安徽六校联考高三(理数)试题

合肥市普通高中六校联盟2024届高三第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃=A.{1} B.{12}， C.{0123}，，， D.{10123}-，，，，【答案】C 【解析】【详解】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{1,2,3}A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.25【答案】B 【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．3.已知向量()()1,3,2a m b ==- ，，且()a b b +⊥，则m =A.−8B.−6C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=- ，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l ⊂α，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.5.若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A.x=26k ππ-（k ∈Z ）B.x=26k ππ+（k ∈Z ）C.x=212k ππ-（k ∈Z ）D.x=212k ππ+（k ∈Z ）【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7.若2233x y x y ---<-，则（）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为（）A.eB. C. D.2e【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数()f x 的解析式，再利用基本不等式可求得()f x 的最小值.【详解】因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()e e x x f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3e x x f x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知,,a b c ∈R ，则（）A.若0a b >>，则11a b> B.若22ac bc >，则a c b c ->-C.若0a b >>，则a b>> D.若1a b <<，则11a b a b <--【答案】BC 【解析】【分析】由列举法可判断A 项错误；由不等式性质可判断BC 正确；由作差法可判断D 项错误.【详解】对于A ，若0a b >>，令2a =，1b =，则112a =，11b=，11a b <，故A 错误；对于B ，显然20c >，则a b >，则a c b c ->-，故B 正确；对于C ，因为0a b >>1=>，所以a >b >，即a >b >，故C 正确；对于D ，(1)(1)11(1)(1)(1)(1)a b a b b a b aa b a b a b -----==------，因为1a b <<，所以10a -<，10b -<，0b a ->，故0(1)(1)b a a b ->--，即11a ba b >--，故D 错误．故选：BC10.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.1212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.6f x π⎛-⎫⎪⎝⎭为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】首先根据函数的图象求A 的值；然后根据()03f =求ϕ的值；根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和32T π<求出2ω=，从而可求出函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后再逐个判断选项即可.【详解】由图知2A =，由()02sin 3f ϕ==，得3sin 2ϕ=，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=，由233k πωπππ+=+得26k ω=+，又32T ππω<=，所以3ω<，所以2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故T π=，选项A 正确；又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12x π=为函数的一条对称轴，故选项B 正确；由222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ，()f x 在7,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 错误；2sin 22sin 2663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故D 正确.故选：ABD .11.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2<d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r =，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.12.已知{}n a 是等差教列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.10a d >B.10a d < C.40dS > D.40dS <【答案】BD 【解析】【分析】由3a ，4a ，8a 成等比数列，求得153a d =-，再求得4S ，从而判断14,a d dS 与0的关系.【详解】由3a ，4a ，8a 成等比数列知，2111(3)(2)(7)a d a d a d +=++，化简得153a d =-，（0d ≠），则21503a d d =-<，故A 错误，B 正确；4152464()633S a d d d d =+=⨯-+=-，故24203dS d =-<，故C 错误，D 正确；故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.14.已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f⎡⎤=⎣⎦，则=a ___________.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.15.若3sin sin (cos cos )3αββα+=-，且(0,π),(0,π)αβ∈∈，则αβ-=________．【答案】2π3【解析】【分析】由已知，可以和差化积可得2sincos 2sin sin 22322αβαβαββα+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而tan2αβ-=，可求值.【详解】因为(0,π),(0,π)αβ∈∈，所以sin sin 0αβ+>，又3sin sin (cos cos )3αββα+=-，所以cos cos 0βα->，又cos y x =在()0,π上单调递减，所以βα<，则0παβ<-<，所以π022αβ-<<，由已知可得2sin cos 2sin sin 22322αβαβαββα+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan2αβ-=，所以π23αβ-=，所以2π3αβ-=.故答案为：2π3.16.已知90ACB ∠=︒，M 为平面ABC 外一点，M C ，点M 到ACB ∠两边,AC BC ，那么M 到平面ABC 的距离为__________．【答案】1【解析】【分析】通过空间垂直关系的转化，找到点M 在平面ABC 内的射影在ACB ∠的平分线上，利用勾股定理即可得解.【详解】作,MD ME 分别垂直于,AC BC ，MO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD MD CD MO ⊥⊥，=MD OD M ，MD ⊂平面MDO ，MO ⊂平面MDO ，CD \^平面MDO ，OD ⊂平面MDO ，CD OD ∴⊥，又CD DM ⊥，==MD ME M C所以1CD ==，同理1,CE =所以Rt Rt CDO CEO ，则CO 为ACB ∠平分线，45OCD ︒∴∠=，1,OD CD OC ===，又M C ，1MO ∴==．故答案为：1四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-．（1）求角B ；（2）若2b =，ABC ，求ABC 的周长．【答案】（1）π3（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理实现边角互化，求出cos B 的值即得；（2）利用三角形面积公式和余弦定理建立边的关系，整体求得a c +即得.【小问1详解】因()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-，由正弦定理得，()()()a c c a b a b -=+-，化简得：222a c b ac +-=，由余弦定理得，2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因0πB <<，故π3B =.【小问2详解】由ABC 1πsin 23ac =4ac =，由余弦定理，22π2cos 43a c ac +-=，即：224a c ac +-=，从而，222()()316a c a c ac ac +=+-+=，则4a c +=.故ABC 的周长为：42 6.a b c ++=+=18.已知函数()()e 1,R x f x x a a =+∈．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若2()f x x ≥在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2y x=（2）)2e ,∞-⎡+⎣【解析】【分析】（1）由给定条件求出()f x 的导数，进而求得切线斜率即可得解；（2）分离参数得1e x x a -≥，设1()e x x g x -=，利用导数得2max ()(2)e g x g -==，可得a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()()1x f x x e =+，()()e 11x f x x '=++，则(0)2f '=，而(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =；【小问2详解】(0,)∀∈+∞x ，由2()f x x ≥，得1ex x a -≥，设1()e xx g x -=，则2()e x x g x -'=，令2()0e x x g x -'==，得2x =，则()0,2x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()2,x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故2max ()(2)e g x g -==，故2e a -≥,即实数a 的取值范围为)2e ,∞-⎡+⎣.19.如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF 交CD 于点G ，其中2DG DE DF ==，．（1）证明：平面AEF ⊥平面ABCD ；（2）判断母线BC 上是否存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，若存在，求CP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，4CP =.【解析】【分析】（1）将面面垂直转化为EF ⊥平面ABCD ，根据圆和圆柱的性质可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量可解.【小问1详解】由题意可知：在下底面圆中，CD 为直径．因为DE DF =，所以G 为弦EF 的中点，且EF CD ⊥．因为,,、EF AD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂平面ABCD ．所以EF ⊥平面ABCD ，因为EF ⊂平面AEF ．所以平面AEF ⊥平面ABCD ．【小问2详解】分别以下底面垂直于DG 的直线、、DG DA 为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系如图所示．因为2DG =，底面圆半径为3，所以EG FG ==．则(0,0,6),2,0),(2,0)A E F -，设(0,6,)(06)P m m <≤．所以6),(6),()AE AF EP m =-=--=- ，设平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =．由00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：260260y z y z ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩即：03x y z =⎧⎨=⎩令1z =则(0,3,1)m =．设直线PE 与平面AEF 所成的角为θ，所以||4sin |cos ,|5||||m EP m EP m EP θ⋅=<>==⋅ ，解得4m =，所以存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，CP 的长为4．20.已知函数()22sin cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()g x 的图象，若π22127g θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ的值．【答案】（1）πT =（2）1114【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得πcos 671θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据6si ππsin n 6θθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦计算可得.【小问1详解】因为()22sin cos 1f x x x x =+-1cos 21x x =-+-132cos 2sin222x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()πππ2sin 22sin 22cos 2662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则πππ22cos 22cos 21221267g θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以πcos 671θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 67θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以6s πin πππππsin sin cos cos sin 66666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111727214=⨯-⨯=.21.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*11,2,N n n n a S a a n ==+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)2nn n n n b a a +-=，求数列{}n b 的前n 项和n T 【答案】（1）n a n=（2）1221n n T n +=-+【解析】【分析】（1）利用1nn n a S S -=-整理可得1n n a a -=-（舍）或11n n a a --=，即可根据数列类型求出通项公式；（2）利用裂项相消法即可求出.【小问1详解】因为22n n n S a a =+，0n a >，当1n =时，11a =，当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，则1n n a a -=-(舍)，或11n n a a --=，所以11n n a a --=时，{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以()111n a n n =+-⨯=；【小问2详解】因为n a n =，所以()11(1)2(1)22211n n n nn n n n n b a a n n n n++--===-++，所以2324311222222222221324311n n n n T n n n ++=-+-+-++=-++ .22.已知函数()ln(1),R f x x a x a =-+∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：对于任意正整数n ，都有11111ln(21)35212n n ++++>+-L ．【答案】22.答案见解析23.证明见详解.【解析】【分析】(1)由1()1x a f x x +-'=+，又()f x 的定义域为(1,)-+∞，讨论1a -与1-的大小关系，即可判定函数的单调性；(2)当1a =时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()(0)f x f ≥，即()ln 10x x -+≥，对于任意正整数n ，令221x n =-，有()()22ln 1ln 21ln 212121n n n n ⎛⎫>+=+-- ⎪--⎝⎭，即可得证．【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111a x a f x x x +-'=-=++，若0a ≤，当()1,x ∞∈-+，则()0f x '>，所以()f x 在()1,∞-+上单调递增；若0a >，当()1,1x a ∈--，则()0f x '<，所以()f x 在()1,1a --上单调递减；当()1,x a ∞∈-+，则()0f x '>，所以()f x ()f x 在()1,a ∞-+上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()1,∞-+上单调递增；当0a >时，()f x 在()1,1a --上单调递减，()f x 在()1,a ∞-+上单调递减.【小问2详解】由(1)知当1a =时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以，min ()(0)0f x f ==，即当()1,x ∞∈-+时，()ln 10x x -+≥，对于任意正整数n ，令221x n =-，有()()22ln 1ln 21ln 212121n n n n ⎛⎫>+=+-- ⎪--⎝⎭，所以()()11121ln 3ln1ln 5ln 3ln 21ln 213521n n n ⎛⎫++++>-+-+++-- ⎪-⎝⎭ ，即()11121ln 213521n n ⎛⎫++++>+ ⎪-⎝⎭，即11111ln(21)35212n n ++++>+-L .【点睛】关键点点睛：本题的关键是令1a =，用已知函数的单调性构造()ln 10x x -+≥，再令221x n =-,恰当地利用对数求和进行解题．。

安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米3．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B ．2C．12±D ．2±4．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y x =，则双曲线的离心率为（）ABCD 5．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-6．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,17．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦8．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5B ．5或1C ．5或1D ．59．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π1210．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sin a ＞sin bB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B ．21-C ．2D ．112．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或173二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}2．若复数z 满足i •z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．5C ．7D ．253．已知向量a →=（1，m ），b →=（3，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．6D ．84．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，1在同一平面”是“m ，n ，1两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）A ．x =kπ2−π6（k ∈Z ） B ．x =kπ2+π6（k ∈Z ）C ．x =kπ2−π12（k ∈Z ） D ．x =kπ2+π12（k ∈Z ） 6．函数y ＝x cos x +sin x 在区间[﹣π，π]上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，则（ ） A ．ln （y ﹣x +1）＞0 B ．ln （y ﹣x +1）＜0 C ．ln |x ﹣y |＞0D ．ln |x ﹣y |＜08．已知函数f （x ）的定义域为R ，y ＝f （x ）+e x 是偶函数，y ＝f （x ）﹣3e x 是奇函数，则f （x ）的最小值为（ ） A ．eB ．2√2C ．2√3D ．2e二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知a ，b ，c ∈R ，则（ ） A ．若a ＞b ＞0，则1a ＞1bB ．若ac 2＞bc 2，则a ﹣c ＞b ﹣cC ．若a ＞b ＞0，则a ＞√ab ＞bD ．若a ＜b ＜1，则a a−1＜bb−110．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f(π12+x)=f(π12−x)C ．f （x ）在[π2，π]上单调递增D ．f(x −π6)为奇函数11．已知直线l ：ax +by ﹣r 2＝0与圆C ：x 2+y 2＝r 2，点A （a ，b ），则下列说法正确的是（ ） A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切 B ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切D ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离12．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ） A ．a 1d ＞0B ．a 1d ＜0C ．dS 4＞0D ．dS 4＜0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是 ．14．已知a ∈R ，函数f （x ）={x 2−4，x ＞2|x −3|+a ，x ≤2，若f [f （√6）]＝3，则a ＝ ．15．若sinα+sinβ=√33(cosβ−cosα)，则α﹣β的值是 ．16．已知∠ACB =90°，M 为平面ABC 外一点，MC =√3，点M 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为√2，那么M 到平面ABC 的距离为 ． 四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足（a ﹣c ）sin C ＝（a +b ）（sin A ﹣sin B ）． （1）求角B ；（2）若b ＝2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长． 18．（12分）已知函数f （x ）＝x （ae x +1），a ∈R ．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若f （x ）≥x 2在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF 交CD 于点G ，其中DG ＝2，DE ＝DF ．（1）证明：平面AEF ⊥平面ABCD ；（2）判断母线BC 上是否存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，若存在，求CP的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数f(x)=2sin 2x +2√3sinxcosx −1． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）将函数f （x ）图象向右平移π6个单位长度得到g （x ）的图象，若g(θ2+π12)=−27，θ∈(0，π2)，求sin θ的值．21．（12分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n =a n 2+a n ，n ∈N +．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =(n−1)2na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣aln（1+x），a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：对于任意正整数n，都有1+13+15+⋯+12n−1＞12ln（2n+1）．2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共50分。

安徽省“庐巢六校联盟”2025届数学高三第一学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C与圆22:(3C x y +='交于M ,N 两点,若||MN =则MNF 的面积为( )AB ．38C．8D．42．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A．y x = B．y x = C ．2x y =±D ．2y x =±3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞4．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．305．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ） A ．3B ．5C ．6D ．106．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．87．函数()2ln xf x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定9．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ） A ．3B ．32C ．12-D ．1211．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A 5 B ．4C ．2D 512．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数221zi i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ） （A ）2 （B ）22（C ）3 （D ） 22.已知命题p ：“1a =是0ax x x,+2>≥”的充分必要条件”；命题q ：“存在0x R ∈，使得20020x x +->”，下列命题正确的是（ ）(A)命题“p q ∧”是真命题 (B)命题“()p q ⌝∧”是真命题 (C)命题“()p q ∧⌝”是真命题 (D)命题“()()p q ⌝∧⌝”是真命题3.执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） (A) 4n >？ (B) 8n >？ (C) 16n >？ (D) 16n <？4.在极坐标系中，点π(2,)3和圆θρcos2=的圆心的距离为( )(A) 3 (B) 22π19+2π49+【答案】A5.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） (A)1142+a b (B) 1124+a b (C) 2133+a b (D) 1233+a b6.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N +=-∈*， 若32b =-,1012b =,则8a =（ ）(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11【答案】B7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）（A）43（B）8 (C) 83 (D) 478.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为（ ）（A ）521（B ）27 （C ）13（D ）8219.设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） (A)213 (B) 193 (C) 73(D) 73310.10．若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d，则22()()a c bd 的最小值为（ ）2 (B) 2 (C) 22第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.．已知0sin ,a xdx π=⎰则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．二项式5 1ax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x-的系数为()()333510280C a-=⨯-=-考点：1、定积分的求法；2、二项式定理.12.如图所示，第n个图形是由正2n+边形拓展而来（1,2,n=），则第2n-个图形共有____ 个顶点．13.若不等式组50,5,02x yy kxx-+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范是 .14.抛物线2(33)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 ．15.对于函数()f x ，若存在区间[],M a b =，使得{}|(),y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“好区间”．给出下列4个函数：①()sin f x x =；②()21xf x =-；③3()3f x x x =-；④()lg 1f x x =+．其中存在“好区间”的函数是 ． （填入所有满足条件函数的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知向量33(sin ,cos ),(,)22m x x n ==，x R ∈，函数(),f x m n =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中，设角A ，B 的对边分别为,a b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求角C 的大小．17.（本小题满分12分）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --为直二面角,连结1A B 、1AC (如图2). （Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ;（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.直线1PA 与平面1A BD 所成的角1PA H ∠，设PB 的长为x ，用x 表示11,,A D A H DH ，在直角∆1A DH 中，Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- ,由22211A D DH A H +=, 得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,解得18.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．考点：1、等差数列;等比数列的通项公式和前n 项和.2、参变量范围的求法. 19.（本小题满分12分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为 次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [)70,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件A 8 12 40 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；（ii ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．20.（本小题满分13分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3a a⎛⎫+⎪⎝⎭()0a >上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果对任意的1x ，)22x e ，⎡∈+∞⎣，有121211()()f x f x m x x -≥-，求实数m 的取值范围．递减，故()f x 在1x =处取得极大值． ……………………3分21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆G 与抛物线24y x =-有一个公共的焦点，且过点6(. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ) 设点P 是椭圆G 在第一象限上的任一点,连接12,PF PF ,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆G 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为1k ,2k ,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值； （III ）在第(Ⅱ)问的条件下，作22F Q F P ⊥，设2F Q 交l 于点Q ， 证明:当点P 在椭圆上移动时，点Q 在某定直线上.。

2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<2．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 3．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C ．22D ．249．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．612．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A ．17B ．4C ．2D ．117+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省六校教育研究会新高三素质测试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={1,3，zi }，i 为虚数单位,B={4}，A ∪B=A 则复数z =（ ）A ．-2iB ． 2i C.-4i D.4i 2.“2x =(2,1)a x =+与向量(2,2)b x =-共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是（ ） A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ4.在正项等比数列{n a }中，1n a +＜n a ,28466,5a a a a •=+=,则57a a =（ ） A ．56 B ．65C ．23D ．325. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．||()x f x x= B ．()2()lg1f x x x =+C ．()x x x x e e f x e e --+=-D ．221()1x f x x-=+ 6. 已知正方形ABCD 的边长为2， H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH|<2的概率为（ ）A ．8π B ．184π+ C ．4π D ．144π+7. ,e π分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式不成立的是（ ） A. ()2log log 2e e ππ+> B. log log 1e e ππ> C. e e e e ππ->- D. ()3334()e e ππ+<+8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F(2,0),设A 、B 为双曲线上关是是否否开始()f x 输入()()0?f x f x +-=()f x 有零点？()f x 输出结束于原点对称的两点，AF 的中点为M,BF 的中点为N,若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB 的斜率为377，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．49. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含,x y 正半轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。

合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知p ：201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()2,∞+ B.2,+∞C.(),1∞- D.−∞,12.已知集合{A xy ==∣，{}Z2sin B y y x =∈=∣，则A B = （）A.{}012，， B.{}12，C.{}01，D.{}13.已知155222log 5555ca b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.c b a<< D.a c b<<4.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时有（）A.2()f x x x =+B.2()f x x x =-+C.2()f x x x =-D.2()f x x x=--5.已知()443sincos ,0,π225θθθ-=∈，则221sin2cos cos sin θθθθ++=-（）A.2635-B.325-C.314-D.1728-6.若函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（）A.[)0,8 B.()8,+∞ C.()0,8 D.()(),08,-∞⋃+∞7.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()ex f x y =（）A.在区间(1,2)-上是减函数B.在区间31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数C.在区间(0,2)上是减函数D.在区间(1,1)-上是减函数8.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a-=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()()2f x f x =-，则（）A.()00f =B.()f x 的图象关于直线2x =对称C.()()4f x f x =-+ D.()f x 的一个周期为410.函数()f x 满足()()f x f x '<，则正确的是（）A.(3)e (2)f f <B.e (0)(1)f f <C .2e (1)(1)f f -> D.e (1)(2)f f <11.已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A.42x y +的最小值为22B.22log log x y +的最大值为3-C.y x xy --的最小值为1- D.22221x y x y +++的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()f x 对任意x 满足()()324f x f x x --=，则()f x =______.13.若函数()()2ln 2f x x x =++，则使得()()211f x f x +<-成立的x 的取值范围是______.14.已知点A 是函数2ln y x =图象上的动点，点B 是函数22xy =图象上的动点，过B 点作x 轴的垂线，垂足为M ，则AB BM +的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．16.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x --+≤.17.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sinCa b=+．（1）求角B 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长的取值范围．18.已知函数()22ln 2x f x x ax =+-，a ∈R .（1）若3a =，求()f x 的极值；（2）设函数()f x 在x t =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0,+∞上的单调增函数，求t 的值；（3）函数()f x 的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出a 的取值范围，若不存在则说明理由.19.在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy=+⎧⎨=+''⎩①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点s 变换为点(),P x y '''的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭唯一确定，我们将a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示．（1）在平面直角坐标系xOy 中，将点()3,4P 绕原点O 按逆时针旋转3π得到点P '（到原点距离不变），求点P '的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点s 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量(),OP x y = （称为行向量形式），也可以写成x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则称x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭是二阶矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量x y ⎛⎫⎪⎝⎭的乘积，设A 是一个二阶矩阵，m ，n是平面上的任意两个向量，求证：()A m n Am An +=+．合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知p ：201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()2,∞+ B.2,+∞C.(),1∞- D.−∞,1【答案】D 【解析】【分析】解不等式确定集合A ，然后由必要不充分条件得B 是A 的真子集可得结论．【详解】∵{|(2)(1)0A x x x =--≥且1}x ≠{|2x x =≥或1}x <，{}B x x a =<，又p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，∴1a ≤，故选：D .【点睛】结论点睛：本题考查由必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆；（2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．2.已知集合{A xy ==∣，{}Z2sin B y y x =∈=∣，则A B = （）A.{}012，， B.{}12，C.{}01，D.{}1【答案】D 【解析】【分析】根据偶次根下大于等于零，结合对数函数的单调性，可得集合A ；根据三角函数的性质可得集合B ，结合交集的运算可得答案.【详解】由题意()0.5log 210x -≥且210x ->，故0211x <-≤，解得112x <≤，故112A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，；由1sin 1x -≤≤得22sin 2x -≤≤，故{}2,1,0,1,2B =--；综上{}1A B ⋂=.故选：D.3.已知155222log 5555ca b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.c b a<< D.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】化对数式为指数式判断1a >，判断(01)b ∈，，化指数式为对数式判断0c <，则答案可求.【详解】由52log 5a =，得205551a =>=；由1525b =，得50125()b ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈，；由255c⎛⎫= ⎪⎝⎭，得25log 50c =<.∴c b a <<.故选：C .【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较，一般可利用中介值01，和函数单调性进行大小比较，是基础题.4.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时有（）A.2()f x x x =+B.2()f x x x =-+C.2()f x x x =-D.2()f x x x=--【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，设0x <，则0x ->，()()2()f x x x -=-+-，再变形可得函数解析式.【详解】解：设0x <，则0x ->，因为当0x ≥时，2()f x x x=+()()22()f x x x x x∴-=-+-=-又函数()y f x =是R 上的奇函数()()f x f x =--∴2()f x x x∴=-+故当0x <时有2()f x x x =-+故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.5.已知()443sincos ,0,π225θθθ-=∈，则221sin2cos cos sin θθθθ++=-（）A.2635-B.325-C.314-D.1728-【答案】A 【解析】【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得cos θ，进而得sin θ，从而结合二倍角正弦公式即可计算求解.【详解】因为()443sincos ,0,π225θθθ-=∈，所以()22223,0,πsincos sin +cos 52222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()223sincos cos cos ,0,π22522θθθθθθ⎛⎫-=-=-=∈+ ⎪⎝⎭，即3cos 5θ=-，所以由()0,πθ∈得4sin 5θ==，所以22222243121sin212sin cos 26355cos cos cos sin cos sin 3553455θθθθθθθθθ⎛⎫+⨯⨯- ⎪++⎛⎫⎝⎭+=+==-- ⎪--⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.6.若函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（）A.[)0,8 B.()8,+∞ C.()0,8 D.()(),08,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】分析可知，220mx mx -+>在上恒成立，分0m =、0m ≠两种情况讨论，在0m =时，直接验证即可；在0m ≠时，可得出0Δ0m >⎧⎨<⎩，综合可解得实数m 的取值范围.【详解】由题意，函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为，等价于220mx mx -+>在上恒成立，若0m =，则2220mx mx -+=>在上恒成立，满足条件；若0m ≠，则2Δ80m m m >⎧⎨=-<⎩，解得08m <<.综上，实数m 的取值范围是[)0,8，故选：A ．7.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()e xf x y =（）A.在区间(1,2)-上是减函数B.在区间31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数C.在区间(0,2)上是减函数 D.在区间(1,1)-上是减函数【答案】B 【解析】【分析】求出函数y 的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解．【详解】因为()()e xf x f x y '-'=，由图象知，3122x -<<时，()()0f x f x '-<，又e 0x >，所以当3122x -<<时，0'<y ，即()e xf x y =在31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，当132x <<时，()()0f x f x '->，又e 0x >，所以当132x <<时，0'>y ，即()e xf x y =在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以选项A 、C 和D 错误，选项B 正确，故选：B ．8.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a-=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【详解】()()322612,355f x x x f x x x =-∴=-' ，∵函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，∴区间[]0,t 上存在12120x x x x t ，（＜＜＜），满足()()21206()()5f t f f x f x t t t ''--＝＝，∴方程22126355x x t t -=-在区间[]0,t 有两个不相等的解，令221263055g x x x t t x t =--+≤ （），（＜），则()()222212612()05520560056205t t tg t t g t t t ⎧⎛⎫∆---+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪⎪-+⎨⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩＝＞＝＞＝＞，解得63 55t ＜＜，∴实数t 的取值范围是36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()()2f x f x =-，则（）A.()00f =B.()f x 的图象关于直线2x =对称C.()()4f x f x =-+D.()f x 的一个周期为4【答案】AD 【解析】【分析】由奇函数可得()00f =，再根据函数的周期性与对称性分别判断.【详解】由函数()f x 为奇函数，则()00f =，A 选项正确；又()()2f x f x =-，即()()11f x f x +=-，则函数()f x 关于直线1x =对称，B 选项错误；由()()2f x f x =-可知()()24f x f x -=+，即()()4f x f x =+，函数()f x 的一个周期为4，C 选项错误，D 选项正确；故选：AD.10.函数()f x 满足()()f x f x '<，则正确的是（）A.(3)e (2)f f <B.e (0)(1)f f <C.2e (1)(1)f f ->D.e (1)(2)f f <【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数()()ex f x g x =，利用导数探讨单调，再比较大小即得.【详解】依题意，令函数()()e x f x g x =，求导得()()()0exf x f xg x '-=<，函数()g x 在R 上递减，对于A ，(3)(2)g g <，32(3)(2)e ef f <，则(3)e (2)f f <，A 正确；对于B ，(1)(0)g g <，(1)(0)e f f <，则(1)e (0)f f <，B 错误；对于C ，(1)(1)g g <-，(1)e (1)ef f <-，则2e (1)(1)f f ->，C 正确；对于D ，(2)(1)g g <，2(2)(1)e ef f <，则e (1)(2)f f >，D 错误.故选：AC11.已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A.42x y +的最小值为 B.22log log x y +的最大值为3-C.y x xy --的最小值为1- D.22221x y x y +++的最小值为16【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A ；结合对数运算，利用基本不等式可判断B ；将y x xy --化为关于x 的二次函数，结合二次函数性质可判断是C ；通过变量代换，令2,1m x n y =+=+，得到26m n +=，根据“1”的巧用，将22221x y x y +++变形后，利用基本不等式，即可判断D..【详解】对于A ，由于0,0,21x y x y >>+=，故24222x y x y +=+≥==当且仅当2x y =，结合21x y +=，即11,42x y ==时，等号成立，即42x y +的最小值为，A 正确；对于B ，由于0,0x y >>，21x y +=≥18xy ≤，当且仅当11,42x y ==时，等号成立，故()22221log log log log 38x y xy +=≤=-，即22log log x y +的最大值为3-，B 正确；对于C ，又0,0,21x y x y >>+=，得12y x =-，故2(12)(12)241y x xy x x x x x x --=----=-+由于102102x x <<∴<<，而2241y x x =-+对称轴为1x =，则2241y x x =-+在1(0)2,上单调递减，在1(0)2,上无最值，C 错误；对于D ，令2,1m x n y =+=+，则|2,1x m y n =-=-，故22222288218121021x y m m n n m n x y m n m n-+-++=+=+++-++，由于0,0x y >>，故2,1m n >>，22(2)(1)256m n x y x y +=+++=++=，则()8118118212521717)6666n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82n m m n =，结合26m n +=，即126,55m n ==时，等号成立，所以8125121061066m n m n +++-≥+-=，即22221x y x y +++的最小值为16，D 正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D 的判断，解答时要通过变量代换，令2,1m x n y =+=+，得到26m n +=，根据“1”的巧用，将22221x y x y +++变形后，利用基本不等式，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()f x 对任意x 满足()()324f x f x x --=，则()f x =______.【答案】1x +【解析】【分析】采用方程组法消去()2f x -，得出()f x 的解析式即可.【详解】因为()()324f x f x x --=①，以2x -代替x 得：()()()3242,f x f x x --=-②，3+⨯②①得：()()888,1f x x f x x =+=+.故答案为：1x +.13.若函数()()2ln 2f x x x =++，则使得()()211f x f x +<-成立的x 的取值范围是______.【答案】()2,0-【解析】【分析】由题知函数为偶函数且在[0,)+∞单调递增，由此抽象出不等式，解出即可【详解】由函数的定义域为R ,()()()()()22ln 2ln 2f x x x x x f x -=-++-=++=所以函数()f x 为偶函数当[0,)x ∈+∞时，2y x =与()ln 2y x =+为单调递增函数所以()f x 在[0,)x ∈+∞单调递增所以()()()()211211f x f x fx f x +<-⇔+<-所以()()22211211x x x x +<-⇔+<-解得：20x -<<故答案为：()2,0-14.已知点A 是函数2ln y x =图象上的动点，点B 是函数22xy =图象上的动点，过B 点作x 轴的垂线，垂足为M ，则AB BM +的最小值为______．【答案】512【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为F 到2ln y x =上一点A 的最小距离即可，根据点点距离公式，得()2214ln 2ln 4f x x x x =+-+，利用导数求解最小值即可.【详解】由于22x y =是焦点在y 轴上的抛物线，故设其焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12BM BF =-,所以1122AB BM AB BF AF +=+-≥-,故求F 到2ln y x =上一点A 的最小距离即可，设(),2ln A x x ，则22222112ln 4ln 2ln 24AF x x x x x ⎛⎫=+-=+-+ ⎪⎝⎭，记()2214ln 2ln 4f x x x x =+-+，则()28ln 228ln 22x x x f x x x x x+-=+-'=由于函数()228ln 2g x x x =+-在0,+∞单调递增，且()1,10x g ==，故当∈0,1时()()0,0g x f x <∴<'，因此()f x 在0,1单调递减，当∈1,+∞时()()0,0g x f x >∴>'，因此()f x 在1,+∞单调递增，故()()min 514f x f ==，因此min52AF=，故15122AB BM AF -+≥-≥，故答案为：512-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π3313()6cos sin 6cos sin cos 62222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()231cos 231πcos 3cos 2332cos 23sin 222226x f x x x x x x x x ⎫+⎛⎫=-+=-⨯+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î，则ππππ,Z 63k xk k -+＃+，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a≤≤，得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3．16.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x --+≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =--+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+，所以()221m x mf x x x x -'=-=，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，令()0f x '=，得x m =，当()0,x m ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增.【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+，令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =--+=--++，则()ln e xg x x =-'，令()()ln e xh x g x x '==-，则()1e x h x x='-，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>，所以当1x ≥时，()h x '1e 0xx=-<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e xg x x =-'在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g '≤-'=<，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x --+≤.【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<．（2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔->⎡⎤⎣⎦；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔-<⎡⎤⎣⎦；（4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sinCa b=+．（1）求角B 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长的取值范围．【答案】（1）π6（2）(32++【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到222a c b +-=，再利用余弦定理求出π6B =；（2）根据正弦定理得到13sin cos ,sin sin A Ab c A A+==，从而得到1tan b c A +=++，求出ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ，得到10,tan 3A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，(1b c +∈+，从而求出周长的取值范围.【小问1详解】sinC a b =+，由正弦定理得：ca b =+，即222a c b +-=，由余弦定理得：222cos 222a cb B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π6B =；【小问2详解】锐角ABC V 中，2a =，π6B =，由正弦定理得：2πsin sin sin 6b cAC ==，故π2sin 12sin cos 6,sin sin sin sin A C A A b c A A A A⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====，则11cos 11cos sin tan tan A A A b c AA A+++++===1tan A =+因为锐角ABC V 中，π6B =，则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ0,62C A ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，解得：ππ,32⎛⎫∈⎪⎝⎭A ，故)tan A ∈+∞，10,tan 3A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，(11,13tan A ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭，故(1b c +∈+，(32a b c ++∈++所以三角形周长的取值范围是(32++.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值18.已知函数()22ln 2x f x x ax =+-，a ∈R .（1）若3a =，求()f x 的极值；（2）设函数()f x 在x t =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0,+∞上的单调增函数，求t 的值；（3）函数()f x 的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出a 的取值范围，若不存在则说明理由.【答案】（1）()f x 的极大值为()512f =-，极小值为()22ln 24f =-（2（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）令()0f x '=，列极值表，即可求得()f x 的极值；（2）求出切线方程，设()()()h x f x g x =-，转化为()0h x '≥在()0,∞+恒成立，再由基本不等式成立可得答案；（3）假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为()()11,t f t ，()()22,t f t ，分别代入切线方程和()f x 整理得22112122ln022t t t -+=，设212t m =，转化为12ln 0m m m -+=，设()12ln m m m m ϕ=-+，由导数判断出单调性可得答案.【小问1详解】当3a =时，()212ln 32f x x x x =+-，则()()()1223x x f x x x x--=='+-，令()0f x '=，解得：=1或=2，列表如下：x()01，1()12，2()2+∞，()f x '+-+()f x 单调递增极大单调递减极小单调递增值值由表可知，当=1时，()f x 的极大值为()512f =-，当=2时，()f x 的极小值为()22ln 24f =-；【小问2详解】因为()2f x x a x'=+-，所以()2'=+-f t t a t ，所以x t =处切线方程为()()2212ln 02y t a x t t t at t t ⎛⎫=+--++->⎪⎝⎭，整理得：()2212ln 22y g x t a x t t ⎛⎫==+-+--⎪⎝⎭，设()()()h x f x g x =-，则：()()()221212ln 2ln 222h x f x g x x x t x t t t ⎛⎫=-=+-+-++ ⎪⎝⎭，由题意可知，()220h x x t x t ⎛⎫=+-+≥ ⎪⎝⎭'在()0+∞，恒成立.因为()222h x x t t x t t ⎛⎫⎛⎫=+-+≥+ ⎪ ⎝⎭⎝'⎪⎭，当且仅当x =时，等号成立，所以应有20t t ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，而0t >，2t t +≥，所以只有2t t=即t =时，2+=t t即20t t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭成立，所以t =.【小问3详解】由（2）可知，曲线=op 在()0x t t =>处切线方程为：2212ln 22y t a x t t t ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为()()11,t f t ，()()22,t f t ，则：121222112222112ln 22ln 222t a t a t t t t t t ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪--=--⎪⎩①②，由①式可得：122t t =，代入②式，则：2112111222ln 2ln 2t t t t -=-，整理得：22112122ln 022t t t -+=，设212t m =，则12ln 0m m m -+=，设()12ln m m m m ϕ=-+，则()()22212110m m m m mϕ--=--=≤'，所以()m ϕ单调递减，因为()10ϕ=，所以()0m ϕ=的解为1t =.即2112t =，解得1t =，此时2112t t t ===，所以不存在符合题意的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合.【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.19.在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax by y cx dy =+⎧⎨=+''⎩①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点s 变换为点(),P x y '''的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭唯一确定，我们将a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示．（1）在平面直角坐标系xOy 中，将点()3,4P 绕原点O 按逆时针旋转3π得到点P '（到原点距离不变），求点P '的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点s 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量(),OP x y = （称为行向量形式），也可以写成x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则称x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭是二阶矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的乘积，设A 是一个二阶矩阵，m ，n 是平面上的任意两个向量，求证：()A m n Am An +=+ ．【答案】（1）333,222P ⎛'-+ ⎝⎭（2）cos sin sin cos x x y y x y αααα=-'=+'⎧⎨⎩，cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的cos θ和sin θ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点P '的坐标；（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的cos θ和sin θ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点P '的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；（3）根据定义分别计算()A m n + 、 Am 、 An ，证明()A m n Am An +=+ 即可.【小问1详解】可求得5OP OP ='=，设POx θ∠=，则3cos 5θ=，4sin 5θ=，设点(),P x y '''，3POx πθ∠=+，故135cos 5cos sin 3222x πθθθ⎛⎫⎛⎫'=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15sin 5sin cos 23222y πθθθ⎛⎫⎛⎫'=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3222P ⎛'-+ ⎝⎭.【小问2详解】设OP OP r ='=，POx θ∠=，则cos x r θ=，sin y r θ=，P Ox θα∠'=+，故()cos cos cos sin sin cos sin x r r r x y θαθαθααα'=+=-=-()sin sin cos cos sin sin cos y r r r x y θαθαθααα'=+=+=+所以坐标变换公式为cos sin sin cos x x y y x y αααα=-'=+'⎧⎨⎩，该变换所对应的二阶矩阵为cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问3详解】设矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量11x m y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，22x n y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则1212x x m n y y +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ ．()()()()()121212121212a x x b y y x x a b A m n c x x d y y y y c d ⎛⎫++++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，对应变换公式为：()()()()12121212x a x x b y y y c x x d y y ⎧=+++⎪⎨=+++''⎪⎩，111111x ax by a b Am y cx dy c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222222x ax by a b An y cx dy c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()()()()1212112212121122a x x b y y ax by ax by Am An c x x d y y cx dy cx dy ⎛⎫+++++⎛⎫⎛⎫+==+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故对应变换公式同样为()()()()12121212x a x x b y y y c x x d y y ⎧=+++⎪⎨=+++''⎪⎩所以()A m n Am An +=+ 得证.【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角α的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与x 轴正半轴重合；在角α的终边上任取一点(,)P x y ，该点到原点的距离r =则：sin y r α=；cos x r α=；tan y x α=.。

安徽省“江淮十校”2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．52．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =3．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14154．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．15D ．1555．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ）A ．2019πB ．22019πC ．42019πD ．4038π6．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．797．若复数z 满足3(1)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．1322i -+ 8．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-9．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种11．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞D ．(0,1)(1,)⋃+∞12．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽六校教育研究会2024届高三年级入学素质测试数学试题2023.8注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24M x Z x =∈≤，201x N x x −=≥ +，则M N = （ ）A.{}2,1,0,1−−B.{}2,2−C.{}2−D.22.复数z 在复平面内对应的点为)1−，则1iiz −=+（ ） A.13i 55− B.33i 55− C.11i 55− D.11i 55−− 3.已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 3αβ=，则()cos αβ−=（ ） A.16−B.16C.23− D.234.已知向量m ，n ，且1m n == ，32m n −=，则向量m 在向量n 方向上的投影向量为（ ）A.0B.12m C.12nD.12n −5.已知()1,0A −，()2,0B ，若动点M 满足2MB MA =，直线:20l x y +−=与x 轴、y 轴分别交于两点，则MPQ △的面积的最小值为（ ）A.4+B.4C.D.4−6.设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*n N ∈，2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若14m <<，椭圆22:1x C y m +=与双曲线22:14x y D m m−=−的离心率分别为1e ，2e ，则（ ） A.12e e 的最小值为12 B.12e eC.12e e 的最大值为12D.12e e8.已知函数())2ln 1x f x x e =+−+，则不等式()()212f x f x +−>−的解集是（ ） A.1,3 +∞B.()1,+∞C.1,3 −∞D.(),1−∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长（单位：h ）的数据如下表： 女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3 男生6.16.56.97.57.78.08.18.28.69.4以下判断中正确的是（ ）A.该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.85B.该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是9.0C.该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小D.8h 的概率为0.510.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为81ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为27ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度()ppm y 与排气时间t （分钟）之间存在函数关系()y f t =，其中()()f t R f t ′=（R 为常数）.（注：()()()ln f x f x f x ′′=）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，人就可以安全进入车库了.则（ ） A.ln 34R =−B.13eR −=C.排气20分钟后，人可以安全进入车库D.排气24分钟后，人可以安全进入车库11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x R ∈，用[]x 表示不超过x的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=.已知函数()[]2f x x x =+−，下列说法中正确的是（ ）A.()f x 是周期函数B.()f x 的值域是(]1,2C.()f x 在()0,1上是增函数D.若方程()()11f x k x =++有3个不同实根，则1132k <≤ 12.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ABC −容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.直线AE 与PB 所成的角为2πB.ABE △的周长最小值为4C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入）D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为______.（结果用数值表示） 14.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Ω的统一体积公式()146V h L M N =++（其中L ，N ，M ，h 分别为Ω的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R ，可得该球的体积为()2314204063V R R R ππ=×+×+=；已知正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，可得该正四棱锥的体积为2221104623a V h a a h =×+×+= .类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O 的表面积为216cm π，若用距离球心O 都为1cm 的两个平行平面去截球O ，则夹在这两个平行平面之间的几何体Π的体积为______3cm .15.已知M 、N 为双曲线()222210,0x y a b a b−=>>上关于原点对称的两点，点M 在第一象限且与点Q 关于x轴对称，43ME MQ =，直线NE 交双曲线的右支于点P ，若PM MN ⊥，则双曲线的离心率e 为______.16.已知函数()2cos sin 2f x x x =−给出下列结论： ①()y f x =的图象关于点,02π对称； ②()y f x =的图象关于直线x π=对称； ③()f x 是周期函数；④()f x 其中正确结论有______.（请填写序号）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a cb C B−=. （1）求角B 的大小；（2）若BC 的中点为D 且AD =2a c +的最大值.18.（本小题12分）如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11A ACC ，111224AC AA AC ===，B 为下底面圆周上异于A ，C 的点.（1）点P 为线段BC 的中点，证明直线1PC ∥面1AA B ；（2）若四棱锥11B A ACC −的体积为AB 与平面1C CB 夹角的正弦值.19.（本小题12分）已知函数()xf x ae x =−（e 是自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()()1ln xg x ae x x f x =−−+有两个零点，求实数a 的取值范围.20.（本小题12分）为纪念中国共产党成立102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.求： （1）若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率； （2）若第一次由甲组答题，记第n 次由甲组答题的概率为n P ，求n P .21.（本小题12分）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，*q ∈N .令2log n q nn nb a +=，记n T 为数列{}n a 的前n 项积，n S 为数列{}n b 的前n 项和.（1）若2134a a a =，2367S T +=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且99299log 99S T −=，求q . 22.（本小题12分）已知抛物线2:2E x py =（p 为常数，0p >）.点()00,M x y 是抛物线E 上不同于原点的任意一点.（1）若直线00:2x l yx y =−与E 只有一个公共点，求p ； （2）设P 为E 的准线上一点，过P 作E 的两条切线，切点为A ，B ，且直线PA ，PB 与x 轴分别交于C ，D 两点.①证明：PA PB ⊥. ②试问PC ABPB CD⋅⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.安徽六校教育研究会2024届高三年级入学素质测试数学试题参考答案1. 【答案】B 【解析】方法一：因为{}{}2|42,1,0,1,2M x Z x =∈≤=−−，{}201,21x N xx x x x ⎧⎫−=≥=<−≥⎨⎬+⎩⎭或，所以MN ={}2,2−．故选：B ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =−−，将2,1,0,1,2−−代入不等式201x x −≥+，则有2−，2使不等式成立，所以MN ={}2,2−．故选：B ． 32|7m n −=，得222232|(32)9||4||127m n m n m n m n −=−=+−⋅=， |||1m n ==，94127m n ∴+−⋅=，整理得：12m n ⋅=， 因为[],0,m n π∈，所以,m n 的夹角为π3，向量m 在向量n 方向上的投影向量为12n . 故选C . 【答案】D21 . 2ex>，由所以()f x的定义域为11. 【答案】AB【解析】由题意，列出部分定义域0,211,10[2]2,013,12x x x x x −<−⎧⎪−<⎪+=⎨<⎪⎪<⎩，所以部分定义域的,211,10()[2]2,013,12x x x x f x x x x x x x −−<−⎧⎪−−<⎪=+−=⎨−<⎪⎪−<⎩，可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(1,2],在(0,1)上单调递减， 故选项A 、B 正确，C 错误；对于选项D ，结合图象知，若()y f x =的图象与直线(1)1y k x =++有3个交点，则1111[,),]4532k ∈−−(，所以选项D 错误， 故选：.AB12. 【答案】ACD 【解析】解：A 选项，由于D 为PB 的中点， 所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D AD CD ⋂=⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ， 所以PB AE ⊥，故选项A 正确；，ACD故选.13. 【答案】65【解析】要求高一年级和高二年级的同学都有，球由43ME MQ =，则E 从而有11,MN PN y k k x =kP 平面2为原点，2221,,O B O C O O 方向为()()()(110,1,3,2,2,0,0,1,3,2,2,0AA AB CC BC ===−=−设a AB =，平面1C CB 的法向量为(),,b x y z =，，则(3,3,1b =232,440a ba b a b +⋅>==++⨯与平面1C CB 夹角的正弦值为时,()f x 在R 上递减;②当0fx ，()f x 在时，()0f x '<，0fx ，此时函数()ln x x x e −+=()10x t x e '=+>）{}n b 为等差数列，112log 1q a =+q =或1a =的判别式220p x =−在抛物线由0=，即16可得2k km −−所以12k k =−PA PB ⊥；Rt PBA ∽Rt PCD ，||||||PB AB PC CD =，即有||||PC PB ⋅。