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2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）. 2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.。
人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计背景在高中数学中，直接证明和间接证明是一项重要的内容。
在初学阶段，学生可能会对这两种证明方式感到困惑，并将其视为难以理解的概念。
因此，在高中选修1课程中，适当地引入这些概念，有助于提升学生的证明能力，加深对数学的理解。
教学目标•了解直接证明和间接证明的含义和定义。
•掌握直接证明和间接证明的基本结构和方法。
•能够运用直接证明和间接证明的方法证明一些简单的数学命题。
教学内容直接证明•手动沙盘演示•直接证明的定义和特点•直接证明的基本步骤•示例讲解：证明“两角相等则对边相等”间接证明•手动沙盘演示•间接证明的定义和特点•间接证明的基本步骤•示例讲解：证明“正整数的平方不是偶数”教学实施本教学设计中，我们主要采用了手动沙盘演示的方法，来帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的过程以及步骤。
直接证明•首先，我们在黑板上画一个三角形，并画出对边。
•然后，我们在沙盘上放置一个形状类似的三角形。
•接下来，我们让学生沿着直接证明的基本步骤，依次证明两个三角形的相等性，即可从直接证明中得到结论。
•在讲解示例时，我们还可以让学生自己尝试证明一些简单的数学命题，如“同弧度圆周角相等”等。
间接证明•在沙盘上摆放一些正整数的平方以及偶数。
•接下来，我们让学生依照间接证明的基本步骤，用矛盾法来证明正整数的平方不是偶数。
•我们还可以鼓励学生们自己构造出一些有关平方数的证明问题，让他们自行尝试间接证明的方法。
教学效果通过本教学设计，我们得到了良好的教学效果。
不仅可以帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的定义和特点，而且可以在沙盘演示的过程中，使学生更好地了解证明的基本步骤，提升学生的证明能力。
同时，让学生自行构造有关数学证明的问题，也可以激发学生的思考能力，培养其数学兴趣。
§2.3 数学归纳法(2)[学情分析]：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n〔n取无限多个值〕有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。
本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。
[教学目标]：〔1〕知识与技能：理解“归纳法〞和“数学归纳法〞的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法〞证明与正整数有关的数学命题。
〔2〕过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
〔3〕情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
[教学重点]：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
[教学难点]：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
[教学过程设计]：[练习与测试]：1． 使用数学归纳法证明22()nn n N <∈，假设不等式成立，那么n 的取值X 围是〔 〕 A. 2n ≥ B. 3n ≥ C. 4n ≥ D. 5n ≥ 答案：D解：当n 取第一个值5时，命题成立。
2．用数学归纳法证明“*)(11312111N n n n n ∈>++++++ 〞，要证明第一步时，左边的式子= 。
答案：1213413121=++。
3．当*N n ∈时，求证：3()2nn >。
证明：〔1〕当n=1时，左式=32，右式=1，312>，原不等式成立。
〔2〕假设当n=k 时，原不等式成立，即3()2kk >那么当n=k+1时，左式=13333()()22222k k kk k +=>=+132,1,()12k k k k +≥∴≥+>+上式即所以n=k+1时结论成立综合〔1〕〔2〕原不等式对于任意*N n ∈均成立。
2.2.1 直接证明与间接证明(1)【学情分析】前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理。
数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。
这是数学区别于其他学科的显著特点。
本节学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。
本部分结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。
【教学目标】（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法、分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。
【教学过程设计】证：ABC ，B ，C 成等ABC 的内角 3B π=【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。
2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。
证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。
人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程设计一、前言本课程设计旨在帮助高中数学教师更好地教授人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程，通过本课程设计，希望能帮助学生更好地理解并掌握课程中的知识点。
二、教学目标1. 知识与技能1.了解直接证明和间接证明的概念和方法；2.掌握直接证明和间接证明的常用技巧；3.熟悉求解几何问题的方法。
2. 过程与方法1.积极思考，在教师的指导下独立完成课程设计要求；2.能够熟练使用直接证明和间接证明的方法求解几何问题；3.可以在实际生活中运用所学知识。
3. 情感态度与价值观1.培养学生科学求证、敢于思考、勇于探究的精神；2.培养学生良好的学习习惯和态度。
三、教学内容及安排第1课时：直接证明课堂内容1.直接证明的概念；2.直接证明的一般方法；3.直接证明的经典例题。
课后作业1.熟记直接证明的方法；2.完成直接证明的练习。
第2课时：间接证明课堂内容1.间接证明的概念；2.间接证明的一般方法；3.间接证明的经典例题。
课后作业1.熟记间接证明的方法；2.完成间接证明的练习。
第3-4课时：综合应用课堂内容1.综合应用的基本思路；2.综合应用的例题分析。
课后作业1.完成综合应用的练习。
四、教学方法1.讲授法：通过讲解、演示等方式传授知识；2.体验法：让学生通过实际操作提高技能；3.案例法：让学生通过分析具体问题，掌握解决问题的方法。
五、教学评价教学评价将采用以下几种方式：1.课堂表现：评价学生的听讲、思考、提问等表现；2.平时作业：评价学生对知识的掌握程度；3.课程综合应用：评价学生将所学知识应用于实际情境中的能力。
六、教学资源本课程设计所需资源如下：1.人教版高中选修1-22.2教材；2.带有直接证明和间接证明例题的教案；3.练习册和试卷。
七、教学反思本课程设计要注重培养学生的实践能力和创新意识，让学生能够独立思考和解决问题。
同时，要注重理论与实践相结合，让学生掌握课程所涉及的知识和技能。
2019-2020学年高二数学《2.2.1 直接证明》导学案人教新课标版选修2-2章节与课题第二章第2.2.1节直接证明课时安排4课时主备人审核人使用人使用日期或周次第一周本课时学习目标或学习任务结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
本课时重点难点或学习建议重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点难点：分析法和综合法的思考过程、特点本课时教学资源的使用导学案学习过程一、自学准备与知识导学1.问题：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DA。
证明：思考：以上证明方法有什么特点？2.观察下面问题的证法：设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。
(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
思考：以上证明方法有什么特点？__________________________。
3．直接证明定义：直接从逐步推得成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．（综合法分析法定义（2）对分析法证题的说明 “若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：注： ① ② ③（3）综合法和分析法的优缺点 二、学习交流与问题探讨例1.已知：AB ，CD 相交于点O ，△ACD ≌△BDO ，AE=BF.求证：CE=DF （分别用综合法和分析法证明）例2.>例3已知a >0,b >0,求证a (b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc例4.已知a b c >>，求证：1140a b b c c a++---≥．例5若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c aa b c +++++>++．三、练习检测与拓展延伸课本P81练习1、2、3、4练习：１．0,0++≥若，求证：a b>>a b2.△ABC三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：∠B<900四、课后反思。
