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3.2导数的计算(27张PPT)

3.2导数的计算(27张PPT)

;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2

几个常用函数的导数 课件

几个常用函数的导数 课件

∴三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在y= x 上，∴y′= 1 .
2x
又∵kAB=
1 2
,
∴
2
1 x
得x120，=1.
0
由y0= x0，得y0=1，∴P(1,1).

【想一想】解答题1，2的关键点是什么？ 提示：(1)解答题1的关键点是数形结合分析出xR=x1这一隐含 条件. (2)解答题2的关键点是注意到|AB|是定值，数形结合分析出 “三角形面积最大，只需P到AB的距离最大”，即“点P是与 AB平行且与抛物线相切的切线的切点”这一隐含条件.
32
程是___________.
3.已知函数f(x)= x, g(x)=alnx,a∈R,若曲线y=f(x)与曲 线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切 线的方程.
【解析】1.选C.由于P,Q为抛物线x2=2y(即y=1 x2)上的点，且
2
横坐标分别为4，-2，则P(4，8)，Q(-2，2)，从而在点P处的 切线斜率k1=y′|x=4=4.据点斜式，得曲线在点P处的切线方程 为y-8=4(x-4)；同理，曲线在点Q处的切线方程为y-2=2(x+2), 上述两方程联立，解得交点A的纵坐标为-4.
2.求过点P与曲线相切的直线方程的步骤
【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的
横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交
于点A，则点A的纵坐标为( )
(A)1
(B)3
(C)-4

高二数学(理)《几个常用函数的导数及导数公式》(课件)PPT教学课件

高二数学(理)《几个常用函数的导数及导数公式》(课件)PPT教学课件

制作 09
2009年下学期
②导数公式：
(1 )常 函 f(x ) 数 C f： '(x )0; (2 )一 次 f(x 函 )k 数 x b f： '(x)k ; (3 )幂函 f(x ) 数 x n f'： (x ) nn 1 x ;
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
②导数公式：
湖下学期
(5 )指 数 f(x 函 )ax 数 f'(x ) ： axln a f(x )ex f'(x )ex
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
(5 )指 数 f(x 函 )ax 数 f'(x ) ： axln a f(x )ex f'(x )ex
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
学法归纳
1. 研究函数的导数或切线斜率的方法: ①导数定义推理：
f'( x ) li y m lif( m x x ) f( x ) K x 0 x x 0 x
②导数公式：
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
②导数公式：
湖南长郡卫星远程学校
(1)yf(x)C; (2) yf(x)x(k0);
(3)yf(x)x2; (4)yf(x)1; x
(5)yf(x) x;
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
探究2: 请利用导数定义, 求下列基本 初等函数的导数：
(1)f(x)xn; (2)f (x) sinx; (3)f(x)coxs; (4 )f(x )ax; (5)f(x)ex; (6)f (x) loagx; (7)f(x)lnx;

几个常用函数的导数 课件

几个常用函数的导数 课件

y | 0 x | | 0 | | x |
x
x
x
y | 0 x | | 0 | | x |
x
x
x
当△x>0时，比值为1，从而极限为1
当△x<0时，比值为-1，从而极限为-1 从而当x=0时，极限不存在。 故y=|x|(x∈R)没有导函数。
试自己推导教材P90的公式3、公式4。 你还能推导教材P90的其他公式吗？
x
x

1
x x x
取极限
lim y lim
1
1
x0 x x0 x x x 2 x
所以
y 1 2x
y' |x2 f '(2)
2 4
例2、y=|x|(x∈R)有没有导函数，试求之。
解: (1)当x>0时，y=x, 则y' =1
(2)当x<0时，y=-x,不难求得y' =-1
(3)当x=0时，y=0,求其导数如下：
为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简 称导数，也可记作 y/，即
f / (x) ＝ y /
＝ lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
例1：已知函数 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x 在 x = 2 处的导数
解：函数改变量 y= x+x x
算比值 y x x x
f (x0)是求函数y f (x)在x x0处的导数
如果将x0改为x,则求得的是 y f (x) y f (x) 被称为函数y=f(x)的导函数.
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都 对应着一个确定的导数 f / (x)，从而构成

《几个常用函数的导数》ppt课件

《几个常用函数的导数》ppt课件

THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。

求导公式大全(汇总).ppt

求导公式大全(汇总).ppt
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
c
7
sin 1 cos , 求 d
2
d
4
d sin cos 1 sin 1 sin cos
d
2
2
d 2 2
d 4 8
4
y x3 3 x cos x
y
3x2
1
2
x3
sin
x
4 log2
4
x
sin
7
3
x ln 2
c
10
三角函数求导公式
sin x cos x cos x sin x
tan x sec2 x cot x csc2 x
sec x sec x tan x csc x csc x cot x
c
11
例5设f
(பைடு நூலகம்
x)
2( x
ln
1), x,
x1 x1
求f ( x)及f (1), f (2)
x ) 1 2x
c
1
3.对数函数的导数
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
4.正、余弦函数的导数
(sin x) cos x
(cos x) sin x
c
2
3.2 求导法则 一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商 (分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
I
内也可导
x
,
且有
f ( x) 1
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
c
13
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )

高三数学几种常见函数的导数PPT教学课件 (2)

3.2几种常见函数的 导数
一、复习：
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率;物理学中,物 体运动过程中,在某时刻的瞬时速度,在极限思想上得 到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统 一的概念和公式——导数.
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数 y 的 f(x增 x) 量 f(x);
(2)求函数的增量的 与增 自量 变的 量 : 比值
y
f(xx)f(x) ;
x
x
(3)求 极 限 ，y 得 f(x 导 )l函 im y数 .
x 0x
3.函数f(x)在点x0处的导数 f(x0) 就是导函数 f(x)在x= x0处的函数值,即 f(x0)y|xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一.
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f(x0)，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 ).
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
公式1: C0(C为常).数 证 :yf(x )C , yf(x x )f(x )C C , y0 ,
[x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 C n n ( x ) n ] x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 C n n ( x ) n , x y f( x C ) n 1 x (x n n 1 ) C ln 2 ix n m y 2 x C n n ( x ) n 1 ,

几种常见函数的导数 新课程 课件

3.2几种常见函数的导数
公式1
公式2 公式3 公式4
C ' 0(C为常数)
x ' nx
n
n 1
(n Q).
sin x ' cos x.
cos x ' sin x.
练习巩固 1.若y sin , 则y' ( C ). 6 3 3 1 A. B. C.0 D. 2 2 2 1 1 2.曲线y 2 在点P 2, 处的切线方程为 ( B ). x 4 A.x 4 y 1 0 B.x 4 y 3 0 C.4 x y 1 0 D.4 x y 3 0
3.质点沿直线运动的路程 和时间的关系是 s 5 t ,则 质点在t 4时的速度为 ( B ). 2 2 10 23 4.求抛物线y x 2上的点到直线x y 2 0的最短距离 . 5.抛物线y x 2上点A的切线与直线 3 x y 1 0的夹角 为45 导数
练 习2 1.求 下 列 函 数 的 导 数 :
1 y x
2 y 1 sin x 1 2 x 2.已 知 函 数 f x x 2 x 1, 若f ' x0 f x0 , 求x0的 值.
2
2 cos x;

A.
1
5 3
B.
1
5
25 3 C. 2 5
1 5 3 D. 2 10
3.3函数的和、差、积、商的导数
1、和（或差）的导数 法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两 个函数的导数的和（或差），即
u v ' u 'v'.
例2 求下列函数的导数:
1y x

5.2.1基本初等函数的导数课件(人教版)


2. 若f ( x) x,则f ( x) 1；
3. 若f ( x) x2 ,则f ( x) 2x；
4. 若f ( x) x3 ,则f ( x) 3x2；
5. 若f
x
1 x
,则f
x
1； x2
6. 若f x x ,则f x 1 .
2x
推广: 若y f ( x) x，则 y x1
O
x
从物理的角度理解：
若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬 时速度为1的匀速运动.
探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x, y=3x, y=4x的图象,并根 据导数定义,求它们的导数.
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?
y y=4x y=3x
(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪 一个增加得最慢?
基本初等函数的导数公式
1. 若f ( x) c,则f ( x) 0
2. 若f ( x) xn ,则f ( x) nxn1(n R)
3. 若f ( x) sin x,则f ( x) cos x
4. 若f ( x) cos x,则f ( x) sin x
5. 若f ( x) a x ,则f ( x) a x ln a
某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
4. 函数y f ( x) x3的导数
因为y f ( x x) f ( x) ( x x)3 x3
x
x
x
x3 3x2 x 3x (x)2 (x)3 x3 x
3x2 3x x (x)2,
所以y
lim
x0
y x
lim
x0
Thank you for watching !

导数公式大全ppt课件


(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);


v( u(
x) x)

u( x)v( x) - u( x)v( x)

[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2

1 u( x)


-
u( x) u2 ( x)
(3)
y'

x ( )' 1- x2

x '(1-
x2 ) - x(1(1- x2 )2
x2 ) '

1-
x2 - x(-2x) (1- x2 )2
1 x2
(1 - x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'-3(x sin x)'0 6x2 - 3(sin x x cos x)
故
f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1)
= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例 2 设 y = xlnx ， 求 y .
d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(-sin x) cos x - xsin x
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5x 3
5
5
5 5x 8
公式3: (s ixn )coxs.
s inx
要证明这个公式,必须用到一个常用极限
lim
x0
x
1.
证 : y f ( x ) s x , i y f n ( x x ) f ( x ) sx i x ) n s x i
x x
2coxs( )sin ,
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
公式1: C0(C为常)数 . 证 :yf(x)C,yf(xx)f(x)CC,y0,
x f(x)Clim y0.
x 0x
公式2: (xn)nnx 1(n Q ).
请注意公式中的条件是 nQ,但根据我们所掌握 的知识,只能就 nN*的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
x 0 x
lx i0[m C n 1xn1C n 2xn2 x C n n( x)n1]nn x 1.
例 :(x 如 3) 3 x 3 1 3 x 2 ;(x 1 2)(x 2) 2 x 2 1 2 x 3x 2 3;
( x)(x1 2)1x1 211x1 2 1; 2 2 2x
(1) (x 5 3) 3x 5 3 1 3x 5 8 3.
(2)求函数的增量的 与增 自量 变的 量: 比值
y f(xx)f(x)
;
x (3)求
极
x 限
， y 得 f(x 导 )l函 i m y数 .
x 0x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.
3.函数f(x)在点x0处的导数 f (x0) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f(x0)f(x)|xx0.这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
例5:求双曲线 y 1 与抛物线 y x 交点处切线的夹角.
x
解 ： 联 立 yy 方 1 xx,解 程 得 组 x y 1 1,故 交 点 1， 1） .为 （
证 : y f ( x ) x n , y f ( x x ) f ( x ) ( x x ) n x n
[x n C n 1x n 1 x C n 2x n 2( x )2 C n n ( x )n ]x n
C n 1x n 1 x C n 2x n 2( x )2 C n n ( x )n , x y f( xC ) n 1 x (x n n 1 ) C ln 2 ix m n y2 x C n n ( x )n 1 ,
O
Ax
O M O sP iM n 1 P s0 O ti;n
故点M的运动方程为:y=10sint.
v y (1s0 ti)n 1c0 to . s
故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一明理由.
y2coxs( 2x)s
i n 2xc2 oxs(x2)s
i nx 2,
x
x
2 x
f(x)(sixn) lxi m 0 xy lxi m 0c oxs(2x)2 lxi m 0s inx2x
2
c oxs1c oxs.
同理可证,公式4: (cx o)ssixn.
三、例题选讲
1
例1:求过曲线y=cosx上点P( 直的直线方程.
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数 y 的 f(x增 x) 量 f(x);
曲 线 P(1,在 1)处 的 切 线k 的 y|x 斜 13率 ,
从而切线 y1方 3(程 x1)为 即 , 3xy40.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
|b ( 4 )|1 0 |b 4 | 1, 0 b 6 或 b 1;4 3 2 1
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
3
,
2
)且与过这点的切线垂
解 故y 曲 ： c线 x o , 在 P(s y 点 ,1 )处 six 的 ,n y 切 |x 3 线 斜 s ix 率 3 n ， 为2 3 .
32
2
从而P过 点且与切线垂直 的的 斜直 率2线 为 ；
所 求 的 直 线y方 1程2 (为 x), 3
23 3
解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由 y (s x ) ic n x o ,得 y s |x x 0 cx o 0 ; s 由 y (c x ) o sx s i ,得 n y |x x 0 sx i 0 ;n 由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.
即2x 3y2 30.
32
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速
运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在
y轴上的射影点M的速度.
y
解:时刻t时,因为角速度1rad/s,
所以 PO1 A ttra.d
M
P
M P P OO trA a ; d
这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.
练习1:曲线y=sinx在点P( , 2 )处的切线的倾斜角为
2
42
arctan
________2___.
例4:已知曲线 距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平行且
解 y： x 1 3,y(x 1 3)(x3) 3x4;