三角函数综合篇、提高、有难度

个性化教学辅导教案学科： 数学 任课教师： 授课日期：2014 年 8月 日姓名 年级 高一性别授课时间总课时 第 课教学课题 三角函数综合复习教学 目标 1.全面复习三角函数所有知识点 2.会用三角函数的相关知识解题难点 重点 三角函数知识综合应用签字教学组长签字： 教研主任签字:1．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sin θ2＝1－sin θ，那么θ2所在象限为第________象限．2．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sin α＋sin β<α＋β ②α＋sin β<sin α＋β ③α·sin α<β·sin β ④β·sin α<α·sin β3．设角a 是第二象限的角，且cos cos 22a a=-，试问2a 是第几象限的角4．化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α(π<α<3π2)得( )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α5．若cos(π6－α)＝m (|m |≤1)，则sin(23π－α)的值为( )A ．－mB ．－m 2 C.m2D ．m6．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a7．sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-=（ ）（A ）32+ （B ）232+ （C ）32- （D ）232-8.设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α、β满足53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，求cos(α＋β)的值．9.已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= .10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则（ ）（A ）(sin )(cos )66f f ππ< （B ）(sin1)(cos1)f f >（C ）22(cos )(sin )33f f ππ< （D ）(cos 2)(sin 2)f f >11．已知3222sin sin ,312cos cos =-=-βαβα，则)2cos(βα-= .12已知函数117(),()cos (sin )sin (cos ),(,].112t f t g x x f x x f x x t ππ-==⋅+⋅∈+ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.13．方程sin πx ＝14x 的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．814.已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )15．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ( ) ①tan 1tan AB= ② 2sin sin 0≤+<B A ③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+ 其中正确的是 （A ）①③ （B ）②④（C ）①④（D ）②③16．在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan A·tan B，且sin A·cos A＝34，则此三角形为________17．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sin C＝2sin A cos B，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形，但不是等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形，但不是等腰三角形18．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)19．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cos C＝25 5.(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．21.设ABC△的内角A B C，，所对的边长分别为a、b、c，且3 cos cos5a Bb A c-=．（Ⅰ）求tantanAB的值；（Ⅱ）求tan()A B-的最大值．22.已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2 x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)．(1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．23．设]2,0[π∈x ，若方程a x =+)32sin(3π有两解，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）]3,3[- （B ）]233,3[- （C ）]3,233[ （D ）)3,233[24在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 .25.如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y 轴交于点(03)，，且在该点处切线的斜率为2-（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当032y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．26.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．27、已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3cos A A =+，n 共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.28.已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象与直线y m =(m )-<<10的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4.（Ⅰ）求)(x f 的解析式，并写出)(x f 的单调递减区间； （Ⅱ）设)()2()(x f x f x g +=，求函数)(x g 的值域.29.已知向量m (3sin ,1)4x =，n 2(cos ,cos )44x x=，函数()f x =m ·n ．（1）若()1f x =，求2cos()3x π-的值； （2）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足1cos 2a C cb +=，求(2)f B 的取值范围．30.在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足(a +b -c )(a -b +c )=bc （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若3a =，设角B 的大小为,x △ABC 的面积为y ，求()y f x =的最大值.31.已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a ﹑b﹑c ，若cos cos A bB a= 且sin cos C A = (Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离.。

如何提高高一数学的三角函数变换能力对于高一的学生来说，三角函数是数学学习中的一个重点和难点，而三角函数的变换更是让许多同学感到头疼。

但别担心，只要掌握了正确的方法和技巧，并加以持续的练习，提高三角函数变换能力并非难事。

一、扎实掌握基本概念和公式想要提高三角函数变换能力，首先要对三角函数的基本概念和公式了如指掌。

比如正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，以及同角三角函数的基本关系式（如平方关系和商数关系）、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式等等。

以正弦函数为例，要清楚其定义为在直角三角形中，对边与斜边的比值。

对于公式，不仅要记住，更要理解其推导过程，这样才能在使用时得心应手。

比如诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”，要明白“奇变偶不变”指的是π/2 的奇数倍或偶数倍决定函数名是否变化，“符号看象限”是指把α看成锐角时原函数值的符号。

二、多做基础练习掌握了基本概念和公式后，接下来就要通过大量的基础练习来巩固。

基础练习可以帮助我们熟悉公式的应用，培养对三角函数的“感觉”。

例如，已知一个角的正弦值，求其余三角函数值；已知两角的度数，求两角和或差的三角函数值等。

在做这些基础练习时，要认真对待每一道题，不能马虎了事。

做完后，要对照答案仔细检查，找出自己的错误和不足，及时改正。

同时，要建立错题本，将做错的题目整理出来，分析错误原因，总结解题方法和技巧。

经常翻阅错题本，温故而知新，可以有效地避免在同一个地方再次犯错。

三、注重解题思路和方法在做三角函数变换的题目时，要注重解题思路和方法的总结。

比如，在化简三角函数表达式时，通常先观察式子的特点，看看能否运用诱导公式、同角三角函数关系式将式子进行化简。

如果式子中涉及到两角和与差的三角函数，要考虑是否可以使用相应的公式进行展开。

再比如，在证明三角恒等式时，一般从复杂的一边向简单的一边化简，或者将两边都化简到相同的形式。

另外，要善于利用“1”的代换。

因为在三角函数中，sin²α ＋cos²α ＝1，所以在解题时，当式子中出现“1”时，可以考虑用sin²α ＋cos²α 来替换，往往能起到意想不到的效果。

三角函数专项练习(提高,经典)
本文将对三角函数专项练进行介绍，旨在帮助读者提高数学水平。

前置知识
在进行三角函数的练前，需要掌握以下基本概念：
- 正弦函数、余弦函数、正切函数的概念及其图像；
- 周期函数的概念；
- 三角函数的基本性质。

练内容
熟悉三角函数图像
通过画图的方式，熟悉三角函数的图像，能够更好地理解三角函数的性质。

练时可以通过以下方式进行：
1. 根据函数的周期，分别画出正弦函数、余弦函数、正切函数的一个周期；
2. 结合实际问题，画出函数的波形，如受到周期性振动的物体运动状态的图像；
3. 将函数进行平移、伸缩、翻转等变换，观察图像的变化。

掌握基本公式
三角函数的基本公式是解题的关键，平时需要多加练。

常用的基本公式包括：
- 三角函数的和差公式；
- 三角函数积化和差公式；
- 万能公式等。

练解题技巧
练时，需要掌握以下解题技巧：
1. 熟悉三角函数的基本概念和基本公式，理解问题中各个部分的含义；
2. 根据问题的要求，选择合适的公式进行变形和求解；
3. 注意符号、单位等细节问题，及时进行检查。

结语
三角函数是数学中的重要部分，对于提高数学水平和解题能力有着重要的作用。

希望通过本文所介绍的三角函数专项练习，能够帮助读者更好地掌握三角函数的知识和技巧，取得更好的成绩。

12 2 )(x ) 高考级 1、关于函数 f (x ) = 4s in(2x +∈ R ) 有下列命题:①由 f 3(x 1 ) = f (x 2 ) = 0 可得 x 1 - x 2 是 π 的整数倍；② y = f (x ) 的表达式可改写为 y= 4 cos(2x -；③ y = f 6 (x ) 的图象关于点（－ 6对称；④ y = f ( x ) 的图 象关于直线 x 答案：②③= - 对称。

其中正确命题的序号是_ 62. 已知函数 g (x ) = 1 - cos (πx + 2)(0 <<π )的图象过点 (1 , 2)，若有 4 个不同的正数 xi2 2满足 g (x i ) = M (0 < M < 1) ，且 x i < 4(i = 1, 2, 3, 4) ，则 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 等于答案 12 或 20 3 函数 y =11 - x的图像与函数 y = 2 sin x (-2 ≤ x ≤ 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4(C) 6(D)8解析：图像法求解。

y =1x - 1的对称中心是（1,0）也是 y = 2 sin x (-2 ≤ x ≤ 4) 的中心， -2 ≤ x ≤ 4 他们的图像在 x=1的左侧有 4 个交点， 则 x=1 右侧必有 4 个交点。

不妨把他们的横坐标由小到大设为 x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 ， 则x 1 + x 8 = x 2 + x 7 = x 3 + x 6 = x 4 + x 5 = 2 ，所以选 Dπx5 .如果圆 x 2+y 2=n 2 至少覆盖函数 f (x ) = (A ) 1(B ) 2(C ) 3(D ) 43 sin 的一个最大值点和一个最小值点，则正整数的最小值是( B ) n提示：因为 f (x ) = 3s in x n为奇函数，图象关于原点对称，所以圆 x 2 + y 2 = n 2 只要覆盖 f (x ) 的一个最值点即可， 令x = n B，解得 f (x ) 距原点最近的一个最大点 P ( n , 2 2 3) ，由题意 n 2≥ ( n )2 + ( 23)2 得正整数 n 的最小值为 2 选 6．(模拟)对于函数 f (x )＝E rr o r !给出下列四个命题：①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数；②当且仅当 x ＝π＋k π(k ∈Z)时，该函数取得最小值是－1； 5π π ③该函数的图象关于 x ＝ 4 ＋2k π(k ∈Z)对称；④当且仅当 2k π<x <2＋2k π(k ∈Z)时，0<f (x )≤ .其中正确命题的序号是 ．(请将所有正确命题的序号都填上)答案：③④⎛ 3 ⎫ ⎡ ⎤8 已知 f (x )=s i n (x +)(>0, 0≤≤π)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M,0⎪ 对称，且在区间 ⎢0, ⎥ 上是单 4 2 ⎝ ⎭ ⎣ ⎦调函数，求和的值。

初中数学解题技巧攻克三角函数难点的秘籍三角函数是初中数学中的一个重要内容，也是让很多学生头疼的难点。

它的概念多样，应用广泛，对于学生来说有一定的挑战性。

然而，只要我们掌握了一些解题技巧，攻克三角函数的难点就不再是难题了。

本文将分享一些解题技巧，帮助同学们更加轻松地应对三角函数相关问题。

一、三角函数的基本概念在学习三角函数之前，我们首先要了解三角函数的基本概念。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

当我们遇到与角度有关的问题时，就可以运用这些函数来求解。

我们需要熟悉这些函数的定义和性质，掌握它们的图像和周期性变化规律。

二、角度的转化和化简在解题过程中，角度的转化和化简是非常重要的一步。

有时候，我们需要将角度转化为可以直接使用的形式，比如将角度转化为弧度制或特定的三角函数值。

同时，需要将复杂的三角函数表达式化简为简洁的形式，这样有助于我们更好地理解和求解问题。

三、使用特殊角的性质特殊角的性质是解决三角函数问题的有效方法之一。

对于一些特定的角度值，比如30°、45°、60°等，我们可以提前计算出它们的正弦、余弦和正切函数值，以便在实际问题中直接应用。

熟练掌握特殊角的性质，能够极大地简化我们的计算过程。

四、三角函数的图像应用三角函数的图像是解决问题的有力工具。

通过观察三角函数的图像特点，我们可以判断函数的增减性、最值点等重要信息。

对于涉及角度的问题，我们可以将角度与三角函数的图像相结合，通过画图来直观地获取所需结果，这在初中数学解题中非常实用。

五、运用三角恒等式简化问题在复杂的三角函数问题中，我们常常需要运用三角恒等式来化简表达式或者证明等式。

熟练掌握常见的三角恒等式，能够帮助我们更好地理解三角函数的性质，同时也能够简化问题，提高解题效率。

六、灵活运用综合技巧除了以上提到的基本技巧，我们还需要灵活运用其他解题方法来攻克三角函数的难点。

比如，可以通过引入辅助角、构造合适的三角形、利用三角函数的周期性等方法来化简或证明三角函数问题。

三角函数最难的知识点总结一、三角函数的基本概念1. 角度和弧度在学习三角函数之前，我们首先来了解一下角度和弧度的概念。

角度是一个常见的度量角的单位，通常用度来表示。

圆周角的度量单位常用°表示。

一度等于1° = (π/180) 弧度。

弧度是度量平面角的单位，定义为单位圆上的圆心角所对应的圆弧长度。

弧长等于半径长的弧的圆周角度为1弧度。

弧度的转换公式为：弧度 = (度数× π)/180。

2. 正弦、余弦和正切的定义正弦、余弦、正切是三角函数的基本概念。

在直角三角形中，我们定义三角函数如下：正弦（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦是指对边（O）与斜边（H）的比值，即sinA = O/H。

余弦（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦是指邻边（A）与斜边（H）的比值，即cosA = A/H。

正切（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切是指对边（O）与邻边（A）的比值，即tanA = O/A。

二、三角函数的性质1. 周期性三角函数具有周期性，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)，tan(x+π)=tan(x)。

所以，sin(x+2kπ)=sin(x)，cos(x+2kπ)=cos(x)，tan(x+kπ)=tan(x)。

2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(−x)=−sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(−x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(−x)=−tan(x)。

3. 单调性在一个周期内，三角函数的单调性是不同的。

例如，sin函数在[0,π]上是单调递增的，在[π,2π]上是单调递减的。

cos函数和tan函数也有相应的单调性。

4. 互逆关系对于正弦函数和余弦函数，它们之间具有互逆的关系，即sin^2(x)+cos^2(x)=1，tan(x)=sin(x)/cos(x)。

三、三角函数的常用公式1. 和差化积公式sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB2.倍角公式sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos^2A − sin^2A = 2cos^2A − 1 = 1 − 2sin^2Atan2A = (2tanA)/(1 − tan^2A)3.半角公式sin(A/2) = ±√[(1 − cosA)/2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA)/2]tan(A/2) = ±√[(1 − cosA)/(1 + cosA)]四、三角函数的应用三角函数广泛应用于各个领域，有着重要的实际意义。

如何通过三角函数提升成绩三角函数这玩意儿，对于不少同学来说，就像是一场噩梦。

但其实呢，只要咱们掌握了方法，它也能成为咱们提升成绩的秘密武器！我还记得之前有个学生叫小李，他刚开始接触三角函数的时候，那叫一个头疼啊！每次做作业，看到三角函数的题目就抓耳挠腮。

有一次数学考试，他因为三角函数的几道大题丢了好多分，成绩出来后，整个人都蔫了。

那到底怎么才能通过三角函数提升成绩呢？首先，咱们得把基本概念搞清楚。

啥是正弦、余弦、正切，它们的定义可得牢牢记住。

就好比你要认识一个新朋友，总得先知道他叫啥吧。

比如说正弦，就是直角三角形中对边与斜边的比值。

可别小看这简单的定义，这是一切的基础。

然后呢，公式得背熟。

像什么诱导公式、和差公式、倍角公式等等。

这些公式就像是你手里的工具，工具越多，解决问题的办法也就越多。

刚开始背的时候，可能会觉得有点难，但你可以编一些小口诀来帮助记忆。

比如说“奇变偶不变，符号看象限”，是不是很好记？再来说说做题。

做题可不能瞎做，要有针对性。

先从基础题开始，把每一道题都搞懂，弄清楚用到了哪个公式，哪个概念。

比如说，有一道题让你求一个角的正弦值，那你就得先判断这个角在哪个象限，然后再根据定义或者公式来计算。

还有啊，要善于总结错题。

把做错的题目整理出来，分析自己为什么做错，是概念不清楚，还是公式用错了。

就像小李，他把自己做错的三角函数题目都整理到了一个错题本上，没事就拿出来看看，慢慢地，错误就越来越少了。

另外，画图也很重要。

三角函数的图像一定要会画，通过图像可以更直观地理解函数的性质。

比如说正弦函数的图像是一个波浪形的，它的周期、最值都能从图像上看出来。

说到这，我想起有一次课堂上，我让同学们根据一个三角函数的表达式画出图像，大部分同学都画得乱七八糟的。

只有一个同学，画得又快又准。

我问他有啥秘诀，他说他每天都会花几分钟画几个常见的三角函数图像，练得多了，自然就熟练了。

还有一点很关键，就是要多问。

遇到不懂的问题，别憋在心里，赶紧问老师或者同学。

P xy AOM T 高一数学三角函数综合提升讲义一．重难点整合：1.第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z2.已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 3.弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．4.若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．5.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．6.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．7.三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．7.同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222si n 1c o s ,c o sαααα=-=-； ()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．8.三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．9.函数sin y x =的图象上所有点向左平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．10.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函数 性质对称轴()x k k π=∈Z二．典例精析 基础题：1.若角α与β终边相同，则一定有（ ）．A ．180αβ+=B ．0αβ+=C ．360,k k Z αβ-=⋅∈D ．360,k k Z αβ+=⋅∈2.设角α、β满足180180αβ-<<<，则αβ-的范围是___________．(360,0)- ∵αβ<，∴0αβ-< ，又180180α-<< ，180180β-<-< ，∴360360αβ-<-<．综上可知αβ-的范围是3600αβ-<-<． 3.若α为第一象限角，那么sin2α，cos2α，sin α2，cos α2中必定为正值的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角，sin2α>0，cos2α符号不确定，α2为第一或三象限角，sin α2，cos α2的符号均不确定．故选B. 答案：B4.解答下列问题：(1)若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)若tan(cos θ)·tan(sin θ)>0，试指出θ所在象限，并用图形表示出θ2所取的范围．解：(1)∵θ在第四象限， ∴0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，∴sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， ∴sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)由题知⎩⎪⎨⎪⎧ tan(cos θ)>0，tan(sin θ)>0或⎩⎪⎨⎪⎧tan(cos θ)<0，tan(sin θ)<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<cos θ<1，0<sin θ<1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<cos θ<0，－1<sin θ<0，即θ在第一或第三象限； 若θ在第一象限，则θ2的取值范围如图①所示；若θ在第三象限，则θ2的取值范围如图②所示(见阴影部分，不含边界)．5.已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：（1）sin 3cos sin cos αααα-+；（2）2sin sin cos 2ααα++．解：由已知，得1tan 2α=，则（1）sin 3cos sin cos αααα-+13tan 3521tan 1312αα--===-++； （2）2sin sin cos 2ααα++222sin sin cos 2(sin cos )ααααα=+++22223sin sin cos 2cos sin cos αααααα++=+ 223tan tan 2tan 1ααα++=+ 22113213225112⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 6.已知1sin cos 5αα+=，(0π)θ∈，，求下列各式的值． （1）tan θ； （2）sin cos θθ-； （3）33sin cos θθ+．解：（1）1sin cos 5θθ+=∵，((0π))θ∈，， 21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+=∴·． 12sin cos 025θθ=-<∴·．sin 0θ>∴，cos 0θ<．联合221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，整理可得225sin 5sin 120θθ--=．解得4sin 5θ=，或3sin 5θ=-（舍去）．4sin 5θ=∴，3cos 5θ=-．4tan 3θ=-∴． （2）2247sin cos (sin cos )12sin cos 1255θθθθθθ-=-=-=+=∵·． （3）3322sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )θθθθθθθθ+=++-· 11213771525525125⎛⎫=+=⨯=⎪⎝⎭． 7.化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．8.已知1cos(75)3α+=°，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-°°的值 ．解：cos(15)sin(75)αα-=+°°，又α是第三象限角，sin(75)0α+<∴°． 22sin(75)3α+=-∴°． 而1sin(15)cos(75)3αα-=-+=-°°．∴原式221221333+=--=-9.已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值 【解】∵43tan -==x y α∴ 43tan cos sin sin sin )29sin()211cos()sin()2cos(-==⋅-⋅-=+---+ααααααπαπαπαπ已知cos α=31，cos （α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31．10.是否存在一个实数k ，使方程286210x kx k +++=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？解：设直角三角形两个锐角为αβ，，则sin sin αβ，是方程286210x kx k +++=的两个根． 90αβ+=∵°，sin cos βα=∴．由根与系数的关系，得3sin cos 421sin cos 8k k αααα⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩①· ②2-⨯2①②，整理得298200k k --=，解得121029k k ==-，． 当2k =时，原方程变为281250x x ++=， 1441600∆=-<，∴原方程无解，2k =舍去． 将109k =-代入②，得11sin cos sin sin 72αααβ==-··， sin sin αβ，∴异号，应有sin 0α<或sin 0β<，实际上sin 0α>，sin 0β>， 109k =-∴不满足题意，k ∴值不存在．11.已知函数f (x )＝21log (sin x －cos x )（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间； （3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 【分析】 研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）应同时考虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系.【解】 （1）由题意得sin x －cos x ＞0，即 2 sin(x －π4)＞0从而得2kπ＜x －π4 ＜2kπ＋π，所以函数的定义域为（2kπ＋π4 ，2kπ＋5π4 ）(k ∈Z )∵0＜sin(x －π4 )≤1，∴0＜sin x －cos x ≤ 2即有21log (sin x －cos x )≥21log 2 ＝－12 .故函数的值域是［－12，+∞).（2）∵sin x －cos x ＝ 2 sin （x －π4 )在f (x )的定义域上的单调递增区间为（2kπ＋π4 ，2kπ＋3π4 ）(k ∈Z )，函数f (x )的递减区间为（2kπ＋π4 ，2kπ＋3π4）(k ∈Z ). (3)∵f (x )的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称， ∴函数f (x ）是非奇非偶函数.（4）f (x ＋2π)＝21log ［sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)］＝21log （sin x －cos x )＝f (x ).∴函数f (x )是周期函数，2π是它的一个周期.12.如下图为函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线2=x 对称的函数解析式【解】（1）由图可知，从4～12的的图像是函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 的三分之二个周期的图像，所以1)24(213)24(21=-==+=c A ，故函数的最大值为3，最小值为－3∵8232=⋅ωπ∴ 6πω=∴ 12=T 把x=12,y=4代入上式，得2πϕ=所以，函数的解析式为：16cos3+=x y π（2）设所求函数的图像上任一点（x,y)关于直线2=x 的对称点为（y x '',），则y y x x ='-=',4代入16cos3+=x y π中得1)632cos(3+-=xy ππ ∴ 与函数16c o s 3+=x y π的图像关于直线2=x 对称的函数解析式为：1)632cos(3+-=xy ππ13.已知函数x x y 21cos 321sin +=，求：（1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y 的单调递增区间 【解】∵ )321sin(2π+=x y （1）∴ 函数y 的最大值为2，最小值为－2，最小正周期πωπ42==T（2）由Z k k x k ∈+≤+≤-,2232122πππππ，得函数y 的单调递增区间为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,34,354ππππ提高题：解：在单位圆中，作出锐角α在正弦线MP，如图2-9所示在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1∴sinα+cosα＞1于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分k∈Z}【例3】求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0由单位圆，如图2-12所示k∈Z}(4)为使函数有意义，需满足：取k=0和-1时，得交集为-4＜x≤-π或0≤x≤π∴函数的定义域为(-4，-π]∪[0，π]【例4】求下列函数的值域：∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}∵1+sinx+cosx≠0 ∴t≠-1【例5】判断下列函数的奇偶性：【分析】先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域为R，且f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x)∴函数f(x)=sin(cosx)是偶函数．(3)因1+sinx≠0，∴sinx≠-1，函数的定义域为{x|x∈R且x≠2k既不是奇函数，也不是偶函数．【例6】求下列函数的最小正周期：(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期．(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立．特别当x=0时，有|sinT|+|cosT|=sinT【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例9】求下列函数的单调区间：【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的．(2)函数y=sin2x-2sinx+2，是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成，∴|u|≤1【例10】当a≥0，求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的x的取值．解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2由于a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值．合物线的图象如图2-14所示两种可能．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ )的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【例12】求如图2-16所示的函数解析式．(ω＞0，θ∈[0，2π])【例13】设y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)最高点D的标为(6，0)，(1)求A、ω、ϕ的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间．y单调递增故递增区间为[16k-6，16k+2]，k∈Zy单调递减故递减区间为[16k+2，16k+10]，k∈ZA．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ解一(直接法)：故选A．解二(图解法)：作出三角函数线，如图2-17MP=sinθ，OM=cosθ，BS=ctgθ通过观察和度量得MP＜OM＜BS 从而有sinθ＜cosθ＜ctgθ∴应选A∴cosθ＞sinθ从而可剔除B、D．再由sinθ＜ctgθ，故可剔除C故选A解四(特殊值法)：B、C、D，应选A．∴应选Dx轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最的图象．∴选D再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 [ ]∴选A．【例17】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是[ ]A．1 B．2 C．3 D．4在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象，如图2-18所示．它们在(0，2π)内交点个数，即为所求方程解的个数，从而应选C．【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____ 解：∵f(x)是奇函数，且f(1)=2，∴f(-1)=-2又∵f(x)是周期为3的函数．∴f(3+x)=f(x)∴f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2【例19】有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．解：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ又设矩形EFGH的面积为S，那么又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°-θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°设矩形的面积为S．那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ)＝2R2［cos(2θ-30°)－cos30°]又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ-30°)＝1。