第32课时 用等式的性质求一元一次方程的解

教案反思一元一次方程的解法是在学生已经具备了代数初步知识、系统学习了整式加减的基础上安排的，是对整式运算的进一步深化和认识。

本节课是在教授了一元一次方程解法第一课时因此尤为重要。

同时着力培养学生积极思维的优良品格，逐步形成具体问题具体分析的哲学思想，养成正确思考，善于思考的良好习惯，从而提高分析问题，解决问题的能力。

教学过程方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程.3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b ，那么a±c=b±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a c =b c合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保持不变。

移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．新课例1．某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？分析：设前年这个学校购买了x 台计算机，已知去年购买数量是前年的2倍，那么去年购买___台，又知今年购买数量是去年的2倍，则今年购买了______（即____）台；题目中的相等关系为：三年共购买计算机140台，即前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140列方程：_____________如何解这个方程呢？根据分配律，x+2x+4x=（______）x=7x ；这样就可以把含x 的项合并为一项，合并时要注意x 的系数是1，不是0；下面的框图表示了解这个方程的具体过程：x+2x+4x=140↓合并同类项7x=140↓系数化为1x=20由上可知，前年这个学校购买了20台计算机．上面解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax=b 的形式，其中a 、b 是常数．练习：1.合并：x+3x-6x，z+0.5z-1.8z，5y+4y-y2.解方程：5x-2x=9 -3x+0.5x=10例2．某班学生共60人，外出参加种树活动，根据任务的不同，要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2：3：5，求各小组人数．思路：这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2：3：5，就是说把总数60•人分成___份，甲组人数占___份，乙组人数占___份，丙组人数占___份，如果知道每一份是多少，•那么甲、乙、丙各组人数都可以求得，所以本题应设每一份为x人．关键：本题中相等关系是什么？_____________________________________．解：设每一份为x人，则甲组人数为__人，乙组人数为___人，丙组为___人，•列方程：_______________合并，得________系数化为1，得x=___所以2x=____，3x=_____，5x=______答：甲组_____人，乙组___人，丙组______人．请同学们检验一下，答案是否合理，即这三组人数的比是否是2：3：5，•且这三组人数之和是否等于60；【要点归纳】：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤中，找等量关系是关键也是难点，本节课的两个问题的相等关系都是：“各部分量的和＝总量”；这是一个基本的相等关系；合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项，也就是逆用乘法分配律，合并时，注意x或-x的系数分别是1，-1，而不是0；例3.足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑白皮块的数目比为3：5，一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？解：设每份为_____个，则黑色皮块有_____个，白色皮块有_______个列方程_________合并，得_________系数化为1，得x=_____黑色皮块为___×___=____（个），白色皮块有____×___=____（个）例4. 某学生读一本书，第一天读了全书的三分之一多2页，第二天读了全书的二分之一少1页，还剩23页没读，问全书共有多少页？解：设全书共有____页，那么第一天读了（）页，第二天读了（）页．本问题的相等关系是：_____________+_______________+_____________=全书页数；列方程：_______________________。

3.2 解一元一次方程（一）—-合并同类项与移项第2课时移项一、新课导入1。

课题导入：前面,我们学习了利用合并同类项解一元一次方程，所见到的方程基本上都是含有未知数的项在等号的一边（左边),常数项在等号的另一边(右边），如果等号两边都有含有未知数的项和常数项，那么这样的方程该怎样求解呢？这节课我们继续学习解一元一次方程的方法——移项（板书课题）。

2。

三维目标：（1）知识与技能①会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程.②建立方程解决实际问题.（2)过程与方法①通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性。

②掌握移项方法，学会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想.（3）情感态度体会方程中蕴涵的化归思想。

3.学习重、难点：重点:确定实际问题中的相等关系，建立形如ax+b=cx+d的方程,并利用移项和合并同类项的方法解一元一次方程。

难点：确定相等关系并列出一元一次方程,正确地进行移项并解出方程。

二、分层学习1。

自学指导:（1）自学内容：教材第88页“问题2"至教材第89页例3之前的内容。

（2）自学时间:8分钟。

(3）自学指导：认真阅读“问题2"的问题分析和解题过程，认识“表示同一个量的不同的式子相等”这一相等关系，思考在解题过程中是如何“移项”的，以及“移项”起了什么作用？（4）自学参考提纲:①“问题2”是根据什么相等关系来列方程的？图书的本数是一定的.②课本上是怎样解方程3x+20=4x-25的？有哪几个步骤？移项；合并同类项;系数化为1。

③什么叫移项?移项的依据是什么?有何作用?把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.移项的依据是等式的性质1。

移项可以使方程变得更简单。

④仿照问题2中的解方程的过程，解下列方程.a.3x+7=32-2x；b。

x-3=3x+1.2解：a.x=5；b。

x=—8.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂了解学生自学情况和存在的问题。

第32课时解方程x±a＝b学习内容课本第67页例1，第70页练习十五第1～2题。

学习目标会用等式的性质还原出未知数的值，知道方程的解和解方程的含义，会解x±a＝b的方程。

课文讲解例1，x＋a＝b方程。

借助天平保持平衡的原理，展现解方程x＋a＝b的思考过程。

在此基础上，概括方程的解和解方程的含义。

检验方程的解。

“做一做”，巩固练习。

第1题，解方程。

第2题，检验方程的解。

等式的性质，用字母表示数，是本课的学习基础。

用等式的基本性质解x±a＝b的方程，是本课的新知。

辅导精要例1，略读课文，了解课文的主要内容：解方程。

读题。

一盒皮球x个，加上3个，一共有9个。

用式子表示：x＋3，用方程表示：x＋3＝9。

问题：x的值是多少？想一想：在这个方程里x表示哪个数？你能想办法把它还原出来吗？动手操作。

在桌面左边放（x＋3）个，右边放9个正方体，想像这是平衡的天平。

用等式表示：x＋3＝9。

两边都减去3个，天平保持平衡。

用等式表示：x＝6。

解方程。

通过实验，我们还原出x＝6。

想一想：还原时关键的步骤是什么？ 3是加数，减去3个，减法与加法对消。

1用等式表示是：x＋3－3＝9－3。

这正好反映了等式的性质1。

引导孩子把3个等式，按下列方式写在一起：书写格式。

①先写“解”和“：”，表示将写出新的等式；②等号对齐。

“做一做”，第1题，整体读题。

想一想：怎样对消，能把x还原出来？（1）100＋x－100＝250－100，x＝150；（2）x＋21－21＝31－21，x＝10；（3）x－63＋63＝36＋63，x＝99。

小结。

用加法和减法互为逆运算，可以对消把未知数还原出来。

概括。

读课文：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

求方程的解的过程叫做解方程。

结合实例加以理解：1王永著.数学化的视界--小学“数与代数”的教与学(M).北京：北京师范大学出版社.2013:163.检验。

读课文，把x的值代入，左边的式子，计算出结果，与右边的数相比较。

专题3.2 解一元一次方程【十大题型】【人教版】【题型1 同解问题】 (1)【题型2 一元一次方程的整数解问题】 (2)【题型3 一元一次方程的解与参数无关】 (2)【题型4 一元一次方程的遮挡问题】 (2)【题型5 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 (3)【题型6 错看或错解一元一次方程问题】 (3)【题型7 探究一元一次方程解的情况】 (4)【题型8 一元一次方程的解法在新定义中的运用】 (5)【题型9 根据一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 (6)【题型10 含绝对值的一元一次方程的解法】 (6)【知识点一元一次方程的解法】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．【题型1 同解问题】【例1】（2023春·四川资阳·七年级四川省安岳中学校考期中）已知关于x的一元一次方程2x+13−5x−16=1．(1)求这个方程的解；(2)若这个方程的解与关于x的方程3(x+m)=−(x−1)的解相同，求m的值．【变式11】（2023春·安徽亳州·七年级校考开学考试）当m＝时，方程5x+4=4x−3和方程2(x+1)−m=−2(m−2)的解相同．【变式12】（2023秋·宁夏银川·七年级校考期末）当m为何值时，方程−x+4+10(x−3)=−8的解，也是关于x的方程5x+3m3−mx−106=1的解．【变式13】（2023秋·江苏无锡·七年级校考期中）如果方程3x−42−7=2x+13−1的解与关于x的方程4x－(3a＋1)=6x＋2a－1的解相同，求代数式a2＋a－1的值．【题型2 一元一次方程的整数解问题】【例2】（2023秋·江西九江·七年级校考期中）已知关于x的方程x−5−ax6=x+46−1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（）A．8B．−8C．12D．−12【变式21】（2023春·广东广州·七年级统考开学考试）已知关于x的方程x−28−ax3=x2−1有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式22】（2023秋·福建三明·七年级统考期末）已知关于x的方程x−2−ax6=x3−2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（）A．−23B．23C．−34D．34【变式23】（2023秋·广东广州·七年级统考期末）已知代数式M=(a−b−1)x5−7x2+(a+3b)x−2是关于x的二次多项式．(1)若关于y的方程(3b−3a)y=ky−5的解是y=1，求k的值．(2)若关于y的方程(3b−3a)y=ky−5的解是正整数，求整数k的值．【题型3 一元一次方程的解与参数无关】【例3】（2023秋·湖北十堰·七年级统考期中）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−a3=1−2x+bk2的解总是x＝2，则ab=．【变式31】（2023秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−3m2=2−4x−nk3的解总是x=3，则mn=．【变式32】（2023秋·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）如果a、b定值，且关于x的方程2kx+a3=2+x+bk6，无论k为何值时，它的解总是x=1，那么2a−b=．【变式33】（2023·湖北武汉·七年级统考期末）如果a，b为常数，关于x的方程kx−a2−1=2x−bk4不论k取何值时，它的解总是﹣1，则a b= ．【题型4 一元一次方程的遮挡问题】【例4】（2023秋·山西运城·七年级统考期末）小聪解方程3x−12=2x+★时，发现★处一个常数被墨水污染了，答案显示此方程的解是x=−2，则这个常数是（）A．2B．−2C．52D．−52【变式41】（2023秋·七年级课时练习）马小哈在解一元一次方程“★x3=2x+9”时,一不小心将墨水泼在作业本上了,其中有一个未知数x 的系数看不清了,他便问邻桌,邻桌不愿意告诉他,并用手遮住解题过程,但邻桌的最后一步“所以原方程的解为x=2”(邻桌的答案是正确的)露在手外被马小哈看到了,马小哈由此就知道了被墨水遮住的系数,请你帮马小哈算一算,被墨水遮住的系数是多少?【变式42】（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）计算：6×(12−■)+2． 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是43，请计算6×(12−43)+2． (2)如果计算结果等于14，求被污染的数字．【变式43】（2023秋·江苏·七年级专题练习）小明同学在解方程32(1−■−x 3)=x −13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x =−43，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 【题型5 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【例5】（2023秋·陕西渭南·七年级校考期中）已知方程92x +6=5+4x 的解比关于x 的方程7x −3a =0的解小1，则a 的值为 ．【变式51】（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）已知方程2−3(x +1)=0的解与关于x 的方程k+x 2−3k −2=2x 的解互为相反数，求k 的值．【变式52】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）当x =3时，多项式6x −3a 的值比4x −12的值大3，那么a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．6【变式53】（2023秋·广东广州·七年级统考期末）（1）已知|x ﹣3|+（y +1）2＝0，代数式2y−x+t2的值比y ﹣x +t多1，求t 的值．（2）m 为何值时，关于x 的一元一次方程4x ﹣2m ＝3x ﹣1的解是x ＝2x ﹣3m 的解的2倍． 【题型6 错看或错解一元一次方程问题】【例6】（2023秋·福建·七年级统考阶段练习）小明在解关于x 的方程2−x−43=3a −2x 时，误将“−2x ”看作“+2x ”，得到方程的解为x =1，则此方程正确的解为（ ）． A ．x =−75B ．x =−57C ．x =−95D ．x =−59【变式61】（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）阅读解题过程，解答后续问题解方程3(x −2)+1=2x −(3x −4) 解：原方程的两边分别去括号，得 3x −6+1=2x −3x −4 ★ 即3x −5=−x −4 ★ 移项，得3x −x =5−4 ★ 即2x =1 ★两边都除以2，得x =12 ★(1)指出以上解答过程哪一步出错，并给出正确解答；(2)结合平时自身实际，请给出一些解一元一次方程的注意事项．【变式62】（2023秋·四川广元·七年级校考阶段练习）亮亮在解关于x 的方程ax−12+6=2+x 3时，把6错写成1，解得x=1，并且亮亮的解题过程没有错误，则此方程正确的解为 ． 【变式63】（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）下面是明明解方程2x−14=−1−3−x 8的过程：解：去分母得：2(2x −1)=−8−(3−x )（第一步）， 去括号得：4x −2=−11+x （第二步）， 移项得：4x +x =−11−2（第三步）， 合并同类项得：5x =−13（第四步）， 系数化为1得：x =−135（第五步）， 根据解答过程完成下列任务．任务一：★上述解答过程中，第一步的变形依据是_________；★第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________；任务二：请你写出解方程的正确过程；任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议_________． 【题型7 探究一元一次方程解的情况】【例7】（2023秋·七年级课时练习）求关于x 的方程2x ﹣5+a=bx+1， （1）有唯一解的条件； （2）有无数解的条件； （3）无解的条件．【变式71】（2023春·上海杨浦·七年级校考期中）已知关于x 的方程2a (x −1)−(5−a )x =3b 有无数多个解，求常数a、b的值．【变式72】（2023春·全国·七年级开学考试）已知关于x的方程ax=b，当a≠0，b取任意实数时，方程有唯一解；当a=0，b=0时，方程有无数解；当a=0，b≠0时，方程无解．若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为（）A．1B．−1C．0D．±1【变式73】（2023·全国·七年级假期作业）一元一次方程都可以变形为形如ax＝b（a，b为常数）的方程，称为一元一次方程的最简形式．关于x的方程ax＝b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x=ba；当a＝0，且b＝0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；当a＝0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．讨论关于当x的方程（a﹣4）x＝2的解．【题型8 一元一次方程的解法在新定义中的运用】【例8】（2023秋·湖南长沙·七年级校联考期末）已知x0是关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解，y0是关于y 的方程cy+d=0(c≠0)的解，若x0，y0是满足|x0−y0|≤1，则称方程ax+b=0(a≠0)与方程cy+d= 0(c≠0)互为“阳光方程”；例如：方程4x+2x−6=0的解是x0=1，方程3y−y=3的解是y0=1.5，因为|x0−y0|=0.5<1，所以方程4x+2x−6=0与方程3y−y=3互为阳光方程．(1)请直接判断方程3x−3+4(x−1)=0与方程−2y−y=3是否互为阳光方程；(2)请判断关于x的方程12022x−m=2x−5与关于y的方程y+7×2022−1=4044y+2022m是否互为阳光方程，并说明理由；(3)若关于x的方程3x−3+4(x−1)=0与关于y的方程3y+k2−y=2k+1互为阳光方程，请求出k的最大值和最小值．【变式81】（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）对于任意实数a、b定义一种新运算“⊗”如下：a⊗b=2a+ b2，例如2⊗3=2×2+32=13(1)求4⊗(−2)的值；(2)若x⊗4=(2x)⊗1，求x．【变式82】（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）定义一种新运算“⊕”：a⊕b=2a−ab，如1⊕(−3)= 2×1−1×(−3)=5(1)求(−2)⊕3的值；(2)若(−3)⊕x=(x+1)⊕5，求x的值；【变式83】（2023春·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：2x=2的解为x=1；x+2=1的解为x=−1，所以这两个方程为“友好方程”．(1)若关于x的一元一次方程x+2m=0与3x−2=−x是“友好方程”，则m=．(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为x=k，求k的值．(3)若关于x的一元一次方程12023x−1=0和12023x−5=2x+a是“友好方程”，则关于y的一元一次方程12023(y−1)−5=2y+a−2的解为．【题型9 根据一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】【例9】（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）已知关于x的一元一次方程2022x+a2023+2023=x+b的解是x=2023，则关于y的一元一次方程y−2024=2022y+a−20222023−b的解为y=（）A．2022B．2023C．2024D．2025【变式91】（2023春·福建福州·七年级校考开学考试）已知k≠0，关于x的方程kx+b=0的解为x=4，则关于y的方程k(3y+2)+b=0的解为．【变式92】（2023秋·福建福州·七年级校考期末）关于x的方程2ax=(a+1)x+6的解是x=1，现给出另一个关于x的方程2a(x−1)=(a+1)(x−1)+6，则它的解是．【变式93】（2023秋·江苏盐城·七年级校联考期中）已知以x为未知数的一元一次方程x2019+2020m=2021x的解为x=2，那么以y为未知数的一元一次方程2020−y2019−2020m=2021(2020−y)的解为．【题型10 含绝对值的一元一次方程的解法】【例10】（2023秋·江西宜春·七年级校考期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|x+3|=2．解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=−1；当x+3<0时，原方程可化为：x+3=−2，解得x=−5．所以原方程的解是x=−1，x=−5．(1)解方程：|3x−2|−4=0；(2)探究：当b为何值时，方程|x−2|=b+1★无解；★只有一个解；★有两个解．【变式101】（2023秋·山东德州·七年级统考阶段练习）若关于x的方程4m－3x＝1的解满足2︱x2︱1=3，则m的值为【变式102】（2023秋·四川成都·七年级成都实外校考期中）已知m、n为有理数，方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解，则n=．x−2|+3=a．【变式103】（2023春·上海浦东新·六年级上海中学东校校考期中）解关于x的方程：|12。

3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项情景导入归纳导入类比导入悬念激趣问题1：上节课我们学习了利用等式的基本性质解方程，哪位同学能叙述一下等式的基本性质呢？问题2：上周在我校举办了全市的数学优质课评选，共有50名教师听课，已知男教师比女教师的4倍少5人，请问听课的教师中有多少名男教师，多少名女教师？(要求：只列方程)[说明与建议] 说明：此环节为本节课新知的学习做好铺垫，体会等式的基本性质在解方程的过程中的作用．同时让学生体会到数学来源于生活，激发学生探究新知的兴趣．建议：学生叙述等式的基本性质要准确，问题2可引导学生发散思维，一题多解．通过上节课的学习，同学们知道：可以利用等式的基本性质解方程，比如：5x －2＝8.方程两边同时加上2，得5x －2＋2＝8＋2. 也就是5x ＝10.方程两边同时除以5，得x ＝2.此种解法过程比较繁琐，还有没有更加简便的方法呢？[说明与建议] 说明：本环节既回顾了上节所学：等式的基本性质及解方程，又引出了新的问题，为下面的学习设置了疑问，激发学生的学习兴趣．建议：此方程可由学生独立完成，回顾上节课解题过程，让学生总结此种方法的不便之处，教师适时提出问题，引出新课．教材母题——教材第89页例3 解下列方程：(1)3x ＋7＝32－2x ；(2)x －3＝32＋1.【模型建立】利用合并同类项与移项解一元一次方程，要注意以下几点：(1)移项时，从方程的一边移到另一边的项要变号．(2)方程中的项包括它前面的符号．(3)不要把移项和加法交换律混淆．(4)在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，不含未知数的项放在等号的右边．【变式变形】1．下列变形符合移项法则的是(C )A ．由5＋3x ＝2，得3x ＝2＋5B ．由－10x －5＝－2x ，得－10x －2x ＝5C ．由7x ＋9＝4x －1，得7x －4x ＝－1－9D ．由5x ＋2＝9，得5x ＝9＋22．一元一次方程t －3＝12t 化为t ＝a 的形式为__t ＝6__．3．当k ＝__－12__时，方程5x －k ＝3x ＋8的解是x ＝－2.4．如果5a 3b －m 与a 3b 6m －7是同类项，那么m 的值为( D ) A ．－1 B ．2 C ．－2 D ．15．解方程：(1)－9x －4x ＋8x ＝－3－7； (2)3x －4＝8－x ； (3)－3m ＋1＝9－m ； (4)0.6x －4.1＝3.9－1.4x.[答案：(1)x ＝2 (2)x ＝3 (3)m ＝－4 (4)x ＝4][命题角度1] 用合并同类项解一元一次方程用合并同类项法解一元一次方程的步骤：(1)合并同类项；(2)系数化为1.如素材二变式变形第5(1)题．[命题角度2] 用合并同类项与移项解一元一次方程利用合并同类项与移项解一元一次方程，要注意以下几点：(1)移项时，从方程的一边移到另一边的项要变号．(2)方程中的项包括它前面的符号．(3)不要把移项和加法交换律混淆．(4)在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，不含未知数的项放在等号的右边．如素材二变式变形第5(2)(3)(4)题．[命题角度3] 利用一元一次方程解决和差倍分问题解这类题的关键是根据题意找出题目中的和差倍分的等量关系．增长量＝原有量×增长率．注意：要恰当地设未知数，这样可以简化运算．题目中等量关系可能不止一个，有时会有多个，要根据具体情况恰当地选择等量关系．解完方程后要检验，避免出现不符合实际的答案．例 如果甲、乙、丙三个村合修一条水渠，计划出工60人，甲村出工人数是乙村出工人数的13，丙村出工人数是乙村出工人数的2倍，求乙村出工人数．解：设乙村出工人数为x ，则甲村出工人数为13x ，丙村出工人数为2x.根据题意，得x ＋13x ＋2x ＝60.合并同类项，得103x ＝60.系数化为1，得x ＝18.答：乙村出工的人数为18.[命题角度4] 利用一元一次方程解决盈亏问题 盈亏问题的等量关系：(1)“盈”是分配中的多余情况，“亏”是分配中的缺少情况； (2)一般会给出两个条件：什么情况下会“盈”，盈多少？什么情况下会“亏”，亏多少？这两个条件都可以用来列式子，然后利用相等关系列方程．例 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多做了9个；如果每人做4个，那么比计划少做了15个．小组成员共有多少名？解：设小组成员共有x 名，由题意，得5x －9＝4x ＋15. 移项，得5x －4x ＝15＋9. 合并同类项，得x ＝24. 答：小组成员共有24名．[命题角度5] 利用一元一次方程解决比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c，设其中一份为x ，由已知部分量在总量中的比例，可得表示各部分份量的式子，相等关系：各部分量之和＝总量．例 已知a∶b∶c＝2∶3∶4，a ＋b ＋c ＝27，求a －2b －2c 的值． 解：因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m. 代入a ＋b ＋c ＝27，得2m ＋3m ＋4m ＝27， 即9m ＝27，所以m ＝3. 所以a ＝6，b ＝9，c ＝12.所以a －2b －2c ＝6－2×9－2×12＝－36. [命题角度6] 利用一元一次方程解决日历问题 日历中的相等关系：(1)日历中同一行中相邻的两数相差1，同一列中相邻的两数相差7.(2)用字母表示相邻三个数时，有多种表示方法，一般设中间一个数为a ，利用相反数的性质，能使计算过程简便．例 [利川校级一模] 图3－2－2是2014年6月的日历表，在日历表上可以用一个方框圈出3×3个位置相邻的数(如11，12，13，18，19，20，25，26，27)，若圈出的9个数的和为99，则方框中心的数为( A )图3－2－2A ．11B ．12C ．16D ．18P88练习1．解下列方程：(1)5x －2x ＝9； (2)x 2＋3x2＝7；(3)－3x ＋0.5x ＝10； (4)7x －4.5x ＝2.5×3－5.[答案] (1)x ＝3；(2)x ＝3.5；(3)x ＝－4；(4)x ＝1.2．某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值为550万元．前年的产值是多少？解：设前年的产值是x 万元，根据题意，得 x ＋1.5x ＋1.5x ×2＝550. x ＋1.5x ＋3x ＝550.合并同类项得5.5x ＝550. 系数化为1.得x ＝100.答：前年的产值是100元． P90练习1．解下列方程：(1)6x －7＝4x －5； (2)12x －6＝34x .[答案] (1)x ＝1；(2)x ＝－24.2．王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8 kg ，李丽平均每小时采摘7 kg.采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25 kg 给了李丽，这时两人的樱桃一样多．她们采摘用了多少时间？解：设她们采摘用了x 小时，根据题意，得8x －0.25＝7x ＋0.25. 8x －7x ＝0.25＋0.25. x ＝0.5.答：他们采摘用了0.5小时． P91习题3.2 复习巩固1．解下列方程： (1)2x ＋3x ＋4x ＝18； (2)13x －15x ＋x ＝－3；(3)2.5y ＋10y －6y ＝15－21.5；(4)12b －23b ＋b ＝23×6－1. [答案] (1)x ＝2；(2)x ＝3；(3)y ＝－1；(4)b ＝3.6.2．举例说明解方程时怎样“移项”，你知道这样做的根据吗？[答案] 例如解方程5x ＋3＝2x ，把2x 改变符号后移到方程左边，同时3改变符号移到方程右边，即5x －2x ＝－3.移项的根据是等式的基本性质．3．解下列方程： (1)x ＋3x ＝－16；(2)16y －2.5y －7.5y ＝5； (3)3x ＋5＝4x ＋1； (4)9－3y ＝5y ＋5.[答案] (1)x ＝－4；(2)y ＝56；(3)x ＝4；(4)y ＝12.4．用方程解答下列问题：(1)x 的5倍与2的和等于x 的3倍与4的差，求x ； (2)y 与－5的积等于y 与5的和，求y . [答案] (1)x ＝－3；(2)y ＝－56.5．小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新年龄的3倍，求现在小新的年龄． 解：设小新现在的年龄是x 岁，根据题意，得 3x －x ＝28；合并同类项，得2x ＝28. 系数化为1，得x ＝14.答：现在小新的年龄是14岁．6．洗衣机厂今年计划生产洗衣机25 500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1∶2∶14，计划生产这三种洗衣机各多少台？[答案] Ⅰ型，Ⅱ型，Ⅲ型各1500台，3000台，21 000台．7．用一根长60 m的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽各应是多少？[答案] 长18 m，宽12 m.综合运用8．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式．灌溉三块同样大的实验田，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式．后两种方式用水量分别是漫灌的25%和15%.(1)设第一块实验田用水x t，则另两块实验田的用水量各如何表示？(2)如果三块实验田共用水420 t，每块实验田各用水多少吨？解：(1)设第一块实验田用水x t，第二块实验田的用水量为0.25x t，第三块实验田用水0.15x t；(2)根据题意，得x＋0.25x＋0.15x＝420，1．4 x＝420，x＝300.300×0.25＝75(t)，300×0.15＝45(t)．答：三块实验田用水各300 t，75 t，45 t.9．某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产．它去年10月生产再生纸2050 t，这比它前年10月再生纸产量的2倍还多150 t．它前年10月生产再生纸多少吨？[答案] 950吨．10．把一根长100 cm的木棍锯成两段，要使其中一段长比另一段长的2倍少5 cm，应该在木棍的哪个位置锯开？[答案] 35 cm处．11．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗．求参与种树的人数．[答案] 6人．拓广探索12．在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为30？如果能，这三个数分别是多少？[答案] 3，10，17.13．一个两位数的个位上的数的3倍加1是十位上的数，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是多少？[答案] 72.[当堂检测]第1课时用合并同类项解一元一次方程1．下面由（1）到（2）的变形是合并同类项的是（）A.（1）3x-2=6,（2）3x=82B.（1）-12x=8 ,（2）x=-3C.（1）2x–4x –3x = 6 ,（2）-5x = 6D.（1）2(3x+2) =4x,（2）6x+4 =4x2.下面变形正确的是（）A. 由3x- x +4x= 8 得：3+4x=8B. 由2x – 4x –x = 8+2 得：-3x =10C. 由– 6x-3x = 5 得： -3x = 5D. 13x +2x -8x = -3 -5 得：7x = -23. 方程4x-m=3的解是x=m,则：m 的值是（ ）A ．m=-1B ．m=1C ．m=-2D ．m=2 4. 小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x 张，根据题意，请你能帮小悦列出方程为__________________（不需要求解）. 5. 用合并同类项解方程： （1）4x –7x=4+2×3;(2)4x -2.5x +5x –1.5x=-8-7.参考答案： 1. C 2. B 3. B4. x+5（12-x ）=48 ;5. 解：（1）-3x=10,x=310 ; (2)5x=-15,x= -3 .第2课时 用移项、合并同类项解一元一次方程 1．列变形中属于移项的是（ ）A ．由5x －7y ＝2，得－2=－7y ＋5xB ．由6x －3＝x ＋4，得6x －3＝4＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋92. 在解方程3x+5=-2x-1的过程中，移项正确的是（ ）C A ．3x-2x=-1+5 B ．-3x-2x=5-1 C ．3x+2x= -1-5 D ．-3x-2x=-1-53. 请把下列解方程：5x-2=7x+8的过程补完整． 解：移项得：5x-7x =___ 合并同类项得：___=10 系数化为一得：x =____4. 练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元．如果设水性笔的单价为x 元，那么由题意列方程是___________ .5. 解方程：（1）3x+3-4=6x+1 ; （2）12x-4-3x+3=12x+17. 参考答案： 1. C ； 2. C ；3. 8+2 -2x -54. 5（x-2）+3x=145.（1）x =-32 （2）x = -6[能力培优]专题一 利用合并同类项与移项解方程 1.解下列方程（1）12884x x +=-；（2）233234x x +=-．2. 已知方程4x ＋2m ＝3x ＋1和方程3x ＋2m ＝6x ＋1的解相同，求这个相同的解．3.规定新运算符号*的运算过程为b a b a 4131*-=,则求： （1）求5*(－5)；（2）解方程2*(2*x )＝1*x .4.关于x 的方程kx +2=4x +5 ()4≠k 有正整数解，求满足条件的k 的正整数值．专题二 列方程解和、差、倍分问题5.小明编了这样一道题：我是四月出生的，我的年龄的2倍加上8，正好是我出生那一月的总天数，那么你认为小明是几岁 （ ）A.18岁B.11岁C.19岁D.21岁6.某会议厅主席台上方有一个长12.8m 的长条形（矩形）会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空：字宽：字距=9：6：2，如图所示．根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少？7.（2012·长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个. (1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个？(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元？ 专题三 列方程解盈余不足问题8.（2012·铜仁）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A．5（x+21－1）=6（x－1） B.5（x+21）=6（x－1）C. 5（x+21－1）=6xD. 5（x+21）=6x9.在“读书月”活动中，学校把一些图书分给某班学生阅读，若每个人分3本，则剩余20本；若每个人分4本，则还缺少25本.这个班有多少名学生？10.某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用同数量的60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算，租几辆车？专题四日历中的方程11.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数的和为144，那么最小的一个数为（）A．7 B．8 C．9 D．1012日历表中，任意圈出的同一竖列上相邻的３个数的和能否是２１？如果能，请求出这三个数，如果不能，请说明理由？13.日历表中，小亮圈出同一竖列上相邻的4个数的和是50，这四天分别是几号？知识要点：1.把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.2.移项的目标：将方程中的所有含未知数的项都集中到方程的左边，常数项都集中到方程的右边，便于合并同类项．3.移项的理论依据：移项相当于利用等式性质1，方程两边同时加上或减少同一个数或式．4.“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系，常用来列方程.方法技巧：1.两个方程同解问题解题思路：如果两个方程中只有一个方程含有参数，那么我们先求出不含参数的方程的解，然后将方程的解代入另一个方程得到一个关于参数的方程，从而求出参数的值；如果两个方程都含有参数，那么我们将参数看作已知数，分别解出这两个方程，然后根据两个解相等，列出一个关于参数的方程，从而求出参数的值．2.日历中同一竖列上相邻的两个日期之间相差7天；日历中同一横行上相邻的两个日期之间相差1天；日历中2×2个数之间交叉相加和相等.3.盈余不足问题常常利用“表示同一个量的两个不同的式子相等”来列方程.4.新定义运算的题目只要将新定义的符号按照题目指明的运算进行就ok，其他的运算不变.答案:1. 解：（1）12884x x +=-, 移项，得：12848x x -=--, 合并同类项，得：412x =-, 系数化为1，得：x ＝－3.（2）233234x x +=-,移项，得：232334x x -=--,合并同类项，得：1512x -=-, 系数化为1，得：x ＝60.2. 解：4x ＋2m ＝3x ＋1的解为：x ＝1－2m , 3x ＋2m ＝6x ＋1的解为：x ＝213m -, 所以1－2m ＝213m -, 解得m ＝12, 把m ＝12代入x ＝1－2m ，得x ＝0． 3. 解析：（1）5*(－5)＝115(5)34⨯-⨯-＝1235；（2）因为2*x ＝2134x -，所以2*（2134x -）＝2121()3434x --，1*x ＝1134x -.所以2121()3434x --＝1134x -,解得：158-=x .4. 解析：移项，得kx －4x =5-2,合并同类项，得（k －4）x =3, 因为k -4≠0，所以系数化为1，得34x k =-. 因为34k -为正整数，所以k -4=1或者k -4=3.解得75==k k 和. 5. B 解析：设小明x 岁，由题意得2x +8=30, 解得x =11.6. 解析：设边空、字宽、字距分别为9x （cm ）、6x （cm ）、2x （cm ），则： 9x ×2+6x ×18+2x （18﹣1）=1280, 解得：x =8．答：边空为72cm ，字宽为48cm ，字距为16cm ．7. 解析：（1）设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，那么省外境内投资合作项目 （512-x ）个，由题意得： 348512=-+x x ,解得133=x ，512-x =215; （2）215×7.5+133×6=2410.5(亿元).答：（1）湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有133个、215个. （2）在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2410.5亿元.8.A 解析：如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵，故道路长为5（x +21－1）；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，故道路长为6（x －1）.因路长相等，所以5（x +21－1）=6（x －1）.9. 解析：设这个班有x 名学生，由题意得320425x x +=-,解得45x =, 答：这个班有45名学生.10. 解析：设租45座的客车x 辆，根据题意得：45x+15=60（x-1）,解得：x=5,所以租45座的客车的租金应为：250×（5+1）=1500（元）, 租60座的客车的租金应为：300×（5-1）=1200（元）, 所以租用60座的客车更合算，租4辆．11.B 解析：根据图可以得出，圈出的9个数中最大数与最小数的差为16，设最中间一个数为x ，则其他各数为x ±1，x ±7，x ±8，x ±6.这9个数的和为9x,由题意得9x=144,所以x=16,所以最小的数是16－8=8.12. 解：设圈出的三个数中中间日期为x 号，由题意得： （x-7）+x+（x+7）=21.解得x=7, x-7=7-7=0，x+7=7+7=14.因为日历中最小日期为0号，所以不符合题意，不存在这样的情况. 答：不可能存在三天日期和为21的情况.13. 解：设从前面数第二个日期是x 号，则另三个日期为（x-7）、（x+7）、（x+14）号，由题意得：（x-7）+x+（x+7）+（x+14）=50,解得 x=9, x-7=9-7=2，x+7=9+7=16，x+14=9+14=23. 答：这四天分别是2号，9号，16号，23号.解一元一次方程的“八项注意”革命歌曲<<三大纪律,八项注意>>想必同学们都知道吧,尤其是”八项注意”可以说是耳熟能详了.那么在学习解一元一次方程时,为了避免同学们在解方程时发生错误,特提出以下八个注意点:第一,注意解方程的格式.解方程的每一步都必须是方程,因此同学们在初学时出现的“连等式”或“解原式=”这些解题格式均是错误的。