第三讲 第1课时 一次函数的应用

第三讲 函数应用型问题第1课时 一次函数的应用(64分)一、选择题(每题6分，共18分)1．[2017·济宁]如图3－1－1，A ，B 是半径为1的⊙O 上两点，且OA ⊥OB .点P 从点A 出发，在⊙O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束．设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，那么下面图象中可能表示y与x 的函数关系的是 ( D)A ．① B.④ C.②或④ D.①或③【解析】 根据“直径是圆中最长的弦”，点P 从A 出发，在⊙O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束，分两种情况：点P 顺时针运动时，BP 长先变大再变小直至0再变大，即图象③；点P 逆时针运动时，BP 长先变小直至0再变大再变小，即图象①.故选D.2．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500 m ，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2 s ，在跑步的过程中，甲、乙两人之间的距离y (m)与乙出发的时间t (s)之间的函数关系如图3－1－2所示，给出以下结论：①a ＝8；②b ＝92；③c ＝123.其中正确的是( A ) A ．①②③B ．仅有①②C ．仅有①③D ．仅有②③【解析】 甲的速度为8÷2＝4(m/s)，乙的速度为500÷100＝5(m/s)．b ＝5×100－4×(100＋2)＝92(m)，5a －4×(a ＋2)＝0，解得a ＝8(s)，c ＝100＋92÷4＝图3－1－1图3－1－2123(s)，∴正确的有①②③.故选A.3．[2017·聊城]端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500 m的赛道上，所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图3－1－3所示，下列说法错误的是(D)图3－1－3A．乙队比甲队提前0.25 min到达终点B．当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 mC．0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 mD．自1.5 min开始，若甲队要与乙队同时到达终点，则甲队的速度需要提高到255 m/min【解析】A．由横坐标看出乙队比甲队提前0.25 min到达终点，故A不符合题意；B.乙AB段的表达式为y＝240x－40，当y＝110时，x＝58，甲的表达式为y＝200x，当x＝58时，y＝125，当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 m，故B不符合题意；C.乙AB段的表达式为y＝240x－40，乙的速度是240 m/min，甲的表达式为y＝200x，甲的速度是200 m/min，0.5min后，乙队比甲队每分钟快40 m，故C不符合题意；D.甲的表达式为y＝200x，当x＝1.5时，y＝300，则(500－300)÷(2.25－1.5)＝8003(m/min)，故D符合题意．二、填空题(共6分)4．[2016·吴中区二模]甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图3－1－4所示．则下列结论：①A，B两城相距300 km；②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h；③乙车出发后2.5 h追上甲车；④当甲、乙两车相距50 km/h，t＝54或154.图3－1－4其中不正确的结论是 __③④__(填序号)．【解析】 由图象可知A ，B 两城市之间的距离为300 km ，甲行驶的时间为5 h ，而乙是在甲出发1 h 后出发的，且用时3 h ，即比甲早到1 h ，∴①②都正确；设甲车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 甲＝kt ，把(5，300)代入可求得k ＝60，∴y 甲＝60t ，设乙车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y 乙＝mt ＋n ，把(1，0)和(4，300)代入，得 ⎩⎨⎧m ＋n ＝0，4m ＋n ＝300，解得 ⎩⎨⎧m ＝100，n ＝－100， ∴y 乙＝100t －100，令y 甲＝y 乙，可得60t ＝100t －100，解得t ＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t ＝2.5，此时乙出发时间为1.5 h ，即乙车出发1.5 h 后追上甲车，∴③不正确；令|y 甲－y 乙|＝50，可得|60t －100t ＋100|＝50，即|100－40t |＝50，当100－40t ＝50时，解得t ＝54，当100－40t ＝－50时，解得t＝154，又当t ＝56时，y 甲＝50，此时乙还没出发，当t ＝256时，乙到达B 城，y 甲＝250.综上可知当t 的值为54或154或56或256时，两车相距50 km ，∴④不正确．故不正确的是③④.三、解答题(共40分)5．(12分)[2017·南充]学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车需租金1 240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1 760元．(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？解：(1)设1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是a 元和b 元，根据题意，得⎩⎨⎧a ＋3b ＝1 240，3a ＋2b ＝1 760，解得⎩⎨⎧a ＝400，b ＝280.答：1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是400元和280元．(2)设租用甲种客车x 辆，则租用乙种客车(8－x )辆，再设租车费用为y 元，则y ＝400x ＋280(8－x )＝120x ＋2 240.又∵45x ＋30(8－x )≥330，解得x ≥6.∴x 的取值范围是6≤x ≤8的整数．在函数y ＝120x ＋2 240中，k ＝120＞0，∴y 随x 的增大而增大．∴当x ＝6时，y 有最小值120×6＋2 240＝2 960(元)．6．(12分)[2018·中考预测]某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．(1)求甲、乙商品的进货单价；(2)若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9 000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10 480元，问有几种进货方案？(3)在条件(2)下，并且不再考虑其他因素，若甲、乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？【解析】 (1)设甲商品的进货单价是m 元，乙商品的进货单价是n 元，根据“甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同”即可列方程组求解；(2)设甲进货x 件，乙进货(100－x )件，根据两种商品的进货总价不高于9 000元，两种商品全部售完后的销售总额不低于10 480元即可列不等式组求解；(3)把利润表示为甲商品进货数量的函数，利用函数的性质即可求解． 解：(1)设甲商品的进货单价是m 元，乙商品的进货单价是n 元．根据题意，得⎩⎨⎧m －n ＝20，20m ＝25n ，解得⎩⎨⎧m ＝100，n ＝80.答：甲商品的进货单价是100元，乙商品的进货单价是80元；(2)设甲商品进货x 件，乙商品进货(100－x )件．根据题意，得⎩⎨⎧100x ＋80（100－x ）≤9 000，100x （1＋10%）＋80（100－x ）（1＋25%）≥10 480，解得48≤x ≤50.又∵x 是正整数，∴x 的正整数值是48或49或50，∴有三种进货方案：第一种：甲商品进货48件，乙商品进货52件；第二种：甲商品进货49件，乙商品进货51件；第三种：甲商品进货50件，乙商品进货50件；(3)设甲进货x件，乙进货(100－x)件．销售的利润W＝100×10%x＋80(100－x)×25%，即W＝2 000－10x，∴当x取得最小值48时，W取得最大值为2 000－10×48＝1 520(元)．此时，乙进的件数是100－48＝52(件)．答：当甲进货48件，乙进货52件时，利润最大，最大的利润是1 520元．7．(16分)某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定的每天租赁价格如下表：(1)设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79 600元，试写出满足条件的所有分派方案；(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得的租金最高，并说明理由．解：(1)由于派往A地区的乙型收割机x台，则派往B地区的乙型收割机为(30－x)台，派往A，B地区的甲型收割机分别为(30－x)台和(x－10)台．∴y＝1 600x＋1 200(30－x)＋1 800(30－x)＋1 600·(x－10)＝200x＋74 000(10≤x≤30)；(2)由题意，得200x＋74 000≥79 600，解得x≥28，∵28≤x≤30，x是正整数，∴x＝28或29或30，∴有3种不同分派方案：①当x＝28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，派往B地区的甲型收割机18台，乙型收割机2台；②当x＝29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，派往B地区的甲型收割机19台，乙型收割机1台；③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；(3)∵y＝200x＋74 000中，y随x的增大而增大，∴当x＝30时，y取得最大值，此时，y＝200×30＋74 000＝80 000(元)．答：建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得的租金最高，最高租金为80 000元．(16分)8．(16分)[2017·烟台]数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度－20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到－4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至－20℃时，制冷再次停止，…按照以上方式循环进行．同学们记录了44 min内15个时间点冷柜中的温度y(℃)随时间x(min)的变化情况，制成下表：(1)通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数表达式__y＝－80x__；②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数表达式__y＝－4x＋76__；(2)a的值为__－12__；(3)如图3－1－5，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象．图3－1－5解：(1)①∵4×(－20)＝－80，8×(－10)＝－80，10×(－8)＝－80， 16×(－5)＝－80，20×(－4)＝－80，∴当4≤x ＜20时，y ＝－80x .②当20≤x ＜24时，设y 关于x 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将(20，－4)，(21，－8)代入，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝－4，21k ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧k ＝－4，b ＝76，∴此时y ＝－4x ＋76. 当x ＝22时，y ＝－4x ＋76＝－12，当x ＝24时，y ＝－4x ＋76＝－20. ∴当20≤x ＜24时，y ＝－4x ＋76.(2)观察表格，可知该冷柜的工作周期为20 min ，∴当x ＝42时，与x ＝22时的y 值相同，∴a ＝－12.(3)描点、连线，画出函数图象如答图所示．第8题答图(20分)9．(20分)[2017·天门]江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y 甲，y 乙(单位：元)与原价x (单位：元)之间的函数关系如图3－1－6所示：(1)直接写出y 甲，y 乙关于x 的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾能更省钱？图3－1－6解：(1)设y 甲＝kx ，把(2 000，1 600)代入，得2 000x ＝1 600，解得k ＝0.8，则y 甲＝0.8x ；当0＜x ＜2 000时，设y 乙＝ax ，把(2 000，2 000)代入，得2 000x ＝2 000，解得k ＝1，则y 乙＝x ；当x ≥2 000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2 000，2 000)，(4 000，3 400)代入，得⎩⎨⎧2 000m ＋n ＝2 000，4 000m ＋n ＝3 400，解得⎩⎨⎧m ＝0.7，n ＝600，∴y 乙＝ ⎩⎨⎧x （0＜x ＜2 000），0.7x ＋600（x ≥2 000）； (2)当0＜x ＜2 000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2 000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6 000，若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6 000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6 000.故当购买金额按原价小于6 000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6 000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6 000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．。