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第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。
例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。
第2章、解析函数第⼆章解析函数本章介绍复变函数中⼀个重要的概念：解析函数，并给出⼀个重要的判定⽅法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍⼀些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分⽀解析。
第⼀节解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数⼀般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、此定义也⽤εδ-语⾔给出。
注2、可导必连续注3、解析必可导性，在⼀个点的可导不⼀定解析，可导性是⼀个局部概念，⽽解析性是⼀个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下⾯的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平⾯上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平⾯上的区域1D 内解析，⽽且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例⼦：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平⾯解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平⾯上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
第二章 解析函数[Cauchy-Riemann 条件的说明]二元函数),(y x u 的可微：()22''y x o y B x A u dy u dx u du y x ∆+∆+∆+∆=∆⇔+=y u x u u y x ∆+∆≈∆''[命题] ),(y x u 的一阶偏导数),('),,('y x u y x u y x 连续),(y x u ⇒的可微。
设ib a z f +=)('，由于zz f z ∆∆=→∆ω0lim )('，)(z f =ω在（x ，y ）可导意味着 ()()x b y a i y b x a y i x ib a z z f v i u ∆+∆+∆-∆=∆+∆+=∆≈∆+∆=∆))(()('ω x v y u b y v x u a x b y a v y b x a u ∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=⇒⎩⎨⎧∆+∆≈∆∆-∆≈∆, )(')('z f xv i x u ib a z f x =∂∂+∂∂=+= 另一版本的说明见课件。
------------------------------------------------------------------------------------[命题] 若R b a b a ∈≠,,，则iby ax +处处连续但处处不可导。
[证明] by y x v ax y x u ==),(,),(处处可微，因此函数处处连续，b v v u a u y x y x ===='0'0''，当且仅当b a =时CR 条件才满足，所以函数处处不可导。
□ 例如yi x z y i x iy x z z f ⋅+=+-==0Re ,2,)(等。
当b a =时a i a z f az iay ax z f =+==+=0)(',)(，与实变函数ax),(),,(y x v y x u P38 例 32222)(,2)(,)(y x z z h yi x z g z z f +==+==的可导、解析性。
第二章 解 析 函 数解析函数是复变函数研究的主要对象．本章介绍导数、解析函数的概念，并介绍一些常用初等函数的解析性．§1．解析函数的概念1．导数与微分 导数定义：设)(z f w=，D z ∈（区域），D z ∈0．若极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在，则称)(z f 在0z 处可导，记为)(0z f '，00 ,z z z z dz dfdz dw ==．若)(z f 在区域D 内处处可导，称 )(z f 在D 内可导．例1．求32)(2+=z z f 的导数．解：z z z zz z z z z f z z f z f z z z 4)Δ2(2 lim ]32[]3)(2[lim )()(lim )(0 220 0 =+=∆+-+∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆，)(C z ∈．（处处可导）．例2．问 yi x z f 3)(+= 是否可导 )(iy x z +=？解：z z z ∆+→，x x x ∆+→，y y y ∆+→，y i x z ∆+∆=∆．yix yix z yi x i y y x x z z f z z f z z z ∆+∆∆+∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+→∆→∆→∆3 lim ]3[])(3)[(lim )()(lim0 0 0． 设z z ∆+ 沿平行于x 轴方向趋于z ，则0=∆y ，极限为 1lim 3lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x xyi x yi x x z ；设z z ∆+ 沿平行于y 轴方向趋于z ，则0=∆x ，极限为33lim 3 lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yiyi yi x yi x y z ． 所以yi x z f 3)(+= 的导数不存在，无处可导．可导与连续的关系：函数可导⇒连续； 但函数连续≠⇒可导．证：“可导⇒连续”． 设)(z f 在0z 可导， 则 0 0, >∃>∀δε，当 δ<∆<z 0 时，ερ<'-∆-∆+=∆)()()(000z f zz f z z f ． 因此，0lim 0 =→∆ρz ． 而z z z f z f z z f ∆⋅+∆'=-∆+ρ)()()(000， 所以 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆，)(z f 在0z 连续． “连续≠⇒可导”． 见例2．求导法则：复变函数的导数定义与实函数的导数定义一致，故求导法则也相同．罗列如下，应当牢记． (1) )( ,0)(C c c ∈='； (2) ) ( , )(1N n z n z n n ∈='-；(3))()(])()([z g z f z g z f '±'='±； (4) )()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='；(5) ) 0)g( ( ,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z g z g z f z g z f z g z f ； (6))()(})]([{z g w f z g f ''='，其中)(z g w =；(7) )(1)(z f w '='ϕ， 其中)(z f w =是)(w z ϕ= 的反函数，0)(≠'z f ．微分：若)(z f 在0z 可导， 则 )()()()(000z o z z f z f Δz z f w ∆⋅+∆'=-+=∆， 定义dz z f dw )(0'=．2．解析函数 定义：(a ) 若)(z f 在0z 的某一邻域) ,(0δz U 内可导，称)(z f 在0z 处解析； (b ) 若)(z f 在区域D 内的每一点解析，称)(z f 在D 内解析；(c ) 若)(z f 在0z 不解析，称0z 为)(z f 的一个奇点．注：函数在区域内解析与可导等价．但可导与解析并不等价．函数在一点 0z 处可导，并不意味着在0z 处解析．例1．讨论32)(21+=z z f 和 yi x z f 3)(2+= 的解析性．解：)( ,4)(11z f z z f =' 在复平面上解析，称为全纯函数；)(2z f 处处不可导，无处解析． y例2．讨论函数 )1(1+=z z w 的解析性． 解：当1 0-≠≠z z 及 时， w 可导：22)1()12(++-=z z z dz dw ． x 所以，在除0=z 及1-=z 外的复平面上，)(z f w = 解析．而1 0-==z z 和 是w 的两个奇点． 称函数)(z f w = 为亚纯函数．定理．两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是解析函数；解析函数的复合函数也是解析函数． 结论：多项式在C 内处处解析；有理分式函数)()()(z Q z P z f = 在分母不为零的区域内解析．§2．函数解析的充要条件判断复函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 是否解析，有如下的充要条件．定理．函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 在iy x z += 处可导的充要条件是：) ,(y x u 、) ,(y x v 在点 ) ,(y x 处可微，并且满足Riemann Cauchy－ 方程： xvy u y v x u , ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂．此时，有导数公式x y y x v i v iu u z f )(+=-='． （证略）注：(1) 若) ,(y x u 、) ,(y x v 在D 内具有一阶连续偏导数，且满足R C －方程，则)(z f 解析；(2) 将点改成区域D ，便得)(z f 在D 内解析的充要条件．例1．判断下列函数是否解析． (1)z z f =)(；(2))sin (cos )(y i y e z f x +=．解：(1)iy x z z f -==)(，y v x u -== ,． 100 ,1-====y x y x , v , v u u ．y x v u ≠，不满足R C －方程， 故z z f =)( 无处可导， 无处解析．(2)y e u x cos =，y e v x sin =． 由于⎪⎩⎪⎨⎧-=-===x x yy xx v y e u v y e u sin cos ， )(z f 处处解析，全纯函数． 例2．证明：若在区域D 内0)(='z f ，则 c z f ≡)(（复常数）．证：000 )( i v i v iu u z f x y y x +==+=-='，故0====y x y x v v u u21 c , v c u ≡≡⇒ c ic c z f Δ=+≡⇒21)( ．例3．函数 iy x z f -=2)( ) (iy x z += 在何处连续？何处可导？何处解析？解：y v x u-== ,2，二元初等函数，处处连续，所以)(z f 处处连续． -⎪⎩⎪⎨⎧=-==-===0012x y y x v u v x u R , y x ∈-=⇒21． 故)(z f 仅在直线 21-=x 上可导，1)(-='z f ． 但直线不含邻域，所以)(z f 无处解析．§3．初 等 函 数1．指数函数： 复变数指数函数：)sin (cos exp )( y i y e e e e e z z f x y i x y i x z +=⋅====+．它等价于关系式：x z e e = 及 πk y e Arg z2)(+=． 故0≠z e ．z e z f =)( 具有性质：(1))()(z f z f ='，)(z f 在C 内解析；(2) 若0)Im(==z y ，x e z f =)(； 若 0)Re(==z x ，y i y e z f i y sin cos )(+==；(3)ze服从加法定理：2121z z z z ee e+=⋅，2121z z z z e e e -=；(4) ze以i k 2π为周期：) ( , 2 2Z k e e e ez i k z ik z ∈=⋅=+ππ．例1．计算 22πi e+． 大写整数集Z解：22222sin 2cos ie i e ei =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πππ．2．对数函数 定义：指数函数 0)( ,≠=z z e w 的反函数称为对数函数．记作) ,() ,()(y x iv y x u z f w +==， 而 θi re z =．则θi iv u re e =+， 故θ===r, v u e r u ln ,．这样，对数函数为 ) 0( , ln ≠=+=∆z z Ln iArgz z w （多值函数）．若Argz 取主值，记 z i z z arg ln ln +=， 称为 z Ln 的主值．其它分支可表为 ) 0 ( , 2ln ≠∈+=Z, z k i k z z Ln π． 称为z Ln 的单值分支．特别，当x z x z ln ln , 0=>=时 （实对数函数）．运算性质：2121 )(Lnz z Ln z z Ln +=，2121Lnz z Ln z z Ln -=．例1．求3 Ln ，)1( -Ln ，i Ln 以及相应的主值．解：i k Ln 23ln 3π+=，)(Z k ∈；主值为3ln ；i k iArg Ln )12()1(1ln )1( π+=-+=-，)(Z k ∈； 主值为i )1ln(π=-；i k iArgi i i Ln )212( ln π+=+=，)(Z k ∈；主值为i i 2ln π=． 对数函数的连续性与解析性： 对于z i z zarg ln ln +=，当 0≠z 时，z ln 连续，而z arg 则在原点与负实轴上不连续，故除原点与负实轴外，z ln 处处连续．w e z = 在区域 ππ<<-z arg 的反函数z w ln =单值，由反函数的求导法，有：ze dw de dz dw z w w11)(ln 1==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=='-．因此，在除去原点与负实轴的复平面内 z ln 解析， z ln 的每个单值分支也解析，且 zLnz 1)(='． 3．幂函数定义：)(ln z iArg z Lnz z Ln ee ez w +====αααα， （α0,≠z 为复常数）．由z Ln 的多值性，i k z Lnz e e e w 2ln απαα⋅==， )(Z k ∈． 可见，αz 也是多值函数（当α不是整数），幂函数的解析性：由于Lnz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，由复合函数的解析性知，αz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，且111 )()(---⋅=⋅=⋅='='ααααααααz z z z e e z Lnz z Ln ．例1．求21和i i )1( - 的值．解：ik iArg Ln e ee 22)1 1(ln 21221π===+，)(Z k ∈．)2ln sin 2ln (cos )1(2 4) 2ln 2 4()4i 22ln ( )1( i eeeei k i k i k i i Ln i i +====--+--+-ππππππ，)(Z k ∈．4．三角函数与双曲函数由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=---)(21sin )(21cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθi i i i i i e e i e e i e i e ， 称为Euler 公式．定义：)(21sin ),(21cos z i z i z i z i e e iz e e z ---=+=． zz z cos sin tan =；zzctg sin cos =；z z cos 1sec =； zz s i n 1c s c =．z z cos )(sin ='，z z sin )(cos -='，处处解析． 大多数三角公式对于z z cos ,sin 成立．双曲余弦：)(21cosh zz e e chz z -+==；双曲正弦：)(21sinh z ze e shz z --==； 双曲正切：zz zz e e e e chz shz thz z --+-===tanh ．以上函数均在定义域（分母不为零处）内可导并且解析． 5．反三角函数与反双曲函数 三角函数的反函数称为反三角函数．w z sin = 的反函数称为反正弦函数．下求之．由)(21sin iw iw e e iw z --==， 得 iwe 的二次方程：012)(2=--iw iw ize e ， 根为：21z iz e w i -+=， （21z - 为双值函数）． 所以)1( sin 2z iz Ln i z Arc w -+-==．反余弦函数：)1( cos 2-+-=z z Ln i z Arc ； 反正切函数：izizLn i Arctgz -+-=112．双曲函数的反函数称为反双曲函数． 它们是： 反双曲正弦：)1( 2++=z z Ln Arshz ； 反双曲余弦：)1( 2-+=z z Ln Archz ；反双曲正切：z1z 1 21-+=Ln Arthz ． 它们都是多值函数．在复变函数中，常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数、反三角函数等七类函数称为复基本初等函数．复初等函数：由复基本初等函数经过有限次加、减、乘、除和复合运算，能由一个式子表示的函数称为复初等函数． 如：ze z tgz w +=2，z e w z ln sin +=，等等．。
第二章 解析函数2.1 基本要求和内容提要 2.1.1基本要求1. 正确理解复变函数可导与解析的概念，弄清可导与解析两概念之间的关系，弄清复变函数可导与其实部、虚部作为二元实函数可微之间的联系与差别. 2. 能运用C-R 条件判别给定函数的解析性.3. 熟练掌握解析函数的和、差、积、商、复合函数及反函数的求导公式.4. 要知道解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u 或v ，求解析函数u iv +.5. 要记住自变量取复数值时初等函数的定义和它们的一些主要性质. 2.1.2 内容提要解析函数是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用. 1. 解析函数的概念（1） 复变函数的导数定义2.1 设函数0()w f z z =在点的某领域内有定义，0z z +∆是领域内任一点，00()()w f z z f z ∆=+∆-，如果0000()()limlim z z f z z f z wz z ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在有限的极限值A ，则称0()f z z 在处可导，A 记作0()f z '或z z dwdz =，即0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆ 或 0()()(0)w f z z o z z '∆=∆+∆∆→.也称0000()()()()df z f z z f z dz f z z ''=∆或为在处的微分，故也称0()f z z 在处可微. （2） 解析函数的概念与求导法则定义2.2 如果00()f z z z 在及的邻域内处处可导，则称0()f z z 在处解析；如果()f z 在区域D 内每一点解析，则称()f z 在D 内解析，或说()f z 是D 内的解析函数；如果0()f z z 在处不解析，则称0z 为()f z 的奇点. [1]导数的四则运算设()f z 和()g z 都是区域D 上的解析函数，则()()(),()(),(()0)()f z f zg z f z g z g z g z ±≠及在D 上解析，且有[]()()()(),f z g z f z g z '''±=±[]()()()()()()f z g z f z g z f z g z '''=+，[]2()()()()()()()f z f z g z f z g z g z g z '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. [2] 复合函数的求导法则设函数()f z ξ=在区域D 上解析，函数()w g ξ=在区域G 内解析，又()f D G ⊂(()f D 的表示函数()f z ξ=值域，也就是区域D 的像），则复合函数(())()w g f z h z ==在D 内解析，且有[]()(())(())()h z g f z g f z f z ''''==.[3] 反函数的求导法则设函数()w f z =在区域D 内解析且()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则()11()()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''. (3) 函数解析的一个充分必要条件定理 2.1 函数()(,)(,)f z u x y i v x y zx iy =+=+在处可导的充要条件是，(,),(,)(,)u x y v x y x y 在点处可微，而且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ）方程（简称C-R 方程）：u v x y ∂∂=∂∂，u vy x∂∂=∂∂. 当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算()f z '： ()u v v v u u v u f z i i i i x x y x x y y y∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=+=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂. 注意，C-R 条件只是函数()f z 可导的必要条件而并非充分条件. 如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论.定理2.2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析（即在D 内可导）的充要条件是，(,)(,)u x y v x y 和在D 内处处可微，而且满足C-R 方程.推论 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内有定义，如果在D 内(,)(,)u x y v x y 和的四个偏导数,,,x y x y u u v v ''''存在且连续，并且满足C-R 方程，则()f z 在D 内解析.2. 解析函数和调和函数的关系（1） 调和函数的概念定义2.3 如果二元实函数(,)x y ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace ）方程22220x yϕϕ∂∂+=∂∂， 则称(,)x y ϕ为区域D 内的调和函数，或说函数(,)x y ϕ在区域D 内调和.定理 2.3 设函数()(,)(,)f z u x y i x y =+在区域D 内解析，则()f z 的实部(,)(,)u x y v x y 和虚部都是区域D 内的调和函数. （2） 共轭调和函数定义2.4 设函数(,)x y ϕ及(,)x y ψ均为区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程,x y x yϕψψϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 则称ψ是ϕ的共轭调和函数.显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. 反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理回答了这个问题.定理2.4 复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充分必要条件是：在区域D 内，()f z 的虚部(,)v x y 是实部(,)u x y 的共轭调和函数.根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数.（3） 解析函数和调和函数的关系由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中一个，则可根据C-R 方程求出另一个，通常有两种方法：偏积分法和线积分法. 3. 初等函数指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数、幂函数、反三角函数以及反双曲函数. 当初等实变函数推广到初等复变函数时，揭示出了许多重要性质. 如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性.2.2 典型例题与解题方法例1 试讨论函数()Im f z z =的可导性. 解一 用导数定义来讨论.()()Im()Im w f z z f z z z zz z z∆+∆-+∆-==∆∆∆ Im Im Im Im z z z zz z+∆-∆==∆∆Im ()x i y yx i y x i y∆+∆∆==∆+∆∆+∆. 当点沿平行于实轴的方向()0=∆y 而使0→∆z 时，00l i m l i m l i m 0000=∆=∆+∆∆=∆∆→∆=∆→∆→∆xy i x y z w x y x z ， 当点沿平行于虚轴的方向()0=∆x 而使0→∆z 时， i y i y y i x y z w y y x z 1lim lim lim0000=∆∆=∆+∆∆=∆∆→∆→∆=∆→∆.因此，当点沿不同方向而使0→∆z 时，zw ∆∆的极限不同. 所以z wz ∆∆→∆0lim 不存在. 而z 是复平面上任意点，所以z z f Im )(=在复平面上处处不可导，自然也处处不解析.显然z z f Im )(=在复平面处处连续. 解二 用C-R 条件来研究.设iy x z +=，则y z z f ==Im )(，所以0,==v y u ..0,0,1,0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yvx v y ux u 因xvy u ∂∂-≠∂∂，故函数z z f Im )(=在复平面上处处不可导. 例2 讨论函数iy x z f 2)(+=的可导性. 解 因为0()()limz f z z f z z∆→+∆-∆02()2lim z x x i y y x iy z ∆→+∆++∆--=∆ yi x yix z ∆+∆∆+∆=→∆2lim.先令z z ∆+沿着平行于x 轴的方向趋近于z （图 2.1），此时0=∆y ，因而1lim 2lim00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x xy i x yi x x z .再令z z ∆+沿着平行于y 轴的方向趋近于z ，此时0=∆x ，故极限22lim 2lim00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yi yiy i x yi x y z ，所以函数()2f z x yi =+在复平面上处处可导. 例3 证明2(1);(2);(3)sin z z e z 在复平面上不解析.分析 一般证明函数在复平面处处不可导或不解析多用函数不满足C-R 条件来证明. 证 （1）因2222z x y i xy =--，所以 xy y x v y x y x u 2),(,),(22-=-=..2,2,2,2x yvy x vy y ux xu-=∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂ 由此可知，2w z =仅在点（0，0）处C-R 条件成立，所以2w z =仅在点（0，0）处可导，而在整个复平面上不解析. （2）因()cos sin zxe ey i y =-，所以,sin ,cos y e v y e u xx-==,cos ,cos y e yv y e x u x x -=∂∂=∂∂ 所以只有当)2,1,0(2±±=±=k k y ππ时，才有yvx u ∂∂=∂∂. 由此可见：ze 在复平面上不解析. （3）因sin sin cos z x ch y i x sh y =-，所以 sin ,cos u x ch y v x sh y ==-，cos ,cos u v x ch y x ch y x y∂∂==-∂∂，因此，只有当)2,1,0(2±±=±=k k x ππ时，才有yvx u ∂∂=∂∂， 可见sin z 在复平面上不解析. 例4 证明2222yx yi y x x w +-+=在0≠z 处解析，并求导函数. 分析 这种类型的题目在证明了解析性之后，求导数只要求出沿x 方向的导数xvi x u ∂∂+∂∂ 或沿y 方向的导数yui y v ∂∂-∂∂即可，这是因为，w 可导意味着沿任何方向的导数都相等. 证 因为2222,x yu v x y x y==-++.所以 ()()()()2222222222222222,2,2,y x x y y v y x xy x v y x xy y u y x x y x u +-=∂∂+=∂∂+-=∂∂+-=∂∂. 以上是四个偏导数在除去原点外的平面上连续，所以u v 、除0=z 外可微，且满足C-R 条件，因此w u iv =+除0z =外解析.()()222222222y x xy i y x x y x v i x u w +++-=∂∂+∂∂='.例5 下列函数在复平面上何处可导？何处解析？（1）1z； （2）()()2222y xy i x y x -+--. 解 （1） 222211yx yi y x x iy x z +++=-=. 所以,,2222y x yv y x x u +=+=()(),2,22222222y x xy y u y x x y x u +-==∂∂+-=∂∂()()222222222,v xy v x y x y x y x y ∂-∂-==∂∂++. 对于0≠z ，处处不满足C-R 条件（z=0时函数无定义），所以函数1z处处不可导，从而处处不解析.（2） ()()2222yxy i x y x w -+--=.，，2222y xy v x y x u -=--= ,2,12y yux x u -=∂∂-=∂∂.22,2y x yv y x v -=∂∂=∂∂ 这四个偏导数处处连续，所以),(,),(y x v y x u 处处可微.要C-R 条件成立, 必须满足y x x 2212-=-，从而21=y . 所以()()2222y xy i x y x w -+--=仅在直线21=y 上可导，而在复平面上处处不解析. 例6求证函数()f z =0z =满足C-R 条件，但它在0=z 处没有导数.证 0),(,),(==y x v xy y x u .(0,0)0x ux →∂==∂，0(0,0)0y uy →∂==∂， 且0=∂∂=∂∂yvx v ，所以在（0，0）满足C-R 条件. 但是 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→<+-→>+=+-=--→=→.00,11,00,11)1(0l i m 00l i m 00x x i x x i i x x z y x x y x z 且且所以，0)(==z xy z f 在处不可导.注：此题说明C-R 条件是可导的必要条件，而非充分条件. 例7 函数i y x y x z f 22332)(+-=是不是解析函数？并求其导数. 解 22332),(,),(y x y x v y x y x u =-=.y x yvxy x v y y u x x u 22224,4,3,3=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂ 均连续.要满足C-R 条件，必须要222234,43y xy y x x==成立.即仅当0==y x 和43==y x 时才成立，所以)(z f 不是解析函数. 0)0()0,0()0,0(=∂∂+∂∂='x vixu f ，)1(1627)4343()43,43()43,43(i xv i xu i f +=∂∂+∂∂=+'. 例9 设)(z f 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的（即互为充要条件）： （1）常数≡)(z f ； （2）0)(≡'z f ； （3）常数≡)(Re z f ； （4）常数≡)(Im z f ； （5）解析)(z f ； （6）常数≡)(z f . 证 按)1()6()5()4()3()2()1(⇒⇒⇒⇒⇒⇒的顺序证明. )2()1(⇒ 显然，0)()(='⇒=z f C z f .)3()2(⇒ 设D z z f ∈=',0)(.因为)(z f 在D 内解析，对任意D z ∈， 0)(=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='yui y v x v i x u z f . 于是对任意D z ∈，有0=∂∂=∂∂yu x u . 所以C y x u =),(（常数），即=)(Re z f 常数.)4()3(⇒ 设C z f iv u z f =+=)(Re ,)(（常数）. 即C u =，因为)(z f 在D 内解析，所以0=∂∂=∂∂x u y v ，0=∂∂-=∂∂yux v ， 因此C y x v =),(，即C z f =)(Im （常数）.)5()4(⇒ 若iC u z f iC u z f C z f -=+==)(,)(,)(Im 11，因为)(z f 在D 内解析，所以0=∂∂=∂∂=∂∂y C y v x u ，0=∂∂-=∂∂-=∂∂xC x v y u . 即xv y u y v x u ∂-∂-=∂∂∂-∂=∂∂)(,)(. 因此，)(z f 在D 内解析.)6()5(⇒ 设)()(z f z g =在D 内解析，iv u z f -=)(，由C-R 条件，xvy u y v x u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,. （1） 又因为)(z f 在D 内解析，所以xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,. （2） 由（1）、（2）得x v x v y v y v ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂-,，所以0=∂∂=∂∂yvx v ，因此2C v =. 由（1）0=∂∂=∂∂yu x u ，因此1C u =. 所以 i C C z f 21)(+==常数.)1()6(⇒ 设D z C z f ∈=,)(，所以在D 内，C v u =+22.若0=C ，则0)(,0===z f v u ，结论成立.若0≠C ，将C v u =+22的两边分别对,x y 求偏导数，得022=∂∂+∂∂xv v x u u， （3） 022=∂∂+∂∂y v v y u u. （4） 由于)(z f 在D 内解析，故有xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,. 代入（4）式，得 022=∂∂-∂∂xv u x u v. （5） 联立（3）、（5）解方程组，因为04)(4222222≠-=+-=-C v u uv vu ，所以方程组有唯一解0,0=∂∂=∂∂xv x u ， 由此立即可得0=∂∂=∂∂yvy u ， 所以12,u C v C ==(12,C C 都是常数). 即 21)(iC C z f +=.例10 证明)(z f 在上半平面解析的充要条件是)(z f 在下半平面解析.分析 由上例知，当)(z f 和)(z f 都解析时，)(z f 必为常数. 故当)(z f 不是常数时，)(z f 和)(z f 不可能同时解析. 但本例却指出：当)(z f 解析时，不论)(z f 是否为常数，)(z f 必解析；反过来也成立.证 设),(),()(y x v i y x u z f +=，则),(),()(y x v i y x u z f ---=.先证必要性.因为)(z f 解析，故有xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,， 因此y y x v y y x v x y x u ∂--∂=-∂-∂=∂-∂)],([)(),(),(，xy x v x y x v y y x u ∂--∂=∂-∂-=-∂-∂)],([),()(),(.两式表明)(z f 的实部与虚部满足C-R 条件，又显然),(),(y x v y x u ---与可微，所以)(z f 在下半平面可微.再证充分性.若已知)(z f 在下半平面解析，则由必要性中推出之等式，)(z f 必于上半平面解析，亦即)(z f 于上半平面解析.例11 设D 是关于实轴对称的区域，证明函数)(z f 与)(z f 在D 内是同时解析的.分析 由于区域D 关于实轴对称，则D z D z ∈⇔∈.我们可分别利用函数解析的充要条件与定义给出两种证明.证一 设),(),()(y x v i y x u z f +=，则),(),()(y x v i y x u z f ---=， )(z f 在D 内解析),(,),(y x v y x u ⇔在D 内可微，且 ),(),(,),(),(y x v y x u y x v y x u x y y x -==.记(,)(,),(,)(,)x y u x y x y v x y ϕψ=-=--，则),,(),,(y x u y y x u x y x --=∂∂-=∂∂ϕϕ(,),(,).x y v x y v x y x yψψ∂∂=--=-∂∂ 不难推知，当)(z f 在D 内解析时，(,),(,)x y x y ϕψ在D 内可微且,,x y y xϕψϕψ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 即)(z f 在D 内解析.反之亦然. 证二 令)()(z f z g =，则 0000)()(lim )()(lim00z z z f z f z z z g z g z z z z --=--→→ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=→00)()(lim 0z z z f z f z z .若)(z f 在点0z 可导，则由上式可知)()(z f z g =在点0z 可导并且00()()g z f z ''=. 反之，若)(z g 在点0z 可导，则)()(z g z f =在点0z 可导.再利用解析函数的定义可知)(z f 与)(z f 在D 内是同时解析的. 例12 试求下列函数值：（1）32i e π-；（2）)5cos(i +π.解一 （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--3sin 3cos 3233232ππππi e eeii23cos sin 33e i ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i e 232132()i e 31232-=. （2）2)5cos()5()5(i i i i e e i +-++=+πππ255ii e e ππ-+-+=255ii e e e e ππ--+=()()[]ππππsin cos sin cos 2155i e i e -++=- [])1()1(2155-+-=-e e5255ch e e -=+-=-. 解二 ()i i i 5sin sin 5cos cos 5cos πππ-=+ 55cos ch i -=-=.例13试求下列函数值及其主值：（1）()i 33ln - ；（2）)3(-Ln . 解（1）()()()πk i i i i 233arg 33ln 33ln +-+-=-i k i π233arctan 32ln +-+= .2,1,0,6232ln ±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=k k i ππ（2）()()).2,1,0(123ln 2)3arg(3ln )3( ±±=++=+-+=-k k i k i Ln ππ 令0=k ，得主值()i i i ππ+-=-3ln 632ln 33ln 和.注意：在微积分中所见到的初等函数都有相应的复形式，并且在复形式下这些函数之间的关系更为清楚统一，但是实的初等函数的某些性质在复形式下时不再成立.例如上例中，负数也有对数，还有z e 可以取负值，正弦、余弦函数不再是有界的，等等.这些地方我们应加以注意. 例14 求()ii -+11的值及其主值.解 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--==+ππk i i i Ln i iee i 242ln1)1(111⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2ln 24242ln ππππk i k e).2,1,0(2ln 4sin 2ln 4cos 224±±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+k i ek ππππ当0=k 时，主值为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-2ln 4sin 2ln 4cos 2141πππi e i i.例15 解下列方程：（1）2cos sin =-z z ；（2）i z sh =；（3）1=z th .解（1）由于⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin cos 4cos sin 2cos sin ππz z z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πz ，所以方程2cos sin =-z z 等价于24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πz 或2sin 4Arc z =-π.再由()21sin z iz Ln i z Arc -+-=可知 ()i i i Arc z ±-=+=2ln 42sin 4ππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++±-=πππk i i 2212ln 4 ())2,1,0(12ln 243 ±±=±-+=k i k ππ. 故方程2cos sin =-z z 的解为()2,1,012ln 243±±=±-+=k i k z ππ.（2）方程i z sh =等价于()01222=--=--z z zz ie e i e e 或，它的根为)2,1,0(22 ±±=⎪⎭⎫⎝⎛+===k i k i Ln z i e z ππ或.故方程i z sh =的解为2,1,022±±=⎪⎭⎫⎝⎛+=k i k z ππ（3）由双曲正切函数的定义1122+-=+-==--z z zz z z e e e e e e z ch z sh z th ， 于是方程1=z th 等价于1122+=-zz e e .两边平方并令iv u e z +=2，可知()()222211v u v u ++=+-， 则推出 0=u因()[]z e e u z z Im 2cos Re Re 22==，所以 []24Im 0Im 2cos 0ππk z z u +=⇔=⇔=，其中 2,1,0±±=k . 故方程1=z th 的解为满足24Im ππk z +=() 2,1,0±±=k 的所有复数z. 例16 已知),(,y x y x φϕ）与（都是区域D 内的调和函数，试证明),(),(y x b y x a φϕ+也是区域D 内的调和函数，其中,a b 为常数.证 如果令φϕb a u +=，那么 y y y x x x b a u b a u φϕφϕ+=+=,， yx yx yx xy xy xy b a u b a u φϕφϕ+=+=,， yy yy yy xx xx xx b a u b a u φϕφϕ+=+=,，由于ϕ与φ是D 内的调和函数，则ϕ与φ的二阶偏导数在D 内均连续，且有00=+=+yy xx yy xx φφϕϕ，.从而,,,,yy yx xy xx u u u u 在D 内也连续，且有()()0=+++=+yy xx yy xx yy xx b a u u φφϕϕ， 因此，u 即φϕb a +是区域D 内的调和函数. 例26 试证：22yx yu +=是在不包含原点的复平面所成的区域D 内的调和函数； 并求一个以u 为实部的解析函数iv u z f +=)(. 证 先证明u 是调和函数. ()()(),62,2623222332232222yxxy x u yxy y x u yxxyu xy xx x ++-=+-=+-=，()()().62,26322233223222222yxxy x u yxy y x u yxy x u yx yy y ++-=++-=+-=，显然，当()()0,0,≠y x 时，u 的二阶偏导数均连续，且满足Laplace 方程，所以在不包含原点的复平面所成的区域D 内u 是调和函数. 下面来求一个解析函数iv u z f +=)(. 解一（用偏积分法） 因为x yu v =，所以()2222yxxyv y +-=，从而 ())(222222x g yx xdy y xxyv ++=+-=⎰. 由此得 ()()2222222222)(yxy x u x g yxx y v y x +--=-='++-=，故 C x g x g ==')(,0)(. 因此 22xv C x y=++，而2222()y xf z u i v i iC x y x y =+=++++()22i x iy i iC iC x y z-=+=++.解二（用线积分法）取()00,x y 为()1,0，积分路线如图2.4，就有 ()()00,,x y y x x y v u dx u dy C =-++⎰()()()()22,221,022222x y x y xydx dy C xyxy--=-++++⎰()22102212xy ydx x dy C x x y =---++⎰⎰ 22xC x y=++.以下做法与解一同.注：上面求v 的方法，理论上只适于0x >的情形（否则在积分过程中x 要取得零值，而这时被积函数无意义）.但可以直接验证所求得的22xv C x y =++（在除去原点所得区域内）符合题中要求.最后再指出一点：既然任给一个调和函数(,)x y ϕ，我们一定能够找到一个以(,)x y ϕ为实部或虚部的解析函数，而解析函数实部与虚部的任意阶偏导数是调和函数.因此，(,)x y ϕ的任意阶偏导数也是调和函数.换句话说，调和函数的任意阶偏导数仍然是调和函数.例27 已知22(,),(,),()(,)(,)u x y x y v x y f z u x y i v x y =-=+求使函数在复平面上解析.解 因 22222,2;2,2;u u u u x y x x y y ∂∂∂∂===-=-∂∂∂∂因此 2222220u ux y ∂∂+=-=∂∂.从而u 是全平面上的调和函数. 方法一 取()()00,0,0x y =，则()0,022xyv x y dx xdy C xy C =++=+⎰⎰.方法二 由C-R 条件22(2)u udv dx dy ydx xdy d xy y x∂∂=-+=+=∂∂， 所以 2v xy C =+. 方法三 因为2v uy x y∂∂=-=∂∂， 两边对x 积分，得2()v xy y ϕ=+， 两边对y 求导，得v2()yx y ϕ∂'=+∂. 但2,()0,(),v u x y y C y xϕϕ∂∂'====∂∂所以故2v xy C =+.于是 2222()(2)()f z x y i xy C x iy iC z iC =-++=++=+.它在复平面上解析.例28 已知23(,)3v x y xy x =-+，求以v 为虚部的解析函数()f z u i v =+. 解 显然，v 是调和函数.由C-R 条件，2233,6v u v uy x xy x y y x∂∂∂∂=-+=-=-=∂∂∂∂. 由第一式得：323()u y x y x ϕ=-+，代入第二式，则有6()6.xy x xy ϕ'-+=- 于是()0,()x x C ϕϕ'==.因此 32(,)3u x y y x y C =-+，()3223()33f z u i v y x y C i xy x =+=-++-+3i z C =+.例29 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求其共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+. 解一（偏积分法） 利用C-R 方程，(2)2v uy x y x x y∂∂=-=--+=-∂∂ 所以 2(2)2()2x v y x dx xy g y =-=-+⎰.有2()vx g y y∂'=+∂. 又2v u x y y x∂∂==+∂∂ 比较两式可得：2()2,()x g y x y g y y ''+=+=故，有2()2y g y ydy C ==+⎰. 因此 222()22x y v xy C C =-++为任意常数.因而得到解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+()2222222x y x y xy i xy iC ⎛⎫=-++-++ ⎪⎝⎭()()2222242i x i xy y x i xy y iC =+--+-+ ()22z z i iC =∙-+.解二（线积分法）因为 ()(),0,0(,)(,)x y v x y dv x y C =+⎰()(),0,0x y vvdx dy C xy∂∂=++∂∂⎰()(),0,0x y u udx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰, 所以()()()(),0,0(,)22x y v x y y x dx x y dy C =-+++⎰，于是由图2.5，()()()()()(),,0,00,0(,)22x y x y v x y y x dx x y dy C =-+++⎰⎰()()()()()(),0,0,0,022x x y x y x dx x y dy C =-+++⎰⎰()()()()22xyy x xy x dxx y dy C ===-+++⎰⎰()()002x yx dx x y dy C =-+++⎰⎰22222x y xy C =-+++ （C 为任意常数），从而可得解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+()22z z i iC -=+.例30 已知()()()2242u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数()f z u i v =+ 解 因为()()()224242x x u v x xy y x y x y +=+++-+- ()()()224422y y u v x xy y x y x y +=-+++-+-且,x y y x u v u v ==-，所以上面两式分别相加减，可得 22332yv x y =--， （1）6x v xy =. （2） 由（1）式得()222333232()v x y dy x y y y g x =--=--+⎰. 代入（2）式，得6()6xy g x xy '+= ，可推出()g x C =（实常数）. 因此 23(,)32v x y x y y y C =--+，()()()22(,)42(,)u x y x y x xy y x y v x y =-++-+-， 所确定的解析函数()f z u i v =+为()()3223()3232f z x xy x C i x y y y C =---+--+ 32,(1),z z k k i C C =-+=-+为任意常数.。
