江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题及答案

2020～2021学年高一上学期元月月考数 学 试 卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40分） 1.sin454cos176︒+︒的值为（ ）A.sin4︒B.cos4︒C. 0D. 2sin4︒2.已知集合仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ） A.B. 0，C.D.3.已知命题：命题；命题，且p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围（ ）A.B.C. D.4.函数在区间内的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 45.已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A. 与的定义域都是B. 为奇函数，为偶函数C. 的值域为，的值域为D.与都不是周期函数6.将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的图象关于点(,0)3π-对称B. 函数的最小正周期为2π C. 函数的图象关于直线6x π=对称 D. 函数在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7.已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦D. (0,2]8.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有13[()log ]4f f x x +=，且方程在区间上有两解，则实数a 的取值范围（ ）A.B.C.D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分） 9.下列结论中正确的是（ ）A. 终边经过点的角的集合是；B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3π； C. 若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；D.，则．10.下列说法正确的是（ ）A. 若都是第一象限角且，则；B. 1312tan()tan()45ππ->-； C. cos()2y x π=-在区间2[,]63ππ的值域为1[2； D. 已知()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数。

江西省上饶市2020年高一上学期数学第一次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）满足的集合M共有（）A . 6个B . 5个C . 8个D . 7个2. （2分）若函数的图象过第一二三象限，则有（）A .B . ,C . ,D .3. （2分） (2017高一上·密云期末) 函数y=log2（x+2）的定义域是（）A . （﹣∞，﹣2）B . （﹣∞，﹣2]C . （﹣2，+∞）D . [﹣2，+∞）4. （2分）下列函数在上单调递增的是（）A .B .C .D .5. （2分）若，则化简的结果是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·白山模拟) 设函数y=ax2与函数y=| |的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A . （ e，）B . （﹣ e，0）∪（0， e）C . （0， e）D . （，1）∪{ e}7. （2分）(2019·上饶模拟) 设满足不等式组，则的最大值为（）A . 3B . -1C . 4D . 58. （2分） f（x）=cosx﹣sinx在下列哪个区间上是单调递减的（）A . [,]B . [﹣π，0]C . [0，π]D . [0,]9. （2分）设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）A . f(1.5)<f(3.5)<f(6.5)B . f(6.5)<f(3.5)<f(1.5)C . f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)D . f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)10. （2分）若不等式lg ≥（x﹣1）lg3对任意x∈（﹣∞，1]恒成立，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，0]B . [1，+∞）C . [0，+∞）D . （﹣∞，1]11. （2分） (2020高一上·遂宁期末) 已知定义域为的奇函数，则的解集为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知M={y|y=x2﹣1，x∈R}，P={x|x=|a|﹣1，a∈R}，则集合M与P的关系是________．14. （1分）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则的值是________．15. （1分） (2019高二上·集宁月考) 给出以下四个命题：⑴命题，使得，则，都有；⑵已知函数f(x)＝|log2x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则ab＝1；⑶若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面α平行于平面β；⑷已知定义在上的函数满足函数为奇函数，则函数的图象关于点对称．其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）16. （1分） (2019高一上·南海月考) 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin （ x＋Φ）＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知集合M={x|x2+ax+b=0，x∈R}．（Ⅰ）若集合M是单元素集，求实数a，b满足的关系式；（Ⅱ）若1，3∈M，求实数a，b的值．18. （5分）二次函数y=﹣x2﹣mx﹣1与x轴两交点分别为A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x1＜x2＜3，求m 的取值范围．19. （10分） (2019高一上·杭州期中) 已知函数· .（1）令，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；（2）求该函数的值域.20. （10分）在等差数列中，a10=18，S5=－15，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．21. （10分） (2016高三上·山西期中) 已知函数f（x）=lnx，g（x）= ax2+bx，a≠0．（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）﹣g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1 ，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．22. （15分）已知函数f（x）=x+ ．（1）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、。

横峰中学2020-2021学年度上学期第一次月考高一年级数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1．设集合{1,3,5,7},{25}A B x x ==≤≤∣，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,3B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7} 2．已知全集{}2,20,{1}U A x x x B x x ==-<=≥R ∣∣，则()U A C B ⋃=（ ）A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(,2)-∞D ．(0,1) 3．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的正整数 ④ A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①③ 4．下列各组中的两个函数表示同一函数的是（ ）A ．2()()f x g x == B ．21(),()11x f x g x x x -==-+ C ．0(),()1f x x g x == D ．11(),()f x x g t t x t=+=+5．已知对任意的120x x <<都有()()12210f x f x x x ->-，设(),(2)a f b f π==，则（ ）A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．a b 、大小关系不能确定 6．已知幂函数ay k x =⋅的图象过点(4,2)，则k a +等于（ ）A ．32 B ．3 C ．12D ．2 7．已知函数2()48h x x kx =--在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(,40]-∞ B ．[160,)+∞ C ．(,40][160,)-∞⋃+∞ D ．∅ 8．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．29．已知函数()y f x =定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[1,4]-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[5,5]- 10．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．图像与y 轴的交点坐标为(0,1) B ．图像的对称轴在y 轴的右侧 C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小 D ．y 的最小值为3-1l ．已知函数222,0,()2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若()()2(1)f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,0)-B ．[0,1]C ．[1,1]-D ．[2,2]-12．已知2()()f x x ax a R =+∈，且函数(())f f x 与()f x 值域相同，则a 的取值范围为（ ） A ．(,0][2,)-∞⋃+∞ B ．(,0)(2,)-∞⋃+∞ C ．{0,2} D ．[0,2] 二、填空题：（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20132014a b +=________． 14．已知(,)x y 在映射f 下的对应元素是(2,2)x y x y +-，则(1,2)在映射f 下的对应元素是____．15．当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是___________．16．若函数234y x x =--的定义域为[0,]n ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则n 的取值范围是________． 三、解答题：（本题包括6小题，共70分，解题应写岀文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知全集{10,},{0,2,4,6,8},{,5}U x x x N A B x x U x =≤∈==∈<∣∣ （1）求{M xx A =∈∣但}x B ∉； （2）求()()U U C A C B ⋂．18．（12分）（1）（1）求函数21()1x f x x -=+的值域； （2）已知函数268y mx mx m =-++的定义域是R ，求实数m 的取值范围．19．（12分）（1）已知()f x 是一次函数，且2(21)(2)65f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；（2）已知函数2(3)46f x x x -=-+，求()f x 的解析式．20．（12分）已知函数2(),(0,)1xf x x x =∈+∞+ （1）判断函数的单调性，并用定义法证明；（2）若(21)(1)f m f m ->-，求实数m 的取值范围．21．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为2000元，每生产一台仪器需增加投入100元．设该公司的仪器月产量为x 台，当月产量不超过400台时，总收益为214002x x -元，当月产量超过400台时，总收益为80000元．（注：总收益=总成本+利润） （1）将利润表示为月产量x 的函数()f x ；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？22．（12分）求二次函数2()(21)3(0)f x ax a x a =+--≠在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．横峰中学2020-2021学年度上学期第一次月考高一年级数学参考答案一、选择题：二、填空题：13．1- 14．(5,3)- 15．(,5]-∞- 16．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17．解：（1）{6,8}M = 5分（2）()() {5,7,9,10}U U C A I C B = 10分 18．（1）(,2)(2,)-∞⋃+∞ 16分 （2）[0,1]m ∈ 12分19．解：（1）因为()f x 是一次函数，所以可设()f x kx b =+则2(21)(2)2[(21)][(2)]3465f x f x k x b k x b kx k b x +--=++--+=++=+，所以3645k k b =⎧⎨+=⎩，解得23k b =⎧⎨=-⎩，所以()23f x x =-． 6分（2）令3t x =-，则3x t =+．因为2(3)46f x x x -=-+，所以2()(3)4(3)6f t t t =+-++223t t =++．故2()23f x x x =++． 12分20．（1）设120x x <<，则()()1212222,211f x f x x x --=+=+++， ()()()()()()()21211221211212222,0,0,01111x x f x f x x x x x f x f x x x x x --=-=<<->->++++， 2()1xf x x =+在(0,)x ∈+∞上单调递增 6分 （2）若(21)(1)f m f m ->-，由2()1x f x x =+在(0,)x ∈+∞上单调递增，得21010211m m m m->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，即213m <<，则实数m 的取值范围为213m << 12分 21．（1）由题意得总成本为(20000100)x +元，所以利润2130020000,0400,()260000100,400,x x x x Nf x x x x N⎧--≤≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩． 6分 （2）当0400x ≤≤时，2211()30020000(300)2500022f x x x x =--=--+， 所以当300x =时，()f x 的最大值为25000； 9分当400x >时，()60000100f x x =-是减函数，所以max ()600001004002000025000f x <-⨯=<综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元 12分22．由题意，二次函数2221(21)()324a a f x a x a a --⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 可得对称轴为212a x a-=-， ①当0a >时，因为区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的中点值为14x =，（i ）当21124a a --时，即25a ≥时，此时max ()(2)85f x f a ==-；（ii ）当21124a a -->时，即205a <<时， 此时max 333()242f x f a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭； ②当0a <时，可得2102a a--< （i ）当21322a a ---时，即10a -≤<时，此时max 333()242f x f a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭； （ii ）当321022a a--<-<时，即1a <-时， 此时2max21(21)()324a a f x f a a --⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，综上所述，可得2max(21)3,14332(),1425285,5aaaf x a aa a⎧---<-⎪⎪⎪=---≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩且0a≠12分。

2022-2022年高一上册第一次月考数学专题训练（江西省横峰中学）解答题若二次函数满足，且函数的的一个根为.(Ⅰ) 求函数的解析式；（Ⅱ）对任意的，方程有解，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）待定系数法求函数解析式，注意条件，分析对称轴，再利用根即可求出；（2）由题意可得在上有解，分离变量，构造函数，利用二次函数的性质求解即可．试题解析：(Ⅰ)∵且∴∴（Ⅱ）.解答题已知定义在上的函数，对任意，都有，当时，；（1）判断的奇偶性；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在上为奇函数；（2）【解析】试题分析：（1）利用抽象函数性质对定义域内任意值恒成立，可以赋值，从而证明函数是奇函数；（2）利用抽象函数的性质证明函数是减函数，再转化为函数值大小确定，研究自变量大小问题解决.试题解析：（1）函数在上为奇（2）可证到函数在上为单调递减；因为对任意的恒成立，由题意可转化为对任意的恒成立，当时，得，符合题意；当时，则，得故符合题意的实数的取值范围为解答题计算( 1 )( 2 ) 化简．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：利用指数幂的运算法则及根式的意义化简.试题解析：（1）（2）原式=选择题设满足，且在上是增函数，且，若函数对所有的，当时都成立，则的取值范围是（）A. B. 或或C. 或或D.【答案】B【解析】若函数对所有的都成立，由已知易得的最大值是1，∴，设，欲使恒成立，则或或，故选B.选择题设函数，若互不相等的实数，，满足，则++的取值范围是（）A. （，B. [，6C. （，6）D. （，）【答案】C【解析】函数图象如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足，则x1+x2+x3的取值范围是：，故选C选择题若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数的定义域是,所以的定义域是，又，所以，故函数定义域为，故选B.选择题下列各组函数的图象相同的是（）A、B、与g（x）=x+2C、D、【答案】D【解析】试题分析：A．两个函数的定义域不相同，B．同样是两个函数的定义域不相同，，，C．同样是两个函数的定义域不相同，的定义域是，D．函数，两个函数的定义域相同，化简后的解析式也相同，所以是同一函数，故选D．已知定义在上的奇函数，当时，（1）求函数在上的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围。

江西省铅山一中、横峰中学2020学年高一数学上学期第一次联考试题（统招班）时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3,5},{2,3,5}A B ==，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,2,4}B ．{4}C ．{3,5}D ．∅2. 已知{}{}|24,|3A x x B x x =-<<=>，则A ∩B=（ ）A. {}|24x x -<<B. {}|3x x >C. {}|34x x <<D. {}|23x x -<<3.满足关系{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 的个数（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个4.满足A ∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A 共有（ ）A.2个B.8个C.4个D.16个5. 在下列四组函数中,()()f x g x 与表示同一函数的是( )A. ()()211,1x f x x g x x -=-=+ B. ()()()01,1f x g x x ==+ C. ()()2,f x x g x x ==D. 4)(,22)(2-=-⋅+=x x g x x x f6. 函数123()f x x x =-+-的定义域是（ ） A. [)23, B.()3,+∞ C.[)()233,,+∞U D.()()233,,+∞U 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.139B.15 C ．3 D.238．f (x)是定义在(0,+∞)上的增函数,则不等式f(x)>f[8(x-2)]的解集是（ ）A.(0 ,+∞)B.(0 , 2)C. (2 ,+∞)D.(2 ,716) 9．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ）A ．9B ．14C ．18D ．2110、函数()f x 定义域为R ，且对任意x y 、R ∈，()()()f x y f x f y +=+恒成立.则下列选项中不恒成立．．．．的是（ ） A.(0)0f = B.(2)2(1)f f = C.11()(1)22f f = D.()()0f x f x -< 11. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-323)2()(x x x f x f x ，则()=-2f （ ）A.0B.1C.-3D.1/1612.已知函数,1()(32)2,1a x f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，在（—∞，+∞）上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分.13．若},3,2,1{},2,1,0{==B A 则=B A U ________，A ∩B ________ ．14.已知函数f(1-2x)的定义域为[-1，3）求f(x)的定义域 .15.求函数f(x)=x x 42+-的函数的减区间 .16 ．已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是________.三．解答题（本题共6个题，共70分.要求写出必要的文字说明和解题过程.）17．(本题满分10分)已知全集U R =，集合A=}023{2>+-x x x ，集合B=}13{≥-<x x x 或, 求A ∪B ，A C U ， C U (A ∪B).18．（本小题12分）． 已知函数x x x f ---=713)(的定义域为集合A ，{}102<<∈=x Z x B ，{}1+><∈=a x a x R x C 或（1）求A ，B A C R ⋂)(；（2）若R C A =⋃，求实数a 的取值范围。

江西省上饶市横峰中学2021届高三上学期第一次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =（ ）A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅2．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>3．“0x >”是“0x ≠”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x =D ．y x x = 6．函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ( )．A ．B ．C ．D ．7．已知函数2()log (1)=+f x x ，若()1f α=，则α=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（ ）A ．(1,1)-B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(1,0)- D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ）A ．30B ．60︒C ．45︒D ．120︒10．下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（ ） A ．()ln f x x =B ．1()f x x =C ．()f x x =D ．()x f x e = 11．若0.52a =，log 3bπ=，22log sin 5=c π，则（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．b a c << D ．c b a << 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0]2，上是增函数，则A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<二、填空题13．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 14．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.15．若函数()2f x x a =+的单调递增区间是，则a =________. 16．若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．三、解答题17．计算下列各式的值．（1）1103290.027()(2)16π++-； （2）3log 294lg100log 4log 33-⋅-．18．已知集合{}|1A x x =≥,集合{}|33,B x a x a a R =-≤≤+∈.（1）当4a =时,求A B ；（2）若B A ⊆,求实数a 的取值范围.19．已知命题[]:1,3p x ∈；命题:23q m x m <≤+.（1）若命题p 是命题q 的充分条件，求m 的取值范围；（2）当2m =时，已知p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求x 的取值范围.20．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足()()()f xy f x f y =+，()21f =.（1）求()8f ；（2）求不等式()()23f x f x -->的解集．21．已知幂函数()()2157m f x m m x -=-+为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()3g x f x ax =--在[]1,3上不是单调函数，求实数a 的取值范围. 22．设函数()21x f x e x ax =---. (1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．C【分析】根据交集的定义，即可容易求得结果.【详解】因为={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，故可得()1,2A B ⋂=-.故选：C.【点睛】本题考查交集的运算，属简单题.2．C【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+>选C.3．A【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法．解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．故选A ．4．C【解析】因为函数y ＝(x ＋1)(x －a)为偶函数，则f(x)=f(-x),那么可知a=1,则a 等于1,选C5．D【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键. 6．D由于函数y =x cos x +sin x 为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B ， 由当2x π=时，y =1>0，当x =π时，y =π×cos π+sin π=−π<0. 由此可排除选项A 和选项C.故正确的选项为D.故选D.7．B【分析】代入函数式，由对数的定义求解．【详解】由题意2()log (1)1f αα=+=，12α+=，1α=． 故选：B ．【点睛】本题考查已知对数函数值求自变量的值，利用对数的定义可求解．8．B【分析】将函数(21)f x +看作复合函数：外层函数为()f t ，内层函数为21t x =+，而()f t 定义域为(1,0)-，即可求复合函数的定义域【详解】函数()f x 的定义域为(1,0)-故函数(21)f x +有意义，只需-1210x <+<即可 解得1-1-2x << 故选：B【点睛】本题考查了复合函数的定义域，利用复合函数的外层函数的定义域是内层函数的值域求定义9．C【分析】求导得232y x '=-,求出切线的斜率23121k =⨯-=，从而得到切线的倾斜角.【详解】324y x x =-+求导得232y x '=-在点(1,3)处的切线斜率23121k =⨯-=.所以切线的倾斜角为45︒.故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义.属于基础题.10．A【分析】 求得y=的定义域以及各个选项函数的定义域，由此确定正确选项. 【详解】 函数y=的定义域为()0,∞+. A 选项，()ln f x x =的定义域为()0,∞+.B 选项，()1f x x=的定义域为{}|0x x ≠. C 选项，()f x x =的定义域为R .D 选项，()xf x e =的定义域为R . 所以A 选项符合.故选：A【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.11．D由指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得,,a b c 的取值范围，即可求解.【详解】由指数函数的图象与性质，可得0.50221a =>=，由对数函数的图象与性质，可得0log 1log 3log 1ππππ=<<=，可得01b <<， 又由20sin 15π<<，所以22log sin 05c π=<， 所以a b c >>.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．D【分析】由()()4f x f x -=-，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.【详解】因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=，所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()()()()()251,800,113f f f f f f -=-==.由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x -=-，得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]02，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在区间[]22-，上是增函数， 所以()()()101f f f -<<，即()()()258011f f f -<<.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．13．1【解析】 由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．14．4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.15．6-【解析】 由题可知要使函数()2f x x a =+的单调递增区间是，则32a -=，解得6a =-． 16．3-.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在(0,)+∞上有且仅有一个零点的条件，求出参数a ,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由()2620f x x ax '=-=得0,3a x x ==，因为函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，因此322()()10, 3.33a a a a -+==从而函数()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以()max ()0,f x f ={}min ()min (1),(1)(1)f x f f f =-=-，max min ()()f x f x +=()0+(1)14 3.f f -=-=- 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．17．（1）4120；（2）12-. 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，直接计算，即可得出结果；（2）根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】（1）()112112230339410.027(333141042)0.311620π⨯⨯⎛⎫++-+= ⎪⎛⎫=++⎭+ ⎝⎭⎝=⎪； （2）3log 294lg 4lg 3122lg 9lg100log 4log 33lg 42--=-⋅-=-⋅. 【点睛】 本题主要考查指数幂的运算与对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18．（1）[)1,-+∞（2）(],2-∞【分析】（1）当4a =时,[]1,7B =-,根据并集定义,即可求得A B ;（2）因为B A ⊆,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当4a =时,[]1,7B =-∴ 又[)1,A =+∞,则[)1,A B ⋃=-+∞（2）因为{}|1A x x =≥,B A ⊆当B =∅时,33a a ->+,解得0a <当B ≠∅时,3331a a a -≤+⎧⎨-≥⎩,解得02a ≤≤ 综上所述,实数a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查了并集运算和子集运算.本题的解题关键是掌握当B A ⊆时,分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19．（1）01m ≤<；（2）{12x x ≤≤或}37x <≤.【分析】（1）根据命题p 是命题q 的充分条件，即p 集合包含于q 集合，然后根据集合的关系求解即可;（2）根据p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，分别求出满足条件的x 的取值范围，然后取交集即可.【详解】（1）由题知命题p 是命题q 的充分条件，即p 集合包含于q 集合， 有[](]11,3,2301233m m m m m <⎧⊆+⇒⇒≤<⎨+≥⎩； （2）当2m =时，有命题[]:1,3p x ∈，命题(]:2,7q x ∈，因为p q ∧是假命题，即(](),23,x ∈-∞⋃+∞，因为p q ∨是真命题，即[]1,7x ∈，综上，满足条件的x 的取值范围为{12x x ≤≤或}37x <≤【点睛】本题考查了命题与集合的关系，根据命题真假求参数范围，属于基础题.20．（1）3 （2）1627x <<【解析】试题分析：（Ⅰ）利用已知条件，直接通过f （8）=f （4）+f （2），f （4）=f （2）+f （2）求解f （8）；（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f （x ）+f （x-2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集试题解析：（1）由题意可得f （8）=f （4×2）=f （4）+f （2）=f （2×2）+f （2）=3f （2）="3" （2）原不等式可化为f （x ）＞f （x-2）+3=f （x-2）+f （8）=f （8x-16）∵f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数∴ 解得：1627x << 考点：抽象函数及其应用，函数的单调性的应用21．(1) ()2f x x =;(2) ()2,6a ∈. 【解析】试题分析：()1根据幂函数的定义求出m 的值，再根据偶函数的定义求出() f x 的解析式；()2若函数()()3g x f x ax =--在[]1,3上不是单调函数，对称轴在区间内，即可求出实数a 的取值范围．解析：（1）由2571m m -+=⇒ 25602m m m -+=⇒=或3m =又()f x 为偶函数，则：3m =此时：()2f x x =. （2）()()3g x f x ax =--在[]1,3上不是单调函数，则()g x 的对称轴2a x =满足 13262a a <<⇒<<即：()2,6a ∈. 22．(1) f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a 的取值范围为(－∞，12]. 【分析】(1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0可求()f x 的单调区间；(2求导得到)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故问题转化为f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而对1－2a 的符号进行讨论即可得出结果.【详解】(1)a＝0时，f(x)＝e x－1－x，f′(x)＝e x－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加(2)f′(x)＝e x－1－2ax.由(1)知e x≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax ＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由e x>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<e x－1＋2a(e－x－1)＝e －x(e x－1)(e x－2a)，故当x∈(0，ln2a)时，f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，综上可得a的取值范围为(－∞，]．【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.。

2020-2021学年江西省上饶市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A={−1,0,1}，B={(x,y)|x∈A,y∈A,xy∈N}，则集合B中所含元素的个数为()A. 3B.4C.6D.92. 集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2, k∈Z}中角所表示的范围（阴影部分）是( )A. B.C. D.3. 若函数y=f(x)的定义域为(0, 2)，则函数y=f(3−3x)的定义域为( )A.(0, 1)B.(0, 2)C.(1, 3)D.(−6, 2)4. 已知点P(−8,6m cos60∘)在角α的终边上，且tanα=34，则m的值为( )A.−2B.2C.−2√3D.2√35. 函数f(x)=(e x−e−x)ln|x|的图象大致为( )A. B.C. D.6. 函数f(x)=e x+x−4的零点所在的区间是（）A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)7. 在(0, 2π)内使sin x>|cos x|成立的x的取值范围是（）A.(π4,3π4) B.(π4,π2)∪(5π4,3π2)C.(π4,π2) D.(5π4,7π4)8. 设a=log32，b=log52，c=log2π，则( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b9. 若函数f(x)={a x+4,x≤14x2−2ax+a2,x>1在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )A.(1, 4]B.[3, 4]C.(1, 3]D.[4, +∞)10. 如果函数f(x)=12(2−m)x2+(n−8)x+1(m>2)在区间[−2, −1]上单调递减，那么mn的最大值为( )A.16B.18C.25D.3011. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且在区间[−3,−2]上是增函数，若A，B是锐角三角形的两个内角，则( )A.f(sin A)>f(cos B)B.f(sin A)<f(cos B)C.f(sin A)>f(sin B)D.f(cos A)>f(cos B)12. 函数f(x)的定义域为D，若满足：(1) f(x)在D内是单调函数；(2)存在[m2,n2]⊆D，使得f(x)在[m2,n2]上的值域为[m,n]，那么就称函数f(x)为“梦想函数”，若函数f(x)=log a(a x+t)(a>0,a≠1)是“梦想函数”，则t的取值范围是()A.(−14,0) B.[−14,0] C.(−12,0) D.[−12,0]二、填空题已知某扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是________．计算：23lg8−e0+(127)−13+lg25=________.已知f(x)为偶函数，函数g(x)=af(x)−1，当x≥0时，f(x)={−x2+4x,0≤x<3，2x−3,x≥3，若g(x)恰有6个零点，则a的取值范围为________.对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+...+[log3243]=________．三、解答题(1)求cos17π6+sin(−16π3)−tan(−4π3)的值；(2)化简sin(π−α)cos(32π+α)tan(α−32π)cos(α−π)sin(α−2π).已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m−1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(x)−ax−3在[1, 3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=√2sin(2x−π4).(1)求函数f(x)的最小值和最大值及相应自变量x的集合；(2)求函数f(x)的单调递增区间.已知函数f(x)=ax2−2ax+b(a>0)在区间[0,3]上有最大值3和最小值−1 . (1)求实数a，b的值；(2)设g(x)=f(x)，若不等式g(3x)−k⋅3x≥0在x∈[−1,0)上恒成立，求实数k的取值x范围．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，鄱阳某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=4−k（k为常数），如果不搞m+1促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年元来计算）平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按8+16xx(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？(a>0且a≠1)．已知函数f(x)=log a x−5x+5(1)当a=2，x∈[10,15]时求f(x)的值域；(x−3)，若方程f(x)−1=g(x)有实根，求a的取值范围．(2)设g(x)=loga参考答案与试题解析2020-2021学年江西省上饶市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】集合中元素的个数【解析】此题暂无解析【解答】解：∵x∈A,y∈A,xy∈N，∴满足条件的有序实数对为(−1,−1),(0,−1),(0,1),(1,1).故选B.2.【答案】C【考点】象限角、轴线角【解析】先看当k取偶数时，角的终边所在的象限，再看当k取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范围取并集．【解答】解：当k取偶数时，集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2, k∈Z}与{α|π4≤α≤π2}表示相同的角，故角的终边在第一象限．当k取奇数时，集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2, k∈Z}与{α|5π4≤α≤3π2}表示相同的角，故角的终边在第三象限．综上，角的终边在第一或第三象限.故选C.3.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用函数的定义域列出不等式，求解可得函数的定义域．【解答】解：函数y=f(x)的定义域是(0, 2)，则0<3−3x<2，即1<3x<3．解得0<x<1．则y=f(3−3x)的定义域是：(0, 1)．故选A．4.【答案】A【考点】任意角的三角函数【解析】【解答】解：6m cos60∘=6m×12=3m，即点P(−8,3m).由三角函数的定义可得tanα=3m−8=34，解得m=−2.故选A．5.【答案】D【考点】函数的图象【解析】本题考查函数的图象．【解答】解：根据题意，函数的定义域为{x|x≠0}.因为f(−x)=(e−x−e x)ln|−x|=−(e x−e−x)ln|x|=−f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B选项.又f(1)=0，当x>1时，f(x)>0；当0<x<1时，f(x)<0，排除C选项．故选D．6.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵f(1)=e−3<0，f(2)=e2−2>0，∴f(1)f(2)<0，又函数是连续函数，∴有零点存在于区间(1,2)．故选B．7.【答案】A【考点】余弦函数的图象正弦函数的图象【解析】首先化简三角不等式sin x>|cos x|，结合正弦函数的性质得到自变量的范围，又知自变量在(0, 2π)内，给k赋值进行取交集即可得到结果．【解答】解：∵sin x>|cos x|，∴sin x>0，∴x∈(0, π).在同一坐标系中画出y=sin x, x∈(0, π)与y=|cos x|的图象，如图：由图可得x∈( π4,3π4)．故选A．8.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】【解答】解：因为a=log32=1log23，b=log52=1log25，而c=log2π>log22=1,log25>1，所以0<a<1，0<b<1，又log25>log23>1，所以1log25<1log23，即0<b<a<1，所以有c>a>b．故选D．9.【答案】B【考点】已知函数的单调性求参数问题【解析】函数f(x)={a x+4,x≤14x2−2ax+a2,x>1在R上单调递增，则每段函数均为增函数，且当x＝1时，前一段函数的函数值不大于后一段函数的函数值，由此可构造满足条件的不等式组，解出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f(x)={a x+4,x≤1,4x2−2ax+a2,x>1在R上单调递增，则{a>1, a4≤1,a+4≤4−2a+a2,解得：a∈[3, 4].故选B.10.【答案】B【考点】二次函数在闭区间上的最值【解析】根据函数f(x)在区间[−2, −1]上单调递减，可得n≤12−2m，要求mn的最大值，即求解函数y＝(12−2m)m，(m>2)的最大值，从而可得答案．【解答】解：由题意函数f(x)在区间[−2, −1]上单调递减，可得8−n2−m≤−2.∵m>2，∴8−n≥2m−4，即n≤12−2m.要求mn的最大值，即求解函数y=(12−2m)m(m>2)的最大值，由y=(12−2m)m=−2(m2−6m+9)+18=−2(m−3)2+18，当m=3时，可得mn的最大值为18．故选B.11.【答案】B【考点】函数的周期性运用诱导公式化简求值函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】【解答】解：因为偶函数f (x )满足f (x +2)=f (−x )， 所以f (x +2)=f (−x )=f (x )， 即函数f (x )是周期为2的函数，又f (x )在区间[−3,−2]上是增函数， 所以f (x )在区间[−1,0]上是增函数， 因为偶函数关于y 轴对称，所以f (x )在区间[0,1]上是减函数； 又A ，B 是锐角三角形的两个内角， 所以{A +B >π2，0<A <π2，0<B <π2，即0<π2−B <A <π2，因此0<sin (π2−B)<sin A <1， 即0<cos B <sin A <1，所以f (sin A )<f (cos B ) . 故选B ． 12. 【答案】 A【考点】复合函数的单调性 函数的值域及其求法【解析】由题意可得，函数f (x )=log a (a x +t )(a >0,a ≠1)在定义域上为增函数，则{log a (a m 2+t)=m ，log a (a n 2+t)=n ，即{a m =a m2+t ，a n =a n2+t ，即(a x 2)2−a x2−t =0有两个不同的正数解，进而求得t 的取值范围． 【解答】解：由复合函数的单调性可知，函数f (x )=log a (a x +t ) (a >0,a ≠1)在定义域上为增函数， 结合“希望函数”的定义可知， {log a (a m 2+t)=m ，log a (a n2+t)=n ， 即{a m =a m 2+t ，a n=a n2+t ，所以a x =a x 2+t 有两个不同的正数解，即(a x2)2−a x2−t =0有两个不同的正数解， 所以Δ=1+4t >0，且−t >0， 解得：−14<t <0. 故选A ． 二、填空题 【答案】 2【考点】 扇形面积公式 弧长公式【解析】设出扇形的弧长，半径，通过扇形的周长与面积．求出扇形的弧长与半径，即可得到扇形圆心角的弧度数． 【解答】解：设扇形的弧长为：l ，半径为r ， 所以2r +l =8，12lr =4， 所以l =4，r =2，所以扇形的圆心角的弧度数是：42=2. 故答案为：2． 【答案】 4【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值 【解析】【解答】解：原式=23lg 23−1+(13)3⋅(−13)+lg 52=2lg 2−1+3+2lg 5 =2(lg 2+lg 5)+2 =4. 故答案为：4. 【答案】(14,13) 【考点】由函数零点求参数取值范围问题 函数奇偶性的性质 【解析】 无【解答】解：根据题意，作出f(x)的图象，如图所示，当0≤x<3时，f(x)max=f(2)=4；当x≥3时，f(x)≥3．因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，由g(x)=0，得f(x)=1a(a≠0)，要使g(x)=0有6个零点，由图可知，3<1a<4，解得a∈(14,13 )．故答案为：(14,13 )．【答案】857【考点】函数新定义问题对数的运算性质【解析】先根据对数的运算性质判断[log31]、[log32]、[log33]…[log3243]的大小，最后加起来即可．【解答】解：当1≤n≤2时，[log3n]=0，当3≤n<32时，[log3n]=1，⋯当3k≤n<3k+1时，[log3n]=k，则[log31]+[log32]+[log33]+...+[log3243]=0×(31−30)+1×(32−31)+2×(33−32)+3×(34−33)+4×(35−34)+5 =1×6+2×18+3×54+4×162+5=857.故答案为：857．三、解答题【答案】解：(1)cos17π6=cos(2π+5π6)=cos5π6=−√32，sin(−16π3)=−sin16π3=−sin(5π+π3)=sinπ3=√32，tan(−4π3)=−tan4π3=−tanπ3=−√3，所以原式=−√32+√32−(−√3)=√3．(2)原式=sinα⋅sinα⋅sin(α−3π2)cos(α−3π2) (−cosα)⋅sinα=sinα⋅sinα⋅sin(α+π2−2π) (−cosα)⋅sinα⋅cos(α+π2−2π)=sinα⋅sinα⋅sin(α+π2) (−cosα)⋅sinα⋅cos(α+π2)=sinα⋅sinα⋅cosα(−cosα)⋅sinα⋅(−sinα)=1．【考点】运用诱导公式化简求值【解析】无无【解答】解：(1)cos17π6=cos(2π+5π6)=cos5π6=−√32，sin(−16π3)=−sin16π3=−sin(5π+π3)=sinπ3=√32，tan(−4π3)=−tan4π3=−tanπ3=−√3，所以原式=−√32+√32−(−√3)=√3．(2)原式=sinα⋅sinα⋅sin(α−3π2)cos(α−3π2) (−cosα)⋅sinα=sinα⋅sinα⋅sin(α+π2−2π) (−cosα)⋅sinα⋅cos(α+π2−2π)=sinα⋅sinα⋅sin(α+π2) (−cosα)⋅sinα⋅cos(α+π2)=sinα⋅sinα⋅cosα(−cosα)⋅sinα⋅(−sinα)=1．【答案】解：(1)由f(x)为幂函数知m2−5m+7=1，得m=2或m=3，当m=3时，f(x)=x2，符合题意；当m=2时，f(x)=x，不合题意，舍去．∴f(x)=x2．(2)g(x)=f(x)−ax−3=x2−ax−3，g(x)的对称轴是x=a2，若g(x)在[1,3]上不是单调函数，则1<a2<3，解得2<a<6.【考点】幂函数的性质函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】（1）根据幂函数的性质即可求f(x)的解析式；（2）根据函数y=f(x)−2(a−1)x+1在区间(2, 3)上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．【解答】解：(1)由f(x)为幂函数知m2−5m+7=1，得m=2或m=3，当m=3时，f(x)=x2，符合题意；当m=2时，f(x)=x，不合题意，舍去．∴f(x)=x2．(2)g(x)=f(x)−ax−3=x2−ax−3，g(x)的对称轴是x=a2，若g(x)在[1,3]上不是单调函数，则1<a2<3，解得2<a<6.【答案】解：(1)f(x)的最大值为√2，当2x−π4=π2+2kπ，即x=3π8+kπ时，等号成立，∴f(x)取得最大值时相应x的集合为{x|x=3π8+kπ,k∈Z}，f(x)的最小值为−√2，当2x−π4=−π2+2kπ，即x=−π8+kπ时，等号成立，∴f(x)取得最大值时相应x的集合为{x|x=−π8+kπ,k∈Z} .(2)由−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，求得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，∴f(x)的单调递增区间是[−π8+kπ,3π8+kπ],k∈Z .【考点】三角函数的最值正弦函数的单调性【解析】（1）f(x)的最大值为√2，当2x−π4=π2+2kπ，即x=3π8+kπ时，等号成立，∴f(x)取得最大值时相应x的集合为{x|x=3π8+kπ,k∈Z}，f(x)的最小值为−√2，当2x−π4=−π2+2kπ，即x=−π8+kπ时，等号成立，∴f(x)取得最大值时相应x的集合为{x|x=−π8+kπ},k∈Z .（2）由−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ求得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，∴f(x)的单调递增区间是[−π8+kπ,3π8+kπ],k∈Z .【解答】解：(1)f(x)的最大值为√2，当2x−π4=π2+2kπ，即x=3π8+kπ时，等号成立，∴f(x)取得最大值时相应x的集合为{x|x=3π8+kπ,k∈Z}，f(x)的最小值为−√2，当2x−π4=−π2+2kπ，即x=−π8+kπ时，等号成立，∴f(x)取得最大值时相应x的集合为{x|x=−π8+kπ,k∈Z} .(2)由−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，求得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，∴f(x)的单调递增区间是[−π8+kπ,3π8+kπ],k∈Z .【答案】解：(1)∵f(x)=ax2−2ax+b的对称轴是x=1，又∵a>0．∴ f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴ 当x =1时，f (x )取最小值−1， 当x =3时， f (x )取最大值3， 即{a −b =1，3a +b =3， 解得{a =1，b =0.(2)∵ g (x )=f (x )x=x −2，∴ g (3x )−k3x =3x −2−k3x ， ∴ (1−k )3x −2≥0， ∴ k ≤1−23x . 令ℎ(x )=1−23x ，则ℎ(x )在[−1,0)上是增函数，故ℎ(x )min =ℎ(−1)=−5，∴ g (3x )−k3x ≥0在x ∈[−1,0)上恒成立时，k ≤−5． 【考点】函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值 【解析】 无 无【解答】解：(1)∵ f (x )=ax 2−2ax +b 的对称轴是x =1， 又∵ a >0．∴ f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴ 当x =1时，f (x )取最小值−1， 当x =3时， f (x )取最大值3， 即{a −b =1，3a +b =3， 解得{a =1，b =0.(2)∵ g (x )=f (x )x=x −2，∴ g (3x )−k3x =3x −2−k3x ， ∴ (1−k )3x −2≥0， ∴ k ≤1−23x .令ℎ(x )=1−23x ，则ℎ(x )在[−1,0)上是增函数，故ℎ(x )min =ℎ(−1)=−5，∴ g (3x )−k3x ≥0在x ∈[−1,0)上恒成立时，k ≤−5． 【答案】解：(1)由题意可知，当m=0时，x=2（万件），∴2=4−k，解得k=2，∴x=4−2m+1．∴每件产品的销售价格为1.5×8+16xx（元），∴2018年的利润：y=1.5x×8+16xx−(8+16x+m)=36−16m+1−m(m≥0).(2)∵当m≥0时，m+1>0，∴16m+1+(m+1)≥2√16=8，当且仅当m=3时等号成立，∴y≤−8+37=29，当且仅当16m+1=m+1，即m=3万元时，y max=29（万元）．所以当该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意可知，当m=0时，x=2（万件），∴2=4−k，解得k=2，∴x=4−2m+1．∴每件产品的销售价格为1.5×8+16xx（元），∴2018年的利润：y=1.5x×8+16xx−(8+16x+m)=36−16m+1−m(m≥0).(2)∵当m≥0时，m+1>0，∴16m+1+(m+1)≥2√16=8，当且仅当m=3时等号成立，∴y≤−8+37=29，当且仅当16m+1=m+1，即m=3万元时，y max=29（万元）．所以当该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．【答案】解：(1)∵x−5x+5=1−10x+5，x∈[10,15]，∴x−5x+5∈[13,12]．当a=2时，f(x)=log2x−5x+5，∴f(x)∈[−log23,−1]．(2)若f(x)−1=g(x)有实根，即：loga x−5x+5=1+loga(x−3)有实根．由x−5x+5>0且x−3>0，得：x>5，即方程x−5x+5=a(x−3)有大于5的实根．∵x>5，∴a=x−5(x−3)(x+5)=x−5(x−5+2)(x−5+10)=x−5(x−5)2+12(x−5)+20=1x−5+20x−5+12≤2√20+12=3−√516，∴a∈(0, 3−√516]．【考点】对数函数的值域与最值由函数零点求参数取值范围问题基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）利用导数法判断内函数的单调性，结合对数函数的单调性和复合函数单调性“同增异减”的原则，可判定f(x)在x∈(−∞, −5)上的单调性；（2）通过g(x)=1+loga(x−3)，求出方程f(x)=g(x)的表达式，利用方程有实根，求出函数的定义域；法一：求出方程中a的表达式，通过变形，利用基本不等式求出a的取值范围．法二：转化方程为二次函数，通过二次方程根的分布，求出a取值范围．【解答】解：(1)∵x−5x+5=1−10x+5，x∈[10,15]，∴x−5x+5∈[13,12]．当a=2时，f(x)=log2x−5x+5，∴f(x)∈[−log23,−1]．(2)若f(x)−1=g(x)有实根，即：loga x−5x+5=1+loga(x−3)有实根．由x−5x+5>0且x−3>0，得：x>5，即方程x−5x+5=a(x−3)有大于5的实根．∵x>5，∴a=x−5(x−3)(x+5)=x−5(x−5+2)(x−5+10)=x−5(x−5)2+12(x−5)+20=1x−5+20x−5+12≤2√20+12=3−√516，∴a∈(0, 3−√516]．。

2020-2021学年江西省上饶市横峰中学高二（课改班）上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．平面α⊥平面β，l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则（ ）A ．//m βB ．m β⊂C ．m β⊥D ．m 与β相交但不一定垂直 【答案】C【解析】设m l A ⋂=，在β内，过点A 作n l ⊥，由平面α⊥平面β得到m n ⊥，再利用线面垂直的判定定理判断. 【详解】 如图所示：设m l A ⋂=，在β内，过点A 作n l ⊥， 因为m α⊂，m l ⊥，平面α⊥平面β， 所以m n ⊥，又l n A ⋂=， 所以m β⊥， 故选：C 【点睛】本题主要考查面面垂直的定义，线面垂直的判定定理，属于基础题.2．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．4B ．2C ．6D ．8【答案】A【解析】求出椭圆的右焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标公式可得． 【详解】由题意椭圆中，622c =-=，右焦点为(2,0)，∴22p=，4p =． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆与抛物线的焦点坐标，属于基础题． 3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π【答案】C【解析】由三视图还原出原几何体，然后由圆柱、球的表面积公式求解． 【详解】由三视图知原几何体是下面一个圆柱上面是四分之一个球， 其表面积为2222111121311419224S ππππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查三视图，考查圆柱与球的表面积计算，解题关键是由三视图确定原几何体．4．设,m n R ∈，则“m n >”是112m n-⎛⎫< ⎪⎝⎭的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由10()12m nm n m n ->⇔->⇔<，结合充要条件的定义得答案．【详解】由10()12m nm n m n ->⇔->⇔<．可得设m ，n R ∈，则“m n >”是1()12m n-<的充要条件．故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查指数函数的性质，是基础题．5．已知抛物线2:C y x =，点P 为抛物线C 上任意一点，则点P 到直线20x y -+=的最小距离为（ ） A ．12B 72C 32D 2 【答案】B【解析】先设点P 的坐标，再求距离并求最小值即可. 【详解】设点P 的坐标为()2,m m ，则点P 到直线20x y -+=的距离为2178m⎛⎫-+⎪==≥故选：B.【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的最小距离，是基础题.6．已知12,F F是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点，若2ABF是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．BCD【答案】A【解析】由正三角形特点12||,||AF AF用c表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率. 【详解】2ABF是正三角形，212||||33AF F F∴==，1212||2||,||||23AF AF c AF AF a∴==+==3e∴=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，涉及到椭圆的椭圆的定义；关键是能够利用正三角形的特点求出12||,||AF AF.7．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°【答案】B【解析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角. 【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.8．若6(x 展开式中常数项为60.则常数a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．8D ．6【答案】A【解析】直接利用二项式定理计算得到2660C a ⋅=，解得答案.【详解】6(x -展开式的通项为：()66321661rrr r r r rr T C x C a x --+⎛=⋅=⋅-⋅⋅ ⎝⎭. 取2r得到常数项为2660C a ⋅=，解得4a =.故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2必须相邻的五位数的个数是（ ） A ．32 B ．36 C ．48 D ．120【答案】C【解析】试题分析：根据题意，捆绑法将12看做同一元素，再将剩下的3个元素和12这个大的元素全排列即可. 详解：根据题意，捆绑法将12看做同一元素22A , 再将剩下的3个元素和12这个大的元素全排列44A ,最终按照分步计数的方法得到2424A A =48. 故答案为:C ．点睛:排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题，即不同元素分到不同组内时，通常先分组后分配.10．已知双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22152x y +=有相同的焦点，则41m n +的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题意求出m n +的值，结合不等式的知识可得41m n+的最小值.【详解】解：由题意双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22152x y +=有相同的焦点，523m n ∴+=-=，41141141()553333n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++⋅+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4n mm n=即2m n =时等号成立， 故41m n+的最小值为3， 故选：B. 【点睛】本题主要考察椭圆、双曲线的性质及基本不等式性质的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径的圆M 与双曲线C 相交于,AB 两点，其中O 为坐标原点，若1AF 与圆M 相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A．2B ．2C ．2D ．2【答案】C【解析】分析：首先根据题中的条件，确定出圆的半径的大小，根据数轴上的点的坐标，求得13,22c cAM MF ==，根据直线与圆相切，求得相关的线段长，在直角三角形中，求得111cos 3AMF MA F M ∠==，利用诱导公式，结合余弦定理，求得23AFc ==，最后利用离心率的公式求得结果.详解：根据题意，有13,22c cAM MF ==， 因为若1AF 与圆M 相切，所以122F AF π∠=，所以由勾股定理可得1AF =，所以111cos 3AMF MA F M ∠==，所以21cos 3AMF ∠=-， 由余弦定理可求得222162()44223c c c c AF c=+-⋅⋅⋅-=，所以，232622623ce ac c +===-，故选C. 点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要借助于双曲线的定义，结合题中所涉及的焦点三角形，利用直线与圆的有关性质，利用余弦定理求得相关的量，求得结果.12．矩形ABCD 中，22BC AB ==，N 为边BC 的中点，将ABN 沿AN 翻折成1B AN △（1B ∉平面ABCD ），M 为线段1B D 的中点，则在ABN 翻折过程中，下列命题：①与平面1B AN 垂直的直线必与直线CM 垂直； ②线段CM 的长为32； ③异面直线CM 与1NB 所成角的正切值为12； ④当三棱锥1D ANB -的体积最大时，三棱锥1D ANB -外接球表面积是4π. 正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①根据//CM 平面1AB N ，即可判断；②通过线段相等CM NE =，可求出线段NK 的长；③异面直线CM 与1NB 的所成角为1ENB ∠，求出其正切值即可；④找出球心，求出半径即可判断其真假，从而得出正确答案的个数. 【详解】 解：如图，取1AB 的中点为,E AD 的中点为F ，连接1,,,EN EM FN B F ，则四边形CNEM 为平行四边形，直线//CM 平面1AB N ，所以①正确；2CM NE ===，所以②错误； 因为//CM EN ，异面直线CM 与1NB 的所成角为1ENB ∠，11tan 2ENB ∠=，所以③正确；当三棱锥1D ANB -的体积最大时，平面1B AN 与底面ABCD 垂直，可计算出1B D ，11AB =，22211AB B D AD +=，所以190AB D ∠=︒，同理90AND ∠=︒，所以三棱锥1D ANB -外接球的球心为F ，半径为1，外接球表面积是4π，④正确. 所以①③④正确. 故答案为：C. 【点睛】本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中的不变量，考查了相关角度，长度，体积的计算，考查直观想象、运算能力，属于较难题目.二、填空题13．命题“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是_______. 【答案】x ∀∈R ，212x x +≥【解析】原命题为特称命题，其否定为全称命题. 【详解】“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是x ∀∈R ，212x x +≥ 故答案为：x ∀∈R ，212x x +≥ 【点睛】本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 14．已知()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++，则0128a a a a ++++=_______.【答案】510【解析】在等式中令1x =，利用等比数列求和公式可求得0128a a a a ++++的值.【详解】在等式()()()()238238012381111x x x x a a x a x a x a x ++++++++=+++++中，令1x =可得()82380128212222251012a a a a -++++=++++==-.故答案为：510. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数和，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.15．某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆22221x ya b+=的离心率e >__________． 【答案】13【解析】由椭圆22221x y a b +=的离心率e >可得224a b >或224b a >，掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有36种情况，将满足不等式的情况一一列举出来，利用古典概型求解即可. 【详解】由椭圆22221x y a b +=的离心率e >当a b >时，2c e aa ==>,即得224a b >;当a b <时，c e b ==>即得224b a >. 同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6636⨯=种情况， 满足上述关系的有：(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,5),（6,1），(1,6),（6,2）,(2,6)共12种情况，所以概率为：121363=. 故答案为13. 【点睛】本题主要考查了古典概型的计算及椭圆离心率的计算，但要注意椭圆的焦点在哪个轴上，需讨论a 和b 的大小，属于易错题.16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为__________． 【答案】112π【解析】由题意一条侧棱垂直于底面，补成三棱柱，若所得截面圆的面积的最小值时截面与OD 垂直，所得截面圆的面积最大值时过球心，分别求出两种情况的半径，进而求出面积的和，求出球的半径，进而求出表面积． 【详解】解：将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球O ．设三角形ABC 的中心为O '，设外接球的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为x ，即OO x '=，连接O A '，则5O A '=，2225R x ∴=+，在三角形ABC 中，取AC 的中点E ，连接O D '，O E '，则132O E AB '==，124DE AC ==，O D '∴=在Rt △OO D '中，OD =OD 垂直时，截面面积最小， 设此时截面半径为r ，则2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=， 所以截面圆的面积为212r ππ=，当截面过球心时，截面圆的面积最大为2R π，21216R πππ∴-=， 所以228R =，所以表面积24112==S R ππ， 故答案为：112π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查三棱锥的外接球与棱长的关系即球的表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题17．已知椭圆C 的焦点1F （－220）和2F （20），长轴长6． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．【答案】（Ⅰ）2219x y +=（Ⅱ）91-55（，） 【解析】试题分析：（1）设椭圆C 的方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意及a ，b ，c 的平方关系即可求得a ，b 值；（2）联立方程组消去y 可得关于x 的一元二次方程，设A ()11,x y ，B ()22,x y ，由韦达定理可求12x x +的值，进而可得中点横坐标，代入直线方程即可求得纵坐标试题解析：（Ⅰ）由已知得22c =26a =22231a b a c ∴=∴=-=22C 19x y ∴+=椭圆的标准方程为（Ⅱ）1122A ,,(,)x y B x y 设（）2222{103627019y x x x x y =+++=+=由整理后得121112122218522{42591-55x xy xy y x xy xAB∴+=-=+∴+=++==+∴又的中点坐标为（，）【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程18．如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD.（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若2PD=，直线PB与平面ABCD所成的角为45，求四棱锥P ABCD-的体积.【答案】（1）证明见解析；（243【解析】（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得AC⊥平面PBD；（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P- ABCD的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，又PD BD D⋂=，故AC⊥平面PBD；（2）因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB= AD=2，所以菱形ABCD的面积为sin6023S AB AD︒=⋅⋅=故四棱锥P - ABCD 的体积13V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.19．已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2【解析】（1）由m n ⊥得出()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B +-+-=，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的大小；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出bc 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案. 【详解】 （1）(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，m n ⊥，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=ABC ∆【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 20．已知()323nx x +展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中含有4x 的项； （2）求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（1）490x ；（2）4390T x =，1334270T x =【解析】（1）先求出n ，再利用通项公式求展开式中含有4x 的项；（2）展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，即可求展开式中二项式系数最大的项； 【详解】解：令1x =得展开式各项系数和为4n ，二项式系数为012nn nn n C C C ++⋯+=， 由题意得：42992n n -=，解得5n =， （1）()5323x x +通项公式为103153r rrr T C x++=令10=23r+，2r ∴=，∴224435390T C x x ==． （2）5n =，∴展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，∴224435390T C x x ==，13133333453270T C x x ==【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PA ⊥底面ABCD ，E 为BP 的中点，2AB =，1PA AD CD ===.（1）证明：//EC 平面PAD ；（2）求二面角E AC P --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】(1) 将线面平行转化为线线平行证明；作辅助线,取AP 的中点F ，连EF ，DF ,证明//EC FD 即可；（2）根据题目可知P A 、PB 、PD 两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解出二面角E AC P --的余弦值，进一步求解出正弦值. 【详解】（1）证明：如图，取AP 的中点F ，连EF ，DF ，∵BE PE =，PF AF =， ∴11//,22EF AB EF AB = ∵在直角梯形ABCD 中， ∴11//,22CD AB CD AB =， ∴//,CD EF CD EF =， ∴四边形EFDC 为平行四边形， ∴//EC FD∵DF ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，//EC FD ， ∴//EC 平面PAD ，（2）∵PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥， ∴AP ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，AB ，AD ，AP 向量方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标如下：(0,0,0)A ，(0,0,1)P ，(1,1,0)C ，(2,0,0)B ，11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭设平面APC的法向量为(),,m x y z=由(0,0,1)AP=，(1,1,0)AC=，有AP m zAC m x y⎧⋅==⎨⋅=+=⎩,取1x=，则1y=-，0z=，即(1,1,0)m=-设平面EAC的法向量为(),,n a b c=由(1,1,0)AC=，11,0,2AE⎛⎫= ⎪⎝⎭，有12AC n a bAE n a c⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x=，则1y=-，2z=-，即(1,1,2)n=--所以3cos,326m n<>==⨯故二面角E AC P--的正弦值为1613-=.【点睛】本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用，属于中档题目，解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标，计算比较繁杂，对运算能力要求较高，需要准确计算.22．已知椭圆2222:1x yCa b+=(0a b＞＞)6C的短轴为直径的圆与直线:3450l x y+-=相切.（1）求C的方程；（2）直线y x m=+交C于()11,M x y，()22,N x y两点，且12x x>.已知l上存在点P，使得PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1- 【解析】（1）由C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切求出b ，再由离心率和,,a b c 关系，可求出椭圆标准方程；（2）将直线y x m =+与椭圆方程联立，消元整理，由根与系数关系，得到12,,x x m 的两个关系式，再从已知条件寻找12,,x x m 第三个等量关系，根据已知结合平面图形，可得NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，得()12,Q x y ，进而有()1222,P x x y -，代入直线l 方程，得到12,,x x m 等量关系，求解关于12,,x x m 方程组，即可求出m . 【详解】（1）依题意，1b ==，因为离心率3c e aa ===，=，解得a =所以C 的标准方程为2213x y +=.（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒， 且PMN 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点， 所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -，所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=.所以223648480m m ∆=-+>，解得22m -<<， 所以1232x x m +=-，② ()212314x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-.综上，m 的值为1-.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查数学运算和逻辑推理，属于中档题.。

2021学年江西省上饶市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 若集合A={x|x>−1}，下列关系式中成立为（）A.0⊆AB.⌀∈AC.0∈AD.{−1}⊆A2. 已知集合M={0, 1, 2, 3, 4}，N={1, 3, 5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A.2个B.4个C.6个D.8个3. 函数f(x)=11−x +√1+x的定义域是（）A.(−∞, −1)B.(1, +∞)C.(−1, 1)∪(1, +∞)D.(−∞, +∞)4. 已知函数f(x)=(2k−1)x+2在R上是减函数，则实数k的取值范围为（）A.k<−12B.k>−12C.k<12D.k>125. 函数f(x)=√x2−2x−3的递增区间为（）A.[3, +∞)B.[1, +∞)C.(−∞, −1]D.(−∞, 1]6. 下列各组函数中表示同一函数的是（）A.y=x0与y=1B.y=|x|与y=√x2C.y=x2x与y=x D.y=(√x)2与y=x7. 已知函数f(x)={2x+1，x<1,x2+ax，x≥1,若f(f(0))=4a，则实数a=()A.1 2B.45C.2D.98. 已知集合A={x|x>2, 或x<−1}，B={x|a≤x≤b}，若A∪B=R，A∩B= {x|2≤x≤4}，则ba=()A.−4B.−3C.4D.39. 若函数f(x)=x2−3x−4的定义域为[0, m]，值域为[−254，−4]，则m的取值范围是（）A.(0, 4]B.[32，3] C.[32，4] D.[32，+∞)10. 若函数f(x)={(2b−1)x+b−1,x>0,−x2+(2−b)x，x≤0在R上为增函数，则实数b的取值范围为( )A.[1, 2]B.(12，2] C.(1, 2] D.(1, 2)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上）已知集合A={2+√a, a}，B={−1, 1, 3}，且A⊆B，则实数a的值是________．已知元素(x, y)在映射f下的像是(x+2y, x−2y)，则(3, 1)在f下的原像为________．已知g(x)=1−2x，f[g(x)]=1+x2x2(x≠0)，则f(12)=________．设a，b∈R，集合M={1, a+b, a}，N={0, ba, b}，若M=N，则b2014−a2013=________．已知t为常数，函数y＝|x2−2x−t|在区间[0, 3]上的最大值为2，则t＝________．三、解答题（第16、17、18、19题各12分，第20题13分，第21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．已知全集U={x|1≤x≤8且x∈N∗}，集合A={1, 2, 5, 7}，B={2, 4, 6, 7}，求A∩B，(C U A)∪B，A∩(C U B)．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．（1）求f[g(1)]的值，并写出f(x)定义域和值域；（2）若f[g(m)]>g[f(m)]，求m的值．（1）已知函数f(x)的定义域为[1, 4]，求函数f(x+2)的定义域；（2）求函数f(x)=√x−2−x的值域．设集合A={x|2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．已知函数y=f(x)对任意的实数ab都有：f(a+b)=f(a)+f(b)−1，且x>0时，f(x)>1，（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5，求f(2)的值，并解不等式f(3m2−m−2)<3．已知a，b为常数且a≠0，函数f(x)=ax2+bx，若f(2)=0且方程f(x)=x有等根．（1）求函数f(x)的解析式及值域；（2）是否存在实数m，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m, n]和[2m, 2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021学年江西省上饶市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】根据元素和集合之间的关系，分别判断即可．【解答】解：A ．元素与集合用属于号，所以0∈A ，即A 错误．B ．集合与集合之间用包含号，所以⌀⊆A ，即B 错误．C ．0在集合A 中，所以0∈A ，即C 正确．D ．−1不在集合A 中，所以{−1}⊈A ，即D 错误．故选C ．2.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】利用集合的交集的定义求出集合P ；利用集合的子集的个数公式求出P 的子集个数．【解答】解：∵ M ={0, 1, 2, 3, 4}，N ={1, 3, 5}，∴ P =M ∩N ={1, 3}∴ P 的子集共有22=4故选：B3.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据二次根式的性质，以及分母不为0，得不等式组，解出即可．【解答】解：由{1−x ≠01+x >0，得x >−1且x ≠1， 故选C ．4.【答案】C函数单调性的性质【解析】由条件根据一次函数的单调性可得2k−1<0，从而求得k的范围．【解答】，解：由于函数f(x)=(2k−1)x+2在R上是减函数，可得2k−1<0，求得k<12故选：C．5.【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】f(x)=√x2−2x−3可看作是由y=√t，t=x2−2x−3复合而成的，因为y=√t单调递增，由复合函数的单调性的判定知只需在定义域内求出t=x2−2x−3的增区间即可．【解答】解：由x2−2x−3≥0，解得x≥3或x≤−1．所以函数f(x)的定义域为(−∞, −1]∪[3, +∞)．f(x)=√x2−2x−3可看作是由y=√t，t=x2−2x−3复合而成的，y=√t的单调递增区间为[0, +∞)，t=x2−2x−3=(x−1)2−4的单调递增区间是[3, +∞)，由复合函数单调性的判定方法知，函数f(x)的单调递增区间为[3, +∞)．故选A．6.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．y=x0的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，两个函数的定义域不同，不表示同一函数．B．y=√x2=|x|，两个函数的定义域和对应法则一致，所以B表示同一函数．C．y=x2的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，所以定义域不同，所以C不是同一函数．xC．y=(√x)2的定义域为[0, +∞)，所以定义域不同，所以D不是同一函数．故选B．7.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】先求出f(0)=2，再令f(2)=4a ，解方程4+2a =4a ，得a 值．【解答】解：因为f(0)=20+1=2，所以f(f(0))=f(2)=4+2a =4a ，解得a =2. 故选C .8.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】画出数轴即可得出答案．【解答】解：∵ A ={x|x >2, 或x <−1}，B ={x|a ≤x ≤b}，AUB =R ，∴ a ≤−1b ≥2∵ A ∩B ={x|2≤x ≤4}，∴ a =−1b =4所以b a =−4 故选：A ．9.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】根据二次函数单调性、最值结合图象判断m 的取值范围．【解答】解：f(x)=x 2−3x −4图象开口向上，对称轴为x =32， f(32)=−254，f(0)=−4，f(3)=−4，又因为所给值域中包括最小值，所以m 的取值范围是[32，3]， 故选B ．10.【答案】A【考点】函数单调性的性质【解析】要使f(x)在R 上为增函数，须保证f(x)在(0, +∞)，(−∞, 0)上递增，且−02+(2−b)×0≤(2b −1)×0+b −1．【解答】解：令f 1(x)=(2b −1)x +b −1(x >0)，f 2(x)=−x 2+(2−b)x(x ≤0)，要使f(x)在R 上为增函数，须有f 1(x)递增，f 2(x)递增，且f 2(0)≤f 1(0)，即{2b −1>0,2−b 2≥0,0≤b −1,解得1≤b ≤2． 故选A ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上）【答案】1【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据集合A ⊆B ，确定元素之间的关系即可求解a 的值．【解答】解：∵ 集合A ={2+√a ，a}，B ={−1, 1, 3}，且A ⊆B ，∴ a =−1或a =1或a =3，当a =−1时，√a 无意义，∴ 不成立．当a =1时，A ={3, 1}，满足条件．当a =3时，A ={2+√3, 3}，不满足条件，故答案为：1．【答案】(2, 0.5)【考点】映射【解析】设点(3, 1)的元素原象是(x, y)，由题设条件建立方程组能够求出象(3, 1)的原象．【解答】解：设原象为(x, y)，则有{x +2y =3x −2y =1， 解得x =2，y =0.5，则(3, 1)在f 下的原象是(2, 0.5)．故答案为：(2, 0.5)．【答案】17【考点】函数的求值【解析】由已知得f[g(x)]=f(1−2x)=1+x 2x 2(x ≠0)，由此根据f(12)=f(1−2×14)，能求出f(12)．【解答】解：∵ g(x)=1−2x ，f[g(x)]=1+x 2x 2(x ≠0)，∴ f[g(x)]=f(1−2x)=1+x 2x 2(x ≠0)， ∴ f(12)=f(1−2×14)=1+(14)2(14)2=17． 故答案为：17．【答案】2【考点】整数指数幂集合的相等集合的确定性、互异性、无序性【解析】根据集合相等的概念即可建立关于a ，b 的方程，解方程即得a ，b ，并验证所求得的a ，b 是否满足集合A ，B ，这样即可求出结果【解答】解：∵ a ，b ∈R ，集合M ={1, a +b, a}，N ={0, b a , b}，M =N ， ∴ a ≠0，a +b =0，b =1，a =b a ，∴ a =−1，b =1，∴ b 2014−a 2013=1+1=2故答案为：2【答案】1【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x ＝1或x ＝3处取得，因此分情况讨论解决此题．【解答】记g(x)＝x 2−2x −t ，x ∈[0, 3]，则y ＝f(x)＝|g(x)|，x ∈[0, 3]f(x)图象是把函数g(x)图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得到，其对称轴为x ＝1，则f(x)最大值必定在x ＝3或x ＝1处取得（1）当在x ＝3处取得最大值时f(3)＝|32−2×3−t|＝2，解得t ＝1或5，当t ＝5时，此时，f(0)＝5>2不符条件，当t ＝1时，此时，f(0)＝1，f(1)＝2，符合条件．（2）当最大值在x ＝1处取得时f(1)＝|12−2×1−t|＝2，解得t ＝1或−3，当t ＝−3时，f(0)＝3>2不符条件，当t ＝1此时，f(3)＝2，f(1)＝2，符合条件．综上t ＝1．另由题意可得−2≤x 2−2x −t ≤2在[0, 3]恒成立，可得−2≤(x 2−2x −t)min ，(x 2−2x −t)max ≤2，即有1−2−t ≥−2，且9−2×3−t ≤2，解得1≤t ≤1，即有t ＝1．故答案为：1．三、解答题（第16、17、18、19题各12分，第20题13分，第21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．【答案】解：因为集合A={1, 2, 5, 7}，B={2, 4, 6, 7}，所以A∩B={2, 7}，因为全集U={x|1≤x≤8且x∈N∗}，则C U A={3, 4, 6, 8}，C U B={1, 3, 5, 8}，所以(C U A)∪B={2, 3, 4, 6, 7, 8}，A∩(C U B)={1, 5}．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】由题意和交、补、并集的运算依次求出A∩B，(C U A)∪B，A∩(C U B)．【解答】解：因为集合A={1, 2, 5, 7}，B={2, 4, 6, 7}，所以A∩B={2, 7}，因为全集U={x|1≤x≤8且x∈N∗}，则C U A={3, 4, 6, 8}，C U B={1, 3, 5, 8}，所以(C U A)∪B={2, 3, 4, 6, 7, 8}，A∩(C U B)={1, 5}．【答案】解：（1）f[g(1)]=f(3)=1，函数f(x)的定义域是{1, 2, 3}，值域是{1, 3}，（2）当m=1时f[g(1)]=1，g[f(1)]=g(1)=3不满足f[g(m)]>g[f(m)]当m=2时，f[g(2)]=f(2)=3，g[f(2)]=g(3)=1满足f[g(m)]>g[f(m)]当m=3时f[g(3)]=f(1)=1，g[f(3)]=g(1)=3不满足f[g(m)]>g[f(m)]故满足f[g(m)]>g[f(m)]的m的值是2．【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】（1）结合表格，先求出内涵式的函数值，再求出外函数的函数值；写出函数的定义域，值域即可，（2）分别将m=1，2，3代入f[g(m)]，g[f(m)]，判断出满足f[g(m)]>g[f(m)]的m即可．【解答】解：（1）f[g(1)]=f(3)=1，函数f(x)的定义域是{1, 2, 3}，值域是{1, 3}，（2）当m=1时f[g(1)]=1，g[f(1)]=g(1)=3不满足f[g(m)]>g[f(m)]当m=2时，f[g(2)]=f(2)=3，g[f(2)]=g(3)=1满足f[g(m)]>g[f(m)]当m=3时f[g(3)]=f(1)=1，g[f(3)]=g(1)=3不满足f[g(m)]>g[f(m)]故满足f[g(m)]>g[f(m)]的m的值是2．【答案】[−1, 2]．（2）函数f(x)=√x−2−x设t=√x−2，t≥0，x=t2+2，y=t−t2−2，t≥0，即y=−t2+t−2，t≥0，对称轴t =12， t =12，y =−74，∴ 函数f(x)=√x −2−x 的值域：(−∞, −74) 【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】（1）函数f(x +2)的定义域即为x 的取值范围，原函数的定义域，即为x +2的范围，解不等式组即可得解．（2）换元法求解函数y =−t 2+t −2，t ≥0，求解即可．【解答】解：（1）∵ 原函数的定义域为[1, 4]，∴ 1≤x +2≤4，即，解得−1≤x ≤2∴ 函数f(2x +1)的定义域为[−1, 2]．（2）函数f(x)=√x −2−x设t =√x −2，t ≥0，x =t 2+2，y =t −t 2−2，t ≥0，即y =−t 2+t −2，t ≥0，对称轴t =12，t =12，y =−74， ∴ 函数f(x)=√x −2−x 的值域：(−∞, −74)【答案】解：由题意得：当m +1>2m −1，即m <2时，集合B =⌀，结论显然成立；当B ≠⌀时，只需{m +1≤2m −1m +1≥22m −1≤5成立，解得2≤m ≤3．综上，所求m 的范围是(−∞, 3]．【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】分集合B 为空集和非空集合两种情况讨论，然后根据集合间的包含关系分别列出不等式组求解，最后两种情况下的结果取并集．【解答】解：由题意得：当m +1>2m −1，即m <2时，集合B =⌀，结论显然成立；当B≠⌀时，只需{m+1≤2m−1m+1≥22m−1≤5成立，解得2≤m≤3．综上，所求m的范围是(−∞, 3]．【答案】解：（1）证明：∵f(a+b)=f(a)+f(b)−1，且x>0时，f(x)>1，设x1<x2，则x2−x1>0，f(x2−x1)>1，∴f(x2)−f(x1)=f[(x2−x1)+x1]−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)−1−f(x1)=f(x2−x1)−1>1−1=0，∴f(x)是R上的增函数；（2）∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)−1=5，∴f(2)=3．∴f(3m2−m−2)<3=f(2)，又f(x)是R上的增函数；∴3m2−m−2<2，∴−1<m<43∴不等式f(3m2−m−2)<3的解集为：{m|−1<m<43}．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】（1）设x1<x2，利用函数单调性的定义作差结合已知条件判断符号即可；（2）利用f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)−1=5即可求得f(2)=3，再利用其单调递增的性质脱掉“f”，解关于m的不等式即可．【解答】解：（1）证明：∵f(a+b)=f(a)+f(b)−1，且x>0时，f(x)>1，设x1<x2，则x2−x1>0，f(x2−x1)>1，∴f(x2)−f(x1)=f[(x2−x1)+x1]−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)−1−f(x1)=f(x2−x1)−1>1−1=0，∴f(x)是R上的增函数；（2）∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)−1=5，∴f(2)=3．∴f(3m2−m−2)<3=f(2)，又f(x)是R上的增函数；∴3m2−m−2<2，∴−1<m<43∴不等式f(3m2−m−2)<3的解集为：{m|−1<m<43}．【答案】解：（1）∵方程ax2+bx−x=0有等根，∴△=(b−1)2=0，得b=1．∵f(2)=0，∴a=−12，∴f(x)的解析式为f(x)=−12(x−1)2+12；∵ 函数是二次函数，−12(x −1)2+12≤12． ∴ 函数的值域为：(−∞,12]．（2）∵ f(x)=−12(x −1)2+12≤12，∴ 2n ≤12，∴ n ≤14，∴ f(x)在[m, n]上单调递增，若满足题设条件的m ，n 存在，则{f(m)=2m f(n)=2n， ∴ {m =−2n =0即这时定义域为[−2, 0]，值域为[−4, 0]． 由以上知满足条件的m ，n 存在，m =−2，n =0．【考点】函数与方程的综合运用函数解析式的求解及常用方法函数的零点与方程根的关系【解析】（1）由于方程f(x)=x 有等根，所以可求b =1，利用f(2)=0可求a =−12，故函数解析式可求，然后利用二次函数的性质求解值域．（2）利用函数的最大值可知f(x)在[m, n]上单调递增，从而可建立方程组，故满足条件的m ，n 存在．【解答】解：（1）∵ 方程ax 2+bx −x =0有等根，∴ △=(b −1)2=0，得b =1． ∵ f(2)=0，∴ a =−12，∴ f(x)的解析式为f(x)=−12(x −1)2+12； ∵ 函数是二次函数，−12(x −1)2+12≤12．∴ 函数的值域为：(−∞,12]． （2）∵ f(x)=−12(x −1)2+12≤12，∴ 2n ≤12，∴ n ≤14，∴ f(x)在[m, n]上单调递增，若满足题设条件的m ，n 存在，则{f(m)=2m f(n)=2n， ∴ {m =−2n =0即这时定义域为[−2, 0]，值域为[−4, 0]． 由以上知满足条件的m ，n 存在，m =−2，n =0．。