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每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻 项最 最 也右 左 是列 列 相的 的 邻相 最 的应 小 最项 小与
CD AB 00 01 11 10 00 m0 m4 m12 m8 01 m1 m5 m13 m9 11 m3 m7 m15 m11 10 m2 m6 m14 m10
4 变量卡诺图
邻相 项 最 的应 与 上 最最面 小下一 项面行 也一的 是行最 相的小
F ( A, B, C ) m(0,3,5, 6)
表示为标准或与表达式。
解： ( A, B, C ) m(0,3,5, 6) F
M (1, 2, 4, 7)
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3.5逻辑函数的卡诺图化简法
主要内容：
2变量、3变量和4变量卡诺图 与或表达式的卡诺图表示 与或表达式的卡诺图化简 或与表达式的卡诺图化简 含无关项逻辑函数的卡诺图化简 多输出逻辑函数的化简
m1 m4
m3 m6 m7 m14
20
m11
m15
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与 或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与 每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的 公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
Y ( A D)(B C ) 或变 表换 达为 式与
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3.5.1 逻辑函数的卡诺图
一、卡诺图的画法：
卡诺图：按相邻原则排列的表示全体最小项的小方格矩阵图形。
特点：
小方格的编 号按Gray码 排列。
15
16
17
二、卡诺图的相邻性
个每 最个 小 2 项变 与量 它的 相最 邻小 项 有 两 1、直观相邻
B A 0 1 0 m0 m2 1 m1 m3 A 0 1
卡诺图化简的步骤 第一步：对卡诺图中的“1”进行分组，并将每组用“圈” 围起来。根据以下规则分组： （1）每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3,….）个最小项。 （2）圈内的每一个最小项必须和该圈中的一个或多个最小项 逻辑相邻，但该圈中的所有最小项并不一定必须相互逻辑 相邻。 （3）所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的 方格。但它们可以多次被圈。 （4）圈的个数尽量少，圈内方格的个数尽可能多。 第二步：由每个圈得到一个合并的与项。该与项由该圈中 仅仅以一种形式（原变量或者反变量）出现的所有变量构 成。即消去同时以原变量和反变量形式出现的变量。 第三步：将上一步各合并与项相加，即得所求的最简“与 或”表达式。
②任意两个不同的最小项的乘积恒为0。
m6 0 0 0 0 0 0 1 0
m7 0 0 0 0 0 0 0 1
①任意一个最小项，只有对应的一组变量取值使其值为1。
③全体最小项的和恒为1。
4
2、逻辑函数的最大项及其性质
（1）最大项：全体变量都以原变量或反变量的形式各出 现一次的和项称为最大项。它是该函数的标准和项，其个数为 2 n （n为变量的个数）。 3个变量A、B、C可组成8个最大项：
A B C
A B C
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C M0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
M1 1 0 1 1 1 1 1 1
M2 1 1 0 1 1 1 1 1
M3 1 1 1 0 1 1 1 1
M4 1 1 1 1 0 1 1 1
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3.5.2 与或表达式的卡诺图表示
（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺 图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
Y ( A, B, C, D) m(1,3,4,6,7,1114,15) ,
CD AB 00 00 01 11 10 0 1 0 0 01 1 0 0 0 11 1 1 1 1 10 0 1 1 0
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3.4.4两种标准形式的相互转换
理论依据
FF 1
m
i 1
2n
i
1
举例说明 F ( A, B, C ) ABC ABC ABC ABC
m (2,4,5,7)
F ( A, B, C ) m (0,1,3,6)
F ( A, B, C ) F ( A, B, C ) m (0,1,3,6) M (0,1,3,6) ( A B C )( A B C )( A B C )( A B C )
（1）两个相邻最小项可以合并消去一个变量 m12，m14： ABC D ABCD ABD(C C ) ABD m8，m10： ABC D ABC D AB D(C C ) AB D （2）相邻块可以合并，其实质还是相邻最小项的合并
AB D ABD AD(B B) AD
第五讲
1
3.4 逻辑函数的标准形式
主要内容：
最小项与最大项的定义、性质和相互关系 把逻辑函数转换为标准与或表达式 把逻辑函数转换为标准或与表达式 两种标准形式的互相转换 标准形式与真值表的互相转换
2
3.4.1最小项与最大项
1、逻辑函数的最小项及其性质
（1）最小项：设有n个变量，它们所组成的具有n 个变量的 “与”项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅 出现一次，这个乘积项称为最小项。 n个变量的最小项有2n个。 3个变量A、B、C可组成8个最小项：
Y AD B C
说明：如果求得了 函数Ｙ的反函数Ｙ，则 对Ｙ中所包含的各个最 小项，在卡诺图相应方 格内填入0，其余方格内 填入1。
CD AB 00 00 01 11 10 1 0 1 1 01 1 0 0 1
BC
11 0 0 0 0 10 0 0 1 1
AD
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3.5.3 与或表达式的卡诺图化简
M5 1 1 1 1 1 0 1 1
M6 1 1 1 1 1 1 0 1
M7 1 1 1 1 1 1 1 0
①对于任意一个最大项，只有一组变量取值使其值为0。
②任意两个不同的最大项的和恒为1。 ③全体最大项的积恒为0。
6
3、最小项与最大项的关系
下标i相同的最小项与最大项互补，即:
mi Mi
如：ABC
1 1 1 0 0
AC
BC
00 01 11 10
图3-3
AC
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卡诺图的求反及“圈0法”
例如化简：L ( A B C D)( A B C D)
( A C D)( A B C )( A B )(C D)
8
3.4.3 标准或与表达式
任何一个逻辑函数都可以表示成最大项之积的 形式，称为标准或与表达式。 例3-16将 F ABC ABC ABC ABC =Σm（0,2,3,6） 展开为最大项之积的形式。 解： F ABC ABC ABC ABC
m 1, 4,5, 7 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ( A B C )( A B C )( A B C )( A B C ) M 1, 4,5, 7
9
例3-17 将 F ( A B)( A B C)写成标准或与表达式。 解： ( A B)( A B C) F
加法分配律
F ( A B CC )( A B C ) ( A B C )( A B C )( A B C ) M (0, 2,3)
A B C 、A B C、A BC 、A BC、AB C 、AB C、ABC 、ABC
（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项，下 标i是使最小项的值为1的自变量取值组合的十进制值。 3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
m0 A B C 、m1 A B C、m2 A BC 、m3 A BC m4 AB C 、m5 AB C、m6 ABC 、m7 ABC
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n
2
3.4.4两种标准形式的相互转换
对于一个n变量的逻辑函数F，若F的 标准与或式由K个最小项相或构成，则F的 标准或与式一定由 2n K 个最大项相与 构成，并且对于任何一组变量取值组合对 应的序号i ，若标准与或式中不含mi ，则 标准或与式中一定含Mi 。
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例3-18 将标准与或表达式
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3.5.4或与表达式的卡诺图化简
对于标准形式的或与表达式来说，卡诺图的表示 方法是：把表达式中的每一个最大项所对应的方 格中填入0，其余方格填入1，就得到了该逻辑函 数的卡诺图。
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例3-21用卡诺图化简下面或与表达式。
F ( A B C)( A B C)( A B C)( A C)
A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C
（2）最大项的表示方法：通常用符号Mi来表示最大项，下 标i是使最大项的值为0的自变量取值组合的十进制值。 3个变量A、B、C的8个最大项可以分别表示为：
Y BD CD ABC
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例3-20：化简
Y(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15) CD 00 01 11 10 AB 00 1 0 1 1
BC
BC D
01 0
1
1 1
0 1
1
1 1
CD
A
BD
11 1
10 1
1
F A C D BC B D BC D
解：首先将上式转换为标准或与形式：
F ( A B C)( A B C)( A B C)( A B C)( A B C)
