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最优投资组合公式【最新版】目录1.引言2.投资组合的定义与意义3.最优投资组合公式的推导4.最优投资组合公式的应用5.总结正文【引言】在投资领域，如何合理分配资产以达到收益最大化并控制风险，一直是投资者关注的焦点。
投资组合理论应运而生，为投资者提供了一个科学的决策依据。
本文将介绍最优投资组合公式，帮助投资者更好地进行资产配置。
【投资组合的定义与意义】投资组合是指投资者将多种不同类型的资产按照一定比例进行组合，以期望获得较高的收益和较低的风险。
投资组合的意义在于，通过分散投资降低单一资产的风险，同时实现资产收益的最大化。
【最优投资组合公式的推导】假设投资者有 n 种资产，分别记为 A1, A2,..., An。
每种资产的收益率分别为 r1, r2,..., rn，风险分别为σ1, σ2,..., σn。
投资者期望收益率为 E(R)，风险为σ。
则最优投资组合的权重可以通过以下公式求解：w1, w2,..., wn = (σ1^2 / σ^2, σ2^2 / σ^2,..., σn^2 / σ^2)其中，E(R) = w1 * r1 + w2 * r2 +...+ wn * rn，σ = sqrt(w1 * σ1^2 + w2 * σ2^2 +...+ wn * σn^2)【最优投资组合公式的应用】在实际操作中，投资者可以根据自己的风险承受能力、收益期望以及各种资产的收益率和风险，运用最优投资组合公式来确定每种资产的权重。
这样，投资者可以在保证风险可控的前提下，实现收益的最大化。
【总结】最优投资组合公式为投资者提供了一种科学、有效的资产配置方法。
通过运用该公式，投资者可以在众多资产中选择最优的投资组合，实现收益最大化并控制风险。
最优投资组合的计算案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-r ，标准差分别为%301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%，求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。
求解：第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。
随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：min(1221222221212σσσx x x x ++),S.T.---=--++P f r r x x r x r x )1(212211.令L=(1221222221212σσσx x x x ++)+[λ--P r ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件：=∂∂λL --P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得26825.8,268521==x x 。
风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.0212211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。
如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。
说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。
1. 假设你必须将 w 投资于两只证券：一只无风险债券和一只风险证券。
投资期为1年。
无风险债券的收益率确定为 fr 。
风险证券的收益率为r ，它的均值为r,而方差为2σ。
假设你的目标就是最大化你的二次效用函数的期望值：21()2E W aW -,其中W 为未来的财富。
(a) 求解最优组合。
(b) 讨论最优组合如何依赖于债券和股票的期望收益率 fr 和r，股票收益率的方差2σ。
2. 假设有四个等概率的可能状态。
状态空间是1234{,,,}w w w w Ω=。
考虑风险资产 A 和B ，它们的收益率如下：在随机占优的意义上，你能为它们排序吗？3. 如果现在投资3000元，第二年末投资1000元，在第四年末将累积为5000元，问利率是多少，采用复利计算。
4.如果年利率在刚开始的3年里为10%，随后的2年里为8%，再随后的1年里为6%，则刚开始的1000元投资在这6年里所获得利息总和为多少元。
5. 小王于1992年5月1日出生，自出生起，他母亲每年为他在银行存1000元，每年的存款日为1月1日，直至他上大学为止，共存了18次。
小王在2010年8月1日获大学录取通知书是将存款全部取出作为学费，设每年年利率为5%，则小王可取得的存款为多少？(2010年1月1日至2010年8月1日按单利计算)6.一张面值为1000元的3年期零息债券的价格是多少？利率为7%。
7. 一张4年期的面值为1000元的债券，年付票息率为10%，到期时按面值赎回，市场利率为8%，则该债券的价格是多少？8. 5年期面值为1000元的债券的票息率和市场利率均为8%，票息每年支付一次，到期以面值赎回，计算久期和修正久期。
9. 10年期的债券，发行价与面值相同，久期为7，凸度为50，如果该债券的收益率上升0.1%，则对债券的价格影响为多少？ 10. 市场上发行甲、乙、丙三种股票，它们在0时刻的发行价分别为每股10元，11元，12元。
在1时刻可以上市交易。
数理⾦融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形1.(1)什么是最⼩⽅差资产组合？（2）写出标准的最⼩⽅差资产组合的数学模型。
（即不存在⽆风险资产时期望收益率为p r 的模型）（3）求解该模型，即求权重表达式及最⼩⽅差表达式（4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)T E X m ==,X 的协⽅差矩阵为230350001轾犏犏=犏犏臌，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w =求由这两种证券组成的均值-⽅差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最⼩⽅差，并画出有效前沿图。
2.解：(1)最⼩⽅差资产组合是指对确定的期望收益率⽔平有最⼩的⽅差之资产组合。
(2)对⼀定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最⼩的数学模型为：211min 22..()11TpT p p T w w s t E X w r ws m ==壮??（3）应⽤标准的拉格朗⽇乘数法求解：令其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满⾜的⼀阶条件为：121210;0;110;TT p T Lw w Lr w Lw l m l m l l ?=-=-???=-???得最优解：*112(1)w l m l -=? ?。
令111,11,TTT a b m m m m ---===邋1211,T c ac b -=D =-?则12,.p p r c ba rb l l --==DD最⼩⽅差资产组合⽅差为：2**21()Tp p c b ww r c cs ==-+D ? 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*1 11w c-= ?，最优组合⽅差为：*21p cs =。
（4）由题意知，230350001轾犏犏=犏犏臌，所以，1530350001-轾-犏犏=-犏犏臌?，()(1,2,0.5)T E X m == 1151 1.25,10.5,42T T a b m m m --\======邋129112,4T c ac b -==D =-=?。
最优投资组合公式在投资领域中，最优投资组合是指在给定的投资标的和风险偏好条件下，能够最大化投资者预期收益或最小化风险的投资组合。
最优投资组合公式是一种数学模型，它通过计算各种资产的权重来确定最佳的投资组合。
最常用的最优投资组合模型是马科维茨组合理论，由于这个理论的重要性，它被广泛应用于投资管理和资产配置领域。
马科维茨组合理论是由美国经济学家哈里·马科维茨在20世纪50年代提出的，该理论认为，投资组合的风险与各种资产之间的相关性有关，而不仅仅是单个资产的风险。
其基本公式如下：E(Rp) = ∑(i=1)^(N) wi * E(Ri)其中，E(Rp)表示投资组合的预期收益，N表示投资标的的数量，wi表示第i个资产在投资组合中的权重，E(Ri)表示第i个资产的预期收益。
此外，马科维茨组合理论还引入了投资组合的方差来衡量风险，方差公式如下：Var(Rp) = ∑(i=1)^(N) ∑(j=1)^(N) wi * wj * σij其中，Var(Rp)表示投资组合的方差，σij表示第i个资产和第j个资产之间的协方差。
为了达到最优投资组合，投资者需要在预期收益和风险之间做出权衡。
马科维茨通过引入风险厌恶系数（λ）来控制风险和收益的权衡关系，从而得到最优投资组合。
最优投资组合可以通过求解以下公式得到：min λ * Var(Rp) - E(Rp)约束条件如下：∑(i=1)^(N) wi = 1wi ≥ 0该优化问题需要使用数学优化算法进行求解，例如线性规划、二次规划或有效前沿算法等。
在实际应用中，投资者可以通过历史数据或专业机构提供的数据来估计资产的预期收益和风险。
通过不断调整投资组合的权重，投资者可以根据自身的风险偏好和投资目标来选择最优投资组合。
需要注意的是，最优投资组合公式仅是一个数学模型，其结果可能受到多种因素影响，包括资产预期收益和风险的准确性、相关性的变化、投资者的风险偏好以及投资时段等。
b bb C 1bw0,a,b第一章练习及参考答案1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。
1期的两个可能状态 的状态价格分别为a 和b 。
考虑一个参与者，他的禀赋为（e oga&b ）。
其效用函数是对数形式1U （C o ；C ia ；G b ） log C o 2（l°gG a logG b ）问：他的最优消费/组合选择是什么？解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是w e o a e a b e 1b 他的最优化问题是1max C 0,C 1a,C1logc 。
-(log^a logG b )s.t.WGa C1ab C lb) 0G , Ga ,C 1b 0其一阶条件为:1/C o 1-(1/C !a ) 21 匚(1/务)2C 0a C 1a iC o,i给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。
因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正， 即所 有状态价格严格为正。
在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这 些约束（以及对应的乘子）而直接求解最优。
因此，i C i 0（i 0,a,b ）。
对于C我们立即得到如下解:1 c —, 1 1 c1a , 1 1c2b2 1a2 1b把c的解代人预算约束，我们可以得到的解:2最后，我们有1 1 w 1 wc w,G a ,c1b244可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。
某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。
状态价格高的状态下的消费更昂贵。
结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2.考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a和b。
经济的参与者有1和2,他们具有的禀赋分别为：0 200 e ： 100 ，e?: 00 ' 50两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：1U(c) logc g -(log c a log C D)在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。
一文教你如何最优化投资组合最优投资组合建立——有约束条件的目标函数人们在构建一个量化组合时，需要三板斧的加持，即alpha信号，风险模型和优化器。
alpha信号刻画股票的预期收益率，它凝聚了投研人员的聪明才智，将他们对股票的研究判断封装成因子。
风险模型则代表股票的预期波动率，以及不同股票之间的相关程度。
而优化器，则涉及金融学中一个重要的基本模型。
这个模型就是均值方差模型，在1952年由Markowitz提出，开启了现代投资领域的大门。
它通过平衡组合的收益和风险，使量化投资得到了飞速发展。
优化器就是依照均值方差模型的理论设计出来的，它的作用是将alpha信号与风险模型作为输入，求解出最优的投资组合。
在求解组合的过程中，需要设定一个优化目标，标准的均值方差模型的优化目标是：但如很多理论模型一样，这个函数只适用于最简单的情形，忽略了实际情况可能要考虑的问题，例如交易成本。
除了上述目标函数之外，人们往往会需要设定一些约束条件来获得最优解。
常见的约束条件包括个股持仓比例、股票总仓位、行业偏离度、风格偏离度等，对每一个条件，我们都可以设置一个对应的上下限。
增加了约束条件后求解出来的最优投资组合x*，和没有约束条件的情况下的最优投资组合很可能会不一样。
在学术上这种现象称为Implementation inefficient，简单来说就是：alpha信号在有约束的情况下，没有得到完整的表达。
萝卜投资对约束条件的刻画业界通常使用Transfer Coefficient （TC）来刻画alpha信号表达的程度，如果没有约束，则TC=1。
但是这种方式无法精确衡量出每个约束条件如何限制了alpha信号的表达，也就是说它们无法精确衡量它们如何影响了最优投资组合x*。
萝卜投资开发了一套模型专门衡量约束条件带来的影响。
下面将会通过一个实例，从三个角度分别阐述。
我们以2019年7月26日这一天为例，选择个股的EPS作为因子。
为了方便起见，我们在沪深300投资域中，随机选择了10只股票，并且将它们中性化后形成alpha信号。
最优投资组合公式【最新版】目录1.引言：投资组合的重要性2.投资组合的种类3.最优投资组合公式的含义与应用4.结论：最优投资组合公式的优势与局限正文1.引言：投资组合的重要性在投资领域，如何合理配置资产以达到收益最大化和风险最小化，一直是投资者关注的焦点。
投资组合理论应运而生，旨在通过分析不同资产之间的关联性，帮助投资者构建出最优的投资组合，实现收益与风险的平衡。
2.投资组合的种类投资组合可以分为两种：一种是静态投资组合，指投资者在投资期间不改变资产配置；另一种是动态投资组合，指投资者会根据市场情况和自身需求，定期调整资产配置。
根据资产的种类和比例，投资组合可以分为股票投资组合、债券投资组合、货币市场投资组合等。
3.最优投资组合公式的含义与应用最优投资组合公式是基于马克维茨投资组合理论，通过权衡收益与风险，求解出最优投资组合的比例。
该公式为：E(Rp) = w1E(R1) + w2E(R2) +...+ wnE(Rn) - Σ[w1^2E(R1^2) + w2^2E(R2^2) +...+ wn^2E(Rn^2)] / 2，其中 E(Rp) 表示投资组合的期望收益率，E(R1)、E(R2) 等分别表示各资产的期望收益率，w1、w2 等分别表示各资产在投资组合中的权重。
该公式的应用步骤如下：（1）确定投资者的风险偏好，即确定各资产的方差和相关系数；（2）计算各资产的期望收益率；（3）根据投资者的风险偏好和期望收益率，求解最优投资组合的权重；（4）根据权重，配置各资产在投资组合中的比例。
4.结论：最优投资组合公式的优势与局限最优投资组合公式的优势在于，可以帮助投资者在众多资产中找到最佳的配置方案，实现收益最大化和风险最小化。
然而，该公式也存在局限性，例如它假设投资者对风险的度量仅限于资产的方差，未能考虑到其他因素，如流动性、市场波动等。
此外，该公式基于历史数据，未能预测未来的市场变化。
13—14学年第二学期《数理金融学》期末考试试题（A ）注意事项：1。
适用班级：11数学与应用数学本1。
本2，2013数学（升本)2。
本试卷共1页。
满分100分。
3.考试时间120分钟。
4.考试方式:闭卷一、选择题（每小题3分,共15分）1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成,它们的预期收益率分别为10％、16%、20％ 它们在组合中的比例分别为30%、30％、40％，则该证券组合的预期收益率为______ A 15。
3％ B 15。
8％ C 14。
7％ D 15.0%2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0。
06和0。
12。
根据CAPM 模型，贝塔值为1。
2的证券X 的期望收益率为A 0。
06B 0。
144C 0.12D 0。
1323．无风险收益率为0。
07,市场期望收益率为 0.15。
证券X 的预期收益率为 0。
12，贝塔值为1.3.那么你应该A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了C 卖空X ，因为它被低估了;D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行? A 执行价格比股票价格高；B 执行价格比股票价格低C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格5。
假定IBM 公司的股价是每股95美元。
一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金,看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元B 跌到90美元C 涨到107美元D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1。
风险厌恶型投资者的效用函数为2。
设一投资者的效用函数为,则其绝对风险厌恶函数 3.均值-方差投资组合选择模型是由提出的.4。
可以在到期日前任何一天行使的期权称之为5。
考察下列两项投资选择：(1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益,60％的概率获得5％的收益;(2)银行存款收益率为6%；则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）1。
最优投资组合公式
投资是为了获取回报而进行的行为，每个投资者都希望通过找到最优的投资组
合来最大化他们的回报。
在金融领域，有许多方法和公式可用于寻找最优投资组合。
其中一个常用的最优投资组合公式是马科维茨模型。
马科维茨模型是由美国经
济学家哈里·马科维茨于20世纪50年代提出的。
该模型基于投资组合理论的核心
思想是通过合理分配不同资产之间的权重来最大化投资回报并降低风险。
马科维茨模型中的最优投资组合可以通过以下公式计算得出：
E(Rp) = w1 * E(R1) + w2 * E(R2) + ... + wn * E(Rn)
其中，E(Rp)代表整个投资组合的预期收益率，E(Ri)代表第i个资产的预期收
益率，wi代表第i个资产在投资组合中的权重。
通过调整不同资产的权重，投资者可以找到最优投资组合，以获得最大的预期收益率。
此外，马科维茨模型还考虑了投资组合的风险。
通过计算投资组合的方差或标
准差，投资者可以评估投资组合的风险水平，并根据自己的风险偏好选择合适的投资组合。
不过，需要注意的是，马科维茨模型是基于一些假设和前提条件，例如假设资
产收益率服从正态分布，且过去的收益率可以用来预测未来的收益率。
在实际应用中，投资者需要根据自己的情况和市场状况对模型进行适当的调整和修正。
总结来说，最优投资组合公式是通过权衡不同资产的预期收益率和风险来寻找
最佳的投资组合。
马科维茨模型是一种常用的方法，但在实际应用中需要谨慎处理，并结合实际情况进行调整。
通过合理分配资产权重，投资者可以优化投资组合，以实现预期的回报目标。
13数学本-2022数理金融学作业布置及参考答案(2)作业次数顺序：请按作业本上顺序标号，我这里的标号不一定对。
做作业请我布置的顺序做，谢谢！第八次作业：4.1，4.2教材p68第6,7题请参考4.3,4.4解法作业八：贝塔系数与证券定价（一）4.1.一个由无风险资产和市场组合构成的投资组合的期望收益是11%，标准差是0.18，且市场组合的期望收益是15%。
假定资本资产定价模型有效。
如果一个证券与市场组合的相关系数是0.30、标准差是0.4，计算该证券的期望收益是多少？解：设该投资组合为某p(1)r某M,由题意知，E(某M)14%,r0.05,pM所以，E(某p)rMp(E(某Mr))，11%5%Mp(15%5%)Mp0.6mp,m0.180.60.3mmpppmjmjpm0.30.400.30.120.30.4由资本市场线CML方程得:E(某j)rMj(E(某M)r5%0.410%9%4.2设无风险利率为6%，市场组合的期望收益是15%，方差为0.04.证劵j与市场组合的相关系数是0.45，方差是0.16。
根据资本资产定价模型，证券j的期望收益是多少？解：设某j为证券j的收益率，由题意知，2E(某M)15%,r6%,mjmjjm/m0.450.40.2/0.040.9由CAPM模型：E(某j)rfmj(E(某M)rf)得：E(某j)6%0.9(15%6%)14.1%4.3假设证券的市场价值为40美元，证券的期望收益率为13%，无风险利率为7%，市场风险溢价E(某M)-r为8%。
假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。
4.3解：设此证券为某p由证券市场线方程E(某p)-r=bMp(E(某M)-r)，可知bMp8%-7%=6%,bMp=0.75因为bMp=cov(某p,某M)var(某M),当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍时，bMp￠=2bMp=1.5,则E(某￠)=7%+1.58%收益D=P0E(某)19%4013%5.2,原来的2倍时，bMp￠=2bMp=1.5,D=P0ⅱE(某￠)P019%=5.2,P0=5.2/19%27.374.4假设证券的市场价值为60美元，证券的期望收益率为15%，无风险利率为7%，市场风险溢价E(某M)-r为8%。
最优投资组合公式【原创版】目录1.引言：投资组合的重要性2.投资组合公式的定义和理解3.最优投资组合公式的推导和理解4.最优投资组合公式的应用和优化5.结论：最优投资组合公式的意义和价值正文在投资领域，选择最优的投资组合是每一个投资者的目标。
投资组合的优化可以最大程度地降低风险，提高收益。
因此，理解并掌握最优投资组合公式，对于投资者来说至关重要。
投资组合公式，简单来说，就是将不同的投资产品按照一定的比例进行组合，以期望获得最优的投资效果。
在数学上，投资组合公式可以表示为各种投资产品的权重和收益的乘积之和。
例如，假设有两个投资产品 A 和 B，它们的收益和风险分别为 rA 和 rB，权重分别为 wA 和 wB，那么投资组合的期望收益可以表示为 E(rp) = wA * rA + wB * rB。
然而，最优投资组合公式并不是如此简单。
在实际的投资中，投资者需要考虑的因素远不止收益和风险。
例如，投资者的风险偏好、投资期限、市场环境等都会影响到投资组合的选择。
因此，最优投资组合公式的推导和理解需要引入更多的变量和约束条件。
在理论上，最优投资组合公式可以通过数学优化方法来推导。
例如，可以使用拉格朗日乘数法、最小化风险法等方法来求解最优投资组合。
在实践中，投资者可以通过投资组合管理软件或者专业的投资顾问来帮助他们选择和优化投资组合。
最优投资组合公式的应用和优化是一个持续的过程。
投资者需要定期地调整和优化投资组合，以适应市场的变化和个人的需求。
例如，当市场风险增加时，投资者可以减少风险较高的投资产品的权重，以降低投资组合的风险。
总的来说，最优投资组合公式是投资者在实际操作中选择和优化投资组合的重要工具。
《数理金融学》题库（含）答案第一章练习及参考答案1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。
1期的两个可能状态的状态价格分别为a φ和b φ。
考虑一个参与者，他的禀赋为(011;;a b e e e )。
其效用函数是对数形式0110111(;;)log (log log )2a b a b U c c c c c c =++ 问：他的最优消费／组合选择是什么？解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是011a a b b w e e e φφ=++。
他的最优化问题是011011,,0110111maxlog (log log )2s.t.()0,,0a b a b c c c a a b b a b c c c w c c c c c c φφ++-++=≥其一阶条件为：00110111/1(1/)21(1/)20,0,,a a a b b b a a b b i i c c c c c c wc i a bλμλφμλφμφφμ=+=+=+++=== 给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。
因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。
在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。
因此，0(0,,)i i c i a b μ==。
对于c 我们立即得到如下解：1c λ=, 11112a a c λφ=, 21112b bc λφ= 把c 的解代人预算约束，我们可以得到λ的解：2λω=最后，我们有12c w =, 114a a w c φ=, 114b aw c φ= 可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。
某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。
状态价格高的状态下的消费更昂贵。
结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2. 考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。
第六章投资选择理论与资产定价【学习要点及目标】●均值方差投资准则。
●均值方差前沿组合的含义、市场组合。
●基金分离定理。
●资本资产定价模型与套利定价理论【核心概念】●均值方差原则可行集对偶组合全局标准差最小组合市场组合证券市场线【引导案例】有这样一个故事，有位数学家，他坚信均值足以描述任何事件，因此被淹死在一条平均深度只有2英寸的河里。
每位投资者，至少从直觉上会感到，均值不是决策时惟一的考虑因素。
从证券投资分析的角度，收益均值大小只表示某证券收益的期望值。
对两种证券比较优劣时，不能光凭收益均值大小来决定，还要考虑各种证券的风险程度。
风险程度的大小，我们用收益率的标准差 来衡量。
收益率偏离均值越厉害，也就是标准差越大，它表示证券收益的变化越剧烈，风险也越大。
这个认识已经是今天投资者的一个共识，可是这样的一个认识确是经历了相当漫长的时间，直到1952年Markowitz提出了均值方差原则，才被人们所认识，并迅速在金融界扩张开来。
资料部分来源于-均值-方差证券资产组合理论在第三章，我们在投资者是非厌足的前提下和金融资产的收益服从正态分布，或者假定投资者的效用函数是二次效用函数时，我们证明了投资者投资原则是均值-方差原则。
即：在给定均值的条件下，投资组合的方差越小越好；在给定投资组合方差的条件下，组合收益的均值越大越好。
满足上述两条原则的投资组合，称为有效投资组合（否则称为无效组合），有效投资组合的集合，称为有效集。
这一章我们就从均值-方差有效投资组合开始，来逐步深入的探讨投资组合的选择和资本资产定价模型。
第一节 均值-方差前沿组合我们假设市场上存在N 项风险资产，为了叙述方便，约定： (1). 用(1, 1, , 1)t I =表示单位向量，用(0, 0, , 0)t θ=表示零向量，()t 表示向量()的转置；(2). 资产收益的随机向量记为12(, ,, )t N r r r r =，收益率向量的期望向量记为1212(, , , )(, , , )t t N N r Er Er Er r r r ==;(3). 收益率向量的的协方差矩阵记为(, )E()()()tij N N Cov r r r Er r Er σ⨯∑==--=，其中()()ij i i j j E r Er r Er σ=--表示第i 项资产和第j 项资产的收益间的协方差;(4). 投资在各项资产上的投资额占总投资额的比例用向量12(, , , )t N x x x x =表示，因此它满足1t x I =, 如果0i x <表示卖空第i 项资产。
最优投资组合的计算（1）：不存在无风险资产情形
1.(1)什么是最小方差资产组合？
（2）写出标准的最小方差资产组合的数学模型。
（即不存在无风险资产时期望收益率为p r 的模型）
（3）求解该模型，即求权重表达式及最小方差表达式
（4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)T E X m ==,X 的 协方差矩阵为230
350001轾犏犏=犏犏臌
å
，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w =
求由这两种证券组成的均值-方差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最小方差，并画出有效前沿图。
2.解：(1)最小方差资产组合是指对确定的期望收益率水平有最小的方差之资产组合。
(2)对一定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最小的数学模型为：
211min 22..()11
T
p
T p p T w w s t E X w r w
s m ==壮?å
（3）应用标准的拉格朗日乘数法求解：令
其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满足的一阶条件为：
121
2
10;
0;110;
T
T p T L
w w L
r w L
w l m l m l l ¶=-??¶¶=-?¶¶=-?¶å
得最优解：*
1
12(1)w l m l -=? å。
令1
1
1
,11,T
T
T a b m m m m ---===邋
1
211,T c ac b -=D =-å
则12,.p p r c b
a r
b l l --=
=
D
D
最小方差资产组合方差为：2
**21()T
p p c b w
w r c c
s ==
-+D å 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*1
11w c
-= å
， 最优组合方差为：*2
1p c
s =。
（4）由题意知，
230
350001轾犏犏=犏犏臌
å，所以，1
530350001-轾-犏犏=-犏犏臌å，()(1,2,0.5)T E X m == 11
51 1.25,10.5,
42
T T a b m m m --\======邋129112,4T c ac b -==D =-=å。
当1
4
p b r c ==时，资产组合达到最优组合，
最优组合*1
111(2,2,1)(1,1,0.5)2T T w c -=?=å，最优组合方差为：*2112
p
c s ==。
2.股票A 和股票B 的有关概率分布如下：
（1）股票A 和股票B 的期望收益率和标准差分别为多少？ （2）股票A 和股票B 的协方差和相关系数为多少？
（3）若用投资的40%购买股票A ，用投资的60%购买股票B ，求投资组合的期望收益率（9.9%）和标准差（1.07%）。
（4）假设有最小标准差资产组合G ，股票A 和股票B 在G 中的权重分别是多少？ （4）
%
.W %.W B AB
B A B A AB
B A B A 77532422
22==-+-=ρσσσσρσσσ
3.在年初，投资者甲拥有如下数量的4种证券，当前和预期年末价格为：
这一年里甲的投资组合的期望收益率是多少？
4.下面给出了每种经济状况的概率和各个股票的收益：
（1）请分别计算这两只股票的期望收益率、方差和标准差；
)＝7.3% σA＝4.9%
E(R
A
)＝2.5% σB＝21.36%
E(R
B
（2）请计算这两只股票的协方差和相关系数；
σAB＝0.009275 ρAB＝0.88
（3）请用变异系数评估这两只股票的风险；
CV(A)＝4.9%／7.3%＝0.671 CV(B)＝21.36%／2.5%＝8.544
结论：与A股票相比，投资B股票获得的每单位收益要承担更大的投资风险
（4）制作表格，确定在这两只股票不同投资比重（A股票比重从0%开始，
每次增加10%）时，投资组合的收益、方差和标准差。
AB 组合收益与风险
（5
方差最小：A 股票投资比重100%，B 股票投资比重0% （6）你会用怎样的投资比重来构建一个资产组合？请做出讨论。
全部资金投资A 股票
5.假定3只股票有如下的风险和收益特征：
股票A 和其他两只股票之间的相关系数分别是：,0.35A B ρ=，,0.35A C ρ=-。
（1）根据投资组合理论，判断AB 组合和AC 组合哪一个能够获得更多的多样化好处？请解释为什么？
AC组合能够获得更多的多样化好处，因为相关程度越低，投资组合分散风险程度越大。
（2）分别画出A和B以及A和C的投资可能集；
（3）AB中有没有哪一个组合相对于AC占优？如果有，请在风险/收益图上标出可能的投资组合。
从图中可见，AB中任一组合都不占优于AC。
