第八讲假设检验.

2
Z 0.025 1.96, 接受假设的区域为 : n , 0 1.96 0 n , 或 Z 1.96,

0 1.96 /
n
0
1.96 / n
5、计算样本统计量的值
Z＝ X－ 0
0
n
110 100 50 2 4.42 16 16 50
6、作出统计决策
Z＝4.42>1.96, 所以Z落入拒绝区域,应推 翻H0,接受H1。即该班的智力水平与常模
有显著差异。
8.1.2 假设检验中的小概率原理
小概率原理:指发生概率很小的随机事件在一次试 验中是几乎不可能发生的。小概率指p<5% 假设检验的基本思想是应用小概率原理.

例如某厂产品合格率为99%,从一 批(100件)产品中随机抽取一件,恰 好是次品的概率为1%。随机抽取 一件是次品几乎是不可能的, 但 是这种情况发生了,我们有理由怀 疑该厂的合格率为99%.这时我们 犯错误的概率是1%
为68分,问该校成绩与全市平均差异是否显著。
（ 取 ＝0.05）
解:
(1)建立检验假设 H 0 : 1 62 H1 : 1 62 (2)计算统计量值 ,由已知 0 62, 0 10.2, X 68, n 90, X 0 68 62 Z 5.58 0 n 10.2 / 90 (3)由已给出的显著性水平 0.05, 查表得到Z 2 1.96 (4)显然 Z 5.58 1.96, 即拒绝原假设 H0 可以认为该校的学生考 试成绩与全市的平均成 绩有 显著差异。
2、单侧检验（单尾）：强调某一方向性的检验。 左侧检验 右侧检验
H 0 : 1 H 1 : 1 H 0 : 1 H 1 : 1
0
0
8.2 平均数的显著性检验
8.2.1 总体服从正态分布,总体方差已知 设x1,x2,…,xn是来自正态总体N(0, 2)的样本容 量为n的随机样本,则将均值是否等于已知值作 出检验.则此时的假设检验称为Z检验。 （1）假设检验的问题是：H0： 1 ＝0 H1： 10 （2）由于2已知，且样本来自正态总体，故 X～N（ 0, 2/n）, 检验统计量为:
•备择假设：用H1表示，即研究假设，希望证实的假设。H1 ： 1 0 （该班智力水平确实与常模有差异）
1100
•统计学中不能对H1的真实性直接检验，而是 要建立与之对立的假设H0 。若证明为H0为真，
则H1为假； H0为假，则H1为真。
•虚无假设是统计推论的出发点。总是作为直
接被检验的假设。
种教学方法与未采用新教学方法的学生成绩有
无显著的差异(已知考试成绩服从正态分布,取
=0.05)
解: 依题意知 ：
48.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.5 51.5, 6 S 2.98, X (1)建立假设 H 0 : 1 0 H 1 : 1 0 ( 2)总体正态, 2 未知, 且为小样本 , n 6, 则应用t检验方法, 计算统计量t X 0 S n 51.5 52.0 2.98 6 0.41
X 0 Z n
(3) 对于给定的显著性水平,查标准正态分布表得到 临界值Z /2; (4)比较统计量Z与Z /2的值,若
Z Z 2 , 则拒绝假设H 0 ; Z Z 2 , 则接受假设H 0
例8.2 全市统一考试的数学平均分0=62分, 标准差
0=10.2,一个学校的90名学生该次考试的平均成绩
X SEX
0
n

15 70
1.793 ,
X 0 103.3 100 Z 1.84, SEX 1.793 从标准正态分布表查得 , 单侧检验中 0.05时 的临界值Z 1.645, 而Z 1.84 1.645 Z , p 0.05, Z落入拒绝区内 , 说明在0.05水平上1与 0 的差异显著 .推翻原假设H 0 , 接受备择假设 H 1 , 即可
相符（或大于）的结论？(=0.05)
解: H 0 : 40000 H1 : 40000
这是一个单侧假设 (右侧),总体方差未知 , 用t统计量 X 0 41000 40000 t 2.91, 查ｔ分布表知 , S n 5000 120 t (119) 1.658,由于t t , 落入拒绝区域 , 故拒绝H 0 , 接受H1 , 可以认为该制造商的声 称是可信的 , 其生产 的轮胎的平均寿命显著 地大于40000 公里。
第八讲 假设检验
• 参数估计和参数假设检验的共同之处 都是利用样本信息对总体进行某种推 断，且使用的统计量也一样。 • 参数估计：用样本统计量估计总体参 数； • 假设检验：先对总体参数提出一个假 设，然后利用样本信息检验这个假设 是否成立。
8.1 假设检验中的基本问题念
• • • • • • • • • 8.1.1 假设检验的步骤: 1. 建立原假设H0和备择假设H1; 2. 确定适当的检验统计量; 3. 指定检验中的显著性水平; 4.利用显著性水平根据检验统计量的值建立拒绝原假 设的规则; 5.搜集样本数据,计算检验统计量的值; 6.作出统计决策:(两种方法) (1) 将检验统计量的值与拒绝规则所指定的临界值相 比较,确定是否拒绝原假设; (2)由步骤5的检验统计量计算p值,利用p值确定是否 拒绝原假设.
例8.3 有人研究早期教育对儿童智力发 展的影响,从受过良好教育的儿童中随机 抽取70人进行韦氏儿童智力测验(0=100, 0=15)结果X=103.3, 能否认为受过良好
早期教育的儿童智力高于一般水平。
解：由题意，应该用单侧假设（总体正态分布）， 建立假设
H 0 : 1 0 H 1 : 1 0
例8.1 某校一个班进行比奈智力测验, X =110, 班级人数 n=50, 该测验常模0=100, 0=16。该班智力水平1(不是这一 次测验结果)是否与常模水平有显著差异?
解:1、提出原假设和备择假设 •原假设：用H0表示，即虚无假设、零假设、无差异假设。 H0： 1＝0 1 ＝100
总体非正态，n 30(或n 50)： 1、 0已知时X的分布
X 0 , SEX
0
n S n
,Z
X 0
0
n
2、 0 未知时X的分布
X 0 , SEX
, Z'
X 0 S n
例8.6 某省进行数学竞赛,结果分数的分布不是正态,总 平均分43.5。其中某县参加竞赛的学生168人，X＝ 45.1, S=18.7, 该县平均分与全省平均分有否显著差异? 解:n=168>50,
若采用Z作为检验统计量，其临界值Z＝1.645, Z与 t非常接近,主要原因是样本容量很大。因为t分布的 极限分布是正态分布,所以当样本容量n很大时,选择t 统计量与Z统计量的差别不大。但在小样本情况下， 两个统计量的临界值存在明显的差异，这时要特别 注意不能误用。
思考题1、某市场研究有限公司假定电话调查可在 15分钟以内结束，并据此向客户收费。如果调查 所需时间超过该值，则需要加收额外费用。假定 由35个电话调查所组成的一个样本表明，其样本 均值为17分钟，样本标准差为4分钟。取显著性水 平＝0.01,问是否需要额外收费?
(3)由 0.05,自由度df 6 1 5, 查t分布表得 到临界值t (5) 2.571 ,
2
( 4)由 t 0.40 0.41 2.571 t (5), 所以X 落
2
入接受区域 , 应接受假设H 0 , 即认为两种教学方 法并没有显著的差异。
例8.5 一个汽车制造商声称,某一等级的轮胎 的平均寿命在一定的汽车重量和正常行驶 条件下大于40000公里,对一个由120个组成 的随机样本作了试验,测得平均值和标准差 为 X=41000,S=5000。已知轮胎寿命的公里 数近似服从正态分布。我们能否根据这些 数据作出该制造商的产品同他所说的标准
原假设时正确的可能性(概率)为:95%, 99%, 99.9%
4.利用显著性水平根据检验统计量的值建 立拒绝原假设的规则
0.05时, Z
X 0 1.96 0 拒绝区域为: X 0 1.96 0 n 或 X 0 1.96 0 n, 或Z 1.96, 或Z 1.96
若增大n，在样本平均数的分布 X ～N ( , 变小，
2

)中， 就会 n n
2
n 概率与。
变小，则分布就瘦长， 从而减少了两种错误的
8.1.4 单侧检验和双侧检验
1、双侧检验（双尾） 指只强调差异而不强调方向性的检验
H 0 : 1 0 H1 : 1 0 只关注1，0是否有差异，不关心 1比0大还是小
以认为受过良好早期教 育的儿童智力高于一般 水平。
8.2.2 总体正态分布,总体方差未知的均值检验
Z统计量中包含已知参数2,当总体方差2未知 时,不能选择Z统计量。这时需要用样本方差S2 代替2,检验统计量
X 0 t S n
服从自由度df=n-1的t分布,此时的检验叫做t 检验。而不是Z检验。标准误为：
•假设检验的目的在于检验差异，所以，又叫 差异的显著性检验
2、确定适当的检验统计量 用于假设检验问题的统计量称为检验统计量。与参数 估计相同，需要考虑： •总体是否正态分布； •大样本还是小样本； •总体方差已知还是未知。
由于本例中总体正态，样本容量大于等于30， 所以检验统计量为Z分布。
Z＝
X－ 0
8.1.3 假设检验中的两类错误

假设检验是依据样本提供的信息进行推断的, 即由部分来推断总体,因而假设检验不可能绝 对准确,是可能犯错误的。
两类错误： 错误(I型错误): H0为真时却被拒绝,弃真错误; 错误(II型错误): H0为假时却被接受,取伪错误。 假设检验中各种可能结果的概率 接受H0 H0为真 1－ (正确决策) 拒绝H0，接受H1 (弃真错误)