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3.4随机变量的独立性与条件分布

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概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)

概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)

即X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是 连续函数，故对所有的x,y，有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
特别，令 x 1, y 2，可以得到
1
1
2 1 2 1 2 2 1 2
从而 0.
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
pij
6
9 18
3


(1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
解：将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
(2) P{ X1 X2 1} D f ( x1, x2 )dx1d x2
x2
1
x1 x2 1 D
O
1

1 0
1 x2 0
1 9
e ( x1 x2 )/ 3
d
x1
d
x2
1 9
1 ex2 / 3 (
0
1 0
x2
e

x1
/
3
d
x1
)dx2
x1

9
18
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参 数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？
解：由X与Y的分布律
X
0

3-4随机变量的独立

3-4随机变量的独立
0
2
2. 连续随机变量 X 、Y 相互独立的充分必要条件是： 相互独立的充分必要条件是： 都有： 对所有的实数 x、y ，都有： 、 f (x,y) = fX (x)×fY (y) , × 补充： 补充： 连续随机变量 X、Y 相互独立，当且仅当： 、 相互独立，当且仅当： 联合密度函数能够分解成： 对所有实数 x、y ，联合密度函数能够分解成： 、 f(x,y) = g (x)×h (y) 的形式 。 , × 并且，边缘密度函数可以直接写出： 并且，边缘密度函数可以直接写出： fX (x) = C1 g (x) ，fY (y) = C2 h (y) 这里C 是常数因子。 这里 1、 C1 是常数因子。
3
例3.4.2(续) 从 1，2，3，4 中随机地取一个数 X ， 续 ， ， ， 再从 1，· · ·，X 中随机地取一个数 Y，判断 X、Y ， ， ， 、 是否独立？ 是否独立？ 联合分布律以及边缘分布律是： 解. 联合分布律以及边缘分布律是： X\Y 1 2 3 4 p· j 1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 2 3 0 0 1/8 0 1/12 1/12 1/16 1/16 13/48 7/48 4 0 0 0 1/16 3/48 pi · 1/4 1/4 1/4 1/4 1
0
+∞
−2x−3y
dy = 2e
−2x
ϕX (x) = 0
−2x
2e , 所以， 所以， ϕX (x) = 0, 3e−3y , 同理可得 ϕY ( y) = 0,
(x ≥ 0) (x < 0) ( y ≥ 0) ( y < 0)
12
③
2e , x ≥ 0 ϕX (x) = , 0 , x < 0

§3.4相互独立的随机变量

§3.4相互独立的随机变量
故有b 1
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21

1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17

3.4 随机变量的独立性

3.4 随机变量的独立性
则称X与Y 相互独立 . 它表明,两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于 两个边缘分布函数的乘积 .
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in

P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )


i3 ,i4 ,in

P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )

3.4多维随机变量的独立性

3.4多维随机变量的独立性

P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1
Y 0 2/9 0 1/9 1/3 1 1/9 2/9 0 1/ 3 2 0 1/9 2/9 1/3
X
0 1 2
p
X i
pi
1/3 1/3 1/3
p j
例2
Y
若X,Y具有联合分布率
xe ( x y ) , x 0, y 0 f (x, y) f X ( x) fY ( y) f ( x, y ) 故X,Y 独立 0 , 其它
问X和Y是否独立？
解：f X ( x )
0


xe
( x y )
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
3. 若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的 定义等价于： 对任意的 x, y, 有
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
几乎处处成立，则称X,Y相互独立 .
这里“几乎处处 成立”的含义是： 在平面上除去面 积为0的集合外， 处处成立.
例3
设(X,Y)的概率密度为
一切x, y, 均有
15 45 60
y

x
xy
x
=1/2
1 dy ]dx 1800
40
10
0
15
45
x
1 [60 30 2(10 30 30 30 / 2)] 1800
解二：P(| X-Y| 5) 1 dxdy 1800 | x y | 5
y
60
40

概率论与数理统计3-4

概率论与数理统计3-4
1 当 0 x y , 0 y 20 200 f ( x, y ) 0 其他
20
O
20
x
图 3-12
求 （1）给定 Y＝y 条件下, X 的条件概率密度； （2）给定 Y＝10 条件下, X≤5 的概率； （3）如果 Y＝20 件呢?
解: （1）
fY ( y )
f X |Y ( x | y ) f ( x, y ) fY ( y ) ；
同理，当 fX (x) >0 时，
fY |X ( y | x ) f ( x, y ) f X ( x) .
第3章 连续型随机变量
3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性
定义 3.8 设(X， 是连续性随机变量，f ( x , y ) ，f X ( x ) ， Y)
f X ( z y ) f Y ( y ) dy ,
卷积公式
f X ( x ) f Y ( z x ) dx .
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
例 3.16 设 X 和 Y 独立, 有共同的概率密度
1 当 0 x 1 f ( x) 0 其他
z
2
1
f ( x , y ) dxdy . D＝{ (x, y): z y f ( x , y ) dx dy .
z f ( u y , y ) du dy
x+y ≤z }，


+
+


第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
1 / f ( x, y ) 0 当x y 1

随机变量的独立性


f (x, y)
fX
(
x)
fY
(
y)
1 4
e
x 2
y
0
x 0, y 0 其他
P( X 2Y )
dx
1
e
x
2
y
dy
0
x/2 4
1 x x e 2 e 4 dx
1 e
3x 4
dx
2
02
02
3
两个随机变量函数的分布
• 随机变量函数的分布：
• 已知随机变量X的分布，如何求随机变量 Y=g(X)的分布
Fmax (z) (F (z))n Fmin (z) 1 [1 F (z)]n
例：设X与Y 独立，均服从U (0, 1), 分别求M max( X ,Y ), N min( X ,Y )的概率密度。
0, x 0
解：X、Y的分布函数F ( x)
x,
0
x
1
1, x 1
0, x 0
例：设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0和1. (1)求 U = max(X, Y) 的分布列. (2)求V = X+Y的分布列.
解: X 0 1 p 1/2 1/2
Y0 1 P 1/2 1/2
(1) U = max(X, Y) 的取值为: 0, 1
P(U=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4
Fmin (z) P( N z) 1 P( N z) 1 P( X z,Y z) 1 P( X z)P(Y z)
即 Fmin (z) 1 (1 FX (z))(1 FY (z))
推广：
设X1, X2 ,, Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别

第2节 条件分布与独立性


解 (1)若( X , Y ) ~ N (0,0,1,1, ), 则
X |Y ( x | y) ~ N ( y,1 2 );
Y | X ( y | x) ~ N ( x,1 ).
2
推广
(2) 设( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 , , , ), 则
.
对于任意给定 xi , 如果 P{ X xi } 0, 则在X xi的
性质：pi| j 0,
p
i
i| j
1;
p j|i 0,
p
j
j|i
1.
问题 : 联合分布、边缘分布和条件分布有什么关系?
联合分布、边缘分布和条件分布的关系 X Y
y1 p11 p21 pi 1
y2 p12 p22 pi 2
2. 连续型变量独立的定义
设两个连续型随机变量 X 和 Y 的联合密度和边缘 密度分别为 f ( x, y )和 f X ( x )与fY ( y ). 则
严格地说 , 连续型随机变量X与Y 相互独立是指 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y ) 在整个平面上几乎处处(即面积为0的区域除外)成立.
3. 一般型随机变量的条件分布 设 X 是一随机变量, A 是一随机事件, 则由如下条件 概率确定的函数
F ( x A) P X x A , x 称为在A 发生条件下 X的条件分布函数 .
二、随机变量的独立性
随机变量独立的直观含义
随机变量 X 和 Y 相互独立的直观含义是指它 们之间在概率上相互毫无影响, 也就是说 , 任何一 个的取值都不会影响到另一个取值的分布.
pi 1
yj p1 j p2 i pij

高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布


2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为

3.4 二维随机变量的独立性


对离散性和连续性随机变量，也可利用其分布律 与概率密度来判定独立性.
(1) 若(X,Y)是离散型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：对(X,Y)的所有可能
取值 ( xi , yj ) ,有
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
(2) 若(X,Y)是连续型随机变量，则 X与Y相互独立的充要条件是：
3.4 二维随机变量的独立性
回顾：事件A与B独立性 P(AB)=P(A)P(B)
定义3.4.1 设二维随机变量(X,Y),若对任意的x, y 有
P{X x,Y y} P{X x} P{Y y},
即
F ( x, y) FX ( x) FY ( y),
则称随机变量X与Y是相互独立的.
解一
P{|X-Y|≤5}= P{-5≤X-Y≤5}
1 45 x5
[
dy]dx
15 x5 1800
1 6
1 45 60
P{X<Y}= [
dy]dx
15 x 1800
1 2
解二 P{|X-Y|≤5}
1

dxdy
|XY|5 1800
被积函数为常数， 1
直接求面积

作业 习题册： 3.3节：P24: 3； 3.4节：P25: 2,3,6
，15
30

x

45，
fY ( y)


1 ，0 60

y

60
0， 其它
0， 其它
由于X与Y相互独立，故
f ( x, y) 18100，15 x 45, 0 y 60, 0， 其它
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1y2,
0,
于是，当-1 ≤ y ≤ 1时，
1 y 1, 其它.
fX Y (x|
y)
f (x, y) fY (y)
2019/8/23
1



2
π
π, 1 y2
1 y2 x
1 y2 ,

0,
其它.
11
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即
fXY(x|
y) 2
1 1y2
e1 2[(x 121)2(y 2 22)2]
2
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又
f(x,y)
1
e 2 (1 1 2) (x 1 2 1)2 2(x 1 1)(y 22) (y 2 2 2)2
2 π 1 2 12
y y),

0,
0 y 1 其它.
2019/8/23
13
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同理

fX (x) f (x, y)dy


x 6dy 6(x x2),
x2

0,
0 x 1 其它.
于是，当0<y<1时的条件密度函数为：
fX/Y(x/y)ff(Yx(,yy))
当y<-1或y>1时，由于f(x,y)=0.故

fY(y)f(x,y)dx0

当-1 ≤ y ≤ 1时， fY(y) f(x,y)dx
1 y2 1 dx 2 1 y 2
π 1 y2
π
2019/8/23
10
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因此
2 fY (y) π
且对任意实数 y ，极限
l i m 0 P Y y |x X x l i m 0 P x P x X X x x , Y y
存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函
,
1y2x 1y2,

0,
其 它 .
2019/8/23
12
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例：已知(X, Y)的概率密度为
6, x2yx,0x1,
f(x,y) 0,
其 它 .
求（X,Y）的条件密度函数.
解： fY (y) f (x, y)dx


y
y
6dx 6(
相互独立．
2019/8/23
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1
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3.4 随机变量的独立性与条件分布 连续型随机变量的独立性
设 X，Y 是二维随机变量，其联合分布函数为 F x， y ，又随机变量X 的分布函数为FX x， 随机变量Y的分布函数为FY y．如果对于任意
的x， y，有
F x， y FX x FY y
则称X，Y 是相互独立的随机变量．
2019/8/23
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2
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连续型随机变量的独立性
设 X ， Y 是 二 维 连 续 型 随 机 变 量 ， 其 联 合 密 度 函 数 为 fx ， y ， 又 随 机 变 量 X 的 边 缘 密 度 函 数 为 f X x ， 随机变量Y的边
同理条件{Y=y}的条件下X的条件概率密度为
2019/8/23
f (x, y) fXY(x| y) fY(y)
9
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例：已知(X, Y)的概率密度为
f
(x,
y)

1 π
,
0,
求 fX Y (x | y) .
x2 y2 1, 其它.
解：由

fY(y) f(x,y)d.x 可得：
故当ρ=0时，fX(x)fY(y)f(x,y)即X 和Y相互独立。
反之，当X 和Y相互独立时，对所有的x和y，有
fX(x)fY(y)f(x,y)
特别地，令 x1,y2
得到
1
1
2π12 12 2π12
从而ρ=0。
2019/8/23
7
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连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
xe(xy), x0,y0,
f(x,y)
0,
其 它 .
问X 和Y 是否独立？
解： 当x≤0时， 由于f(x,y)=0.故 fX (x) 0
当x>0时，
fX(x)

f(x,y)dy

因此
2019/8/23
xe(xy)dy xe x 0
xex, x0,
X与Y相互独立的充要条件是ρ=0．
证明：
XN (1 ,1 2 )， YN (2 , 2 2 )
即
fX(x)
1
(x1)2
e 212 ,x
2π1
fY(y)
1 e(y2 2 2 2)2,y 2π 2
故
2019/8/23
1
fX(x)fY(y)2π16
3.4 随机变量的独立性与条件分布
独立性的引入
由 于 F x ， y P X x ， Y y
以 F X x P X 及 x ， F Y y P Y y
可知，随机X变与量 Y相互独立，实际： 上是 对于任意x， 的y，随机事件
Xx 与 Yy
fX(x)
0,
x 0.
4
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同理
ey, y 0,
fY
(y)


0,
y 0.
从而 fX(x)fY(y)f(x,y)即X 和Y相互独立。
2019/8/23
5
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例：如果二维变量 (X ,Y ) N (1 ,2 ,1 2 ,2 2 ,)，试证：
数。记为 FY|X ( y | x)
由于 FY|X ( y | x) l im 0 P Y y |x X x
PxXx,Yy
lim
0
PxXx
2019/8/23
8
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lim 0
y
x x
f (x, y)dxdy
x

x fX (x)dx
y
f (x, y)dy

fX (x)
y f (x, y) dy
f X (x)
称
f (x, y) fX (x)
为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。记为:
fY|X (y|
x)
f (x, y) fX (x)
缘密度函fY数 y， 为 如果对于几乎所有x， 的 y 有，
fx ， y fX x fY y
则称X，Y 是相互独立的随机变． 量
特别地f， x， y上 的式 所对 有 x， 连 y必 续
须成立．
2019/8/23
3
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例：已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度为

1, yy 0,
yx y, 其它.
2019/8/23
14
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内容小结
2019/8/