2019届六校联考高三(理数)试题

河南中原六校联谊2019高三第一次联考数学（理）数学〔理〕试题考试时间：150分钟 试卷总分值：150分本试题卷分第一卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上〔答题考前须知见答题卡〕，在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第一卷【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、复数22()ii+=A 、-3 -4iB 、-3+4iC 、3-4iD 、3+4i 2、假设某几何体的三视图如下图，那么那个几何体的直观图能够是3、如图，在平面四边形ABCD 中，假设AC=3，BD=2那么〔)()AB DC AC BD +⋅+=A 、-5B 、0C 、4D 、54、设函数32()log x f x ax+=-在区间〔1，2〕内有零点，那么实数a 的取值范围是 A 、〔-1,-log 3 2〕 B 、〔0,log 3 2〕 C 、〔log 3 2,1〕 D 、〔l,log 3 4〕5、sin cos 2,sin cos αααα+=--那么2cos sin cos ααα+的值是A 、6655-或 B 、65- C 、65 D 、456、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，那么以下说法正确的选项是 A 、假设a//b ，a//α，那么b//α B 、假设α⊥β,a//α，那么α⊥βC 、假设α⊥β，α⊥β，那么a//αD 、假设以a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，那么α⊥β7、数列{na 〕满足1211,,2a a ==同时1111()2(2)n n n n n a a a a a n ++-++=≥,那么数列的第2018项为A 、10012 B 、201212 C 、12012D 、11008、双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为〔c 为双曲线的半焦距长〕，那么双曲线的离心率为AB 、32C、2D 、239、如右边程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x 值}， 集合B={y|框图中输出的y 值}，全集U=Z 〔Z 为整数集〕， 当输入x 的值为一l 时、〔)U C A B=A 、{3,1,5}--B 、{3,1,5,7}--C 、{3,1,7}--D 、{3,1,7,9}--10、()(,())2f x x R x k k Z ππ∈≠+∈且是周期为π的函数，当x ∈〔,22ππ-〕时，()2cos .f x x x =+设(1),(2),(3)a f b f c f =-=-=-那么A 、c<b<aB 、b<c<aC 、a<c<bD 、c<a<b11、点p 〔x ，y 〕在直线x+2y=3上移动，当2x +4y取得最小值时，过点p 〔x ，y 〕引圆22111()()242x y -++=的切线，那么此切线长为A、2B 、32C 、12D、212、在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4、给出如下四个结论：①2017∈[1]; ②-3 ∈ [3]; ③z=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]; ④“整数a ，b 属于同一‘类”的充要条件是“a-b ∈[0]” 其中，正确结论的个数是 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4第二卷本卷包括必考题和选考题两部分。

7.已知x , y 满足约束条件 ，若z=ax+y 的最大值为 4,贝U a=（ ）广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）（2 月份）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）x1.设集合 A={x|y=lg （1-x ） }, B={ yy=2 }，则 A AB=（）A. B. C.D.2.若复数z=2i+一，其中i 是虚数单位，则复数 z 的模为（）A. -B. _C. -D. 23.等差数列{ a n }中，若 a 4+a 6+a 8+a io +a i2=12O ，贝a 9--的值是（）A. 14B. 15C. 16D.174.已知函数y=sin （曲+-）向右平移-个单位后，所得的图象与原函数图象关于x 轴对称，则3的最小正值为（） 5.在 一的展开式中，x 2的系数是224，则一的系数是（）A. 14B. 286.函数f (x ) =e x ?ln|x|的大致图象为()9. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法， 其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为-和- （a ，b ，c ，d €N *），则 —— 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道n =3.14159…，若令一V nv-，则第一次用“调日法”后得 一是n 的更为精确的过剩近似值，即 一V nv —，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得 n 的近似分数为（）A. —B. -C. -D.—210. 设F 为抛物线y =2px 的焦点，斜率为k （ k >0）的直线过F 交抛物线于A 、B 两点，若|FA|=3|FB|，则直线AB 的斜率为（）A. -B. 1C. -D.-11. 已知 f （x ） =log a （a - +1） +bx （a >0，a 工1 是偶函数，则（）A. -且—B. -且—C. _且 __D. _且 __12. 已知函数 f （x ） =|xe x+11，关于 x 的方程f 2 （x ） +2sin a f （x ） +cos a =0有四个不等实根，sin «cos成立，则实数 入的最大值为（）A. 3B. 2C.8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为 2的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.A. 1B. 2C.-D. 3C. 56D.112F 分别是PC , PB 的中点，记平面 AEF 与平面ABC 的交线为直线l .（I ）求证：直线l 环面PAC ;（n ）直线l 上是否存在点 Q ,使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在，求出|AQ| 的值；若不存在，请说明理由.14.已知向量=（1, 一）， __________________________________________ = （3, m ）,且在 上的投影为3，则向量 与 夹角为15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有 各种花纹，构成种类繁多的图案•如图所示的窗棂图案，是将半径为 R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形•现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落 在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是 __________________________ •16. _______________________________________________________________________________________ 数列b n =a n COS —的前n 项和为S n,已知S 2017=571O ,2018=4030,若数列｛a n ｝为等差数列，则S 2019=__________________________________________________________________________________________18.如图，C 是以AB 为直径的圆 O 上异于 A , B 的点，平面 PAC 丄平面ABC , PA=PC=AC=2 , BC=4, E ,部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.、填空题（本大题共4小题，共20.0 分） 13.已知 sin 0 +cos 」二则 tan19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用 情况，通过抽样，得到 100位教师近2年每人手机月平均使用流量L （单位：M ）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回 答以下问题.三、解答题（本大题共 7小题，共82.0分）17. △ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为2a ,b ,c , 且 asinAsinB+bcosA=—a .（I ）求一;(n )若 c 2=a 2+-，求角 C .套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M ）A 20 300B 30 500 C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮 用户充值200M 流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值 200M 流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用. 学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余（1） 从该校教师中随机抽取 3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过 300 M 的概率;（2） 现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：20. 如图，设点A, B的坐标分别为(-一，0),( 一，0),直线AP, BP相交于点P，且它们的斜率之积为--.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C i的参数方程为(0为参数)，以原点Q为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p =4sin 0(I )求曲线C i的普通方程和C2的直角坐标方程；(n )已知曲线C3的极坐标方程为0 =a 0< av n, p€R,点A是曲线C3与C i的交点，点C3与C2的交点，且A, B均异于原点O,且|AB|=4 —，求实数a的值.(1)求P的轨迹方程;(2)设点P的轨迹为C,点M、N是轨迹为C上不同于A, B的两点，且满足AP IOM , BP/QN，求23. 已知函数f (x) =2|x+a|+|x-1 (a工0 .(1)当a=1时，解不等式f (x)< 4;(2)求函数g (x) =f (x) +f (-x)的最小值.证：A MON的面积为定值._ 2x21. 已知函数f (x) =(1 + x) e-, g (x) =ax+—+1+2xcosx，当x€[0, 1]时,(I )若函数g (x)在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值;(n )求证：1-x<f (x)冬(川)若f (x)词(x)恒成立，求实数a的取值范围.x轴的正半B是曲线答案和解析1. 【答案】C【解析】解：'.1-x >0, -'x v 1, .'A= -x, 1),••2x>0, /B= 0, +x),••A n B= 0, 1).故选:C.求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果. 本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题.2. 【答案】B【解析】解: ••复数z=2i+ =2i+ =2i+1-i=1+i , 1+/11+汕I - J • •|z|=d + L =:,故选：B.利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z,再根据复数的模的定义求得复数z的模.本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幕运算性质，求复数的模，属于基础题.3.【答案】C【解析】解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120,得a8=24, j [ i i ?所以a9- 二.3a9-a11) =. a9+a7+a11-a11) =. a9+a7) = . =164 J J J J f 故选:C.先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a g，再用性质求解.本题主要考查等差数列的性质. 解：函数y=sin © x+ )向右平移个单位后得到$ 4.1y=sin[ 4- )+ ]=sin ©x ©+ )的图象，1J 1f 1J1J••所得的图象与原函数图象关于x轴对称，JI J| JI /I•'sin ©x ©+ )=-sin © x+ )=sin © x+ + n ,1 J -I J 4 J 1 JJI J I II•'- ©+ = + n +2k, n €Z，解得©二6k-3,1| 1 J 4 J.•当k=-1时，©取最小正数3,故选:D.由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得©的方程，解方程给k取值可得.本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题.5.【答案】A【解析】解：因为在的展开式中，•^ ,■令2n-2r=2, r= n-1,则22C2n n-1=224, .92n n-1=56. /n=4.再令8-2r=-2, /r=5.,则京为第6项.C? 144 £■则弟的系数是14.故选:A.首先分析题目已知在的展开式中，X2的系数是224,求"的系数，首先求出在陡4宵侮的展开式中的通项，然后根据x2的系数是224,求出次数n的值，再根据通项求出右为第几项，代入通项求出系数即可得到答案.此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求4.【答案】D一系列的问题.有一定的技巧性，属于中档题目.同学们需要很好的掌握.5.【答案】D解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外解：函数f X）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C,D, 当X—+x,f X）f +X,排除B, 故选:A.判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可. 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键.7. 【答案】B 【解析】则 A 2,0)，1,1),若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2, 此时，目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z,平移直线y=-2x+z，当直线经过A 2,0）时，截距最大，此时z最大为4,满足条件, 若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+仁4,解得a=3, 此时，目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z,平移直线y=-3x+z，当直线经过A 2,0）时，截距最大，此时z最大为6,不满足条件, 故a=2,故选：B.由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为」.本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题.解：第一次用调日法”后得謬是n的更为精确的过剩近似值，即V*』47 47 1 （I 第二次用调日法”后得是n的更为精确的过剩近似值，即I N第三次用调日法”后得’’是n的更为精确的过剩近似值，即=V nV'',Ml I 1 [J 三I}第四次用调日法”后得’是n的更为精确的过剩近似值，即V nV ',i丄』f故选:A.利用调日法”进行计算，即可得出结论.本题考查调日法”考査学生的计算能力，比较基础.10.【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值. 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此解：假设A在第一象限,类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键. 过A ,B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ,E, 过A作EB的垂线，垂足为C,则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|=|AF|, |BE|=|BF|,6.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）9.【答案】A 【解析】又・.|AF|=3|BF|,J AD|=|CE|=3|BE|，即B为CE的三等分点,设|BF|=m,则|BC|=2m, |AF|=3m, |AB|=4m ,即|AC|= 曲仁忒平=h . = j m=2 , m,则tan Z ABC= =l"「l 2“即直线AB的斜率k=,故选：D.11.【答案】C【解析】解：\f X)=log a a-x+1)+bx a>0, a^1 是偶函数，••f (x)=f X),§lOg a a X+1)-bx=log a a-X+1)+bx,•■Iog a a x+1)-bx=log a a x+1)+ b-1)x,l•■-b=b-1,「b=,.■f x)=log a a-x+1) + . x,函数为增函数,••a+ >2= ,f a+.)> ().故选:C.利用函数的偶函数，求出b,确定函数单调递增，即可得出结论.本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 解:f x)=|x e x+1|= ，当x》O寸，f'x)=e x+1+xe x+1恒成立，所以f x)在0,+〜上为增函数；当x v0 时，f'x)=-e x+1-xe x+1=-e x+1 x+1),由f'x)=0,得x=-1，当x € 0,-1)时，「x)=-e x+1 x+1 )»,f x)为增函数,当x € -1,0)时，f'x )=-e"+1 x+1 )<0,f x)为减函数,所以函数f x)=|xe"+1|的极大值为f -1)=| -1)e°|=1,极小值为：f 0)=0,令f x)=m，由韦达定理得：m1+m2=-2sin a m1?m2=cos a此时若sin >0,则当m1v0,且m2v0,此时方程f2 x)+2sin a ?x)+cos a =至多有两个实根，若sin v 0,则当m1>0,且m2>0,要使方程f2 x)+2sin a ?x)+COS a =有四个实数根,则方程m2+2sin a m+cos a应有两个不等根，且一个根在(0, 1 )内，一个根在1,+x)内，再令g m)=m2+2sin a m+cos a因为g 0)=cos a> 0,①△=4sin2 a-4cos > 0,贝U 1-cos2 a-cos a> 0,②则只需g 1)<0，即1+2sin a +cos v0,所以0v cos v-1-2sin a ③由①②解得:0<cos< —-，④1 3 v 5 - 1由③④得到:sin v , , v cos v ,所以sin -cos av -=-,根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可. 本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键.12.【答案】A 【解析】共11页12.【答案】A【解析】为增函数，在（1,0）上为减函数，求得函数f x）在-g,o）上，当（=-1时有一个最大值，所以,if 要使方程f2 x）+tf x）+仁o t€R）有四个实数根，f X）的值一个要在（0，）内，一个在（，+〜内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解a的取值范围. 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2 x）+2sin a硃）+COS a =0 有四个实数根时f X）的取值情况，此题属于中高档题.13.【答案】-4【解析】解: '.sin 0 +cos 0=，故答案为：•b根据在密■方向上的投影是| | X cos B列出方程求出m的值，再计算、的夹角B的值. 本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目.15.【答案】2-【解析】解：连接A、B、0,得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为I 2 2 2S 阴影=12X（ XnR X R X si n60）=2n3 ；）R，又圆的面积为S圆=nR,/. Sin 0+cO s=0+2sin 0 cos 0，「sin 0 cos- 0 =故答案为:-4.把已知等式两边平方可得sin 0 cos的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果. 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.14.【答案】- 【解析】解:'在方向上的投影为3，且| |= ■丨=2，? =3+、, : m;一一帚-b、爲“•I X cos 0 =X = . =3;| n I x | [r | 2解得m= ■，•| |=2••cos 0==，故答案为：二.j I由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值. 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.16.【答案】666【解析】解：设数列｛a n｝为公差d的等差数列，订2^4育5n-a1cos +a2cos +a3cos n ^cos +a5cos +a6cos2 nI I=.a1-a2) + . a5-a4)-a3+a6=-a3+a6 . '^.则tan(XHiO 1SmO COfiOfilTlB利用几何概型的概率公式计算所求的概率为可得5710=-龟+电+…+a2013)+ a6+a12+…+a2010+a2016)+二a2017,本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了4030=-鈍+*9 +…+a2013)+ a6+a12+…+a2010+a2016)+启a2017-^ a2018，两式相减可得§018=3360，由5710=1008d+ 3360-d)，解得d=4，则3n=a2018+ *-2018)^=4n-4712,可得S2o19=4O3O-a2o19=4O3O- 4^019-4712)=666.故答案为：666.求得数列｛b n｝的前6项之和，再由S2017=571O, S2018=4O3O,表示数列｛a n｝的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和.本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考査推理能力与计算能力，属于中档题.17.【答案】(本题满分为12分)解：(I)由正弦定理得，- ，…(3分)即- ，故- ，所以--.…(6分)(II )设b=5t (t> 0)，贝U a=3t，于是- -即c=7t.…(9分)由余弦定理得 ------- -------------- -.所以一.…(12分)【解析】()由正弦定理化简已知等式，整理即可得解.(I)设b=5t (>0)，由I )(可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，禾U用特殊角的三角函数值即可求解.••直线I上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余, AQ|=1.(I)利用三角形中位戋定理推导出BC/面EFA，从而得到BC//，再由已知条件推导出BC1面计算能力和转化思想，属于中档题.18.【答案】(I )证明：・.E，F分别是PB，PC 的中点，「BC/EF，又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA，••BC 面EFA，又BC?面ABC，面EFA 门面ABC=I，••BC /，又BC _bAC，面PAC 门面ABC=AC，面PAC 1面ABC，/BC _L面PAC，• 1面PAC.(2)解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A (2，0, 0)，B ( 0, 4, 0)，P (1, 0，_), E( -，, —)，F ( -， ,—)，设Q ( 2, y, 0)，面AEF的法向量为则_ _ ,取z=—得—|cos v , > |= -= ----------------- ,|cos v , > |= -= ------------------ ,依题意，得|cos v , > |=|cos v , > |, •■y=±1.【解析】PAC，由此证明11面PAC .2) 以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线I上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余, |AQ|=1.本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.19. 【答案】解：(1 )记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P ( D) = ( 0.0008+0.0022) X100=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X〜B (3，0.3)，••从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率为：P (X=0) +P (X=1) = =0.784. (2)依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L €( 300，500］的概率为：(0.0025+0.0035) X100=0.6，L €( 500，700］的概率为：(0.0008+0.0002 ) X100=0.1，当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，则X 的所有可能取值为20，35，50,且P (X=20) =0.3，P (X=35) =0.6，P (X=50) =0.1，••X的分布列为：• () 仁(元).当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为丫元，则丫的可能取值为30，45,且P (Y=30) =0.3+0.6=0.9，P (Y=45) =0.1，••丫的分布列为：D)=0.3, 从亥校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X , 则X〜B 0,0.3)，由此能求出从亥校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率.2) 依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L €300,500］的概率为0.6, L €500,700］的概率为0.1,分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B套餐最经济.本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考査统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题.20. 【答案】(1 )解：由已知设点P的坐标为(x, y),由题意知一=—= -(x ■),化简得P的轨迹方程为一一 (x —)•••( 5分)(2)证明：由题意M , N是椭圆C上非顶点的两点，且AP /OM , BP/QN ,则直线AP, BP斜率必存在且不为0，又由已知k Ap k BP=--.因为AP /QM , BP/ON，所以k oM k oN=--・・・(6分)设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程一一，得(3+2m2) y2+4mty+2『-6=0 ••©,•••( 7分) 设M , N 的坐标分别为M (X1, yj, N(X2, y2),贝U y什y2= ------- ,yy2= --------- ••( 8 分)2 2所以k oM k oN= ---------- =h，得2t =2m +3•••( 10 分)又S^VION h|t||y1-y2| ------------- j ,即A MON的面积为定值—…(12分)【解析】E Y=30 X0.9+45 .1=31.5当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元，则Z的所有可能取值为38,且P (Z=38) =1，E ( Z) =38X1=38，•E (Y)v E (X)v E ( Z),••学校订购B套餐最经济.【解析】If 2 L1) 由题意知• x,U；)，可求3的轨迹方程；厂丄1广■-—fi q2) 设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程,，利用k OM k O N=「二，得J * jf・一liw2t2=2m2+3，即可证明结论.本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题.1)记从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M为事件D，依题意，P2 21. 【答案】解：(I) g'(x) =a+-x+2 (cosx-xsinx),函数g (x)在x=0处的切线与x轴平行，则g'( 0) =a+2=0 , 得a=-2. (II)证明：①当x€[0, 1)时，(1+x) e"2x>-x? (1+x) e-x>( 1-x) e x,令h (x) = (1+x) e-x_ (1-x) e x,则h'(x) =x (e x-e-x).当x€[0, 1)时，h '( x) >0••h (x)在[0, 1)上是增函数，:h (x) >1 (0) =0,即f (x) >lx.x x x②当x€[0, 1)时，f (x) <—? e > 1+,令u (x) =e -1-x，贝u'( x) =e -1. 当x€[0,1)时，u'(x) >0•'u (x)在[0 , 1)单调递增，「u (x) >J (0) =0,• (x) <—,综上可知：1-x夸(x) ^―；2 v 3(川)解：设G (x) =f (x) -g (x) = (1+x) e - (ax+-x+1+2xcosx)3>!-x-ax-1--x -2xcosx=-x (a+1 + —+2cosx)令H (x) =—+2cosx，则H '( x) =x-2sinx, 令K (x) =x-2sinx,贝V K'( x) =1-2cosx.当x€[0, 1)时，K'( x)v 0,可得H '( x)是[0 , 1)上的减函数，••H '(x)哥'(0) =0，故H (x)在[0 , 1)单调递减，••H (x) 哥(0) =2. /a+1 + H (x)它+3 .••当a =3 时，f (x) (x)在[0, 1) 上恒成立.下面证明当a>-3时，f (x)司(x)在[0, 1)上不恒成立.3f (x) -g (x) <—-(1 + ax+_x+2xcosx) =-x (—+a+一+2cosx)22. 【答案】解：(I)由曲线C1的参数方程为(0为参数)，消去参数得曲线C1的普通方程为(x-2) 2+y2=4 .••曲线C2的极坐标方程为p =4sin ,2•'•p =4 p sin, 0•C2的直角坐标方程为x2+y2=4y,整理，得x2+ (y-2) 2=4.2 2(n )曲线C1 : (x-2) +y =4化为极坐标方程为p =4cos, 0设A ( P1, a1), B ( p, a2),••曲线C3的极坐标方程为0 =a 0v av n p€R,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点，且A, B均异于原点O,且|AB|=4 —,•■|AB|=| 1pp|=|4sin -4a os a |=4 |sin ( 一)|=4 -,/sin ( -) =±1,'•0 V aV n •. 一v v—,•- _,解得—.【解析】令v (x) =—+a+—+2cosx=—+a+H (x)，贝y v'( x) =------------------ +H ' (x)当x€[0, 1)时，v' ( x) <0,故v (x)在[0 , 1)上是减函数，:v (x) € (a+1+2cos1, a+3].当a> -3 时，a+3 > 0. ••存在x o€ (0, 1)，使得v (x o)> 0,此时，f (x o)v g (x o). 即f (x) (x)在[0 , 1)不恒成立. 综上实数a的取值范围是(-a, -3]. 【解析】(I)由线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为p=4 p sin, 0由此能求出C2的直角坐标方程.(U)线C1化为极坐标方程为p =4cos,0设A p, a),B p, a)，从而得到-TT|AB|=| p p|=|4sin -4cos a |=4? |sin ( 〔)|=4\宀,进而sin ( 〔)= ±，由此能求出结果. 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐I)求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可;(U ① 当x €[0,1)时,1(+x)e'2x>-x? 1+x)e-x >Q-x)e x，令h * )= (l+x)e-x- (l-x )e x，利用导数得到h x)的单调性即可证明；②当x €0,1)时，f x )< 1? e x> 1+x令u * )=e x-1-x，利用导数得出h %)的单调性即可证明.I + JT(川)利用(U)结论得到 f x)>-x，于是G x)=f x)-g x)>x a+1+ +2cosx).再令d x)=+2cosx,通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围.本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力.标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.23. 【答案】解：(1 )当a=1时，f (x)v 4, 即为2|x+1|+|x-1|V 4，当x》l时，2 (x+1 ) +x-1 V 4，解得x€?；当x^1 时，-2 (x+1) +1-x v 4，解得V x<-1 ；当-1 V x v 1 时，2x+2+1-x v 4，解得-1 V x v 1 ；则原不等式的解集为(一，1);(2)函数g (x) =f (x) +f (-x)=2|x+a|+|x--|+2|x-a|+|x+-|> 2x+a-x+a|+|x-_-x-_|=4|a|+|—|—=4 ，当且仅当(x+a) (x-a) <0,且(x--)(x+_) <0,且4|a|=|-|时，取得则g (x)的最小值为4 一. 【解析】1）通寸讨论x的范围，求出不等式的解集即可；2）根据&对值不等式的性质求出g x）的最小值即可. 本题考查了解绝对值不等式问题，考査绝对值不等式的性质, 是一道中档题. 等号，考査分类讨论思想，转化思想,。

广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案. 方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。

广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若满足约束条件则的最大值为______________．【答案】2514.若，则的展开式中常数项为______________．【答案】24015.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【答案】16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【答案】(-1,3)三、解答题：共70分。

广东省六校2019届高三第一次联考数学试题及答案（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -12．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)AB =+∞B ．(](),0UC A B =-∞C ．(){2,1,0}U C A B =--D ．(){1,2}U C A B =3．如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a =（ ）A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2 4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =；④()21f x x =+．其中“同簇函数”的是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ） A ．16 B ．163C ．64+163D ． 16+3346．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]7．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=( ) A.98 B.913 C ．98- D ．913- 8．定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-，其中a b、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）正视图俯视图侧视图A 1C A ． 13822=+y x B ． 14922=+y x C ．18922=+y x D ．191622=+y x第二部分 （非选择题 满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） 必做题（9~13题）9．已知数列{}n a 的首项11=a ，若N n *∀∈，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．10．执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ．11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种(用数字作答) ．12．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内 （含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AA 的概率=p ．13.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k ，已知函数(),()k f x k f x k ⎧=⎨>⎩，取函数()f x =xex ---3．若对任意的x ∈（-∞，+∞），恒有()k f x =()f x ，则k 的最小值为 ． 选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点π4⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A作l三、的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=．解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分)设(6cos ,a x =, (cos ,sin 2)b x x =,()f x a b =⋅ （1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合； （2）若锐角α满足()3f α=-4tan 5α的值．第15题图17．(本小题满分12分) 某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ．F 、G 分别是CE 、AD 的中点．现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为0135．（1）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ； （2）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．19．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OA OP +与共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有(1)n n S m ma =+-（m 为正常数）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）数列{}n b 满足11112,,(2,)1n n n b b a b n n N b -+-==≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21. (本小题满分14分)设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (Ⅰ)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ)令21()()2a F x f x ax bx x =+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．参考答案一、选择题 D C C C D D C B 二、填空题 9．⎩⎨⎧-=是正偶数是正奇数，2 , 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a ； 10．4； 11． 30； 12．43； 13． 2； 14. cos 2ρθ= 15. 30º 16．解：（1）解：2()6cos 2f x a b x x =⋅= …………………1分1cos 2622x x +=⨯3cos23x x =+1sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭…3分236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……4分 最小正周期22T π==π ……5分 当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x有最大值3，此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈．………7分（2）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭…9分又由02απ<<得 2666απππ<+<π+， 故26απ+=π，解得512α=π．……11分从而4tan tan 53απ== ………………12分17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分 来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分∴3502()12257P M ==． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分 （3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分 ∴ξ的分布列为： …12分18．（1）证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，DE，∴ AE ⊥平面CDE ， ……3分AE ⊂平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ．……5分（2）（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系……6分 DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135，……7分1=AB ，2=BC ，21+=CD ，∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1）．……9分F 、G 分别是CE 、AD 的中点，∴F 1002（，，），G 11122-（，，） ……10分∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-，……11分由（1）知AE 是平面DCE 的法向量， ……12分设直线FG 与面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin ||||33||||22FG AE FG AE α⋅-===⋅⨯，故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为23． ……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分由（1）知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，22=EH ……8分 因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135…9分在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EHEF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 222211152(422224=+-⨯⨯-=（或25=FH ）……11分（列式1分，计算1分） ⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中， 2322=+=FH GH GF ……13分 所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为32sin ==∠GF GH GFH ……14分 19．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， ……1分离心率23=e，右焦点为)0 , 3( F ，∴c c a ==∴2a =，21b =…… 3分 故椭圆C 的方程为2214x y +=．…… 4分 （2）假设椭圆C 上存在点P （00,x y ），使得向量+与共线，……5分00(,1)OPOA x y +=+，(FA =，∴001)x y =+ （1） ……6分又点P （00,x y ）在椭圆2214x y +=上，∴220014x y +=（2） ……8分 由（1）、（2）组成方程组解得：(0,1)P -，或1(,)77P -， (11)分 当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =， 当点P的坐标为1()7P 时，直线AP440y -+=， 故直线AP 的方程为0y =440y -+=． ……14分20．解：（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．…………………1分当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．…………………2分 又m 为常数，且0m >，∴1(2)1n n a m n a m-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．……………………4分 （2）解：1122b a ==…5分 ∵111n n n b b b --=+，∴1111n n b b -=+，即1111(2)n n n b b --=≥．…7分∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………8分∴1121(1)122n n n b -=+-⋅=，即2()21n b n N n *=∈-．……………………………9分（3）解：由（2）知221n b n =-，则122(21)n n nn b +=-．所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， …10分 即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ……11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ②………12分②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------，……………………13分故31112(12)2(21)22(23)612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分21.解：（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a b ==时，211()ln 42f x x x x =--，111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=………………2分 令，解得 1.(0)x x =>因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减。

广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|y=lg（1-x）}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A. (0,+∞)B. [−1,0)C. (0,1)D. (−∞,1)2.若复数z=2i+21+i，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A. √22B. √2C. √3D. 23.等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9-13a11的值是（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知函数y=sin（ωx+π3）向右平移π3个单位后，所得的图象与原函数图象关于x轴对称，则ω的最小正值为（）A. 1B. 2C. 52D. 35.在(2x+12x )2n的展开式中，x2的系数是224，则1x2的系数是（）A. 14B. 28C. 56D. 1126.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A. B.C. D.7. 已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z =ax +y 的最大值为4，则a =（ ）A. 3B. 2C. −2D. −38. 如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π9. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和dc （a ，b ，c ，d ∈N *），则b+da+c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令3110＜π＜4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）A. 227B. 6320C. 7825D.1093510. 设F 为抛物线y 2=2px 的焦点，斜率为k （k ＞0）的直线过F 交抛物线于A 、B 两点，若|FA |=3|FB |，则直线AB的斜率为（ ）A. 12B. 1C. √2D. √311. 已知f （x ）=log a （a -x +1）+bx （a ＞0，a ≠1）是偶函数，则（ ）A. b =12且f(a)>f(1a ) B.b =−12且f(a)<f(1a ) C.b =12且f(a +1a )>f(1b )D. b =−12且f(a +1a )<f(1b )12. 已知函数f （x ）=|xe x +1|，关于x 的方程f 2（x ）+2sinα•f （x ）+cosα=0有四个不等实根，sinα-cosα≥λ恒成立，则实数λ的最大值为（ ）A. −75B. −12C. −√2D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知sinθ+cosθ=√22，则tan θ+1tanθ=______．14. 已知向量a ⃗ =（1，√3），b ⃗ =（3，m ），且b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为3，则向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角为______．15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是______．16. 数列b n =a n cos nπ3的前n 项和为S n ，已知S 2017=5710，S 2018=4030，若数列{a n }为等差数列，则S 2019=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A sin B +b cos 2A =53a ．（I ）求ba ；（Ⅱ）若c 2=a 2+85b 2，求角C ．18. 如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，PA =PC =AC =2，BC =4，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ． （Ⅰ）求证：直线l ⊥平面PAC ；（Ⅱ）直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在，求出|AQ |的值；若不存在，请说明理由．19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回答以下问题．（1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率；（2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20300B30500C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．20.如图，设点A，B的坐标分别为（-√3，0），（√3，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-2．3（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON 的面积为定值．21.已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x3+1+2x cosx，当x∈[0，1]时，2（Ⅰ）若函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）求证：1-x≤f（x）≤1；1+x（Ⅲ）若f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =2sinϕx=2+2cosϕ（φ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=4√2，求实数α的值．23. 已知函数f （x ）=2|x +a |+|x -1a |（a ≠0）．（1）当a =1时，解不等式f （x ）＜4； （2）求函数g （x ）=f （x ）+f （-x ）的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵1-x＞0，∴x＜1，∴A=（-∞，1），∵2x＞0，∴B=（0，+∞），∴A∩B=（0，1）．故选：C．求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果．本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1-i=1+i，∴|z|==，故选：B．利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z，再根据复数的模的定义求得复数z的模．本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，所以a9-=（3a9-a11）=（a9+a7+a11-a11）=（a9+a7）==16故选：C．先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解．本题主要考查等差数列的性质．4.【答案】D【解析】解：函数y=sin（ωx+）向右平移个单位后得到y=sin[ω（x-）+]=sin（ωx-ω+）的图象，∵所得的图象与原函数图象关于x轴对称，∴sin（ωx-ω+）=-sin（ωx+）=sin（ωx++π），∴-ω+=+π+2kπ，k∈Z，解得ω=-6k-3，∴当k=-1时，ω取最小正数3，故选：D．由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得ω的方程，解方程给k取值可得．本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题．5.【答案】A【解析】解：因为在的展开式中，，令2n-2r=2，r=n-1，则22C2n n-1=224，∴C2n n-1=56．∴n=4．再令8-2r=-2，∴r=5．，则为第6项．∴．则的系数是14．故选：A．首先分析题目已知在的展开式中，x2的系数是224，求的系数，首先求出在的展开式中的通项，然后根据x2的系数是224，求出次数n的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出系数即可得到答案．此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．同学们需要很好的掌握．6.【答案】A【解析】解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当x→+∞，f（x）→+∞，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外接球半径为．所以表面积为8π．故选：C．由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为．本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题．9.【答案】A【解析】解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故选：A．利用“调日法”进行计算，即可得出结论．本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．10.【答案】D【解析】解：假设A在第一象限，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=3|BF|，∴|AD|=|CE|=3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|=m，则|BC|=2m，|AF|=3m，|AB|=4m，即|AC|===m=2m，则tan∠ABC===，即直线AB的斜率k=故选：D．根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可．本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：∵f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即log a（a x+1）-bx=log a（a-x+1）+bx，∴log a（a x+1）-bx=log a（a x+1）+（b-1）x，∴-b=b-1，∴b=，∴f（x）=log a（a-x+1）+x，函数为增函数，∵a+＞2=，∴f（a+）＞f（）．故选：C．利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：f（x）=|xe x+1|=，当x≥0时，f′（x）=e x+1+xe x+1≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=-e x+1-xe x+1=-e x+1（x+1），由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x+1|的极大值为f（-1）=|（-1）e0|=1，极小值为：f（0）=0，令f（x）=m，由韦达定理得：m1+m2=-2sinα，m1•m2=cosα，此时若sinα＞0，则当m1＜0，且m2＜0，此时方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0至多有两个实根，若sinα＜0，则当m1＞0，且m2＞0，要使方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根，则方程m2+2sinαm+cosα=0应有两个不等根，且一个根在（0，1）内，一个根在（1，+∞）内，再令g（m）=m2+2sinαm+cosα，因为g（0）=cosα＞0，①△=4sin2α-4cosα＞0，则1-cos2α-cosα＞0，②则只需g（1）＜0，即1+2sinα+cosα＜0，所以0＜cosα＜-1-2sinα，③由①②解得：0＜cosα＜，④由③④得到：sinα＜，＜cosα＜，所以sinα-cosα＜-=-，∴λ≤-．故选：A．函数f（x）=|xe x+1|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解α的取值范围．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．13.【答案】-4【解析】解：∵sinθ+cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=-．则tan=．故答案为：-4．把已知等式两边平方可得sinθcosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．14.【答案】π6【解析】解：∵在方向上的投影为3，且||==2，•=3+m；∴||×cosθ=||×==3；解得m=，∴||=2；∴cosθ==，由θ∈[0，π]，∴、的夹角θ为．故答案为：．根据在方向上的投影是||×cosθ，列出方程求出m的值，再计算、的夹角θ的值．本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．15.【答案】2-3√3π【解析】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影=12×（×πR2-×R2×sin60°）=（2π-3）R2，又圆的面积为S圆=πR2，利用几何概型的概率公式计算所求的概率为P===2-．故答案为：．由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．16.【答案】666【解析】解：设数列{a n}为公差d的等差数列，a1cos+a2cos+a3cosπ+a4cos+a5cos+a6cos2π=（a1-a2）+（a5-a4）-a3+a6=-a3+a6．…．由S2017=5710，S2018=4030，可得5710=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017，4030=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017-a2018，两式相减可得a2018=3360，由5710=1008d+（3360-d），解得d=4，则a n=a2018+（n-2018）×4=4n-4712，可得S2019=4030-a2019=4030-（4×2019-4712）=666．故答案为：666．求得数列{b n}的前6项之和，再由S2017=5710，S2018=4030，表示数列{a n}的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和．本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=53sinA，…（3分）即sinB(sin2A+cos2A)=53sinA，故sinB=53sinA，所以ba=53．…（6分）（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是c2=a2+85b2=9t2+85⋅25t2=49t2．即c=7t．…（9分）由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =9t2+25t2−49t22⋅3t⋅5t=−12．所以C=2π3．…（12分）【解析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴BC ∥EF ，又EF ⊂平面EFA ，BC 不包含于平面EFA ， ∴BC ∥面EFA ，又BC ⊂面ABC ，面EFA ∩面ABC =l ， ∴BC ∥l ，又BC ⊥AC ，面PAC ∩面ABC =AC ， 面PAC ⊥面ABC ，∴BC ⊥面PAC ， ∴l ⊥面PAC ．（2）解：以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，A （2，0，0），B （0，4，0），P （1，0，√3）， E （12，0，√32），F （12，2，√32），AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，0，√32)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0)， 设Q （2，y ，0），面AEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，则{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−32x +√32z =0EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2y =0，取z =√3，得m ⃗⃗⃗ =(1，0，√3)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，y ，−√3)， |cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|2y2√4+y 2|=|y|√4+y 2， |cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|=|1−32√4+y 2|=1√4+y 2，依题意，得|cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|， ∴y =±1． ∴直线l 上存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余，|AQ |=1． 【解析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC ∥面EFA ，从而得到BC ∥l ，再由已知条件推导出BC ⊥面PAC ，由此证明l ⊥面PAC ．（2）以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.【答案】解：（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=（0.0008+0.0022）×100=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），∴从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率为：P（X=0）+P（X=1）=C30(0.3)0(0.7)3+C31(0.3)(0.7)2=0.784．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为：（0.0025+0.0035）×100=0.6，L∈（500，700]的概率为：（0.0008+0.0002）×100=0.1，当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，则X的所有可能取值为20，35，50，且P（X=20）=0.3，P（X=35）=0.6，P（X=50）=0.1，∴X的分布列为：X 20 35 50P 0.3 0.6 0.1∴E（X）=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32（元）．当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y元，则Y的可能取值为30，45，且P（Y=30）=0.3+0.6=0.9，P（Y=45）=0.1，∴Y的分布列为：Y 30 45P 0.9 0.1E（Y）=30×0.9+45×0.1=31.5，当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元，则Z的所有可能取值为38，且P（Z=38）=1，E（Z）=38×1=38，∵E（Y）＜E（X）＜E（Z），∴学校订购B套餐最经济．【解析】（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），由此能求出从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L ∈（300，500]的概率为0.6，L ∈（500，700]的概率为0.1，分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B 套餐最经济．本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题． 20.【答案】（1）解：由已知设点P 的坐标为（x ，y ），由题意知yx+√3⋅yx−√3=−23（x ≠±√3），化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1（x ≠±√3）…（5分）（2）证明：由题意M ，N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ， 则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP k BP =-23． 因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM k ON =-23…（6分） 设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得（3+2m 2）y 2+4mty +2t 2-6=0…①，…（7分）设M ，N 的坐标分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=-4mt3+2m 2，y 1y 2=2t 2−63+2m 2…（8分）所以k OM k ON =2t 2−63t 2−6m2=-23，得2t 2=2m 2+3…（10分） 又S △MON =12|t ||y 1-y 2|=2√6|t|√t 24t2=√62， 即△MON 的面积为定值√62…（12分）【解析】（1）由题意知（x），可求P 的轨迹方程；（2）设直线MN 的方程为x=my+t ，代入椭圆方程，利用k OM k ON ==-，得2t 2=2m 2+3，即可证明结论．本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题． 21.【答案】解：（I ）g ′（x ）=a +32x 2+2（cos x -x sinx ），函数g （x ）在x =0处的切线与x 轴平行，则g ′（0）=a +2=0， 得a =-2．（II ）证明：①当x ∈[0，1）时，（1+x ）e -2x ≥1-x ⇔（1+x ）e -x ≥（1-x ）e x ， 令h （x ）=（1+x ）e -x -（1-x ）e x ，则h ′（x ）=x （e x -e -x ）． 当x ∈[0，1）时，h ′（x ）≥0，∴h （x ）在[0，1）上是增函数， ∴h （x ）≥h （0）=0，即f （x ）≥1-x ．②当x ∈[0，1）时，f （x ）≤11+x ⇔e x ≥1+x ，令u （x ）=e x -1-x ，则u ′（x ）=e x -1． 当x ∈[0，1）时，u ′（x ）≥0，∴u （x ）在[0，1）单调递增，∴u （x ）≥u （0）=0， ∴f （x ）≤11+x ，综上可知：1-x ≤f （x ）≤11+x ；（Ⅲ）解：设G （x ）=f （x ）-g （x ）=（1+x ）e -2x -（ax +12x 3+1+2x cosx ） ≥1-x -ax -1-12x 3-2x cosx=-x （a +1+x 22+2cos x ）．令H （x ）=x 22+2cos x ，则H ′（x ）=x -2sin x ，令K （x ）=x -2sin x ，则K ′（x ）=1-2cos x ． 当x ∈[0，1）时，K ′（x ）＜0， 可得H ′（x ）是[0，1）上的减函数，∴H ′（x ）≤H ′（0）=0，故H （x ）在[0，1）单调递减， ∴H （x ）≤H （0）=2．∴a +1+H （x ）≤a +3． ∴当a ≤-3时，f （x ）≥g （x ）在[0，1）上恒成立．下面证明当a ＞-3时，f （x ）≥g （x ）在[0，1）上不恒成立． f （x ）-g （x ）≤11+x -（1+ax +12x 3+2x cosx ）=-x （11+x +a +x 22+2cos x ）．令v （x ）=11+x +a +x 22+2cos x =11+x +a +H （x ），则v ′（x ）=−1(1+x)2+H ′（x ）．当x ∈[0，1）时，v ′（x ）≤0，故v （x ）在[0，1）上是减函数， ∴v （x ）∈（a +1+2cos1，a +3]． 当a ＞-3时，a +3＞0．∴存在x 0∈（0，1），使得v （x 0）＞0，此时，f （x 0）＜g （x 0）． 即f （x ）≥g （x ）在[0，1）不恒成立． 综上实数a 的取值范围是（-∞，-3]． 【解析】（I ）求出函数的导数，得到关于a 的方程，求出a 的值即可；（Ⅱ）①当x ∈[0，1）时，（1+x ）e -2x ≥1-x ⇔（1+x ）e -x ≥（1-x ）e x ，令h （x ）=（1+x ）e -x -（1-x ）e x ，利用导数得到h （x ）的单调性即可证明； ②当x ∈[0，1）时，f （x ）≤⇔e x ≥1+x ，令u （x ）=e x -1-x ，利用导数得出h （x ）的单调性即可证明．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论得到f （x ）≥1-x ，于是G （x ）=f （x ）-g （x ）≥-x （a+1++2cosx ）．再令H （x ）=+2cosx ，通过多次求导得出其单调性即可求出a 的取值范围．本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力． 22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程为{y =2sinϕx=2+2cosϕ（φ为参数），消去参数得曲线C 1的普通方程为（x -2）2+y 2=4． ∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ， ∴ρ2=4ρsinθ，∴C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ，整理，得x 2+（y -2）2=4． （Ⅱ）曲线C 1：（x -2）2+y 2=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ， 设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），∵曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点， 点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=4√2， ∴|AB |=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4√2|sin （α−π4）|=4√2， ∴sin （α−π4）=±1， ∵0＜α＜π，∴−π4＜α＜3π4，∴α−π4=π2，解得α=3π4．【解析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程消去参数能求出曲线C 1的普通方程；曲线C 2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C 2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C 1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），从而得到|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin （）|=4，进而sin （）=±1，由此能求出结果． 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a =1时，f （x ）＜4，即为2|x +1|+|x -1|＜4，当x≥1时，2（x+1）+x-1＜4，解得x∈∅；当x≤-1时，-2（x+1）+1-x＜4，解得-53＜x≤-1；当-1＜x＜1时，2x+2+1-x＜4，解得-1＜x＜1；则原不等式的解集为（-53，1）；（2）函数g（x）=f（x）+f（-x）=2|x+a|+|x-1a|+2|x-a|+|x+1a|≥2|x+a-x+a|+|x-1a-x-1a|=4|a|+|2a|≥2√4|a|⋅2|a|=4√2，当且仅当（x+a）（x-a）≤0，且（x-1a）（x+1a）≤0，且4|a|=|2a|时，取得等号，则g（x）的最小值为4√2．【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

上海市六校2019届高三下学期第二次联考数学（理）试题（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α= ．2. 已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．3. 设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．4. 若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 ．5. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ．6. 执行右图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ． 7. 不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 8. 若n a 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭ ． 9. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．10. 若点(,)P x y 在曲线cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则yx 的取值范围是 ．11. 从0,1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()12f ∈Z 的概率为 ． 12. 已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ． 13、已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列命题：①20OB OC OA -⋅≥； ② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④ x 的值有两个； ⑤ 点B 是线段AC 的中点．则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号） 14、已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+， 设,,,,n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．16、下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为（ ）（A ）2log y x = （B ）cos 2y x =（C ）222x xy --=（D ）22log 2x y x -=+ 17、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且mα∥（C ）m n 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβ18、对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=， 则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”． 给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-； ③()12xf x =-； ④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ）（A ）①②③ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②③④三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程． 19、（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且1cos22A C +=． （1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．20、（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=．（1）求异面直线DF 和BE 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积．21、（本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为： 250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？22、（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知数列{}n a 中，11a =，对任意的*k ∈N ，21k a -、2k a 、21k a +成等比数列，公比为k q ；2k a 、21k a +、22k a +成等差数列，公差为k d ，且12d =．（1）写出数列{}n a 的前四项； （2）设11k k b q =-，求数列{}k b 的通项公式； （3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．23、（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O与直线20x +=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y =在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O 的方程及曲线Γ的方程； （2）若两条直线1:l y kx =和21:l y x k=-分别交曲线Γ于点A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD面积的最大值，并求此时的k 的值．（3）证明：曲线Γ为椭圆，并求椭圆Γ的焦点坐标．2019年上海市高三年级 六校联考数学试卷（理科）答案一、填空题1. 43-2. ()1,+∞3. 1904. 125. 56. 217. (]4,0-8. 89. 310.(),3,⎡-∞+∞⎣11.419012. ()0,1- 13．①③⑤ 14．[]5,3--二、选择题15. C 16. A 17. C 18. B三、解答题 19. 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=． 所以cos cos 22A C B π+-=1sin 22B ==．26B π=，所以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2320c c -+=．解得1c =或2c =． ………………6分（2）()sin sin )f A A A A =-1cos 222A A -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. ………………9分由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. ………………12分20. 解：（1）解法一：在CD 的延长线上延长至点M 使得CD DM =,连接,,ME MB BD . 由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，,DC DF ⊂≠平面CDEF ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥，同理可证DE ⊥面ABCD .∵ //CD EF ，CD EF DM ==， ∴EFDM 为平行四边形， ∴//ME DF .则MEB ∠（或其补角）为异面直线DF 和BE所成的角. ………………3分由平面几何知识及勾股定理可以得ME BE BM ===在MEB △中，由余弦定理得222cos 26ME BE BM MEB ME BE +-∠==-⋅．∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE所成的角为arccos 6． ………………7分解法二：同解法一得,,AD DC DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………………2分可得()()()()0,0,0,0,2,2,2,4,0,0,0,2D F B E ， ∴ (0,2,2),(2,4,2)DF BE ==--，得22,26DF BE ==………………4分M设向量,DF BE夹角为θ，则022422cosDF BEDF BEθ⋅-+⋅-+⋅⋅===⋅∵异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴异面直线DF和BE所成的角为………………7分（２）如图，连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，则BN⊥平面CDEF，且2BN=.………………9分∵EF ABCDV-E ABCD B ECFV V--=+……………11分1133ABCD EFCS DE S BN=⋅+⋅△△1111(42)222223232=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅163=.∴几何体EF ABCD-的体积为163.……14分21. 解：（1）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：(1010)P x y=+-22050900x x x=-+-270900x x=-+-………………2分()235325x=--+，[10,15]x∈.∵35[10,15]x=∉，()235325P x=--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P∈--. ………………5分∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．………………7分（2）设平均处理成本为90050yQ xx x==+-………………9分5010≥=，………………11分当且仅当900xx=时等号成立，由0x>得30x=．因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．………………14分22. 解：（1）由题意得2213a a a⎧=⎪⎨，22a a=+，2a=或1a=-. ………………2分N故数列{}n a 的前四项为1,2,4,6或1,1,1,3-. ………………4分 （2）∵21221,,k k k a a a -+成公比为k q 的等比数列， 212223,,k k k a a a +++成公比为1k q +的等比数列∴212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++= 又∵22122,,k k k a a a ++成等差数列， ∴212222k k k a a a ++=+. 得21212112k k k k k a a a q q ++++=+，112k kq q +=+， ………………6分 111k k kq q q +-=-， ∴1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +-=--，即11k k b b +-=. ∴ 数列数列{}k b 为公差1d =等差数列，且11111b q ==-或111112b q ==--. ……8分∴()111k b b k k =+-⋅=或32k b k =-. ………………10分（3）当11b =时，由（2）得11,1k k k k b k q q k +===-. 221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k kaa k k q +==+，()2121231,2k k k k k k k k a d a a k D q +++=-==+=. ………………13分 当112b =-时，同理可得42k d k =-，22k D k =. ………………16分解法二：（2）对1,1,1,3,-这个数列，猜想()*2123N m m q m m -=∈-， 下面用数学归纳法证明： ⅰ）当1m =时，12111213q ⋅-==-⋅-，结论成立.ⅱ）假设()*N m k k =∈时，结论成立，即2123k k q k -=-.则1m k =+时，由归纳假设，222121212121,2323k k k k k k a a a a k k -+---⎛⎫== ⎪--⎝⎭. 由22122,,k k k a a a ++成等差数列可知()()()222122122121223k k k k k k a a a a k ++--+=-=⋅-，于是2212121k k a k q a k +++==-，∴ 1m k =+时结论也成立.所以由数学归纳法原理知()*2123N m m q m m -=∈-. ………………7分 此时1132112123k k b k k q k ===-----.同理对1,2,4,6,这个数列，同样用数学归纳法可证1k k q k +=. 此时11111k k b k k q k===+--.∴k b k =或32k b k =-. ………………10分（3）对1,1,1,3,-这个数列，猜想奇数项通项公式为()22123k a k -=-.显然结论对1k =成立. 设结论对k 成立，考虑1k +的情形. 由（2），()211,23k k q k k k -=≥∈-N 且21221,,k k k a a a -+成等比数列， 故()()22222121212123212323k k k k a a k k k k +---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即结论对1k +也成立. 从而由数学归纳法原理知()22123k a k -=-.于是()()22321k a k k =--（易见从第三项起每项均为正数）以及21242k k k d a a k +=-=-，此时()22422k D k k =++-=. ………………13分对于1,2,4,6,这个数列，同样用数学归纳法可证221k a k -=，此时()22121,1k k k k a k k d a a k +=+=-=+.此时()()32312k k k D k +=++++=. ………………16分23. 解：（1）由题意圆O 的半径1r ==，故圆O 的方程为221x y +=. ………………2分 由OC xOA yOB =+得，()22OC xOA yOB =+， 即222222cos60OC x OA y OB xy OA OB =++，得221xy xy ++=（,33x y ⎡∈-⎢⎣⎦）为曲线Γ的方程.（未写,x y 范围不扣分）…4分 （2）由221y kxx y xy =⎧⎨++=⎩得E ⎛⎫，F ⎛⎫ ⎝，所以EF =MN ==. ………………6分 由题意知12l l ⊥ ，所以四边形EMFN 的面积12S EF MN =⋅.2S ===∵ 221224k k ++≥=，∴2S S ≥=≤………………8分 当且仅当221k k=时等号成立，此时1k =±.∴ 当1k =±时，四边形EMFN ………………10分（3）曲线Γ的方程为221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦），它关于直线y x =、y x =-和原点对称，下面证明：设曲线Γ上任一点的坐标为()00,P x y ，则2200001x y x y ++=，点P 关于直线y x =的对称点为()100,P y x ，显然2200001y x y x ++=，所以点1P在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y x =对称， 同理曲线Γ关于直线y x =-和原点对称.可以求得221x y xy ++=和直线yx =的交点坐标为12,B B ⎛ ⎝⎭⎝⎭221x y xy ++=和直线y x =-的交点坐标为()()121,1,1,1A A --，1OA =1OB ===. 在y x =-上取点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭.下面证明曲线Γ为椭圆：ⅰ）设(),P x y 为曲线Γ上任一点，则12PF PF +=======（因为43xy ≤）12A A ==.即曲线Γ上任一点P 到两定点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和为定值ⅱ）若点P 到两定点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和为定值可以求得点P 的轨迹方程为221x y xy ++=（过程略）.故曲线Γ是椭圆，其焦点坐标为12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭. ………………18分 第（3）问说明：1. ⅰ）、ⅱ）两种情形只需证明一种即可，得5分，2. 直接写出焦点12,F F 的坐标给3分，未写出理由不扣分.。