安徽省六校教育研究会2021届高三2月22日第二次联考理科数学试题(含答案)

安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米3．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B ．2C．12±D ．2±4．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y x =，则双曲线的离心率为（）ABCD 5．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-6．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,17．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦8．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5B ．5或1C ．5或1D ．59．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π1210．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sin a ＞sin bB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B ．21-C ．2D ．112．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或173二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数221zi i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ） （A ）2 （B ）22（C ）3 （D ） 22.已知命题p ：“1a =是0ax x x,+2>≥”的充分必要条件”；命题q ：“存在0x R ∈，使得20020x x +->”，下列命题正确的是（ ）(A)命题“p q ∧”是真命题 (B)命题“()p q ⌝∧”是真命题 (C)命题“()p q ∧⌝”是真命题 (D)命题“()()p q ⌝∧⌝”是真命题3.执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） (A) 4n >？ (B) 8n >？ (C) 16n >？ (D) 16n <？4.在极坐标系中，点π(2,)3和圆θρcos2=的圆心的距离为( )(A) 3 (B) 22π19+2π49+【答案】A5.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） (A)1142+a b (B) 1124+a b (C) 2133+a b (D) 1233+a b6.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N +=-∈*， 若32b =-,1012b =,则8a =（ ）(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11【答案】B7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）（A）43（B）8 (C) 83 (D) 478.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为（ ）（A ）521（B ）27 （C ）13（D ）8219.设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） (A)213 (B) 193 (C) 73(D) 73310.10．若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d，则22()()a c bd 的最小值为（ ）2 (B) 2 (C) 22第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.．已知0sin ,a xdx π=⎰则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．二项式5 1ax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x-的系数为()()333510280C a-=⨯-=-考点：1、定积分的求法；2、二项式定理.12.如图所示，第n个图形是由正2n+边形拓展而来（1,2,n=），则第2n-个图形共有____ 个顶点．13.若不等式组50,5,02x yy kxx-+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范是 .14.抛物线2(33)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 ．15.对于函数()f x ，若存在区间[],M a b =，使得{}|(),y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“好区间”．给出下列4个函数：①()sin f x x =；②()21xf x =-；③3()3f x x x =-；④()lg 1f x x =+．其中存在“好区间”的函数是 ． （填入所有满足条件函数的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知向量33(sin ,cos ),(,)22m x x n ==，x R ∈，函数(),f x m n =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中，设角A ，B 的对边分别为,a b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求角C 的大小．17.（本小题满分12分）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --为直二面角,连结1A B 、1AC (如图2). （Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ;（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.直线1PA 与平面1A BD 所成的角1PA H ∠，设PB 的长为x ，用x 表示11,,A D A H DH ，在直角∆1A DH 中，Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- ,由22211A D DH A H +=, 得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,解得18.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．考点：1、等差数列;等比数列的通项公式和前n 项和.2、参变量范围的求法. 19.（本小题满分12分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为 次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [)70,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件A 8 12 40 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；（ii ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．20.（本小题满分13分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3a a⎛⎫+⎪⎝⎭()0a >上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果对任意的1x ，)22x e ，⎡∈+∞⎣，有121211()()f x f x m x x -≥-，求实数m 的取值范围．递减，故()f x 在1x =处取得极大值． ……………………3分21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆G 与抛物线24y x =-有一个公共的焦点，且过点6(. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ) 设点P 是椭圆G 在第一象限上的任一点,连接12,PF PF ,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆G 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为1k ,2k ,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值； （III ）在第(Ⅱ)问的条件下，作22F Q F P ⊥，设2F Q 交l 于点Q ， 证明:当点P 在椭圆上移动时，点Q 在某定直线上.。

安徽六校教育研究会2024届高三年级第二次素养测试数学试题2024.2考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，集合{}10,13x M x N y y x x ⎧⎫-=<=∈=+⎨⎬+⎩⎭R ，则MN 等于（ ）A ．[)1,1-B ．[)0,1C ．()3,0-D ．()3,1--2．若()1i 2i z -=，则2i z -=（ ） A ．0B ．1C 2D ．23．6(1)ax -的展开式中3x 的系数为160，则a =（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为35．椭圆222214x y a a +=-经过点()2,3，则其离心率e =（ ） A ．12B ．22C ．32D ．336．若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间()0,π恰存三个零点，两个极值点，则ω的取值范围是（ ） A ．717,36⎛⎤⎥⎝⎦B ．117,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．720,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π8．已知函数22()e ln ln (0)f x a x x x a a =-+>，若方程()0f x =有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,c⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,1e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分。

2021年高三第二次联考理科数学试卷含答案程新忠（鹰潭一中）章勇生（高安中学）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．复数（为虚数单位）的虚部为（）．．．．．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是（）．．．．．设，则“为等比数列”是“”的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．已知等差数列满足：，则的值为（）．．．．．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S值为（）．．．．．如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，ABPC且，侧面⊥底面，.则这个三棱锥的三视图中标注 的尺寸分别是 （ ） ． ． ． ．．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示, 下列说法中错误．．的是（ ） ． 收入最高值与收入最低值的比是 ． 结余最高的月份是月 ．至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同 ． 前个月的平均收入为万元（说明：结余=收入-支出）．在中，角，，的对边分别是、、，若，则角的最大值为（ ）． ． ． ．．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于、两点，若恰好将线段三等分，则椭圆的方程是（ ） ． ． ． ．．已知平面向量满足，，，且与的夹角为，则的最大值为（ ） ． ． ． ．．已知正三棱锥的底面边长为，底边在平面内,绕旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是（ ）． ． ． ．．设是有穷数列，且项数．定义一个变换：将数列…，变成…，，其中是变换所产生的一项．从数列1，2，3…，开始，反复实施变换，直到只剩下一项而不能变换为止，则变换所产生的所有项的和．．．．．．．．．．．为（）．．．．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在答题卡的相应位置．．二项式的展开式中的常数项是（用数字作答）．．_____．．不等式组所表示的平面区域为．若直线与区域有公共点，则实数的取值范围是．．已知函数，若关于的方程恰有两个不等实根、，则的最小值为_____．三．解答题：本大题共小题，共分．前小题每题满分分，最后一道选做题满分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．．（本小题满分分）已知函数（其中）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，，，求的值．．（本小题满分分）年全国高考将有个省市使用新课标全国卷，其中数学试卷最后一题为选做题，即要求考生从选修（几何证明选讲）、选修（坐标系与参数方程）、选修（不等式选讲）的三道题中任选一道题作答．某数学老师教了高三、两个理科班共名学生，为了了解所教学生对这三道题的选做情况，他对一次数学模拟考试进行了统计，结果如下表所示：若从名学生中随机抽取一名，他选做选修的概率为．（Ⅰ）求的值，分别计算两个班没有选选修的概率；（Ⅱ）若从、两班分别随机抽取名学生，对其试卷的选做题进行分析，记名学生中选做的人数为随机变量,求的分布列和数学期望（视频率为概率，例如：班选做的每个学生被抽取到的概率均为）．．（本小题满分分）如图，在五面体中，四边形为菱形，且，对角线与相交于，⊥平面，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求面与平面所成锐二面角的正弦值．．（本小题满分分）已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离小．（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率的直线过点且交曲线为、两点，当线段的中点到直线的距离为，求的取值范围．．（本小题满分分）已知函数．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；（Ⅲ）若方程（为实数）有两个实数根且，求证：．请考生在第，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2022届安徽省六校教育研究会高三下学期2月第二次联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ） A ．{}11x x -<≤ B ．{}11x x -<< C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<【答案】C【分析】根据对数函数的单调性求出集合B ，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：{}{}2log 102B x x x x =<=<<， 所以A B ={}01x x <≤. 故选：C.2．若复数z 满足1z i i ⋅=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）. A ．0 B ．1-C ．i -D ．12i【答案】B【分析】化简复数z 为a bi +的形式，由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()111i i i z i i i i -⋅--===--⋅-，故z 的虚部为1-. 故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查虚部的概念，属于基础题.3．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．2a cb +> D ．2a bc +> 【答案】A【分析】根据频率分布直方图读出众数a ，计算中位数b ，平均数c ，再比较大小. 【详解】由频率分布直方图可知：众数7080752a +==； 中位数应落在70-80区间内，则有：0.004100.018100.04(70)0.5b ⨯+⨯+⨯-=，解得：77b =； 平均数5060607070800.004100.018100.0410222c +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+8090901000.032100.0061022++⨯⨯+⨯⨯2.211.73027.2 5.776.8=++++=所以b c a >> 故选：A4．设1sin 2a =，ln πb =，12πc -=，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】B【分析】根据已知条件，将1sin 2与sin 0和πsin 6进行比较，将ln π与ln e 进行比较，将12π-与0π和12进行比较确定a 、b 、c 三个数的大小，从而完成求解.【详解】1π10sin sin sin 262==0＜＜，所以1(0,)2a ∈，ln πlne=1＞，所以(1,)b ∈+∞，1021ππ12-===＜，所以1(,1)2c ∈，所以a c b <<. 故选：B.5．设x ，y 满足约束条件502803x y x y y +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩，则34z x y =+的最大值是（ ）A ．12B ．17C ．18D ．392【答案】C【分析】根据线性约束条件作出可行域，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由z 的几何意义即可求解.【详解】根据线性约束条件作出可行域如图：由34z x y =+可得344z y x =-+，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由图知：过点A 时，4z最大即z 最大，由503x y y +-=⎧⎨=⎩可得()2,3A ，所以max 324318z =⨯+⨯=， 故选：C.6．某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A ，B ，C 三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两个单位.已知A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为（ ） A ．13B ．23C ．25D ．35【答案】B【分析】求出三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件数，再求出甲单位不接种需要打三针的 重组蛋白疫苗的基本事件数，然后利用古典概率公式计算作答,【详解】当A ，B ，C 三家医院都接待一个单位时有33A 种，当A ，B ，C 三家医院有两家接待两个单位时有222332C C A 种，因此，三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件有32223332A C C A 24+=个，它们等可能，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的事件M ，即甲不选C 医院，选A ，B 医院之一，有12C 种选法，乙、丙从A ，B ，C 三家医院中任选一家，去掉他们都选A 医院的情况，有231-种选法，因此，事件M 含有的基本事件数为122C (31)16-=个，所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率162()243P M ==. 故选：B7．已知抛物线2:4C y x =，点P 为直线2x =-上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为（ ） A ．1 B ．4C ．5D【答案】D【分析】先求得直线AB 的方程，再去求点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值即可解决. 【详解】设(2,)P m -，切点11(,)A x y ，22(,)B x y由题意知在点A 处的切线斜率存在且不为0，设在点A 处切线斜率为A k 在点A 处切线方程可设为11()A y k x x y =-+由2114()A y x y k x x y ⎧=⎨=-+⎩，可得2114440A Ay y y x k k -+-=由21144440A A y x k k ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12A k y =则在点A 处切线方程可化为1112()y x x y y =-+，即11220x y y x -+= 由题意知在点B 处的切线斜率存在且不为0，设在点B 处切线斜率为B k 在点B 处切线方程可设为22()B y k x x y =-+由2224()B y x y k x x y ⎧=⎨=-+⎩，可得2224440By y y x k k -+-=由22244440B B y x k k ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得22B k y =则在点B 处切线方程可化为2222()y x x y y =-+，即22220x y y x -+= 又两条切线均过点P ，则()222220y m x --+=，()112220y m x --+= 则直线AB 的方程为420ym x --+=，即()220x ym --= 则直线AB 恒过定点()2,0Q点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值即为点()0,1M 到()2,0Q 的距离MQ故点()0,1M 到直线AB 故选：D8．在10202211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（ ） A ．45 B ．90C ．120D ．1【答案】A【分析】写出10202211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式通项，令x 的指数为2，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】1010202220221111x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的展开式通项为11020221C rr r A x x +⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 20221rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()202220231C C k k r k k r kk r r B x x x ---+=⋅⋅=⋅， 故10202211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式通项为20231,110C C r k r k r k r T x -++=⋅，令20232r k -=，且010k r ≤≤≤，k 、N r ∈，所以，2r =，0k =，故展开式中2x 项的系数为20102C C 45=.故选：A.9．已知点()1,0P -，圆()2219x y -+=上的两个不同的点()11,A x y 、()22,B x y 满足()R AP PB λλ=∈，则112243254325x y x y +-++-的最大值为（ ）A ．12B ．18C ．60D ．272【答案】C【分析】根据给定条件求出弦AB 中点的轨迹，再求出这个轨迹上的点到直线34250x y +-=的距离最大值即可推理计算作答.【详解】因()R AP PB λλ=∈，则点A ，P ，B 共线，即过点P 的直线AB 与圆()2219x y -+=交于不同的两点A ，B ，112243254325x y x y +-++-=表示点A 、B 到直线34250x y +-=的距离和的5倍，设弦AB 中点00(,)M x y 2=于是得：11224325432510x y x y +-++-=圆()2219x y -+=的圆心(1,0)Q ，显然点P 在此圆内，即过点P 的任意直线与圆都相交， 当点M 与点P ，Q 都不重合时，由圆的性质知，PM QM ⊥，有0PM QM ⋅=， 当点M 与点P ，Q 之一重合时，0PM QM ⋅=也成立，于是得0PM QM ⋅=，又0000(1,),(1,)PM x y QM x y =+=-，从而得22001x y +=，即点M 的轨迹是以原点为圆心的单位圆，圆22001x y +=的圆心到直线34250x y +-=的距离5d ==，则圆22001x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最大值为16d +=，所以112243254325x y x y +-++-的最大值为60. 故选：C10．直线a 与平面α所成的角为15°，点P 为空间一定点，过点P 作与α成45°、与a 成60°的直线l 可以作（ ） A ．2条 B ．3条C ．4条D ．无数条【答案】B【分析】设直线a 与平面α交于点A ，过点A 作与α成45︒的直线，它在如图的轴截面为等腰直角三角形的圆锥侧面上运动．设a 在α内的射影为直线b ，a 、b 确定的平面为β，由直线与平面所成角的性质可得当圆锥的母线在落在平面β内时，它与a 所成角为60︒或30．由此将圆锥的母线绕点A 旋转并观察母线与直线a 所成角的变化，可得圆锥侧面上共有三条母线所在的直线与a 所成角为60︒，由此结合异面直线所成角的定义可得满足条件的直线l 的条数．【详解】解：设直线a 与平面α相交于点A ，a 在α内的射影直线为b ， 设圆锥的顶点为A 点，圆锥的轴AO ⊥平面α，圆锥的轴截面为等腰Rt ABC ，如图所示．可得图中圆锥的任意一条母线与平面α所成角都等于45︒， 设直线c 为圆锥的一条母线所在直线，直线a 、b 确定的平面为β， 由直线与平面所成角的性质，可得当c 落在平面β内时， 直线c 与直线a 所成角等于4515︒+︒或4515︒-︒，当c 与AB 所在直线重合时，c 与a 所成角为60︒；当c 与AC 所在直线重合时，c 与a 所成角为30． 当直线c 从AC 的位置按顺时针方向旋转到AB 位置时，a 、c 所成角从30增大到90︒，再减小到60︒， 这个过程中必定有一个位置满足c 与a 所成角为60︒；同理当直线c 从AC 的位置按逆时针方向旋转到AB 位置时，这个过程中也存在一个位置满足c 与a 所成角为60︒． 综上所述，经过点A 的直线c 共有3条满足c 与a 所成角为60︒． 将满足条件的直线c 平移到使它经过空间的点P 得到直线l ，根据异面直线所成角的定义，可得直线l 与直线a 所成角为60︒，满足条件的直线l 有3条．∴过点P 作与α成45︒、与a 成60︒的直线l 可以作3条．故选：B ．11．已知数列{}n a 满足：11a =，21a =，()123,n n n a a a n n N *--=+≥∈，若将数列{}n a 的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 段圆弧所在正方形的面积之和为n S ，第n 段圆弧与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c .现有如下命题：1p ：2111n n n n S a a a +++=+⋅；2p ：132121n n a a a a -+++=-；3p ：12321n n a a a a a +++++=-；4p ：()1124πn n n n c c a a -+--=⋅.则下列选项为真命题的是（ ） A ．12p p ⌝∧ B ．13p p ⌝∨⌝ C ．23p p ⌝∧⌝ D ．24p p ∨【答案】D【分析】命题1p ，可以取1n =、n k =和1n k =+去验证是否成立；命题2p ，可以通过对n 进行取值验证；命题3p ，可通过叠加的方法来进行推导；命题4p ，可以通过题意写出{}n c 的表达式，然后带入化简验证，判断完四个命题后，再根据四个选项的组合进行选择.【详解】因为11a =，21a =，()123,n n n a a a n n N *--=+≥∈，1p ，2111n n n n S a a a +++=+⋅，当1n =时，222212S a a a =+⋅=，而122a a +=成立，假设当n k =时，2111k k k k S a a a +++=+⋅，那么当1n k =+时，22222212211211212()k k k k k k k k k k k k k k S S a a a a a a a a a a a a ++++++++++++=+=++⋅=++⋅=+⋅，则当1n k =+时，等式也成立，所以对于任意*N n ∈，2111n n n n S a a a +++=+⋅成立，故该命题正确；2p ，由题意可得11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，132121n n a a a a -+++=-，当2n =时，13431a a a +=≠-，该命题错误；3p ，11a a =，231a a a =-，34211,,n n n a a a a a a +-=-=-，叠加得：1232221n n n a a a a a a a ++++++=-=-，故该命题正确；4p ，由题意可知2π4n n c a =，所以()22111112π44?()π()()π4n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a ----+--=-=-+=⋅，故该命题正确； 所以选项A ，12p p ⌝∧为假命题；选项B ，13p p ⌝∨⌝为假命题；选项C ，23p p ⌝∧⌝为假命题；选项A ，24p p ∨为真命题. 故选：D.12．已知函数()()434xf x x x e =-⋅，若方程()f x a =有3个不同的实根1x ，2x ，()3123x x x x <<，则24ax -的取值范围是（ ）A ．327,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．327,e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】求得()()2212xf x x x e '=-，得到函数()f x 单调性进而画出函数()f x 的图象，结合图象a ⎛∈ ⎝，进而得到2x 的取值范围为()-，得到23224x a x e x =-，构造新函数，结合导数求得函数的额单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数()()434x f x x x e =-⋅，可得()()()42221212x xf x x x e x x e '=-=-，当x <-()0f x '>，()f x 单调递增；当x -<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >()0f x '>，()f x 单调递增；又由当x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，且(f -=()00f =，((144f e =-故可大致画出()f x 的图象如下：由图象可知，a 的取值范围为231449630,e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 此时对应2x 的取值范围为()23,0-，而()2243223222444x x x x e a x e x x -==--，故令()()3230x g x x e x =-≤≤，则()()()32233x xg x x x e x x e '=+=+，故当233x -≤<-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当30x -<≤时，()0g x '>，()g x 单调递增； 而()23243230g e -=-<，()3273g e -=-，()00g =， 故24a x -的取值范围是327,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选：A.二、填空题13．已知向量a =（1，2），b =（3，﹣4），则向量a 在向量b 上的投影为__． 【答案】﹣1【分析】利用向量投影的意义解答即可. 【详解】解：由已知,向量a 在向量b 上的投影为22131||34a b b ⋅⨯-==-+.故答案为：−1.【点睛】本题考查了平面向量的投影求法；利用数量积的几何意义求之即可.14．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点F 关于其一条渐近线的对称点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为______.【分析】求出焦点关于一条渐近线的对称点P 的坐标，代入双曲线方程求解作答. 【详解】由双曲线的对称性，不妨令F 为右焦点，渐近线为by x a=，即0bx ay -=，令半焦距为c ，则(c,0)F ， 过F 垂直于渐近线b y x a=的直线方程为：()ay x c b =--，即ax by ac +=，由0bx ay ax by ac -=⎧⎨+=⎩解得2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即过F 垂直于渐近线b y x a =的直线与该渐近线交于点2()a ab c c,，依题意，点P 的坐标为222(,)a ab c c c-，而点P 在双曲线上，则有2222222()()1a ab c c c a b --=， 即222()4()1a c a c a c --=，而ce a =，于是得2224()1e e e--=，整理得：25e =，而1e >，解得e =15．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，已知π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且对于任意的x ∈R 都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______.【答案】5【分析】根据已知条件，利用ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭建立起关于ω的等量关系，然后根据()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，卡出ω的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可. 【详解】因为函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π3sin(?)33ωϕ+=，所以πππ(Z)32k k ωϕ+=+∈，11πππ(Z)23k k k ϕ=-+∈,因为于任意的x ∈R 都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ππsin ()?sin ?()66x x ωϕωϕ⎡⎤⎡⎤-+=--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以ππsin sin 66x x ωωωϕωϕ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22ππ2π(Z)66x x k k ωωωϕωϕ-+=+-+∈或33πππ(Z)66x x k k ωωωϕωϕ-+++-=∈，所以22ππ(Z)6k k ωϕ=+∈或332π(Z)x k k ω=∈，即33π(Z)2k x k ω=∈（舍去），所以22ππ(Z)6k k ωϕ=+∈， 因为11πππ(Z)23k k k ϕ=-+∈，所以121ππππ=π(Z)236k k k k ω-++∈，即1212()k k ω=+-， 令12t k k =-，所以12()t t Z ω=+∈，()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，2π5ππ93612-=，π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以在区间5π2π,369⎛⎫ ⎪⎝⎭中包含在一个对称轴和对称中心之间（4T ）即π124T ≤， 所以6ω≤，而12()t t Z ω=+∈， 所以ω的最大值为5. 故答案为：5.16．在四棱锥S ABCD -中，已知SA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，3AB =，6CD AD ==，M 是平面SAD 内的动点，且满足CMD BMA ∠=∠.则当四棱锥M ABCD -的体积最大时，三棱锥M ACD -外接球的表面积为______. 【答案】136π 【分析】分析可知12MA MD =，然后以点以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),0,M x z ，求出点M 的轨迹方程，可知当点M 到平面ABCD 的距离最大时，四棱锥M ABCD -的体积最大，设点()2,0,4M -，设三棱锥M ACD -的球心为(),,O a b c ，列方程组求出点O 的坐标，可求得球O 的半径，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】因为//AB CD ，AB AD ⊥，3AB =，6CD AD ==，则四边形ABCD 为直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，则AB SA ⊥，AB AD ⊥，SA AD A =，AB ∴⊥平面SAD ，则CD ⊥平面SAD ，AM 、DM ⊂平面SAD ，AB AM ∴⊥，CD DM ⊥，则90BAM CDM ∠=∠=， 故1tan tan 2AB CD MA BMA CMD BMA CMD MA MD MD ∠=∠⇔∠=∠⇔=⇔=， SA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,3,0B 、()6,6,0C 、()6,0,0D ，设点(),0,M x z ， 由12MA MD=可得()222226x z x z +=-+()22216x z ++=，即点M 的轨迹为圆，当点M 到平面ABCD 的距离最大时，四棱锥M ABCD -的体积最大， 不妨设点()2,0,4M -，设三棱锥M ACD -的球心为(),,O a b c ，由OA OM OA OC OA OD ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，可得()()()()()22222222222222222224666a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎧++=+++-⎪⎪++=-+-+⎨⎪++=-++⎪⎩，解得334a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，三棱锥M ACD -的外接球球心为()3,3,4O ，球O 的半径为22233434OA =++=因此，三棱锥M ACD -的外接球的表面积为24434136OA πππ⨯=⨯=.故答案为：136π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 三、解答题17．在ABC 中，AD 是底边BC 上的高，垂足为点D ，且13ADBC =. (1)若边长AB ，BC ，CA 成等比数列，求BAC ∠的正弦值；(2)求AC ABAB AC+的最大值. 【答案】(1)13【分析】（1）设AB c =，BC a =，CA b =，AD h =，根据等面积法可得11sin 22ah bc BAC =∠，再由13h a =，即可得到23sin a bc BAC =∠，最后由三边成等比数列，即可得到2b ac =，从而得解；（2）设BAC θ∠=由余弦定理及（1）中的结论可得223sin 2cos b c bc bc θθ+=+，再两边同除bc ，即可得到3sin 2cos AC ABAB AC θθ+=+，最后利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】(1)解：设AB c =，BC a =，CA b =，AD h =.由面积公式可得11sin 22ah bc BAC =∠.又已知13h a =，代入上式可知23sin a bc BAC =∠.又由于a ，b ，c 成等比数列，即2b ac =，代入上式，得1sin 3BAC ∠=.(2)解：设BAC θ∠=，在ABC 中，由余弦定理可知2222cos b c a bc θ+=+， 由（1）可知23sin a bc θ=，代入上式可知223sin 2cos b c bc bc θθ+=+，于是()3sin 2cos 13sin AC AB b cAB AC c bθθθϕ+=+=+=+， 其中2tan 3ϕ=，ϕ为锐角，故当()sin 1θϕ+=时，max13AC AB AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭. 18．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马” P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =.(1)若4PB =，试计算底面ABCD 面积的最大值；(2)过棱PC 的中点E 作EF PB ⊥，交PB 于点F ，连DE ，DF ，BD .若平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为π3，试求DCBC 的值.【答案】(1)22【分析】（1）根据已知条件，可设PD CD x ==，AD y =，表示出底面ABCD 的面积，然后利用基本不等式即可完成最值得求解；（2）设出AD λ=，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求解出平面DEF 与平面ABCD 的法向量，然后利用已知条件，求解出λ，即可求解出DCBC的值. 【详解】(1)设PD CD x ==，AD y =，由已知可知22216x y +=，而底面ABCD 的面积为xy . 则由均值不等式，可知222242222ABCDx y S xy x y +==⋅≤=2x y =时等号成立.(2)如图，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系.设1PD DC ==，AD λ=，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，(),1,0B λ，()0,1,0C ， 所以(),1,1PB λ=-.由于E 是PC 的中点，则110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，故110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF ，故(),1,1PB λ=-是平面DEF 的一个法向量. 而因为PD ⊥平面ABCD ，所以()0,0,1DP =是平面ABCD 的一个法向量. 由已知平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为π3， 则2π11cos322BP DP BP DPλ⋅===⋅+，解得2λ= 所以12DC BC λ==. 故当平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为π3，2DC BC 19．某校高三年级举行元宵喜乐会，两人一组猜灯谜，每轮游戏中，每小组两人各猜灯谜两次，猜对灯谜的次数之和不少于3次就可以获得“最佳拍档”称号.甲乙两人同一小组，甲和乙猜对灯谜的概率分别为1P ，2P . (1)若134P =，223P =，求在第一轮游戏中他俩就获得“最佳拍档”称号的概率；(2)若1243P P +=，且在前n 轮游戏中甲乙两人的小组获得“最佳拍档”称号的次数的期望为16次，则n 的最小值是多少？并求此时的1P ，2P 的值. 【答案】(1)23(2)27，1223P P ==【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求得轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号的概率；（2）求得第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为221212833P PP P P =-，根据题意得到1211414,339PP P P ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令12t PP =，得到()2833P h t t t ==-+，结合二次函数的性质和二项分布的性质，即可求解. 【详解】(1)解：由题意，在“第一轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号”为事件A ， 则()12212222222231223321332224433443344333P A C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)解：他们在第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为()()12222122222112221222212211P C P P C P C P C P P C P C P =-+-+()2222121212121282333PP P P P P PP P P =+-=-，由于101P ≤≤，201P ≤≤，因此1113P ≤≤，故1211414,339PP P P ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令12t PP =，则()2284161433392739P h t t t t t ⎛⎫⎛⎫==-+=--+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当49t =时，可得max 1627P =， 甲乙两人小组前n 轮游戏中获得“最佳拍档”称号的次数(),B n P ξ~， 由16E np ξ==，知min max1627n P ==. 所以n 的最小值是27，此时1223P P ==. 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，且椭圆C 上的点M 满足127MF =，12150MF F ∠=︒.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在一点E ，使得过点E 的任意一条直线l 与椭圆的两个交点P 、Q ，都有2211EPEQ+为定值，试求出此定值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）根据焦点坐标和焦点三角形12MF F △中利用余弦定理建立方程，然后解出方程即可； （2）先联立直线和椭圆的方程，然后根据韦达定理表示出P 、Q 两点的纵坐标的关系，进而表示出2211EPEQ+，即可求得该定值，同时也对直线l 为x 轴时检验即可 【详解】(1)依题意得：c =122F F c ==由椭圆定义知：122MF MF a += 又127MF =，则2227MF a =-，在12MF F △中，12150MF F ∠=︒由余弦定理得：2222112112122cos MF MF F F MF F F MF F =+-⋅∠即(22222222cos150777a ⎛⎫⎛⎫-=+-⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2a = 又2221b a c =-=故所求椭圆方程为：2214x y +=(2)设(),0E m 、()11,P x y 、()22,Q x y ，当直线l 不为x 轴时的方程为x ty m =+ 联立椭圆方程得：2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得：()()2224240t y tmy m +++-=根据韦达定理可得：12224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+ ()()()()212122222222221212211111111y y y y y y t y t y t EP EQ +-+=+=⋅+++ ()()()22222232828114m m t t m -++=⋅+- 当且仅当2232828m m -=+，即m =22115EP EQ +=（定值）即在x 轴上存在点E 使得2211EPEQ+为定值5，点E的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭经检验，当直线PQ 为x 轴时，上面求出的点E 也符合题意【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21．已知函数()ln f x x x =的图象曲线C 满足以下两个特性： ①过点()1,P t 存在两条直线与曲线C 相切；②曲线C 上有A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，()21201x x x <<<，且满足两点在曲线C 上等高.请完成以下两个问题.(1)求实数t 的取值范围；(2)若22121252x x k x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，且k Z ∈，求k 值. 【答案】(1)(),0∞- (2)2k =【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线方程()()ln 1ln y u u u x u -=+-，代入点()1,P t ，转化为1ln t u u -=-在()0,∞+有两解，利用导数求得()ln g x x x =-的单调性与最值，即可求解； （2）结合()f x 的单调性得到1212101,1x x ex ex e<<<<<<，令()22ln 1h x x x x =-+，利用导数求得函数的单调性转化为11122212111122x ex x x ex x ex ex ⎛⎫⎛⎫⋅--<⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到122x x e+>，构造函数()()ln 011x g x x x =<<-，利用导数求得函数的单调性，转化为1221x x e <+<，得到22121252x x k x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】(1)解：由题意，函数()ln f x x x =，可得()1ln f x x '=+， 设切点为(),u v ，则切线的斜率为()1ln f u u '=+，即有切线的方程为()()ln 1ln y u u u x u -=+-，代入点()1,P t ，即有()()ln 1ln 1t u u u u -=+-，即为1ln t u u -=-在()0,∞+有两解， 又由()ln g x x x =-，可得()11g x x'=-， 当1x >时，()0g x '<，()g x 递减； 当01x <<时，()0g x '<，()g x 递增， 所以当1x =时， ()()max 11g x g ==-，且当x →+∞时，()g x →-∞；当0x →时，()g x →-∞， 即有11t -<-，解得0t <，故实数t 的取值范围是(),0∞-. (2)①解：由()1ln f x x '=+，当10x e<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x e >时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()10f =，则有12101x x e<<<<，121ex ex <<， 令()22ln 1,01h x x x x x =-+<<，可得()2(ln 1)h x x x '=-+，令()ln 1x x x ϕ=-+，则()11x xϕ'=-， 因为01x <<，所以()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，又由()10ϕ=，所以()0x ϕ<，即()0h x '<，所以()h x 单调递减， 所以()()10h x h <=，即22ln 10x x x -+<， 所以不等式11ln ,201x x x x ⎛⎫>- ⎪⎝<<⎭成立，则()11111111111ln ln 2x x x ex x x ex x ex ⎛⎫=->⋅-- ⎪⎝⎭，222222222111ln ln 2x x x x x ex x ex ex ⎛⎫⎛⎫=--<⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11122212111122x ex x x ex x ex ex ⎛⎫⎛⎫⋅--<⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得122x x e+>， 构造函数()()ln 011x g x x x =<<-，则()()211ln 1x x g x x --'=-， 令1()ln 1,(0,1)m x x x x =+-∈，可得22111()x m x x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，可得()0m x '<，所以()m x 单调递减，又因为(1)0m =，所以()0m x <，即1ln 10x x +-<，所以11ln 0x x--< 可得()0g x '<，所以()g x 单调递减，所以()()12g x g x >， 即1212ln ln 11x x x x >--，因此()()11221122ln ln 11x x x x x x x x >--，整理得121x x +<. 因此有1221x x e <+<，故22121221055,22x x k x x e ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 若k 为整数，则2k =.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1,x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C ：()π06θρ=和3C ：()π06θρ=-，曲线1C 分别交2C ，3C 于P ，Q 两点. (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)求OPQ △的面积.【答案】(1)24cos 2ρθ=，()0y x =≥；(2)【分析】（1）先求出曲线1C 的普通方程，再求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设1π,6P ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1OP ρ==2π,6Q ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2OQ ρ==. 【详解】(1)解：由参数方程1,1,x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），可得2,2,x y t x y t +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 消去t 可得1C 的普通方程为224x y -=.又cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入224x y -=，可得2222cos sin 4,ρθρθ-=， 即1C 的极坐标方程为24cos 2ρθ=； 由极坐标方程()π06θρ=≥，可得tan θ=， 所以2C的直角坐标方程为()0y x =≥. (2)解：设1π,6P ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 2ρθ=，可得2148πcos 3ρ==，所以1OP ρ==设2π,6Q ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得2OQ ρ==所以11ππsin sin 2266S OP OQ POQ ⎛⎫=⨯⨯⨯∠=⨯+= ⎪⎝⎭23．函数()()2R f x x x a a =++-∈.(1)当2a =时，不等式()8f x ≤的解集M ；(2)若()0,1x ∈时，不等式()4f x x <+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1){}44x x -≤≤(2)12a -≤≤【分析】（1）分2x -≤、22x -<<、2x ≥三种情况解不等式()8f x ≤，综合可得出集合M ；（2）分析可得当()0,1x ∈时，2x a -<，可得出{}{}0122x x x a x a <<⊆-<<+，进一步可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】(1)解：当2a =时，()22f x x x =++-.当2x -≤时，由()2228f x x x x =--+-=-≤，可得4x ≥-，此时42x -≤≤-； 当22x -<<时，由()2248f x x x =++-=≤恒成立，此时22x -<<； 当2x ≥时，由()2228f x x x x =++-=≤，可得4x ≤，此时24x ≤≤. 综上所述，{}44M x x =-≤≤.(2)解：当()0,1x ∈时，()2f x x x a =++-，由()4f x x <+，得2x a -<，可得22a x a -<<+，因为当()0,1x ∈时，不等式()4f x x <+恒成立， 所以，{}{}0122x x x a x a <<⊆-<<+，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤， 因此，12a -≤≤.。

“皖南八校〞2021届高三第二次联考制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，那么，应选D.2. 是虚数单位，假设是纯虚数，那么实数A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】化简，由是纯虚数可得，解得，应选A.3. 向量满足，，，那么A. B. 3 C. 5 D. 9【答案】B【解析】因为，所以，应选B.........................4. 直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，那么直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的HY方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，应选A.5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍可得的图象，再向左平移个单位，所得的图象，由，，时图象的一条对称轴的方程是，应选C.6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得函数，为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，应选C.7. 假设，展开式中，的系数为-20，那么等于A. -1B.C. -2D.【答案】A【解析】由，可得将选项里面的数值代入验证可得，符合题意，应选A.8. 当时，执行如下图的程序框图，输出的值是〔〕A. 28B. 36C. 68D. 196【答案】D【解析】执行程序框图，；；；，退出循环，输出，应选D.【方法点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3) 注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4) 处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.9. 榫卯〔〕是我国古代工匠极为精巧的创造，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的紫禁城，悬空寺，的廊桥等建筑都用到了榫卯构造. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，那么其体积与外表积分别为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积，外表积，应选C.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象才能和抽象思维才能，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象才能最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 椭圆的左、右焦点分别为，假设在直线上存在点使线段的中垂线过点，那么椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为，椭圆离心率的取值范围是，应选B.11. ，且，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，那么原式化为，解得舍去〕，故，那么，即，即，，解得或者，那么，应选D.12. 函数假设关于的方程至少有两个不同的实数解，那么实数的取值范围为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】令，关于的方程至少有两个不同的实数解等价于，至少有两个不同的实数解，即函数的图象与直线至少有两个交点，作出函数的图象如下图，直线过定点，故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立，故，即，令，解得，，故，结合图象知，实数的取值范围为，应选A.【方法点睛】函数有零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：本小题4小题，每一小题5分，一共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为_________．【答案】【解析】在、中任取三个不同的数，一共有种取法，其中一定取到的方法有种，在、中任取三个不同的数取到的概率为，故答案为.14. 的面积为，角的对边分别为，假设，，，那么___________．【答案】【解析】，，，可得，所以得，由余弦定理可得，，故答案为.15. 函数是偶函数，定义域为，且时，，那么曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程成心轴对称，为，故答案为.【方法点晴】此题主要考察函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：〔1〕求出在处的导数，即在点出的切线斜率〔当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为〕；〔2〕由点斜式求得切线方程.16. 正方体的体积为1，点在线段上〔点异于点〕，点为线段的中点，假设平面截正方体所得的截面为四边形，那么线段长的取值范围为__________ ．【答案】【解析】依题意，正方体的棱长为，如下图，当点线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，平面与平面也有交线，故截面为五边形，平面截正方体所得的截面为四边形，线段的取值范围为，故答案为. ∽21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分17. 是等比数列，满足，且.〔Ⅰ〕求的通项公式和前项和；〔Ⅱ〕求的通项公式.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；〔II〕结合〔I〕的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.试题解析：〔Ⅰ〕，，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.〔Ⅱ〕由及得，时，，，，，的通项公式为.，18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的阅读网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下列图所示：〔Ⅰ)以频率估计概率，假设在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；〔Ⅱ〕求被抽查的居民使用流量的平均值；〔Ⅲ〕经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣1折2折3折4折5折销售份数50 85 115 140 160试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ).【解析】试题分析：〔I〕直接根据二项分布的期望公式求解即可；〔II〕根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕依题意，∽，故；〔Ⅱ〕依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；〔Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】此题主要考察二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点〔靠近点〕，与的延长线交于点，连接.〔Ⅰ〕求证：平面平面；〔Ⅱ〕求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：〔I〕由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的断定定理可得平面，进而由面面垂直的断定定理可得结论；〔II〕以，，分别为，，轴建立如下图的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.试题解析：〔Ⅰ〕证明：因为平面，所以又因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.〔Ⅱ)解：方法一：〔几何法)过点作，垂足为点，连接.不妨设，那么.因为平面，所以.又因为底面是矩形，所以.又因为，所以平面，所以A.又因为，所以平面，所以所以就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得，又由平行线分线段成比例定理，得.所以.所以.所以.所以二面角的正切值为.方法二：〔向量法〕以，，分别为，，轴建立如下图的空间直角坐标系：不妨设，那么由〔Ⅱ〕可得，.又由平行线分线段成比例定理，得，所以，所以.所以点，，.那么，.设平面的法向量为，那么由得得令，得平面的一个法向量为；又易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，那么.所以.所以二面角的正切值为.【方法点晴】此题主要考察线面垂直的断定定理及面面垂直的断定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和间隔 .20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，. 〔Ⅰ〕求抛物线的方程；〔Ⅱ〕假设抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；〔II〕方程为，由得，令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程.试题解析：〔Ⅰ〕的准线方程为，当点纵坐标为1时，，，势物线的方程为.〔Ⅱ〕在上，，又,设方程为，由得，令，，那么，，，，,，或者0，当时，过点〔舍〕，，方程为.21. 函数.〔Ⅰ〕假设，证明：函数在上单调递减；〔Ⅱ〕是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？假设存在，务实数的取值范围；假设不存在，请说明理由. 〔参考数据：，〕【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；〔II〕讨论时，时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕函数的定义域是.求导得.设，那么与同号.所以，假设，那么对任意恒成立.所以函数在上单调递减.又，所以当时，满足.即当时，满足.所以函数在上单调递减.〔Ⅱ〕①当时，函数在上单调递减.由，又，时，，取，那么，所以一定存在某个实数，使得.故在上，；在上，.即在上，；在上，.所以函数在上单调递增，在只有1个极值点，不合题意，舍去；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的单调情况如下表：0 ＋极小值要使函数在内存在两个极值点，那么需满足，即，解得又，，所以.此时，，又，；综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题. 假如多做，那么按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系中，直线的参数方程是〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.〔Ⅰ〕求直线的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线与曲线相交于两点，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3.【解析】试题分析：〔I〕利用代入法消去参数，将直线的参数方程化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，再利用互化公式可得到直线的极坐标方程；〔II〕将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,然后根据韦达定理以及极径的几何意义,可以得到的值.试题解析：〔Ⅰ〕由得，的极坐标方程为即，.〔Ⅱ〕由得，设，，那么，.23. 函数.〔Ⅰ〕假设，解不等式；〔Ⅱ〕假设不等式对任意恒成立，务实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；〔II〕利用根本不等式求得的最小值为，不等式对任意恒成立，等价于，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕时，，由得，不等式的解集为.〔Ⅱ〕对成立，又对成立，，，即.制卷人：打自企；成别使；而都那。

安徽六校教育研究会2022高三2月联考试卷--数学（理）数学（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时刻120分钟．2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清晰．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只一个是符合题目要求的 1.复数21(1)i+的虚部是( ) A ．0 B ．2 C ．2- D ．2i -2.命题p ：若a ，b ∈R ，则|a|+|b|>1是|a+b|＞1的充分而不必要条件． 命题q ：函数21--=x y 的定义域是(][)+∞⋃-∞-,31,，则 ( )A.“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真3.在极坐标系中，以A （0，2）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程是（ ）A.ρ=4sin θB.ρ=2C.ρ=4cos θD. ρ=2sin θ+2cos θ 4.已知集合{}Ra a M ∈+==λλ),4,3()2,1(，{}Ra a N ∈+--==λλ),5,4()2,2( ，则N M ⋂等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．φ 5.右图给出的是运算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判定框内应填入关于的条件是（ ）A.i=10B.i ≥9C.i ≤10D.i ≥11 6.若双曲线122=+my x 的一条渐近线的倾斜角∈α(0，3π),则m 的取值范畴是（ ）A.()0,3-B.()0,3-C.()3,0D.）（0,33- 7.四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图 如右图所示，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所 截得的线段长为22，则该球表面积为( )A ．9πB ．3πC ．22πD ．12π8.角α的顶点在坐标原点O,始边在y 轴的正半轴上，终边在第三象限过点P ,且43tan -=α；角β的顶点在坐标原点O,始边在x 轴的正半轴上，终边在第二象限通过点Q ，且2tan -=β，则POQ ∠cos 的值为（ ）A.55 B. 55-C. 25511D. 25511-9.在四棱柱的所有棱、面对角线及体对角线所在直线中任取两条，这两条直线异面的概率是（ ）A. 31 B. 32 C.6329 D.632210.设,10a b +<<若关于x 的不等式22)()(b x ax -<的解中恰有四个整数，则a 的取值范畴是（ ）A.13-<<-aB. 21<<aC. 32<<aD. 63<<a第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若直线y=kx +1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是 ． 12.某单位为了了解用电量y （度）与气温)(0C x 之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数据如下表：由表中数据可得线性回来方程ˆy bx a =+中的2b =-，推测当气温为10C -︒时，该单位用电量的度数约为_______度．13.高三某班级有6名同学参加自主招生，预备报考3所院校，每人只报考一所，每所院校至少报1人，则不同的报考方法为__________.（用数字作答） 14.设函数)(,)2(1)11()2()2()(211n f a x dx x x x a x f n x=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=⎰-π，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范畴为 .15.函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[,]a b 内是单调函数；（2）()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ，则称区间[,]a b 为()y f x =的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的有__________（只需填符合题意的条件序号） ①)0()(2≥=x x x f ； ②()()x f x e x =∈R ； ③)0(14)(2≥+=x x xx f ； ④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f xa 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）函数1)sin()(-+=ϕωx A x f ,00>>ω，（A ϕ)2π<的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π，且通过点)21,12(π-.(1)求函数)(x f 的单调递增区间； (2)若57)(=αf ，且∈α⎥⎦⎤⎢⎣⎡412ππ，，求)62(πα+f 的值.17.（本小题满分12分）美国NBA 总决赛采纳七局四胜制，赛前估量2020年参加决赛的两队实力相当，且每场竞赛组织者可获得200万美元，问：（1）竞赛只打4场的概率是多少？（2）组织者在本次竞赛中获利不低于1200万美元的概率是多少？ （3）组织者在本次竞赛中获利的期望是多少？18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求证：FC ∥平面EAD ； （3）求二面角B FC A --的余弦值．19.（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；ECBADF(2）设过点M 且斜率不为0的任意直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）设函数2()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>。

2021年高三第二次六校联考试卷（数学理）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1．设集合，集合，那么下列结论正确的是----( )A． B. C. D.2．方程一定有解，则的取值范围是 ------------------ （） A． B． C． D．以上都不对3．将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为------ （）．A． B． C． D．4．已知是等比数列，，则=( )A. 16（）B. 16（）C. （）D. （）5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（）A．（－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5）D．（2，4）6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，Array则函数在内有极小值点共有-------------------------------------（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为---------------------------------------------------------（）A． B．C． D．8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，设，，则函数的图象大致是--------------------------------------------------------------（）x二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9、 是的导函数，则的值是 ．10、函数的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为11、在ΔABC 12、 则实数的取值范围是 ；13、已知数列满足，，则=__ _____14、设x ，y 均为正实数，且，则xy 的最小值为三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。

安徽省六校教育研究会2021届高三联考 数学能力测试（理）个题：淮北一中六校联考个延如注意亨项:1. 各基前，考生务必将自己的姓名、考生号等埃写在答题卡和试*指定住赛上•2. 回各选择题时，选出每小袈备案后，用铅宅把各•题卡对应题目的各案标号涂，黑.如需改动'用榜•安J 〒 冷后，再选涂其他各斐标号.回各非选择题时，将备案写在答题卡上•写在本试卷上无效・3. 若试姑束后，将本试卷和各题卡一并文回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1（设全举为实数集R,集合PA. {4}B.{3,4}C. {2,3,4}D. {123.4}2.已知发数::与（z + 2）2-8i 均是纯曜数.则::的覆部为（）A.-2B.2C. -2iD. -2ifx-2y+ 4> 03.实数x,y 满足不等式组]2x + y-22 0 ,则x : + y 2的成小仙为（ [3、-）'-3三0A. 1B.2C.3D.45. 己知向量B = （1,V5）,向i 房在向鱼B 方向上的投形为一6‘若（疝+B ）上B,\ \ 1A. —B. —C. —D. 333 3 6. 在线！ ： 2x + y + 3 = 0 倾斜，。

为 a .则 sin 2a,4 4 3 A. ~~ B. ---------- C.—5557-已知点，M （2,yo ）为抛物线）尸=2px , 酮牛顺0\,则p 的侃为（）效学试也（理）.'i. 1或匚匕.2或3C. 3或2D. I 或24 2 422^54A. —B. 1C.-5 54.不定方程的整数解.问地是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富, 数学家丢花臼•谐研究下而一道不定方程整数解•的问题：已知 整数解有（）组.B.11）.2西方最早研咒不定方程的人是花腊 + y 2 = 2y\x eZ.yeZ ）则该方程炳= WxWl + Ji,xwR"集合Q = {1,23,4},则悝中阴影部分表示的染合村+ cos'a 的他为（D. ~5（p>0）上一点，F 为抛物我仙焦点，O 为坐标原点，岩则实数久的值为（8•函数/(x) = sinx + x\x.务白足+ 的， ).七充分不"条件B.，必妥不充分条件C.充耍条件D.场不充分也不必受条件9. 已知数列匠)的筋〃顼引5”=，己将故列依所均浒按照务〃纽有2”以的要求分级们202】在第几组， )A. 8B.9C. 10D. 1110. 已知三校性A - BCD涓足：AB = AC = AD. NBCD是边云为2的等边三角澎.其歼接或的申匚”涓足：瓦，左+而二6・可该三梭性的化矽.为，>112 •:X. — B. — C. — D. 16 3 311. 原。

安徽省2021-2022学年度高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·烟台模拟) 集合A={x|y=lg（x﹣2）}，B={y|y=2x ，x≥0}，则（∁RA）∩B=（）A . （0，2）B . [0，2]C . [1，2]D . （1，2）2. （2分） (2020高二下·上海期末) “ ”是“z是非零实数”的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要3. （2分）下列有关命题的说法正确的是（）A . 若x2=1，则x=1为真命题．B . 语句x2﹣2x+3＞0不是命题C . 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”D . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4. （2分） (2018高二上·吉林期中) 已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若 ,则（）A . 9B . 105. （2分）(2018·朝阳模拟) 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A . 升B . 升C . 升D . 升6. （2分）某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为（）A . 0B . 18. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A . -7B . -5C . 2D . 99. （2分） (2016高二下·珠海期末) 函数y=lnx在x=1处的切线方程为（）A . x﹣y+1=0B . x﹣y﹣1=0C . x+y+1=0D . x+y﹣1=010. （2分） (2016高一下·雅安期末) 已知向量 =（m+1，1）， =（m+2，2），若（ + ）⊥（﹣），则实数m=（）C . 2D . 411. （2分）(2017·柳州模拟) 过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·大连期中) 若方程的解为，且，则整数n的值为A . 3B . 4C . 5D . 6二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·岳池期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为________．14. （1分）(2017·衡阳模拟) 二项式（1﹣2x）6展开式中x4的系数是________．15. （1分） (2018高二上·汕头期中) 菱形ABCD的边长为2，且∠BAD＝60°，将三角形ABD沿BD折起，得到三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD体积的最大值为________16. （1分） (2019高二上·鄂州期中) 设数列满足，且（），则数列前2019项的和为________.三、解答题： (共7题；共70分)17. （10分） (2019高二下·江西期中) 的内角，，的对边分别为，，，已知，， .（1）求角；（2）若点满足，求的长.18. （15分）随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下2×2列联表：读营养说明不读营养说明合计男16420女81220合计241640（1）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从读营养说明的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率．（n=a+b+c+d）参考公式：，P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.82819. （10分） (2019高二下·南昌期中) 已知中，，，平面，，、分别是、上的动点，且 .（1）求证：不论为何值，总有平面平面；（2）为何值时，平面平面？20. （10分）(2016·浙江文) 如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，（1）求p的值；（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．21. （10分）已知 .（1）求在处的切线方程；（2）证明： .22. （10分） (2020高三上·成都月考) 在直角坐标系中，直线的方程为： ( 为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）设，的交点为，，求的面积.23. （5分）(2017·临川模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|﹣x﹣2．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且存在x0∈[﹣a，1），使得f（x0）≤0，求a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题： (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题： (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、略答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。

安徽省六校教育研究会2021-2022学年第二学期高二期末联考数学试卷时长：120分钟分值：150分命题审题人：沐方华孔祥士一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合{}42A x x =-<<，{}260B x x x =--≤，则A B ⋃=（）A.{}22x x -≤< B.{}43x x -<≤ C.{}22x x -<< D.{}43x x -<<2.已知i 为虚数单位，则复数5i 12i z =-的共轭复数z 是（）A.2i + B.2i-+ C.2i -- D.105i --3.62x⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为（）A.240 B.240- C.120 D.160-4.已知0.50.2a =，0.40.3b =，0.3log 0.2c =，则这三个数的大小关系是（）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b<< D.b a c <<5.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染0R 个人，为第一轮传染，这0R 个人中每人再传染0R 个人，为第二轮传染，…….0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数09R =，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（）A.4 B.12 C.16 D.206.将函数3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度可以得到函数()f x 的图象C ，如下结论中不正确．．．的是（）A.图象C 的对称轴方程为()1212x k k ππ=+∈ZB.图象C 的对称中心为()1,026k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z C.函数()f x 的单调递增区间()5,1212k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z D.函数()f x 的图象C 向右平移512π个单位长度可以得到函数3cos 2y x =的图象7.第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市成功举行，举世瞩目.中国奥运健儿取得了多项历史性的突破，比赛期间要安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去国家高山滑雪馆，国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每人去一个场馆，每个场馆都要有人去，则不同的方案种数为（）A.120 B.150 C.240 D.3008.已知三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，若三棱锥P ABC -O 的表面积为（）A.44116π B.323πC.36πD.16π9.化简()()sin5cos51︒+︒+︒=（）A.2 B. C.2 D.10.在ABC 中，3AC =，1AB =，O 是ABC 的外心，则BC AO ⋅ 的值为（）A .8 B.6 C.4 D.311.如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()1,4，圆222:8120C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于点P ，Q ，M ，N ，则4PM QN +的最小值为（）A.23B.26C.36D.6212.已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x ¢，若()()3220f x f x x x --++=，且当0x ≥时，()2310f x x '++<，则不等式()()213320f x f x x x +-+++≤的解集为（）A.(],0-∞ B.[)0,+∞ C.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()12x f x -=的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为______.14.已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为 1y bx =+ ，若10116i i x ==∑，10158i i y==∑，则b= ______.15.在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有8%，6%，4%的人患了流感.若这三个地区的人口数的比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若1F M =，O 为坐标原点，则双曲线C 的离心率为______.三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，求222sin sin sin A B C ++的取值范围.18.某校教职工围棋比赛的决赛在田老师和李老师之间进行.比赛采用5局3胜制（即先胜3局者获胜，比赛结束），若在每局比赛中，田老师获胜的概率为35，李老师获胜的概率为25，各局比赛结果相互独立.（1）求李老师夺冠的概率；（2）已知前2局中，田老师、李老师各胜1局.设X 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X 的分布列及方差.19.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和，已知2n S n kn =+，7a 是4a 与12a 的等比中项.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()234n n n n a b S +=，求n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且2AB =，2ABC BAD ∠=∠，2PDC π∠=，点M 为棱DP 的中点.（1）在棱BC 上是否存在一点N ，使得CM 平面PAN ，并说明理由；（2）若PB AC ⊥，二面角B CM D --的余弦值为6时，求点A 到平面BCM 的距离.21.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F分别为左右焦点，点(1P ，263P -⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的离心率；（2）过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1AB NF 取最大值时直线l 的方程.22.已知函数()11ln 1f x x a x x x =+--+⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中1,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.（1）求函数()f x 的极值点；（2）设()()224h x x kx k Z =-+∈，当31a =时，若对()0,2a ∀∈，[]1,2β∃∈，使()()0h f βα-≤，求k 的最小值.安徽省六校教育研究会2021-2022学年第二学期高二期末联考数学试卷时长：120分钟分值：150分命题审题人：沐方华孔祥士一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】C【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】ln 2【14题答案】【答案】3【15题答案】【答案】33500##0.066【16题答案】【答案】三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）π3B =（2）92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【18题答案】【答案】（1）9923125（2）X 23P 13251225()156625D X =【19题答案】【答案】（1）21n a n =+，*n N ∈（2）22223n n n ++【20题答案】【答案】（1）存在，理由见解析；（2．【21题答案】【答案】（1）3（2）()2y x =±+【22题答案】【答案】（1）答案见解析（2）3。

安徽省六校教育研究会2021届高三下学期2月
第二次联考
二、选择题，本大题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第14题至第18题只有一项符合题目要求，第19题至第21题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14.用国际单位制中的基本单位表示电场强度的单位，下列选项正确的是
A ．
B ．
C ．
D ．
15.一个运动物体的x/t-t图像如图所示，根据图像下列说法正确的是
A．物体初速度大小为b
B ．物体的加速大小为
C．a时刻物体的速度大小为0
D．0-a 时间内物体的位移大小为
16.如图所示，一名登山爱好者正在沿着崖壁（可视为竖直）缓缓下降，下降过程中可以把人近似看做一根直杆，人的腿部保持与崖壁成60°夹角。

绳的一端固定在较高处，另一端拴在人的腰间（重心处），某时刻绳与竖直方向的夹角为45°。

则在人下降到绳与竖直方向的夹角为15°的过程中
A．人的脚与崖壁的摩擦力逐渐增大
B．人的脚与崖壁的弹力在逐渐增大
C．绳子对人的拉力逐渐增大
D．绳子承受的拉力先减小后增大。