第七章 线性变换练习题参考答案

第七章线性变换与相似矩阵习题习题判别下列变换是否线性变换1设是线性空间中的一个固定向量,Ⅰ,,解：当时,显然是的线性变换；当时,有,,则,即此时不是的线性变换;Ⅱ,；解：当时,显然是的线性变换；当时,有,,则,即此时不是的线性变换;2在中,Ⅰ,解：不是的线性变换;因对于,有,,所以;Ⅱ；解：是的线性变换;设,其中,,则有,;3在中,Ⅰ,解：是的线性变换：设,则,,;Ⅱ,其中是中的固定数；解：是的线性变换：设,则,,;4把复数域看作复数域上的线性空间,,其中是的共轭复数；解：不是线性变换;因为取,时,有,,即;5在中,设与是其中的两个固定的矩阵,,;解：是的线性变换;对,,有,;习题在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换;证明表示恒等变换,,；并说明是否成立;证明：在中任取一个向量,则根据,及的定义可知：,,；, ,；,,,即,故;因为,,所以;因为,,所以;因为,,所以;习题在中,,,证明;证明：在中任取一多项式,有;所以;习题设,是上的线性变换;若,证明;证明：用数学归纳法证明;当时,有命题成立;假设等式对成立,即;下面证明等式对也成立;因有,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立; 习题证明1若是上的可逆线性变换,则的逆变换唯一；2若,是上的可逆线性变换,则也是可逆线性变换,且;证明：1设都是的逆变换,则有,;进而;即的逆变换唯一;2因,都是上的可逆线性变换,则有,同理有由定义知是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得;习题设是上的线性变换,向量,且,,,都不是零向量,但;证明,,,线性无关;证明：设,依次用可得,得,而,故；同理有：,得,即得；依次类推可得,即得,进而得;有定义知,,,线性无关;习题设是上的线性变换,证明是可逆线性变换的充要条件为既是单射线性变换又是满射线性变换,即是一一变换;证明：已知是可逆线性变换,即存在;若,则两端用作用即得,因此是单射线性变换;若任取,则存在,使得,即是满射线性变换;已知既是单射线性变换又是满射线性变换,即双射;现定义新的变换：,定有,且有,规定,有,同时有,即有;由定义知是可逆线性变换;习题设是上的线性变换,证明1是单射线性变换的充要条件为；2是单射线性变换的充要条件为把线性无关的向量组变为线性无关的向量组;证明：1已知是单射线性变换,对,则有,由单射得,即;已知,若,则有,得,即得,故是单射;2已知是单射线性变换;设线性无关,现证也线性无关;令,整理有,而是单射,有,已知线性无关,所以,故也线性无关;已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组;若,则有,并一定有;否则若,则说明向量线性无关,而表示把线性无关的向量组变为线性相关的向量组,与条件矛盾;而由可得,即是单射线性变换;习题设是中全体可逆线性变换所成的子集,证明关于线性变换的乘法构成一个群;超范围略习题设,是上的线性变换,且证明1若,则；2若,则;证明：1因为,;所以,从而或;又因为;故;2因为,,所以;习题设与分别是数域上的维与维线性空间,是的一个有序基,对于中任意个向量,证明存在唯一的线性映射,使,;证明：先证明存在性;对任意的,有唯一的线性表达式我们定义显然有,;现验证为到的一个线性映射;1对任意的向量,因为,由定义得;2对任意的,因为,由定义得; 所以为到的一个线性映射;再证唯一性：若另有到的一个线性映射,也使得,;则对任意向量,一定有;由在中的任意性,可得;习题设与分别是数域上的维与维线性空间,是线性映射;证明是的子空间,是的子空间;又若有限,证明;这时称为的零度,称为的秩;证明：1先证与分别为与的子空间,对,,有,所以,故为的子空间；同理,对,,则,使,,所以所以为的子空间.2再证因有限,不妨设,,在中取一个基,再把它扩充为的一个基,则是像空间的一个基.事实上,对,存在,使得;设,则有即中的任意向量都可由线性表示;现证向量组线性无关：设,有,即,所以向量可由向量组线性表示,进而有,整理有,又因线性无关,所以必有,因此线性无关,即为的一个基,故;习题证明关于定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间;证明：现证明定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法都是从到的线性映射;事实上,对,,有故为到的线性映射;同理,对,,有,,故为到的线性映射;另外线性映射的加法与数量乘法显然满足：1结合律：；2交换律: ；3存在零线性映射,对,有；4对,有负线性映射,使得；5；6；7；8;其中,所以关于定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间;习题证明：;证明：设为维线性空间,为维线性空间,即,;取定的一组基和的一组基;令为到的如下映射：,其中为在基与基下的矩阵;这样定义的是到的同构映射;事实上,1若,,且,则有,;由于,对每一个都有,故有,即是单射;2,令;则存在唯一的线性映射使得,并且由此可见,是满射;3对,,有,,其中即有,,所以,故有,所以是到的同构映射;进而有;习题习题求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵：1的线性变换,,其中为固定矩阵;求,在这个基下的矩阵；2设是线性空间的线性变换,求在基下的矩阵；36个函数：,,,,,的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间;求微分变换在基下的矩阵;解：1由,的定义直接可得：,,,; 所以在这个基下的矩阵为;,,,;所以在这个基下的矩阵为;2由直接可得：,,,………………………,………………………;所以在基下的矩阵为：;3由微分运算性质直接可得：,,,,,;所以微分变换在基下的矩阵为：;习题设是的一个基,,,,;已知线性无关;证明：1 存在唯一的线性变换,使,；21中的在基下的矩阵为；31中的在基下的矩阵为;证明：1因为线性无关,所以也是的一个基;故对的一个基及个向量,定存在唯一的线性变换,使,;2 由已知条件有,,其中与都是的基,所以可逆,且有,进而有;再由1得,所以在基下的矩阵为;3 类似有,所以在基下的矩阵为;习题在中,定义线性变换为,,,其中,,;1求在基下的矩阵；2求在基下的矩阵;解：1由定义知,, 所以有;故在基下的矩阵为：;2类似有;故在基下的矩阵为：;习题在中,线性变换在基,,下的矩阵是;求在基下的矩阵;解：已知,,则有;即在基下的矩阵为：;习题设数域上3维线性空间的线性变换在基下的矩阵为1求在基下的矩阵；2求在基下的矩阵；3求在基下的矩阵;解：1由已知可得,,;所以在基下的矩阵为：;2由已知可得,,;所以在基下的矩阵为：;3由已知可得,,;所以在基下的矩阵为：;习题在维线性空间中,设有线性变换与向量使,但;证明：在中存在一个基,使在该基下的矩阵为;证明：由习题知：维线性空间的向量组,,,线性无关,且有个向量,即构成的一组基,而线性变换作用此基有：,,……………,;故在基,,,下的矩阵为：;习题设是数域上维线性空间的全体线性变换组成的数域上的线性空间,试求,并找出中的一个基;求证：任取的一组基,令为到的映射：,其中;由引理及定理知为同构映射,即;所以它们的维数相同,而,故;现取,,使得,即,;已知,是的一组基,故,为的一组基;习题证明：与维线性空间的全体线性变换都可交换的线性变换是数乘变换;证明：在某组确定的基下,数域上的维线性空间的线性变换与数域上的阶方阵间建立了一个双射,因为与一切阶方阵可交换的方阵为数量矩阵,所以与一切线性变换可交换的线性变换必是数乘变换;习题设是维线性空间的一个线性变换,如果在的任意一个基下的矩阵都相同,则是数乘变换;证明：设在基下的矩阵为,只要证明为数量矩阵即可;设为任意可逆矩阵,令,则也是的一组基,且在这组基下的矩阵为,依题意有;特别地,当取时,计算可得;再取,由可得,即为数量矩阵,所以是数乘变换;习题证明：与相似,其中是的一个排列;证明：用依次表示这两个矩阵,取一个维线性空间及其一组基,对于矩阵,存在的线性变换,使得,由此可得;因为与是在不同基下的矩阵,所以与相似;习题如果可逆,证明与相似;证明：因为,所以与相似;习题如果与相似,与相似,试判断下列叙述是否正确如果不正确,请举反例,否则给出证明;1与相似；2与相似；3与相似;答：1正确;证明：由于与相似,与相似,因此存在可逆阵,,使得,,从而有,其中,所以与相似;2不正确;反例：设,,则有,使,,即,故与相似；再取,则与显然相似;但,;设,且满足,即,计算得,即得,故不可逆;所以与不相似;3不正确;反例：取同2,有,, 两矩阵秩不同;显然,与不相似;习题习题设是数域上线性空间,是的线性变换;如果是的特征值,则对任意多项式,是的特征值,且的属于的特征向量也是的属于的特征向量;证明：设为的属于的特征向量,即,则对任意自然数,有;事实上,当时,显然成立;假设时,有成立;现证时也成立,即;故由数学归纳法得式对任意自然数均成立;设,则有,即;习题对复数域上线性空间上的下述线性变换,求出它的特征值与特征向量,判断是否可以对角化,在可对角化时,求出过度矩阵,并计算;已知在的一个基下的矩阵为1；2；3；4;解：1设在基下的矩阵为,矩阵的特征多项式为;所以的特征值为,;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;可以对角化;取的两个线性无关的特征向量,,即,其中为由;2设在基下的矩阵为,且当时,有,于是矩阵的特征多项式为,所以的特征值为;求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,,因为的属于特征值的两个线性无关的特征向量为,所以以中任意非零向量为其特征向量;当时,矩阵的特征多项式为,所以的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;可以对角化;取的两个线性无关的特征向量,,即,其中为由;3设在基下的矩阵为,矩阵的特征多项式为;所以的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;由于找不到的三个线性无关的特征向量,故不可对角化;4设在基下的矩阵为,矩阵的特征多项式为;所以的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,,,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;可以对角化;取的四个线性无关的特征向量,,,,即,其中为由基到基的过渡矩阵;且有;习题证明：是矩阵的特征值的充要条件是矩阵为奇异阵; 证明：设非零向量为矩阵的属于特征值的特征向量,则有,整理得,因,所以齐次线性方程组有非零解,故系数行列式;反之亦然;习题设,求;解：矩阵的特征多项式为;所以的特征值为;对,解齐次线性方程组,得基础解系；对,解齐次线性方程组,得基础解系；对,解齐次线性方程组,得基础解系;令,有,进而有,故;习题设是4维线性空间的一个基,线性变换在这个基下的矩阵为;1 求在一个基下的矩阵,其中2求的特征值与特征向量；3求一可逆阵,使为对角阵;解：1由条件有,令,则线性变换在基下的矩阵为;2因为线性变换的特征多项式为;所以线性变换的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,,所以的属于特征值的线性无关的特征向量为,;全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的线性无关的特征向量为;全部特征向量为;最后求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的线性无关的特征向量为;全部特征向量为;3因为,所以所求的可逆矩阵为,于是有;习题1设是线性变换的两个不同特征值,是分别属于的特征向量;证明：不是的特征向量；2证明：如果线性变换以中每个非零向量作为它的特征向量,则是数乘变换;证明：1因为,,所以;假设是线性变换的属于特征值的特征向量,即,且有,整理可得;由于线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关,因此,于是得,这与题设矛盾,因而不是的特征向量;2任取的一个非零向量,设;再任取的一个向量,若或,则显然有；若,则由假设也是特征向量,设;如果,则由1知,不是的特征向量,这与题意矛盾;故,即仍有;这就说明的任意两个特征值都相等,故为数乘变换;习题设是的线性变换;证明：1的行列式为零的充要条件是至少有一个特征值为零；2如果是可逆线性变换,则其特征值一定不为零；又如果是的特征值,则必是的特征值;证明：1设线性变换在一组基下的矩阵为,是的所有特征值,则有,所以的行列式为零至少有一个;2反证法设可逆线性变换有一个特征值为,而是它的一个特征向量,即有;用作用的两边得,;这与矛盾,故可逆线性变换的特征值一定不为零;设为的属于特征值的一个特征向量,即;由于可逆,得,进而有,即,也可写成,故必是的一个特征值;习题设,是阶方阵;证明：1；2如果,则,即相似的矩阵必有相同的迹；3设,;验证：与有相同的特征多项式,但与不相似;证明：1设,为任意两个阶方阵,则主对角线上的元素为,,;它们的和为;同样,的主对角线上的元素的和为;故;2根据1可得; 即相似的矩阵必有相同的迹;3因为,所以其特征多项式为；又因为,所以其特征多项式为,故与有相同的特征多项式;现设矩阵,使得成立,展开有,,即得;解得;所以是不可逆的,故与不相似;习题设的线性变换的互不相同的特征值为;如果在每一个特征值的特征子空间中取基,恰构成全空间的一个基;证明：必可对角化;证明：设特征值的特征子空间的基为,,则有,,,即每一个,都是的特征向量;又知,恰构成空间的一个基,即得有个线性无关的特征向量,所以必可对角化;。

第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1.设鸟送，3是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换仃在这组基下的矩 阵是A=(a j 最3，口=x 11x %+2x 8炉V 则仃在基833V l下的矩阵B= 「001、T ，AT,而可逆矩阵T=010满足B=T,AT,ua 在基£132d 3下的坐标为♦0- &'Ax 2.2 .设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间P n 的线性变换仃：仃(与=人3"P n ,则仃,(0)={"A Z=0』w P n },dim (a -1(0))=n —r,dim 二(P n )=r.n 3.复矩阵A=(a j ).的全体特征值的和等于Z a ii ，而全体特征值的积等于i =1 IAJ.4 .设仃是n 维线性空间V 的线性变换，且仃在任一基下的矩阵都相同，则仃为__数乘一变换.5 .数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间L(V)为工2维线性空间，它与P n>n 同构.6 .设n 阶矩阵A 的全体特征值为入口2,…，4,f(x)为任一多项式，则f(A) 的全体特征值为f(1),f(2),,f(n ).7 .设A 」13i,则向量*'是A 的属于特征值4的特征向量.摩2)⑺0 -1相似，则k =』2 1」9 .设三阶方阵A 的特征多项式为f(?Q=73-2K 2-2九+3,则|A|=)10 .n 阶方阵A 满足A 2=A,则A 的特征值为0和1.f 18.右A =—1<0 01)<011 .线性空间R3上的线性变换为A(X I,X2,X3)=(K十2X3,3X2+3X3,X2—2x i),「102、变换A在基a=(1,0,0)"2=(0,1,0),S=(0,0,1)下的矩阵为033.「21。

」二、判断题1 .设。

是线性空间V的一个线性变换，口1,0(2，…R s W V线性无关，则向量组仃包工虫%)，…，仃Q s)也线性无关.(错)2 .设仃为n维线性空间V的一个线性变换，则由仃的秩+仃的零度=n,有V=D(V)㊉仃」(0).(错)未必有V=G(V)@<T-1(0).3 .在线性空间R2中定义变换。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。

因对于，有，，所以。

（Ⅱ）；解：是的线性变换。

设，其中，，则有，。

（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。

（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。

因为取，时，有，，即。

（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。

解：是的线性变换。

对，，有，。

习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。

证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。

证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。

因为，，所以。

因为，，所以。

因为，，所以。

习题7.1.3在中，，，证明。

证明：在中任取一多项式，有。

所以。

习题7.1.4设，是上的线性变换。

若，证明。

证明：用数学归纳法证明。

当时，有命题成立。

假设等式对成立，即。

下面证明等式对也成立。

因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。

习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。

证明：（1）设都是的逆变换，则有，。

进而。

即的逆变换唯一。

（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。

习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。

证明，，，线性无关。

证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。

第七章线性变换基础训练和答案%1.对下列的线性空间和线性变换，求线性变换0在给定基下的矩阵，并判断它们是否可逆. 1.V = P，的一组基为0 =（i.o.o）, 6r2 =（o,i,o）, a3 =（0,0,1）.对任意的a = （x p x2,x3）G P3线性斐换'为oc = （2X| —羽—易，一工| + 2私一尤3，—工| —尤＞+ 2易）.X22.V = P[x]n的一组基为1,、,一,••・, ——，线性变换为求导运算疚对任意的f（x）eP[x]n,2! （〃一1）!仁/u）=r（x）.（3 一3、3.V = P2x2的一组基为环，琮,&],乌，A= ；G P2x2,对任意的X e P*2,[-2 4 ）.M/X = AX .%1.对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基.%1.求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量，并判断它们是否可以对角化.若可以对角化，求线性空间的一组基，使得该变换在此基下的矩阵为对角形.%1.判断1.设V是数域P上的n维线性空间，工/£ L（V）,若线性无关则％ ,•--/ %，•••，•，/ %也线性无关.2.若二/0, •：/%,...,.：/%线性无关，则0,《也线性无关.3.若一个线性变换有一个特征值为零，则该线性变换不可逆.4.一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向景必线性无关.5.一个线性变换的特征值了空间一定是该线性变换的不变了空间.6.若线性变换可逆，则它可以对角化.7.若一个线性变换可以对角化，则它必可逆.8.可逆线性变换的特征值均非零.9.一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.n维线性空间上的线性变换..‘7可以对角化的充要条件是n个互不相同的特征值.11.n维线性空间上的线性变换「7可以对角化的充要条件是二/有n个线性无关的特征向量.12.n维线性空间V上的线性变换./可以对角化的充要条件是V有一组以二/TKJ特征向量作成的基.13.若n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.14.若n阶矩阵A与B有相同的特征值，则它们相似.15.若n阶矩阵A与B相似，则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16.如果4为A的特征值,则人也为疽的特征值.17.设矩阵A可逆，且4为A的特征值，则!也是A的特征值.a\2 a\3a 22 %3，则在基《+勺,勺,勺下 a 32^33/K 的特征值为&则18. 设A 是n 阶矩阵，满足A 2 + 2A + 3£ = 0,则A 必可以对角化.19. 设L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间，弓,《2，...，4是Ker,_-/的基,腐,是Im._r/ 的基则《，笑,…,4, 0\,伉‘•••‘Os 是V 的基.20, 设J /G L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间,是Kerr/的基,*,腐,...,同是ImK 的基则r^s-n. %1. 填空&1. 设KEL®),逐基 ％2，乌下的矩阵为人=。

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换?（1 ）设「是线性空间「中的一个固定向量，解：当■时，■-. - 显然是’的线性变换;当小时，有■，则□ l闵+觀h 6逐）+e（碣），即此时■不是"的线性变换。

T\a}解：当「时，显然是「的线性变换;T（闵+觀縊讥坷）+丁（％「，即此时L不是「的线性变换。

（2）在匚中，:T|=（心勾+解：「不是：的线性变换。

因对于叩），所以贰加）黑如©）。

J-f（□）解：是二的线性变换。

设■-T （硏丁（E = （2xj -鬲圖+画尼啊/V —vG —（10,0）€ 护有1!:"'二!,有则有左苴中&二（兀心■IIL.. JI. ■KJO|i —、赢I jr .跚）+（2”-兀5L TXa）a眼JCT 三（1Th f 丰乃1（範+为H （西+沟）必（画+另））価+必）二我住+3a:（上c）- T［上q .上吆上3 =心匕、-kxj r +匕勺.2上勺）=jfc（2x1-无|,阳+ 可，2 両（3）在•［；中，（［）」- ,解：0是H用的线性变换：设貳⑴居（Q它月旳.，贝U直（/a）+欢））=/（兀+i）+gd+i）=</◎》+龙⑵）, a財优论kj\x+5-逝/（劝，唯总F。

（u）处『姦訂芻》,其中•是；中的固定数;解：「-是；一的线性变换：设釁鑰廉8.詰圜，则⑺（7U）+g⑴）=/W+gfe）=次/⑴）卡以gO）），◎（射妙-妙厲）-如y（幼伏訂。

5 穴u（4）把复数域’看作复数域上的线性空间，步②匕加，其中「是一的共轭复数;解：「不是线性变换。

因为取兴习，「-7时，有*鸞日關上（7（仕）=滋二i即0（k&）主去曲空）（5）在：，■ 中，设■与:-是其中的两个固定的矩阵,- U Z&1解：「是"的线性变换。

对1蓟如=P瞒Q= ^PXQ二£啲O习题7.1.2在｛中，取直角坐标系-，以-表示空间绕「轴由轴向…方向旋转900的变换，以表示空间绕'轴由--轴向八方向旋转90°的变换，以&表示空间绕轴由 轴向Oy 方向旋转900的变换。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。

因对于，有，，所以。

（Ⅱ）；解：是的线性变换。

设，其中，，则有，。

（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。

（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。

因为取，时，有，，即。

（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。

解：是的线性变换。

对，，有，。

习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。

证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。

证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。

因为，，所以。

因为，，所以。

因为，，所以。

习题7.1.3在中，，，证明。

证明：在中任取一多项式，有。

所以。

习题7.1.4设，是上的线性变换。

若，证明。

证明：用数学归纳法证明。

当时，有命题成立。

假设等式对成立，即。

下面证明等式对也成立。

因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。

习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。

证明：（1）设都是的逆变换，则有，。

进而。

即的逆变换唯一。

（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。

习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。

证明，，，线性无关。

证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。

nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。

nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。

3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。

4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。

5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。

7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。

第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)在线性空间V 中，A ,其中 V 是一固定的向量;4) 在 P 3 中，A (X I ，X 2,X 3) (2X 15) 在 P[ X ]中，A f (x) f (x 1)6) 在P[ X ]中，A f (X) f(X o )，其中X o P 是一固定的数;7) 把复数域上看作复数域上的线性空间， A8)在P nn 中，A X=BXC 其中B,C P n n 是两个固定的矩阵.解1)当 0时,是;当 0时,不是。

2)当o 时，是；当 o 时，不是。

3)不是•例如当(1,0,0), k 2 时，k A ( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0),A (k )k A()。

4)是•因取(X 1,X 2,X 3),(y 1, y 2, y 3),有A()= A(X 1y 「X 2 y 2 ,X 3 y 3)= (2X 1 2y 1 X 2 y 2,X 2 y= (2X 1X 2, X 2 X 3,X 1) (2y 1=A+ A ,A (k ) A (kX 1, kX 2, kX 3)(2kx 1kx 2, kx 2=k A (), 3故A 是P 上的线性变换。

5)是.因任取 f(x) P[x], g(x) P[ X],并令u(x) f(x) g(x)则A ( f (x)g(x)) = A u(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=A f(x) + A (g(x)),再令 v( x) kf (x)则 A (kf (x)) A (v( x)) v(x 1) kf (x 1) k A ( f (x)),故A 为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取 f (x)P[x], g(x) P[ x]则.A (f(x) g(x))=f(x 0) g(X 0 ) A ( f (x)) A (g(x)),2) 3) 在线性空间V 中，A 在 P 3 中,A(X l ，X 2,X 3)其中(X I 2,X 2V 是一固定的向量;2、X 3,X 3 )； X 2, X 2 X 3,X I ).X 3 y 3,X 1 yj y 2,y 2 y 3,y 1)(2kx 1kx 2, kx 2kx 3,kxjkx 3,kxjA(kf (x)) kf (x0) k A( f (x))。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

高等代数北大版习题参考答案GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章 线性变换综合练习一、单选题1．n 维线性空间V 的线性变换σ有n 个不同的特征值，是σ与对角矩阵相似的（ A ）． A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件； C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件． 2. 矩阵B A 与相似，则下列描述中不正确的是（ D ）A ．B A =； B ． )(x f 是数域P 上的多项式，则()()B f A f ~；C ．()()R A R B =；D ．B A 与一定相似于对角形矩阵. 3. n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( A ).A ．充分而非必要条件；B 必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4. 令),,(321x x x =ξ是R 3的任意向量，则映射（ B ）是R 3的线性变换。

A ．0,)(≠+=ααξξσ ；B ．)0,,2()(32321x x x x x +++=ξτ；C ．),,()(32221x x x p =ξ ； D ．)0,cos ,(cos )(21x x w =ξ． 5．设321,,ξξξ是线性空间V 的一组基，线性变换σ在此基下矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110101011，则σ在2312,,ξξξ下的矩阵为( B )A ． ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-210011201B ． ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-02121210201C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-21002121201 D ． ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21100112101 6．设3阶矩阵A 的特征值为1，3，5，则A 的行列式|A |等于（ D ）A ．3;B ．4;C ．9;D ．157．设B A ,均为n 阶矩阵,且B A ,相似，则下列结论正确的是（ D ） A ．B A ,有相同的特征值和特征向量; B ．E A E B λλ-=-;C ．B A ,都相似于一个的对角矩阵;D ．对任意常数t 都有，tE A tE B --与相似.8． A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是（ B ）A ．nA 1-λ;B ．A 1-λ;C ．A λ;D ．nA λ9．2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵12)31(-A 有一个特征值是（ B ）A ．34;B ．43;C ．21;D ．4110．n 阶矩阵A 相似于某对角矩阵，则（ D ）A ．r(A)=n ;B ．A 有不同的特征值;C ．A 是实对称矩阵;D ．A 有n 个线性无关的特征向量 11. 下列结论正确的是（ D ）Ａ．()0E A X λ-=的解向量都是A 的属于λ的特征向量；Ｂ．如果α是A 的属于λ的特征向量，则α的倍向量αk 也是A 的属于λ的特征向量； Ｃ．如果βα,都是A 的属于λ的特征向量，则其线性组合βα21k k +也是A 的属于λ的特征向量；Ｄ．如果βα,都是A 的属于两个互异特征值的特征向量，则βα,线性无关．12．设n 阶矩阵A 有一个特征根是2，对应的特征值是ξ，下列等式中错误的是（ C ）．Ａ．ξξ2=A ；Ｂ． ξξ211=-A ；Ｃ． ξξ21=-A ； Ｄ．ξξ42=A ． 二．填空题1. 线性空间[]2F x 上的线性变换()()'f x f x σ= 关于它的基2{1,,}x x 的矩阵是010002000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭． 2. 设线性变换σ在基12,εε下的矩阵是1221⎛⎫⎪-⎝⎭，则σ在基112, εεε+下的矩阵是1221-⎛⎫ ⎪⎝⎭． 3. 在由函数 1,,x x e 生成的子空间V=(1,,)x L x e 中，微商变换((x))(x)f f σ'=关于基1,,x x e 下的矩阵是010000001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭． 4．σ：22R R →，)0,2(),(y x y x +-=σ； τ：22R R →，),3(),(y x y y x +-=τ则 =+),)((y x τσ()22,x y x y --+ ．=),)((y x τσ()0,2x y -+．=-),)(2(y x σ()42.0x y -．5.)(,V L ∈τσ ，n εεε,,,21 是V 的一组基，τσ与在该基下的矩阵分别为B A 和，则τσ32+和3στ在该基下的矩阵分别为23A B + 和3AB ．6.线性空间3P 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是210011100-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭． 7. 线性空间V 的任意线性变换σ, 都有=)0(σ 0 ；=-)(ασ()σα-． 8. σ是22P⨯上的线性变换，若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10071)(A σ，则=-)3(A σ321030--⎛⎫⎪-⎝⎭． 9. 在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵00000000a b a b c dc d ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭． 10. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001011A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1010101k k B 相似，则k =12-．11. 设矩阵A 56x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与矩阵B 1324⎛⎫= ⎪⎝⎭相似，则x ＝13，y ＝0． 12. 设A 是一个3×3矩阵， 如果2，－3，－1是A 的特征值，则矩阵 E A A B +-=32 的特征值为1,19,5-， 行列式=B 95-．13. 若４级矩阵A 与B 相似，且矩阵A 的特征值为51,41,,31,21，则行列式E B --1＝24．14. n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为0,1．15. 已知线性变换σ满足σσ=2，则σ的特征值为0,1．16. 设A 是n 级矩阵，n λλλ,,,21 是A 的全部特征值，2)(3-=x x f ，则)(A f 的全部特征值是333122,2,,2n λλλ---．17. σ是数域P 上3维线性空间V 的线性变换，特征值为1，2，-3，则σ的逆变换的特征值为111,,23-． 三、计算题1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=a A 33242111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00020002相似．（1）求b a ,的值；（2）求可逆矩阵T ，使1T AT B -=． 解: （1）已知A 与B 相似，则有 ,A B trA trB ==即得方程组64654a b a b-=⎧⎨+=+⎩，解得56a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）A 的特征根为12326λλλ===，对122λλ==，解方程组()0E A X λ-=，即123123123022203330x x x x x x x x x +-=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩得基础解系()()121,1,01,0,1αα=-=，；对36λ=，解方程组()0E A X λ-=，即123123123502220330x x x x x x x x x +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩得基础解系12,,133α⎛⎫=- ⎪⎝⎭；则令11132103001T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1T AT B -=．2. σ是3P 的一个线性变换且222222x x y z y x y z z x y z σ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭(1)求σ在标准基下的矩阵；(2)求σ的特征值与特征向量；并判断σ是否可对角化. 解: (1) 3P 的标准基是1(1,0,0)ε=，2(0,1,0)ε=，3(0,0,1)ε=()1(1,2,2)σε=由已知，()2(2,1,2)σε=，()3(2,2,1)σε=，则σ在标准基下的矩阵是；122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． (2) ()()2()51A f I A λλλλ=-=-+，A 的特征值为12351λλλ===-，对15λ=，解方程组()0E A X λ-=，即12312312342202+42022+40x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩ 得基础解系()11,1,1α=，则σ的属于15λ=的全部特征向量为(),,0k k k k ≠，对231λλ==-，解方程组()0E A X λ-=，即123123123222022202220x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩得基础解系()()231,1,01,0,1=-=-αα，则σ的属于231λλ==-的全部特征向量为112212,,k k k k αα+不全为零．因为σ有三个线性无关的特征向量，则 σ可以对角化．3、在P22⨯中定义线性变换A 1(X )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a X, A 2(X )=X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a , A 2(X )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。

第七章 线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1nii i a =∑ ，而全体特征值的积等于||A .4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．10．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A =),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ++-，变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵为102033210⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.二、判断题1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,,s V ααα∈线性无关，则向量组12(),(),,()s σασασα也线性无关. （错） 2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0).V V σσ-=⊕ （错）未必有1()(0).V V σσ-=⊕3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2R 的一个线性变换. （错）零向量的像是（1,0）4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1(0)σ-＝｛0｝. （正确）σ是可逆的当且仅当σ是双射.5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W σ为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．（正确）7．已知1-=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（ 正确 ）1P AP B -=，P 的列向量为A 的特征向量.8．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．（错）当σ可逆时无关，当σ不可逆时相关.9．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则})(|{)(1αησηασ==-是V 的子空间．（ 错 ）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T AT -成对角形.133313331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331E A λλλλλλ----=---=-+---. 矩阵A 的特征值为12,37,2λλ==-.当17λ=时，解方程组1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'ξ=.当2,32λ=-时，解方程组1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'ξξ=-=-.矩阵A 有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵111110101T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭有1722T AT -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭2．在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ=（1）证明：σ是n P 的线性变换.（2）求()n P σ与1(0).σ-（1）证明：112222(,,,)(0,,,)n n n n x y x y x y x y x y σ+++=++ 221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y σσ=+=+12122((,,,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx σσ== 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x σ==.所以σ是n P 的线性变换.（2）{}2()(0,,,)|,2,,.n n i P x x x P i n σ=∈=. {}111(0)(,0,,0)|.x x P σ-=∈3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=a A 33242111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00020002相似．（1）求b a ,的值；（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有45,46 6.b a b a +=+⎧⎨=-⎩ 所以5,6a b ==.(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335E A λλλλλλ---=--=--- 特征值为1,232,6λλ==.当1,22λ=时，解方程组1231231230,2220,3330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'ξξ==.当16λ=时，解方程组12312312350,2220,330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'ξ=-.因此可取矩阵011102113P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有B AP P =-1.4．令n n P ⨯表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ⨯∈，对任意的n n P X ⨯∈，定义()''X A XA B XB σ=-. 证明σ是n n P ⨯上的一个线性变换.证明：对任意的,,n n X Y P k P ⨯∈∈，有()'()'()''''()(),X Y A X Y A B X Y BA XAB XB A YA B YB X Y σσσ+=+-+=-+-=+()'()'()('')()kX A kX A B kX B k A XA B XB k X σσ=-=-=.因此σ是n n P ⨯上的一个线性变换.。

习 题 七A 组1．填空题（1）向量组(1,1,0,1),(1,2,3,0),(2,3,3,1)--生成的向量空间的维数是 ． 解 2．（2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V ，则它的维数是 ． 解 6．（3）次数不超过2的多项式的全体构成线性空间[]2P x ，其中的元素2()1f x x x =++在基1,1,(1)(2)x x x ---下的坐标是 ．解 T (3,4,1)．（4）设1231010,1,1110⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα是向量空间3V 的一个基，则向量111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α在该基下的坐标是 ．解 T111,,222⎛⎫⎪⎝⎭．（5）二维向量空间2R 中从基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到另一个基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵是 ．解 2312⎛⎫⎪--⎝⎭．（6）三维向量空间中的线性变换(,,)(,,)T x y z x y x y z =+-在标准基1(1,0,0)=e ，2(0,1,0)=e ，3(0,0,1)=e 下对应的矩阵是 ．解 110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．2. 选择题（1）下列说法中正确的是 ． （A ）任何线性空间中一定含有零向量；（B ）由r 个向量生成的子空间一定是r 维的；（C ）次数为n 的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；（D ）在n 维向量空间V 中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V 的子空间． （2）下列说法中错误的是 ．（A ）若向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（B ）若n 维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（C ）若1n -维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα不是V 的一个基；（D ）n 维向量空间V 的任一个基必定含有n 个向量．（3） 下列3维向量的集合中， 是3R 的子空间． （A ）{}123123123(,,)0;,,x x x x x x x x x ⋅⋅≤∈R ； （B ）{}222123123123(,,)1;,,x x x x x x x x x ++=∈R ； （C ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ==∈R ； （D ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ≥≥∈R . （4）在2V 中，下列向量集合构成子空间的是 ． （A ）(0,0),(0,1),(1,0)组成的集合； （B ）(0,0)组成的集合；（C ）所有形如(,1)x 的向量组成的集合； （D ）满足1x y +=的所有(,)x y 组成的集合． （5）2V 的下列变换 不是线性变换． （A ）(,)(0,0)T x y =；（B ）(,)(,)T x y ax by cx dy =++，,,,a b c d 是实数； （C ）(,)(,1)T x y x y =+； （D ）(,)(0,)T x y x y =-．解 （1）A ; （2）A ; （3）C ; （4）B ；（5）C ． 3．验证：（1）主对角线上元素之和等于0的2阶矩阵的全体1S ；（2）2阶对称矩阵的全体2S ，对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基．解 (1)任取11,S S ∈∈A B ，,ac be d af b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，其中,,,,,a b c d e f 表示任意实数，则对于任意的,k λ∈R ，有线性运算的封闭性成立：1ka bkc e k S kd fka b λλλλλ++⎛⎫+=∈⎪+--⎝⎭A B ．1S 的一个基是100100,,010010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2)任取22,S S ∈∈A B ，对于任意的,k λ∈R ，都满足运算成立：T T T 2()k k k S λλλ+=+=+∈A B A B A B ．2S 的一个基是100001,,000110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．4．验证：与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．证明 与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量的集合记作V ，T T (1,1,1),(1,0,1)V ==∈αβ，但T(0,1,0)V -=∉αβ，所以V 不是线性空间．5．设U 是线性空间V 的一个子空间，证明：若U 与V 的维数相等，则U =V ． 证明 设12,,,r ααα是U 的一个基，因为U V ⊆，所以12,,,r V ∈ααα．对于任意的V ∈α，必定可被12,,,r ααα线性表示，否则与“U 与V 的维数相等”矛盾．由α的任意性知V U ⊆，从而U =V ．6. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．(1) 110,,0a W a b c b c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ； (2) 100,,,00a b W a b c a b c c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=++=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ． 解 (1)不构成．由于1100000W ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭A B 但 1200000W ⎛⎫+=∉ ⎪⎝⎭A B ，即1W 对矩阵加法不封闭．(2) 构成．任取1122221200,0000a b a b W W c c ⎛⎫⎛⎫=∈=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ， 有1112220,0a b c a b c ++=++=，121212000a a b bc c ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A B ． 于是1212120a a b b c c +++++=，1212212000a a b bW c c ++⎛⎫+=∈ ⎪+⎝⎭A B ． 对任意k ∈R ，111000ka kb k kc ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，1110ka kb kc ++=，所以2k W ∈A ．2W 对矩阵加法和数乘运算封闭，所以2W 构成子空间．7. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．（1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合1W ； （2）由所有满足2=A A 的矩阵组成的集合2W ． 解 (1) 不构成．取10,00⎛⎫=⎪⎝⎭A 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，1,W ∈A B ，但是10,1,01⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭A B A B 因此1W +∉A B ，加法不封闭．(2) 不构成．取单位矩阵1001⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，2=E E ，2W ∈E ，但2(2)42=≠E E E ，所以22W ∉E ，数乘不封闭．8. 在3R 中求向量T (2,7,6)=-α在基T T T123(2,0,1),(1,3,2),(2,1,1)=-==-ααα下的坐标． 解 设所求坐标为T123(,,)x x x ，则1232312322270362x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得T T 123(,,)(1,2,1)x x x =-． 9．3R 中两个基为T T T 123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)==-=ααα；T T T 123(1,2,1),(2,3,4),(3,4,5)===βββ，求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵． 解 设123123(,,)(,,)=P βββααα，则1123123(,,)(,,)-=P αααβββ1111123234100234011111145100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．10．在3R 中，取两个基T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===e e e ；T T T 123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)===ααα，（1）求由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵；（2）已知由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为110011001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求123,,βββ； （3）已知α在基123,,βββ下的坐标为T (1,2,3)，求α在基123,,ααα下的坐标．解 （1）因为123123111(,,)(,,)011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭e e e ααα，所以基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ．（2）由于123123*********(,,)(,,)011011010001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A βββααα，故 T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===βββ．（3）设α在基123,,ααα下的坐标为T 123(,,)x x x ，则有112323(,,)x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα，又12312311(,,)2(,,)233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A αβββααα，从而123111011201121300133x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． 11．在3R 中取两个基T T 11T T 22T T33T T 44(1,0,0,0),(2,1,1,1),(0,1,0,0),(0,3,1,0),(0,0,1,0),(5,3,2,1),(0,0,0,1),(6,6,1,3).⎧⎧==-⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩e e e e αααα （1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标； （3）求在两个基下有相同坐标的向量．解 (1) 因为123412342561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭e e e e αααα，所以前一个基到后一个基的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A ． (2) 设向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标为T1234(,,,)y y y y ，则1112221234333444(,,,)x y y x y y x y y x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααα，所以，11112221333444256133611211013y x x y x x y x x y x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 123412927331129231900182773926x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭． (3) 设向量T 1234(,,,)x x x x =α在两个基下有相同的坐标，则112212343344(,,,)x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e E α，112212343344(,,,)x x x xx x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ααααα，所以 1234()x x x x ⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A E 0，解得T (1,1,1,1),k k =-∈R α． 12．说明xOy 平面上变换x x T y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的几何意义，其中(1) 1001-⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (2) 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭A ；(3) 0110⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (4) 0110⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ．解 (1)1001x x x x T y y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于y 轴对称；(2)00001x x x T y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，投影到y 轴；(3)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于直线y x =对称；(4)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，顺时针旋转90．13．n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个(1)2n n +维线性空间．给定n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，变换T ()T =A P AP称为合同变换．证明合同变换T 是V 中的线性变换．证明 设,V ∈A B ，k ∈R ，则T T ,==A A B B ，所以T ()+=+A B A B ，T ()k k =A A ．从而+A B 与k A 是对称矩阵．又因为T T T ()()()()T T T +=+=+=+A B P A B P P AP P BP A B ，T T ()()()T k k k kT ===A P A P P AP A ，所以T 是V 中的线性变换．14．设3R 中123,,ααα是一个基，且线性变换T 在此基下的矩阵为460350361⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）证明123312,,2-++-+αααααα也是3R 的一个基； （2）求线性变换T 在此基下的矩阵．证明 （1）令112323312,,2=-++==-+βαααβαβαα，可解得1123,=--αβββ 212322=--αβββ， 32=αβ，这说明了123,,ααα和123,,βββ可以相互线性表示，从而它们等价，所以123,,βββ是3R 的一个基．（2）设线性变换T 在基123,,βββ下的矩阵是B ，并设从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是P ，则1-=B P AP ，由条件知102101110--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，得1120121110-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭P ，从而 1200010001--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭B P AP ．15．函数集合{}23210210(),,xV a x a x a ea a a ==++∈R α对于函数的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基2123,,x x x x e xe e ===ααα，求微分运算D 在这个基下的矩阵． 解 因为21123()220x x D x e xe =+=++αααα， 2123()0x x D e xe =+=++αααα，3123()00x D e ==++αααα，所以微分运算D 在这个基下的矩阵为100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．16．二阶对称矩阵的全体12312323,,x x V x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R A 对于矩阵的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基123100100,,001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，在3V 中定义合同变换1011()1101T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ，求T 在基123,,A A A 下的矩阵．解 因为11123101110101111()110111000111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A A ，2223101110011101()2110111100112T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A ，333101110001100()110111010101T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，123123100((),(),())(,,)110121T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A ，所以T 在基123,,A A A 下的矩阵为100110121⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．17．设A 是一个正定矩阵，向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y ==αβ．在nR 中定义内积 [],αβ为[]T ,=A αβαβ．证明在这个定义之下，n R 是一个Euclid 空间．证明 按定义证明满足以下四条性质即可． （1）对称性 [][]T T T T T T ,(),=====A A A A αβαβαββαβαβα．（2）线性加性 [][][]TT T ,(),,+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ．（3）线性齐性 [][]T T ,()(),k k k k ===A A αβαβαβαβ．（4）非负性 由于A 是正定矩阵，所以[]T ,=A αααα是个正定二次型，从而[],0≥αα，当且仅当=0α时[],0=αα．18．设V 是一个n 维Euclid 空间，≠0α是V 中一固定向量，证明：[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V的一个子空间．证明 因为1V ∈0，所以1V 非空．再证1V 对两种运算封闭．任给121,V ∈x x ，即[][]12,0,,0==x αx α，根据V 的线性加性有[][][]1212,,,+=+=x x αx αx α000+=，从而可知121V +∈x x ．另一方面，由[][]11,,0k k ==x αx α可知，11k V ∈x ．此即证得[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V 的一个子空间．B 组1．求二阶矩阵构成的线性空间22⨯R中元素0123⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 在基10111⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，21011⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，31101⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，41110⎛⎫= ⎪⎝⎭G 下的坐标.解 设11223344k k k k =+++A G G G G ，则234134124123 0,1, 2, 3,k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 解得12340,1,2,3k k k k ==-=-=，所求坐标为T (0,1,2,3)--. 2．在二阶矩阵构成的线性空间22⨯R 中，（1）求基123410010000,,,00001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E E E E到基123421035366,,,11102113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F F F F的过渡矩阵；（2）分别求向量11122122a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭M 在基1234,,,E E E E 和基1234,,,F F F F 下的坐标； （3）求一个非零向量A ，使得A 在这两个基下的坐标相等． 解 （1）因为112342=+-+F E E E E ， 21234030=+++F E E E E ， 31234532=+++F E E E E ， 41234663=+++F E E E E ，即1234123420561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭F F F F E E E E ， 所以，基1234,,,E E E E 到基1234,,,F F F F 的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P ． （2）显然11121111222132242122a a a a a a a a ⎛⎫==+++⎪⎝⎭M E E E E ，得到M 在基1234,,,E E E E 下的坐标为T 11122122(,,,)a a a a ．设M 在基1234,,,F F F F 下的坐标为T 1234(,,,)y y y y ，则111212342122(,,,)a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M E E E E 1122123412343344(,,,)(,,,)y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F F F F E E E E P ， 得111112121213212142222411119391412327932712003371126279327y a a y a a y a a y a a -⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭P 1112212211122122112211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭．（3）解方程111221221111122122122111222211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪+-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭，得11122122a a a a ===-，所以11,011k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭A ．3. 设T 是四维线性空间V 的线性变换，T 在V 的基1234,,,αααα下的矩阵为1222265200120026----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A 求T 在V 的基11212323434,,,==-+=-+=-+βαβααβααβαα下的矩阵.解 12341234(,,,)(,,,)=P ββββαααα，其中1100011000110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P , 所求矩阵11300240000130024-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P AP . 4. 设12,,,n ααα是n R 的一个基．(1) 证明11212312,,,,n ++++++ααααααααα也是n R 的一个基；(2) 求由基12,,,n ααα到基11212312,,,,n ++++++ααααααααα的过渡矩阵；(3) 求向量α在基12,,,n ααα下的坐标T 12(,,,)n x x x 和在基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα下的坐标T 12(,,,)n y y y 间的变换公式.解 (1) 因为()()1121231212111011,,,,,,,001n n ⎛⎫⎪⎪++++++= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααα，所以111011001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，10=≠P ，P 可逆，从而向量组1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα与向量组12,,,n ααα等价，而12,,,n ααα是n R 的一个基，所以1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα也是n R 的一个基．(2) 由基12,,,n ααα到基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ． (3) 坐标变换公式为11111222211100000110001110010001100011000100001100001n n n n y x x x y x x x y x x x ---⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭P ． 5. 设12,,,n ααα是V 的一个基，且()()1212,,,,,,n n =A βββααα，证明12,,,n βββ是V的一个基的充分必要条件是矩阵A 为可逆矩阵．证明 由于12,,,n ααα线性无关，注意到()()112211221212,,,,,,n n n n n n k k kkk k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ββββββααα，可得12,,,n βββ是V 的一个基⇔12,,,n βββ线性无关⇔1122n n k k k +++=0βββ时，必定有120n k k k ====⇔()1212,,,0n n k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ααα时，必定有120n k k k ====⇔12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0时，必定有120n k k k ====⇔齐次线性方程组=Ax 0只有零解 ⇔0≠A ⇔A 是可逆矩阵．6. 设12,V V 是线性空间V 的两个不同的子空间，且1V V ≠，2V V ≠，证明在V 中存在向量α，使得12,V V ∉∉αα同时成立．证明 由于1V V ≠，2V V ≠，于是在V 中存在向量,αβ，使得12,V V ∉∉αβ成立． 若2V ∉α，则α即为所求． 若2V ∈α，则对任意数k ，有2k V +∉αβ．否则，由于2V ∈α和2k V +∈αβ，可得2()k k V +-=∈αβαβ，与假设矛盾．于是，取12k k ≠，则11k V +∈αβ与21k V +∈αβ不能同时成立，否则12121()()()k k k k V +-+=-∈αβαβα，有1V ∈α，矛盾．故11k V +∉αβ与21k V +∉αβ至少有一个成立，不妨设11k V +∉αβ，又12k V +∉αβ，因此1k +αβ即为所求． 7. 设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两个基，证明（1）在两组基下坐标完全相同的全体向量的集合1V 是V 的子空间； （2）设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是P ，若()R r -=E P ，则1dim V n r =-；（3）若V 中的每个向量在这两个基下的坐标完全相同，则1122,,,n n ===αβαβαβ．证明 （1）设1,V ∈αβ，即11221122n n n n x x x x x x =+++=+++ααααβββ， 11221122n n n n y y y y y y =+++=+++βαααβββ．则111222111222()()()()()()n n n n n n x y x y x y x y x y x y +=++++++=++++++αβαααβββ，1122n n k kx kx kx =+++αααα1122n n kx kx kx =+++βββ，即+αβ，k α在这两个基下的坐标也完全相同，于是1V +∈αβ，1k V ∈α，从而1V 是V 的子空间．（2）设α是1V 中任一向量，则12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭αββββββ1212(,,,)n n x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ααα．于是，α在两个基下的坐标存在关系=x Px ，T 12(,,,)n x x x =x ，即()-=E P x 0．由于()R r -=E P ，故此齐次线性方程组的解向量的全体构成n r -维空间，从而α的全体即1V 的维数是n r -． （3）i α(1,2,,)i n =在基12,,,n ααα下的坐标为T (0,0,,0,1,0,,0)（第i 个分量为1，余皆为0），即11100100i i i i n -+=++++++αααααα， 1,2,,i n =．而由条件，i α(1,2,,)i n =在基12,,,n βββ下的坐标也是T (0,0,,0,1,0,,0)，即11100100i i i i n -+=++++++αβββββ，1,2,,i n =，从而有i i =αβ，1,2,,i n =．。

第七章 线性变换3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明：-=A B BA =E ．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B(())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ，于是-=A B BA =E ．4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明：1,1k kk k k --=>A B BAA．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明 当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ，因此结论成立．假设当k s =时结论成立，即1sss s --=A B BAA．那么，当1k s =+时，有11()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+AB BAA AB BA A B BA A A A A ，即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由0=AE 可知，结论对1k =也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1-A 作用左右两边，得到11()()--===ααββAA AA ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射．『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．6．设12,,,n L εεε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明A 可逆当且仅当12,,,n L εεεA A A 线性无关．证法1 若A 是可逆的线性变换，设1122n n k k k +++=0L A A A εεε，即1122()n n k k k +++=0L A εεε．而根据上一题结论可知A 是单射，故必有1122n n k k k +++=0L εεε，又由于12,,,n L εεε是线性无关的，因此120n k k k ====L ．从而12,,,n L εεεA A A 线性无关．反之，若12,,,n L εεεA A A 是线性无关的，那么12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换B ，使得()i i =B A εε，1,2,,i n =L ．显然()i i =BA εε，()i i =A B A A εε，1,2,,i n =L ．再根据教材中的定理1知，==A B BA E ．所以A 是可逆的．证法2 设A 在基12,,,n L εεε下的矩阵为A ，即121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==L L L A A A A εεεεεεεεεA ．由教材中的定理2可知，A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆．因此，如果A 是可逆的，那么矩阵A 可逆，从而12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基，即是线性无关的．反之，如果12,,,n L εεεA A A 是线性无关，从而是V 的一组基，且A 是从基12,,,n L εεε到12,,,n L εεεA A A 的过渡矩阵，因此A 是可逆的．所以A 是可逆的线性变换．『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A 的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A 可逆转化成了矩阵A 可逆．9．设三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ． 1）求A 在基321,,εεε下的矩阵；2）求A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈且0k ≠；3）求A 在基1223,,+εεεε下的矩阵．『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．解 1）由于3131232333333232131a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 2121222323323222121a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 1111212313313212111a a a a a a =++=++A εεεεεεε．故A 在基321,,εεε下的矩阵为3332311232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ． 2）由于11112123131112123131a a a a a k a k =++=++A εεεεεεε，2121222323121222323k ka ka ka ka a k ka =++=++A εεεεεεε，31312323331312323331a a a a a k a k=++=++A εεεεεεε．故A 在基123,,k εεε下的矩阵为111213221222331323311a ka a a a a k k a ka a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ． 3）由于从123,,εεε到1223,,+εεεε的过渡矩阵为100110001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，故A 在基1223,,+εεεε下的矩阵为1111213111212133212223211122122212231331323331323233100100110110001001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==-+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．10．设A 是线性空间V 上的线性变换，如果1k -≠0A ξ，但k =0A ξ，求证：1,,,k -L A Aξξξ（0k >）线性无关．证明 由于k=0A ξ，故对于任意的非负整数i ，都有()k ii k +==0AA A ξξ．当0k >时，设112k n x x x -+++=0L A Aξξξ，用1k -A作用于上式，得11k x -=0Aξ，但1k -≠0Aξ，因此10x =．于是12k n x x -++=0L A Aξξ，再用2k -A作用上式，同样得到20x =．依此下去，可得120k x x x ====L ．从而1,,,k -L A Aξξξ线性无关．16．证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλO21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλO21 相似，其中n i i i ,,,21Λ是1,2,,n L 的一个排列．『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义． 证法1 设V 是一个n 维线性空间，且12,,,n L εεε是V 的一组基．另外，记12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O A ，12n i ii λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OB ． 于是，在基12,,,n L εεε下，矩阵A 对应V 的一个线性变换A，即12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n nn λλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭L L L O εεεεεεεεεA A ．从而i i i λ=εεA ，1,2,,i n =L ．又因为12,,,n i i i K εεε也是V 的一组基，且12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n i ii i i i i i i i i i λλλ⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K K OεεεεεεεεεB A ． 故A 与B 相似．证法２ 设12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O A 与 12n i ii λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OB ． 对A 交换,i j 两行，再交换,i j 两列，相当于对A 左乘和右乘初等矩阵1(,)(,)i j i j -=P P 和(,)i j P ，而1(,)(,)i j i j -P AP即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλL 变成12,,,n i i i λλλL ，这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,s L Q Q Q ，使得1112112s s ---=L L Q Q Q AQ Q Q B ，令12s =L Q Q Q Q ，则有1-=Q AQ B ，即A 与B 相似．『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．17．如果A 可逆，证明AB 与BA 相似． 证明 由于A 可逆，故A1-存在．于是11()()--==A AB A A A BA BA ，因此，根据相似的定义可知AB 与BA 相似．19．求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量．已知A 在一组基下的矩阵为：1）3452⎛⎫= ⎪⎝⎭A ； 4）563101121-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ；5）001010100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．解 1）设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ．由于A 的特征多项式为234|514(7)(2)52λλλλλλλ---==--=-+--E A ，故A 的特征值为17λ=，22λ=-．当17λ=时，方程组1()λ-=0E A X ，即为1212440,550.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛11．从而A 的属于特征值17λ=的全部特征向量为112k k =+ξεε，其中k 为任意非零常数．当22λ=-时，方程组2()λ-=0E A X ，即为1212540,540.x x x x --=⎧⎨--=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-54，从而A 的属于特征值22λ=-的全部特征响向量为 21245l l =-ξεε，其中l 为任意非零常数．4）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为56311(2)(11121λλλλλλλ---=-=---+--+E A ，故A 的特征值为12λ=，21λ=，31λ=当12λ=时, 方程组1()λ-0E A X =，即为1231231233630,20,230.x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩ 求得其基础解系为210-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值2的全部特征向量为111122k k =-+ξεε其中1k 为任意非零常数．当21λ=时, 方程组2()0λ-E A X =，即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧-+-+=⎪⎪++-=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213，故A的属于特征值122122233(2k k k =-+ξεεε其中2k 为任意非零常数．当31λ=3()0λ-E A X =，即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧---+=⎪⎪+--=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-3213，故A的属于特征值133132333(2k k k =-+ξεεε其中3k 为任意非零常数．5）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为20110(1)(1)1λλλλλλ--=-=-+-E A ，故A 的特征值为11λ=（二重），21λ=-．当11λ=时，方程组1()λ-0E A X =，即为13130,0.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 求得其基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值1的全部特征向量为 1112213k k k ++ξ=εεε其中12,k k 为任意不全为零的常数．当21λ=-时，方程组2()0λ-E A X =，即为132130,20,0.x x x x x --=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩ 求得其基础解系为101-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值1-的全部特征向量为213l l +ξ=-εε，其中l 为任意非零常数．『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．24．1）设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值，12,εε是分别属于21,λλ的特征向量，证明：12+εε不是A 的特征向量；2）证明：如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量，那么A 是数乘变换．证明 1）反证法．假设12+εε是A 属于特征值λ的特征向量，即121212()()λλλ+=+=+A εεεεεε．而由题设可知111222,λλ==A A εεεε，且12λλ≠，故12121122()λλ+=+=+A A A εεεεεε．比较两个等式，得到1122()()λλλλ-+-=0εε．再根据12,εε是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此021=-=-λλλλ，即12λλ=．这与12λλ≠矛盾．所以12+εε不是A 的特征向量．2）设12,,,n L εεε是V 的一组基，则它们也是A 的n 个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值12,,,n λλλL ，即i i i λ=A εε，1,2,,i n =L ．根据1）即知12n λλλλ====L ．否则，若12λλ≠，那么12+≠0εε，且不是A 的特征向量，这与V 中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的V ∈α，都有λ=A αα，即A 是数乘变换．25．设V 是复数域上的n 维线性空间，,A B 是V 上的线性变换，且=A B BA ．证明： 1）如果0λ是A 的一个特征值，那么0V λ是B 的不变子空间； 2）,A B 至少有一个公共的特征向量．证明 1）设0V λ∈α，则0λ=A αα，于是，由题设知00()()()()()λλ=====A B A B BA B A B B αααααα，因此0V λ∈B α．根据不变子空间的定义即知，0V λ是B 的不变子空间．2）由1）可知0V λ是B 的不变子空间，若记00|V λ=B B ，则0B 是复数域上线性空间0λV 的一个线性变换，它必有特征值0μ及非零向量0V λ∈β，使得00μ==B B βββ，即β是B 的特征向量，从而β是A 和B 的公共特征向量．因此，,A B 存在公共的特征向量．。

第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换在这组基下的矩阵是33112233(),,ij Aa xxxV 则在基321,,下的矩阵B ＝1,T AT 而可逆矩阵T ＝0010101满足1,B TAT 在基123,,下的坐标为123x A x x . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间nP 的线性变换:(),n A P ,则1(0)＝|0,nAP，1dim(0)＝n r ，dim()nP ＝r .3．复矩阵()ij n n Aa 的全体特征值的和等于1nii i a ，而全体特征值的积等于||A .4．设是n 维线性空间V 的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为__数乘__变换 .5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P 同构.6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()nf f f .7．设2231A，则向量11是A 的属于特征值 4的特征向量．8．若1001011A与1010101k Bk相似，则k = -1/2 ．9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23f ，则||A 3 ．10．n 阶方阵A 满足A A 2，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A ),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ，变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321下的矩阵为10203321.二、判断题1．设是线性空间V 的一个线性变换，12,,,sV 线性无关，则向量组12(),(),,()s也线性无关. （错）2．设为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝n ，有1()(0).VV （错）未必有1()(0).VV 3．在线性空间2R 中定义变换：(,)(1,)x y x y ，则是2R 的一个线性变换.（错）零向量的像是（1,0）4．若为n 维线性空间V 的一个线性变换，则是可逆的当且仅当1(0)＝｛0｝.（正确）是可逆的当且仅当是双射.5．设为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W 是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W 为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||A ．（正确）7．已知1PBP A，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（正确）1P APB ，P 的列向量为A 的特征向量.8．为V 上线性变换，n,,,21为V 的基，则)(,),(),(21n线性无关．（错）当可逆时无关，当不可逆时相关.9．为V 上的非零向量，为V 上的线性变换，则})(|{)(1是V 的子空间．（错）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T A T 成对角形.133313331A解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331EA.矩阵A 的特征值为12,37,2.当17时，解方程组1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'.当2,32时，解方程组1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'.矩阵A有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵11111011T有1722T AT2．在线性空间n P 中定义变换：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x （1）证明：是nP 的线性变换.（2）求()nP 与1(0).（1）证明：112222(,,,)(0,,,)nn n n x y x y x y x y x y 221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y12122((,,,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x .所以是n P 的线性变换.（2）2()(0,,,)|,2,,.n n iP x x x P i n .111(0)(,0,,0)|.x x P 3．设aA33242111与bB00020002相似．（1）求b a,的值；（2）求可逆矩阵，使B APP 1．解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有45,46 6.b a ba 所以5,6ab.(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335EA 特征值为1,232,6.当1,22时，解方程组1231231230,2220,3330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'.当16时，解方程组12312312350,2220,330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'.因此可取矩阵011102113P，有B AP P 1.4．令nn P 表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ，对任意的nn PX，定义()''X A XAB XB .证明是nn P上的一个线性变换.证明：对任意的,,n n X YP k P ，有()'()'()''''()(),XY A X Y A B X Y BA XAB XB A YA B YBX Y ()'()'()('')()kX A kX A B kX Bk A XAB XB k X .因此是n n P 上的一个线性变换.。

第七章 线性变换3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明：-=A B BA =E ．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B(())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ，于是-=A B BA =E ． 4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明： 1,1k k k k k --=>A B BA A．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明 当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得 22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ，因此结论成立．假设当k s =时结论成立，即1sss s --=A B BAA．那么，当1k s =+时，有11()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+AB BAA AB BA A B BA A A A A ，即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由0=AE 可知，结论对1k =也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1-A 作用左右两边，得到11()()--===ααββAA A A ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射．『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．6．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明A 可逆当且仅当12,,,n εεεA A A 线性无关．证法1 若A 是可逆的线性变换，设1122n n k k k +++=0A A A εεε，即1122()n n k k k +++=0A εεε．而根据上一题结论可知A 是单射，故必有1122n n k k k +++=0εεε，又由于12,,,n εεε是线性无关的，因此120n k k k ====．从而12,,,n εεεA A A 线性无关．反之，若12,,,n εεεA A A 是线性无关的，那么12,,,n εεεA A A 也是V 的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换B ，使得()i i =B A εε，1,2,,i n =．显然 ()i i =BA εε，()i i =A B A A εε，1,2,,i n =．再根据教材中的定理1知，==A B BA E ．所以A 是可逆的．证法2 设A 在基12,,,n εεε下的矩阵为A ，即 121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==A A A A εεεεεεεεεA ．由教材中的定理2可知，A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆．因此，如果A 是可逆的，那么矩阵A 可逆，从而12,,,n εεεA A A 也是V 的一组基，即是线性无关的．反之，如果12,,,n εεεA A A 是线性无关，从而是V 的一组基，且A 是从基12,,,n εεε到12,,,n εεεA A A 的过渡矩阵，因此A 是可逆的．所以A 是可逆的线性变换．『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A 的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A 可逆转化成了矩阵A 可逆．9．设三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ． 1）求A 在基321,,εεε下的矩阵；2）求A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈且0k ≠；- 3 -3）求A 在基1223,,+εεεε下的矩阵．『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．解 1）由于3131232333333232131a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 2121222323323222121a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 1111212313313212111a a a a a a =++=++A εεεεεεε．故A 在基321,,εεε下的矩阵为3332311232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ． 2）由于11112123131112123131a a a a a k a k=++=++A εεεεεεε，2121222323121222323k ka ka ka ka a k ka =++=++A εεεεεεε，31312323331312323331a a a a a k a k=++=++A εεεεεεε． 故A 在基123,,k εεε下的矩阵为111213221222331323311a ka a a a a k k aka a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ． 3）由于从123,,εεε到1223,,+εεεε的过渡矩阵为100110001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，故A 在基1223,,+εεεε下的矩阵为1111213111212133212223211122122212231331323331323233100100110110001001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==-+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．10．设A 是线性空间V 上的线性变换，如果1k -≠0A ξ，但k =0A ξ，求证：1,,,k -A Aξξξ（0k >）线性无关．证明 由于k=0Aξ，故对于任意的非负整数i ，都有()k ii k +==0AA A ξξ．当0k >时，设112k n x x x -+++=0A Aξξξ，用1k -A作用于上式，得11k x -=0Aξ，但1k -≠0Aξ，因此10x =．于是12k n x x -++=0A Aξξ，再用2k -A作用上式，同样得到20x =．依此下去，可得120k x x x ====．从而1,,,k -A Aξξξ线性无关．16．证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21 相似，其中n i i i ,,,21 是1,2,,n 的一个排列．『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义． 证法1 设V 是一个n 维线性空间，且12,,,n εεε是V 的一组基．另外，记12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，12n i ii λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 于是，在基12,,,n εεε下，矩阵A 对应V 的一个线性变换A，即- 5 -12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n λλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭εεεεεεεεεA A ．从而i i i λ=εεA ，1,2,,i n =．又因为12,,,n i i i εεε也是V 的一组基，且12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n i ii i i i i i i i i i λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭εεεεεεεεεB A ．故A 与B 相似．证法２ 设12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A 与 12n i ii λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 对A 交换,i j 两行，再交换,i j 两列，相当于对A 左乘和右乘初等矩阵1(,)(,)i j i j -=P P 和(,)i j P ，而1(,)(,)i j i j -P AP即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλ变成12,,,n i i i λλλ，这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,s Q Q Q ，使得1112112s s ---=Q Q Q AQ Q Q B ，令12s =Q Q Q Q ，则有1-=Q AQ B ，即A 与B 相似．『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．17．如果A 可逆，证明AB 与BA 相似． 证明 由于A 可逆，故A1-存在．于是11()()--==A AB A A A BA BA ，因此，根据相似的定义可知AB 与BA 相似．19．求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量．已知A 在一组基下的矩阵为：1）3452⎛⎫= ⎪⎝⎭A ； 4）563101121-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ；5）001010100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ． 解 1）设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ．由于A 的特征多项式为234|514(7)(2)52λλλλλλλ---==--=-+--E A ， 故A 的特征值为17λ=，22λ=-．当17λ=时，方程组1()λ-=0E A X ，即为1212440,550.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛11．从而A 的属于特征值17λ=的全部特征向量为112k k =+ξεε，其中k 为任意非零常数．当22λ=-时，方程组2()λ-=0E A X ，即为1212540,540.x x x x --=⎧⎨--=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-54，从而A 的属于特征值22λ=-的全部特征响向量为21245l l =-ξεε，其中l 为任意非零常数．4）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为56311(2)(11121λλλλλλλ---=-=---+--+E A ，故A 的特征值为12λ=，21λ=，31λ=当12λ=时, 方程组1()λ-0E A X =，即为- 7 -1231231233630,20,230.x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩ 求得其基础解系为210-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值2的全部特征向量为111122k k =-+ξεε其中1k 为任意非零常数．当21λ=时, 方程组2()0λ-E A X =，即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧-+-+=⎪⎪++-=⎨⎪--++=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213，故A的属于特征值122122233(2k k k =-+ξεεε其中2k 为任意非零常数．当31λ=3()0λ-E A X =，即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧---+=⎪⎪+--=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-3213，故A的属于特征值133132333(2k k k =-+ξεεε其中3k 为任意非零常数．5）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为20110(1)(1)1λλλλλλ--=-=-+-E A ，故A 的特征值为11λ=（二重），21λ=-．当11λ=时，方程组1()λ-0E A X =，即为13130,0.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 求得其基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值1的全部特征向量为 1112213k k k ++ξ=εεε其中12,k k 为任意不全为零的常数．当21λ=-时，方程组2()0λ-E A X =，即为132130,20,0.x x x x x --=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩ 求得其基础解系为101-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值1-的全部特征向量为213l l +ξ=-εε，其中l 为任意非零常数．『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．24．1）设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值，12,εε是分别属于21,λλ的特征向量，证明：12+εε不是A 的特征向量；2）证明：如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量，那么A 是数乘变换．证明 1）反证法．假设12+εε是A 属于特征值λ的特征向量，即- 9 -121212()()λλλ+=+=+A εεεεεε．而由题设可知111222,λλ==A A εεεε，且12λλ≠，故12121122()λλ+=+=+A A A εεεεεε．比较两个等式，得到1122()()λλλλ-+-=0εε．再根据12,εε是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此021=-=-λλλλ，即12λλ=．这与12λλ≠矛盾．所以12+εε不是A 的特征向量．2）设12,,,n εεε是V 的一组基，则它们也是A 的n 个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值12,,,n λλλ，即i i i λ=A εε，1,2,,i n =．根据1）即知12n λλλλ====．否则，若12λλ≠，那么12+≠0εε，且不是A 的特征向量，这与V中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的V ∈α，都有λ=A αα，即A 是数乘变换．25．设V 是复数域上的n 维线性空间，,A B 是V 上的线性变换，且=A B BA ．证明： 1）如果0λ是A 的一个特征值，那么0V λ是B 的不变子空间； 2）,A B 至少有一个公共的特征向量．证明 1）设0V λ∈α，则0λ=A αα，于是，由题设知00()()()()()λλ=====A B A B BA B A B B αααααα，因此0V λ∈B α．根据不变子空间的定义即知，0V λ是B 的不变子空间．2）由1）可知0V λ是B 的不变子空间，若记00|V λ=B B ，则0B 是复数域上线性空间0λV 的一个线性变换，它必有特征值0μ及非零向量0V λ∈β，使得00μ==B B βββ，即β是B 的特征向量，从而β是A 和B 的公共特征向量．因此，,A B 存在公共的特征向量．。