2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件：第5章第四节 数列求和(苏教版江苏专用

2．一般情况如下，若{an}是公差不为 0 的 1 1 1 1 1 等差数列， 则 ＝ ( － )， ＝ d an an＋1 an·n＋2 anan＋1 a 1 1 1 (a － )．此外根式在分母上时可考虑 2d n an＋2 利用有理化因式相消求和．
例4 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7
＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； 1 (2)令 bn＝ 2 (n∈N*)，求数列{bn}的前 n an－1 项和 Tn.
【思路分析】 (1)由基本量的运算求出an 及Sn；(2)bn的式子为分式结构，考虑裂项相 消法求和．
【解】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1， 公差为 d， 由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1 ＝3，d＝2. na1＋an 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝ ， 2 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q. a1＝2， 依题意，得 a4＝a1q3＝16. 解得 q＝2， ∴数列{an}的通项公式 an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)得 log2an＝n，log2an＋1＝n＋1. 1 1 1 bn ＝ ＝ － . nn＋1 n n＋1 ∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn 1 1 1 1 1 ＝(1－ )＋( － )＋„＋(n－ ) 2 2 3 n＋1 1 n ＝1－ ＝ . n＋1 n＋1
倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把 它与原数列相加，就可以得到n个(a1 ＋an)， 其最简单的形式为：若数列{an}中有a1 ＋an ＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝„，就可以用此方 法求和．
例1 设函数 y＝f(x)的定义域为 R， 其图
【解】 (1)设公比为 q，则 an＝a1q a1＋a1q＝2 1 ＋ 1 ， a1 a1q
n－1
，
由已知有
2
a1q2＋a1q3＋a1q4＝64 1 2＋ 1 3＋ 1 4. a1q a1q a1q
a 1q＝2， 化简得 2 6 a 1q ＝64.
又 a1>0，故 q＝2，a1＝1.所以 an＝2n 1.
【名师点评】 错位相减法的运用并不困 难，其难点是运算的结果不易计算正确， 最后的结果，往往显得繁琐，因而整理化 简过程中要格外细心．
变式训练 3 在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)令 bn＝ ， n∈N*， 求数列{bn} log2an· 2an＋1 log 的前 n 项和 Sn.
4．分组转化法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，即能分别求和， 然后再合并． 5．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相 消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：
1 1 1 n－n＋1 (1) ＝______________. nn＋1 1 1 1 ( － ) 1 2 2n－1 2n＋1 (2) ＝________________．
－
1 2 2 1 (2)由(1)知 bn＝(an＋ ) ＝an＋ 2 ＋2 an an 1 n－1 ＝4 ＋ n－1＋2. 4 因此 Tn ＝(1＋4＋„＋4 4
n－ 1)＋2n n－ 1
1 )＋(1＋ ＋„＋ 4
1
1 4n－1 1－4n 1 n － ＝ ＋ ＋2n＝ (4 －41 n)＋2n＋1. 1 3 4－1 1－ 4
使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了
哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于
数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所
以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项
与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写 未被消去的项，未被消去的项有前后对称的 特点．实质上，正负项相消是此法的目的．
变式训练 4 (2011 年南通调研)已知数列{an}是各项均 不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 1 2 满足 an＝S2n－1，令 bn＝ ，数列{bn} an·n＋1 a 的前 n 项和为 Tn. (1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前 n 项和 Tn； (2)是否存在正整数 m，n(1<m<n)，使得 T1，Tm，Tn 成等比数列？若存在，求出所 有的 m， 的值； n 若不存在， 请说明理由．
1 1 k 象关于点( ， )成中心对称， an＝f(n)， 令 2 2 (n∈N*， n≥2)， k＝1,2,3， n－1， „， „， 求数列{an}的前(n－1)项的和． 1 1 【思路分析】 图象关于( ，)成中心对称， 2 2 k k 所以 f(x)＋f(1－x)＝1，所以 f(n)＋f(1－n) ＝1，即可利用倒序相加法求 Sn－1.
1 1 1 1 1． 数列 ， ， ， „， ， „ 2×4 4×6 6×8 2n2n＋2 的前 n 项和为________．
n 答案： 4n＋4
2．(2011年镇江调研)设f(n)＝2＋24＋27＋210＋ „＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于________．
2 n＋ 1 答案： (8 －1) 7
2n－1 3．已知数列{an}的通项公式是 an＝ n ，其 2 321 前 n 项和 Sn＝ ，则项数 n 等于________． 64
答案：6
4．数列{an}的通项公式an＝(－1)n－1(4n－3)，
其前n项和为Sn，则S100等于________．
答案：－200
考点探究·挑战高考
考点突破
第四节
数列求和
双基研习·面对高考
第 四 节 数 列 求 和
考点探究·挑战高考
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理 1．公式法求和 (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和． (2)掌握一些常见数列前n项和 nn＋1 1＋2＋3＋„＋n＝__________. 2 n2. 1＋3＋5＋„＋(2n－1)＝_______
分组求和法 1．数列求和应从通项入手，若无通项，则 先求通项，然后通过对通项变形，转化为等 差或等比或可求数列前 n项和的数列来求 之． 2．常见类型及方法 (1)an ＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式 直接求解；
(2)an ＝a·n－1 ，利用等比数列前n项和公式直 q 接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等 差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．
【名师点评】
分组求和法要注意数列的特
征或求和式子的特征，分成哪样的几种数列 求和，怎样分组都是在解题过程中应特别要 注意的．
拆项、裂项求和法 1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消 后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有 可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将 通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系 数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．
(2)由 bn＝nan＝n·2n－1 知， 2 3 5 2n－1 Sn＝1×2＋2×2 ＋3×2 ＋„＋n· ，① 2 2 3 5 7 从 而 2 ·n ＝ 1×2 ＋ 2×2 ＋ 3×2 ＋ „ ＋ S 2n＋1 n· .② 2 2 3 5 2n － 1 ①－②得(1－2 )Sn ＝2＋2 ＋2 ＋„＋2 2n＋1 －n· ， 2 1 2n＋1 即 Sn＝ [(3n－1)2 ＋2]． 9
例2 (2010年高考课标全国卷)设数列{an}满足
a1＝2，an＋1－an＝3·2n－1. 2 (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路分析】 (1)由an＋1 －an ＝3·2n－1 的结 2 构特点可知用迭代法或累加法求an ；(2)观察
(2)因为 an＝2n＋1， 所以 a2 －1＝4n(n＋1)， n 1 1 1 1 因此 bn＝ ＝ ( － )． 4nn＋1 4 n n＋1 故 Tn＝b1＋b2＋„＋bn 1 1 1 1 1 1 ＝ (1－ ＋ － ＋„＋ － ) n n＋1 4 2 2 3 1 1 n ＝ (1－ )＝ . 4 n＋1 4n＋1 n 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ . 4n＋1
2．错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列{an·n}的前n b 等差数列 项和，其中{an}，{bn}分别是____________和 等比数列． ___________ 3．倒序相加法 将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列 相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的 和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法 等差数列 求和，它是__________求和公式的推广．
2n－12n＋1
n＋k－ n 1 (3) ＝_______________. k n＋k＋ n
思考感悟 裂项相消时的注意事项有哪些？
1 1 提示：裂项相消时，如 ＝ 2n－12n＋1 2 1 1 ( － )， 相消时， 消掉了哪些项、 2n－1 2n＋1 剩下了哪些项要特别注意．
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已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 1 1 1 1 1 a1＋a2＝2( ＋ )， 3＋a4＋a5＝64( ＋ ＋ )． a a1 a2 a3 a4 a5 (1)求{an}的通项公式； 1 2 (2)设 bn＝(an＋a ) ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n
例3
【思路分析】 (1)用a1 ，q代入两已知条 件，可求出a1，q； (2)化简bn的式子，分组求和．
n－1 两式相加得 2Sn－1＝(n－1)· 1，∴Sn－1＝ . 2
【名师点评】 当数列具有“首尾配对”， “中心对称”特征时，常用倒序相加法．
变式训练 1 x2 1 1 1 已知函数 f(x)＝ 2，则 f( )＋f( )＋f( ) 4 3 2 1＋x ＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.