第三章 逻辑代数与 逻辑函数

4
0100 0
5
0101 1
+∑d(11,12,13,14,15)
6
0110 0
7
0111 1
CD AB 00 01 11 10
00 0 1 1 0 01 0 1 1 0
11 ×0 ×0 ×0 ×0 10 0 1 ×0 ×
F=D
F = AD+BCD
8
1000 0
9
1001 1
1010 ×
无
1011 ×
•与或表达式易于从真值表直接写出，而且只需运用一次摩根 定律就可以从最简与或表达式变换为与非-与非表达式，从而 可以用与非门电路来实现。
二. 逻辑函数代数法化简
•最简与或表达式有两个特点: 1．与项(即乘积项)的个数最 少; 2．每个与项中变量的个数最少。
1.消去多余项： 例 F=AB+ABC(E+F)=AB
2.消去合并项： 例 F=ABC+ABC =A(BC+BC)=A
3.消去因子:
例 F=AB+AC+BC
=AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+C
4.添加项配项： 例 F=AB+BC+BC+AB
=AB+BC+BC+AB+AC =AB+BC+AC
•对较简单逻辑函数用代数化简很方便。对较复杂的逻辑 函数化简不但要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，而且 需要一些技巧，特别是较难掌握获得代数化简后的最简 逻辑表达式的方法。
二. 基本运算定律
1.交换律：A B=B A A+B=B+A A + B=B + A 2.结合律：A(B C)=(A B)C (A+B)+C=A+(B+C)
(A + B) + C=A + (B + C) 3.分配律：A(B＋C)=AB＋AC A(B+C)=AB+AC
A＋(B C)=（A＋B)(A＋C) 4.吸收律：A(A+B)=A A+AB=A AB+AB=A
无关项在卡诺图中用×表示，既可看作1，也可看作0， 视具体情况而定。例如：
F(A,B,C,D) =∑m(4,6,8,9,10,12,13,14)+∑d(0,2,5)
CD AB 00 01
00 ×0 10 01 41 ×5
11 112 113
10 81 91
11 10
30 ×2
70 61 105 114 101 110
ABC AC B A B C
3. 反演规则 •在逻辑求F函数的反函数，只要将F式中·与+互换，0与1互换， 原变量与反变量互换，其余符号和运算顺序不变。
例： F A BC D E
F A (B C) D E
3.2 逻辑函数的变换和化简 一. 逻辑函数的变换
1.每个乘积项都有三个变量，原、反变量均可； 2.每个乘积项中，同一原、反变量只能出现1次； 3. n个原变量的最小项最多有2n个。
• 性质： 对变量的任一取值，只有一个最小项为1； 两个最小项之积为0；全部最小项之和为1。
二. 最小项(标准)表达式
对于某种逻辑关系，用真值表来表示是唯一的，用前 面讨论的逻辑表达式来表示可以有多个表达式。如果用最小 项之和组成的表达式来表示，也是唯一的。用最小项表示的 逻辑函数称为最小项(标准)表达式，其表达式是唯一的。
ĀB+A=A+B AB+ĀC+BC= AB+ĀC
5.反演律(摩根定律)：AB=A+B A+B=A B • 以上这些定律可以用基本公式或真值表进行证明。 • 例1 利用基本公式证明AB+ĀC+BC=AB+ĀC。 证：左边=AB+ĀC+(A+Ā)BC=AB+ĀC+ABC+ĀBC
=AB ( 1+C ) + Ā C ( 1+B ) =AB+ Ā C=右边 • 如果AB+ĀC+BCEFG=?
0
11
1
11
CD AB 00 01 11 10
00 1 1
1
01
1
11
10 1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
F1=B
F2=BD+BC+ACD
练习
1 化简下列逻辑函数为最简与或函数式：
F1=XYZ+XY+XYZ F2=BCD+AC+AB+BCD
F3=ABC+ABC+ABC+ABC
解：F1=∑(7,5,4,6) =X F2=AC+BC
关
1100 ×
项
1101 ×
1110 ×
1111 ×
六.卡诺图变换
1. 与或转换为或与 ① 转换原理
F=AD+AC+BD+BC
CD AB 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 0 1 1 1 11 0 1 1 1 10 0 1 1 1
F=A B+C D F=A B+C D =（A+B)(C+D)
F=(A+B+ D)(B+D)(A+C+D) F=(A+B+ D)+(B+D)+(A+C+D)
3.4 逻辑函数门电路的实现
• 逻辑函数经过化简之后，得到了最简逻辑表达式。根 据逻辑表达式，就可采用适当的逻辑门来实现逻辑函 数。
• 逻辑函数的实现是通过逻辑电路图表现出来的。逻辑 电路图是由逻辑符号以及其它电路符号构成的电路连 接图。逻辑电路图是除真值表，逻辑表达式和卡诺图 之外，表达逻辑函数的另一种方法。逻辑电路图更接 近于逻辑电路设计的工程实际。
例：根据真值表写出函数T1和T2的与或表达式和与非表达式。
解：
输入
输出 输出
T1 ABC ABC ABC
ABC
T1
T2
000
1
0
T1 ABC ABC ABC T1 = AC+AC = A BC
001
1
0
010
1
0
011
0
0
T2 ABC ABC ABC
100
0
0
101
• 利用基本逻辑运算可以将同一个逻辑函数变换为不同的表 达式，一个逻辑函数通常有以下五种类型的表达式:
与或表达式：F=AB+AC (先与再或) 或与表达式：G=(A+B)(A+C) (先或再与) 与非－与非表达式：F=AB AC (又称为与非表达式)
或非－或非表达式：G=A+B+A+C (又称为或非表达式) 与或非表达式：L=AB+AC (先与再或最后非)
0
1
T2 ABC ABC ABC
110
0
1
111
0
1
T2 = AC+AB = AC AB
3.3 逻辑函数的卡诺图化简法与变换
一. 最小项 • 在含有三个输入变量A、B、C的逻辑函数中， A、B、C
的所有取值可以构成8种不同状态，用变量表示为8个乘 积项：ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC， 它们统称为逻辑函数的最小项。 • 特点：
F=ĀBC+A =F(A,B,C)
式中A、B、C称为原变量， Ā称为对应的反变量，F称为逻
辑函数（F称为F的逻辑反函数）。 一. 基本公式
1.变量与常数的计算公式： A·0=0 A·1=A A+1=1 A+0=A A + 1= Ā A + 0=A
2.变量与变量的计算：
A·A=A A+A=A A·A=0 A+A=1 A=A A + A=0 A + A=1
三变量
CD AB 00 01 11 10
00 0 1 3 2 01 4 5 7 6 11 12 13 15 14 10 8 9 11 10
四变量
(1)每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项 的下标，最小项的逻辑取值填入相应方格；
(2)卡诺图方格外的字母和数字为输入变量及其相应变量取 值，变量取值的排序不能改变；
三. 基本运算规则
1．运算顺序
•在逻辑代数中，运算优先顺序为:先算括号，再是非运算， 然后是与运算，最后是或运算。
2．代入规则
•在逻辑等式中，如果将等式两边出现某一变量的位置都代之 以一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入规则。 例如，已知 A B A B 。若用Z=A·C代替等式中的A，根据代 入规则，等式仍然成立，即
第三章 逻辑代数 与 逻辑函数
3.1 基本逻辑运算
3.2 逻辑函数的变换和化简 3.3 卡诺图化简及变换
3.4 逻辑函数门电路的实现
• 重点： 逻辑函数的变换和化简
3.1 基本逻辑运算
• 数字电路研究的是数字电路的输入与输出之间的因果关系， 即逻辑关系。逻辑关系一般由逻辑函数来描述。逻辑函数 是由逻辑变量A，B，C……和基本逻辑运算符号 ● (与)、+ （或）、—（非）及括号、等号等构成的表达式来表示，如：
F ABC A B C
A 00 01 11 10
0
A=0
AB C ABC
1
A=1
C=0 B=1
五.卡诺图化简
1. 化简依据： • 图中任何2=21个为1的相邻项可以合并为1个与项，并消去