M是PC 的中点．（I）求证：PA∥平面MBD;（II)求四面体P﹣BDM的体积．20．如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）,长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．21．已知函数．（1）当a=1时，求函数在点（1，﹣）处的切线方程；(2）若函数g(x)=f（x）﹣x有两个极值点x1,x2，求a的取值范围．（3）在（2)的条件下，求证：+＞2．22．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：,射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．23．在△ABC中,内角A、B、C所对的边的长分别为a,b，c，证明下面问题．(Ⅰ)+++abc≥2;（Ⅱ）++≥．2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A=｛﹣1，1，4},B={y|y=log2｜x｜+1,x∈A}，则A∩B=( ）A．｛﹣1，1，3，4} B．｛﹣1,1，3} C．{1,3｝D．｛1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别让x取﹣1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可．【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B=｛1}．故选D．2．已知i为虚数单位,复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则|z｜为( ）A． B．1 C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解:（1+i)z=（1﹣i)2,∴（1﹣i)（1+i）z=﹣2i(1﹣i）,2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．则|z｜==．故选:A．3．若等比数列｛a n}的前n项和为S n,=（）A．3 B．7 C．10 D．15【考点】8G：等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质可知：可设其中公比为q,根据=3求出q4，再代入进行求解．【解答】解：∵据=3，（q≠1），若q=1可得据=2≠3，故q ≠1，∴==3，化简得1﹣q8=3（1﹣q4)，可得q8﹣3q4+2=0,解得q4=1或2，q≠1,解得q4=2,===15．故选:D．4．下列四个结论中不正确的是( ）A．若x＞0，则x＞sinx恒成立B．命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0"C．“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真"的充分不必要条件D．命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0"的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0"【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A构造函数y=x﹣sinx，利用导数判断y是单调增函数，从而判断A正确；B根据命题“若p则q”的否命题为“若￢p则￢q"，判断正误即可；C分别判断充分性和必要性是否成立即可;D根据全称命题的否定是特称命题,判断正误即可．【解答】解：对于A,令y=x﹣sinx，求出导数y′=1﹣sinx≥0，∴y是单调增函数,∴x＞0时，x＞sinx恒成立，A正确；对于B，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0”，B正确；对于C，“命题p∧q为真"，则命题p为真，q也为真，∴“命题p∨q为真”，充分性成立，“命题p∨q为真”则命题p、q一真一假或同为真，则“命题p∧q为真”不一定成立，即必要性不成立；∴是充分不必要条件,C正确；对于D，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，∴D错误．故选：D．5．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的S的值是( ）A．39 B．21 C．81 D．102【考点】E7：循环结构．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值,得到n=4时退出循环，即可．【解答】解：第一次循环，S=3，n=2；第二次循环，S=3+2×32=21，n=3；第三次循环，S=21+3×33=102，n=4；第四次循环，不满足条件，输出S=21+3×33=102，故选D．6．焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( ）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程,转化列出a，b关系式，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为,可得：=，即：,解得e=．故选:A．7．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠,本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（)盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381,解得a=3,∴顶层有3盏灯，故选：B．8．已知函数f（x）=,则f（2+log32）的值为( ) A．﹣ B． C． D．﹣54【考点】4H：对数的运算性质；3T：函数的值．【分析】先确定2+log32的范围，从而确定f（2+log32)的值【解答】解:∵2+log31＜2+log32＜2+log33，即2＜2+log32＜3∴f（2+log32)=f（2+log32+1）=f（3+log32）又3＜3+log32＜4∴f（3+log32）====∴f（2+log32）=故选B9．若a＞0，b＞0,a+b=+，则3a+81b的最小值为（）A．6 B．9 C．18 D．24【考点】7F：基本不等式．【分析】a＞0，b＞0，a+b=+，化为ab（a+b）=a+b＞0，可得ab=1．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0,a+b=+,∴ab（a+b）=a+b＞0，∴ab=1．则3a+81b≥2=2≥2=18，当且仅当a=4b=2时取等号．∴3a+81b的最小值为18．故选：C．10．已知α为第二象限角，sin(α+）=，则tanα的值为（) A．B．C．D．﹣3【考点】GQ：两角和与差的正弦函数;GI:三角函数的化简求值．【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可得sinα+cosα=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得12tan2α+25tanα+12=0，进而解得tanα的值．【解答】解：∵α为第二象限角,sin（α+）=，可得:（sinα+cosα)=，可得：sinα+cosα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα===﹣,整理可得:12tan2α+25tanα+12=0,∴解得：tanα=﹣，或﹣．∵tanα=﹣=．可得：sinα=﹣cosα，解得cosα=＞0,由于α为第二象限角,矛盾．故舍去．∴tanα=﹣．故选：C．11．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB 的最大边是AB"发生的概率为，则=（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率,从而求出．【解答】解:记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB 的最大边是AB"为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，若△APB的最大边是AB"发生的概率为,则=,设AD=y，AB=x，则DE=x，PE=DE=x，则PC=x+x=x,则PB2=AB2时，PC2+BC2=PB2=AB2,即（x）2+y2=x2，即x2+y2=x2，则y2=x2，则y=x，即=，即=,故选：C．12．已知函数f（x）=,若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解,则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．[,）C．（﹣，﹣］D．(﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间,再由f2（x）+af（x)＞0求得f(x)的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x)+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f(x）在（0，1）上单调递增，在（1,+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x)＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x)+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）≠0，此时不等式f2(x）+af （x）＞0有无数个整数解,不符合题意；当a＜0时,f2(x）+af（x）＞0⇔f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af(x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2，则z的最大值是 4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义,即可行域内动点到原点距离的平方求解．【解答】解:由约束条件作出可行域如图,z=x2+y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方，∴当动点(x,y)为A（0，2）时，z有最大值为4．故答案为:4．14．已知个面向量，满足｜|=1，｜﹣2｜=,且与夹角为120°，则｜｜= 2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用已知等式以及平面向量的数量积得到关于|｜的方程解之．【解答】解：向量,满足｜|=1，｜﹣2|=，且与夹角为120°，所以｜﹣2｜2=21,且与夹角为120°，则，整理得，解得｜｜=2；故答案为:2．15．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的表面积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC,△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1,PO=为底面上的高．于是此几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△=++2×PAB=．故答案为：．16．数列{a n｝中，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+n，a1=1，则a20= 46 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】由已知数列递推式分别取n=1,2，3，…,10，累加求得答案．【解答】解：由a2n=a2n﹣1+（﹣1）n,得a2n﹣a2n﹣1=（﹣1）n，由a2n+1=a2n+n，得a2n+1﹣a2n=n，∴a2﹣a1=﹣1，a4﹣a3=1,a6﹣a5=﹣1,…，a20﹣a19=1．a3﹣a2=1，a5﹣a4=2，a7﹣a6=3,…a19﹣a18=9．又a1=1，累加得：a20=46．故答案为：46．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3bcos A=ccos A+acosC．(1）求tanA的值；（2)若a=4，求△ABC的面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）由3bcos A=ccos A+acosC，可得3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC，化为：3cosA=1．可得sinA=,可得tanA=．(2）32=a2=b2+c2﹣2bccosA,再利用基本不等式的性质可得bc≤24．利用S△ABC=即可得出．【解答】解：(1)∵3bcos A=ccos A+acosC，∴3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC=sin（A+C）=sinB．sinB≠0，化为：cosA=，∴sinA==，可得tanA==．（2）32=a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc=bc，可得bc≤24，当且仅当b=c=2取等号．∴S△ABC=≤=8．∴当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为8．18．某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该城市共享单车进行监管,随机选取了20位市民对共享单车的情况进行问卷调查,并根据其满意度评分值(满分100分）制作的茎叶图如图所示：（1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数；（2）从打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人,求有女性被抽中的概率．【考点】BA：茎叶图．【分析】（1）根据茎叶图中的数据，利用平均数和中位数的公式进行计算即可．（2）根据古典概型的概率公式分别进行计算即可．【解答】解：（1）男性的平均数为（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）==69，女性的中位数为=77（2）打分在70分以下（不含70分）的市民中有6名，女性2名，男性4名,从中抽取3人有=20种方法,有女性被抽中有=12+4=16,则对应的概率P==．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，点M是PC的中点．（I）求证:PA∥平面MBD；(II）求四面体P﹣BDM的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于O，则O为AC的中点，连接MO,由三角形中位线定理可得PA∥MO,再由线面平行的判定可得PA∥平面MBD；(Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则PH⊥AD，由面面垂直的性质可得PH⊥平面ABCD．然后利用等积法求得四面体P﹣BDM的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，则O为AC的中点，连接MO，∵M为PC的中点,O为AC的中点，∴PA∥MO，又MO⊂平面MBD,PA⊄平面MBD,∴PA∥平面MBD；（Ⅱ）解：取AD中点H，连接PH，则PH⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，∴PH⊥平面ABCD．在直角三角形PHC中，HC=．∴DC=．又∵V P﹣BDM=V P﹣BDC﹣V M﹣BDC=，∴．20．如图,设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2)过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知可得a,又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2,0）的直线l的方程设为：x=my+2,设A(x1，y1），B （x2，y2)联立得y2﹣8my﹣16=0．|AB|=,同理得|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF｜=．令，则s=f(t）=，利用导数求最值即可．【解答】解：（1)∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，∴a=2,又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A(x1，y1)，B（x2，y2）联立得y2﹣8my﹣16=0．y1+y2=8m,y1y2=﹣16，∴|AB｜==8(1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=﹣m（x﹣2）联立得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，x C+2=，⇒x C=．∴|CF｜=•．△ABC面积s=|AB|•｜CF|=．令，则s=f（t）=,f′（t）=，令f′(t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．21．已知函数．(1）当a=1时，求函数在点（1，﹣）处的切线方程；（2)若函数g（x）=f(x）﹣x有两个极值点x1，x2，求a的取值范围．（3）在(2）的条件下，求证：+＞2．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数,通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而确定a的范围即可；（3)要证，即证，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a=1时,f（x）=xlnx﹣x2,则f′（x）=lnx+1﹣x，则f′（1)=0，故切线方程是：y+=0(x﹣1），即y=﹣；（2）函数g（x）=f(x）﹣x有两个相异的极值点x1,x2,即g′（x)=lnx﹣ax=0有两个不同的实数根，①当a≤0时，g′（x）单调递增，g′(x)=0不可能有两个不同的实根;②当a＞0时，设h（x）=lnx﹣ax，，当时，h′(x）＞0，h（x)单调递增;当时，h′（x)＜0，h(x）单调递减；∴，∴，（3）不妨设x2＞x1＞0,∵，∴lnx2﹣ax2=0,lnx1﹣ax1=0,lnx2﹣lnx1=a(x2﹣x1）,要证，即证，即证，令，即证，设,则，函数φ（t)在（1，+∞)单调递减，∴φ（t）＜φ(1）=0，∴．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ)已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q,求线段PQ的长．【考点】QH：参数方程化成普通方程;Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把参数方程消去参数,可得曲线C的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的极坐标方程．(Ⅱ)利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为：，普通方程为（x﹣1）2+y2=7，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0；(Ⅱ)设P（ρ1，θ1），则有,解得ρ1=3，θ1=，即P（3，)．设Q（ρ2,θ2)，则有,解得ρ2=1，θ2=，即Q(1，），所以|PQ｜=｜ρ1﹣ρ2|=2．23．在△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b,c,证明下面问题．(Ⅰ）+++abc≥2；（Ⅱ）++≥．【考点】R6:不等式的证明．【分析】利用三项的均值不等式可得结论．【解答】证明:（Ⅰ）因为a,b，c为正实数，由均值不等式可得,即所以,而，所以．…（Ⅱ）．…2017年6月14日。

2020届黑龙江省大庆实验中学2017级高三下学期第二次线上模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题1.已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--,{}2|30M x x x =-+<,{}1,0,1,2N =-,则集合()U C M N =（ ）A. {}1-B. {}1,0-C. {}1,2D. {}0,1,2 【答案】D【解析】首先解出集合N ,再根据补集、交集的定义即可得出答案【详解】因为不等式230x x -+<解得3x >或0x <,故{}{}2|30|03M x x x x x x =-+<=<>或,所以{}0,1,2,3U C M =,则(){}0,1,2U C M N =.故选:D2.设复数z 满足|1|z i i =-+（i 为虚数单位）,则复数z =（ ）i i + C. 1D. 12i -- 【答案】A【解析】利用复数的代数形式的乘除运算化简,求出数复数z ,即可得到答案.【详解】复数z 满足|1|z i i =-+,则z i =,所以复数z i =.故选：A.3.设向量a ,b 满足22a b ==,且231a b +=,则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】B 【解析】 首先把231a b +=两边同时平方,再根据投影的定义即可求出向量b 在向量a 方向上的投影。

【详解】将231a b +=平方得,2241291a a b b +⋅+=,即441291a b ⨯+⋅+=,则2a b ⋅=-,则向量b 在向量a 方向上的投影为212b a a ⋅-==-. 故选：B4.人体的体质指数（BMI ）的计算公式:2BMI =体重身高（体重单位为kg ,身高单位为m ）,其判断标准为下表: BMI18.5以下 18.5~23.9 24~29.9 30以上 等级偏瘦 正常 超标 重度超标某小学生的身高为1.5m ,在一次体检时,医生告诉他属于超标类,则他的体重可能是（ ）A. 72B. 68C. 62D. 50【答案】C【解析】根据人体的体质指数的计算公式以及超标时BMI 的值即可排除答案。

大庆实验中学2016—2017学年度上学期期末考试高三数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合(){}{}lg 11,11M x x N x x =-<=-≤≤，则=⋂N M （ ） A ．()19，-B ．(]19，-C ．[]11，-D ．[)11，-2．复数z 满足(1)1z i i -=--，则=+2z （ ） A ．3 B ．5 C ．2 D ．3 3．从一批产品取出三件产品，设事件A =“三件产品全部是次品”，事件B =“三件产品全部是正品”，事件C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．A 与C 互斥 B ．B 与C 互斥 C.,,A B C 中任何两个均互斥 D ．,,A B C 中任何两个均不互斥4．等差数列{}n a 中，3a ， 7a 是函数2(x)43f x x =-+的两个零点，则前9项和9S 等于（ ）A ．﹣18B ．9C ．18D ．365.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．76．下列命题中正确的个数为（ ）①若22bc ac >，则b a >；②命题“若,1-<x 则2230x x -->”的否命题为“若1-<x ，则2230x x --≤”③已知βα，是两个不同的平面，存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥，，则βα// ④已知直线01:,013:21=++=-+by x l y ax l ，则21l l ⊥的充要条件是3-=baA ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个7.圆224210x y x y ++--=上存在两点关于直线210ax by -+=()00a b >>，对称，则 12z a b=+的最小值为（ ） A ．223+ B ．324+ C ．246+ D ．388.己知60π-=x 是函数()sin(2)f x x ϕ=+的一个极小值点，则()f x 的一个单调递减区间是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3465ππ，B ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛653ππ，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，329. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．33 B ．335 C ．332 D ．310. 已知实数,x y 满足约束条件+104312020x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则12++=x y z 的最大值（ ）A ．23 B ．58 C ．47D ．211. 已知定义域为R 的函数)(x f 在(2，＋∞)上为减函数，且函数)2(+=x f y 为偶函数，则有（ ）A ．455323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．554323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．545332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．554233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若=,12=⋅，则抛物线的方程为（ ） A ．x y 22= B ．x y 42= C ．x y 52= D ．x y 122=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.已知函数22,1()21,1xx x x f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩则=))0((f f ________ 14. 已知θ是第四象限角，且3sin()=45πθ+，则=θcos 15. 在ABC R ∆t 中，90=∠A ，42==AC AB ，，F E ,分别为BC AB ,的中点，则=⋅16. 已知函数x xx f ln )(=，若对任意的()+∞∈,1,21x x ()21x x ≠,均有a x x x f x f <--2121)()(恒成立，则实数a 的取值范围是三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)t (22422为参数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x ,在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 的极坐标方程为θρs co 4=. (1)求曲线C 的直角坐标方程(2)已知()40，P ,直线l 与曲线C 交于A,B 两点，求PB PA ⋅.18.（本小题满分12分）在一次区域统考中，为了了解数学学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出200位考生的成绩进行统计分析，其中样本数据分组区间为：[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．绘制的频率分布直方图如图所示 (1)求频率分布直方图中a 的值；(2)利用分层抽样的方法从得分在第一组[50，60)和第二组[60，70)的考生中抽取6人进行问卷调查，第一组和第二组抽取的人数各是多少？（3）在(2)中抽取的这6个人中，随机抽取2人，求此2人不在同一组的概率．19. （本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()f x 的周期；（2）将函数()f x 的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数g()x 的图象．若c b a ,,分别是ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，6c =+a ，且g()0B =，求b的取值范围．20.（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为边长为2的正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，11,AA C B F E ，分别为中点. （1）求证： EF ∥平面ABC ；（2）求三棱锥C AB A 11-的体积.21.（本小题满分12分） 已知函数1ln )(++=xbx a x f ，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线为022=--y x . （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当1x >时，不等式x k x x xf ln )()(+>恒成立，求实数k 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知椭圆:C ()012222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21F F ，，抛物线x y 42=与椭圆C 有相同的焦点，且椭圆C 过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1F 作直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，设F 11λ=．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈221，λ，求AB 的取值范围大庆实验中学2016—2017学年度上学期期末考试高三数学（文）参考答案DBACB AC B BD AA13.8 14. 15.-7 16.17.(1)由已知得，曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0(2)将直线的参数方程带入圆的方程，可得整理得设这个方程的两个根为，则有参数t的几何意义可知，18（1）a=0.035 (2)2个人 4个人（3）18.(1)函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin（2x﹣）﹣1(2)函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得函数y=sin（x﹣）﹣1的图象，再向左平移个单位，得函数y=sin（x+﹣）﹣1的图象，所以函数F（x）=sin（x+）﹣1；又△ABC中，a+c=6，F（B）=0，所以，所以；由余弦定理可知，b2=a2+c2﹣2ac•cos=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac≥16﹣3•=9，当且仅当a=c=3时取“=”，所以b≥3；又b＜a+c=6，所以b的取值范围是[3，6）．20.(1)取BC的中点D,连接AD ,DE,,所以四边形AFED为平行四边形所以又,所以(2)因为为边长为2的正方形所以为菱形，，为正三角形，内，,平面平面平面，则，所以=21.(1)(2)原不等式等价于当时，恒成立当时，，在递减，又，所以，当时，当时，在递增，递减，又，所以又，不符题意，舍去所以22解：（Ⅰ）由抛物线的定义，得点P到直线x=﹣1的距离为，且点P在抛物线y2=4x上；∴；∴；∴由椭圆定义得，；∴a=2；又a2﹣b2=1，∴b2=3；∴椭圆的方程为；（Ⅱ）据题意知，直线l的斜率不为0，设直线l：x=my﹣1，代入椭圆方程，消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则：（1）；∵；∴﹣y1=λy2带入（1）消去y1，y2得：；∵λ∈[1，2]；∴；∴；解得；所以22.。