2020-2021学年江西省上饶市横峰中学高二上学期第一次月考数学(文)试题

2020-2021学年江西省上饶市横峰中学、弋阳一中、铅山一中高二（统招班）上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}3,2,1,0,1,2B =---，则AB =（ ）A ．{}3,2,1---B ．1,0,1,2C ．{}1,2D ．{}2,1,0,1--【答案】B【分析】求出集合A ，利用交集定义能求出A B .【详解】{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}3,2,1,0,1,2B =---，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2．已知向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()-⊥a b b ，则a ，b 的夹角是（ ）. A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】先利用向量垂直的性质得到22||a b b b ⋅==，再计算cos θ的值，从而求得a 与b 的夹角θ的值．【详解】非零向量,a b 满足2=a ，1=b ， 且()a b b -⊥，则()0-⋅=a b b ，即22|1|a b b b ⋅===，所以2||11cos 212||||||||a b b a b a b θ⋅====⨯⨯⨯， 又[0θ∈，]π， 所以a 与b 的夹角为3πθ=．故选：A ．【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有垂直关系的向量表示，向量夹角大小的计算问题，属于基础题目．3．某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：现根据表中所提供的数据,求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ21yx =-,则a 值等于( ) A ．4.5 B ．5C ．5.5D ．6【答案】B【分析】由已知表格中的数据求得x 与y 的值,代入线性回归方程求解a 值. 【详解】由所给数据可求得∴ 23433x ++==, 103ay +=, 代入线性回归方程为ˆ21yx =-, 得102313a+=⨯-, 解得5a = 故选:B.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.4．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23A π=，2b =，且ABCa 的值为（ ）A ．12B ．8C ．D ．【答案】D【分析】根据已知条件，利用三角形面积公式求得c 的值，然后利用余弦定理求得a 的值.【详解】由题可得，1sin 2b c A ⨯⨯⨯=221c ⨯=⨯，∴2c =，又2222cos a b c bc A =+-=1448122⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，∴a = 故选：D ．【点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的综合运用,属基础题.5．若sin cos 1sin cos 3αααα+=-，则tan α等于（ ）A ．2-B ．34C ．43-D ．2【答案】A【分析】根据弦化切，将原式化为关于正切的方程，求解，即可得出结果. 【详解】因为sin cos 1sin cos 3αααα+=-，所以tan 11tan 13αα+=-，即3tan 3tan 1αα+=-， 解得tan 2α.故选：A.【点睛】本题主要考查由弦化切求三角函数值，属于基础题型.6．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.【解析】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．4B ．13C ．40D ．41【答案】C【分析】模拟程序运行的过程，分析循环体各变量的变化情况，可得答案 【详解】模拟程序运行，可得：1,0A B == 满足条件4,A ≤执行循环体，1,2B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，4,3B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，13,4B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，40,5B A ==； 此时不满足条件4A ≤,退出循环，输出B 的值为40 故选：C8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310πB ．320π C ．3110π-D ．3120π-【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π-9．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P 的坐标，则点P 落在圆2215x y +=内的概率为A ．19B ．29C ．59D ．79【答案】B【分析】由抛掷两枚骰子得到点P 的坐标共有36种，再利用列举法求得点P 落在圆2215x y +=内所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意知，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P 的坐标，共有6636⨯=种结果，而满足条件的事件是点P 落在圆2215x y +=内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果， 根据古典概型概率公式，可得82369P ==，故选B ．【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．654【答案】A【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n+的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=.因为11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =，所以116m n+的最小值为5. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 11．在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥， //AD BC ， 22AB BC AD ===， ,E F 分别为BC ， CD 的中点，以A 为圆心， AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在弧DG 上运动（如图）.若AP AE BF λμ=+，其中λ， R μ∈，则6λμ+的取值范围是（ ）A ．2]B ．[1,2]C ．2,2]D ．[2,22]【答案】D【分析】建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （2，2），E （2，1），F （1，1.5），P （cos α，sin α）（0≤α2π≤），由AP =λAE +μBF 得，（cos α，sin α）＝λ（2，1）+μ（﹣1，32），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【详解】解：建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （2，2），E （2，1），F （1，1.5）， P （cos α，sin α）（0≤α2π≤），由AP =λAE +μBF 得，（cos α，sin α）＝λ（2，1）+μ（﹣1，32） ⇒cos α＝2λ﹣μ，sin α＝λ32μ+⇒λ3184cos sin αα=+，1124sin cos μαα=-∴6λ+μ＝6（3184cos sin αα+）1124sin cos αα+-=2（sin α+cos α）＝2sin （4πα+）∵3444πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin （4πα+）21⎤∈⎥⎣⎦∴2sin （4πα+）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题．二、多选题12．已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m // α，n // β，且m // n ，则α // β C ．若m ⊥α，n // β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n // β，且m // n ，则α⊥β 【答案】AD【分析】根据直线与平面平行，垂直的性质定理，判断定理，灵活判断，可以正确推导，也可以举反例说明．【详解】解：对于A ：若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥可以判断αβ⊥是正确的，因为可以设两个平面的法向量为1n ，2n ，可得数量积为零，即12n n ⊥，所以可判断αβ⊥是正确的，故A 正确，对于B ：若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ．不正确，如两个面相交，两个相交的墙面，直线m ，n 都平行于交线，也满足，//m α，//n β，所以B 不正确； 对于C ：若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则有可能//αβ，不一定αβ⊥，所以C 不正确； 对于D ：若m α⊥，//n β，且//m n ，n α∴⊥，//n β，αβ∴⊥，故D 正确；故选：AD ．【点睛】本题考察了直线与平面的位置关系，熟练掌握好平行，垂直的定理即可判断，属于中档题．三、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，则2a b -=________. 【答案】2【分析】先根据已知条件计算数量积a b ⋅，再由()2222a ba b -=-计算，即得结果.【详解】因为向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，所以12cos601a b ⋅=⨯⨯︒=， 故()()2222222441444a ba ba ab b -=-=-⋅+=⨯-+=，22a b ∴-=.故答案为：2.【点睛】本题考查了数量积的定义和向量模长的计算，属于基础题.14．已知实数x ，y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．【答案】1【分析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.【详解】解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，画出可行域，如图，有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩，解得点(1,1)B ，根据图象可得，当目标函数过点(1,1)B 时，2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-， 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题.15．函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为______________.【答案】[]1,1-【分析】利用两角和与差的三角函数，化简已知表达式，再利用余弦函数的值域求出它的值域即可.【详解】解：函数()1sin cos sin cos sin cos 6226f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵[]cos 1,16x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴函数的值域为：[]1,1-. 故答案为：[]1,1-.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，余弦函数的值域，属于基本知识的考查. 16．已知等比数列{}n a 满足()143nn n a a n N*++=⋅∈，的前n 项和为nS，若不等式n n S ka ≥对于任意n *∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______.【答案】(],1-∞【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列的定义求出q 的值，结合等式143n n n a a ++=⋅可求得数列n a ，并计算出n S ，由n n S ka ≥可得131223n k -≤-⋅，求出数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()1143nn n n a a q a ++=+=⋅，可得()1211143n n n n a a q a +++++=+=⋅，上述两式相除得()()111433143n n nn q a q q a +++⋅===+⋅，则1443n n n n a a a ++==⋅，得3n n a =， 所以，等比数列{}n a 的公比为3，首项也为3，则()111333132n n na S +--==-，由于n n S ka ≥，则11333123223n n n n n S k a +--≤==-⋅，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增， 当1n =时，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为111S a =，1k ∴≤. 因此，实数k 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，涉及等比数列通项公式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.四、解答题17．当0a ≤时，解关于x 的不等式()21330ax a x +--≤.【答案】答案见解析.【分析】将所求不等式变形为()()130ax x +-≤，对实数a 的取值进行分类讨论，结合二次不等式的求解方法可得出原不等式的解集.【详解】由()21330ax a x +--≤，可得()()130ax x +-≤.①当0a =时，原不等式即30x -≤，解得3x ≤； ②当0a <时，()()130ax x +-≤. 方程()()130ax x +-=的两根为110x a=->，23x =. 当13a =-时，原不等式即()21303x --≤，即()230x -≥，解得x ∈R ； 当103-<<a 时，13a ->，解原不等式得1x a ≥-或3x ≤；当13a <-时，13a -<，解原不等式得3x ≥或1x a≤-.综上，当0a =时，原不等式的解集为{}3x x ≤； 当13a =-时，原不等式的解集为R ； 当103-<<a 时，原不等式的解集为{3x x ≤或1x a ⎫≥-⎬⎭；当13a <-时，原不等式的解集为1x x a⎧≤-⎨⎩或}3x ≥. 【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 18．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足关系式=. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3a b +=，2c =，求ABC 的面积.【答案】（Ⅰ）23π；.【分析】（Ⅰ）由正弦定理边化角可得sin sin )cos sin A B A B C C+=，化简整理可得：sin C C = （Ⅱ）根据余弦定理得22242cos3a b ab π=+-，化简求值可得5ab =，代入面积公式即可得解.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得sin sin )cos sin A B A B C C+=，化简得sin (sin )A C C A =，∵sin 0A ≠，∴sin C C =则ππ2πsin 32333C C π⎛⎫-=-<-< ⎪⎝⎭， 得π33C π-=，∴23C π=. （Ⅱ）由余弦定理得22242cos3a b ab π=+-，化简得24()9a b ab ab =+-=-，故5ab =，1sin 2S ab C ==，∴ABC 的面积为4. 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了面积公式，解此类问题的关键是角化边或者边化角，同时考查了计算能力，属于中档题.19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ；【答案】（1）2n n a =；（2）()16232n n T n +=+-⨯.【分析】（1）由题意可得22n n S a =-，由1n =时，11a S =，2n 时，1n n n a S S -=-，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得(21)(21)2n n n b n a n =-=-，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；【详解】解：（1）将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-. 当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =；当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-，上述两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，即12n n a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n n n a -=⨯=；（2）()()21212n n n b n a n =-⋅=-⋅，n *∈N ，因此()123123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n n T n +=+-⨯；【点睛】本题考查数列通项公式的计算以及错位相减法求和，属于中档题.20．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中m 的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【答案】（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得m 的值； （2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【详解】（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=，得0.030m =.（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.21．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SB SD =．（1）证明：BD SA ⊥；（2）若面SBD ⊥面ABCD ，SB SD ⊥，60BAD ︒∠=，1AB =，求B 到平面SAD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）21 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接SO ，推导出BD SO ⊥，BD ⊥面SAC ，由此能证明BD SA ⊥．（2）推导出SO 是三棱锥S ABD -的高，设B 到平面SAD 的距离为h ，根据B SAD S ABD V V --=，即可求出结果．【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接SO ，在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，O 是BD 的中点，又因为SB SD =，所以BD SO ⊥，又ACSO O =， 所以BD ⊥面SAC ，又SA ⊂面SAC ，所以BD SA ⊥．（2）因为面SBD ⊥面ABCD ，面面SBD 面ABCD BD =，BD SO ⊥，SO ⊂面SBD ，所以SO ⊥面ABCD ，即SO 是三棱锥S ABD -的高．依题意可得，ABD ∆是等边三角形，所以1BD AD ==，3AO =，在等腰Rt SBD ∆，1122SO BD ==，1111322S ABD V -⎛=⨯⨯⨯= ⎝⎭，经计算得SD =1SA =， 等腰三角形ASD的面积为12ASD S ∆=， 设点B 到平面SAD 的距离为h ，则由B SAD S ABD V V --=，得13ASD S h ∆⨯⨯，解得h =， 所以B 到平面SAD的距离为7． 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到面的距离，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.22．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆn n i i nn i i x y nx y x x y y b x nxx x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5S i x y ==∑，21190S i x ==∑.【答案】（1）ˆ0.850.6y x =+；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）①先求得年利润z 关于x 的表达式，然后将10x =分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值②求得年利润与年宣传费的比值w 的表达式，利用基本不等式求得5x =时，年利润与年宣传费的比值最大.【详解】（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==， 21222188.554ˆ0.859054n i ii n i i x y nx y b xnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭0.850.35=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.。

横峰中学2015-2016学年度上学期第一次月考高二数学试卷总分150分 考试时间：120分钟一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如右图所示的茎叶图表示，则则下面结论中错误的一个是( )A ．甲的极差是 35B ．乙的众数是11C ．甲得分率比乙高D ．乙的中位数是172.某学院A ，B ，C 三个专业共有2000名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本．已知该学院的A 专业有580名学生，B 专业有720名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为( )A ．29B ．36C ．35D ．45 3.设a,b,c ∈R,且a<b,则( )A.ac<bcB.11a b<C.a 2<b 2D.a 3<b34.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.,由下表数据计算出回归直线方程为y ＝0.7x ＋0.35,则表中的m 的值为（ ）.A.3 B3.5 c. 3..2 D.2.85、若不等式x 2＋ax-2≥0对一切a ∈[]1,1-成立，则x 的取值范围是( )A ．],1[]1,(+∞⋃--∞B ．],1[]2,(+∞⋃--∞C ．],2[]2,(+∞⋃--∞D ．],2[]1,(+∞⋃--∞6.的大小与则则若规定：B A x x B x x x A bc ad dc b a ,21112,1113,-+=--+=-=（ ） A ．A<B B ．A=B C ．A>B D ．随x 值变化而变化7.若集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=<+<-=0)2)(1(3121|x x x x B x x A ，，则=⋂B A ( )A.{}x x -1≤<0B.{}10|<<x xC.{}x x 0≤≤2D.{}x x 0≤≤18已知a>0,,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥--,3,01,01x y x y ax 若y x z 32+=的最大值是6,则a=（）A.31B.21C.41D.43 9.在平面直角坐标系xOy 中，点)02(，A ,M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+,1,01,1y x x y x 所表示的区域上一动点,则直线AM 斜率的取值范围为( )A ．[]3,3-B ．[]2,2-C ．[]1,1-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32 10.上，在直线，若点的图像恒过顶点且函数01)10(1))1(log =-+≠>+-=ny mx A A a a x y a 的最小值为则nm 11+（ ） 223.+A 7.B 23.+C 6.D11.的图像从左至与函数：和已知两条直线|log |),0(122:2121x y l m m y l m y l =>+==BDAC D C x y l B A 和记线段，点的图像从左至右相交于与函数，右相交于点.|log |,22= 的最小值为变化时，，当轴上的投影长度分别为在abm b a x ,（ ） A.24 B 22. 342.C 34.D的最大值为则恒成立且已知n qm nq p p n n m N n q p n m ,111,,0.12-≥-+-+-∈>>>>A 、8 B 、9 C 、10 D 、11二、填空题：（共20分）13.的解集为那么不等式已知函数1)(,0,3,0,log )(221-≥⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=x f x x x x x f _________ 14.若不等式ax 2＋b x ＋c ＞0的解集是(－3,4)，则不等式的解集为042>--c ax bx ____15,)0(2,0,0S k k kx y y x 表示的平面区域面积为在平面直角坐标系中所设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≥≤ 的最大值为时，则当kSk k 11->________16.已知O 是坐标原点，点)1,0(-A ，若点M (x ，y )为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+,1,2,2x y y x 上的一个动点，则|OA →＋OM →|的取值范围是____________ 三、解答题（共70分）174)1(22)1(1)()10(≤≤≤-≤f f O x f ，，且的图像经过原点设二次函数分本题，求)2(f 的取值范围.18（本小题满分12分）2015年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h ）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（Ⅰ）求a 的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）； （Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h 即视为超速行驶，试根据 样本估计该路段车辆超速行驶的概率.19.（本小题满分12分）已知x 、y 都是正数，(1若x,y 满足x ＋4y ＋xy ＝12，求xy 的最大值，并求出此时x 、y 的值． (2)若,4,xy y x y x =+满足求.的最小值y x +20（本小题满分12分）某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A 、B 、C 、D 四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该怎样安排甲、乙的生产，可使得利润最大？最大利润是多少？21（本小题满分12分）解关于x 的不等式：012<-+x ax )(R a ∈车速组距频率22（本小题满分12分）03)12(2=-+-x k kx 若方程;)4,1()1,2()1(的取值范围实数内各有一个实数根，求和方程在k -（2).)1,1(的取值范围，求内有两个相异的实数根若方程在k -二：填空题（4×5=20分）13 {}22|≤≤-x x 14 {}26|>-<x x x 或158116 ]10,5[ 17. ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=+++-=++=+=-=-3124)()(2424)2(,)1(,)1(n m n m n m b a n b a m b a ba fb a f b a f 解得则令解：14)2(74)1(2,2)1(1)1(3)1()2(≤≤∴≤≤≤-≤+-=f f f f f f Θ5210≤-≤f ()18.(1)由图知：（a +0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，∴a =0.06，...............2分该抽样方法是系统抽样； ..........................................…4分 (2)众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；..............................6分数据的中位数为77.9； ...........................8分 (3)估计该路段车辆超速的概率P=0.025 401即......................12分 19.(1)解法一：∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ≥4·xy 又x ＋4y ＋xy ＝12，令xy ＝t ，则4t ＋t 2≤12，∵t ＞0∴0＜t ≤2，∴0<xy ≤4..............................4分当xy ＝4时，∵x ＝4y .∴x ＝4，y ＝1.因此当x ＝4，y ＝1时，xy 取最大值4..........................6分 解法二：由x ＋4y ＋xy ＝12得412+-=x xy ， ∵y ＞0，x ＞0，∴0＜x ＜1220]464)4[(464)4(20)4(4124)12(22++++-=+++-+-=+--=+-=x x x x x x x x x x x xy420642=+-≤....................2分 ....................5分....................10分等号在x ＋4＝464+x 即x ＝4时成立，此时y ＝1.故当x ＝4，y ＝1时，xy 取最大值4. (2)可以化为,4xy y x =+,114=+yx .........................8分 为最小值时，即当93,6,249425)14)((=+=====⋅+≥++=+y x y x y x yxx y y xx y y x y x y x20..设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 、y .则根据题意可知求函数23z x y =+的最大值，限制条件为80,2480,260,770,0,0.x y x y x x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪+≤⎪≥≥⎪⎩画出可行域如图，上述不等式组约束区域即图中的阴影部分.区域的顶点坐标为M （0，20），N （10，0），R ⎪⎭⎫⎝⎛13210,13100，O （0，0）,直线k y x =+32的斜率321-=k .直线8042=+y x 的斜率212-=k .由图可知，y x 32+在点R 处取得最大值，最大值为13830132103131002=⨯+⨯（百万元）................................................................................12分.{}{}分或时，不等式解集为当分时，不等式解集为当分或时，不等式解集为当分时，不等式解集为当分时，不等式解集为当12.....................12|29............;.........1|26............;.........21|024............;.........12|02................;.........1|0.21⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<-<≠-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-><=x a x x a x x a a x x x a x a x a x x a ....................10分....................12分....................4分....................8分 ....................10分..8740)78)(4(0)4)(16(0)4()1(0)1()2(78)4(,4)1(,16)2()1(.21>-<<---<--+⎩⎨⎧<<--=--=+=-k k k k k k f f f f k f k f k f 或解得即解：..............6分（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<->->>++=∆121210)1(0)1(012)1(22k k kf kf k k ...........8分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<->-->->++=∆121210)4(0)23(021642k k k k k k k k ...........10分 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<<<-<>--<+->41403221522152k k k k k k 或或得到21524--<<-k ...........12分。

横峰中学(zhōngxué)、弋阳一中2021-2021学年高二数学上学期第一次月考试题理时间是：120分钟满分是：150分一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是符合题目要求。

1．设集合A． [1，2] B． (－1，3) C． {1} D． {l，2}2．a，b，c∈R，那么以下命题中正确的选项是 ( )A．假设a>b，那么ac2>bc2 B．假设，那么a>bC．假设a3>b3且ab<0，那么 D．假设a2>b2且ab>0，那么3．以下结论正确的选项是 ( )A．当，时， B．当时，的最小值为C．当时， D．当时，的最小值为4．要完成以下3项抽样调查：①从15瓶饮料中抽取5瓶进展食品卫生检查.②某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会完毕以后，为了听取意见，需要抽取25名学生进展座谈.③〔〕A．①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B．①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样C．①系统抽样,②简单(jiǎndān)随机抽样,③分层抽样 D．①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样5．在中，内角的对边分别为.假设的面积为，且，，那么外接圆的面积为〔〕A． B． C． D．6．设f(x)＝e x,0<a<b，假设，，，那么以下关系式中正确的选项是( )A． q＝r<p B． p＝r<q C． q＝r>p D． p＝r>q7．设不等式组表示的平面区域为D，假设圆C：不经过区域D上的点，那么r的取值范围为A． B． C． D．8．，，，假设>恒成立，那么实数m的取值范围是A．或者 B．或者C． D．9．在中，为上一点，，为上任一点，假设，那么的最小值是〔〕A． 9 B． 10 C． 11 D． 1210．实数(shìshù)满足，直线过定点，那么的取值范围为〔〕A． B． C． D．11．二次函数有两个零点，且，那么直线的斜率的取值范围是〔〕A． B． C． D．12．函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，假设数列满足，且，那么的值是〔〕A． B． C． D．第II卷〔非选择题〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．点A〔a，1〕与点B〔a＋1，3〕位于直线x－y＋1＝0的两侧，那么a的取值范围是 .14．一组数据x1，x2，x3，…，x n的平均数是，方差是，那么另一组数据2x1– 1，2x2– 1，2x3– 1，…，2x n– 1的平均数是，方差是．15．在中，内角所对的边分别为，，且，那么面积的最大值为________．16．实数(shìshù)、满足，假设此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，那么的取值范围为__________．三、解答题:本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17．求以下关于实数的不等式的解集：〔1〕〔2〕18．某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在〔单位：克〕，脂肪的摄入量控制在〔单位：克〕，某食堂提供的伙食以食物和食物为主，1千克食物含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元．〔1〕假如某学生只吃食物，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；〔2〕为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物和食物各多少千克？并求出最低需要花费的钱数．19．在中，角，，的对边分别是，，，假设，，成等差数列.〔1〕求；〔2〕假设，，求的面积.20．点〔x，y〕是区域(qūyù)，〔n∈N*〕内的点，目的函数z=x+y，z的最大值记作z n．假设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点〔S n，a n〕在直线z n=x+y上．〔Ⅰ〕证明：数列{a n﹣2}为等比数列；〔Ⅱ〕求数列{S n}的前n项和T n．21．，．假设，解不等式；假设不等式对一实在数x恒成立，务实数a的取值范围；假设，解不等式．22．阅读：、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，那么12ya b=+的最小值为.应用上述解法，求解以下问题：〔1〕，，求的最小值；〔2〕，求函数的最小值；〔3〕正数(zhèngshù)、、，，求证：.参考答案DCDA B CACDD AC13． 14．， 15． 16．17．〔1〕不等式变形(biàn xíng)为：，即或者，所以不等式解集为．18．〔1〕解：假如学生只吃食物，那么蛋白质的摄入量在〔单位：克〕时，食物的重量在〔单位：千克〕，其相应的脂肪摄入量在〔单位：克〕，不符合营养学家的建议；当脂肪的摄入量在〔单位：克〕时，食物的重量在〔单位：千克〕，其相应的蛋白质摄入量在〔单位：克〕，不符合营养学家的建议.〔2〕设学生每天吃千克食物，千克食物，每天的伙食费为，由题意满足，即，可行域如下图，把变形为，得到斜率为，在轴上截距为的一族平行直线.由图可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最大.解方程组，得点的坐标为，所以元，答：学生每天吃0.8千克食物，0.4千克食物，22元.19．〔1〕∵，，成等差数列(děnɡ chā shù liè),∴，由正弦定理，，，为外接圆的半径，代入上式得：，即.又，∴，即.而，∴，由，得.〔2〕∵，∴，又，，∴，即，∴.20．解：〔Ⅰ〕∵目的函数对应直线l：z=x+y，区域，〔n∈N*〕表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，∴当x=2n，y=0时，z的最大值z n=2n∵〔S n，a n〕在直线z n=x+y上∴z n=S n+a n，可得S n=2n﹣a n，当n≥2时，可得a n=S n﹣S n﹣1=〔2n﹣a n〕﹣[2〔n﹣1〕﹣a n﹣1]化简整理，得2a n=a n﹣1+2因此，a n﹣2=〔a n﹣1+2〕﹣2=〔a n﹣1﹣2〕当n=1时，a n﹣2=a1﹣2=﹣1∴数列(shùliè){a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；〔Ⅱ〕由〔I〕得a n﹣2=﹣〔〕n﹣1，∴a n=2﹣〔〕n﹣1，可得S n=2n﹣a n=2n﹣2+〔〕n﹣1，∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得即数列{S n}的前n项和T n=，〔n∈N*〕．21．解当，不等式即，即，解得，或者，故不等式的解集为，或者．由题意可得恒成立，当时，显然不满足条件，．解得，故a的范围为．假设，不等式为，即．，当时，，不等式的解集为；当时，，不等式即，它的解集为；当时，，不等式的解集为．22．〔1〕，而，当且仅当时取到等号，那么(nà me)，即111ya b c=++的最小值为.〔2〕，而10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当且仅当，即时取到等号，那么，所以函数1812yx x=+-的最小值为.〔3〕当且仅当时取到等号，那么.内容总结（1）横峰中学、弋阳一中2021-2021学年高二数学上学期第一次月考试题理时间是：120分钟满分是：150分一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是符合题目要求（2）〔2〕为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物和食物各多少千克。

2020～2021学年度江西省上饶市横峰中学高二(课改班)第一学期第一次月考数学(理)试题一、单选题1.平面α⊥平面β,l αβ=,m α⊂,m l ⊥,则( )A.//m βB.m β⊂C.m β⊥D.m 与β相交但不一定垂直 【参考答案】C【试题解析】设m l A ⋂=,在β内,过点A 作n l ⊥,由平面α⊥平面β得到m n ⊥,再利用线面垂直的判定定理判断.如图所示:设m l A ⋂=,在β内,过点A 作n l ⊥, 因为m α⊂,m l ⊥,平面α⊥平面β, 所以m n ⊥,又l n A ⋂=, 所以m β⊥, 故选:C本题主要考查面面垂直的定义,线面垂直的判定定理,属于基础题.2.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( )A.4B.2C.6D.8【参考答案】A【试题解析】求出椭圆的右焦点坐标,再根据抛物线的焦点坐标公式可得.由题意椭圆中,622c =-=,右焦点为(2,0),∴22p=,4p =. 故选:A .本题考查椭圆与抛物线的焦点坐标,属于基础题. 3.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( )A.7πB.8πC.9πD.10π【参考答案】C【试题解析】由三视图还原出原几何体,然后由圆柱、球的表面积公式求解.由三视图知原几何体是下面一个圆柱上面是四分之一个球, 其表面积为2222111121311419224S ππππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故选:C .本题考查三视图,考查圆柱与球的表面积计算,解题关键是由三视图确定原几何体.4.设,m n R ∈,则“m n >”是112m n-⎛⎫< ⎪⎝⎭的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】C【试题解析】由10()12m nm n m n ->⇔->⇔<,结合充要条件的定义得答案.由10()12m nm n m n ->⇔->⇔<.可得设m ,n R ∈,则“m n >”是1()12m n-<的充要条件.故选:C .本题考查充分必要条件的判定,考查指数函数的性质,是基础题.5.已知抛物线2:C y x =,点P 为抛物线C 上任意一点,则点P 到直线20x y -+=的最小距离为( ) A.1272322 【参考答案】B【试题解析】先设点P 的坐标,再求距离并求最小值即可.设点P 的坐标为()2,m m ,则点P 到直线20x y -+=的距离为2178m⎛⎫-+⎪==≥故选:B.本题考查抛物线上的点到直线的最小距离,是基础题.6.已知12,F F是椭圆的两个焦点,过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点,若2ABF是正三角形,则这个椭圆的离心率是()【参考答案】A【试题解析】由正三角形特点12||,||AF AF用c表示,结合椭圆的定义,即可求得离心率.2ABF是正三角形,212||||33AF F F∴==,1212||2||,||||23AF AF c AF AF a∴==+==3e∴=.故选:A.本题考查椭圆离心率的求解问题,涉及到椭圆的椭圆的定义;关键是能够利用正三角形的特点求出12||,||AF AF.7.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°【参考答案】B【试题解析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图,根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系,根据点A 处的纬度,计算出晷针与点A 处的水平面所成角.画出截面图如下图所示,其中CD 是赤道所在平面的截线;l 是点A 处的水平面的截线,依题意可知OA l ⊥;AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线,依题意依题意,晷面和赤道平面平行,晷针与晷面垂直,根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒,所以40OAG AOC ∠=∠=︒, 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒,所以40BAE OAG ∠=∠=︒,也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选:B本小题主要考查中国古代数学文化,考查球体有关计算,涉及平面平行,线面垂直的性质,属于中档题.8.若6(x 展开式中常数项为60.则常数a 的值为( )A.4B.2C.8D.6【参考答案】A【试题解析】直接利用二项式定理计算得到2660C a ⋅=,解得答案.6(x -展开式的通项为:()66321661rrr r r r rr T C x C a x --+⎛=⋅=⋅-⋅⋅ ⎝⎭. 取2r得到常数项为2660C a ⋅=,解得4a =.故选:A .本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.9.由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2必须相邻的五位数的个数是( ) A.32B.36C.48D.120【参考答案】C【试题解析】根据题意,捆绑法将12看做同一元素,再将剩下的3个元素和12这个大的元素全排列即可. 详解:根据题意,捆绑法将12看做同一元素22A , 再将剩下的3个元素和12这个大的元素全排列44A ,最终按照分步计数的方法得到2424A A ＝48. 故答案为:C.点睛:排列与组合问题要区分开,若题目要求元素的顺序则是排列问题,排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题,即不同元素分到不同组内时,通常先分组后分配.10.已知双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22152x y +=有相同的焦点,则41m n +的最小值为( ) A.2B.3C.4D.5【参考答案】B【试题解析】由题意求出m n +的值,结合不等式的知识可得41m n+的最小值.解:由题意双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22152x y +=有相同的焦点,523m n ∴+=-=,41141141()553333n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++⋅+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,当且仅当4n mm n=即2m n =时等号成立, 故41m n+的最小值为3, 故选:B.本题主要考察椭圆、双曲线的性质及基本不等式性质的应用,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力,属于中档题.11.已知双曲线()2222:10,0xy C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,以2OF 为直径的圆M 与双曲线C 相交于,A B 两点,其中O 为坐标原点,若1AF 与圆M 相切,则双曲线C 的离心率为( )【参考答案】C【试题解析】分析:首先根据题中的条件,确定出圆的半径的大小,根据数轴上的点的坐标,求得13,22c cAM MF ==,根据直线与圆相切,求得相关的线段长,在直角三角形中,求得111cos 3AMF MA F M ∠==,利用诱导公式,结合余弦定理,求得2AF ==,最后利用离心率的公式求得结果.详解:根据题意,有13,22c cAM MF ==, 因为若1AF 与圆M 相切,所以122F AF π∠=,所以由勾股定理可得1AF =,所以111cos 3AMF MA F M ∠==, 所以21cos 3AMF ∠=-,由余弦定理可求得222162()44223c c c c AF c=+-⋅⋅⋅-=,所以,232622623ce ac c +===-,故选C. 点睛:该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题,在解题的过程中,需要借助于双曲线的定义,结合题中所涉及的焦点三角形,利用直线与圆的有关性质,利用余弦定理求得相关的量,求得结果.12.矩形ABCD 中,22BC AB ==,N 为边BC 的中点,将ABN 沿AN 翻折成1B AN △(1B ∉平面ABCD ),M 为线段1B D 的中点,则在ABN 翻折过程中,下列命题:①与平面1B AN 垂直的直线必与直线CM 垂直; ②线段CM 的长为32; ③异面直线CM 与1NB 所成角的正切值为12; ④当三棱锥1D ANB -的体积最大时,三棱锥1D ANB -外接球表面积是4π. 正确的个数为( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个【参考答案】C【试题解析】①根据//CM 平面1AB N ,即可判断;②通过线段相等CM NE =,可求出线段NK 的长;③异面直线CM 与1NB 的所成角为1ENB ∠,求出其正切值即可;④找出球心,求出半径即可判断其真假,从而得出正确答案的个数. 解:如图,取1AB 的中点为,E AD 的中点为F ,连接1,,,EN EM FN B F ,则四边形CNEM为平行四边形,直线//CM 平面1AB N ,所以①正确;2CM NE ===,所以②错误; 因为//CM EN ,异面直线CM 与1NB 的所成角为1ENB ∠,11tan 2ENB ∠=,所以③正确;当三棱锥1D ANB -的体积最大时,平面1B AN 与底面ABCD 垂直,可计算出1B D ,11AB =,22211AB B D AD +=,所以190AB D ∠=︒,同理90AND ∠=︒,所以三棱锥1D ANB -外接球的球心为F ,半径为1,外接球表面积是4π,④正确. 所以①③④正确. 故答案为:C.本题考查翻折过程中点线面的位置关系,注意翻折过程中的不变量,考查了相关角度,长度,体积的计算,考查直观想象、运算能力,属于较难题目.二、填空题13.命题“x ∃∈R ,212x x +<”的否定是_______. 【参考答案】x ∀∈R ,212x x +≥【试题解析】原命题为特称命题,其否定为全称命题.“x ∃∈R ,212x x +<”的否定是x ∀∈R ,212x x +≥ 故答案为:x ∀∈R ,212x x +≥本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词; (2)否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 14.已知()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++,则0128a a a a ++++=_______.【参考答案】510【试题解析】在等式中令1x =,利用等比数列求和公式可求得0128a a a a ++++的值.在等式()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++中,令1x =可得()82380128212222251012a a a a -++++=++++==-.故答案为:510.本题考查利用赋值法求各项系数和,同时也考查了等比数列求和,考查计算能力,属于中等题.15.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子,得到的点数分别为a ,b ,则椭圆22221x ya b+=的离心率2e >的概率是__________. 【参考答案】13【试题解析】由椭圆22221x y a b +=的离心率2e >,可得224a b >或224b a >,掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ,b ,共有36种情况,将满足不等式的情况一一列举出来,利用古典概型求解即可.由椭圆22221x y a b +=的离心率e >可得当a b >时,c e a==>即得224a b >;当a b <时,c e b ==>即得224b a >. 同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ,b ,共有6636⨯=种情况, 满足上述关系的有:(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,5),(6,1),(1,6),(6,2),(2,6)共12种情况, 所以概率为:121363=. 故答案为13.本题主要考查了古典概型的计算及椭圆离心率的计算,但要注意椭圆的焦点在哪个轴上,需讨论a 和b 的大小,属于易错题.16.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,AB AC ⊥,6AB =,8AC =,D 是线段AC 上一点,且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上,过点D 作球O 的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π,则球O 的表面积为__________. 【参考答案】112π【试题解析】由题意一条侧棱垂直于底面,补成三棱柱,若所得截面圆的面积的最小值时截面与OD 垂直,所得截面圆的面积最大值时过球心,分别求出两种情况的半径,进而求出面积的和,求出球的半径,进而求出表面积.解:将三棱锥补成知三棱柱,且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球O .设三角形ABC 的中心为O ',设外接球的半径为R ,球心O 到平面ABC 的距离为x ,即OO x '=,连接O A ',则5O A '=,2225R x ∴=+,在三角形ABC 中,取AC 的中点E ,连接O D ',O E ',则132O E AB '==,124DE AC ==,O D '∴=在Rt △OO D '中,OD 由题意得当截面与直线OD 垂直时,截面面积最小, 设此时截面半径为r ,则2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=, 所以截面圆的面积为212r ππ=,当截面过球心时,截面圆的面积最大为2R π,21216R πππ∴-=, 所以228R =,所以表面积24112==S R ππ,故答案为:112π.本题考查球的表面积的求法,考查三棱锥的外接球与棱长的关系即球的表面积公式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.三、解答题17.已知椭圆C 的焦点1F (－220)和2F (220),长轴长6. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的中点坐标.【参考答案】(Ⅰ)2219x y +=(Ⅱ)91-55（，） 【试题解析】(1)设椭圆C 的方程为:()222210x y a b a b+=>>,由题意及a,b,c 的平方关系即可求得a,b 值;(2)联立方程组消去y 可得关于x 的一元二次方程,设A ()11,x y ,B ()22,x y ,由韦达定理可求12x x +的值,进而可得中点横坐标,代入直线方程即可求得纵坐标 试题解析:(Ⅰ)由已知得22c =26a =22231a b a c ∴=∴=-=22C 19x y ∴+=椭圆的标准方程为(Ⅱ)1122A ,,(,)x y B x y 设（）2222{103627019y x x x x y =+++=+=由整理后得121112122218522{42591-55x xy xy y x xy xAB∴+=-=+∴+=++==+∴又的中点坐标为（，）【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程18.如图,四棱锥P ABCD-的底面是边长为2的菱形,PD⊥底面ABCD.(1)求证:AC⊥平面PBD;(2)若2PD=,直线PB与平面ABCD所成的角为45,求四棱锥P ABCD-的体积.【参考答案】(1)证明见解析;(243【试题解析】(1)通过AC⊥BD与PD⊥AC可得AC⊥平面PBD;(2)由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角,即∠PBD＝45°,则可先求出菱形ABCD的面积,进而可得四棱锥P- ABCD的体积.解:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,又因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC,又PD BD D⋂=,故AC⊥平面PBD;(2)因为PD⊥平面ABCD,所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角,于是∠PBD＝45°,因此BD＝PD＝2.又AB＝AD＝2,所以菱形ABCD的面积为sin6023S AB AD︒=⋅⋅=故四棱锥P- ABCD的体积1433V S PD=⋅=.本题主要考查空间线、面关系等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力,是基础题.19.已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角,a 、b 、c 分别是其对边长,向量(),m a b c =+,()sin sin ,sin sin n B A C B =--,且m n ⊥.(1)求角A 的大小;(2)若2a =,求ABC ∆面积的最大值.【参考答案】(1)3A π=;(2【试题解析】(1)由m n ⊥得出()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B +-+-=,利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出cos A 的值,结合角A 的取值范围可得出角A 的大小;(2)利用余弦定理结合基本不等式可求出bc 的最大值,再利用三角形的面积公式可得出答案. (1)(),m a b c =+,()sin sin ,sin sin n B A C B =--,m n ⊥,()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=,由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=,整理得222b c a bc +-=,2221cos 22b c a A bc +-∴==,0A π<<,3A π∴=;(2)在ABC ∆中,3A π=,2a =,由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-,由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥,当且仅当b c =时等号成立,4bc ∴≤,11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=因此,ABC ∆本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了三角形面积最值的计算,涉及基本不等式以及正弦定理边角互化思想的应用,考查计算能力,属于中等题.20.已知()323nx x +展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中含有4x 的项; (2)求展开式中二项式系数最大的项.【参考答案】(1)490x ;(2)4390T x =,1334270T x =【试题解析】(1)先求出n ,再利用通项公式求展开式中含有4x 的项;(2)展开式共6项,二项式系数最大项为第三、四项,即可求展开式中二项式系数最大的项;解:令1x =得展开式各项系数和为4n ,二项式系数为012n n nn n C C C ++⋯+=, 由题意得:42992n n -=,解得5n =, (1)()5323x x +通项公式为103153rr r r T C x++=令10=23r+,2r ∴=,∴224435390T C x x ==. (2)5n =,∴展开式共6项,二项式系数最大项为第三、四项,∴224435390T C x x ==,13133333453270T C x x ==本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.21.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AB CD ,AB AD ⊥,PA ⊥底面ABCD ,E 为BP 的中点,2AB =,1PA AD CD ===.(1)证明://EC 平面PAD ; (2)求二面角E AC P --的正弦值.【参考答案】(1)证明见解析;(2)6. 【试题解析】(1) 将线面平行转化为线线平行证明;作辅助线,取AP 的中点F ,连EF ,DF ,证明//EC FD 即可;(2)根据题目可知P A 、PB 、PD 两两垂直,可建立空间直角坐标系,利用平面法向量求解出二面角E AC P --的余弦值,进一步求解出正弦值.(1)证明:如图,取AP 的中点F ,连EF ,DF ,∵BE PE =,PF AF =, ∴11//,22EF AB EF AB = ∵在直角梯形ABCD 中, ∴11//,22CD AB CD AB =, ∴//,CD EF CD EF =, ∴四边形EFDC 为平行四边形, ∴//EC FD∵DF ⊂平面PAD ,EC ⊄平面PAD ,//EC FD , ∴//EC 平面PAD ,(2)∵PA ⊥平面ABCD ,AB AD ⊥, ∴AP ,AB ,AD 两两垂直,以A 为原点,AB ,AD ,AP 向量方向分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标如下:(0,0,0)A ,(0,0,1)P ,(1,1,0)C ,(2,0,0)B ,11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭设平面APC 的法向量为(),,m x y z =由(0,0,1)AP =,(1,1,0)AC =,有00AP m z AC m x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩,取1x =,则1y =-,0z =,即(1,1,0)m =-设平面EAC 的法向量为(),,n a b c =由(1,1,0)AC =,11,0,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,有0102AC n a b AE n a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩, 取 1x =,则1y =-,2z =-,即(1,1,2)n =--所以3cos ,326m n <>==⨯ 故二面角E AC P --的正弦值为1613-=.本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用,属于中档题目,解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标,计算比较繁杂,对运算能力要求较高,需要准确计算.22.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)6以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切. (1)求C 的方程;(2)直线y x m =+交C 于()11,M x y ,()22,N x y 两点,且12x x >.已知l 上存在点P ,使得PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形,若P 在直线MN 的右下方,求m 的值.【参考答案】(1)2213x y +=;(2)1-【试题解析】(1)由C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切求出b ,再由离心率和,,a b c 关系,可求出椭圆标准方程;(2)将直线y x m =+与椭圆方程联立,消元整理,由根与系数关系,得到12,,x x m 的两个关系式,再从已知条件寻找12,,x x m 第三个等量关系,根据已知结合平面图形,可得NP x ∥轴,过M 作NP 的垂线,垂足为Q ,则Q 为线段NP 的中点,得()12,Q x y ,进而有()1222,P x x y -,代入直线l 方程,得到12,,x x m 等量关系,求解关于12,,x x m 方程组,即可求出m .(1)依题意,1b ==,因为离心率c e a====,解得a =所以C 的标准方程为2213x y +=.(2)因为直线y x m =+的倾斜角为45︒,且PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形,P 在直线MN 的右下方,所以NP x ∥轴,过M 作NP 的垂线,垂足为Q ,则Q 为线段NP 的中点, 所以()12,Q x y ,故()1222,P x x y -,所以()12232450x x y -+-=,即()()12232450x x x m -++-=, 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+>,解得22m -<<,所以1232x x m +=-,② ()212314x x m =-,③ 由①-②得,112mx =-,④ 将④代入②得21x m =--,⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭,解得1m =-.综上,m 的值为1-.本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,直线和圆的位置关系等基础知识,意在考查数学运算和逻辑推理,属于中档题.。

江西省上饶县高二上学期 第一次月考文科数学试卷时间:120分钟 总分:150分一 、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．若α是第二象限的角，且32sin =α，则=αcos （ ） A .31 B.31-C.35 D.35-2.不等式2320x x --+>的解是（ ）A ．213x -<< B ．23x <-或1x > C ．213x -<<D ．1x <-或23x >3. ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径为 （ ）A ．151516 B ．15158 C ．13136 D ．1313124.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若102,a a 是方程08122=-+x x 的两根，则11S =( ) A.44B.44-C.66D.66-5．函数)32sin(π+=x y 的图像( )A.关于点)0,3(π对称， B.关于直线4π=x 对称， C.关于点)0,4(π对称，D.关于直线3π=x 对称6．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和。

若1322a a a =⋅，且4a 与72a 的等差中项为54，则=5S （ ） A ．35B ．33 Ｃ．31Ｄ．297.设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．08..在△ABC 中，若C B A C B A 222sin sin sin ,cos sin 2sin +==，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形9. 设0,0>>b a ，若3是3a 与23b的等比中项，则21a b +的最小值为 （ ）10. 在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a的取值范围是（ ） A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<<D ．3122a -<< 二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11.若不等式x 2﹣ax ﹣a≤﹣3的解集为空集，则实数a 的取值范围为_______.12．在△ABC 中，若a,b,c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a,b,c 成等差数列，B=030,ABC ∆的面积为23，则_______=b .13.已知 -9，1a ，2a ，-1四个实数成等差数列，-9，1b ，2b ，3b ，-1五个实数成等比数列，则221()b a a -= 。