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听课记录：新2024秋季七年级人教版数学上册第三章一元一次方程《解一元一次方程（二）：去括号与去分母》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够掌握解一元一次方程中去括号和去分母的方法，并能准确应用于解题过程中。
2.过程与方法：通过例题讲解、练习巩固，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用数学规则进行运算的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养耐心细致的学习态度，以及面对复杂问题时勇于探索的精神。
导入教师行为：1.1 教师首先复习上一节课解一元一次方程的基本步骤，特别是移项和合并同类项的方法，为新课做铺垫。
1.2 接着，教师展示一个包含括号和分母的复杂一元一次方程，如“2(x + 3) - 5 =(x - 1)/2”，引导学生观察方程特点，提出疑问：“这样的方程我们该如何解呢？”学生活动：•学生回忆并回答上一节课的解方程步骤，巩固基础知识。
•观察新方程，思考其特殊之处，对如何解这样的方程产生好奇和疑问。
过程点评：导入环节通过复习旧知、展示新知，自然引出本节课的学习内容，激发了学生的求知欲和学习兴趣。
教学过程教师行为：2.1 去括号讲解：•教师详细讲解去括号的方法，强调括号前是加号时，去掉括号后各项符号不变；括号前是减号时，去掉括号后各项符号要变号。
•通过具体例题，如“3(x + 2) = 9”，示范去括号的过程，并让学生尝试独立完成类似题目。
学生活动：•认真听讲，理解去括号的规则。
•在教师指导下，独立完成去括号的练习，加深对规则的理解和应用。
过程点评：通过具体例题和练习，学生有效掌握了去括号的方法，为后续学习打下基础。
教师行为：2.2 去分母讲解：•教师介绍去分母的方法，即先找到方程中所有分母的最小公倍数，然后方程两边同时乘以这个最小公倍数，从而消去分母。
•通过例题“(x - 1)/2 - (x + 2)/3 = 1”，详细展示去分母的过程，并强调去分母后要注意方程两边的每一项都要乘以最小公倍数。
3.3 解一元一次方程（二）――去括号和去分母教学任务分析教学流程安排教学过程设计一、创设问题情景，激发学生研究问题的兴趣，引出本节要研究的主要的两种方程的形式请利用方程解决下列问题：问题1：顾客用540元买了两种布料共138尺，其中蓝布料每尺3元，黑布料每尺5元．两种布料各买了多少尺？问题2：某厂22名工人，每人每天可以生产螺钉1200个或螺母2000个，如何安排才能使一天生产的螺钉和螺母配套？问题3：整理一批数据，由一人做需要80小时完成．现在计划先由一部分人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的四分之三，怎样安排参与整理数据的具体人数？ 学生活动设计：对于问题1：学生会发现问题中有两个等量关系：一是两种布料共138尺；二是两种布料的费用共是540元，于是可以考虑设买蓝布料x 尺，则买黑布料（138－x ）尺，根据相等关系：两种布料的费用共是540元，可以得到方程3x ＋5（138－x ）＝540．或设用x 元买蓝布料，则用540－x 元买黑布料，则根据相等关系：两种布料共138尺，得到方程13855403=-+xx．对于问题2：当螺钉和螺母配套时，螺母的数量应是螺钉数量的2倍（这就是相等关系） 于是可以设安排x 人生产螺钉，则有22－x 人生产螺母，根据上述相等关系可以得到方程 2×1200x ＝1800（22－x ）（或设总共生产的螺母有x 个）．对于问题3：可以考虑先安排x 人作2小时，由于每人的工效相同，一个人1小时完成总工作量的801，则工作两个小时后完成了总工作量的802x ，后来由（5＋x ）人工作，工作了8小时完成总工作量的80)5(8880)5(x x +=⨯+，根据这10个小时共完成总工作量的四分之三，得到方程802x ＋4380)5(8=+x （或设x 人先工作了2小时，则有2x ＋8（5＋x ）＝80×43）．教师活动设计：由于已经有了列方程解决实际问题的经验，所有可以让学生自主探究，寻找解决问题的思路，在解决问题的过程中可能产生不同的形式，此时可以分析不同方法中异同，让学生比较不同方法间的简单程度，进而引导学生在解决问题的过程中尽量采用简单的方法解决问题．二、问题引申，探究、归纳解方程的方法，培养学生的探究能力 活动1：对上述问题中涉及的方程，如何解这些方程呢？你能找到解这些方程的方法吗？1．3x ＋5（138－x ）＝540； 2．2×1200x ＝1800（22－x ）；3．2x ＋8（5＋x ）＝80×43； 4．13855403=-+xx；5．802x ＋4380)5(8=+x ．学生活动设计：由于这些方程和前面接触的方程在形式上有区别，1、2和3中存在括号，4、5中存在分母，则可以考虑把方程中的括号、分母去掉就可以转化为熟悉的形式，对于1、2和3可以利用乘法分配律把括号去掉，然后进行移项、合并、系数化为1，对于4和5可以利用等式的性质2，把方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数，就可以把分去掉，于是问题可以解决．教师活动设计：在活动中，主要让学生探究如何把新的知识转化为旧的知识来解决，从而让学生体会数学中的转化思想，同时培养学生的勇于探究的精神．〔解答〕1. 3x ＋5（138－x ）＝540，去括号得，3x ＋5×138－5x ＝540，移项得，3x －5x ＝540－5×138，合并得，－2x ＝－150，系数化为1，x ＝75.2. x ＝10；3.x ＝2．4. 13855403=-+xx，两边同时乘以15（去分母）得，5x ＋3（540－x ）＝138×15，去括号得，5x ＋1620－3x ＝2070，移项得，5x －3x ＝2070-1620，合并得，2x ＝450，系数化为1，x ＝225．5．x ＝2．活动2：通过以上解方程的过程，你能总结出解方程的一般步骤吗？学生活动设计：学生通过观察思考，总结出解方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．教师活动设计：让学生充分发表自己的看法，然后在总结时进行必要的补充和说明． 活动3：根据上述总结，请解下列方程：（1）3x －7（x －1）＝3－2（x ＋3）；（2）)131(72)421(6--=+-x x x ； （3）53210232213+--=-+x x x ；（4）31232213--=--+x x x ．学生活动设计：让四位同学黑板进行板演，其余学生独立完成，完成后根据黑板上的解法进行交流和总结，发现问题，寻找问题出现的原因，分析原因，特别是去带有负号的括号时的变号规律．教师活动设计：分析解决问题的过程，让学生自主发现问题所在，从而培养学生的严谨的精神．〔解答〕（1）x ＝5； （2）x ＝6； （3）167=x ； （4）2523=x ．三、拓展提高，应用创新，培养学生思维的深刻性和灵活性 问题4：现将连续自然数1～2006按如图所示的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数：1 2 78 9 1415 16 2122 23 2829 30 3536 37 38 39 40 41 42…………………………………………2003 2004 2005 2006（1） 图中这16个数的和是多少？（2） 要使一个正方形框出的16个数的和分别等于2000和2008是否可能，若不可能，说明理由，若可能求出该正方形中最小数和最大数．学生活动设计：（1）计算框出的16个数的和，可能会有两种方式，方式1：依次把这16个数加起来；方式2：可以设第1个数为a ，则这16个数分别是：a a ＋1 a ＋2 a ＋3a ＋7 a ＋8 a ＋9 a ＋10a ＋14 a ＋15 a ＋16 a ＋17a ＋21 a ＋22 a ＋23 a ＋24把这些加起来得到16a ＋192，当a ＝10时得到，这16个数的和是352．（2）有（1）可以发现若16a ＋192＝2000，则有a ＝113，若16a ＋192＝2008则有 x ＝113.5．因为a 是自然数，所以结果可能是2000，但不可能是2008，问题5（对问题2的变式思考）：变式思考1：某车间有28名工人，生产一种螺母和螺栓，每人每天平均能够生产螺栓12个货螺母18个，第一天安排14名工人生产螺栓、14名工人生产螺母，问第二天应安排生产多少工人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使当天生产的螺栓和螺母与第一天生产的刚好配套？（已知每个螺栓要配两个螺母）？教师活动：启发学生进行独立思考，学生活动：学生在已经熟悉的情景下进行独立思考，同样在独立思考后由学生提出自己的看法，再交流中逐步完善自己 的看法，解：第1天生产后，螺栓、螺母不能刚好配套，螺栓应有剩余，不难计算螺栓剩余的数量为42个，然后第二天要安排x 人生产螺栓，（28-x ）人生产螺母，则12(14)18[14(28)]12x x ++-=．解之得 x =10，思考：遇到这类配套问题，应该怎样解决？问题：若解出的未知数是分数（不是整数），怎么办？引出变式2．变式思考2：某车间有27名工人，生产一种螺母和螺栓，每人每天平均能够生产螺栓12个货螺母18个，问应安排生产多少工人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使当天生产的螺栓和螺母刚好配套？（已知每个螺栓要配两个螺母）？学生活动：学生对这个问题的解决应该没有问题，主要考虑解得的数是分数，如何处理？ 解：设应分配x 人生产螺栓，则（27-x ）人生产螺母，根据题意得：1218(27)12xx -= 解得 4117x =，如何处理？可以由学生讨论最后的结论．变式思考3：某车间有27名工人，生产一种螺母和螺栓，每人每天平均能够生产螺栓12个货螺母18个，假设y 天作为一个生产周期，问在这个生产周期内，应如何安排，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？（已知每个螺栓要配两个螺母）？学生活动：在平均生产率不变的前提下，一个生产周期为y 天，且每天有27名工人参加工作，则工作总量相当于一天内有27y 名工人参加工作的总工作量，这样问题就化归为问题的情形．教师活动：引导、启发．解：在一个生产周期内，安排x 名工人生产螺栓，（27y -x ）名工人生产螺母，则1218(27)12xy x -=． 得 817x y =． （此时考虑方程的整数解问题）．所以y 必须是7的倍数才行．若y =7则有x =81，于是可以用81327=（天）时间安排全部工人生产螺栓，用4天时间安排全部工人生产螺母． 四、小结与作业小结：1. 解方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1．2. 列方程解实际问题中关键：找等量关系．作业：习题3.3．。
3.3 解一元一次方程（二）──去括号与去分母内容简介本节继续结合一些实际问题讨论一元一次方程，重点讨论两方面的问题：（1）如何根据实际问题列方程？（2）如何解方程？这节重点讨论解方程中的“去括号”和“去分母”，这样就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．本节从一道“用电问题”，引出解方程中的“去括号”问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而讨论用去分母的方法解这类方程．在本节中，以解一个具体方程的过程为例，用框图形式表示了一元一次方程解法的一般步骤．教学目标1．会根据题意列方程．2．会去括号、去分母解一元一次方程．3．了解一元一次方程解法的一般步骤．4．会通过列方程解决实际问题，并会将含有分母的方程化归成熟悉的方程，逐步体会化归的方法，掌握解方程的程序化方法．5．结合实际问题中得出的方程，会用“去括号”和“去分母”解一元一次方程，进一步体会化归思想．6．通过实际情景问题引入，提高学生的兴趣，激发学生探究欲望．教学重点本节的重点是通过实际问题讨论解方程中的“去括号”和“去分母”，理解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．在列方程求解的过程中经常用到“去括号”和“去分母”两种变形运算，是代数的基础知识和基本技能．在教学中重点抓住分析括号中的符号、系数问题，去分母时保证方程同解等重点内容．随着方程形式复杂程度的加深，要求运算能力也随之提高．教学难点本节的难点是根据实际问题列方程，并能正确求解，解方程过程中正确去括号和去分母．由于实际问题的类型多种多样，问题中的数量关系不一定明显，列方程成为教学中难点，因此列方程解决问题要反复逐步细化，多种形式展示方程求解的一般步骤．“去括号”和“去分母”变形时，保证方程同解是难点之一，如去括号时的负号问题等．课时安排4课时．1第1课时教学内容去括号．教学目标1．掌握解一元一次方程中“去括号”的方法，并能解此类型的方程．2．了解一元一次方程解法的一般步骤．3．通过归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程的程序化思想方法．4．通过具体实例引入新问题（如何去括号），激发学生的学习兴趣．教学重点通过“去括号”解一元一次方程．教学难点在去括号时括号内符号的变化过程．教学过程一、复习旧知导入新课按具体步骤解下列方程：2x＋5x－3x＋12＝24－2x．按移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解，并和同学一起回忆这个步骤．二、创设情境讲授新课问题1某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000kW?h(千瓦?时)，全年用电15万kW?h．这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？提问：你会用方程解这道题吗？让学生自主分析列出式子（设出未知量、找出各个量和他们之间的关系，列出式子）．设上半年每月平均用电x kWh，则下半年每月平均用电(x－2 000) kW?h；上半年?共用电6x kW?h，下半年共用电6(x－2 000) kW?h．根据全年用电15万kW?h，列得方程6x＋6(x－2 000)＝150 000．如果去括号，就能简化方程的形式．下面的框图表示了解这个方程的流程：2．由上可知，这个工厂去年上半年每月平均用电13 500 kW?h思考：本题还有其他列方程的方法吗？用其他方法列出的方程怎样解？度，列方程设上半年平均每月用电x150000＝x－2 000x＋6即方程中等号左右两边都是一年中每两个月的平均用电量，解法为，2 000＝25 0002x －，＝27 0002x．＝13 500x从以上例子中归纳总结出解含括号的一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同．类项、系数化为1巩固提高三、实例分析解下列方程：1例)；(x－1＋10)＝5x＋2）（12x－(x．＋3)＝3－2(x)3（2）x－7(x－1）去括号，得解：（1 ．－2x ＋2x52x－x－10＝移项，得．2－＋105－x－2x＝x2－x合并同类项，得．＝86－x，得系数化为13．x＝－4）去括号，得（2 x－＝＋7x3－x732－．63移项，得3x－7x＋2x＝3－6－7．合并同类项，得－2x＝－10．系数化为1，得x＝5．四、小结这节课学习到了什么？和上节课相比今天所学的一元一次方程有什么不同？解含括号的一元一次方程的基本步骤是什么？去括号是应注意哪些事项？五、作业教科书第98页习题3.3第1题第2课时教学内容去括号．教学目标．进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤．12．通过分析行程问题中顺流速度、逆流速度、水流速度、静水中的速度的关系，以及零件配套问题中的等量关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用．3．培养学生自主探究和合作交流意识和能力，体会数学的应用价值．教学重点分析问题中的数量关系，找出能够表示问题全部含义的相等关系，?列出一元一次方程，并会解方程．教学难点找出能够表示问题全部含义的相等关系，列出方程．教学过程一、复习提问1．行程问题中的基本数量关系是什么？路程＝速度×时间可变形为：速度＝路程/时间，时间＝路程/速度．2．相遇问题或追及问题中所走路程的关系？相遇问题：双方所走的路程之和＝全部路程＋原来两者间的距离（原来两者间的距4离）．追及问题：快速行进路程＝慢速行进路程＋原来两者间的距离或快速行进路程－慢速行进路程＝原路程（原来两者间的距离）．二、讲授新知例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h．已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度．分析：一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此得出：顺流速度×顺流时间＝逆流速度×逆流时间．解：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺流速度为(x＋3) km/h，逆流速度为(x－3) km/h．根据往返路程相等，列得2(x＋3)＝2.5(x－3)．去括号，得2x＋7＝2.5x－7.5．移项合并同类项，得0.5x＝13.5．系数化为1，得x＝27．答：船在静水中的平均速度为27 km/h．三、巩固练习教科书第99页第7题．练习：在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求：（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程．解：（1）若设无风时飞机的航速为x km/h，那么与上例类似，可得顺风飞行的速度为（x＋24）km/h，逆风飞行的速度为（x－24）km/h．根据往返路程相等，列得2.8(x＋24)＝3(x－24)．去括号，得2.8x＋67.2＝3x－72．移项合并同类项，得－0.2x＝139.2．系数化为1，得x＝696．（2）两机场之间的航程为2.8(x＋24)＝2.8(696＋24)＝2016 km．答：（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速为696 km/h；（2）两机场之间的航 5程是2016 km．四、小结通过以上问题的讨论，我们进一步体会到列方程解决实际问题的关键是正确地建立方程中的等量关系．另外在求出x值后，一定要检验它是否合理，虽然不必写出检验过程，但这一步绝不是可有可无的．五、作业教科书第98页习题3.3第2（1）（2）、8题．第3课时教学内容去分母．教学目标1．掌握解一元一次方程中“去分母”的方法．2．了解一元一次方程解法的一般步骤．3．体会解方程的程序化思想方法，发展用方程方法分析问题、解决问题的能力．教学重点通过“去分母”解一元一次方程．教学难点探究通过“去分母”的方法解一元一次方程．教学过程一、创设问题情境纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有3700多年的历史了，在文书中记载了很多有关数学的问题，其中一个是：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．求这个数是多少？提出问题：同学们能不能用方程解决这个问题？大家思考并列式子．老师对同学们的回答进行总结．二、新课讲解这个问题可以用现在的数学符号表示，设这个数是x，根据题意得方程．211x＋x＋x＋x＝33．327这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可以使这些方程中的计算更简便些．6我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等．这个方程中各分母的最小公倍数是42，方程两边同乘42，得：211x＋42×x＋42×x＋42x＝42×42×33．327即28x＋21x＋6x ＋42x＝1 386．合并同类项，得97x＝1 386．系数化为1，得1386．x＝97建议：先让学生尝试独立解答，老师巡视，观察学生的解题方法，并请同学表述解法及解法依据．第一种：直接合并同类项的方法；第二种：去分母的方法．提问：不同的解法有什么各自的特点？老师引导学生分析并对比两种方法，得到共识：当方程中就含有分数系数时，先去．分母可以使解题更加方便、快捷题的一种解法，请同学们想一想还有7上节课，我们学习了教科书第99页练习第．没有另外的解法，8 hB机场要用2.A练习：在风速为24 km/h 的条件下，一架飞机顺风从机场飞到）2（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（它逆风飞行同样的航线要用3h．求：两机场之间的航程．，你能列方程吗？这时它们之间的相等关系2 如果设两城之间的航程为x km解法是什么？可得顺逆风飞行需要3小时，km分析：由两城间的航程x和顺风飞行需2.8小时，xx，逆风飞行的速度为km/h．风飞行的速度为km/h382.在这个问题中，飞机在无风时的速度是不变的，即飞机在顺风飞行和逆风飞行中，无风时这架飞机在这一航线的平均航速相等，根据这个相等关系，列得方程xx－24＝＋24． 2.83移项、去分母(这里要求得两个分母的最小公倍数，最小公倍数是42)、合并同类项、系数化为1，得x＝2 016．x2016无风时这架飞机在这一航线的平均航速－24＝－24＝696 km/h． 2.82.83x?13x?22x?3问同学们怎样求解？通过讨论先去分老师出一个题目：?2??5102．可以分组讨论，得出正确的去分母方法母，然后求解．7然后归纳总结出去分母的方法：在方程两边乘以所有分母的最小公倍数；依据是“等式两边同时乘同一个数，结果仍相等”．结合本题思考，让学生总结解这种方程的一般操作过程：去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1．三、归纳总结总结这节课学习到了什么？和上节课相比我们这节课有什么新的内容？在解含有分数的方程时应该按什么步骤进行？去分母对解方程有什么作用？去分母时应注意什么问题？四、作业教科书第98页习题3.3第3题．第4课时教学内容去分母．教学目标使学生灵活应用解方程的一般步骤，提高综合解题能力．教学重点灵活应用解题步骤．教学难点在“灵活”二字上下功夫．教学过程一、复习一元一次方程的解题步骤、分数的基本性质．二、讲授新知接着看看上节课的方程，并以之为例，看看解有分数系数的一元一次方程的步骤．3x?13x?22x?3中各分母的最小公倍数是10，方程的两边乘10，方程?2??5210于是方程左边变为1?3x13x???，×)－1021x(＝×－×10×＝1010253＋2???22??去了分母，方程右边变为83x?22x?333x??2x2??10×－10×＝(3x－2)－2(2x＋3)．＝10×???510510??下面的框图表示了解这个方程的流程．归纳：解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 等．通过这些步骤可以使以x 为未知数的方程逐步向着x＝a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等．三、实例分析例3 解下列方程2?x2x?1x?1x?1－1＝2＋；（2）3x＋＝3－．（1）3422）去分母（方程两边乘4，得）解：（1 )．－4＝8＋(2x)2(x＋1－去括号，得．＝8＋2－x42x＋2－移项，得－2＋4．82x＋x＝＋2 合并同类项，得x＝12．3 ，得系数化为1 ．＝4x，得)（2）去分母(方程两边乘6 )．1(＝x(－1)18－22x－3x18＋去括号，得＋4183x＋18x3－＝－x2．9移项，得18x＋3x＋4x＝18＋2＋3．合并同类项，得25x＝23．系数化为1，得23．＝x25四、小结若方程的分母是小数，应先利用分数的性质，把分子、分母同时扩大若干倍，此时分子要作为一个整体，需要补上括号，注意不是去分母，不能把方程其余的项也扩大若．干倍五、作业．1143.398教科书第页习题第、题10。
