下载文档原格式
风险测度的一致性理论分析和探索作者：雷文平来源：《金融经济·学术版》2014年第06期摘要：对于一致性风险测度框架而言，它是目前状况下研究风险测度最为流行的手段，随着近几年来的发展，人们对这一手段的关注程度越来越高。
本文主要针对风险测度的一致性理论进行了一定程度上的分析，并在此基础之上进一步拓展与延伸，做出更深层次的探索。
关键词：风险测度；一致性；预期损失1一致风险测度分析11 风险在本文的论述中，“风险”并不同于我们生活中所论述的风险，我们对其进行一定程度上的定义，赋予其数学模型，将“风险”定义为一个“数”，而这一“数”只会受到未来资产的影响，并不与其他因素存在关联。
在本文的阐述中，我们认为风险并不会对自身的初始资产产生强烈的依赖性，而决定风险的一般是市场中所存在着一系列的不确定因素。
而这些不确定因素的存在会对将来的资产造成一定程度上的影响。
基于上面的考虑，我们对于“风险”是如下表示：将一个与未来有联系的“数”表示风险，而并不是“差数”。
也就是说，我们所定义的这个“数”在本质上是一个随机变量，并且这一随机变量会在一定程度上受到未来所发生的不确定因素的影响，可以运用资产的净值或者投资组合的结构对其进行描述。
12 风险测度在本小节中，为了对风险是否可被接受进行一定程度上的描述，我们对可接受的未来净值进行卡了定义。
首先，需要给定一个相应的参考投资工具，然后在这一基础之上通过对所持有的头寸价值以及可接受头寸的距离进行一定程度上的描述，最终以此来对风险测度进行有效定义。
定义如下：定义1：我们将由X到R的映射称之为风险测度对于风险X的测度p而言，如果测度值为正数，那么在这种情况之下，我们便可以将资金认为是加入到风险头寸X中并使之成为“可接受头寸”的资金的最小值；相反，如果测度值为负数，那么所存在着资金便能够由头寸中进行取出，当然，也可以将之作为红利进行一定程度的返还。
21 VaR方法VaR按字面的解释就是“处于风险状态的价值”，即在一定置信水平和一定持有期内，某一金融工具或其组合在未来资产价格波动下所面临的最大损失额。
一致性风险测度的名词解释一致性风险测度是金融领域的一个重要概念，用于评估和测量金融市场中的不确定性和风险。
在如今高度复杂和连续变化的金融环境中，了解和控制一致性风险至关重要，它可以帮助市场参与者制定合理的投资策略，降低投资风险并增加收益。
一致性风险是指金融系统中存在的因不同变量之间关系缺乏一致性而导致的风险。
这些变量可以是金融市场价格、利率、汇率或其他相关因素。
一致性风险的存在可能会导致金融市场的异常波动和不稳定性，进而对市场参与者的投资决策和风险管理产生负面影响。
为了解决一致性风险带来的挑战，研究人员和金融机构开发了各种风险测度和模型，以量化和评估一致性风险的程度。
这些测度通常基于数学和统计方法，结合金融市场的历史数据和行为模式，来预测未来可能出现的一致性风险。
其中一种常见的一致性风险测度是条件风险测度。
条件风险测度基于金融市场的特定条件和情况，用于测量不同市场变量之间的相关性和依赖关系。
通过分析和建模条件风险，投资者可以更准确地评估和预测金融市场的风险，并做出相应的决策。
另一种常见的一致性风险测度是系统性风险测度。
系统性风险是指金融市场中的整体风险，它与特定公司或行业的个别风险不同。
通过系统性风险测度，投资者可以了解并评估整个金融系统的稳定性和脆弱性，从而调整其投资组合以减少系统性风险。
此外，还有一些与一致性风险相关的测度，如波动率风险和委央风险。
波动率风险是指金融市场价格或资产价格波动的风险，而委央风险则是指市场参与者在面对相同风险时出现的结果不一致性带来的风险。
这些测度可以在评估一致性风险时提供更全面和准确的信息。
综上所述，一致性风险测度是金融市场中评估和控制风险的关键工具。
它通过各种风险测度和模型，量化和评估金融市场中不同变量之间的关系和一致性，帮助投资者制定更有效的投资策略。
对于金融机构和市场参与者来说，理解和管理一致性风险是确保投资安全和可持续发展的关键一步。
证券投资分析章节试题库及答案（7、8、9章）历年真题精选第7章证券组合管理理论一、单选题(以下备选答案中只有一项最符合题目要求)1．对于偏好均衡型证券组合的投资者来说，为增加基本收益，投资于（）是合适的。
A．较高票面利率的附息债券B．期权C．较少分红的股票D．股指期货2．下列各项中标志着现代证券组合理论开端的是（）。
A．证券组合选择B．套利定价理论C．资本资产定价模型D．有效市场理论3．在证券组合投资理论的发展历史中，提出简化均值方差模型的单因素模型的是（）。
A．夏普B．法玛C．罗斯D．马柯威茨4．资本资产定价模型可以简写为（）。
A．AprB．CAPMC．APMD．CATM5．组建证券投资组合时，个别证券选择是指（）。
A．考察证券价格的形成机制，发现价格偏高价值的证券B．预测个别证券的价格走势及其波动情况，确定具体的投资品种C．对个别证券的基本面进行研判D．分阶段购买或出售某种证券6．证券组合管理方法对证券组合进行分类所依据的标准之一是（）。
A．证券组合的期望收益率B．证券组合的风险C．证券组合的投资目标D．证券组合的分散化程度7．现有一个由两证券W和Q组成的组合，这两种证券完全正相关。
它们的投资比重分别为0．90和0．10。
如果W的期望收益率和标准差都比Q的大，那么（）。
A．该组合的标准差一定大于Q的标准差B．该组合的标准差不可能大于Q的标准差C．该组合的期望收益率一定等于Q的期望收益率D．该组合的期望收益率一定小于Q的期望收益率8．某投资者拥有由两个证券构成的组合，这两种证券的期望收益率、标准差及权数分别为如下表所示数据，那么，该组合的标准差（）。
A．等于25%B．小于25%C．可能大于25%D．一定大于25%9．证券组合的可行域中最小方差组合（）。
A．可供厌恶风险的理性投资者选择B．其期望收益率最大C．总会被厌恶风险的理性投资者选择D．不会被风险偏好者选择10．现代组合投资理论认为，有效边界与投资者的无差异曲线的切点所代表的组合是该投资者的（）。
概率模型在金融风险评估中的应用概率模型是金融领域中一种重要的工具，它通过对现有数据的分析，预测未来可能发生的事件，并量化这些事件发生的概率。
在金融风险评估中，概率模型起到了关键作用。
本文将介绍概率模型在金融风险评估中的常见应用。
一、风险测度模型风险测度模型是概率模型在金融风险评估中的一种重要应用。
通过建立合适的风险测度模型，可以对金融市场的风险进行量化评估，帮助投资者进行有效的风险管理。
常见的风险测度模型包括VaR（Valueat Risk），CVaR（Conditional Value at Risk）等。
VaR是金融风险评估中最常用的一种指标，它表示在一定的置信水平下，投资组合或金融产品的最大可能损失。
通过概率模型，可以计算出VaR值，并根据投资者的风险承受能力，制定相应的风险管理策略。
CVaR则是对VaR的进一步补充，它表示在VaR超过某一阈值时，投资组合或金融产品的平均损失。
CVaR相比于VaR更具有解释性和鲁棒性，可以更全面地评估投资风险。
二、概率模型在期权定价中的应用期权定价是金融衍生品中的重要内容，也是概率模型在金融风险评估中的另一种常见应用。
期权的价格变动受到多个因素的影响，如标的资产价格、市场波动率、到期时间等。
通过建立概率模型，可以预测这些因素对期权价格的影响，并进行相应的定价。
著名的期权定价模型包括布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
这些模型基于随机过程理论，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，利用概率模型计算出期权的理论价格。
在实际交易中，投资者可以根据概率模型计算得到的价格，进行合理的期权交易。
三、概率模型在信用风险评估中的应用信用风险评估是金融机构最为关注的一个方面，它涉及到借款人的还款能力和借款违约的概率。
概率模型可以通过分析大量的信用数据，建立合适的模型，对信用风险进行评估。
在信用风险评估中，常用的概率模型包括违约概率模型和违约损失模型。
违约概率模型用于预测借款人违约的概率，可以帮助金融机构评估借款人的信用风险。
金融市场中的风险管理模型金融市场风险管理一直是金融机构和投资者关注的重要议题。
为了降低风险并提高稳定性，各种风险管理模型被开发出来。
本文将介绍几种常见的金融市场风险管理模型，并探讨其优缺点。
一、VaR（Value at Risk）模型VaR模型是金融市场风险管理中最为常见和广泛使用的模型之一。
该模型通过测量资产组合在未来某一时间段内可能面临的最大损失来评估风险水平。
VaR模型基于历史数据和概率统计方法，可以量化风险暴露并帮助投资者做出决策。
VaR模型的优点是简单易懂、计算方便、快速，适用于多种金融资产类别。
然而，VaR模型忽视了极端风险事件的可能性，对于非正态分布的资产表现不佳，并且对于市场流动性风险和系统性风险的测度有限。
二、ES（Expected Shortfall）模型ES模型是对VaR模型的一种改进。
ES模型不仅考虑了资产组合在某一时段内可能面临的最大损失，还考虑了在给定置信水平下可能的平均损失水平。
ES模型可以较好地处理极端风险事件，并更好地反映资产组合的风险特征。
ES模型的优点是更为全面地测量了资产组合的风险，并能够较好地应对非正态分布和极端事件。
然而，ES模型的计算复杂度高，需要更多的历史数据支持，对数据的依赖性较强。
三、Copula模型Copula模型是一种基于概率论的统计模型，用于描述多个随机变量之间的相关性结构。
在金融市场中，Copula模型常用于评估多个金融资产之间的相关性及其对整体风险的影响。
Copula模型的优点是能够准确测量不同资产之间的相关性，包括线性相关和非线性相关。
它可以更好地反映资产组合的整体风险，具有很高的灵活性。
然而，Copula模型也存在一些问题，例如对假设的敏感性较高，需要合适的数据样本支持。
四、风险平价模型风险平价模型是一种基于资产配置的风险管理模型。
该模型通过将投资组合中的风险均等分摊到不同资产上，以实现风险的最优配置。
风险平价模型通过降低个别资产的风险敞口，以提高整体投资组合的稳定性。
DOI:10.19995/10-1617/F7.2024.08.098基于久期凸性模型的商业银行利率风险实证研究韩光辉 许莎莎 郝丽星(河北工程大学管理工程与商学院 河北邯郸 056038)摘 要：我国商业银行的盈利模式大多依赖存贷款利差，在当今经济大环境下，利率市场化改革不断深入，使得利率风险再次成为商业银行的主要风险，利率风险管理是商业银行资产负债管理的一项重要内容，因此对商业银行存在的利率风险进行研究具有现实意义。
本文运用久期凸性模型对我国大型国有银行、股份制银行及区域制银行3类共15家商业银行面临的利率风险进行研究。
研究发现，我国国有商业银行的久期缺口相对区域制商业银行和城市商业银行较小；而面对相同市场利率环境时，城市银行会受到较大的净值变动；当市场利率下降时，久期缺口为正的商业银行资产净值会上升，从而得到正的收益。
银行管理者可根据久期缺口和市场利率变动采取一定的措施规避利率风险，本文针对研究结果提出了一系列加强利率风险防控的建议，以供行业参考。
关键词：利率风险；商业银行；风险管理；久期模型；凸性；资产净值；区域制银行本文索引：韩光辉,许莎莎,郝丽星.基于久期凸性模型的商业银行利率风险实证研究[J].商展经济,2024(08):098-103.中图分类号：F832.33 文献标识码：A利率风险是银行面临的主要风险，当市场利率发生变化时，可能导致银行的资金交易及信贷价格产生波动，使投资者遭受一定损失的风险。
在我国的金融系统中，银行所占比重很大，在其自身的发展中，由于市场化的利率所引起的利率波动会给商业银行带来一定的风险，因此如何运用有效的手段和合理的方法来识别、判断和管理存在的利率风险，是当前商业银行发展中必须面对和解决的重大问题。
衡量一家银行有没有面对利率风险，可从两个角度来衡量：一是市场利率的波动；二是银行自身的资产和负债的到期时间或规模是否相匹配，利率风险的大小则由波动程度与不匹配程度共同决定。
一致凸(拟凸)风险测度的基本特征的开题报告一致凸风险测度是现代风险测度理论的一种重要类型，在风险管理、金融科学、保险等领域具有广泛的应用。
与传统的法律风险和可测度风险相比，一致凸风险测度具有下列基本特征：1. 凸性：一致凸风险测度应该具备凸性质，即对于风险事件的概率分布，其对应的风险测度值应该服从凸函数的约束条件。
这是因为凸函数能够更好地反映风险的非对称性和风险的非线性增长特征，因此更适合于衡量风险的不确定性和复杂性。
2. 同测度：一致凸风险测度要求具有同一性质，即对于同一组风险事件，应该对应同一种风险测度值。
这是因为在实际应用中，不同的风险测度可能存在差异，导致测度结果的不可比性和误解。
因此，一致凸风险测度提出了同一性要求，通过建立一个统一的风险测度标准，使得不同的风险测度之间具有可比性。
3. 规范性：一致凸风险测度应该具备规范性，即对于零风险事件，其对应的风险测度值应该等于零。
这是因为在实际应用中，存在一些风险事件是可以完全规避的，因此其风险测度值应该等于零。
一致凸风险测度通过规范性的要求，确保了测度结果的准确性和可靠性。
4. 敏感性：一致凸风险测度应该具备敏感性，即对于风险事件的变化，其对应的风险测度值应该有所变化。
这是因为在实际应用中，风险事件的变化会直接影响风险测度的准确性和实用性。
因此，一致凸风险测度通过敏感性的要求，能够更好地反映风险事件变化的风险影响。
5. 对称性：一致拟凸风险测度应该具备对称性质，即对于相同的风险水平，其上下测度应该相等。
这是因为在实际应用中，不同的风险水平之间的风险影响可能存在非对称性。
因此，一致拟凸风险测度通过对称性的要求，能够更好地反映风险的非对称特性。
综上所述，一致凸(拟凸)风险测度具有凸性、同测度、规范性、敏感性和对称性等基本特征，是一种适用于不确定性和复杂性风险管理的有效工具。
学校代码10125 专业代码020204山西财经大学硕士学位论文题目金融风险测度方法及其应用研究姓名王青专业金融学研究方向金融工程指导教师沈沛龙2013 年3 月6 日University Code 10125Major Code020204Shanxi University of Finance & Economics Thesis for Master’s DegreeTitle Research on Financial Risk Measurementand Its ApplicationName Wang QingMajor FinanceResearch Orientation Financial EngineeringTutor Shen PeilongMarch 6th, 2013山西财经大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究所做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本申明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：日期：年月日山西财经大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保管、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。
本人授权山西财经大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
本学位论文属于保密□，不保密□。
在年解密后适用本授权书。
（请在以上方框内打“√”）学位论文作者签名：指导教师签名：日期：年月日日期：年月日摘要近年来，随着经济全球化和资本自由化趋势的不断加深，金融创新的不断推进，金融市场规模和效率明显提高的同时，金融市场的波动性在不断增强，风险也在不断积聚，严重时直接导致金融机构倒闭，甚至导致整个国家乃至全球的金融危机。
中国科学技术大学硕士学位论文失真风险度量姓名：贾佳申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：胡太忠20090501失真风险度量作者：贾佳学位授予单位：中国科学技术大学1.学位论文刘俊山基于风险测度理论的证券投资组合优化研究2007首先，本文分别讨论了一致风险测度理论、谱风险测度理论、失真风险测度理论和随机占优一致风险测度理论等风险度量评价理论，在这些理论框架内讨论和比较了标准差、平均绝对离差、下偏位矩、基尼均差、VaR以及CVaR等风险度量。
结果显示，CVaR在理论性质上优于其他风险度量，表现在：1) CVaR满足子可加性，属于一致风险度量；2) CVaR是二阶随机占优一致风险度量；3)CVaR既属于谱风险度量又属于失真风险度量，虽然性质不够完美，但依然优于其他风险度量指标。
其次，本文讨论了投资组合优化模型，认为一个“好”的投资组合优化模型既应理论性质完美，又应易于求解、扩展与实施。
通常，风险度量的性质决定了模型的性质，因此应优先考虑基于CVaR的投资组合优化模型(以下简称CVaR模型)，理由如下：1)CVaR承认分散化效应；2)CVaR模型给出的最优解是二阶随机占优有效的；3)CVaR模型通常是凸的，可有效避免多重极值问题：4)在有限情景下，CVaR模型可归结为线性规划问题，因而易于求解与扩展，适合于求解大规模投资组合优化问题；5)CVaR为下行风险度量，适合于求解包含期权等衍生品的投资组合优化问题。
再次，本文详细讨论了CVaR以及CVaR模型，构建了基于短期CVaR约束的长期CVaR模型，并利用由滤波历史模拟法产生的收益率情景对模型做了实证模拟。
对于基金公司等机构投资者而言，基于短期CVaR约束的长期CVaR模型具有一定的实用价值。
通过该模型，基金公司可在控制组合短期风险的条件下使得长期均值-CVaR关系达最优，从而在不改变长期投资目标的情况下降低因市场下滑带来的赎回风险等短期风险。
1.风险测度的缘起Markowzti时代之前，金融风险曾被视为期望收益的修正系数。
1952年，Marko初zt提出用与收益分布的均值的偏离，即方差来测度与各单个资产的收益相应的风险，而在考虑多资产投资组合时，用组合内各对资产之间的协方差决定该组合风险水平，即Cov[X，Y]二E[X，Y]一E[X]E[Y]，其中X和Y为随机收益。
Marko诚zt的主要创新在于他通过所有单个资产的联合分布来测度投资组合的风险。
多元分布由所有成分随机变量的边缘统计特性以及它们的相关结构来刻画。
Mkarowizt用单变量分布的乘积来描述前者，通过每对随机收益之间的相关系数来描述后者，即P(x，Y)一ocvlx，Y]/(弓时尹，其中丐和几分别表示独立随机变量X和Y的标准差。
我们注意到，Markowizt模型与恰当的效用函数密切相关。
效用函数允许投资者在对资产和资产组合进行排序时有个人主观选择。
当相关的分布不是正态分布时，尽管是对称的分布，效用函数就必须为二次函数。
而在实际中，这样的限制阻碍了Makrowizt模型在投资组合上的应用。
使得模型的应用仅限于由收益的联合正态分布所描述的投资组合，在这种情形下，所有资产的收益以及它们之间的相关结构均是正态的。
1%3年，Mkarowizt的学生sh哪e根据Mkarowizt的模型建立了一个计算相对简化的模型—单一指数模型，即刀模型。
这一模型假设资产收益只与市场总体收益相关，从而大大降低了计算量。
各种证券的收益与市场收益之间的线性依赖关系的测度刀，引出了主要的定价理论，如cAPM和APT。
这些模型都在“正态世界”中发展，而当他们被用于日常生活中的情况时，则有可能导致错误的结果。
比如说，非市场的贷款是完全非对称的，甚至是有尖峰的，并且，某些发展中国家的公债的收益分布可能包含极值。
不幸的是，Markowizt模型已经被视为问题的解决方案，而且被不恰当地用于很多风险不能用方差描述、依赖性不能用线性相关系数来测度的实际案例中了，而且有时所用的效用函数根本不是二次函数。
1 绪论1.1 引言现代金融理论的核心是研究在不确定条件下投资者以及市场如何对金融、货币及其他资产进行有效配置，从而获得最大的满足。
金融分析方法的发展使金融理论内容逐渐形成了三个主要方面，正如学者兹维·博迪所总结的——现代金融分析的三大支柱分别是：跨时期最优化，主要研究投资者生命期资产配置、消费选择等；资产估值，涉及的有资本资产定价、衍生品定价、估值折现模型等；风险管理与组合选择，包括风险测度理论、投资组合选择模型等[28]。
而本文研究主题就是三大支柱之一——金融风险管理和投资组合选择。
现代投资组合理论被认为是整个现代金融学的发端。
该理论发端于1952年Markwitz在《Journal of Finance》上发表的一篇论述理性投资者为获得最大效用从而如何分配其资产的论文，其使用均值方差模型代表理性投资者共同的选择模型，从而得到了最佳的资产配置方案，第一次将风险资产的期望收益与代表风险的方差结合起来研究资产组合选择问题，从而为现代投资组合理论(modem portfolio theory，MPT)的发展奠定了基础[13]。
其实分散化在经济和金融学届早有讨论，但都属于感性认知阶段，Markwitz这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹描述性的研究和单凭经验操作的状态，数量化方法开始进入金融领域，“鸡蛋不能同时放在一个篮子里”这句投资领域的俗语被众多学者通过不同的数学模型展示和理论上证明出来。
但是不同模型所求得的最优组合解也存在差异，因而如何选择适合的风险度量工具作为约束条件，并高效地求解投资模型成为现代投资理论中极其重要的两个课题。
一方面，当深入考量市场参与者偏好、市场结构等因素时学者们发现以方差代表风险大小并不恰切[1]，因而风险度量理论随之兴起，其引发的就是半方差、平均绝对离差（MAD）、VAR、CVAR等度量工具以及一致风险测度、凸风险测度、谱风险测度等测度理论的相继出现。
另一方面，现实金融环境下小样本问题、资产历史收益数据波动问题（噪声）等对投资组合规划求解也构成了挑战。
为此，部分学者结合计算数学与投资理论，在适当修正投资模型的基础上将遗传算法、蚁群算法等引入投资规划问题的计算；而另一部分学者则试图从理论上探讨特定风险度量工具约束下投资组合模型求解不稳定的机理，并确定组合不可行的概率、不同风险测度下组合问题的不稳定解的存在性条件等。
本文研究重点即是分析基于凸风险测度的投资组合优化模型不稳定性是否存在共同机理，以及通过实例分析及理性推证，给出此类组合问题最优解存在的充分必要条件。
1.2 凸风险及凸风险测度下组合优化研究现状1.2.1风险度量理论历史发展的背景风险度量的研究被认为是金融学的第三次革命，是现代金融理论的重要支柱之一。
对风险的数学度量当从Markwitz的投资组合选择理论开始，其他的风险度量指标都是针对其中方差（标准差）的不足而提出来的。
方差（标准差）用于度量组合风险时，相对于期望效用模型和随机占优模型更易于计算和实施。
同时其拥有良好的统计特性，便于对组合进行风险收益分析。
特别的，当组合的收益服从正太分布或者假定投资者具有二次效用函数时，均值—方程模型被证明是恰当的组合选择模型，此时方差完全刻画了组合风险（Tobin 1958）[8]。
但是假设收益率服从正太分布在实际中不恰当。
例如Mandelbrot（1964）提出，股票市场的收益率服从稳定帕累托分布（stable Paretian distribution）[20]，故呈现尖峰厚尾特征。
Fama（1965）发现金融日收益序列比正太分布分别具有更厚的尾更高的峰，其分布是负偏斜的，即左边比右边观测值更多[3]。
因而此时必须考虑二阶以上的矩才能刻画组合风险。
同时假设投资者具有二次效用函数也不适合，因而当财富超过一定水平之后投资者边际效用为负，而且随财富增加其绝对风险厌恶程度也在增加，这两点都不符合实际。
另外，由于均值—方差模型面临大规模计算困难，今野和山崎（1991）提出平均绝对离差（MAD）来度量风险。
此时的好处是该模型可离散情形可转化为线性规划问题。
由于MAD对各个偏离值均赋予相同的权重，因而没有反映投资者的风险厌恶特征，为此，今野（1990）以及Michalwki和Ogryczak（2001）又分别提出拓展的MAD来充分刻画投资者的风险厌恶特征[18]。
以上的度量工具都将上行风险和下行风险不加以区分，即对组合的绩优表现和绩差表现都视作风险。
但在现实中投资者仅将组合收益相对于某一目标收益的下偏离视作风险，因而对下行风险更敏感。
Markwitz（1959）本人也发现了这一不足，提出可以使用半方差来替代方差作为求解约束。
可是实际上半方差比方差在统计上更难处理，而且若组合收益呈对称分布，半方差只是方差的一半，它就不再是真正意义上的下行风险。
自半方差提出以后，相继出现了各种下行风险度量指标。
巴瓦（1975）给出了LPM风险度量，这是一类包含内容广泛的下行风险度量指标，随着参数的不同LPM可分别适用于风险偏好者、厌恶者、中性者[24]。
LPM关于组合权重是凸的，但通常不满足子可加性和平移不变性。
不过LPM的应用难点在于目标收益率不易确定，基于LPM的模型也不易求解。
20世纪70年代到80年代，美国等世界主要经济体物价高涨、利率剧烈波动，汇率也随着大幅波动，金融机构面临的风险骤然增大，加强风险管理的需求十分迫切。
在此环境下各类衍生工具应运而生，金融创新虽然丰富了投资品种，提供了管理组合风险的工具，但也加大了组合的选择和风险管理难度。
在这一背景下，加之巴林银行事件、长期资本管理公司巨额亏损等案例出现，VAR作为一种直观的衡量下行风险度量工具应运而生。
时下也成为金融机构和监管当局进行风险管理和金融监管的基本工具之一。
VAR的优点在于它可以在整体一致的框架内仅用一个数字来度量由许多复杂工具构成的组合的市场风险。
Stambaugh （1996）概括了VAR的优点。
但其严重缺陷在于它不是一致风险度量，多数情况下不具有次可加性（Artzner（1999））[4]。
这意味着组合的VAR值可能大于各单项资产的VAR之和，从而违背了分散化具有优势这一规律。
Mausser和Rosen （1999）指出，使用包括历史模拟法在内的情景分析法得到的VAR相对于组合头寸是非光滑的、非凸的，因而会存在多个极值，因此基于VAR的投资组合模型得到的最优解只是局部最优解，未必是全局最优解。
此外，VAR的计算若选取不当会导致错误的VAR估计。
针对VAR的不足，Artzner（1997，1999）在《Coherent Measures of Risk》[4]一文中以公理的形式给出了一致风险测度的定义，该理论要求一个恰当的风险度量应满足四条公理：单调性、平移不变性、次可加性和正齐次性。
Artzner 的一致风险测度理论引起了巨大的反响，相关的研究随即展开。
例如CVAR（ES）被证明是一致的风险测度指标，其中，期望损失ES（Expected Shortfall）是指投资组合在给定置信水平决定的左尾概率区间内可能发生的平均损失，CVAR 是损失超过VAR部分的条件平均值，二者相似但有着很小的区别——在概率分布是连续时，ES与CVaR定义一致；当概率分布离散时，ES与CVaR不再一致，此时CVaR不再是一致性风险测度。
ES是CVaR的推广（广义）形式，而CVaR则是ES的特殊（退化）形式。
ES对于损失的分布没有特殊要求，在分布函数连续和不连续的情况下都能保持一致性风险测度这一性质，使ES不仅可以应用到任何的金融工具的风险测量和风险控制，也可以处理具有任何分布形式的风险来源，而且保证了在给定风险量的约束条件下最大化预期收益组合的唯一性。
ES相比起CVAR来适用范围更广，在离散分布和连续分布下都能保证是一致性风险测度，且具有容易计算的特点。
不过有学者认为正齐次性和次可加性要求过严，因此Follmer和Schied （2002）在《Convex measures of risk and trading constraints》[2]一文中提出了较弱的凸性公理，并把满足单调性、平移不变性和凸性公理的风险测度称之为凸风险测度（convex risk measures ），凸风险测度也称为弱一致风险测度（weakly coherent risk measures）。
他们认为，随着组合头寸的增加，风险是以非线性的方式增加的，因此必须考虑到组合的流动性风险（例如巨额卖出、赎回风险）。
而且，如果组合模型是凸的，可以有效的避免多重极值问题，这是因为凸规划问题中局部最优解就是全局最优解，且最优点集合是一个凸集。
Acerbi等（2002）提出了谱风险测度，该理论除了要求风险度量是一致的以外，还要求其具有性质良好的风险谱密度从而能够刻画投资者的风险厌恶特征。
Acerbi等认为，谱风险测度具有良好的发展前景，它不仅在技术层面上对风险度量做了明确的要求，还以谱密度的形式刻画了投资者的风险厌恶特征，也为改进现有风险度量指标提供了重要依据。
实际上，谱风险测度属于一致风险测度，是后者的推广。
在谱风险测度框架内，CVAR（ES）和VAR都不算良好的测度，但CVAR的风险谱密度性质要好于VAR。
1.2.2 国外研究现状国外文献对于凸风险测度较早，起源于前文所提的Follmer和Schied（2002）[2]提出凸性公理之时，因而这部分文献很丰富。
关于投资组合求解问题的文献也不再少数，大多数使用各种计算方法来优化模型的求解。
然而深入探讨在特定风险测度下组合优化问题不稳定性的文献较少。
下面仅对部分做简述。
Imre Kondor、Szilard Pafka和 Gabor Nagy（2006）在《Noise sensitivity of portfolio selection under various risk measures》[7]中针对方差、绝对离差、ES和最大损失四种度量工具分别就各自组合优化模型进行求解的实证分析。
该文章目标在于探讨组合优化问题最优解关于收益数据波动的容忍性。
结果发现，四种工具噪声敏感性都很强，求解可行与不可行的区域划分出现了类似于一些复杂计算问题中出现的演化图形，即根据不同测度拥有不同N/T临界值分隔开可行与不可行区域。
他们发现，对于方差、MAD测度，在各自N/T临界值之下时组合问题永远可以解出最优解，而对于ES、ML（极大损失，可以看做ES的一个特例）两种一致风险测度工具，在即使N/T很小时也会随机性的出现组合没有最优解的情况。
对于ES与ML，在N/T临界值之下时，可以有最优解的概率与资产的分布函数有关。
如果分布函数给定，则一致风险测度工具的优化问题没有解得可以精确获得。
