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非线性粘滞性阻尼器的结构运动方程的解法

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粘滞阻尼器减震结构的非线性动力分析

粘滞阻尼器减震结构的非线性动力分析

其中 [ M] 为减震结构的楼层质量矩阵 [ C] 为主体 结构的阻尼矩阵 可采用 Rayleigh 阻尼 [ K] 为主
万方数据
粘滞阻尼器减震结构的非线性动力分析
69
体结构的楼层刚度矩阵 由杆系刚度矩阵经静力凝 聚而成 {d} 为减震结构所有动力自由度的位移向 量 −{Fg } 为地震作用力向量 为了对减震结构进行非线性时程分析 需要将 式(8)写成增量形式如下 &&} + [C ]{∆d &} + [ K ]{∆d} = −{∆F } + {∆F } (9) [ M ]{∆d g DP 其中 [ C] [ K] 均随结构弹塑性状态的改变而改变 在式(8) (9)中 附加阻尼力被视为作用于主体 结构上的外荷载之一 因为附加阻尼力是结构运动 速度的非线性函数 所以在动力分析中一般需要迭 代求解 2.3 粘滞阻尼器减震结构的附加阻尼矩阵 粘滞阻尼器减震结构在本质上是通过安装阻 尼器来增大结构阻尼 提高其耗散地震输入能量的 能力 因此 可以将粘滞阻尼器对结构的作用通过 附加阻尼矩阵反映出来 将阻尼器的单元阻尼力向 量对单元动力自由度位移向量求导 由式(7)可得 T D({FDP } e ) e & e m−1 cm [ B ] {d } [ B] e [ B] e (10) = − e & D({d} )
l x x 为 x 轴对 x 轴的方向余弦 y iC ) + l xy ( x1 l xy − x iC ) & = [l u 1 xx &i Ω 1 ][u &i v
层模型中粘滞阻尼器的单元阻尼力向量 减震结构一般由主体结构和附加消能结构组 成 在粘滞阻尼器减震结构中 阻尼器通常被安装 在主体结构楼层间的两端铰接斜撑上 如图 1 所示

非线性粘滞阻尼器减震结构参数研究

非线性粘滞阻尼器减震结构参数研究

非线性粘滞阻尼器减震结构参数研究
李宝华;魏建国;刘京红
【期刊名称】《山西建筑》
【年(卷),期】2006(032)020
【摘要】结合工程实例,对多层钢筋混凝土框架结构进行了分析,考虑非线性粘滞阻尼器斜撑的施加对结构地震反应的影响,并根据计算结果研究了支撑刚度对阻尼器减震效果的影响,所得结果可为粘滞阻尼器支撑结构的设计提供依据.
【总页数】2页(P7-8)
【作者】李宝华;魏建国;刘京红
【作者单位】河北农业大学城乡建设学院,河北保定 071001;河北农业大学城乡建设学院,河北保定 071001;河北农业大学城乡建设学院,河北保定 071001
【正文语种】中文
【中图分类】TU352
【相关文献】
1.粘滞阻尼器减震结构非线性随机振动的时域显式降维迭代随机模拟法 [J], 苏成;李保木;陈太聪;梁雄;代希华
2.某框架结构采用屈曲约束支撑与粘滞阻尼器的消能减震的应用研究 [J], 邢秀琪;潘文;张田庆
3.空间缆悬索桥纵向粘滞阻尼器减震研究 [J], 宋松科;李军歌;熊伦;刘伟
4.高烈度区大跨度桥梁粘滞阻尼器减震研究 [J], 郑成成;陈永祁;郑久建;马良喆;吴
福春;陈伟强
5.粘滞阻尼器减震结构的非线性动力分析 [J], 汤昱川;张玉良;张铜生
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线性与非线性黏滞阻尼支撑减震效果的比较

线性与非线性黏滞阻尼支撑减震效果的比较

线性与⾮线性黏滞阻尼⽀撑减震效果的⽐较
线性与⾮线性黏滞阻尼⽀撑减震效果的⽐较
陈瑜;刘伟庆;陆伟东
【期刊名称】《南京⼯业⼤学学报（⾃然科学版）》
【年(卷),期】2009(031)006
【摘要】黏滞阻尼器的速度指数取值制约着阻尼⽀撑减震效果,需确定合理的速度指数取值范围.从⼯程设计应⽤出发,按2种思路⽐较房屋在分别设置线性与⾮线性黏滞阻尼⽀撑后产⽣的结构响应、减震效果、柱轴⼒、经济性和安全性.研究结果表明:⾮线性黏滞阻尼⽀撑在⼩震下较为经济有效,在⼤震下抗震安全度较⾼且⽅便相关⽀撑与连接设计的结论.
【总页数】5页(45-49)
【关键词】黏滞阻尼⽀撑;线性;⾮线性;速度指数
【作者】陈瑜;刘伟庆;陆伟东
【作者单位】南京⼯业⼤学,建筑与城市规划学院,江苏,南京,210009;南京⼯业⼤学,⼟⽊⼯程学院,江苏,南京,210009;南京⼯业⼤学,⼟⽊⼯程学院,江苏,南京,210009
【正⽂语种】中⽂
【中图分类】TU352.1
【相关⽂献】
1.⾮线性黏滞阻尼减震框架结构的优化设计 [J], 唐华源
2.⾮线性黏滞阻尼器减震结构设计与易损性分析 [C], 韩建平; 邹新磊
3.⾮线性黏滞阻尼减震框架结构的优化设计 [J], 唐华源
4.屈曲约束⽀撑与黏滞阻尼器的减震效果对⽐研究 [J], 沈绍冬; 李钢; 潘鹏。

粘滞阻尼器在连续梁桥抗震设计中的应用

粘滞阻尼器在连续梁桥抗震设计中的应用

粘滞阻尼器在连续梁桥抗震设计中的应用许文俊;王会利;苗峰【摘要】为研究粘滞阻尼器在大跨连续梁桥中的抗震性能,结合工程实例建立Midas有限元分析模型,采用非线性动力时程分析方法,比较多种粘滞阻尼器的布置方案,并对粘滞阻尼器进行参数敏感性分析.结果表明,增设粘滞阻尼器能显著改善固定墩在地震力作用下的受力性能,使各墩间的受力更趋均衡,粘滞阻尼器参数C,ξ的变化对结构抗震性能影响较为明显,并针对本工程给出了较为合理的布置方案和阻尼器参数.【期刊名称】《山东交通学院学报》【年(卷),期】2011(019)003【总页数】5页(P48-52)【关键词】粘滞阻尼器;大跨连续梁;非线性动力时程分析;桥梁抗震;参数分析【作者】许文俊;王会利;苗峰【作者单位】大连理工大学建设工程学部,辽宁大连 116024;大连理工大学建设工程学部,辽宁大连 116024;大连大学建筑工程学院,辽宁大连 116622【正文语种】中文【中图分类】U442.55连续梁桥具有受力形式合理、构造简单、施工方便且结构刚度大、变形小等优点［1]，近年来，跨度为50～120 m的预应力混凝土连续梁桥越来越受到工程设计人员的青睐，在城市桥梁和跨江、跨海大桥中广泛应用。

通过引入减震、隔震装置来提高此类桥梁结构的抗震性能成为研究和应用的热点之一，引入阻尼器来改善桥梁结构的抗震性能是其中一个方面［2－4]。

粘弹性阻尼器是一种有效的耗能装置，线性粘滞阻尼器在相当宽的频带内具有使结构保持粘滞线性反应、对温度不敏感、产生的阻尼力与位移不同步等优点。

桥梁工程中采用粘弹性阻尼器控制桥梁结构中斜拉索、吊杆等的振动。

随着桥梁跨度的增大，特别是连续梁桥一联跨度的增大，传统的只在一个墩顶设固定支座的方法，固定墩的抗震设计是一个难题。

在活动墩墩顶设置阻尼器，一方面可以减小桥梁结构的地震反应，另一方面可以使活动墩分担一部分地震作用，这是解决大跨长联连续梁桥抗震问题的有效措施［5]。

第5章 非线性粘性(非牛顿分析

第5章 非线性粘性(非牛顿分析

(3n1) / n
3n 1 2N L
n ( PR )1/ n R3 3n 1 2N L
从上式可以看出：
Q n R3
3n 1
或:
nQ
3n 1 R3
(7)
把(6)式代入(7)式得： N 3n 1
4n
(Weissenberg-Rabinowitsch修正)
根据指数定律的定义得： N (3 d log ) 4 d log
4.1 流动曲线的分析
2
0
tan1 0 1 tan2
1
11
111
图5-7 假塑性非牛顿流体的流动曲
（1） 第一牛顿区
聚合物分子链虽受剪切速率的影响，分 子链定向、伸展或解缠绕，但在布朗运动的 作用下，它仍有足够的时间恢复为无序状态。
(2) 假塑性区或剪切稀化区 在该区内，剪切作用已超过布朗运动的
3n 1 2N L
对牛顿体，有：
PR2
v N 8N L
一般情况下：
v
n 1 3n 1
vmax
对于牛顿体，有：
vN
1 2
vmax
按照定义，有：
N
N
PR
2L
从Hagen-Poiseuille方程得出：
PR4 PR 1 8QL 2L N
由此得：
N
4Q
R3
(6)
Q v R2
n
(
P
) R 1/ n
作用。分子链定向、伸展并发生缠绕的逐 渐解体，而且不能恢复。
(3)第二牛顿区 在该区内，分子链的缠绕已完全解体。
当剪切速率进一步增加时，发生熔体破裂。
图5-8 挤出膨胀和
熔体破裂
流动曲线用双对数坐标表示，如图5-9。

黏滞阻尼器的进展及其动力学分析李政忠

黏滞阻尼器的进展及其动力学分析李政忠

黏滞阻尼器的进展及其动力学分析李政忠发布时间：2021-08-10T07:03:24.522Z 来源：《基层建设》2021年第15期作者：李政忠[导读] 随着建筑高度的增加，结构的侧向变形和舒适度问题逐渐突出。

传统方法通过改进结构体系、提高结构刚度广州大学土木工程学院广东广州 510006摘要：随着建筑高度的增加，结构的侧向变形和舒适度问题逐渐突出。

传统方法通过改进结构体系、提高结构刚度、强度和延性来提高结构抗震和抗风能力，其造价随结构高度的增加成倍增长。

黏滞阻尼器可以通过阻尼系数，进而耗散地震能量。

本文为探寻黏滞阻尼器的作用机理，结合其力学模型进行分析。

关键词：结构抗震；黏滞阻尼器；力学模型引言在结构物的某些部位（节点或联接处）装设黏滞阻尼器，在风荷载或微小地震下，这些阻尼器处于刚弹性状态，结构物具有足够的侧向刚度以满足正常使用的要求；强地震发生时，随着结构受力和变形的增大，这些阻尼器率先进入非弹性状态，产生较大阻尼，大量消耗输入结构的地震能量，从而使主体结构避免进入明显的非弹性状态并迅速衰减结构的地震反应，保护主体结构。

从动力学观点看，黏滞阻尼器的作用相当于增大结构的阻尼。

地震作用下，结构会产生自由振动，而阻尼力可以引起结构能量大耗散，使结构振幅逐渐变小。

1 力学模型黏弹性阻尼器属于速度型阻尼器，滞回曲线一般呈椭圆型。

为了精确的研究黏滞阻尼器的动力特性，采用开尔文模型、麦克斯韦尔模型进行分析[1]。

（1）麦克斯韦尔模型（Maxwell模型）麦克斯韦尔模型为一个弹簧单元和阻尼单元串联而成，其力和位移的关系式为：2 黏滞阻尼器国内外的发展与应用结构工程用液体黏滞阻尼器产品特点的发展过程如下：以胶泥为填充材料（第一代）；采用各种阀门控制阻尼器参数并使用蓄能器（第二代）；以小孔激流方式控制阻尼器参数（第三代）[2]。

黏滞阻尼器是速度相关型阻尼器，根据产品外形来划分为，主要包括杆式黏滞阻尼器、黏滞阻尼墙和缸筒式黏滞阻尼器[3]（也称三向黏滞阻尼器）。

关于粘滞阻尼器在结构中的布置位置及安装方式

关于粘滞阻尼器在结构中的布置位置及安装方式刘莎;甄侦;谢仁生【摘要】总结了阻尼器在结构中的布置原则.介绍粘滞阻尼器四种不同安装方式,并通过算例,对这四种安装形式下粘滞阻尼器的减震效果进行比较,得出剪刀型安装方式和肘节型安装方式的优越性.【期刊名称】《四川建材》【年(卷),期】2010(036)004【总页数】2页(P36-37)【关键词】消能减震;粘滞性阻尼器;布置位置;安装方式【作者】刘莎;甄侦;谢仁生【作者单位】西南建筑设计院,四川成都610081;西南建筑设计院,四川成都610081;西南建筑设计院,四川成都610081【正文语种】中文【中图分类】TU3120 前言消能减震技术是一种结构被动控制技术,它吸收了传统的延性结构的设计思想,并且克服了延性构件损坏后难以修复的缺点。

以其性能稳定、经济可靠等优点在很多发达国家得到认可和推崇。

我国自 20世纪 80年代以来也在这一领域开展研究工作,并开始应用于一些重大公共建筑,如北京银泰中心、北京盘古大观、上海飞机库、广州大学体育馆、秦山核电站等。

汶川地震后,这一技术在我国工程界得到进一步的推广和应用,耗能减震技术已成为工程抗震研究的主要发展方向之一。

粘滞阻尼器作为速度相关型阻尼器,提供的控制力与层间速度差相关,在结构变形最大时,阻尼器提供的控制力为零,这一特性使结构的受力合理,因此而受到工程界的青睐,在国内外得到广泛的关注和一定的应用。

一般来讲,阻尼器应按照使扭转效应尽可能小的方式布置在结构中。

可将阻尼器布置原则总结为以下几点:(1)以层间位移为指标布置,在层间位移较大的楼层增设阻尼支撑[1]。

1)以剪切变形为主的结构(如框架结构),底部变形较大,宜布置在结构的下部。

而以弯曲变形为主的结构(如框剪结构和框架剪力墙结构),顶部变形大,宜布置在结构的上部。

2)当层间位移基本相等时,阻尼支撑宜增设在较低的楼层。

3)在某些情况下,增设阻尼支撑结构的部分层层间位移比相应原结构的层间位移大,故阻尼支撑在竖向上宜尽量每层都设置,尽量做到各楼层的屈服强度系数大致相等,防止某一层产生较大的层间侧移,出现塑性变形集中效应。

含有三次非线性的粘性阻尼双线性迟滞振动系统的响应计算

含有三次非线性的粘性阻尼双线性迟滞振动系统的响应计算振!动!与!冲!击第"#卷第$期%&’()*+&,-./(*0.&)*)123&45-678"#)68$"99:!<<<<<<<<<<<<<<====科研简报含有三次非线性的粘性阻尼双线性迟滞振动系统的响应计算收稿日期："99#;9$;$"99#;9=;9<第一作者路纯红女，博士生，讲师，$>:=年=月生路纯红，白鸿柏，李冬伟，王尤颜（军械工程学院，石家庄!9?999=）!!摘!要!研究了一类无记忆恢复力中含有位移三次非线性的粘性阻尼双线性迟滞振动系统的响应计算问题，提出了一种,6@ABCA 级数展开法与系统处于特殊点时的运动方程相结合的近似解法，该方法可靠、编程简单，具有较好的工程实用性。

关键词：非线性，迟滞振动系统，响应计算，,6@ABCA 级数，特殊点中图分类号：&=""文献标识码：*!!近年来，随着现代科学技术的高速发展，隔振系统的工作环境正日益变得复杂化和恶劣化，因此基于干摩擦耗能机理的非线性减振器，诸如钢丝网减振器、钢丝绳减振器及新近研制的金属橡胶减振器等，以其具有的优异性能，如：耐高温、抗腐蚀、隔振频带宽、维修方便等，越来越受到工程界的高度重视，在航空航天、尖端军事工业等高科技领域得到了广泛的应用。

国内外学者对具有干摩擦的非线性减振器构成的振动系统的响应计算问题做了大量研究［$;D ］，均假设无记忆恢复力为线性。

然而对于钢丝绳、钢丝网、金属橡胶等非线性干摩擦减振器，实验建模研究表明，它们不仅具有复杂的双折线泛函本构关系，而且无记忆恢复力中也含有较强的位移三次非线性因素［?;#］。

运用这些研究成果不能解释具有干摩擦的非线性减振器构成的振动系统的一些特殊的非线性现象，如幅频曲线的弯曲、跳跃产生的多值性［:］。

粘滞阻尼器减震结构设计方法及计算实例


引言 在过去的几十年中，结构振动控制在全世界范围 内引起了广泛的关注，国内外很多学者在结构控制的 方法、理论、试验和应用等方面进行了深入研究并取 得了大量研究成果，其中已有许多技术成功地应用于 工程实践。 结构振动控制中的基础隔震技术最为成熟， 工程应用比较多， 但其应用范围受到限制。 主动控制、 半主动控制以及混合控制的实际应用尚不成熟且成本 较高。相比之下，耗能减振技术概念简单、机理明确、 减震效果明显、安全可靠、经济耐用，并且具有较大 的应用范围，适用于不同烈度、不同抗震要求的建筑 物；对于新建筑的抗震控制和现有建筑的加固维修均 可应用。经过近几十年的发展，人们开发出了大量的 消能减震装置，按其消能机理不同分为以下四类：粘 弹性阻尼器、粘滞性阻尼器、金属屈服阻尼器和摩擦 阻尼器，前两类称为速度相关型阻尼器，后两类称为 0
具体设计时，根据场地条件，选定分析所用的地 震波，对无阻尼器原型结构进行时程分析，求得最大 层间位移角 θ0。确定减震结构所需满足的最大层间位
移角限值 θd， 计算所需的位移减震率 μd=(θ0-θd)/θ0，根 据前述结构等效单自由度体系的位移减震率 -附加阻 尼比曲线（μd-ξa 曲线）并参考底部地震剪力减震率 附加阻尼比曲线（μf-ξa 曲线）确定所需的附加阻尼比 ξa。上述过程也可以通过对无阻尼器原结构进行不同 阻尼比下的反复试算， 以确定达到指定层间位移角时， 所需的附加阻尼比 ξa。 1.3 阻尼器参数及数量的确定 抗震规范[1]中给出了计算消能部件附加有效阻尼 比 ξa 的公式：
f
S0,max S c,max S0,max
(2)
S0,max 为无附加阻尼单自由度结构底部地震剪力 式中： Sc,max 为附加阻尼比 ξa 后单自由度结构底部地 最大值； 震剪力最大值。 单自由度结构 ξa-μd 曲线和 ξa-μf 曲线可通过数值 方法求解 Maxwell 模型的平衡及协调方程得到[2]。本 文在计算中发现， 单自由度结构 ξa-μd 曲线和 ξa-μf 曲线 主要受结构自振周期 T、结构自身阻尼比 ξs 和地震波 类型的影响，与地震波峰值等因素无关。为满足下文 中消能减震结构优化设计的需要，图 2 给出了一幢方 钢管混凝土框架高层[3]的等效单自由度结构的 ξa-μd 曲 线和 ξa-μf 曲线， 曲线所对应的参数为： 自振周期 T=4s， 结构自身阻尼比 ξs=0.035，地震波为 SHW2 波，单自 由度结构质量取实际结构的总质量。图中同时给出了 该实际结构的计算曲线，其中实际结构的位移减震率 μd 取层间位移角最大值的减震率。 从图中可以看出，ξa-μd 曲线吻合较好，而 ξa-μf 曲 线虽然差别较大，但变化趋势相同。从图 2(b)可以看 出， 单自由度结构和实际结构在附加阻尼比 ξa 大于 0.2 后，底部地震剪力都不再继续减小，甚至开始增大， 而此时随着附加阻尼比的继续增大，图 2(a)中的位移 减震率仍在大幅度的减小，说明结构的构件层间剪力 也在不断减小，此时，由层间地震剪力和层间构件剪 力所形成的不断增大的差额则要由不断增大的阻尼力 来填补。由此说明，过多地设置阻尼器，并不能有效 地减小地震力，甚至会使地震力增大，从而使继续增 加的阻尼器主要用来抵抗增大的地震力，从而导致不 经济的减震设计方案。因此，在由 ξa-μd 曲线确定所需 的位移减震率的同时，还应参考 ξa-μf 曲线，以保证所 需的附加阻尼比不会导致地震力的增大，由图 2(b)可 知，对于此结构当附加阻尼比 ξa>0.2 时，地震力不再 减小，减震效率开始降低。

非线性粘滞阻尼器系统的刚性性质与动力时程分析


206
工
程
力
学
尼比为=0.05，周期取 Tn=1 s、3 s、5 s，系统的速 0.0001 m/s (速度较小时阻尼力随着 度取较小值 u 速度的变化而快速变化)。采用非线性粘滞阻尼器， 阻尼系数为 cD=30 kN · s/m，阻尼指数分别取 = 1.0、0.7、0.5、0.3，采用式(5)计算系统的刚性比， 结果见表 1。
[3]
(t ) cu (t ) ku (t ) cD sgn(u (t )) u (t ) p(t ) (1) mu
式中：m、c、和 k 分别表示系统的质量、阻尼和刚 (t ) 和 u (t ) 分别表示系统的位移、速度 度； u (t ) 、 u 和加速度； cD 表示阻尼系数； 为阻尼指数，当
0.25－2.08i 0.17－2.08i 0.21－1.23i 0.46+ 6.27i 0.25+2.08i 0.21+1.23i — — —
=0.7
———————————————
收稿日期：2015-09-28；修改日期：2016-01-08 基金项目：国家自然科学基金项目(11172210)；土木工程防灾国家重点实验室探索性研究课题项目(SLDRCE14-B-20)；中央高校基本科研业务费 专项资金项目 通讯作者：彭勇波(1978―)，男，湖北人，副研究员，博士，主要从事工程结构的振动控制及其可靠度研究(E-mail: pengyongbo@). 作者简介：陈建兵(1975―)，男，湖北人，教授，博士，主要从事随机动力学以及基于概率密度演化理论的结构可靠度研究 (E-mail: chenjb@)； 曾小树(1992―)，男，湖北人，硕士生，主要从事高层建筑结构抗风舒适度研究(E-mail: 13_zengxiaoshu@).
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非线性粘滞性阻尼器的结构运动方程的解法
提要：本文基于国内外现有的粘滞阻尼器性能试验和计算研究，提出单自由度粘滞阻尼器的计算方法文中给出了粘滞阻尼器非线性运动方程的解法，并运用该方法进行了大量的比较计算，研究了这种解法的精度.
关健词：非线性粘滞阻尼器sap2000
１引言
粘滞性阻尼器是抗震被动控制中的一种十分有效的耗能减震装置，一般是由缸体、活塞和流体组成。

活塞在缸筒内可作往复运动活塞上有适量小孔，筒内盛满流体，利用活塞在粘滞性流体中运动消耗地震时输入结构的能量。

国内外关于粘滞性阻尼器的数值计算和试验研究都很多，但大多数都局限于将其简化为线性阻尼器模型再进行计算。

但是当一个长周期的结构承受强烈的地面振动时，线性的粘滞性阻尼器会产生额外的阻尼力，这对结构来说是不利的，而非线性的粘滞阻尼器则不同，它不但在结构运动速度很快时提供阻尼力，而且可以有效的限制阻尼力的幅值。

采用非线性时程分析的方法求解单自由度系统的非线性的运动方程，可以得出系统在动力荷载作用下的反应。

目前，国内外学者对粘滞性阻尼器多采用等效刚度等效阻尼模型进行非线性时程分析。

但是等效模型将粘滞性阻尼器的刚度、阻尼均简化为线性，会导致阻尼器应力应变曲线有一定程度的失真，将直接影响到减震结构的时程分析结果。

为了保证减震结构设计的安全可靠，有必要对设有粘滞阻尼器的消能减震结构进行更加深人，更加准确的非线性时程分析。

为此，本文提出了一种非线性时程分析的计算方法.
２非线性粘滞阻尼器
非线性粘滞阻尼器的力和位移的关系可以写成：
（１）
其中为对应不同速度指数ａ值零频率时的阻尼系数，ａ为正实数指数，其变化范围在0.1—1.0之间。

符号ｓｇｎ（Ｄ）是一个正负符号函数。

当ａ=１时，方程（１）可写为
，这时方程表示的是线性的粘滞性阻尼器；当=０时，方程（1）可写为，这时方程表示的是纯摩擦阻尼器。

因此ａ为非线性粘滞阻尼器的非线性特征量。

３单自由度系统的非线性运动方程的解法
安装有粘滞性阻尼器的单自由度系统运动方程为：
(2)
其中ｍ为质量，ｋ为弹性刚度，ｃ为线性阻尼系数，为地面运动加速度。

当，时，方程（２）为非线性方程。

在逐步积分的过程中，设时间步长加ｔ，使用Ｗｉｌｓｏｎ- 无条件稳定的积分方法，采用下列假设：
设，代替上式的，上式可改写为
因为粘滞阻尼器的系统非线性运动方程中，速度项为非线性项，因此在ｔ十时刻，用速度项来代替位移和加速度项，则：
ｔ十时刻的加速度为：
那么将式（５），（６）带入方程（２）在ｔ十时刻的系统运动方程（２）可写为：
式（７）是关于的非线性方程，通过Ｎｅｗｔｏｎ－Ｒａｐｈｓｏｎ等求解非线性方程的数值方法即可求解出。

则ｔ＋时刻的加速度、速度和位移为：
４与ｓａｐ２０００的算法比较
为了验证这种方法的精度，考虑单自由度系统在四种不同工况下（详见表１），与sap2000的算法进行比较。

其中sap2000程序中所采用的是等效线性化模型来求解非线性运动方程。

单自由度体系的质量为10000ｋｇ，刚度为43865ＫＮ／ｍ，结构的阻尼比为５％，则系统的周期为，非线性阻尼比为５％ａ输人的地震波为ＥＬ波８度多遇地震。

图１、２、３、４是单自由度非线性阻尼器在多地震荷载作用下位移时程曲线，其中粗线为本文所提出的算法求解出的位移，细线为sap2000所用算法求解出的位移。

表２为在四种工况下，本文所提出的算法求解出的位移、速度和加速度曲线和sap2000所用算法求解出的位移、速度加速度曲线的Ｐｅａｒｓｏｎ乘积矩相关系数其中Ｐｅａｒｓｏｎ乘积矩相关系数，ｒ，是一个范围在-1.0到1.0之间的无量纲指数反映了两个数据集合之间的线性相关程度）。

从图２、３、４和表２中工况二、三、四可以看出当非线性阻尼指数“大于0.2时，本文算法与sap2000 的算法拟合程度非常的高，这种情况下，本文的算法和sap2000所用的等效线性化算法差别不大，表明sap2000在此工况下对粘滞非线性阻尼器进行线性简化具有其合理性。

但图１和表２中工况一的计算结果表明当非线性阻尼指数ａ等于0.2时，本文的算法和sap2000所用的等效线性化算法就有显见差别。

当非线性阻尼指数ａ小于0.2时，差别越趋明显。

这主要是因为sap2000所采用的等效线性化模型，将粘滞阻尼器的刚度、阻尼均简化为线性，这样将阻尼器的应力应变的滞回曲线都假设为椭圆形，而在ａ小于等于0.2时，阻尼器的滞回曲线接近了矩形，这导致等效线性化模型的失真，而本文所提出的算法没有进行任何线性假设，在ａ小于等于0.2时的与等效线性化算法相比更加的精确。

６结论:
本文所提出的求解粘滞阻尼器的非线性方程的方法十分的精确，尤其是在非线性阻尼指数“小于等于0.2时，与等效线性的算法相比更加精确。

参考文献
1.T.T,Soong and G..F.darguush.Passive Energy dissipation System in structural Engineering.State University of New York at buffalo,1997.
2.R.W.Clough and J.Penzien.Dynamics of Structures.McGraw Hill.New York.1975
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