最新人教版28.1锐角三角函数提高练习题含答案(1)

人教版九年级数学下册《28.1 锐角三角函数》提升练习题-带有答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．已知α是锐角sinα=cos30°，则α的值为（）A．30°B．60°C．45°D．无法确定2．已知√32＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80°B．30°＜A＜80°C．10°＜A＜60°D．10°＜A＜30°3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sin A=√32B．tan A=12C．cos B=√32D．tan B=√34．在Rt△ABC中∠C=90∘，∠B=35∘，AB=则BC的长为（）A．7sin35∘B．7cos35∘C．7tan35∘D．7cos35∘5．如图，在ΔABC中AB=AC，AD⊥BC于点D．若BC=24，cosB=1213则AD的长为（）A．12 B．10 C．6 D．56．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（）A．√26B．√2626C．√2613D．√13137．如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=20， AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则DEAF的值为（）A ．35B ．34C ．12D ．23 8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝（ ）A ．34B ．43C ．35D ．45 二、填空题 9．如果cosA =√32，那么锐角A 的度数为 °. 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝ ，则斜边上的高等于 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是 .12．如图所示，在四边形 ABCD 中 ∠B =90°，AB =2，CD =8，AC ⊥CD 若 sin∠ACB =13 ，则 cos∠ADC = ．13．如图，在半径为6的⊙O 中，点A 是劣弧BC ⌢的中点，点D 是优弧BC ⌢上一点∠tanD =√33，则BC 的长为 .三、解答题14．计算： .15．先化简，再求代数式m2−2m+1m3−m ÷m−1m的值，其中m=tan60°−2sin30°16．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．17．在直角梯形ABCD中AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=2CD对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF的值．参考答案1．B2．D3．D4．B5．D6．B7．A8．D9．3010．482511．3412．4513．6√314．解：原式15．解：m=tan60°−2sin30°=√3−2×12=√3−1m2−2m+1 m3−m ÷m−1m=(m−1)2m(m+1)(m−1)×mm−1=1m+1将m=√3−1代入上式，得：1 m+1=√3−1+1=√3316．解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x ∴EC= √(3x)2+(4x)2 =5xEM= √x2+(2x)2 = √5 xCM= √(2x)2+(4x)2 =2 √5 x∴EM2+CM2=CE2∴△CEM是直角三角形∴sin ∠ECM= EM CE = √55 17．（1）证明：∵E ，F 为线段OA ，OB 的中点 ∴AB ∥EF 且AB =2EF∵AB =2CD∴EF =CD EF//CD∴∠OCD=∠OEF ，且∠DOC=∠FOE在△FOE 和△DOC 中：{∠DOC =∠FOE∠OCD =∠OEF CD =EF∴△FOE ≌△DOC(AAS)；（2）解：过D 点作DH ⊥AB 于H∵∠DAB=60°∴AH=√33DH ，设DH=√3x ，则AH=x ∵AB ∥CD ，∠DHB=∠ABC=90°∴四边形DCBH 为矩形∴BC=DH=√3x ，CD=BH又AB=2CD∴BH=AH=x在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC =√AB 2+BC 2=√(2x)2+(√3x)2=√7x ∵AB ∥EF 得到∠OEF=∠OAB∴sin∠OEF =sin∠OAB =BC AC =√3x√7x =√217．。

人教版初中数学28锐角三角函数练习题【答案】一、客观题1. C2. B3. C4. B5. B6. A7. B8. B9. A 10. C11. C 12. A 13. D 14. D 15. C16. A 17. C 18. A 19. B 20. C21. B 22. A 23. A 24. D 25. D26. B 27. A 28. B 29. D 30. B31. D 32. B 33. B 34. B 35. A36. A 37. A 38. C 39. A 40. C41. A 42. C 43. C 44. C 45. A46. B 47. B 48. B 49. C 50. C51. A 52. A 53. A 54. C 55. B56. A 57. D 58. A 59. A 60. D61. D 62. C 63. D 64. B 65. B66. C 67. A 68. B 69. A 70. B71. A 72. B 73. A 74. B 75. A76. B 77. A 78. A 79. C 80. D81. C 82. D 83. A 84. B 85. B86. C 87. D 88. D 89. B 90. C91. B 92. B 93. D 94. B 95. B96. B 97. C 98. B 99. B 100. D101. C 102. D二、主观题103.104. (-2，0)或(4，0)105.106.107.108.109.110.111.112. 60113.114. ±2115.116.117. 5;118. 60°≤∠A＜90°119.120.121.122. 1123. -4124. 30125. 45126. 60;127. 105128. 75129. 8130.131. ( )132. 6133. 5134.135. 24136.137.138.139. 6;8; ;5x;4x; ; ; ;36°52′12″;53°7′48″140.141.142. 5143. 75°144. 10米145. 82.0米．146. 3.7(米)147. bsinα148. 6149. 1150. 30° 3151. 20152. (10+3 )153.154. cm155. 5.5156. 12157. 75°158. 0.433;91.2159. 2( )160. 6161. 15162. 8.7163. 250164. 解：过A作AD⊥BC于点D．∵S △ABC= BC•AD=33，∴×11×AD=33，∴AD=6．又∵AB=10，∴BD= = =8．∴CD=11-8=3．在Rt△ADC中，∴= =2．165. 解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠A=∠ACD=45°，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=CD=1，∴AC=AB= ，．在直角△BCD中，．166. 解：∵AE⊥BC，∴∠AEF+∠1=90°；∵EF⊥AB，∴∠1+∠B=90°；∴∠B=∠AEF；(1分)∴∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°∴；(2分)设BE=4k，AB=5k，∵BC=AB，∴EC=BC-BE=BA-BE=k；∵EC=1，∴k=1；(3分)∴BE=4，AB=5；∴AE=3；(4分)在Rt△AEF中，∠AFE=90°，∵，(5分)∴．(6分)167. 证明：过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，sinB= ，∴AD=ABsinB，在Rt△ADC中，sinC= ，∴AD=ACsinC，∴ABsinB=ACsinC，而AB=c，AC=b，∴csinB=bsinC，∴= ．168. 解：(1)原式=2×-1+3=3．(2)去分母得：2-x+3(x-3)=-2，化简得2x=5，解得x= ．经检验，x= 是原方程的根．∴原方程的根是x= ．169. 解：原式= ×+ ×-3=1+ -3=- ．170. 解：原式=1-3+2- +3×=- +=0．171. 解：原式= -1-2×+1+= -1- +1+= ．172. 解：原式= ×=xy-3．∵(x- ) 2+|y-cos30°|=0，∴原式= = ．173. 解：原式= = ．174. 解：∵，∴tanB= ，sinA= ，∵∠A、∠B均为锐角，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°，∴△ABC是等边三角形．175. 解：原式= (4分)= (7分)= = (10分)176. 解：原式=-(3.14-π)+3.14÷1-2×+ +(-1)=π-3.14+3.14- + -1=π- + +1-1=π．177. 解：原式=4-3 +1-5+4×=- ．178. 解：原式=1-2 -2+6×，=1-2 -2+2 ，=1-2，=-1，179. 解：原式=3 -3×+1+9(4分)=2 +10．(5分)故答案为：2 +10．180. 解：，= ，= ．181. 解：原式=9-2×+1+ -1=9．182. 解：原式=( - )• = • =a+1(3分)把a=sin60°= 代入(1分)原式= = (1分)183. 解：原式=2- -1+2×+ =2．184. 解：原式=1-2 ×+9=10-3=7．185. 解：原式=2-2+1+2 ×=1+2=3．186. 解：原式= + ×= +=2．187. 解：原式可化为：x 2- x+ =0，∴，∴x 1=x 2= ，∴∠A=∠B=45°．188. 解：2sin45°+sin60°-cos30°+tan 260°．= ，= ．故答案为：+3．189. 解：原式=4×-( ) 2-( ) 2+1-=2 - - +1-= ．190. 解：在Rt△BCD中，sinB= ，∴BC= = =12，在Rt△ABC中，cosB= ，∴AB= = =8 ．191. 解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，∴AD= AB=4，BD= AD=4 ．在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=4 +4．192. 解：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，∴AC= AB= ×4 =2 ．∵AD平分∠BAC，∴在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴AD= = =4．193. (1)证明：∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB= ，cos∠DAC= ，又∵tanB=cos∠DAC，∴= ，∴AC=BD．(2)解：在Rt△ADC中，，故可设AD=12k，AC=13k，∴CD= =5k，∵BC=BD+CD，又AC=BD，∴BC=13k+5k=18k由已知BC=12，∴18k=12，∴k= ，∴AD=12k=12×=8．194. 解：∵CD⊥AB于D，∠A=30°，sinB= ，AC= ，∴，∴CD= ，∵AC 2=CD 2+AD 2，= +AD 2，∴AD=3，∵sinB= = = ，∴BC= ，∵BC 2=CD 2+DB 2，解得：BD=2，∴AB之长为：BD+AD=2+3=5．195. 解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB= ，AD=1，∴AB= =3，∴BD= =2 ，∴BC=BD+DC=2 +1；(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE= BC= + ，∴DE=CE-CD= - ，∴tan∠DAE= = - ．196. 解：(1)∵△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∵c=8 ，sin60°= = = ，∴a=12，∵cos60°= = = ，∴b=4 ；(2)同理得：∠B=30°，b=9 ，c=6 ．197. 解∵△ABC中，∠C=90°∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，AD= =2．198. 解：作AF⊥BC于F．在Rt△ABF中，∠ABF＝∠α＝60°，．（5分）在Rt△AEF中，∵∠β＝45°，∴AF＝EF，（7分）于是．即AC的长度为．（10分）199. 解：（1）过点P作PC⊥MN于点C，在Rt△APC中，∠PAC＝32°，PA＝30．，∴PC＝PA·sin∠PAC≈15.9．答：船P到海岸线MN的距离为15.9海里．（2）在Rt△BPC中，∠PBC＝55°，PC≈15.9，，．船A的时间：，船B的时间：．答：船B先到．200. 解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°．在R t△BAC中，cosB＝，t anB＝，∴BC＝，AC＝AB·t anB＝2 t an60°＝∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝2+4+＝．201. 解：如图：过C作CD⊥AB于D，CD为最近的简易公路．设CD= x，依题意得：在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=30°．∵=tan30°，∴AD=同理：BD= ．∵AD－BD=6，∴－=6，解得：x= ，x≈5.20(千米)．5.20×16 000=83200(元)．答：这条最近的简易公路长为5.20千米，修建简易公路的最低费用为83200元．202. 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE＝45°，∠DAE＝30°．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE为矩形．∴DE＝AB＝123．在R t△ADE中，t an∠DAE＝，∴AE＝．在R t△ACE中，由∠CAE＝45°，得CE＝AE＝．∴CD＝CE+DE＝．答：乙楼CD的高度约为335.8 m．203. 解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°在R t△ACD和R t△BCD中，设AC＝x，则AD＝x sin65°，BD＝CD＝x cos65°．∴100+ x cos65°＝x sin65°．∴x＝(米)．∴湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为207米．204. 解：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形．∴AF＝BE，EF＝AB＝2.设DE＝x，在Rt△CDE中，.在Rt△ABC中，∵，AB=2，∴.在Rt△AFD中，DF＝DE＝EF＝x－2，∴∵AF＝BE＝BC+ CE，∴.解得x＝6．答：树DE的高度为6米．205. 解：设CD= x．在Rt△ACD中，tan37°= ，则．∴AD= x．在Rt△BCD中，tan48°= ，则= ，∴BD= x．∵AD+BD=AB，∴x+ x=80．解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．206. 解：如图所示延长AB交DE于C．设CD的长为x米．由图可知，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°.∠DCB＝90°，则∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝x米．在Rt△ACD中，∠A＝30°，DC＝x，∴即，∴.∴AC－BC＝AB，AB＝20(米)∴，解得.∴.答：这棵古松的高是28.82米．207. 解：（1）如图，作AD上BC于点D，Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×= ．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD= ≈5.6．即新传送带AC的长度约为5.6米．（2）结论：货物MNQP应挪走．在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2 ，在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=4 ×=2 ，∴CB=CD－BD=2 －2 =2( －)≈2.1．∵PC=PB－CB≈4－2.1=1.9＜2，∴货物MNQP应挪走．208. 解：（1）过点E作ED⊥BC，垂足为D．由题意知，四边形EFCD是矩形，∴ED＝FC＝12，DC＝EF＝1.6．在Rt△BED中，∠BED＝45°，∴BD＝ED＝12．∴BC＝BD+ DC＝12+1.6＝13.6．答：建筑物BC的高度为13.6 m．（2）在Rt△AED中，∠AED＝52°，∴AD＝ED·tan∠AED＝12×tan52°，∴AB＝AD－BD＝12×tan52°－12≈12×1.28－12＝15.36－12＝3.36≈3.4．答：旗杆AB的高度约为3.4m．209. 解：（1）30．（2）由题意得∠PBH＝60o，∠APB＝45o．∵∠ABC＝30o，∴∠ABP＝90o．在Rt△PHB中，，在Rt△PBA中，．答：A，B两点间的距离约34.6米．210. 解：过C作CD⊥AB于D点，由题意可知AB=50×20=1000m，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD= ，∵AD+BD= + =1000，解得CD= 366 m．211. 解：在Rt△ABC中，∵∠B=30°．AC= AB= ×4 =2 ．∵AD平分∠BAC，∴在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴AD= = =4212. 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC·tan30°，BC=PC·tan45°，∵AC+BC=AB，∴PC·tan30°+PC·tan45°=100，∴( )PC=100，∴PC=50( )≈50×(3-1.732)≈63.4＞50，答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区. 213. 考查学生利用三角函数解决实际问题的能力，通过作垂线构造直角三角形是解决问题的关键.214. 解：在Rt△ACE中，∠ACE＝30°CE＝BD＝15∴tan∠ACE＝∴AE＝CE·tan∠ACE＝15·tan30°＝5∴AB＝AE＋BE＝5 ＋1.5＝8.6＋1.5＝10.1215. 解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H.∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH EG，故四边形EGHD是矩形．∴ED＝GH.在Rt△ADH中，AH＝DH·tan∠ADH＝10×tan 45°＝10(米)，在Rt△FGE中，i＝1∶＝，∴FG＝＝(米)．∴AF＝FG+GH－AH＝+3－10＝(米)．（2）设防洪堤长为l，×l＝(3+ －7)×10×500＝－10 000(立方米)．加宽部分主体的体积V＝S梯形AFED答：加固后坝底增加的宽度为( )米，需土石( －10 000)立方米．216. 在Rt△ABD中，AB＝3 m，∠ADB＝45°，所以可利用解直角三角形的知识求出AD；类似地，可以求出AC.解：在Rt△ABD中，AB＝3 m，∠ADB＝45°，所以AD＝＝3(m)．在Rt△ACD中，AD＝3 m，∠ADC＝60°.所以AC＝ADtan∠ADC＝3×tan60°＝3×＝(m)．所以路况显示牌BC的高度为( －3) m.217. （1）如题图，在Rt△ABC中，＝sin 30°，∴BC＝＝10(米)．（2）收绳8秒后，绳子缩短了4米，只有6米，这时船离岸的距离为(米)．9．题型：解答题；其它备注：主观题；分值：6；$$在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，∠ABC＝45°，求BC的长．218. 解：在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝，∠ADC＝60°，因为sin∠ADC＝，即，所以AD＝2.由勾股定理得DC＝＝1，BD＝2AD＝4，BC＝BD+DC＝5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝5，由勾股定理得AB＝＝，所以Rt△ABC的周长为AB+BC+AC＝+5+ .219. 解：存在的一般关系有：（1）sin 2A+cos 2A＝1，（2）ta n A＝.（1）证明：∵sin A＝，cos A＝，a2+ b2＝c 2，∴sin 2A+cos 2A＝＝1.（2）证明：∵sin A＝，cos A＝，∴ta n A＝＝.220. 解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D．则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米．在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，∴AD＝.在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，∴BD＝AD·tan 30°＝80 ×＝80，∴BC＝CD－BD＝240－80＝160(米)．答：这栋大楼的高为160米．221. 解:分别过B、C两点作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,则四边形BCFE为矩形,∴BE=CF,BC=EF.(1)在Rt△BAE中,i=1∶3,tanα= ≈0.333 3,∴α≈18°26′.(2)在Rt△ABE中,i=1∶3,BE=23,∴AE=3BE=3×23=69(米).在Rt△CDF中,i=1∶2.5,CF=BE=23,∴DF=2.5×23=57.5(米).∴AD=AE+EF+FD=AE+BC+FD=69+6+57.5=132.5(米),AB= ≈72.7(米).答:坡角α为18°26′,坝底AD为132.5米,斜坡AB约为72.7米.222. 解:如图1-2所示，过点A作AD⊥BD于点D,易知:AC=BC=24,∠DAC=30°.图12∴AD=24·cos30°=24×≈20.78＞20.答:货轮继续向西航行，没有触礁危险.223. 解：∵BD=AB，∴∠A=∠ADB=30°×=15°，∠BDC=60°.∴∠ADC=75°.设DC=1，则BD=AB=2，BC= ，∴tan75°=.224. 解:过A作BC的垂线,垂足为D.在Rt△ADB中,∠B=60°,∴∠BAD=30°.∴BD=AD·tan30°= AD.在Rt△ADC中,∠C=45°,∴CD=AD.又∵BC=200,∴BD+CD= AD+AD=200.∴AD= ≈126.8(米).答:这段河宽约为126.8米.225. 解:如图,过点A作AE⊥CD,在Rt△ABD中,∠ADB=β,AB=24,∴BD= .在Rt△AEC中,∠CAE=α,BD= ,∴CE=8.∴CD=CE+AB=32(米).226. 解：设AB=x米，∴AD=xcos60°= ，在直角三角形EAC中，∠EAC=90°,∠C=45°，∴AE=AC，即x+30= +40，∴x= （米）.227. 解：过C作CD⊥AB，垂足为D，可求得CD=136.5 m.∵CD=136.5 m＞120 m，∴船继续前进没有浅滩阻碍的危险. 228. 解:过C作CD⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x m,在Rt△ACD中,∠CAD=45°,∴AD=CD=x.在Rt△CBD中,∠CBD=60°,∴cos60°= .∴BD= .∵AB=AD-BD,∴20= .∴x= .答:气球离地面的高度是( ) m.229. 解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠BCD＝45°，∠ACD＝60°.设CD＝x m，则BD＝x m，AD＝CDtan 60°＝x(m)．∵AB＝50×20＝1 000(m)，∴x+ x＝1 000.∴x＝≈366.因此，建筑物C到公路的距离约为366 m.230. 解：∵l∥BC，∴∠ACB＝∠α＝8°.在Rt△ABC中，∵tan α＝，∴BC＝＝42(cm)．根据题意，得h2+42 2＝( h+6) 2，∴h＝144(cm)．答：铅锤P处的水深约为144 cm.231. 解：作CE⊥AB，垂足为E，根据题意，得CE=3 m，∠BCE=30°，∠ACE=60°.在Rt△CBE中，tan30°= ，∴BE=CE·tan30°=3×（m）.在Rt△CAE中，tan60°= ，∴AE=CE·tan60°=3×（m）.∴AB=AE+BE=≈4×1.73=6.92（m）＜8 m.因此可判断该保护物不在危险之内.232. 答：该船所在B处距离灯塔有浬.233. 解：在Rt△AED中，有AE=DE·cot60°=20×；在Rt△BFC中，有；∴BF=20×1.2=24;又EF=DC，∴AB= +6+24=30+11.53≈41.5（米）.答：坝底宽约为41.5米.234. 解：过点C作AB的垂线，交点为D，设BD=x.在Rt△BCD中，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=x.在Rt△ACD中,∵tanA= ,∠A=30°,∴( )x=1 000.∴x=500( )≈1 366(m).答：飞机再向前飞行1 366 m与地面控制点距离最近.235. 解:如图,作AD⊥BC,垂足为点D.在Rt△ADC中,AD=AC·sinC=8.在Rt△ADB中,AB= .236. 解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20 m．在Rt△ABD中，由∠BAD＝∠BDA＝45°，得AB＝BD．在Rt△BDC中，由tan∠BCD＝，得BC＝BD．又BC－AB＝AC，∴BD－BD＝20，∴BD＝≈27.3.∴古塔BD的高度约为27.3 m.237. 解：（1）在Rt△ACD中，∵cos∠CAD＝，∠CAD为锐角，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝∠CAD＝30°，即∠CAB＝60°.∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.（2）在Rt△ABC中，∵sin B＝，∴AB＝＝16.又cos B＝，∴BC＝AB·cos B＝16×.238. 解：第一次观察到的影子长为5×cot45°=5(米)；第二次观察到的影子长为5×cot30°=5 (米)．两次观察到的影子长的差=5 -5(米)．答：第二次观察到的影子比第一次长5 -5米．239. 解：如图，过点A作AD⊥BD于点D，∵∠EBA=60°，∠FCA=30°，∴∠ABC=∠BAC=30°．∴AC=BC=24，∠DAC=30°．∴AD=AC•cos30°=12 ≈20.78＞20．答：货轮继续向西航行，没有触礁危险．240. 解：作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=30°∠CBA=60°∠ACB=90°∴∠DCB=30°∴在Rt△ABC中，BC= AB=30在Rt△DBC中，CD=BCcos30°= =答：这条公路不经过该区域．241. 解：如图，作CD⊥AB于点D．在Rt△CDA中，AC=30m，∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°．∴CD=AC•sin∠C AD=30•sin60°=15 m．AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15m．在Rt△CDB中，∵BC=70，BD 2=BC 2-CD 2，∴BD= =65m．∴AB=BD-AD=65-15=50m．答：A，B两个凉亭之间的距离为50m．242. 解：在Rt△ACD中，∠ACD=45°，AD=50，∴CD=AD•cot45°=50；在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=50，∴BD=AD•cot30°=50 ；∴BC=BD-CD= -50≈36.6(m)；答：河宽为36.6米．243. 解：延长过点A的水平线交CD于点E则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，AE=BD=36∵∠CAE=45°∴△AEC是等腰直角三角形∴CE=AE=36在Rt△AED中，tan∠EAD=∴ED=36×tan30°=∴CD=CE+ED=36+12答：楼CD的高是(36+12 )米．244. 解：由题意得∠CAO=60°，∠CBO=45°，∵OA=1500×tan30°=1500×=500 ，OB=OC=1500，∴AB=1500-500 ≈634(m)．答：隧道AB的长约为634m．245. 解：过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E．则∠AEC=∠BDC=90度．∵∠EAC=45°，AE=BD=20，∴EC=20．∵tan∠ADB=tan∠EAD= ，∴AB=20•tan60°=20 ，CD=ED-EC=AB-EC=20 -20≈14.6(米)．答：树高约为14.6米．246. 解：过点P作PC⊥AB，垂足为C． (1分)由题意，得∠PAB=30°，∠PBC=60°．∵∠PBC是△APB的一个外角，∴∠APB=∠PBC-∠PAB=30°． (3分)∴∠PAB=∠APB，(4分)故AB=PB=400． (6分)在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，∴PC=PB•sin60°=400× = 米． (10分)247. 解：如图，设光线FE影响到B楼的E处．作EG⊥FM于G，由题知：四边形GMNE是矩形，∴EG=MN=30米，∠FEG=30°，在Rt△EGF中，FG=EG×tan30°=MN×tan30°=30×=10 =17.32(米)．则MG=FM-GF=20-17.32=2.68(米)，因为DN=2，CD=1.8，所以ED=2.68-2=0.68(米)，即A楼影子影响到B楼一楼采光，挡住该户窗户0.68米．248. 解：设OC=x海里，依题意得，BC=OC=x，AC= ．(3分)∴AC-BC=10，即( )x=10，∴x= =5( +1)，答：船与小岛的距离是5( +1)海里．(8分)249. 解：过B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．在Rt△BDE中，tan∠BDE= ．∴BE=DE•tan∠BDE．在Rt△ABE中，tan∠BAE= ．∴BE=AE•tan∠BAE．∴DE•tan∠BDE=AE•tan∠BAE．∴DE•tan60°=(DE+82)•tan30°．∴DE=(DE+82) ，即3DE=DE+82．∴DE=41．∴AC=BE=41 (米)．∴BC=AE=41+82=123(米)．250. 解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD= ，∴tan30°= ，∴= ，∴AD=3 m，在Rt△BCD中，∵tan∠BCD= ，∴tan45°= ，∴BD=9m，∴AB=AD+BD=3 +9(m)．答：旗杆的高度是(3 +9)m．251. 解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，∴DA=3米，在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴tan60°= ，∴CA=3 ．∴BC=CA-BA=(3 -3)米．答：路况显示牌BC是(3 -3)米．252. 解：过点P作PC⊥AB于C点，根据题意，得AB=18×=6(海里)，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°，∴PC=BC在Rt△PAC中tan30°= =即，解得PC=( +3)海里，∵+3＞6，∴海轮不改变方向继续前进无触礁危险．253. 解：过点M作直线AB的垂线MC，垂足为C，设CM=x海里，在Rt△AMC中，AC= x；在Rt△BMC中，BC= x由于AC-BC=AB得：x- x=14，解得：x=7 ，BC= x=7在Rt△BMC中，BM=2BC=14．答：灯塔B与渔船M的距离是14海里．254. 解：在Rt△DBC中，DB=3，∴BC=BD÷cos30°=2 ；在Rt△ABC中，BC=2 ，∠CAB=30°，∴AB=BC÷sin30°=4 ．∵8＞4 ，∴距离B点8米远的保护物不在危险区内．255. 解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，在Rt△ABC中，∵∠ACB=∠CAE=30°，∠ADB=∠EAD=45°，∴AC=2AB，DB=AB．设AB=x，则BD=x，AC=2x，CB=50+x，∵tan∠ACB=tan30°，∴AB=CB•tan∠ACB=CB•tan30°．∴x=(50+x)• ．解得：x=25(1+ )，∴AC=50(1+ )(米)．答：缆绳AC的长为50(1+ )米．256. 解：在直角△BCD中，sin∠CBD= ，∴CD=BC•sin∠CBD=30×sin60°=15 ≈25.95．∴CE=CD+AB=25.95+1.5=27.45≈27.5(米)．答：此时风筝离地面的高度是27.5米．257. 解：过点A作BC的垂线，垂足为D点． (1分)由题意知：∠CAD=45°，∠BAD=60°，AD=60．在Rt△ACD中，∠CAD=45°，AD⊥BC，∴CD=AD=60． (3分)在Rt△ABD中，∵，(4分)∴BD=AD•tan∠BAD=60 ． (5分)∴BC=CD+BD=60+60 (6分)≈163.9(m)． (7分)答：这栋高楼约有163.9m． (8分)(本题其它解法参照此标准给分)258. 解：∵∠BFC=30°，∠BEC=60°，∠BCF=90°，∴∠EBF=∠EBC=30°．∴BE=EF=20米．在Rt△BCE中，BC=BE•sin60°=20× ≈17.3(米)．答：宣传条幅BC的长是17.3米．259. 解：(1)正确画出示意图；(2)①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；②在测点A与小山之间的B处安置测倾器(A、B与N在同一条直线上)，测得此时山顶M的仰角∠MDE=β；③量出测倾器的高度AC=BD=h，以及测点A、B之间的距离AB=m．根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN．260. 解：由题意知，DE=CB=10米．在Rt△ADE中，tan∠ADE= ，∵DE=10，∠ADE=40°，∴AE=DEtan∠ADE=10tan40°≈10×0.84=8.4，∴AB=AE+EB=AE+DC=8.4+1.5=9.9．答：旗杆AB的高为9.9米．261. 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°．∵AC+BC=AB，∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km，∴PC=100，∴PC=50(3- )≈50×(3-1.732)≈63.4km＞50km．答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．262. 解：由矩形BCEF得到CE=BF，BC=EF，(2分)得到∠CAB=55°，(2分)得到BC=ACtan55°，(2分)BC=17.9米．(1分)答：两楼间距至少17.9米．263. 解：过点B作BD⊥AC于D，根据题意可得：EC⊥AC，FA⊥AC，∠ECB=60°，∠FAB=45°，∴∠BCD=30°，∠BAD=45°，在Rt△ABD中，AB=20(海里)，∴BD=AB•sin45°=20× =10 (海里)，在Rt△BCD中，∠BCD=30°，∴BC=2×10 =20 ≈28(海里)，∴护渔舰需小时可以到达该商船所在的位置C处，∴×60=28(分钟)，答：护渔舰约需28分钟就可到达该渔船所在的位置C处．264. 解：作CD⊥AB于D，依题意，AB=1000，∠DAC=30°，∠CBD=45°，设CD=x，则BD=x，Rt△ACD中，tan30°= = = ，整理得出：3x=1000 + x，(3- )x=1000 ，x= = =500( +1)≈1366米，即黑匣子C离海面约1366米．265. 解：∵两条水平线是平行的，∴∠B=30°，∠PAO=60°．∵PO=30，∠POA=90°，∴OB= =30 ，OA= =10 ．∴AB=OB-OA=20 ．266. 解：(1)在Rt△ABD中，AD=ABsin45°= ，(2分)∴在Rt△ACD中，AC= =2AD=8，即新传送带AC的长度约为8米．(4分)(2)结论：货物MNQP不需挪走．(5分)在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=在Rt△ACD中，CD=ACcos30°= ∴CB=CD-BD=∵PC=PB-CB=5-( )=9- ≈2.2＞2∴货物MNQP不需挪走．(8分)267. 解：(1)分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，sin∠B= ，∴在矩形AFGD中，AF=16×=8 ，DG=8 米∴S △DCE= ×CE×DG= ×8×8 =32需要填方：150×32 =4800 (立方米)；(2)在直角三角形DGC中，DC=16 米，∴GC= =24米，∴GE=GC+CE=32米，坡度i= = = ．268. 解：(1)已知AB=6m，∠ABC=45°，∴AC=BC=AB•sin45°=6× =3 ，已知∠ADC=30°．∴AD=2AC=6 ．答：调整后楼梯AD的长为6 m；(2)CD=AD•cos30°=6 ×=3 ，∴BD=CD-BC=3 -3 ．答：BD的长为3 -3 (m)．269. 解：如图，在△ABD中，∠A=45°，∠D=90°，AD=300∴AB= =300 ，BD=AD•tan45°=300，在△BCD中，∵∠BCD=60°，∠D=90°，∴BC= ，∴=100 ．1号救生员到达B点所用的时间为=150 ≈210(秒)2号救生员到达B点所用的时间为≈191.7(秒)3号救生员到达B点所用的时间为=200(秒)∵191.7＜200＜210，∴2号救生员先到达营救地点B．270. 解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．∵AB=AC，∴CE= BC=0.5．在Rt△AEC和Rt△DFC中，∵tan78°= ，∴AE=EC×tan78°≈0.5×4.70=2.35．又∵sinα= = ，DF= •AE= ×AE≈1.007．∴李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787．头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787≈0.11．∵0.05＜0.11＜0.20，∴他安装比较方便．271. 解：根据题意得：∠A=30°，∠PBC=60°所以∠APB=60°-30°，所以∠APB=∠A，所以AB=PB在Rt△BCP中，∠C=90°，∠PBC=60°，PC=450，所以PB=所以AB=PB=300 ≈520(米)答：A、B两个村庄间的距离520米．272. 解：易知四边形ABCD为矩形．∴CD=AB=1.5米．(1分)在等腰直角三角形ADE中，AD=DE÷tan45°=14.5-1.5=13米．(2分)在直角三角形ADF中，DF=AD•×tan55°．(4分)∴13+EF=13×1.4．∴EF=5.2≈5(米)．(6分)273. 解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=50(m)．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴(m)．∴BC=BD+CD= = (m)．答：这栋楼约高136.6m．274. 解：在Rt△CEB中，sin60°= ，∴CE=BC•sin60°=10× ≈8.65m，∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m，答：风筝离地面的高度为10m．275. 解：根据题意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACB=90°，所以BC=AC，于是在Rt△AOC中，由tan30°= ，得，解得AC= ≈27.32(海里)，因为27.32＞25，所以轮船不会触礁．276. 解：解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°，∴∠ACB=∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴=∵AB=CB=8∴BD=4，AD=12．∴=∴CD=4≈6.928＞6．∴船继续向东航行无触礁危险．277. 解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴四边形BCDF是矩形，∴BC=DF，CD=BF，设AB=x米，在Rt△ABE中，∠AEB=∠BAE=45°，∴BE=AB=x，在Rt△ADF中，∠ADF=30°，AF=AB-BF=x-3，∴DF= = (x-3)，∵DF=BC=BE+EC，∴(x-3)=x+15，解得x=12+9 ，答：塔AB的高度(12+9 )米．【解析】1.解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=5；∴sinA= = ．故选C．2.解：设小正方形的边长为1，则AB=4 ，BD=4，∴cos∠B= = ．故选B．3.解：设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为c，则sinA= ，cosB= ．∴sinA=cosB．故选C．4.解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2 ．∴cos∠ABC= = ．故选B．5.解：∵点P(3，4)，根据点的坐标的意义可知，∠α的对边是4，邻边为3，斜边为=5，则sinα的值为．故选B．6.解：由题意得，AO⊥BO，AO= AC=5cm，BO= BD=3cm，则tan =tan∠BAO= = ．故选A．7.解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE= ，∴sin∠AOB= = = ．故选B．8.解：如图，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴cosB= = ．故选B．9.解：利用三角函数的定义可知tan∠A= ．故选A．10.解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AB=2CD=4．∴sinB= ．故选C．11.解：过点A向BC引垂线，与BC的延长线交于点D．在Rt△ABD中，AD=2，BD=4，∴AB= =2 ，sin∠ABC= = ．故选C．12.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB= ，sinB= ，cosB= ，tanB= ，cotB=2．故选A．13.解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆∴△AEF∽△ABC∴，即cos∠BAC=∴sin∠BAC=∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6 = ．故选D．14.解：由勾股定理得，AB= = =5．由同角的余角相等知，∠BCD=∠A．∴cos∠BCD=cos∠A= = ．故选D．15.解：A、错误，无法计算；B、错误，sin60°= ，2sin30°=2×=1；C、正确，符合互余两角的三角函数关系；D、错误，cos30°= ＞cos60°= ．故选C．16.解：tanA= ，∵AC=2BC，∴tanA= ．故选A．17.解：在△ABC中，∵∠C=90°，c=3b，∴cosA= = = ．故选C．18.解：∵Rt△ABC∽Rt△DEF，∴∠E=∠ABC=60°，∴cosE=cos60°= ．故选A．19.解：cot∠A= ，∴AC=BC•cotA=a•cotA，故选B．20.解：过点O作OM⊥AB于M，在直角△AOM中，OA=2．根据OC⊥AB，则AM= AB= ，所以cos∠OAM= ，则∠OAM=30°，同理可以求出∠OAC=45°，当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45-30=15°；当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45+30=75°．故选C．21.解：连接BD，由AB是直径得，∠ADB=90°．∵∠C=∠A，∠CPD=∠APB，∴△CPD∽△APB，∴CD：AB=PD：PB=cosα．故选B．22.解：利用互为余角的三角函数关系式求解，只有A不一定成立．故选A．23.解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB= = =3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B= = ，故选A．24.解：如图，过点A作AD⊥BC于D．在△ABD中，∵∠ADB=90°，AD=3，BD=4，∴AB=5，∴sinB= = ，故A正确，不符合题意；cosB= = ，故B正确，不符合题意；tanB= = ，故C正确，不符合题意；∵tan∠BAD= = ，∠A＜∠BAD，∴tanA＜，故D错误，符合题意．故选D．25.解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，∴AC= =12，∴cosA= = ，故选：D．26.解：根据题意，由三角函数的定义可得sinA= ，则sinA= ；故选B．27.解：在Rt△ABC中，设a=2m，则c=3m．根据勾股定理可得b= m．根据三角函数的定义可得：tanB= = ．故选A．28.解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，∴设BC=5x，则AC=12x，∴AB=13x，sinB= = ．故选B．29.解：在△ABC中，∠C=90°，∵tanA= ，∴设BC=x，则AC=3x．故AB= x．sinB= = = ．故选D．30.解：∵cos40°= ，∴BC=AB•cos40°=mcos40°．故选B．31.解：∵关于x的方程(b+c)x 2-2ax+c-b=0有两个相等的实根，∴(-2a) 2-4(b+c)(c-b)=0，化简，得a 2+b 2-c 2=0，即a 2+b 2=c 2．又∵sinB•cosA-cosB•sinA=0，∴tanA=tanB，故∠A=∠B，∴a=b，所以△ABC的形状为等腰直角三角形．故选D．32.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，∴c= =5，∴cosA= = ，故选B．33.解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，cosB= = ．故选B．34.解：∵点P的坐标为(3，4)，∴OP=5．∴sinα= ．故选B．35.解：设AD=x，则CD=x-3，在直角△ACD中，(x-3) 2+ =x 2，解得，x=4，∴CD=4-3=1，∴sin∠CAD= = ；故选A．36.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=1，由勾股定理可知AC= ，则cosA= = ．故选A．37.解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，b= c，∴sinB= = = ．故选A．38.解：由点A(3，0)，点B(0，-4)，∴tan∠OAB= = ．故选C．39.解：根据锐角三角函数的概念知：把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍，那么它们的余弦值不变．故选A．40.解：∵各边的长度都扩大两倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．41.解：原式=3×= ．故选A．42.解：A、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，AD∥BE，故正确；B、由菱形的性质知，对角线互相垂直，所以有AC⊥BD，故正确；C、∵△ABC≌△CED，∴AB=BC=CE=DE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACD=180°-∠ACB-∠ECD=60°，∴△ACD也是等边三角形，有AD=AB=BC=CD，∴四边形ADCB是菱形，∴S ABCD=2S △ABC=2××AB×BC×sin60°=2 ，故错误；D、∵AD∥BE，AB=DE，∴四边形ABED是等腰梯形，故正确．故选C．43.解：因为cos30°= ，所以C正确．故选C．44.解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°= ．故选C．45.解：cos60°= ．故选A．46.解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠A=45°，sinA= ．故选B．47.解：sin30°= ．故选B．48.解：sin45°= ．故选B．49.解：∵关于x的方程x 2- +cosα=0有两个相等的实数根，∴△=0，即-4×1×cosα=0，∴cosα= ，∴α=60°．故选C．50.解：原式= + - = ．故选C．51.解：∵sin45°= ，cos45°= ，∴sin45°+cos45°= + = ．故选A．52.解：∵sin30°= ，cot45°=1，∴sin30°•cot45°= ×1= ．故选A．53.解：∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，∴∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°，∴tanB=tan60°= ，tanA=tan30°= ，cosB=cos60°= ，sinA=sin30°= ．故选A．54.解：∵sin60°= ，∴a-10°=60°，即a=70°．故选C．55.解：原式=5×+2×-3= ．故选B．56.解：∵α为锐角，tan(90°-α)= ，∴90°-α=60°，∴α=30°．故选A．57.解：∵tan(α+20°)=1，∴tan(α+20°)= ，∵α为锐角，∴α+20°=30°，α=10°．故选D．58.解：∵∠A为锐角，sinA= ，∴∠A=30°．故选A．59.解：∵sinA= ，∴∠A=30°；又∵tanB= ，∴∠B=60°．∴∠C=180°-30°-60°=90°．故选A．60.解：∵|sinA- |+(cosB- ) 2=0，∴sinA= ，cosB= ，∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°．故选D．61.解：∵正弦函数在30°到90°中是单调递增的，且sin30°= ，sin90°=1，∴＜sinA＜1．故选D．62.解：如图，过A作AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC= BC=3，在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，∴cosB= = ．故选C．63.解：在直角三角形中，根据cosB= ，求得AB= ．再根据中心对称图形的性质得到：BB′=2AB= ．故选D．64.解：如图，作底边上的高AD．∠B=30°，AB=6cm，AD为高，则AD=ABsinB=ABsin30°=3，BD=ABcosB=6×=3 ．∴BC=2BD=6 ，S △ABC= = ×3×6 =9 ．故选B．65.解：如图，过A点作AC⊥x轴于点C，∵∠AOB=30°，∴AC= OA，∵OA=6，∴AC=3，在Rt△ACO中，OC 2=AO 2-AC 2，∴OC= =3 ，∴A点坐标是：(3 ，3)，设反比例函数解析式为y= ，∵反比例函数的图象经过点A，∴k=3×3 =9 ，∴反比例函数解析式为y= ．故选B．66.解：在Rt△ABC中，cosB= ，∴BC=AB•cosB=7cos35°．故选C．67.解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC= = ，∴= ，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选A．68.解：作DE⊥AB于E点．∵tan∠DBA= = ，∴BE=5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6 ．∴AE+BE=5AE+AE=6 ，∴AE= ，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD= AE=2．故选B．69.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=∴c= ．故选A．70.解：∵∠C=30°，∠BAC=105°，∴∠BAD=∠ABD=45°．在Rt△ADB中，BD=AD，在Rt△ADC中，CD=cot∠CAD= AD，∴BC=(1+ )AD=2+2 ．解得：AD=2．故选B．71.解：设CD=x，则AC= = x，∵AC 2+BC 2=AB 2，AC 2+(CD+BD) 2=AB 2，∴( x) 2+(x+2) 2=(2 ) 2，解得，x=1，∴AC= ．故选A．72.解：∵cosB= ，∴BC=ABcosB=10cos50°．故选B．73.解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A=∠BCD．∴tanA= =tan∠BCD= ，∴CD 2=AD•BD=4，∴CD=2．故选A．74.解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵sinA= ，∴CD=ACsinA=ACsin30°=2 ×= ，∵cosA= ，∴AD=ACcos30°=2 ×=3．∵tanB= = ，∴BD=2．∴AB=AD+BD=2+3=5．故选B．75. 本题考查用三角函数解决实际问题的能力，难度中等．因为，解得，故选A．76. 本题考查三角函数的计算与推理，难度中等．，AB＝4，．由勾股定理可得，∵AB×斜边上的高＝AC×BC，，故选B．77. 本题直接考查了锐角三角函数的定义。

人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 课后练习一.选择题1．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（ ）A ．23B ．13CD 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α，那么CD 的长为（ ）A ．sin tan m αα⋅⋅B ．sin cos m αα⋅⋅C ．cos tan m αα⋅⋅D ．cos cot m αα⋅⋅ 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,3P ，点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为()090αα︒<<︒，那么tan α的值是（ ）A ．10B ．13CD ．34．如图，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），圆D 过A ，B ，O 三点，点C 为弧OBA 上的一点（不与O 、A 两点重合），连接OC ，AC ，则tanC 的值为（ ）A ．35B ．34C ．45D ．43 5．如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知6cm BC ，圆锥的侧面积为215cm π，则cos ABC ∠的值为（ ）A ．34B ．35C ．45D ．536．在直角ABC 中，90,ABC AD DC ∠=︒=，圆O 经过A 、B 、D 三点，CB 的延长线交圆O 于点E ，过点A 作圆O 的切线，交EC 的延长线于点F ，若3CF CB =，则tan CAB ∠为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．13 7．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 分别在边AD ，BC ，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A 、B 分别落在E 、F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M 作MH ⊥BC 于点H ，连接BF ，给出下列判断：①△MHN ∽△BCF ；②折痕MN 的长度的取值范围为3＜MN ＜154；③当四边形CDMH 为正方形时，N 为BC 的中点；④若DF ＝13DC ，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE 、AF 于M 、N ，下列结论：①AF ⊥BG ；②43BN NF =；③ABN CGNF S S ∆=四边形；④38BM MG =，其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④9．如图，在正方形ABCD 中．以AD 、AB 为斜边分别向外和向内作Rt △ADN 和Rt △ABM ，且满足AN=AM ，连接MN 交AD 于点T ．若DC=4，tan ∠ABM=13，则AT 的长为（ ） A ．1 B ．4 3 C ．54 D ．3 210．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A 、B 恰好分别落在反比例函数1(0)y x x =-<、4(0)y x x=>的图像上，则cos ABO ∠的值为（ ） A ．12 B ．23 C ．25 D ．14二、填空题11045|1(3)π︒+---＝_____．12．已知点P (6，a )在反比例函数12y x=的图象上，点Q 是x 轴正半轴上一点，则tan ∠POQ 的值为__________． 13．若三个锐角,,αβγ满足sin 48,cos 48,tan 48αβγ===，则,,αβγ由小到大的顺序为_______． 14．如图，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C ，D 在半圆上，OC AB ⊥，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为_______．15．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=，1BC =，2AC =，以点C 为直角顶点的Rt DCE ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若1tan 2CED ∠=，CE GE =，那么BD 的长等于______．三、解答题16．（1）计算：224sin 60tan 458cos 30︒+︒-︒（2）将221y x x =-+的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线解析式．17．如图，已知ABC ，1sin 3B =，15C ∠=︒．（要求：尺规作图．．．．，不写作法．．．．，保留作图痕迹．．．．．．）（1）在BC 边上求作点P ，连接PA ，使15PAC ∠=︒．（2）在第（1）问图中，过点A 作BC 边的垂线，交BC 于点G ，若3AB =，求CG 的长度．18．如图，已知Rt AOB △的锐角顶点A 在反比例函数m y x=的图象上，且AOB 的面积为2，若2OB =．（1）求反比例函数的解析式；（2）一条直线过A 点且交x 轴于C 点，已知1tan 5ACB ∠=，求直线AC 的解析式．19．如图，矩形ABCD 中，已知6AB =．8BC =，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ．将ABE △沿直线AE 翻折，点B 的对应点为点B '，延长AB '交直线CD 于点M ．（1）如图1，若点B '恰好落在对角线AC 上，求BE CE的值． （2）如图2．当点E 为BC 的中点时，求DM 之长．（3）若32BE CE =，求sin DAB '∠．20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点()6,0A ，()0,8B ，动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点D 从点A 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结CD 交直线AB 于点E ，设点C 运动的时间为t 秒．（1）当点C 在线段BO 上时，①当5OC =时，求点D 的坐标；②问：在运动过程中，CE ED 的值是否为一个不变的值？若是，请求出的值，若不是，请说CE ED明理由？ （2）是否存在t 的值，使得BCE 与DAE △全等？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；不存在，请说明理由．（3）过点E 作AB 的垂线交x 轴于点H ，交y 轴于点G （如图），当2HG EH 时，请直接写出所有满足条件的t 的值．21．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，动点E ，F 同时分别从点AB 出发，分别沿着射线 AD 和射线BD 的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF ，以EF 为直径作⊙O 交射线BD 于点M ，设运动时间为t ．（1）BD =________，cos ADB ∠=________（直接写出答案）．（2）当点E 在线段AD 上时，用关于t 的代数式表示DE ，DM ．（3）在整个运动过程中，①连接CM ，当t 为何值时，CDM 为等腰三角形；②圆心O 处在矩形ABCD 内（包括边界）时，求t 的取值范围直接写出答案．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)2y x m m =-+>与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，∠OCA =∠OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD =AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．23．如图，在 RtΔABC 中，∠C=90°，BC=5cm ，tanA 512=．点 M 在边 AB 上，以 2 cm/s 的速度 由点B 出发沿BA 向点A 匀速运动；同时点N 在边AC 上，以1 cm/s 的速度由A 出发沿AC 向点C 匀速运动．当点M 到达A 点时，点M ，N 同时停止运动．连接MN ，设点M 运动的时间为t (单位：s)．（1）求AB 的长；（2）当t 为何值时，ΔAMN 的面积为△ABC 面积的326； （3）是否存在时间t ，使得以A ，M ，N 为顶点的三角形与ΔABC 相似？若存在，求出时间t 的值；若不存在，请说明理由．。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）一．选择题1．计算4cos230°的值（）A．3B．1C．D．2．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tan A等于（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A的值为（）A．B．C．D．4．已知α为锐角，且，那么α的正切值为（）A．B．C．D．5．已知sin a＞，那么锐角a的取值范围是（）A．60°＜a＜90°B．0°＜a＜60°C．45°＜a＜90°D．0°＜a＜30°6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tan B＝0.75B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8D．cos B＝0.8二．填空题7．已知α是锐角，，则α＝；cosα＝．8．若sin65°＝，则cos25°＝．9．如果（α、β为锐角），则α＝，β＝．10．Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A的值为．11．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a2＝bc，则sin B 的值为．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是．13．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sin C＝．14．直角坐标系内，点A与点B（sin60°，）关于y轴对称，如果函数的图象经过点A，那么k＝．15．若锐角x满足tan2x﹣（+1）tan x+＝0，则x＝．三．解答题16．计算：cos60°﹣sin245°+30°+cos30°﹣sin30°．17．计算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α为锐角，sin（α+15°）＝，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．18．计算：（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°；（2）tan45°﹣4sin30°•cos230°．19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．（2）tan A＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．参考答案一．选择题1．解：4cos230°＝4×（）2＝4×＝3，故选：A．2．解：tan A＝＝，故选：A．3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝＝，故选：C．4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵sin A＝sinα＝＝，∴设BC＝5x，AB＝13x，∴AC＝＝＝12x，∴tan A＝＝＝，即α的正切值为．故选：A．5．解：∵sin60°＝，sinα＞，一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大，∴α＞60°，∵α为锐角，∴60°＜α＜90°，故选：A．6．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．二．填空题7．解：∵tanα﹣＝0，∴tanα＝，∵α是锐角，∴α＝60°，∴cos60°＝，故答案为：60°；．8．解：∵65°+25°＝90°，∴cos25°＝sin65°＝，故答案为：．9．解：∵|1﹣tanα|≥0，≥0，∴当（α、β为锐角），则tanα＝1，sinβ＝．∴α＝45°，β＝30°．故答案为：45°，30°．10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，得AB为斜边．由tan A＝＝2，得BC＝2AC．在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得AB＝＝AC．cos A＝＝＝，故答案为：．11．解：∵a2＝bc，即b＝，∴sin B＝＝＝＝（）2＝sin2A，又∵sin2A+sin2B＝1，∴sin2B+sin B﹣1＝0，∴sin B＝（取正值），故答案为：．12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，不妨设BC＝k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC＝＝2k，所以tan B＝＝，故答案为：2．13．解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，∴sin C＝sin60°＝．故答案为：．14．解：∵sin60°＝，∴点B（，）．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：点A为（﹣，），∵函数的图象经过点A，∴k＝×＝．15．解：∵tan2x﹣（+1）tan x+＝0，∴（tan x﹣1）（tan x﹣）＝0，∴tan x＝1或，当tan x＝1时，x＝45°；当tan x＝时，x＝60°．故x＝45°或60°．三．解答题16．解：cos60°﹣sin245°+30°+cos30°﹣sin30°＝﹣（）2+×（）2+﹣＝﹣+×+﹣＝﹣++﹣＝﹣．17．解：（1）原式＝|1﹣|﹣4×+1＝﹣1﹣2+1＝﹣；（2）∵sin60°＝，sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1＝2﹣4×+1+3＝4．18．解：（1）原式＝+3×﹣2×＝+﹣＝；（2）原式＝1﹣4××（）2＝1﹣2×＝1﹣＝﹣．19．解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，∴b＝＝＝5，∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°；（2）∵tan A＝＝2，∴a＝2b，∵S△ABC＝9，∴＝9，∴＝9，解得：b＝3（负数舍去），即a＝6，由勾股定理得：c＝＝＝3，∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+3＝9+3．20．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴DH＝DC＝x，则AD＝3﹣x．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，即CD＝；（2），∵BD＝2DE，∴，∴．。

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，BE=33PE=33x米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E 作EN ⊥AC 于点NRt △ENC 中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt △ENA 中，EN =又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30° ∴AE=Rt △AFE 中，AE== EF ，∴AF=8AE 所在的圆O 半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90° =2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记ACBC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3CPE 总是等边三角形 【解析】【分析】（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FPMC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，ACBC=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FPMC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FPMC PB=， ∵点P 是BF 的中点，∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC ，ACBC=tan30°， ∴k=tan30°=33， ∴当k 为3时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E 为CD 边上的中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 所在直线翻折得到△AD′E ，D′E 交AC 于F 点．若AB=6cm ．（1）AE 的长为 cm ；（2）试在线段AC 上确定一点P ，使得DP+EP 的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=1010÷10=10；②F点移动到F'的距离是10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝1010，∴当点F1移动到点B时，t＝101010÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F 点移动到F'的距离是10t ， 在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ， ∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ， 在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4，∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10， ∵PF ＝10 ∴PF'10t ﹣10， 在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9， 在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120. 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．7．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥；（2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

2022--2023学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．sin30°＜cos16°＜cos43°B．cos43°＜sin30°＜cos16°C．sin30°＜cos43°＜cos16°D．sin16°＜cos30°＜cos43°3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A 的是（）A．B．C．D．4．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）A．0＜sin A＜B．0＜cos A＜C．＜tan A＜1D．1＜cot A＜5．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．没有变化C．缩小为原来的D．不能确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．7．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．9．若tan B＝，则∠B的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．15°10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tan B＝0.75B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8D．cos B＝0.8 11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．二．填空题12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，则AC＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC．（1）若D为AB中点，且CD＝2，则AB＝．（2）当CD＝AB时，∠A＝α，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是．15．若∠A为锐角，且cos A＝，则∠A的取值范围是．16．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝．三．解答题17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．19．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinαcosα；若0°＜α＜45°，则sinαcosα；若45°＜α＜90°，sinαcosα．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）求证：CD＝2AD；（2）当α＝90°时，求DE的长；（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．参考答案一．选择题1．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．2．解：∵sin30°＝cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选：C．3．解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝，故选：D．4．解：A．∵sin30°＝，∴0＜sin25°＜，故A符合题意；B．∵cos30°＝，∴cos25°＞，故B不符合题意；C．∵tan30°＝，∴tan25°＜，故C不符合题意；D．∵cot30°＝，∴cot25°＞，故D不符合题意；故选：A．5．解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，则cos A＝，若把各边扩大为原来的3倍，则各边为3a，3b，3c，那么cos A＝＝，所以余弦值不变．故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：D．7．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，∴设AB＝12k，AC＝13k，∴BC＝＝＝5k，∴sin A＝＝＝，故选：A．10．解：∵tan B＝，∴∠B＝60°．故选：B．11．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．二．填空题12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，所以sin B＝＝＝，所以AC＝4，故答案为：4．13．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝AC tan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．14．解：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AB＝2CD＝2×2＝4；故答案为：4；（2）当以C点为圆心，CD为半径画弧与线段AB只有一个交点（点A、B除外），则点D必为AB的中点，∴CB≤CD或CA≤CD，∵CD＝AB，∴CB≤AB或CA≤AB∵sin A＝≤或sin B＝≤，即sinα≤sin30°或sin B≤sin30°，∴α≤30或∠B≤30°，∴α≤30°或α≥60°，∴α的取值范围为0°＜α≤30°或60°≤α＜90°．故答案为：0°＜α≤30°或45°或60°≤α＜90°．15．解：∵0＜＜，又cos60°＝，cos90°＝0，锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∴当cos A＝时，60°＜∠A＜90°．故答案为：60°＜∠A＜90°．16．解：∵∠1＝∠2，∴∠BAO＝∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA＝tan∠BAO＝＝2．故答案为：2．三．解答题17．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．19．解：（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＞AB2＞AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．（2）由（1）可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．故答案为：＝，＜，＞．20．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，即：m2﹣2（2m﹣2）＝25解得，m1＝7，m2＝﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．∴m＝7，当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，解得，x1＝3，x2＝4，不妨设a＝3，则sin A＝＝，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，∴∠ODB＝∠CBD，∵BD是角平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，∵OD∥BC，∴＝，△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴CD＝2AD；解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，当α＝90°时，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，∴∠EBC＝45°，BE＝6，∴∠DBE＝90°，由（1）可得AB＝6，＝＝，∴OB＝4，∴BD＝4，∴DE＝＝2；（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，设BC中点为点G，连接EG，∴BG＝6，当α变化时，OB的长度不变，∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，令圆弧与BC交于点F，∴BF＝4，此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，当点D，E，F三点共线时，DE最大，∴GF＝BG﹣BF＝2，∴EF＝＝2，∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．。

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP6223.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.3．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD，∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2315688t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165t =时，OE OQ ⊥. 【解析】【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴22108-=6（cm ），∵OD 垂直平分线段AC ，∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，∵CD ∥AB ，∴∠BAC=∠DCO ，∵∠DOC=∠ACB ，∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD==，∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），∵PB=t ，PE ⊥AB ，易知：PE=34t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，∴PE=EC ， ∴34t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．（2）如图，连接OE ，PC ．S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）=1414153154338838252524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =281516(05)33t t t -++<<． （3）存在． ∵28568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=52时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683． （4）存在．如图，连接OQ ．∵OE ⊥OQ ，∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG ，∴tan ∠EOC=tan ∠QOG ，∴EC GQ OC OG =，∴358544345ttt-=-，整理得：5t2-66t+160=0，解得165t=或10（舍弃）∴当165t=秒时，OE⊥OQ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.4．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【答案】解：（1）22．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，∴．∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．∴∠C′AE=45°．又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=A E=AC′=22．∴AP+BP的最小值是22．（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．5．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．6．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 的距离为15米（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：s in32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142≈．【答案】塔高AB 约为32.99米.【解析】【分析】过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°，∠ADH = 32°．设AB = x ，则 AH = x – 3．在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451AB AEB EB ∠=︒==． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AH ADH HD ∠=． 即得 3tan3215x x -︒=+． 解得 15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒． ∴ 塔高AB 约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tanPHPAH∠333，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴3，∵60千米/时=503米/秒，∴时间t=503505033≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案任务一 求锐角三角函数值子任务1 利用参数法求锐角三角函数值母题1 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC ,则tan B=( )A .13B .3C .√1010 D .3√1010变式练1：在直角三角形ABC 中,若2AB=AC ,则cos C 的值为( )A .12或2√35B .12或2√55 C .√32或2√55 D .√32或2√35子任务2 构造直角三角形求锐角三角函数值母题2 如图,已知钝角三角形ABC ,点D 在BC 的延长线上,连接AD ,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D ,AD=2,AC=32,求tan D 的值.变式练2：如图,△ABC与△BDC均为直角三角形,若∠ACB=30°,∠DBC=45°,求∠ADB的正切值.母题3如图,在△ABC中,CA=CB=4,cos C=14,则sin B的值为()A.√102B.√153C.√64D.√104变式练3：如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC.若tan B=53,则tan∠CAD的值为.子任务3利用等角转换法求锐角三角函数值母题4如图,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tan D=()A.2√2B.√24C.13D.2√23【关键点拨】变式练4：如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=1∠BAC,求sin∠BPC.2子任务4利用网格求锐角三角函数值母题5如图,这是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是.【关键点拨】变式练5：如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC=()A.√1313B.√66C.√2613D.√2626子任务5在折叠问题中求锐角三角函数值母题6如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D 处,EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为.【关键点拨】变式练6：直角三角形纸片ABC,两直角边BC=4,AC=8,现将△ABC纸片按图中方式折叠,使点A 与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是()A.12B.34C.1D.43任务二 由一个锐角的三角函数值求三角形的边长母题7 在Rt △ABC 中,∠C=90°,sin A=35,AC=8 cm,则BC 的长度为( )A .3 cmB .4 cmC .5 cmD .6 cm变式练7：已知∠A 是锐角,sin A=35,则cos A 的值为( )A .35B .45C .34D .54任务三 由一个锐角的三角函数值求三角形的面积母题8 已知△ABC 中,tan B=23,BC=6,过点A 作BC 边上的高,垂足为点D ,且满足BD ∶CD=2∶1,则△ABC 面积的所有可能值为 .变式练8：在△ABC 中,AB=3√6,AC=6,∠B=45°,则BC= .任务四 锐角三角函数的探究问题母题9 如图1,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究asinA 与bsinB 之间关系的方法:∵sin A=a c ,sin B=b c , ∴c=a sinA ,c=bsinB ∴asinA =bsinB .根据你掌握的三角函数知识,在图2的锐角三角形ABC 中,探究asinA ，bsinB ，csinC 之间的关系,并写出探究过程.图1 图2变式练9：把(sin α)2记作sin 2α,根据图完成下列各题:图1图2(1)如图1,sin 2A 1+cos 2A 1= ,sin 2A 2+cos 2A 2= sin 2A 3+cos 2A 3= .(2)观察上述等式后猜想:在Rt △ABC 中,∠C=90°,总有sin 2A+cos 2A= . (3)如图2,在Rt △ABC 中证明(2)题中的猜想.(4)已知在△ABC 中,∠A+∠B=90°,且sin A=1213,求cos A 的值.参考答案母题1 A 提示:在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC∴tan B=AC BC =AC 3AC =13.故选A .变式练1 C 提示:①当AC 为直角边时∵2AB=AC∴BC=√AB 2+AC 2=√5AB∴cos C=AC BC =2AB √5AB =2√55;②当AC 为斜边时 ∵2AB=AC∴BC=√AC 2-AB 2=√3AB∴cos C=BC AC =√3AB 2AB=√32. 综上,cos C=2√55或√32. 故选C .母题2 解:∵∠ACB=∠D+∠CAD ,∠ACB=2∠D∴∠CAD=∠D∴CA=CD. ∵∠DAB=90°∴∠B+∠D=90°,∠BAC+∠CAD=90° ∴∠B=∠BAC ∴AC=CB∴BD=2AC=2×32=3. 在Rt △ABD 中,∵∠DAB=90°,AD=2∴AB=√32-22=√5∴tan D=AB AD =√52.变式练2解:如图,过点A 作DB 延长线的垂线,垂足为点E 则∠E=90°,∠ABE=45°,AE=BE.设AE=BE=x ,则AB=√2x ,BC=√6x ,BD=CD=√3x∴DE=√3x+x ,∴tan ∠ADB=AE DE =(√3+1)x =√3+1=√3-12.母题3 D 提示:如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D在Rt △ACD 中,CD=CA ·cos C=1∴AD=√AC 2-CD 2=√15.在Rt △ABD 中,BD=CB-CD=3,AD=√15.∴AB=√BD 2+AD 2=2√6.∴sin B=AD AB =√104.故选D . 变式练3 15 提示:如图,延长AD ,过点C 作CE ⊥AD ,垂足为E.在Rt △BAD 中,tan B=AD AB =53. 可设AD=5x ,则AB=3x.∵∠CDE=∠BDA ,∠CED=∠BAD ∴△CDE ∽△BDA∴CE AB =DE AD =CD BD =12 ∴CE=32x ,DE=52x ∴AE=AD+DE=152x ∴在Rt △AEC 中,tan ∠CAD=CE AE =15.故答案为15.母题4 A 提示:如图,连接BC.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∵☉O 的半径为3,∴AB=6 ∴BC=√AB 2-AC 2=√62-22=4√2∴tan D=tan A=BC AC =4√22=2√2. 故选A .变式练4 解:如图,作AD ⊥BC 于点D.∵AB=AC=5,BC=8∴BD=CD=4,∠BAD=12∠BAC. ∵∠ADB=90°,∴sin ∠BAD=BD AB =45.又∵∠BPC=12∠BAC∴∠BPC=∠BAD ∴sin ∠BPC=45. 母题5 2 提示:如图,过点Q 作QC ∥BA ,连接PC∴∠QMB=∠CQP. 由题意得CQ 2=22+22=8 PC 2=42+42=32 PQ 2=22+62=40∴PC 2+CQ 2=PQ 2∴△PCQ 是直角三角形 ∴∠PCQ=90°∴tan ∠CQP=PC CQ =√22√2=2∴tan ∠QMB=tan ∠CQP=2. 故答案为2.变式练5 D 提示:如图,延长AC 到点D ,连接BE 交CD 于点O∴BE ⊥CD ,AB=√22+32=√13,OB=12BE=12√12+12=√22∴sin ∠BAC=OB AB =√22√13=√2626. 故选D .母题6 13 提示:∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4∴∠A=∠B.由折叠的性质得到△AEF ≌△DEF∴∠EDF=∠A ∴∠EDF=∠B∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180° ∴∠CDE=∠BFD. 又∵AE=DE=3∴CE=4-3=1.在直角△ECD 中,sin ∠CDE=CEED =13∴sin ∠BFD=13. 故答案为13.变式练6 B 提示:根据题意,BE=AE.设BE=x ,则CE=8-x. 在Rt △BCE 中,x 2=(8-x )2+42 解得x=5∴CE=8-5=3∴tan ∠CBE=CE CB =34.故选B .母题7 D 提示:∵sin A=BCAB =35∴设BC=3x ,AB=5x. 又∵AC 2+BC 2=AB 2∴82+(3x )2=(5x )2解得x=2或x=-2(舍去)∴BC=3x=6 cm . 故选D .变式练7 B 提示:∵sin 2A+cos 2A=1∴cos A=√1−(35) 2=45. 故选B .母题8 8或24 提示:如图1所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1∴BD=4.∵AD ⊥BC ,tan B=23∴AD BD =23∴AD=23BD=83∴S △ABC =12BC •AD=12×6×83=8. 如图2所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1,∴BD=12.∵AD ⊥BC ,tan B=23,∴AD BD =23,∴AD=23BD=8 ∴S △ABC =12BC •AD=12×6×8=24. 综上所述,△ABC 面积的所有可能值为8或24. 故答案为8或24.图1 图2变式练8 3√3+3或3√3-3 提示:①当△ABC 为锐角三角形时 过点A 作AD ⊥BC 于点D ,如图1.图1∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3,∴BC=BD+CD=3√3+3. ②当△ABC 为钝角三角形时过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ,如图2.图2∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3∴BC=BD-CD=3√3-3.综上,BC 的长为3√3+3或3√3-3.故答案为3√3+3或3√3-3.母题9 解:a sinA =b sinB =c sinC .理由如下:如图,过点A 作AD ⊥BC ,过点B 作BE ⊥AC在Rt △ABD 中,sin B=AD c ,即AD=c sin B 在Rt △ADC 中,sin C=AD b ,即AD=b sin C∴c sin B=b sin C ,即b sinB =c sinC 同理可得a sinA =c sinC则a sinA =b sinB =c sinC .变式练9 解:(1)1;1;1 提示:sin 2A 1+cos 2A 1=122+√322=14+34=1 sin 2A 2+cos 2A 2=1√22+1√22=12+12=1 sin 2A 3+cos 2A 3=352+452=925+1625=1.故答案为1;1;1.(2)1.(3)在题图2中,∵sin A=a c ,cos A=b c ,且a 2+b 2=c 2 则sin 2A+cos 2A=a c 2+b c 2=a 2c 2+b 2c 2=a 2+b 2c 2=c 2c 2=1 即sin 2A+cos 2A=1.(4)在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠C=90°. ∵sin 2A+cos 2A=1,∴12132+cos 2A=1 解得cos A=513或cos A=-513(舍去),∴cos A=513.。