人教版数学高三-9.2直接证明与间接证明一轮教案蒋玉清

2．2直接证明与间接证明教学目标：〔1〕理解证明不等式的三种方法：比拟法、综合法和分析法的意义；〔2〕掌握用比拟法、综合法和分析法证明简单的不等式；〔3〕能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；〔4〕通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:〔不等式证明三种方法的理解〕==〉〔简单应用〕==〉〔综合应用〕2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．〔1〕不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立〔或都不成立〕，而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．〔2〕比拟法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比拟法是最根本、最重要的方法．②证明不等式的比拟法，有求差比拟法和求商比拟法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比拟法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比拟法，使用求商比拟法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比拟法的根本步骤是：“作差→变形→断号〞．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比拟法的根本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系〞，需要注意的是，作商比拟法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．〔3〕综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果〞：从的不等式出发，通过一系列条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：〔〕==〉〔逐步推演不等式成立的必要条件〕==〉〔结论〕〔4〕分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆〞，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因〞：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：〔〕<==〔逐步推演不等式成立的必要条件〕<==〔结论〕④分析法是证明不等式时一种常用的根本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.〔5〕关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后到达题设的条件．即推理方向是：结论.综合法那么是从数学题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后到达待证结论或需求问题．即：结论．③分析法的特点是：从“结论〞探求“需知〞，逐步靠拢“〞，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“〞推出“可知〞，逐步推向“未知〞，其逐步推理实际上是要寻找的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比拟麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明〔比拟法〕教学目标1．掌握证明不等式的方法——比拟法；2．熟悉并掌握比拟法证明不等式的意义及根本步骤．教学重点:比拟法的意义和根本步骤.教学难点:常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：〔－〕导入新课教师提问：根据前一节学过〔不等式的性质〕的知识，我们如何用实数运算来比拟两个实数与的大小？找学生答复以下问题．〔学生答复：，，，〕［点评］要比拟两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比拟法．现在我们就来学习：用比拟法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比拟法证明不等式，导入本节课学习的知识．〔二〕新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比拟法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比拟两个实数的大小、比拟式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比拟转化为一个一般式子与0的大小比拟，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比拟法．目的：帮助学生构建用比拟法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比拟法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 .都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比拟法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>2()0a b a b ≠∴->又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比拟法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立小结：作商比拟法的根本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系〞，需要注意的是，作商比拟法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式． 〔最后是与1比拟〕(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．练习：1．求证2． ， ， ，d 都是正数，且，求证 目的:掌握用比拟法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反应课堂教学效果，调节课堂教学．〔四〕布置作业2、：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3 2211x x ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步稳固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的根本思路,即“由因导果〞,从条件及不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A ()⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |. (3)ab b a ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=〞号. (4)当a ,b 同号时有ab b a +≥2,当且仅当a =b 时取“=〞号. (5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=〞号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=〞号.●教学难点“由因导果〞时,从哪个不等式出发适宜是综合法证明不等式的难点.●教学过程1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数〞的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系:(1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab b a ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=〞号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=〞号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=〞号； 〔6〕33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=〞号； 〔7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=〞号.今天，我们在上一节课学习“比拟法〞证明不等式的根底上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。

芯衣州星海市涌泉学校第三节直接证明与间接证明一、复习目的：1．理解直接证明的两种根本方法：分析法和综合法；理解分析法和综合法的考虑过程、特点。

2．理解间接证明的一种根本方法──反证法；理解反证法的考虑过程、特点。

二、重难点：1、重点：能纯熟运用三种证明方法分析问题或者者证明数学命题。

2、难点：运用三种方法进步分析问题和解决问题的才能。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳四、教学过程〔一〕、谈考纲要求及新课程高考命题考察情况，促使积极参与学生阅读复资P145页教师点评，增强目的及参与意识。

〔二〕、知识梳理，方法定位〔学生完成复资P146页填空题，教师准对问题讲评〕1、直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种根本方法——分析法和综合法⑴综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。

框图表示：〔其中P表示条件，Q表示要证的结论〕。

综合法的思维特点是：由因导果，即由条件出发，利用的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为断定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止，这种证明方法叫分析法。

框图表示：。

分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而A 为真，故命题B 必为真。

2、间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法。

反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫反证法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾断定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

教学准备1. 教学目标一. 知识及技能目标（1）了解直接证明的两种基本方法: 综合法和分析法.（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点.二. 过程及方法目标（1）通过对实例的分析、归纳及总结, 增强学生的理性思维能力.（2）通过实际演练, 使学生体会证明的必要性, 并增强他们分析问题、解决问题的能力．三. 情感、态度及价值观通过本节课的学习, 了解直接证明的两种基本方法, 感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用, 养成言之有理、论之有据的好习惯, 提高学生的思维能力．2. 教学重点/难点教学重点: 综合法和分析法的思维过程及特点。

教学难点: 综合法和分析法的应用。

3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、复习引入【师】证明对我们来说并不陌生, 我们在上一节学习的合情推理, 所得的结论的正确性就是要证明的, 并且我们在以前的学习中, 积累了较多的证明数学问题的经验, 但这些经验是零散的、不系统的, 这一节我们将通过熟悉的数学实例, 对证明数学问题的方法形成较完整的认识。

合情推理分为归纳推理和类比推理, 所得的结论的正确性是要证明的, 数学中的两大基本证明方法——直接证明及间接证明。

今天我们先学习直接证明。

二、新知探究（一）知识点一:综合法1.引例探究证明下列问题: 已知a,b>0,求证: /问题1: 其左右两边的结构有什么特点？【生】右边是3个数a, b, c的乘积的4倍, 左边为两项之和, 其中每一项都是一个数及另两个数的平方和之积.问题2: 利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和及这两个数的积的不等关系？【生】基本不等式问题3: 步骤上应该怎么处理？【解答过程】问题4: 讨论上述证明形式有什么特点？【生】充分讨论, 思考, 找出以上问题的证明方法的特点2.形成概念。

芯衣州星海市涌泉学校贾汪区建平中学高三数学一轮复习教案：直接证明与间接证明教学目标理解直接证明与间接证明2、培养学生分析问题的才能教学重难点利用反证法解决问题教学参考各高考题教学与测试授课方法自学引导类比教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、直接证明综合法；分析法二、间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法考虑：1.综合法与分析法，哪种方法好？2．反证法中所说的“得出矛盾〞是什么意思？三、例题分析：例1设a、b、c＞0，证明＋＋≥a＋b＋c.总结：综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或者者不等式等．(2)条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型1．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，那么a与b大小关系为2．证明不等式：x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.解题反思：教学过程设计教学二次备课例2a＞0，－＞1，求证：＞.总结：分析法是逆向思维，当条件与结论之间的联络不够明显、直接，或者者证明过程中所需要用的知识不太明确、详细时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或者者不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，一定要严格按照格式书写.例3．a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．总结：用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否认结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否认结论进展推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进展推证，否那么，仅否认结论，不从结论的反面出发进展推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．五、课堂小结六、课后作业1．非零向量a⊥b，求证：≤.学生练习：P3382、5板演，2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，假设a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°.2．用分析法证明：ac＋bd≤·课外作业课时作业223页4,10教学小结。

7.5 直接证明与间接证明导学目标1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．自主梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．自我检测1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”的假设内容应是()A.3a＝3b B.3a<3bC.3a＝3b且3a<3b D.3a＝3b或3a<3b3．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是() A．|a－c|≤|a－b|＋|c－b|B．a2＋1a2≥a＋1 aC.a ＋3－a ＋1<a ＋2－aD ．|a －b |＋1a －b≥2 4．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗(a ⊕c )等于( )A ．aB ．bC ．cD ．d5．设x 、y 、z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2考点探究探究点一 综合法例1 已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .变式迁移1 设a ，b ，c >0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .探究点二 分析法例2 若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .变式迁移2 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.探究点三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．变式迁移3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·上海改编)若实数x 、y 、m 满足|x －m |＞|y －m |，则称x 比y 远离m .(1)若x 2－1比1远离0，求x 的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab . 多角度审题 (1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解． (2)第(2)小题，实质是证明不等式|a 3＋b 3－2ab ab |>|a 2b ＋ab 2－2ab ab |成立．证明时注意提取公因式及配方法的运用．『答题模板』(1)解 由题意得||x 2－1＞1，即x 2－1＞1或x 2－1＜－1.『2分』由x 2－1＞1，得x 2＞2，即x ＜－2或x ＞2；由x 2－1＜－1，得x ∈∅.综上可知x 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．『4分』(2)证明 由题意知即证||a 3＋b 3－2ab ab ＞||a 2b ＋ab 2－2ab ab 成立．『6分』∵a ≠b ，且a 、b 都为正数，∴||a 3＋b 3－2ab ab ＝||a 32＋b 32－2a 3b 3＝||a 3－b 32＝(a a －b b )2， ||a 2b ＋ab 2－2ab ab ＝||ab a ＋b －2ab ＝ab (a －b )2＝(a b －b a )2，『8分』 即证(a a －b b )2－(a b －b a )2＞0，即证(a a －b b －a b ＋b a )(a a －b b ＋a b －b a )＞0，需证[]a －b a ＋b []a －b a ＋b ＞0，『10分』 即证(a ＋b )(a －b )2＞0，∵a 、b 都为正数且a ≠b ，∴上式成立．故原命题成立．『12分』 『突破思维障碍』1．准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键．2．代数式|a 3＋b 3－2ab ab |与|a 2b ＋ab 2－2ab ab |中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便．『易错点剖析』1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去．2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错．课堂小结1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果．2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法．3．用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)答案自主梳理1．(1)①推理论证 成立 (2)①要证明的结论 充分条件2．不成立 矛盾自我检测1．A 『由分析法的定义可知．』2．D 『因为3a >3b 的否定是3a ≤3b ， 即3a ＝3b 或3a <3b .』3．D 『D 选项成立时需得证a －b >0.A 中|a －b |＋|c －b |≥|(a －b )－(c －b )|＝|a －c |，B 作差可证；C 移项平方可证．』4．A 『由所给的定义运算知a ⊕c ＝c ，d ⊗c ＝a .』5．C 『a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥6， 因此a 、b 、c 至少有一个不小于2.』例1 解题导引 综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立，再进一步得出结论．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.∴a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2； ∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥ab ＋bc ＋ca ＋2(ab ＋bc ＋ca )，∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ca )．∴原命题得证．变式迁移1 证明 ∵a ，b ，c >0，根据基本不等式，有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 例2 解题导引 当所给的条件简单，而所证的结论复杂，一般采用分析法．含有根号、对数符号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以考虑分析法．证明 要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ， 只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .(中间结果) 因为a ，b ，c 是不全相等的正数，则a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ca >0. 且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .(中间结果) 所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 变式迁移2 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证 ⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a2＋4 ≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立． 例3 解题导引 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立， 因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2相矛盾，因此1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立． 变式迁移3 证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0.∵a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6， ∴x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)≤0，①又∵(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，π－3>0，∴(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0.。

高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案教学内容：直接证明与间接证明教学目标：1、了解直接证明和间接证明的定义2、能够应用直接证明和间接证明的方法解决问题3、通过练习，掌握直接证明和间接证明的技巧，提高数学思维能力教学重点：1、了解直接证明和间接证明的方法2、掌握直接证明和间接证明的技巧教学难点：1、掌握间接证明的方法2、理解并应用间接证明的原理教学方法：讲授、演示，课堂练习教学工具：教材、黑板、彩色粉笔教学过程：Step1.导入新知教师通过提问，引出本节课的主题：直接证明与间接证明T：在讲解定理和证明的时候，我们遇到了不同的方法，例如直接证明和间接证明。

那么，大家知道直接证明与间接证明是什么吗？它们有什么区别？S：老师，直接证明是用已知的事实来推出结论，而间接证明是用推论的相反来推出结论。

直接证明与间接证明的区别在于前者是从已知开始，后者是从结论开始。

T：非常好！接下来，我们就来学习直接证明和间接证明的方法。

Step2.学习新知教师通过讲解及举例，介绍直接证明和间接证明的方法。

直接证明：从已知出发，逐步推出结论间接证明：采用反证法，否定假设，得到结论例1：直接证明已知：若n是偶数，则n^2是偶数结论：若n是奇数，则n^2是奇数T：大家看一下这个例子，我们可以通过直接证明来证明结论。

首先，我们假设n是奇数，那么我们可以把n表示为2k+1，其中k是整数。

接着，我们可以将n^2表示为(2k+1)^2=4k^2+4k+1。

我们可以看到，4k^2+4k是一个偶数，而1是一个奇数，所以n^2是奇数。

这样，我们就证明了原来的结论。

例2：间接证明已知：对于任意的正整数n，当n取模3时余数为1或2结论：不存在正整数a、b、c，使得a^2+b^2=c^2且a、b、c均除以3余1T：在这个例子中，我们需要用到间接证明的方法来证明结论。

首先，我们假设存在正整数a、b、c，满足a^2+b^2=c^2且a、b、c均除以3余1。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明概述1.1 直接证明的概念与特点1.2 间接证明的概念与特点1.3 直接证明与间接证明的联系与区别第二章：直接证明方法2.1 综合法2.2 分析法2.3 穷举法2.4 构造法第三章：间接证明方法3.1 反证法3.2 归谬法3.3 举例法3.4 类比法第四章：直接证明与间接证明的应用4.1 数学定理的证明4.2 数学命题的证明4.3 实际问题的证明第五章：案例分析与练习5.1 案例分析：运用直接证明与间接证明解决实际问题5.2 练习题：选择题、填空题、解答题第六章：证明策略与证明方法的选择6.1 证明策略的选择6.2 直接证明与间接证明的转换6.3 证明方法的适用场景分析第七章：证明过程中的逻辑思维训练7.1 逻辑思维的基本概念7.2 证明过程中的逻辑推理7.3 逻辑思维在证明中的应用实例第八章：数学竞赛中的直接证明与间接证明8.1 数学竞赛证明题的特点8.2 数学竞赛中的直接证明策略8.3 数学竞赛中的间接证明技巧第九章：数学研究中的直接证明与间接证明9.1 数学研究中的证明方法9.2 直接证明与间接证明在数学研究中的应用9.3 数学研究中的证明策略案例分析10.1 直接证明与间接证明的核心概念回顾10.2 证明方法的综合运用10.3 证明策略在数学学习和研究中的应用10.4 拓展阅读材料与思考题重点和难点解析一、直接证明与间接证明概述补充说明：直接证明与间接证明是数学证明的两种基本方式，它们在证明过程中的应用场景和证明方法各有不同。

理解它们之间的联系与区别有助于学生更好地选择合适的证明方法。

二、直接证明方法补充说明：构造法是直接证明中的一种重要方法，通过构造特定的数学对象或模型来证明问题的正确性。

学生在学习构造法时，需要掌握构造的核心思想和方法。

三、间接证明方法补充说明：反证法是间接证明中的一种常用方法，通过假设命题的反面成立，进而得出矛盾，从而证明原命题的正确性。

7.5 直接证明与间接证明『考纲解读』1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．“直接证明和间接证明”在高考中一般不直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时考查本部分内容．它是每年高考考查的重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，客观题、主观题都可能涉及，以考查“直接证明”中的综合法为主．『考点梳理』1．直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法．(2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法．(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．间接证明反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论____________)，经过______________，最后得出__________，因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．『基础自测』要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是() A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法要证明a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明()A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1≤0C．－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式成立的是()A．a2<b2B．a2b<ab2C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b在用反证法证明“∀实数x ，x 2＋x ＋1>0”时，其假设是____________________． 设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1，其中能推出：“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件是________．『典例解析』类型一 直接证明设a ，b ，c >0，求证：3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.类型二 间接证明 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ，b ，c 三边的倒数成等差数列．求证：∠B <π2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．『名师点津』1．综合法证题是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件．综合法的解题步骤用符号表示是：P(已知) ⇒Q1⇒Q2⇒Q3⇒…⇒Q n⇒Q(结论)．2．分析法是一种“执果索因”的证明方法，它的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件．分析法的解题步骤用符号表示是：B(结论) ⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)．3．分析法与综合法的综合应用(1)分析法和综合法是两种思路相反的证明推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推．(2)二者各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁，且表述易错；综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表述．4．用反证法证明命题的一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件相矛盾的结果；(4)断定产生矛盾的原因在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．5．可用反证法证明的数学命题类型(1)结论是否定形式的命题；(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题；(3)结论的反面是较明显或较易证明的命题；(4)用直接法较难证明的命题．6．常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个没有一个∀x成立∃x0不成立至多有一个至少有两个∀x不成立∃x0成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q 至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q答案『考点梳理』1．(1)推理论证 成立 由因导果 (2)结论 充分条件 结论 执果索因2．不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误 『基础自测』解：从要证明的结论(比较两个无理数的大小)出发，转化为比较有理数的大小，这正是用分析的方法证明问题．故选B.解：∵a 2＋b 2－1－a 2b 2＝－(a 2－1)(b 2－1)，∴a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔ (a 2－1)(b 2－1)≥0.故选D.解：∵a ，b 为非零常数，∴a 2b 2>0.又由a <b 两边同除以a 2b 2得1ab 2<1a 2b.故选C.解：假设所要证明的结论不成立，即∃实数x 0，x 20＋x 0＋1≤0.故填∃实数x 0，x 20＋x 0＋1≤0.解：对于①，a ，b 均可小于1；对于②，a ，b 均可等于1；对于④⑤，a ，b 均可为负数；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2与③矛盾，故③能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”，故填③.证明：∵a ，b ，c >0，a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)(a ＋b )≥2ab (a ＋b )， ∴a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2≥2a 2b ＋2ab 2， ∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2， ① 同理，b 3＋c 3≥b 2c ＋bc 2， ② a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2，③①＋②＋③得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2，∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 3＋a 2b ＋a 2c )＋(b 3＋ab 2＋b 2c )＋(c 3＋ac 2＋bc 2)＝a 2(a ＋b ＋c )＋b 2(b ＋a ＋c )＋c 2(c ＋a ＋b ) ＝(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．『评析』在证明本题的过程中，若直接将结论展开证明，虽然可能成功，但相比从已知公式定理出发进行证明，有一定的复杂性，所以在使用分析法出现困难时，应及时回顾相关的知识背景，分析通过怎样的配凑或变形可以使已知公式定理接近结论，才是明智之举．只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，∵a ＞0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而该不等式显然成立(a ＝1时取等号)，故原不等式成立．证明：若a ，b ，c 的倒数成等差数列，则1a ＋1c ＝2b .假设B ≥π2，从而∠B 是△ABC的最大角，根据“大角对大边”得b >a ，b >c .所以1a >1b ，1c >1b ，相加得1a ＋1c >2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，所以假设不成立．因此∠B <π2.『评析』相比直接证明，本题采用反证法，能快速解决问题，可见证题方向的重要性．同时，熟练掌握一些适用面较宽的解题方法，如(三角)换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、坐标法、数形结合法、构造法等，才能在答题时，将好的方法信手拈来．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )．而f (0)，f (1)为奇数，即c 为奇数，a ＋b ＋c 为奇数．则a ，b ，c 同时为奇数，或a ，b 同时为偶数，c 为奇数．当n 为奇数时，an 2＋bn 为偶数；当n 为偶数时，an 2＋bn 也为偶数，即an 2＋bn ＋c 为奇数，与an 2＋bn ＋c ＝0矛盾．∴f (x )＝0无整数根．。

7.5 直接证明与间接证明『考纲分析』1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．『复习指导』在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．『基础梳理』1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．『助学微博』一个关系综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立． 『考向探究』考向一 综合法的应用『例1』►设a ，b ，c ＞0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .『训练1』 设a ，b 为互不相等的正数，且a ＋b ＝1，证明：1a ＋1b＞4.考向二 分析法的应用『例2』►已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m.『训练2』 已知a ，b ，m 都是正数，且a ＜b .考向三 反证法的应用『例3』►已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)用反证法证明f (x )＝0没有负根．『训练3』 已知a ，b 为非零向量，且a ，b 不平行，求证：向量a ＋b 与a －b 不平行．答案『例1』『审题视点』 用综合法证明，可考虑运用基本不等式．证明 ∵a ，b ，c ＞0，根据均值不等式，有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )． 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．『训练1』证明 1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2＝4. 又a 与b 不相等．故1a ＋1b＞4. 『例2』『审题视点』 先去分母，合并同类项，化成积式．证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．『训练2』证明 要证明a ＋m b ＋m ＞a b，由于a ，b ，m 都是正数， 只需证a (b ＋m )＜b (a ＋m )，只需证am ＜bm ，由于m ＞0，所以，只需证a ＜b .已知a ＜b ，所以原不等式成立．(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)『例3』『审题视点』 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x 0＜0后，应推导出x 0的范围与x 0＜0矛盾即可．证明 (1)法一 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，ax 2－x 1＞1，且ax 1＞0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)＞0.又因为x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 2＋1x 1＋1＝3x 2－x 1x 2＋1x 1＋1＞0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＞0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．法二 f ′(x )＝a x ln a ＋3x ＋12＞0，∴f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0＜ax 0＜1，所以0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2，与x 0＜0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x 0)＝0没有负根． 当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．『训练3』证明 假设向量a ＋b 与a －b 平行，即存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )成立，则(1－λ)a ＋(1＋λ)b ＝0，∵a ，b 不平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝0，1＋λ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－1， 所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．。

直接证明和间接证明课程教案一、教学目标1. 让学生理解直接证明和间接证明的概念。

2. 培养学生运用直接证明和间接证明解决问题的能力。

3. 引导学生掌握数学归纳法、反证法等间接证明方法。

二、教学内容1. 直接证明：定义、分类、方法及应用。

2. 间接证明：数学归纳法、反证法的原理与步骤。

3. 实例分析：利用直接证明和间接证明解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 重点：直接证明和间接证明的概念、方法及应用。

2. 难点：数学归纳法、反证法的原理与步骤。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直接证明和间接证明的定义、分类、方法及应用。

2. 运用案例分析法，让学生通过实例掌握直接证明和间接证明的解题技巧。

3. 运用讨论法，引导学生探讨数学归纳法、反证法的原理与步骤。

五、教学准备1. 教案、课件、教材等相关教学资源。

2. 练习题及答案。

3. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。

六、教学过程1. 引入新课：通过讲解一个实际问题，引导学生思考如何运用直接证明和间接证明解决问题。

2. 讲解直接证明：介绍直接证明的定义、分类及方法，并通过例题展示如何运用直接证明解决问题。

3. 讲解间接证明：介绍数学归纳法和反证法的原理与步骤，并通过例题展示如何运用数学归纳法和反证法解决问题。

4. 练习与讨论：让学生分组练习，运用直接证明和间接证明解决给定的问题，并进行讨论交流。

5. 总结与拓展：总结本节课所学内容，强调直接证明和间接证明在数学论证中的重要性，并给出一些拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。

七、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，巩固直接证明和间接证明的方法。

3. 选择一道拓展问题进行思考，下节课分享解答过程。

八、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习积极性。

2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评价学生的掌握程度。

3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明的概念与方法1.1 直接证明的定义引导学生了解直接证明的概念，理解直接证明是通过逻辑推理直接证明命题的正确性。

举例说明直接证明的过程和方法。

1.2 直接证明的基本方法介绍直接证明的基本方法，包括数学归纳法、反证法、归纳法等。

通过具体例子讲解这些方法的应用和步骤。

第二章：直接证明的运用2.1 运用直接证明解决简单命题让学生练习运用直接证明解决简单的数学命题，巩固对直接证明的理解。

提供一些练习题，让学生独立完成并解释证明过程。

2.2 运用直接证明解决复杂命题引导学生如何将复杂命题分解为简单的子命题，逐个进行直接证明。

提供一些综合性的练习题，让学生练习证明过程。

第三章：间接证明的概念与方法3.1 间接证明的定义引导学生了解间接证明的概念，理解间接证明是通过反证法、归纳法等方法间接证明命题的正确性。

举例说明间接证明的过程和方法。

3.2 间接证明的基本方法介绍间接证明的基本方法，包括反证法、归纳法等。

通过具体例子讲解这些方法的应用和步骤。

第四章：间接证明的运用4.1 运用间接证明解决简单命题让学生练习运用间接证明解决简单的数学命题，巩固对间接证明的理解。

提供一些练习题，让学生独立完成并解释证明过程。

4.2 运用间接证明解决复杂命题引导学生如何将复杂命题转化为反证法或归纳法问题，进行间接证明。

提供一些综合性的练习题，让学生练习证明过程。

第五章：直接证明与间接证明的综合运用5.1 综合运用直接证明与间接证明解决实际问题引导学生如何根据问题的特点选择直接证明或间接证明的方法。

提供一些实际问题，让学生练习综合运用直接证明与间接证明的方法。

5.2 案例分析与讨论提供一些案例，让学生分析并讨论如何运用直接证明与间接证明的方法解决问题。

引导学生总结经验，提高解题能力和逻辑思维能力。

第六章：证明题的类型与策略6.1 证明题的类型分析常见的证明题类型，如几何证明、代数证明、数列证明等。

2.2.2直接证明与间接证明（第2课时）一、教学目标1．核心素养培养学生用分析法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生逻辑推理能力，以及分析、解决问题的能力．2．学习目标（1）结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．（2）会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．学习重点掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．4．学习难点根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．二、教学设计1．预习任务任务1预习教材P38—P41，思考：什么是分析法？分析法的本质是什么？任务2分析的思考过程、特点分别是什么？任务3分析法证明问题的方法、步骤是怎样的？2．预习自测1．关于综合法和分析法的说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法答案：C由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a，则证明的依据应是（）A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：Cb2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是（）A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2答案：C要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2．（二）课堂设计1．知识回顾引例：阅读下列证明过程，回答问题．证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进行．证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2．展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．∴3＋22<2＋7成立．1．本题证明从哪里开始？从结论开始．2．证题思路是什么？寻求每一步成立的充分条件．2．问题探究问题探究一●活动一 什么是分析法？1．分析法： 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法．●活动二 分析法证明问题的模式①用分析法证明的逻辑关系是：11223()()()Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→L (得到一个明显成立的条件)②分析法的思维特点是：执果索因(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．问题探究二 怎样用分析法处理问题分析法证题的一般步骤是：要证明命题Q 为真，只需要证明命题1P 为真，从而有………………这只需要证明命题2P 为真，从而又有…………………这只需要证明命题P （P 是一个明显成立的条件）．而已知P 为真，故命题Q 必为真．●活动一 用分析法证明不等式例1设a ＞b ＞0，求证： a 2－b 2＋ ab －b 2＞ a (a －b )．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】详解： 因为a ＞b ＞0，所以a 2＞ab ＞b 2，所以ab －b 2＞0．要证 a 2－b 2＋ ab －b 2＞ a (a － b )， 只需证a 2－ab a 2－b 2－ab －b2＞a 2－ab a 2＋ab ， 只需证 a 2－b 2－ab －b 2＜a 2＋ab ．而a 2－b 2＜a 2＋ab ＋ab －b 2显然成立． 所以 a 2－b 2＋ ab －b 2＞ a (a －b )成立．点拔：分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．活学活用练习：在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B ＞1．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法，同角三角函数的基本关系，三角函数的符号，两角和的余弦公式】证明：要证tan A tan B ＞1，只需证sin A sin B cos A cos B ＞1，∵A 、B 均为锐角，∴cos A ＞0，cos B ＞0．即证sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，只需证cos(A ＋B )＜0．∵△ABC 为锐角三角形，∴90°＜A ＋B ＜180°，∴cos(A ＋B )＜0，因此tan A tan B ＞1．点拔：（1）分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．（2）用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．（3）用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．●活动二 用分析法证明其他问题例2 在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1，设b n ＝2n a n ，证明：数列{b n }是等差数列． 【知识点：等差数列，分析法】详解：要证{b n }为等差数列，只要证b n ＋1－b n ＝d (常数)(n ≥1)，即证2n ＋1a n ＋1－2n a n 为常数．即证11112()222n n n n n a a +++-g 为常数， 即证2n a n ＋1－2n a n 为常数，2n a n ＋1－2n a n ＝1成立．∴{b n }是等差数列．点拔：(1)利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．活学活用 练习：已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ=g ， 求证：()22221tan 1tan 1tan 21tan αβαβ--=++ 【知识点：分析法，三角恒变换】证明：()222222222222sin sin 111tan 1tan cos cos sin 1tan sin 21tan 121cos cos βααββαααββαβ----=⇐=+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 2222cos sin cos sin 2ββαα-⇐-=222(12sin )12sin αβ⇐-=-224sin 2sin 1αβ⇐-=． 由已知得：2224sin sin cos 2sin cos 12sin cos αθθθθθθ=++=+，2sin 2β＝2sin θcos θ，∴4sin 2α－2sin 2β＝1成立，∴()22221tan 1tan 1tan 21tan αβαβ--=++成立． ●活动三 综合法和分析法的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．求证：111()()3()a b b c a b c ---+++=++．【知识点：分析法，等差数列，余弦定理】证明：要证111()()3()a b b c a b c ---+++=++， 即证113a b b c a b c +=++++，只需证3a b c a b c a b b c+++++=++． 化简，得1c a a b b c +=++，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac ．因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以2221cos B=22a cb ac +-=，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立． ∴111()()3()a b b c a b c ---+++=++成立．点拔：（1）综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路．（2）在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．●活动四 切记用分析法与综合法因逻辑混乱而出错例4 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a ∥b ．【错解】 ∵a ∥b ，且a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即sin αsin β＝16cos αcos β，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，∴tan αtan β＝16，即结论正确．【错因分析】 以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．【防范措施】 分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．【知识点：向量的平行，三角恒变换，分析法】【正解】 分析法：要证明a ∥b ，而a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即要证sin αsin β＝16cos αcos β，即要证sin αcos α·sin βcos β＝16，即要证tan αtan β＝16，而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．综合法：∵tan αtan β＝16，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，即sin αsin β＝16cos αcos β，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即a ＝(4cos α，sin α)与b ＝(sin β，4cos β)共线，∴a ∥b ．3．课堂总结【知识梳理】(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．【难点突破】（1）综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．（2）分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．（3）分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．4．随堂检测1．直接证明中最基本的两种证明方法是（）A．类比法和归纳法B．综合法和分析法C．比较法和二分法D．换元法和配方法【知识点：综合与分析法】答案：B根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法．2．欲证2－3＜6－7，只需要证（）A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(3＋6)2D．(2－3－6)2＜(－7)2【知识点：分析法，不等式的证明】答案：C∵2－3＜0，6－7＜0，∴要证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2．3．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了（）A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法答案：B【知识点：综合与分析法】解：符合综合法的证明思路．4．已知a>b>0，试用分析证明a2－b2a2＋b2>a－ba＋b．【知识点：分析法，不等式的性质，不等式的证明】证明：要证明a2－b2a2＋b2＞a－ba＋b(由a＞b＞0，得a－b＞0)．只需证(a2－b2)(a＋b)＞(a2＋b2)(a－b)，只需证(a＋b)2＞a2＋b2，即2ab＞0，因为a＞b＞0，所以2ab＞0显然成立．因此当a＞b＞0时，a2－b2a2＋b2＞a－ba＋b成立．（三）课后作业基础型自主突破1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有（）A．2个B．3个C．4个D．5个答案：C【知识点：综合与分析法】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．2<(0a ≥)可选择的方法有多种，其中最合理的是（ ）A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法答案：C【知识点：综合与分析法】要证明< (0a ≥)只需证2727a a ++<++只需证<(7)(3)(4)a a a a +<++，只需证0＜12，故选用分析法最合理．故答案为C3．已知(21)2()21x x a f x +-=+是奇函数，那么实数a 的值等于（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．±1答案：A【知识点：函数的奇偶性，综合法】当1a =时，21()21x x f x -=+，2121()()2121x xx x f x f x -----==-=-++，()f x 为奇函数．当a ＝－1或0时,得不出()f x 为奇函数，故A 正确．答案为A4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是（）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案：A【知识点：函数的单调性，综合法】若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A ．5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)答案：C【知识点：不等式的证明，综合法】用分离参数法可得a ≥－(|x |＋1|x |)(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立．6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A 、B 的大小关系为________． 答案：A B ≥【知识点：不等式的证明，综合法】222()4()022()2()a b a b ab a b A B ab a b ab a b ab a b ++---=-==≥+++． 能力型 师生共研1．若抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，则点P 的坐标为________．答案：(12，1)【知识点：直线与圆锥曲线的位置关系，综合法】解：数形结合知，曲线y ＝4x 2在点P 处的切线l 与直线y ＝4x －5平行．设l ：y ＝4x ＋b ．将y ＝4x ＋b 代入y ＝4x 2，得4x 2－4x －b ＝0，令△＝0，得b ＝－1．∴4x 2－4x ＋1＝0，∴x ＝12，∴y ＝1．．2．补足下面用分析法证明基本不等式a 2＋b 22≥ab 的步骤：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证____________，只需证____________．由于____________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0；(a －b )2≥0；(a －b )2≥0【知识点：不等式的证明，分析法】解：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证a 2＋b 2－2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，由于(a －b )2≥0显然成立，因此原不等式成立．3．如下图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD ＝G ． 求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1．【知识点：分析法，线线垂直，面面垂直，线面垂直】证明：要证明平面B 1EF ⊥面BDD 1B 1，只需证面B 1EF 内有一线垂直于面BDD 1B 1，即EF ⊥面BDD 1B 1．要证EF ⊥面BDD 1B 1，只需证EF 垂直平面BDD 1B 1内两条相交直线即可，即证EF ⊥BD ，EF ⊥B 1G ．而EF ∥AC ，AC ⊥BD ，故EF ⊥BD 成立．故只需证EF ⊥B 1G 即可．又∵△B 1EF 为等腰三角形，EF 的中点为G ，∴B 1G ⊥EF 成立．∴EF ⊥面BDD 1B 1成立，从而问题得证．4．设a ，b >0，且a ≠b ，用分析法证明：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2．【知识点：不等式的证明，分析法】证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．探究型 多维突变1．已知a >0，b >0，用两种方法证明：a b ＋b a ≥a ＋b ． 【知识点：不等式的性质，不等式的证明，综合法，分析法】证明：法一 (综合法)：因为a >0，b >0， 所以a b ＋b a －a －b ＝(a b －b )＋(b a－a )＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )(1b －1a ) 所以a b ＋b a≥a ＋b ． 法二 (分析法)：要证a b ＋b a≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0， 因为a >0，b >0，a －b 与a －b 同号，所以(a －b )(a －b )≥0成立，所以a b ＋b a≥a ＋b 成立． 2．已知a 、b 、c 为三角形的三条边，0m >，求证：a b c a m b m c m +>+++． 证明：a b c a m b m c m+>+++2()()()ab m a b c a m b m c m ++⇔>+++2()2()ab m a b m c m ab m a b c ++++⇔<++ 22()ab m m ab m a b c-+⇔<++2(2)[()]ab c m m a b ⇔+>-+ ∵(2)0ab m +>，c a b <+，2[()]0m c a b -+<∴上式成立， ∴a b c a m b m c m+>+++． （四）自助餐1．关于综合法和分析法的说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法答案：C【知识点：综合法与分析法概念】由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a，则证明的依据应是（）A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：C【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是（）A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2答案：C【知识点：三角形形状的判定，余弦定理】要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2．4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是（）A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α答案：D【知识点：分析法，线线垂直，线面垂直】对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．5．设x>0，y>0，且x＋y≤a x＋y恒成立，则a的最小值是（）A．2 2B． 2C．2D．1答案：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】解析：要使x＋y≤a x＋y恒成立．只需a≥x＋yx＋y恒成立．设t＝x＋yx＋y，则t2＝x＋y＋2xyx＋y≤2（x＋y）x＋y，∴t2≤2(当且仅当x＝y时等号成立)则t＝x＋yx＋y的最大值为2，因此a≥2时，原不等式恒成立．∴a的最小值为2．6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．答案：a≥0，b≥0且a≠b【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．7．设m＝6－5，n＝2－3，则m与n的大小关系是________．答案：m<n【知识点：不等式的性质，不等式的证明，综合法】由于m＝6－5＝16＋5，n＝2－3＝12＋3又6>2，5>3，∴6＋5>2＋3，从而m<n．8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)【知识点：分析法，线线垂直，线面垂直】要证明A1C⊥B1D1只需证明B1D1⊥平面A1C1C因为CC1⊥B1D1只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1从而得B1D1⊥A1C1．9．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则ab＋c＋bc＋a＝________．答案：1【知识点：综合法，恒等变形】因为∠C＝60°，所以a2＋b2＝c2＋ab．所以(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝c2＋ab＋ac＋bc＝(a＋c)(b＋c)，所以ab＋c＋bc＋a＝（a2＋ac）＋（b2＋bc）（b＋c）（c＋a）＝1．10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤2，只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．11．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α． 【知识点：三角恒等变换，两角和与差正余弦公式，分析法】证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立． 只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin α＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．12．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1．求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，基本不等式，对数及运算，分析法】证明：要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )． 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc ．(*)由基本不等式得a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0．又因为a ，b ，c 是不全相等的正数，所以a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2> a 2b 2c 2＝abc ．因此不等式(*)成立．所以log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．13．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且01x <<，求证：log log log 222x x x a b b c c a +++++log log log x x x a b c <++． 【知识点：不等式的性质，不等式的证明，基本不等式，对数及运算，分析法】 证明：要证明：log log log 222x x x a b b c c a +++++log log log x x x a b c <++． 只需证明：log log ()222x x a b b c c a abc +++⎡⎤∙∙<⎢⎥⎣⎦． 由已知：01x <<，只需证明：222a b b c c a abc +++∙∙>．由公式：02a b +≥>，02b c +≥>，02c a +≥>，∵a 、b 、c 不全相等，上面三式相乘，有：222a b b c c a abc +++∙∙>=． 即：222a b b c c a abc +++∙∙>成立． ∴log log log 222x x x a b b c c a +++++log log log x x x a b c <++成立．14．已知0,0,1a b a b >>+=2+≤． 【知识点：不等式的性质，不等式的证明，基本不等式，分析法】证明：为了证明：2+≤．只需证明：11422a b ++++≤．由1a b +=，只需证明：1≤， 只需证明：11()()122a b ++≤，即：14ab ≤．∵0,0a b >>，1a b =+≥，∴14ab ≤成立．∴ 2+≤成立．。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明的概念介绍1.1 直接证明的概念引导学生回顾数学证明的基本概念，引入直接证明的概念。

通过具体例子解释直接证明的思路和方法。

让学生尝试用直接证明的方法证明一些简单的数学命题。

1.2 间接证明的概念引导学生理解直接证明的局限性，引入间接证明的概念。

通过具体例子解释间接证明的思路和方法，如反证法、归纳法等。

让学生尝试用间接证明的方法证明一些简单的数学命题。

第二章：直接证明的方法与技巧2.1 综合法引导学生学习综合法的概念和思路。

通过具体例子讲解综合法的运用方法和技巧。

让学生练习运用综合法证明一些简单的数学命题。

2.2 分析法引导学生学习分析法的概念和思路。

通过具体例子讲解分析法的运用方法和技巧。

让学生练习运用分析法证明一些简单的数学命题。

第三章：间接证明的方法与技巧3.1 反证法引导学生学习反证法的概念和思路。

通过具体例子讲解反证法的运用方法和技巧。

让学生练习运用反证法证明一些简单的数学命题。

3.2 归纳法引导学生学习归纳法的概念和思路。

通过具体例子讲解归纳法的运用方法和技巧。

让学生练习运用归纳法证明一些简单的数学命题。

第四章：直接证明与间接证明的应用实例4.1 几何证明引导学生运用直接证明和间接证明解决几何问题。

通过具体例子讲解几何证明的思路和方法。

让学生练习解决一些几何证明问题。

4.2 代数证明引导学生运用直接证明和间接证明解决代数问题。

通过具体例子讲解代数证明的思路和方法。

让学生练习解决一些代数证明问题。

第五章：总结与提高5.1 总结直接证明与间接证明的概念和方法。

引导学生总结本节课所学的直接证明和间接证明的概念和方法。

强调直接证明和间接证明的运用技巧和注意事项。

5.2 提高证明能力引导学生思考如何提高自己的数学证明能力。

提供一些证明题目，让学生进行练习和思考。

第六章：综合法与分析法的比较与应用6.1 综合法与分析法的异同引导学生比较综合法与分析法的相同点和不同点。

直接证明和间接证明课程教案一、教学目标1. 让学生理解直接证明和间接证明的定义及概念。

2. 培养学生运用直接证明和间接证明解决几何问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维。

二、教学内容1. 直接证明：定义、分类及方法。

2. 间接证明：定义、分类及方法。

3. 直接证明与间接证明的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：直接证明和间接证明的定义、分类及方法。

2. 教学难点：如何运用直接证明和间接证明解决几何问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究直接证明和间接证明的方法。

2. 通过几何图形的分析，让学生直观地理解直接证明和间接证明的原理。

3. 运用案例教学法，让学生在实际问题中学会运用直接证明和间接证明。

五、教学准备1. 教案、课件、黑板。

2. 几何图形、模型。

3. 练习题。

教案内容依次按照教学目标、教学内容、教学重点与难点、教学方法、教学准备进行展开。

后续章节（六至十）分别针对直接证明和间接证明的分类、方法、应用等进行详细讲解和练习。

六、直接证明的分类及方法1. 定义：直接证明是通过已知条件和几何性质，直接推导出要证明的结论。

2. 分类：a) 几何法：利用几何图形的性质进行证明。

b) 代数法：利用代数式和方程进行证明。

c) 综合法：结合几何法和代数法进行证明。

七、间接证明的分类及方法1. 定义：间接证明是通过已知条件和几何性质，证明与要证明的结论相反的命题不成立，从而证明要证明的结论。

2. 分类：a) 反证法：假设要证明的结论不成立，推导出矛盾，从而证明要证明的结论成立。

b) 归纳法：从特殊情况推导出一般情况的结论。

c) 逆否法：先证明逆命题成立，再证明原命题成立。

八、直接证明与间接证明的应用1. 例题讲解：分析例题，运用直接证明和间接证明解决几何问题。

2. 练习题：让学生独立解决练习题，巩固直接证明和间接证明的应用。

九、直接证明和间接证明的局限性1. 直接证明的局限性：当问题复杂时，直接证明可能较为困难。

2.2.1直接证明与间接证明（一）一、教学目标1.核心素养培养学生用综合法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生逻辑推理能力，以及分析、解决问题的能力.2.学习目标了解直接证明的基本方法；了解综合法的思维过程、特点；会用综合法证明数学问题.3.学习重点掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题.4.学习难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1预习教材P36—P38，思考：什么是综合法？综合法的本质是什么？任务2综合法的思考过程、特点分别是什么？任务3综合法证明问题的方法、步骤是怎样的？2.预习自测1.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件（）A.a2<b2＋c2B.a2＝b2＋c2C.a2>b2＋c2D.a2≤b2＋c2解：C若∠A为钝角，由余弦定理知cos A＝b2＋c2－a22bc<0，∴b2＋c2－a2<0.故答案为C.2.设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是{a n }的前n 项和，则（ ）A.S 4<S 5B.S 4＝S 5C.S 6<S 5D.S 6＝S 5解：B ∵a 2＋a 8＝－6＋6＝0，∴a 5＝0，又公差d >0，∴S 5＝S 4.答案为B3.在△ABC 中，“0AB AC >uu u r uuu r g ”是“△ABC 为锐角三角形”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：B 由0AB AC >uu u r uuu r g ⇒∠A 为锐角，而角B ，C 并不能判定，反之若△ABC 为锐角三角形，一定有0AB AC >uu u r uuu r g .答案为B4.已知函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ可能是（ ）A.π2B.－π4C.π4D.34π解：C 由题意知，sin(π4＋φ)＝±1，所以当φ＝π4时，sin(π4＋π4)＝sin π2＝1.答案为C（二）课堂设计1.知识回顾引例：阅读下列证明过程，回答问题.已知实数x ，y 满足x ＋y ＝1，求证：22x y +≥.证明：因为x ＋y ＝1，所以22x y +≥==，故22x y +≥.1.本题的条件和结论是什么？条件：x ＋y ＝1，结论22x y +≥2.本题的证明顺序是什么？从已知条件利用基本不等式到待证结论.2.问题探究问题探究一 综合法的意义●活动一 什么是综合法？一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.上面引例就是从条件出发，利用某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.●活动二 综合法证明问题的模式11223n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒⇒LP 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论.问题探究二 怎样用综合法处理问题综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.●活动一 用综合法证明不等式例1 求证：（1）232x x +>；（2）222(1)a b a b +≥--；（3）若a b c >>，则：222222bc ca ab b c c a a b ++<++.【知识点：不等式的性质，实数的非负性，不等式的证明，实数的大小比较】详解：（1）2232(1)20x x x +-=-+>，∴232x x +>.（2）22222(1)(1)(1)0a b a b a b +---=-++≥，∴222(1)a b a b +≥--.（3）222222()()bc ca ab b c c a a b ++-++222222()()()bc c a ca b c ab a b =-+-+-2()()()()c b a c a b a b ab b a =-++-+-2()()b a c ac bc ab =---+()()()b a c a c b =---∵a b c >>，∴0,0,0b a c a c b -<-<-<.∴()()()0b a c a c b ---<.∴222222bc ca ab b c c a a b ++<++.点拔：综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.例2已知0,0,0,0a b m n >>>>，求证：m n m n m n n m a b a b a b +++≥⋅+⋅【知识点：不等式的性质，不等式的证明，实数的大小比较】详解：()()m n m n m n n m a b a b a b +++-⋅+⋅()()m n m n n m m n a a b a b b ++=-⋅-⋅-()()m n n m n n a a b b a b =---()()m m n n a b a b =--0,m m n n a b a b a b >>>>当时，，()()0m m n n a b a b ∴-->；0,m m n n b a a b a b >><<当时，，()()0m m n n a b a b ∴-->；0,m m n n a b a b a b =>==当时，，()()0m m n n a b a b ∴--=.综上所述：()()0m m n n a b a b --≥.∴ m n m n m n n m a b a b a b +++≥⋅+⋅.点拔：注意分类讨论判断符号.对m 、n 取特殊值，可得到以下一些大家比较熟悉的题目：（1）已知a >0，b >0，求证：553223a b a b a b +≥+；（2）已知a >0，b >0，求证：3322a b a b ab +≥+；（3）已知a >0，b >0，求证：4433a b a b ab +≥+.●活动二 用综合法几何问题例3 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点.求证：(1)C 1M ⊥平面AA 1B 1B.(2)A 1B ⊥AM .(3)平面AC 1M ∥平面B 1N C.【知识点：线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行，面面平行】详解：(1)∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，M 是A 1B 1的中点，∴C 1M ⊥A 1B 1. 又∵C 1M ⊥A 1A ，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，A 1A ，A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ，∴C 1M ⊥平面AA 1B 1B.(2)∵A 1B ⊂平面AA 1B 1B ，由(1)知C 1M ⊥平面AA 1B 1B ，∴A 1B ⊥C 1M .又A 1B ⊥AC 1，AC 1，C 1M ⊂平面AC 1M ，AC 1∩C 1M ＝C 1，∴A 1B ⊥平面AC 1M .又∵AM ⊂平面AC 1M ，∴A 1B ⊥AM .(3)在矩形AA 1B 1B 中，易知AM ∥B 1N ，AM ⊄平面B 1NC ，B 1N ⊂平面B 1NC ，∴AM ∥平面B 1N C.又C 1M ∥CN ，CN ⊂平面B 1NC ， C 1M ⊄平面B 1NC ，∴C 1M ∥平面B 1N C.又∵C 1M ∩AM ＝M ，C 1M ，AM ⊂平面AC 1M ，∴平面AC 1M ∥平面B 1N C.点拔：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：a b a c b c ⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥，a b a b αα⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥，αβαγβγ⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥等.其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A 1B ⊥平面AC 1M 来证明A 1B ⊥AM ；本例(3)中，通过证明AM ∥平面B 1NC ，C 1M ∥平面B 1NC ，来证明平面AC 1M ∥平面B 1N C.●活动三 用综合法证明数学中的其他问题例4设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列. 【知识点：递推数列，等差数列，等比数列】详解： (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)，∴a n ＋1a n＝2m m ＋3，且a 1＝1，∴{a n }是等比数列. (2)b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2m m ＋3， ∴n ≥2，n ∈N *时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n －1b n －1＝13. ∴数列{1b n}为首项为1，公差为13的等差数列. 点拔：（1）综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件.（2）综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”.综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等.●活动四 综合法的简单应用例5 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列.求证：223cos cos 222C A b a c +≥ 【知识点：等比数列，不等式的证明，三角恒等变形】 详解：1cos 1cos 22C A a c ++=⋅+⋅Q 左边 1113()(cos cos )()222222b b b ac a C c A a c =+++=++≥+==右边 ∴223cos cos 222C A b a c ∴+≥. 点拔：（1）综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知.（2）综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等.②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型.3.课堂总结【知识梳理】（1）综合法的定义: 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为:11223n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒⇒L【难点突破】综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明问题.所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键因素，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果.4.随堂检测1.设P ＝1log 211＋1log 311＋1log 411＋1log 511，则( ) A.0<P <1B.1<P <2C.2<P <3D.3<P <4答案：B【知识点：对数的运算，放缩法证明不等式】1111111111log 2log 3log 4log 5log 120P =+++=，1111111log 11log 120log 1212=<<=即12P <<，故答案为B2.A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C【知识点：充要条件，正弦定理】若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝b sin B，∴sin A >sin B ，若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B.故答案为C3.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________.答案：a c b >>【知识点：不等式的性质，实数的大小比较】∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a c >，又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c b >，∴a c b >>，故答案为a c b >>. 4.已知函数()21,(),f x x g x x x R =+=∈，数列{a n }，{}n b 满足条件：a 1＝1，1()(b )n n n a f b g +==，*n N ∈.求证：数列{}1n b +为等比数列.【知识点：函数的概念，数列的函数特性，等比数列】证明：由题意得121n n b b ++=，∴111222()n n n b b b +++=+=， ∴b n ＋1＋1b n ＋1＝2， 又∵a 1＝2b 1＋1＝1，∴b 1＝0，b 1＋1＝1≠0.故数列{}1n b +是以1为首项，2为公比的等比数列.（三）课后作业基础型 自主突破1.已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案：B【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】①因为a ∥b ，b ∥α⇒a ∥α或a ⊂α，所以①不正确.②因为a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，当a 与b 相交时，才能α∥β，所以②不正确.③a ∥β，过a 作一平面γ，设γ∩β＝c ，则c ∥a ，又a ⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确. ④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确.综上知③，④正确.答案为B2.a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( )A.a ＋b ＋1ab ≥2 2B.(a ＋b )(1a ＋1b )≥4C.a 2＋b 2ab≥a ＋b D.2ab a ＋b≥ab 解：D【知识点：不等式的性质，不等式的证明】特殊法，取a ＝1，b ＝4，则D 项不成立.答案是D3.p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p 与q 的大小关系为________.答案：p≤q【知识点：不等式的性质，不等式的证明】 p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )(b m ＋d n )＝ab ＋nbc m ＋mad n ＋cd ≥ab ＋cd ＋2abcd∴q 2≥p 2，∴p ≤q .答案为：p≤q4.当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.【知识点：不等式的性质，不等式的证明，函数与不等式】解：(－∞，－5] x 2＋mx ＋4<0⇔m <－x －4x ，∵y ＝－(x ＋4x )在(1，2)上单调递增，∴－(x ＋4x )∈(－5，－4)21 ，∴m ≤－5.答案为(－∞，－5]5.在△ABC 中，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B.【知识点：余弦定理，三角形的边角关系】证明：因为a 2＝b (b ＋c )，所以a 2＝b 2＋bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(b 2＋bc )2bc＝c －b 2b . 又因为cos2B ＝2cos 2B －1＝2(a 2＋c 2－b 22ac )2－1＝2(b ＋c 2a )2－1＝(b ＋c )2－2a 22a 2＝(b ＋c )2－2b 2－2bc 2b (b ＋c )＝c －b 2b . 所以cos A ＝cos2B.又因为A，B是三角形的内角，所以A＝2B.6.如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】证明(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点，知EF∥BC，∵EF⊄平面ABC而BC⊂平面AB C.∴EF∥平面AB C.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，∴A1D⊥CC1，又A1D⊥1∩B1C＝C，又CC1，B1C⊂平面BB1C1C，∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.能力型师生共研1.设,a b R∈，且,2a b a b≠+=，则必有（）A.22 12a bab+≤≤B.2212a b ab+<<C.2212a bab+<<D.221 2a bab+<<解：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵a b ≠，∴222a b ab +>，即222a b ab +>，可排除A 、D. 又2222222222()1244444a b a b a b a b ab a b +++++=+>+==.故B 正确. 2.l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面答案：B【知识点：直线与直线的位置关系】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错.答案为B3.已知0y x >>，且1x y +=，那么（ ） A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 答案：D【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.4.已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线（ ）A.只有一条，不在平面α内B.有无数条，不一定在平面α内C.只有一条，且在平面α内D.有无数条，一定在平面α内解：C【知识点：直线与平面的位置关系】由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内.5.3－2________2－1.(填“＞”或“＜”)答案：＜【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵13－2＝3＋2(3－2)(3＋2)＝3＋2，12－1＝2＋1(2－1)(2＋1)＝2＋1，显然3＋2＞2＋1，∴3－2＜2－1.6.已知sin x＝55，x∈(π2，3π2)，则tan(x－π4)＝________.解：－3【知识点：同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式】∵sin x＝55，x∈(π2，3π2)，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan(x－π4)＝tan x－11＋tan x＝－3.7.已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________.(用序号及“⇒”表示) 答案：①③⇒②【知识点：不等式的性质，不等式的证明，绝对值不等式】∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.8.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.【知识点：正弦定理、余弦定理】证明：由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形.9.设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 在R 上满足f (x )＝f (－x )(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数.【知识点：函数的奇偶性，函数的增减性】解：(1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a e x ＋ae x ，所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立.由此可得a －1a ＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1.(2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ex 1－ex 2＋1e x 1－1e x 2＝(ex 2－ex 1)(1e x 1＋x 2－1)＝(ex 2－ex 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2. 由x 1>0，x 2>0，得x 1＋x 2>0，ex 2－ex 1>0，1－ex 1＋x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.探究型 多维突破1.如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.(1)求证：B 1B ∥平面D 1AC ；(2)求证：平面D 1AC ⊥平面B 1BDD 1.【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】证明：(1)设AC ∩BD ＝E ，连接D 1E ，如图∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝2，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥B D.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.2.已知数列{a n}的首项a1＝5，S n＋1＝2S n＋n＋5(n∈N*).(1)证明数列{a n＋1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式a n.【知识点：数列的通项公式，等比数列】(1)证明：∵S n＋1＝2S n＋n＋5，∴S n＝2S n－1＋(n－1)＋5(n≥2).∴a n＋1＝S n＋1－S n＝2(S n－S n－1)＋1＝2a n＋1(n≥2).∴a n＋1＋1a n＋1＝2(a n＋1)a n＋1＝2.又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，∴S2＝16，a2＝S2－S1＝16－5＝11.又∵a2＋1a1＋1＝11＋15＋1＝2.∴数列{a n＋1}是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知，a1＋1＝6，a n＋1＝6×2n－1＝3×2n，∴a n＝3×2n－1.3.设a、b、c∈R＋，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c). 【知识点：不等式的性质，基本不等式，不等式的证明】证明：∵a2＋b2≥2ab，a、b∈R＋，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b ).同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )，∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c )＝2(a ＋b ＋c ).(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号) 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ).（四）自助餐1.设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是（ ）A.aB.bC.cD.不能确定答案：C【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵0<x <1，∴b ＝1＋x >2x >2x ＝a ，又11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，知11－x >1＋x∴c >b >a ，最大的数为c .答案为C2.已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于（ ）A.bB.－bC.1bD.－1b答案：B【知识点：对数函数，对数运算】f (x )定义域为(－1， 1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .3.命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立（）A.不成立B.成立C.不能断定D.与n取值有关答案：B【知识点：数列的前n和公式，等差数列】当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝4n－5，又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1适合上式. ∴a n＝4n－5(n∈N*)，则a n－a n－1＝4(常数)，故数列{a n}是等差数列. 4.若a>b>0，c<d<0，则一定有（）A.a d> bcB.a d< bcC.a c> b dD.a c< b d答案：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明】法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则ac＝－1，bd＝－1，排除选项C，D；又ad＝－32，bc＝－23，所以ad<bc，所以选项A错误，选项B正确.法二：因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以1－d>1－c>0.又a>b>0，所以a－d>b－c，所以ad<bc.5.在△ABC中，已知sin A cos A＝sin B cos B，则该三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：D【知识点：正弦定理，三角形形状的判定】由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形.6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案：A【知识点：函数的奇偶性，函数单调性】由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案为A7.命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法.答案：综合法【知识点：分段函数，函数的增减性，函数与导数】本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法.8.角A ，B 为△ABC 内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”).答案：充要【知识点：充要条件，正弦定理】在△ABC 中，A >B ⇔a >b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，从而sin A >sin B.因此A >B ⇔a >b ⇔sin A >sinB ，为充要条件.9.设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________.答案：4【知识点：等比中项，基本不等式】3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.10.已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .【知识点：不等式的性质，不等式的证明】证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以(b 2＋c 2) a ≥2abc又因为b >0，c 2＋a 2≥2ac ，所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋bc (c 2＋a 2)≥4abc .11.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数. 【知识点：函数的奇偶性，函数的图象，函数的对称性】证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称.∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称，∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b .则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数.12.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，点E 是PC 的中点.(1)证明：CD ⊥AE .(2)证明：PD ⊥平面ABE .【知识点：线线垂直，线面垂直】证明：(1)在四棱锥P -ABCD 中，因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥C D.因为AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P A C.又因为AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A.因为点E 是PC 的中点，所以AE ⊥P C.由(1)知，AE ⊥CD ，又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PC D.又因为PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥P D.因为P A ⊥底面ABCD ，所以平面P AD⊥平面ABC D.又AB⊥AD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥P D. 又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.。

9.2 直接证明与间接证明【知识网络】1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和特点；2、了解反证法是间接证明的一种基本方法,了解反证法的思考过程和特点；3、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单命题。

【典型例题】例1：（1）已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； ③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个答案：C 。

解析：①③④恒成立。

（2）利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（ ） A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k 答案：C 。

（3）命题“关于x 的方程)0(0≠=a ax 的解是唯一的”的结论的否定是 （ ）A 、无解B 、两解C 、至少两解D 、无解或至少两解答案：D 。

解析：“否定”必须包括所有的反面情形。

（4）定义运算 ()()a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为_________________．。

（5）若c b a >>，*N n ∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 。

答案：4。

解析：因c b a >>，*N n ∈，所以c a n c b b a -≥-+-11同解于n cb ca b a c a ≥--+-- 又42≥--+--+=--+-+--+-=--+--cb ba b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a 所以4≤n 。

第2讲直接证明与间接证明最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1.直接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (2)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”.( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( )解析 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)应假设“a ≤b ”. (3)反证法只否定结论.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A.2ab －1－a 2b 2≤0B.a 2＋b 2－1－a 4＋b42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D.(a 2－1)(b 2－1)≥0解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案 D3.若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2 B.a 2>ab >b 2 C.1a <1bD.b a >a b解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>ab .①又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2.答案 B4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.答案A5.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________.解析由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，∴△ABC为等边三角形.答案等边三角形考点一综合法的应用『例1』(2017·东北三省三校模拟)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.证明(1)∵(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)＋2ab＋2bc＋2ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，∴a ＋b ＋c ≤ 3. (2)∵a ＞0，∴3a ＋1＞0， ∴43a ＋1＋(3a ＋1)≥243a ＋1（3a ＋1）＝4， ∴43a ＋1≥3－3a ，同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ， 以上三式相加得4⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围： (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.『训练1』 已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明 由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB . 又AB ∩AD ＝A ， ∴SA ⊥平面ABCD .(2)解 假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD ， ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ， ∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾， ∴假设不成立.∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD . 考点二 分析法的应用 『例2』 已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2).因为a ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)＞0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －（2－2）2， 即2(2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a ≥2.因为a ＞0，a ＋1a ≥2显然成立⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝1a ＝1时等号成立，所以要证的不等式成立.规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.『训练2』 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .证明 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2a cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ， 故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立. 于是原等式成立. 考点三 反证法的应用『例3』 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列. (1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2).(2)证明 由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2).∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾. ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.规律方法 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等. (2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的.『训练3』 (2017·济南质检)若f (x )的定义域为『a ，b 』，值域为『a ，b 』(a <b )，则称函数f (x )是『a ，b 』上的“四维光军”函数.(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是『1，b 』上的“四维光军”函数，求常数b 的值； (2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间『a ，b 』上的“四维光军”函数？若存在.求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间『1，b 』在对称轴的右边，所以函数在区间『1，b 』上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3. (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间『a ，b 』(a >－2)上是“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎨⎧h （a ）＝b ，h （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾.故不存在.『思想方法』分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来. 『易错防范』1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论.2.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.。