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线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。
1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。
则称T为从V到W的线性变换。
1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。
若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。
1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。
（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。
二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。
（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。
2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。
（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。
2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换知识点总结一、引言线性变换是线性代数中的重要概念，它是在向量空间中的一种特殊映射。
线性变换具有许多重要的性质和应用，因此研究线性变换对于理解线性代数和应用数学有着重要的意义。
本文将从线性变换的基本概念、性质和应用进行总结，希望能够帮助读者对线性变换有更深入的理解。
二、线性变换的定义线性变换是向量空间之间的一种映射，具体来说，设V和W是两个向量空间，f:V→W是从V到W的映射。
如果对于V中的任意向量u、v和任意标量a，b,都有f(au+bv)=af(u)+bf(v)那么f称为一个线性变换。
三、线性变换的矩阵表示线性变换可以用矩阵来表示，假设V和W是n维向量空间，我们选择V和W的基，那么可以得到V和W中的向量可以用n维列向量表示。
设f:V→W是一个线性变换，选择V和W的基分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wn}，那么f的矩阵表示为[f]=(f(v1) f(v2) ... f(vn))其中f(vi)表示w中的基向量wi在f映射下的像，也就是f(vi)对应的列向量。
根据线性变换的定义，我们可以得到映射f的矩阵表示满足下列关系f(av1+bv2)=af(v1)+bf(v2)等价于[f](av1+bv2)=a[f]v1+b[f]v2其中[f]v1和[f]v2为f(v1)和f(v2)的列向量表示。
四、线性变换的性质1. 线性变换的保直性线性变换f:V→W将V中的任意向量线性映射到W中，这种映射保持向量之间的直线性质，即通过f映射后的图像仍然是一条直线。
这是线性变换的一个重要性质，它保证了线性变换后的图像具有一些有用的性质，比如直线上的点在f映射后仍然在同一条直线上。
2. 线性变换的局部性线性变换f:V→W保持向量之间的“相对位置”不变，即如果向量v1和v2之间的相对位置关系在V中是一定的，那么在映射f下，向量f(v1)和f(v2)之间的相对位置关系也是一定的。
这一性质对于理解线性变换的几何意义有着重要的作用，它意味着线性变换可以保持向量之间的某些几何性质。
线性变换本章中我们将讨论同一线性空间向量间的联系、线性空间之间的一种特殊的映射，即所谓的线性变换，这是一种保持线性结构的映射，是线性代数的一个重要的研究对象。
从这里我们可以初步看出线性代数的几何理论（变换）与代数理论（矩阵） 间的有机结合，而用代数的方法研究几何问题是线性代数的一个基本思想。
要求掌握： 线性变换的定义线性变换和矩阵的特征值和特征向量 矩阵的相似标准形矩阵相似于对角阵的充分必要条件一．线性变换的定义和性质1. 线性变换的定义例：图形的伸缩变换。
对坐标平面的单位圆：122=+y x 做如下的伸缩变换y v x u 2,3==得到一个椭圆上述变换将单位圆沿x 轴方向放大3倍，沿y 轴方向放大2倍，从而得到一个椭圆。
14922=+v u32121上述变换只对图形沿数轴方向进行了伸缩，没有改变图形的基本形状。
我们说 它们是线性的变换。
旋转变换不改变图形的形状，只改变它的位置，它也是一种线性的变换。
例：坐标平面上的如下变换 ⎩⎨⎧+=+=yx y y x x 2.0~1.0~设C1是由边平行于坐标轴的矩形网格， C2是单位圆122=+y x ， C3是正弦曲线 )sin(x y =。
绘制变换前后的图形，观察图形的变化。
变换前的C1与C2 变换后的C1与C2变换前的C1与C3 变换后的C1与C3 图形不仅沿斜线方向发生伸缩变化，并且产生错切现象。
但上述变换仍保持图形的基本形状不变，例如，直线仍变为直线，平行直线变为平行直线，圆变为椭圆。
将直线变为直线且将平行直线变为平行直线是图形线性变换的基本特性。
这一特性可以由 图形变换保持线性组合运算不变。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,cos sin sin cos ,θθθθμλ 伸缩变换、旋转变换、反射变换2.线性变换的性质二．线性变换的矩阵1. 线性变换在一组基下的矩阵例2．线性变换与矩阵的一一对应3．线性变换的运算三．矩阵的相似1. 线性变换在不同基下的矩阵问题：两组基的几何背景？2. 矩阵的相似类似于矩阵相抵关系，研究矩阵相似关系需要解决以下两个根本问题（1）两个矩阵属于同一个相似类的条件是什么？（2) 每个相似类中，最简单的矩阵具有什么形式？第一个问题即是要判定两个矩阵是否相似的问题，而第二个问题就是所谓的相似标准形问题，它等价于在空间中找到一组适当的基，使得给定的线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式。
第三讲：实现问题、线性变换三、系统的实现问题（G(s) 状态空间的表示）设系统 x=Ax+Bu y=Cx+Du 有时记为),,,(D C B A ∑ 现在讨论的实现问题是如何由传递函数阵 获得状态空间的表示，亦A 、B 、C 、D 重点讨论：单输入－单输出系统的实现问题。
单输入—单输出特指单变量 为 P=1、m=1、 n 阶，亦为由传递函数，求{ A 、B 、C 、D}问题。
设传递函数nn n mn n n n m n n s s s s s s s s G ααββααααβββ++++++=++++++=---- 1111110110 '''''')(问：用怎样的 {A 、B 、C 、D} 实现G(s) ? 使G(s)=C (SI －A)-1 B +D=C(SI －A) –1 b+d 与一般G (s) 形式比较 d = α, 余下的问题是求A 、b 、c 实现nn nmn s ssααββ+++++-- 1111为讨论方便现设nn nmn s sss G ααββ+++++=-- 1111)(1、标准型实现给出微分算子：n n n n n n tt t p L αααα++++=--- d dd d d d )(11110微分算子本身并无意义 是一种符号，d 一旦作用于函数 即产生意义。
)( d )(d d )(d d )(d )()(11110t u tt u t t u t t u t u p L n n n n n n αααα++++=⋅--- 为被作用函数各阶导数代数和 改写i iip td d =则：n n nppp L ααα+++=- 11)(现设：)()()()()(1111s D s N s s s s U s Y s G n n n m n =+++++==--ααββ 对应微分方程为：（用微分算子表示） D(P) Y(t) = N(P) u(t) 其中，nn nn n pp N pp p D ββααα++=+++=-- 11110)()(1、能控标准型实现 引入一函数u(t)D(p)1 V(t)=( 亦即经D(P)作用为u(t))有u(t)=D(P)V(t)对应于微分方程有： D(p) y(t) = N(P) u(t))()( )()()()(1)(t V p N t V p D p N p D t y ==输出y 是引入函数V(t)及各阶导数线性组和。
取V(t)及其一次、二次……n －1次导数为状态变量。
1-n )1(n 23121x(t)v (t)x x (t)V (t)x x (t)V(t)x V(t)(t)x=======-n且u(t)(t)v )()((t)v (t)x 1)-(n 11(n)n +---==-αααt V t V n n u(t) = D(p) V(t))()(11t V ppnn nαα+++=-)()()()( )1(1t u t V t V t V p n n n +---=∴-αα将状态变量x1……xn 代入有：)(-(t)x x (t)xx (t)x (t)x (t)x111-n n n 1-n 3221t u x x n +--====ααu x x n n⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-100001100001011ααα由y(t)=N(P)V(t)=()x x x t V pn n n n n 11111,)()(ββββββ =++=++-亦：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=110011001αα nA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000B []1ββnC =称为能控标准型（第二能控标准型）。
用经典理论中信号流图表示状态方程，设状态变量及对应导数为节点（状态变量图）如图（）示。
并且可用梅逊公式验证。
Σ A ，b ，c 确为 ，亦满足B A SI C 1)(--。
n α-2、解观测标准型 系统为单输入－单输出时，传递函数G(s)为1⨯1阵，且)()(s G s G T=。
现设A 、B 、C 为G(s)实现。
[][]TT TTTTTTT TTCASI B C A SI B C A SI B B A SI C B A SI C s G 1111)()()()()()(------=-=-=-=-=可见， 亦 为G(s)的实现。
x B y u C x A xTT T =+= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1110αα n A []⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==11ββββn TnT C ， []10000=T B 称之为解观型实现。
其为解控型实现A 、B 、C 转置。
注意到此时xi 与xj 的关系刻画出信号流图。
解控型实现与解观型实现的关系称为对偶关系。
这种对偶关系对多变量系统也适用。
2、并联实现给定传递函数G(s)=e1/(s+λ1)+e2/(s+λ2)并联连接可得到并联实现。
并联连接方式由典型环节组成。
对惯性环节：yi=ei*u/(s+λi) 画状态变量图（如图），设积分器输出为状态。
U i y ⇒T A T C TB信号流图：u i ei xi λ-i x xx ii i i i i x y u e x x =+-=λ u y1、 对无重极点时（λ1≠λ2） 对y=e1*u/(s+λ1)+e2*u/(s+λ2)画出信号流图（如图）u e x xu e x x22221111+-=+-=λλy=x1+x2 矩阵形式：[]xy u e e x x 11002121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=λλ2、 有重极点时（P1、2=―λ1 P3=－λ） ()()221122111)(λλλ+++++=s es e s e s G u状态流图如图： ue +x λ－=x u e +x +x λ－=x u e +x λ－=x 232312********* 2λ- 32x x y += 矩阵形式： u e e e x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=212112111λλλ []x y 110=同样也刻画出另外的信号流图（如图）：有：[]xe e e y u x x 212112111101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=λλλ 可见，比较两并联形式，尽管形式不同但均为约当型（有重极点时）。
无重极点时，为对角形阵（A ）。
并联实现是结构最简单的实现，使其它实现所不及的。
实际系统的分析设计中，常人为将实现化为最简实现。
3、串联实现()()()()n m p s p s z s z s s G ++++=11)(其中－z1……－zm 、－P1……－Pn 为系统的零极点。
G(s)可化为jj i p s z s p s ++⋅+1乘积形式 1x S /1 1x 1/(s+Pi)对应信号流图（如图）：u j p -(s+zj)/(s+Pj)对应流图（如图）： 2 p - y Ex: ()()()()()32121)(λλλ+++++=s s s z s z s a s G 画出式中各组成对应的信号流图，并连接起来。
如图：332221122113331222111)x -(z )x -(z x y )x -(z x x -x x x -xau x -x λλλλλλ++=++=+=+=设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x x u x z x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=0011010022111λλλλ []32211λλ--=z z y4、由方框图导出实现由方框图直接列写信号流图或称状态变量图，则可得到实现。
Ex: 设结构图（如图示），对应出状态变量图（如图）。
uyu e 3xS /1 3x 2x S /1 2x k 1x S /1 1x y z －ｐ－ｐ －ａu x p p z k a x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=---=10001010 []x y 001=已经注意到如下事实：状态变量图画的不同，状态变量的取法不同，所得实现即A 、B 、C 阵也不同。
说明，实现随状态变量取法的非唯一也是非唯一的，但所有实现中总存在一组实现是最简结构的实现。
亦存在一组状态变量z 使实现成为最简结构。
状态变量z 于一般状态变量x 之间存在一个变换。
一般地说，亦存在一个变换P 将某一系统的不同状态变量联系起来。
当x=Pz 时（P 为线性变换）：x =Ax+Bu P z =APz+Buz =1-P APz+1-P Bu 由 y=Cx=CPz 1-P AP, 1-P B,CP 为状态变量z 的系数阵。
引出线性变换。
四、线性变换线性变换：从一个线性空间到另一个线性空间的基础变换为线性变换。
线性变换是等价变换。
x=Pz (P 为n*n 非奇导阵)性质：1、特征值不变性——经线性变换x=PzA SI P A SI P P A SI P AP P SI -=-=-=----111)( 确为A 的特征多项式。
2、传递函数阵的不变性（设经变换{}C BA）)()()()()()()(ˆ111111111S G B A SI C B P P A SI CPP B P AP P SI CP B A SI C S G=-=-=-=-=---------可见，寻找变换P 使系统结构 A 、B 、C 成为最简结构是可能的。
结论：对一般系统 A 、B 、C 总存在一个阵（非奇导）经x=Pz 变换后，系统可化为最简结构。
亦AP P 1-=Λ或AP P J 1-=。
其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λn λλ 1 为对角阵 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=33211J J J J J J 为约当型阵 一般结论：A 的特征值互异时可化为Λ否则A 可化为J非奇导阵的构造：一般讲确定P 的方法很多，其中一个方法用特征向量构造P 。
特征向量：定义：对n 阶方程,若A 在向量空间中存在一非零向量v ，使得 Av=λiv 即[]02=-V A I λ，则称任何满足上式的非零向量v 为A 对应于特征值λi 的特征向量。
1、化为对角型结论：A 的特征值λ1……λn 互异时，可找到P,使 A λ。
设P 为P1……Pn ,Pi 为列向量，为对应于λi 的特征向量。
则AP P 1-=Λ 设Pi 为λi 对应特征向量 (λiI －A)Pi=0λiPi=ApiλiPi λ2P2……λnPn = AP1……ApnP1……Pn λ1 = A P1……Pn . . λnAP P =Λ 所以：AP P 1-=ΛEx: 求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=51166116110A 的特征向量? 特征方程： 06116det 23=+++=-λλλλA I 3,2,1321-=-=-=λλλλ1=－1对应的特征向量v1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡312111V V V ,[]A I -λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡312111V V V =0 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-61166106111A I λ []01=-V A I λ存在 v21=0、v11=v31 (令其为1 )1V = 1 2λI －A = ―2 ―1 1 (2λI －A)2V =00 6 9 －61 6 11 －7同理： 2V = 1 3V = 1 用 1V 2V 3V =P= 1 1 1 经：x=Pz 2 6 0 2 6 4 9 1 4 9 Z= －1 z+ －2 u －2 3－3 －1y= 1 1 1 z特别说明：如果A 为能控标准型时，使A Λ 的阵 P= 1 (1)λ1……λn ---------其中λ1……λ2为特征值，P 阵称为范得蒙阵。
