高二数学必修5导学案：2.4等比数列(2)

2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题． 【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式． 一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念： ．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈． 强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比 时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为 ．3．等比数列的通项公式： ． 4．等比中项的定义： ． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧． （1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =． 三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为 ．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ． （2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想． 一.课前预习 预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。

2.4 等比数列2.4.1 等比数列的概念及通项公式从容说课本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性.准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的.教学重点1.等比数列的概念;2.等比数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等比数列与指数函数的关系.二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学生学习的积极性.三、情感态度与价值观1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学过程导入新课师现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？生一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，…师非常好的一个例子！现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：1，2，4，8，…①教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？生 思考、讨论，用现代语言叙述.师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，21，41，81，161，… ② 教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，20，202，203，204，… ③教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n ，这里n 为存期.生 列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.01985. ④师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？ 生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列. ［教师精讲］师 同学们概括得很好，这就是等比数列(geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progressio n ).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commo n r a tio)，公比通常用字母q 表示(q≠0).请同学们想一想，为什么q≠0呢？生 独立思考、合作交流、自主探究.师 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？生 分母为0了.师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？生 等比数列的首项不能为0.师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0. ［合作探究］师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.生 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 、b 的等比中项. 师 想一想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能用a 、b 表示G 吗？生 一起探究,a 、b 是同号的G b a G ，G=±ab ，G 2=ab . 师 观察学生所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？ 生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.［合作探究］探究：(1)一个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？(3)任一项a n 及公比q 相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备) ［合作探究］师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 生 推导等比数列的通项公式. ［方法引导］师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.具体的，设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，根据等比数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1，即a n =a 1q n -1.师 根据等比数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进而有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1.亦得a n =a 1q n -1.师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？生 把a n 看成a n q 0，那么，每一道式子里，项的下标与q 的指数的和都是n .师 非常正确，这里不仅给出了一个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子 q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上面的式子改写成q a a q a a q a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是11-=n n q a a ,于是，得a n =a 1q n -1. 师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.师 让学生说出公式中首项a 1和公比q 的限制条件.生 a 1，q 都不能为0. ［知识拓展］师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.生 比较两种方法，思考它们的异同. ［教师精讲］通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你又发现了什么？生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：等差数列 等比数列 定 义从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数 从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数 首项、公差(公比)取值有无限制没有任何限制 首项、公比都不能为0 通项公式a n =a 1+(n -1)d a n =a 1q n -1 相应图象的特点直线y=a 1+(x-1)d 上孤立的点 函数y=a 1q x-1图象上孤立的点［例题剖析］【例1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？师 将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，….可知a 1=1;a 2=a 1×21;a 3=a 2×21. 于是，可得递推公式⎪⎩⎪⎨⎧==-)1(21,111＞n a a a n n . 由于211=-n n a a ，因此，这个数列是等比数列. 生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.练习：1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.师 启发、引导学生列方程求未知量.生 探究、交流、列式、求解.2.课本第59页练习第1、2题.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的定义.2.等比数列的通项公式.3.等比数列与指数函数的联系.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第1、2题.板书设计等比数列的概念及通项公式1.等比数列的定义 实例剖析2.等比数列的通项公式 从三个角度类比等差数列表 例1练习：1.(学生板演) 例2。

2.4等比数列(2)教学目标：1、 能够应用等比数列的定义及通项公式，理解等比中项概念；2、 类比等差数列的性质推到等比数列的性质；3、 提升学生对数学知识的正迁移能力，增强学生的数学素养.教学重点：1.等比中项的理解与应用2.等比数列性质探究与应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式及性质解决相关问题.教学过程：一、复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.（板书）二、讲授新课第一环节：类比等差中项，探究等比中项 .问题1：(1)若在2，8中插入一个数A ，使2，A ，8成等差数列，则A = .变式1.若在2，8中插入一个数G ，使2，G ，8成等比数列，则G = .变式2.若在-2， 4中插入一个数M ，能否使-2，M ，4成等比数列呢？归纳小结：1.等差中项：若a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b 2，A 为等差中项. 2.等比中项：（板书）如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则G 是a 、b 的等比中项。

ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2（注意两解且同号两项才有等比中项） 练习：完成教材课后练习P预设：学生在推导过程中，部分同学会忽略对等比中项的存在性的讨论，在等比中项存在时漏掉符号为负的那一项.（有利于培养学生的严谨性和批判性）问题2()()()(){}()213n 51937519283746n b b b b n n {a }.1 a a a2 a =3a =a =3 a a =a a =a a =a a 4{b }a a a a 5{a }{lg }. A.1ka ⋅⋅⋅⋅已知无穷数列 是等比数列，那么下列说法中正确个数的有（ ）是 和 的等比中项；若 ，6，则 12；；若是等差数列，则 是 和 的等比中项,并且 也是等比数列；若数列 的每项都是正数，则数列 为等差数列 B.2 C.3 D.4师问：同学们观察第（3）你发现什么规律了吗？类比等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则,m n p q a a a a ，，之间又有怎样的关系呢？并说理.分析：由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2归纳小结：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q （板书）师问：同学们观察第（4）你发现什么规律了吗？学生发现：在等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项仍然成等比数列. 归纳小结：234,,,m m m m km a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，，成等比数列问题3n 115{}(1) 2 , 3 ,(2) 6 , 2 ,n n a a q a q a a q a ====已知数列 是首相 ,公比 为的等比数列，若 求 ；若 求 ；同学们思考：在等比数列中，已知1a q 首相,公比我们可以得到通项公式n a ，如果给出m a q ,公比，又如何表示通项公式n a ？归纳小结：通项公式的变形：11=n n m n m a a q a q --=⋅⋅（板书）师问：类比等差数列()11n a a n d =+-，可以看成是以n 为自变量n a 为因变量的一次函数，它的几何意义是该一次函数图像上的点，那么对于等比数列，已知1a q 首相,公比，变量n a 与变量n 是否存在函数关系？若存在属于哪个类型函数？归纳小结：（板书）当数列}a {n 为指数型函数当{}01n q q a >≠数列为指数且时，型函数;当q=1时，数列}a {n 为常数列；当q<0时，数列}a {n 为摆动数列.思考题1 {}{}44n n a b a b 等差数列与等比数列的首项和第8项为正且相等，试比较与的大小.归纳小结：构建两个函数，为借助函数图像解题奠定了基础，体现了函数思想在数列中的运用。

《2.4 等比数列》导学案班级组别组名姓名【学习目标】:1．通过实例、类比理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列；2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用，了解等比数列的通项公式的推导过程；3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．【重点难点】重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用难点：等比数列对列“等比”特征的理解和应用【复习回顾】1、等差数列的定义：即数列{a n}是等差数列⇔*=∈⇔d n N()2、等差数列的通项公式设等差数列{}n a的公差为d ，则=n a=【课前预习】知识点一等比数列的定义及通项公式1、定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于，那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(q≠0).2、数学语言表示：数列{a n}是等比数列⇔*=∈⇔q n N()3、注意：（1）.公比是等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比，不能颠倒.（2）.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数.（3）隐含：任何一项a n≠0，且公比0q≠【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()知识点二等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的，且G＝.【预习评价】1. 已知等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，则a 2＝________.2. 3与27的等比中项是________. 知识点三 等比数列的通项公式设等比数列{}n a ，的公比为q ，则 =n a【预习评价】１．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过４小时，这种细菌由一个可繁殖成___个２．已知等比数列的通项公式1104n n a =⨯，其首项为 ，公比为 ３．在等比数列{}n a 中，已知首项为 98，末项为13 ，公比为23，则项数n=题型一 等比数列的判断【例1】判断下列数列是否为等比数列（1）2,2,2,2，…； （2）-1,1,2,4,8，…； （3） ,,,321a a a ,n a ；（4）已知数列{}n a 的通项公式为n n a 23⨯=。

2.4等比数列教学目标知识与技能目标：等比中项的概念；掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．过程与能力目标：明确等比中项的概念；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学重点；等比数列的通项公式、性质及应用．教学难点：灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题． 教学过程 一、复习1．等比数列的定义．2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ，)0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，)0,(≠=B A AB a n n3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4．求下面等比数列的通项公式：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……； 二、新课：1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则abG ab G G ba G ±=⇒=⇒=2，例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n 为所求的三个数,有已知得m+n+ G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G ⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题，猜测并推广，得 等比数列的性质：若m+n=p+k ，则kp n m a a a a =证明：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则kp n m a a a a =例2. 已知{na }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．解： ∵{na }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又na >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法 例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.4．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或0<q<1, a1<0时, {an}是———— 当q>1, a1<0,或0<q<1, a1>0时, {an}是————当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是————．三，练习：导与练跟踪训练1-1，2-1四、课堂小结： 1.等比中项的定义； 2.等比数列的性质；3．判断数列是否为等比数列的方法．课后作业：导与练课后作业。

一、有关复习复习 1：等比数列的通项公式a n=. 公比 q 知足的条件是复习 2：等差数列有何性质？（4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

2.(1)若 { a n } 为等比数列，公比为 q，则 { a2n}也是 ___________，公比为 ________.(2)若 { a n} 为等比数列，公比为 q(q≠－ 1),则{ a2n－1+a2n} 也是 _______，公比为(3)若{ a n} 、{ b n } 是等比数列，则 { a n b n} 也是_____________.(4)三个数 a、 b、 c 成等比数列的，则 _______◆ 典型例题例 1（１）在等比数列 { a n} 中，能否有 a2n＝a n-1 a n+1（ｎ≥２）？（２）假如数列 {a n中，关于随意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有2n＝a n-1n+1，}a a那么， { a n} 必定是等比数列吗？例 2.已知 { a n } 为等比数列且 a58 , a7 2 ，该数列的各项都为正数，求{ a n } 的通项公式。

例 3. 在等比数列｛ a n｝中，已知 a4a7＝－ 512， a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.变式：在等比数列 { a n } 中，已知 a7 a12 5 ，则 a8a9a10a11.例 4. 已知等差数列 { a n} 的公差 d≠0,且 a1，a3，a9成等比数列，则a1a3a9的a2a4a10值为 __________.例 5.数列 { a n} 知足 a1 1 ， a n 12a n1⑴求证 a n 1 是等比数列；⑵求数列 { a n} 的通项公式变式 1:在{ a n}中，a11a n，试求 { a n } 的通项 a n ， a n 1a n3◆ 着手试一试练 1．已知{ a n}是等比数列，且a n0 ，a2 a4 2a3a5 a4a6 25, 求 a3 a5练 2已知 { a n} 是等比数列且 a n0 ， a5a69 ，log3 a1log 3 a2log3 a10．三、学习小结1.等比中项定义；2.等比数列的性质 .◆ 知识拓展公比为1. 数列q 的等比数列，，拥有以下基天性质：，，等，也为等比数列，公比分别为. 若数列为等比数列，则，也等比 .2.若，则.当 m=1 时，便获得等比数列的通项公式 .3.若，，则.4.若各项为正， c>0，则是一个以为首项，为公差的等差数列. 若是以 d 为公差的等差数列，则是以为首项，为公比的等比数列 . 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.◆ 当堂检测1.在等比数列 { a n } 中，若 a2·a8 =36, a3＋ a7＝ 15，则公比 q 值的可能个数为 ()A.1B.2C.3D.42．在等比数列{a n} 中，已知a5 =－2,则这个数列的前9 项的乘积等于()A.512B.－512C.256D.－2563．公差不为 0() A.1 B.2 C.3 D.44.在等比数列 { a n } 中，a11,q=2,则 a4与 a8的等比中项是 () 8A.±4B.4C.±1D.1 445.三个数成等比数列 ,它的和为 14,它们的积为 64,求这三个数。

2.4 等比数列(2)【学习目标】1.回顾等比数列的定义、通项公式、以及推广公式2.熟记等差数列和等比数列性质的对比. 【重点难点】1．重点:等比数列的定义和通项公式2．难点:在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能灵活运用这些公式解决相应的实际问题. 【学习过程】 一、自主学习：任务1: （预习教材，找出疑惑之处）复习：等比数列的通项公式n a = = . 公比q 满足的条件是 任务2: 等差数列有何性质？ 二、合作探究归纳展示问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G bG ab G a G=⇒=⇒= 新知1：等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 . 问题2：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)nn n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？ 3.2(0)nn k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？新知2：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =.试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a =三、讨论交流点拨提升例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证明你的结论.例 自选1 自选2 n a 23()3n ⨯n b152n --⨯n n b a ⋅ 1410()3n --⨯}{n n b a ⋅是否等比是变式：项数相同等比数列{n a }与{n b }，数列{nna b }也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{n a }中，已知51274-=⋅a a ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .变式：在等比数列{n a }中，已知5127=a a ，则=111098a a a a ．四、学能展示课堂闯关公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列，则}{n n b a ⋅，{}n nab 也等比.2. 若*m N ∈，则mn m n q a a -=. 当m =1时，便得到等比数列的通项公式.3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则l k n m a a a a =.4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{l o g }cn a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列.1. 在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）.A. ±4B. 4C. 2D. 82. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时， log a x ，log b x ，log c x （ ） A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，965=a a ， 则log 31a + log 32a +…+ log 310a = . 五、学后反思 1. 等比中项定义； 2. 等比数列的性质. 【课后作业】1. 在{}n a 为等比数列中，6491=a a ，3720a a +=，求11a 的值.2. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0，且1a ，3a ，9a 成等比数列，求1392410a a a a a a ++++.。