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理论力学第五章复习

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理论力学-第五章 运动合成与分解

理论力学-第五章 运动合成与分解
y
va ve
vr
y

x
O
x
加速度合成定理
例题一
动点
y
y
动系
绝对运动

x
O
x
相对运动
牵连运动
加速度合成定理
y
aa
例题一
y
ae

n aa
x
x O
ar
加速度 方 大 小
n aa
a
a
ar
铅垂
ae
水平
向 由A指向O OA 偏向上方
OA 2
y’ z x x’ O’
O
y
§5-1 点的合成运动的基本概念
动点：P点
定系：Oxy
绝对运动
动系：O’x’y’
相对运动
牵连运动
§5-1 点的合成运动的基本概念
牵连点
§5-1 点的合成运动的基本概念
va ve
ar vr ae
§5-2 点的合成定理
选择动点、动系的原则：
动点与动系不能在同一个物体上。 动点与动系一定要有相对的运动。 动点的相对运动的轨迹要明显、
（*）沿凸轮轮廓线在A点的切线
y
A
x
b
顶杆AB的速度为： vAB =va ve tan OA tan b tan
偏心凸轮
偏心凸轮
偏心凸轮
§5-3 点的加速度合成定理
牵连运动是平动时的加速度合成定理
z’ z
M
r
rO
O
x
r
k’ O’
r rO ' r r rO ' xi yj zk

《理论力学》武清玺第五章_点的运动_习题全解

《理论力学》武清玺第五章_点的运动_习题全解

第五章 点的运动 习题全解[习题5-1] 一点按2123+-=t t x 的规律沿直线动动(其中t 要s 计,x 以m 计).试求:(1)最初s 3内的位移;(2)改变动动方向的时刻和所在位置;(3)最初s 3内经过的路程;(4)s t 3=时的速度和加速度;(5)点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动. 解:(1)求最初s 3内的位移.m x 220120)0(3=+⨯-= m x 723123)3(3-=+⨯-=)(927)0()3(m x x x -=--=-=∆ (动点的位移为9m,位移的方向为负x 方向). (2)求改变动动方向的时刻和所在位置. 改变方向时,动点的速度为零.即: 01232=-==t dtdxv , 亦即:当s t 2=时,动点改变运动方向.此时动点所在的位置为: )(1422122)2(3m x -=+⨯-= (3)求最初s 3内经过的路程.)(23716|)14(7||214|)3~2()2~0()3~0(m S S S =+=---+--=+= (4)求s t 3=时的速度和加速度1232-==t dt dx v )/(151233)3(2s m dt dx v =-⨯== t dtdv a 6== )/(1836)3(2s m a =⨯=(5)求动点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动.若v 与a 同号,则动点作加速运动; 若v 与a 异号,则动点作减速运动.即: 同号时有:0)2)(2(18)4(18)6)(123(22>+-=-=-=t t t t t t t va0)2)(2(>+-t t t20<<t .即当s t 20<<时,动点作加速动动.Oxy图题25-异号时有:0)2)(2(<+-t t t2>t即当s t 2>时,动点作减速运动.[习题5-2] 已知图示机构中,l AB OA ==,a AC DM CM ===,求出t ωϕ=时,点M 的动动方程和轨迹方程。

理论力学第五章

理论力学第五章

刚体做平面平行运动时，刚体中不在同一 直线上的任意三点到平面的距离相等，存 在三个约束条件，故刚体平面平行运动的 自由度为3
• 刚体的定点转动
若刚体上只有一个点固定不动，整个刚 体围绕此点转动，则此刚体做定点转动
刚体定点转动时，由于固 定点的3个坐标已经固定， 只剩下三个可以独立变化 的坐标变量，刚体定点转 动的故自由度为3
dT dW
• 三个定理所对应的守恒
动量守恒定律：刚体不受外力作用，或 外力相互抵消时，刚体的总动量守恒。 在某一方向力的分量为零，则在该方向 的动量分量守恒。
角动量守恒定律：刚体不受外力矩作用， 或外力矩相互抵消时，刚体的总角动量 动量守恒。在某一方向力矩的分量为零， 则在该方向的角动量分量守恒。
刚体做定轴转动时，刚体中的点（除转轴 上的点外）绕转轴做圆周运动，此时描述 刚体的运动只需要一个坐标变量，故刚体 绕定轴转动的自由度为1（描述刚体的转 动）
• 刚体的平面平行运动
若刚体内任意一点都平行于一固定平面 而运动，则此刚体做平面平行运动，刚 体中垂直于固定平面的直线上各点，其 运动状态完全相同，任何一个与固定平 面平行的刚体截面，其运动都可用来恰 当地代表刚体的运动
机械能守恒定律：作用于刚体的外力为 保守力时，刚体的总机械能守恒。刚体 只发生动能和势能的相互转换。
§5.4 刚体的定轴转动
刚体定轴转动的自由度为1
设量刚为体绕，转则轴角（速z轴度）为转：动r 的角&kr度变kr
刚体定轴转动的基本方程
质心定理：
m
d2rc dt 2
F (e)
F
FA
FB
刚体平动时的 动能
T
1 2
mvc2
1 2
mv2

理论力学(第7版)第五章 点的运动学

理论力学(第7版)第五章 点的运动学
a 4、匀速运动： v 常数， 0, s s0 vt
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y

理论力学第五章

理论力学第五章
30o
第一种情况： 第一种情况：
摩擦力阻止其向下运动
∑F
x
=0
Q min cos α + Fm − G sin α = 0
− Q min sin α + N − G cos α = 0
∑F
利用
y
=0
Fm = f s N
Q min sin α − f s cos α =G = 135.31 N cos α + f s sin α
[例4] 例
宽a，高b的矩形柜放置 ， 的矩形柜放置 a 在水平面上，柜重 ，重心C 在水平面上，柜重P，重心 在其几何中心，柜与地面间 在其几何中心， F h P C 的静摩擦因数是 fs，在柜的 b 侧面施加水平向右的力F， 侧面施加水平向右的力 ， 求柜发生运动时所需推力F 求柜发生运动时所需推力 的最小值。 的最小值。
再以整体为对象， 再以整体为对象，有平衡方程 整体为对象
∑X = 0
FAx − FBx = 0
FAx = FBx = 72.17 N
下面判断系统是否处于静平衡 脚端A 极限静摩擦力分别为 脚端 与B 的极限静摩擦力分别为 ：
r y
C
Fm A = f s A FAy = 75 N
r G
Fm B = f s B FBy = 75 N
解:
取矩形柜为研究对象,受力分析如图。 1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。
y
列平衡方程
∑F = 0,
x
F − FA − FB = 0
F P
C
∑F
FB
x
y
= 0,
FNA + FNB − P = 0
FB = fs × FNB

第五章摩擦_理论力学

第五章摩擦_理论力学

即自锁条件是:斜面的倾角小于或等于摩擦角。 § 5-3 考虑滑动摩擦的平衡问题 考虑滑动摩擦的平衡问题与前几章所述大致相同，但有如下特点：
1．受力分析时必需考虑接触面的摩擦力 ；
2．除平衡方程外，还必须列写补充方程，
，补充方程数等于摩擦力的个数；
3．平衡问题的解是一个范围，称为平衡范围。
例 5-1 物块重
。轮半径为 ，杆长为 ，当
时，
。求当 D 处静摩擦系数
分别为 0.3 和 0.15 时，维持系统平衡需作用于轮心 的最小水平推力。 解：本题属 求极限值问题，但有两种临界平衡状态，两处摩擦，应分别判断、讨论。由图（a）可知， 若推力 太大，轮将向左滚动；而推力太小，轮将向右滚动。后者在临界平衡状态下的水
。如圆柱向下滚动，由图（b）可知，
如图 5-8(a)所示。在滚轮中心上作用一不大的水平推力 ，则轮有滚动趋势。由于接触处
变形，作用于轮上的约束力为一分布力系。此力系向 A 点简化得一力 及矩为 M 的力偶，
Байду номын сангаас
称为滚动摩阻力偶（简称滚阻力偶），如图（b）所示。该力偶与图(c）所示的力偶（ ， ） 平衡，其转向与轮的滚动趋势相反，其矩称为滚阻力偶矩。
摩擦角为全反力与接触面法线间夹角的最大值有物体平衡时全反力与法线间夹角的变化范围为当主动力的合力作用线在摩擦角之内无论主动力多大物体保持平衡的现象称为摩擦动摩擦定律动摩擦力大小与接触面法向反力成正比即滚动摩擦为两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时在接触部分产生的对滚动的阻碍作用
第五章 摩 擦
知识点
1.
0.8
0.5
木材-木材
0.4～0.6
0.1
0.2～0.5
0.07～0.15

高等教育出版社理论力学第三版(周衍柏)第5章习题解答


m2
x22
以 x 面为零势面，体系势能：
其中 C2 为劈势能. 拉氏函数
V = m1g(x1 − x2 ) tanθ + C2
（4）
L =T −V =
[ ] 1
2 m1
x12 + (x1 − x2 )2 tan 2 θ
+
1 2
m2
x22
①
− m1g(x1 − x2 )tanθ − C2
代入拉格郎日方程
θ
⎟⎞ 2 ⎠
=
2m2a 2
sin 2 θθ
2
( ) T = TB + TD + Tc = m1 a 2θ 2 + Ω 2a 2 sin 2 θ + 2m2a 2 sin 2 θθ 2
取 Ox 为零势，体系势能为：
V = −2ga(m1 + m2 )cosθ
故力学体系的拉氏函数为：
L =T −V
( ) = m1a 2 θ 2 + Ω2 sin 2 θ + 2m2a 2 sin 2 θθ 2 + 2ga(m1 + m2 )cosθ
2
x = ± r2 −W k4
y =W k2 R = −k 2r
5.5 解 如题 5.5.1 图
Ω
A
θθ
aa
a
x
B
D
y m1 a
m1 a
C m2 z
按题意仅重力作用，为保守系。因为已知ψ = Ω ，故可认为自由度为 1.选广义坐 标θ = q ，在球面坐标系中，质点的 动能：
由于
( ) ( ) Ti
代入①得：
Q1 = 0.
在极坐标系下：

理论力学第五章 摩擦(Y)


0 Fs Fs,max
——平衡
0 f
f Fs Fs ,max ——临界平衡状态 摩擦角 f —— 物体处于临界平衡状态时全反力与
法线之间的夹角。
tan f
Fs ,max FN
f s FN fs FN
摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数——几何意义。
当物体平衡时（包括平衡的临界状态）全约束反力 的作用线一定在摩擦角之内
摩擦轮传动——将左边轴的转动传给右边的轴
摩擦的分类：
摩擦


滑动摩擦
滚动摩擦

静滑动摩擦 ——仅有相对运动趋势 动滑动摩擦 ——已有相对运动 静滚动摩擦 动滚动摩擦
干摩擦 ——由于接触表面之间没有液体时产生的摩擦。 湿摩擦 ——由于物体接触面之间有液体。
摩擦
一、滑动摩擦
研究滑动摩擦规律的实验：
MB 0
l sin 30 0 M P cos 30 0 FND l cos 30 0 0 FSD 2
3 P 3l
(1 FSD
FSD f s FND
3 2 3 M M min Pl 8
（1）当M较大时，BD杆逆时针转动。 分别以OA、 BD杆为研究对象， 画受力图。 l 0 FND l cos 30 P 0 对于OA杆： M O 0 2
Y 0
Fs,max f s FN
（库仑摩擦定律）
（2）最大静摩擦力的方向：沿接触处的公切线，与相对 滑动趋势反向；
Fs,max f s FN f s ——静滑动摩擦系数——静摩擦系数
与两接触物体表面情况（粗糙度，干湿度，温度等） 和材料有关，与两物体接触面的面积无关。

理论力学(第三版)第5章第7节哈密顿原理

泛函j只依赖于单个自变量设想函数关系yx稍有变动从y变为yy这里y称所以一般来说两端点总是不变的变分等于零这就是泛函取极值的必要条件叫做这个变分问题的欧拉方程
第五章 分析力学
拉格朗日
哈密顿
§5.7 哈密顿原理
本节导读
• 泛函 变分的概念 • 欧拉方程 泛函导数 • 哈密顿原理
1 变分法初步
(1) 泛函 质点沿着光滑轨道y＝y(x)从A自由下滑 到B所需时间
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因端点是固定的, 所以
δq tt1 δq tt2 0
( 1,2,, s)
t2
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因p, q在积分范 围内是任意的, 而且 相互独立, 故得
q
H p
p
H
q
变分运算法则
小结
注意:
δ
dq dt
t2 s
δ
p q H dt 0
t1 1
因为H是p, q, t 的函数, 并且t = 0 , 所以
t2
t1
s 1
p δq
δp q
H p
δp
H q
δq
dt
0
又
s
p δq
1
s 1
p
d dt
δq
d dt
s 1
p δq
s 1
p δq
s
1
p δq
t2 t1
t2
以s个广义坐标为直角坐标的空间叫作位形空间. 力学系统在任一时刻的位形可用位形空间中的一点 来表明.随着时间的运转,力学系统的位形发生改变, 位形空间中的代表点就描出相应曲线. 在一切可能 的曲线中,使作用量取极值的那一条曲线就代表真实 的运动.

理论力学-第五章

PS f'ct(fg)Q ct(3g 0.4 0 15 )200 50(N 0)0
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31
[练习1] 已知：Q=10N， f '动 =0.1 f 静 =0.2 求：P=1 N; 2N, 3N 时摩擦力F？
解： F m afx 静 N 0 .2 1 0 2 N
P 1 N 时 ,由 X 0 ,F P 1 N （没动，F 等于外力）
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7
三、摩擦角：
①定义：当摩擦力达到最大值Fmax 时其全反力
与法线的夹角 m 叫做摩擦角。
②计算：
翻
页
tgmFN maxfN Nf
请 看
动
画
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8
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9
四、自锁
①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正
压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开 （无论外力多大），这种现象称为自锁。
N'=N
d
M N
'
M dN 'dN
dd
从图中看出，滚阻力偶M的力偶臂正是d（滚阻系
数），所以，d 具有长度量纲。
由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力
偶不计，即滚动摩擦忽略不计。
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23
第四章 《摩擦》习题课
本章小结 一、概念： 1、摩擦力----是一种切向约束反力，方向总是
与物体运动趋势方向相反。
由 X 0 ,R co ) s R 1 c ( o 0
由二力平衡条 :R件 R1
, 2 又tg0.1f , tg10.15043' 211026' (极限状)态 即当211026'时能自锁
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关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有
琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳
是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。
明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，
醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁
修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字
1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例
环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智
并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强
译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容1．赏析第一段，说说本文
第五章复习
1．点的运动方程 描述点在空间的位置随时间变化规律的方程称为点的运动方程。 主要介绍3种形式。
（1）矢量式 r r t 此式主要用于理论推导。
（2）直角坐标形式--用于轨迹未知的情形
（3）弧坐标形式（自然法）--用于轨迹已知的情形
2．点的速度和加速度
（1）矢径法
v

dr dt
2.在某瞬时，点的切向加速度和法向加速度都等于零， 则该点一定作匀速直线运动。 3.自然轴系指的是由切线，主法线和副法线组成的一个 正交轴系。
4.在自然坐标系中，如果速度的大小 ν=常数，则其 切向加速度为零 。
点M沿半径为R 的圆周运动，其速度为ｖ=ｋｔ， ｋ是有量纲的常数。则点M的全加速度为------。
仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什
么不能划分为“山/行六七里”？
明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望
学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世
称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
①
②
③
④
11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受
之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，
翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节
暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季
的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂
到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊
于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导

r, a

dv dt

d2 r dt 2

r
（2）直角坐标法
v x i y j z k
a x i y j z k
（3）弧坐标法
v

ds dt
τ
sτຫໍສະໝຸດ vττdv a dt τ s τ aτ τ
an

v2

n

an n
a a an
点的运动学
判断对错： 1.运动学只研究物体运动的几何性质，而不涉及引起运动 的物理原因。
奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，
云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自