第一讲 集合的概念与运算

集合与运算的基本概念与性质一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。

2.集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合中的元素，如集合A={1,2,3}。

3.集合的元素：集合中的每一个对象称为集合的元素。

4.空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。

5.集合的性质：a.确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊不清的情况。

b.互异性：集合中的元素是互不相同的。

c.无序性：集合中的元素排列顺序不影响集合的本质。

二、集合的运算1.并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，包含所有属于A或属于B的元素。

2.交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，包含所有同时属于A和属于B的元素。

3.补集：对于全集U，集合A的补集，记作A’，包含所有不属于A的元素。

4.运算法则：a.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩Ab.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)c.分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC)，A(B∩C)=(AB)∩(AC)三、集合的其他概念1.子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

2.超集：如果集合A包含集合B的所有元素，那么集合A是集合B的超集，记作A⊇B。

3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且A不等于B，那么A是B的真子集，记作A⊊B。

4.空集的特殊性质：空集是任何集合的子集，也是任何集合的超集。

四、整数的运算1.加法：两个整数相加，得到它们的和。

2.减法：一个整数减去另一个整数，得到它们的差。

3.乘法：两个整数相乘，得到它们的积。

4.除法：一个整数除以另一个整数（不为0），得到它们的商。

5.幂运算：一个整数的n次幂，表示这个整数连乘n次。

五、实数的运算1.加法：两个实数相加，得到它们的和。

2.减法：一个实数减去另一个实数，得到它们的差。

3.乘法：两个实数相乘，得到它们的积。

4.除法：一个实数除以另一个实数（不为0），得到它们的商。

第1讲 集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集： N ； N *(或N ＋) ； Z ；Q ； R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 . 2．集合间的基本关系(1)子集： ，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集： 则A B (或B A )．若集合A 中含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的真子集有2n －1个．(3)空集：空集是 的子集，是 的真子集．即∅⊆A ，∅B (B ≠∅)．(4)集合相等：若 ，则A ＝B . 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A ∪B ＝ ． (2)交集：A ∩B ＝ ．(3)补集：∁U A ＝ ，U 为全集，∁U A 表示A 相对于全集U 的补集． (4)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( )．考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(3)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C．{1,2} D．{3,5}基础演练1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.第2讲函数及其表示必记考点1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作.2．函数的三要素函数由、、三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：．(2)值域：．(3)两个函数就相同: .3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是()．2．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．(2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(3) 设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，实数a ＝________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )．A.15 B ．3 C.23D.139(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2 D ．9基础演练1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为________．5．(2013·皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 6.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称．考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x(2)函数y ＝－x 2＋2x －3(x <0)的单调增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. (2) 函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝(x －1)－ 1＋x1－x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.(2) 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝ ．基础演练1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为减函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6.下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．第4讲 指数与指数函数必记考点1．指数与指数运算 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫 ，.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．即x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n ＝ .②当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．负分数指数幂a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．(4)幂指数的运算性质a r ·a s ＝ rs aa= (a r )s ＝ (ab )r ＝2．指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；(2) 2132a b ·(－31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x －2＋x ＝0的解的个数是________． (2) 下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，①讨论f (x )的奇偶性；②讨论f (x )的单调性．⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫－350－⎝⎛⎭⎫827－13＝________. 已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．函数y ＝1－3x 的定义域为________。

集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。

理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。

本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。

一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。

例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。

2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。

例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。

3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。

用符号表示为A ⊆ B。

例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。

4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。

用符号表示为A = B。

二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。

用符号表示为A ∪ B。

例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。

2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。

用符号表示为A ∩ B。

例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。

3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。

用符号表示为A'。

例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。

4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。

用符号表示为A - B。

例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。

5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。

第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§1.1 集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集φ.4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A 、B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x . B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾! 所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a 当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 M N ≠∅ , 则 a 的取值范围是．【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=，解出得2x = 所以，当211a <= 时, M N =∅ ． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =3a >时, M N =∅ ． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤，即[13a ∈ 时, M N ≠∅ ．故填[1.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性.【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f 取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ= ，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1± 3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是 A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n }．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈}，求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈.11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈- （1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A )(为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时，C B A )(为含有三个元素的集合？4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈，定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数，例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证2 P个.该校的班级数不多于1。

集合数学知识点高一讲解集合是数学中的一个基本概念，而集合论是现代数学的一个重要分支。

在高中数学的学习中，集合论也是一个重要的内容。

本文将为你带来高一阶段集合数学知识点的详细讲解，希望能够对你的学习有所帮助。

一、集合的基本概念1. 集合的定义集合是由具有某种特定性质的元素组成的整体。

常用大写字母A、B、C等表示集合，元素用小写字母a、b、c等表示。

一个集合可以用大括号括起来，元素之间用逗号隔开。

例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1、2、3、4组成的集合A。

2. 集合的元素关系若一个元素x是集合A的一个元素，则可以表示为x∈A。

若一个元素y不是集合A的一个元素，则可以表示为y∉A。

3. 空集和全集没有任何元素的集合称为空集，记作∅。

包含所有可能元素的集合称为全集，常常用符号U表示。

二、集合的表示方法1. 列举法通过列举集合中的元素来表示集合。

例如，集合A={1,2,3,4}。

2. 描述法通过刻画集合中元素的特点来表示集合。

例如，集合B={x|x是奇数}表示所有奇数的集合。

三、集合的运算在集合论中，常常需要对集合进行一些运算，以求出集合之间的关系。

1. 并集集合A和集合B的并集，表示为A∪B，是包含了所有属于A 或属于B的元素的集合。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。

2. 交集集合A和集合B的交集，表示为A∩B，是包含了既属于A又属于B的元素的集合。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A∩B={3}。

3. 差集集合A和集合B的差集，表示为A-B，是包含了属于A但不属于B的元素的集合。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A-B={1,2}。

4. 互斥集互斥集是指两个集合没有相同的元素，即它们的交集为空集。

如果A∩B=∅，则集合A和集合B互斥。

四、集合的性质在集合论中，有一些重要的性质需要掌握。

1. 交换律对于任意的集合A和B，A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。