数理金融学作业17：风险厌恶与效用函数

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风险厌恶系数

风险厌恶的阿罗-普拉特度量被定义为：
.
ARA为正，表明具有此效用函数的投资者或者消费者是风险厌恶者；
ARA为负，表明具有此效用函数的投资者或者消费者是风险爱好者；
ARA为零，表明具有此效用函数的投资者或者消费者是风险中性者。
.
相对风险厌恶的阿罗-普拉特度量则是用
绝对风险厌恶程度ARA乘以财富值W来
.
.
2.风险厌恶系数的影响因素分析
.
上述模型中A 为本文估测而得的居民风险厌恶系数。模型III 检验财富状况对风险庆恶系数大小的影响; 模型IV 度量居民的主观风险偏好与测得的客观风险厌恶系数间的关系。
.
2.3研究数据文章通过问卷调查的方式采集数据，获取各项影响因素的值
.
.
.
2.风险厌恶系数的影响因素分析由于空仓与不参与股市确属两种不同的投资行为，故作者采用下述两种方法来进行影响因素分析。方法一：作者将不参与股市投资者的仓位以0 代替，建立风险厌恶系数的估测模型和影响因素分析模型。方法二：作者仅针对参与股市投资者建立风险厌恶系数估测模型和影响因素分析模型。 2.1.考量居民的社会属性对于风险厌恶系数大小的影响模型I 和模型II 的分析结果表如6 和表7 所示。
（1）在g中规避风险，如果u(E(g))>u(g) （2）在g中风险中立，如果u(E(g))=u(g) （3）在g中喜欢风险，如果u(E(g))<u(g)
.
阿罗-普拉特度量
阿罗-普拉特度量是对一个决策者的风险厌恶程
度的度量。它由肯尼思·阿罗和约翰·普拉特的名
字命名。设是一个可微分的效用函数, 那么一个绝对
• 这种收益方式使得被试的每一次选择都一样的重要，因为被试事先并不知道哪一对彩票会被选中。

2013-2014第二学期数理金融期末试卷

13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1。

适用班级：11数学与应用数学本1。

本2，2013数学（升本)2。

本试卷共1页。

满分100分。

3.考试时间120分钟。

4.考试方式:闭卷一、选择题（每小题3分,共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成,它们的预期收益率分别为10％、16%、20％它们在组合中的比例分别为30%、30％、40％，则该证券组合的预期收益率为______ A 15。

3％ B 15。

8％ C 14。

7％ D 15.0%2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0。

06和0。

12。

根据CAPM 模型，贝塔值为1。

2的证券X 的期望收益率为A 0。

06B 0。

144C 0.12D 0。

1323．无风险收益率为0。

07,市场期望收益率为 0.15。

证券X 的预期收益率为 0。

12，贝塔值为1.3.那么你应该A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了C 卖空X ，因为它被低估了;D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行? A 执行价格比股票价格高；B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5。

假定IBM 公司的股价是每股95美元。

一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金,看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元B 跌到90美元C 涨到107美元D 跌到 96美元二、填空题（每小题3分，共15分） 1。

风险厌恶型投资者的效用函数为2。

设一投资者的效用函数为,则其绝对风险厌恶函数 3.均值-方差投资组合选择模型是由提出的.4。

可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5。

考察下列两项投资选择：(1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益,60％的概率获得5％的收益;(2)银行存款收益率为6%；则风险投资的风险溢价是三、分析题（每小题15分，共30分）1。

金融经济学第四章效用函数与风险厌恶

不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。 Knight 的观点并未被普遍接受。但是这一观点成为研究方法上的区别。
34
不难发现，抛硬币选择A或B的结果的概率分布于彩票C的分布完全相同。因此我们可以将投资者的偏好概括如下：C偏好 A；A偏好A或B各50%；但是A和B各 50%又恰好与C一样好。因此C明确偏好 A, A明确偏好C—矛盾。
35
例20美元； ❖ 方案B:
（1）x y弱偏好于x，x 至少与y 一样好。
（2）x y 强偏好于x ； x y x y 但， y x 不成立。
（3）x y无差异于x 、y；即：
x yxy 和 yx
5
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件：（1）完备性（completeness）
x, y C y x x y x y
q (q1, , qm, , qM ) RM
max u(.) s.t.z C RM : qc W
上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集。
16
最优解：
u q 0
C C
W qC 0
MRSi, j
u / Ci u / C j
qi qj
17
❖ 得到5000000美元的概率是0.1 ❖ 得到1000000美元的概率是0.89 ❖ 得到0美元的概率是0.01
36
他发现，在A和B中，他的受试者偏好于 A。于是，他进一步要求受试着考虑一下情形：
❖ 方案C：以0.11的概率得到1000000美元

第三讲：风险厌恶ppt课件

utility function is concave, i.e., iff u´´ is
negative. Example: u(w)=ln(w).
9
Jensen inequality
The following two conditions are equivalent: 1. f is concave. 2. X : Ef (X ) f (EX ).
Eu1(w0 X ) Eu2 (w0 X ) dfn
Eu2 (w0 X ) Jensen
u2 (w0 )
u2 ind.
u1 (w0 )
dfn
25
主要结论
定理：下面的命题是等价的： 1、w, A1(w) A2 (w) 2、u1(u21(z)) 是凹的；
x, y,p [0,1] : pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y),
or equivalently, iff
Ef ( X ) f (EX ), f(EX)
with
X (x, p; y,1 p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
3
凹函数的定义
(Ct )1 dt] Xt
spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）
E0[
T et Ct1 (Wt
0
1 2 Vt
)b dt]
34
递归效用 [Epstein 和Zin（1989、1991）]
(1 )Ut {(1 et [Ct St ] (t)
12
风险态度的图象： u(.)
风险厌恶风险中性风险偏爱

风险厌恶系数[1]

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风险厌恶系数[1]
阿罗-普拉特度量
阿罗-普拉特度量是对一个决策者的风险厌恶程度的度量。它由肯尼思·阿罗和约翰·普拉特的名字命名。
设是一个可微分的效用函数, 那么一个绝对风险厌恶的阿罗-普拉特度量被定义为：
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风险厌恶系数[1]
l ARA为正，表明具有此效用函数的投资者或者消费者是风险厌恶者；
为风险中性，只有极少部分的个体为风险爱好，并且高度风
险爱好的个体基本不存在，同时也可以发现个体的风险偏好具有较强的异质性。
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风险厌恶系数[1]
• 从表3可以看出，采用 MPL 和 OLS 设计所测度出的个体风险厌恶中值并没有明显差异，但是要显著低于 iMPL 设计所测度出的个体风险厌恶中值，这表明实验中所测度的个体的风险态度可能会受到测度方法的影响。
• 个体普遍是风险厌恶的这一结论是不受影响并且是稳健的。 Carlsson 等（2009）同样采用Holt和Laury （2002）的设计对中国贵州农村个体的风险厌恶进行了测度，但实验中的收益是本文中的 10 倍，作者研究发现这主要是激励的差异所造成的，该结论表明了使用学生作为被试的实验数据同样具有代表性。
风险厌恶系数[1]
基于以上分析，财富概念应为包含房产、人力资本后的财富净值，由金融财富净值、房产和人力资本等构成。为了检验三类财富对风险庆恶系数分别产生的影响，分析模型III 的拟合结果如表8 所示。
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风险厌恶系数[1]
2.3 考量居民主观风险偏好对于风险厌恶系数大小的影响为了方便模型数据的拟合，本文需要首先量化每一心理测试题的各个选项，如对于第一题中的A 、B 、C 和D 四个选项分别赋予1 、3 ，5 和9 分;随后累加四道心理测试题受访者所勾选项对应的分值，并将该总分值赋予变量X ，即居民的风险偏好态度为X。

数理金融复习题(含答案)

12.基于单因子模型，无风险证券的回报率为 4% ，一个具有单位因子敏感度的投资组合期望回报率为 7% ．考虑具有下述特征的三种证券的一个投资组合：
证券
因子敏感度
比例
A B C
1.5 3.0 2.0
0.10 0.20 0.70
根据套利定价理论，该组合的均衡期望回报率是多少？
解：由题意：
E ( Rw ) r f 7% 4% 3%
E ( R A ) r f b A 4% 1.5 3% 8.5% E ( R B ) r f bB 4% 3.0 3% 13% E ( Rc ) r f bc 4% 2.0 3% 10%
证券组合回报率为：
E ( R ) E ( R A ) A E ( RB ) B E ( RC ) C 0.1 8.5% 0.2 13% 0.7 10% 10.45%
注：此答案仅供参考，若有错漏敬请见谅！
1. 什么是一阶随机占优？一阶随机占优的充要条件是什么？
答：如果所有具有连续递增效用函数的投资者对资产 A 的偏好胜过对资产 B 的偏好，我们称资产 A 一阶随机占优于资产 B，记为 A B 。
FSD
设 FA ( x ) 、其定义域为[a,b]，则A B FB ( x) 分别是资产 A 的收益率 R A 和 R B 的分布函数，
1 1000, P 2 V1 (2) 1 800, P 2 ， Cov( X 1 , X M ) 0.045 ， var( X M ) 0.3.
r 0.10 ， E ( X M ) 0.20
试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。

第三讲：风险厌恶

0 .5 u[E (W )](W E (W ))2 ＋ h.o.t
u [ E （ W ） - ] ＝ u [ E ( W ) ] － u [ E ( W ) ] ＋ h . o . t
＝-1u(W)2
2u(W) W
Arrow-Pratt度量：
＝-12uu((W W))W2
RRA＝-u(W)W ARA＝- u(W)
x,y,p[0,1]: pf(x)(1p)f(y)f(px(1p)y),
or equivalently, iff
Ef(X)f(EX), f(EX)
with
X (x,p;y,1p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
凹函数的定义
• 定义：称函数 f:R→R为凹函数当且仅当
x,y, p [0 ,1 ]:p f(x)(1p)f(y)f(p x(1p)y), o req u iv alen tly ,iff E f(X )f(E X ), w ithX(x,p ;y,1p).
• Chris Starmer.2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for descriptive theory of choice under risk. Journal of Economic
Literature :332-382 • Kahneman，D and Tversky. 1979. Prospect theory: an analysis of
• They all belong to the HARA family:
u(z) z 1 A (z) z 1
➢二次效用函数：
u (W ) a W b W 2

数理金融试题

数理金融试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一、选择1. 假设债券A(0)=100元；A(1)=110元，股票S(0)=80元，100(1),60S ⎧⎨=⎩上涨和下跌概率分别为0.8和0.2。

假设你有10000元资金，决定买入50股股票60份债券，那么该资产组合收益的数学期望()V E K 为（ D ）。

A 、 0.11B 、0.14C 、0.13D 、0.122.下面关于贝塔因子(β)的描述，说法正确的是( A )A.、若某股票的β>1，则当市场证券组合的回报率上升时，该股票的回报率比市场上升得更快B 、若某股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率比市场下跌得更慢C 、若某股票的0<β<1，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率反而上升D 、若某股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率也跟着下跌3. 两风险资产的对应权重为12(,)ωω，风险分别为2212(,),σσ相关系数为12,ρ则其组合的风险可表示为（ D ）。

A 、22211221212122v σσωσωωωρσσ=++ B 、22211221212122v σωσωσωωρσ=++ C 、22222112212122v σωσωσωωσσ=++ D 、2222211221212122v σωσωσωωρσσ=++ 4. 投资两个风险证券，下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)错误的是（ A ）。

① μ ② μ0.8ρ= 1ρ=③ μ ④ μ0.8ρ=- 1ρ=-A ①②③B ②③④C ①③④D ①②④ 5. 投资两个风险证券，下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)正确的是（B ）(1) μ (2) μσσ0.5ρ=-1ρ=(3) μ (4) μ0.5ρ=σ1ρ=- σA 、(1) (2) (3)B 、(1) (3) (4)C 、(1) (2) (4)D 、(2) (3) (4) 6. 本金相同、存期相同且有效利率相同，则按期复合的终值(V1)与连续复合的终值(V2)满足( C )A V1>V2B V1≠V2C V1=V2D V1<V2 7、给定资产组合或单个证券(收益率用 v K 表示)的贝塔因子v β，下列表达式正确的是（ B ） A(,)V M v MCov K K βσ=B 2(,)V M v M Cov K K βσ=C (,)V M v VCov K K βσ=D 2(,)V M v VCov K K βσ=8、设无风险利率为0.07，市场证券组合的期望回报率为0.15，则市场风险溢价为（），一个贝塔系数为1.25的投资所要求的回报率为（ D ）。

风险厌恶

• 风险态度的图象： u(.)
风险厌恶风险中性风险偏爱
W
• 风险厌恶的度量：图形分析
v(x)
v(x1) E{v(x)}
v(x0)
x0
E{x}
v-1(E{v(x)})
x1 x
• 风险厌恶及其度量：两种风险厌恶的度量方法;
Markowtz 度量—风险溢价 E[u(W )]＝u[W ]
确定性等价（certainty equivalent)W
定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时，参与者是（严格）风险厌恶的。
An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001)
zero- mean risk=fair gamble
x, y,p [0,1]: pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y), or equivalently, iff Ef ( X ) f (EX ), with X (x, p; y,1 p).
• 风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险喜好；直线为风险中性。
• 例子：
100元（概率为3/4）
L
-40元（概率为1/4）
E(L)=100×3/4+(-40) ×1/4=65元
选L而不是65元
E(u(L))>u(E(L))
选65而不是L
E(u(L))<u(E(L))
对两者的态度相同 E(u(L))=u(E(L))
二、风险厌恶的度量
• 通常我们假设所有经济人为风险厌恶者，接下来我们希望知道如何量化风险厌恶，从而能够比较不同参与者或同一参与者在不同情况时的风险厌恶程度。

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风险厌恶与效用函数
1.风险厌恶型投资者的效用函数为（）
A. 凸函数
B. 凹函数，
C. 线性函数 D 二次函数
解答：设投资者的效用函数为()u x .则风险厌恶型投资者的效用函数为：凹函数，即()0u x ''≤；风险爱好型投资者的效用函数为：凸函数，即()0u x ''≥；风险中性投资者的效用函数为：线性函数，即()0u x ''=；
2.设投资者的效用函数为均值-方差效用函数即
22(())(,),(),()E u x u E x Var x m s m s ===，则： A. 20,0u u m s 抖>>抖;B 20,0u u m s 抖<>抖;C,20,0u u m s 抖><抖;D ；20,0u u m s
抖<<抖解：由投资者的效用函数为均值方差效用函数，故投资者是遵循随机占优原则：一阶随机占优和二阶随机占优原则.即投资者为收益偏好型与风险厌恶型.故
20,0u u m s 抖><抖 3. 设一投资者的效用函数为负指数效用函数()ax u x e -=-,则其风险容忍函数()T x =（）；其绝对风险厌恶函数()A x =（）；相对风险厌恶函数()R x =（）A.a B. 1/a ， C. ax . D. 2ax a e --
设投资者的效用函数为幂效用函数()/r u x x r =,则其风险容忍函数()T x =（）；()A x =（）；相对风险厌恶函数()R x =（）
4. 设一投资者的效用函数为2()231u x x x =-+-，则该投资者属于（）；设一投资者的效用函数为2()436u x x x =-+，则该投资者属于（）；设一投资者的效用函数为()52u x x =-，则该投资者属于（）
A.风险爱好者 B 。

风险厌恶者 C 。

风险中性者 D.无法判断。